Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus 2-24 Uge 45.1-1
Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er. Calculus 2-24 Uge 45.1-2
Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er.. e i = 1. Calculus 2-24 Uge 45.1-2
Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er.. e i = 1. e i = ( ),..., 1,..., Calculus 2-24 Uge 45.1-2
Multiplikation af enhedsvektorer [LA] 2 Matricer Eksempel - fortsat Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. Calculus 2-24 Uge 45.1-3
Multiplikation af enhedsvektorer [LA] 2 Matricer Eksempel - fortsat Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A Ae j = a j Calculus 2-24 Uge 45.1-3
Multiplikation af enhedsvektorer [LA] 2 Matricer Eksempel - fortsat Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A og produktet Ae j = a j den i-te række i A. e i A = a i Calculus 2-24 Uge 45.1-3
Kvadratisk matrix, identitetsmatrix [LA] 2 Matricer Definition En kvadratisk n-matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er. Calculus 2-24 Uge 45.1-4
Kvadratisk matrix, identitetsmatrix [LA] 2 Matricer Definition En kvadratisk n-matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er. Identitetsmatricen (enhedsmatricen) 1... I n =.... 1 med 1 i diagonalen og udenfor er en diagonalmatrix. Calculus 2-24 Uge 45.1-4
Multiplikation af identitetsmatrix [LA] 2 Matricer Sætning 3 Lad A vœre en m n-matrix. Så gœlder I m A = A = AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen œndrer ikke en matrix." Calculus 2-24 Uge 45.1-5
Multiplikation af identitetsmatrix [LA] 2 Matricer Sætning 3 Lad A vœre en m n-matrix. Så gœlder I m A = A = AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen œndrer ikke en matrix." Bevis Den j-te søjle i I n er e j, så den j-te søjle i AI n er den j-te søjle i A. Ae j = a j Calculus 2-24 Uge 45.1-5
Diagonalmatrix [LA] 1 Diagonalisering Bemærkning En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er. Calculus 2-24 Uge 45.1-6
Diagonalmatrix [LA] 1 Diagonalisering Bemærkning En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er. Skrives skematisk Λ = λ 1....... λ n Calculus 2-24 Uge 45.1-6
Diagonalmatrix [LA] 1 Diagonalisering Bemærkning - fortsat For en diagonalmatrix Λ er det karakteristiske polynomium Λ λi = (λ 1 λ) (λ n λ) Egenvædierne er netop diagonal indgangene λ 1,...,λ n. Calculus 2-24 Uge 45.1-7
Diagonalmatrix [LA] 1 Diagonalisering Bemærkning - fortsat For en diagonalmatrix Λ er det karakteristiske polynomium Λ λi = (λ 1 λ) (λ n λ) Egenvædierne er netop diagonal indgangene λ 1,...,λ n. Udregningen Λe i = λ i e i viser at for egenværdien λ i er e i en egentlig egenvektorer. Calculus 2-24 Uge 45.1-7
Simpel udregning [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 2 3 1 = 1 Calculus 2-24 Uge 45.1-8
Simpel udregning [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 2 3 1 = 1 1 2 3 1 = 2 = 2 1 Calculus 2-24 Uge 45.1-8
Simpel udregning [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 2 3 1 = 1 1 2 3 1 = 2 = 2 1 1 2 3 1 = 3 = 3 1 Calculus 2-24 Uge 45.1-8
At diagonalisere [LA] 1 Diagonalisering Definition At diagonalisere en kvadratisk matrix A vil sige at finde en invertibel matrix B og en diagonalmatrix Λ så A = BΛB 1 Calculus 2-24 Uge 45.1-9
At diagonalisere [LA] 1 Diagonalisering Definition At diagonalisere en kvadratisk matrix A vil sige at finde en invertibel matrix B og en diagonalmatrix Λ så A = BΛB 1 Skrives også eller AB = BΛ B 1 AB = Λ Calculus 2-24 Uge 45.1-9
Diagonalisering og egenvektorer [LA] 1 Diagonalisering Sætning 16 Lad A vœre en n n-matrix og b 1,...,b n egentlige egenvektorer med tilhørende egenvœrdier λ 1,...,λ n. For matricen B, hvis søjler er egenvektorerne gœlder AB = BΛ hvor Λ er diagonalmatricen med egenvœrdierne som diagonalindgange. Calculus 2-24 Uge 45.1-1
Diagonalisering og egenvektorer [LA] 1 Diagonalisering Sætning 16 Lad A vœre en n n-matrix og b 1,...,b n egentlige egenvektorer med tilhørende egenvœrdier λ 1,...,λ n. For matricen B, hvis søjler er egenvektorerne gœlder AB = BΛ hvor Λ er diagonalmatricen med egenvœrdierne som diagonalindgange. Hvis B er invertibel, vil den diagonalisere A. Calculus 2-24 Uge 45.1-1
Gammelt eksempel Eksempel 1, 2 Matricen A = [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer 3 3 2 4 har egenvektorer b 1 = 3 1, b 2 = 1 2 1 med tilhørende egenværdierne λ 1 = 2,λ 2 = 3. Calculus 2-24 Uge 45.1-11
Gammelt eksempel [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 1, 2 - fortsat Dette giver 3 3 A =, B = 2 4 ( 3 1 2 1 1 ), Λ = 2 3 som opfylder matrixidentiteten AB = BΛ Calculus 2-24 Uge 45.1-12
Gammelt eksempel [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 1, 2 - fortsat Dette giver 3 3 A =, B = 2 4 ( 3 1 2 1 1 ), Λ = 2 3 som opfylder matrixidentiteten AB = BΛ Da determinanten B = 5 2 er B invertibel og diagonaliserer A. Calculus 2-24 Uge 45.1-12
Matrixpotenser [LA] 1 Diagonalisering Eksempel - Potens Hvis B diagonaliserer A A = BΛB 1 så er potensen A k = BΛ k B 1 Calculus 2-24 Uge 45.1-13
Matrixpotenser [LA] 1 Diagonalisering Eksempel - Potens Hvis B diagonaliserer A A = BΛB 1 så er potensen A k = BΛ k B 1 Λ k = λ k 1....... λ k n Calculus 2-24 Uge 45.1-13
Gammelt eksempel, potens [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 1, 2 - fortsat 3 3 A =, B = 2 4 B 1 = opfylder matrixidentiteten 2 1 5 5, Λ = 2 5 6 5 A = BΛB 1 3 1 2 1 1 2 3 Calculus 2-24 Uge 45.1-14
Gammelt eksempel, potens [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 1, 2 - fortsat = = 1 5 ( 3 3 2 4 ) k 3 1 2 k 2 1 2 5 5 1 1 ( 3) k 2 6 5 5 ( ) 6 2 k ( 3) k 3 2 k 3 ( 3) k 2 2 k + 2 ( 3) k 2 k + 6 ( 3) k Calculus 2-24 Uge 45.1-15
Gammelt eksempel, potens [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer Eksempel 1, 2 - fortsat = 1 5 ( 3 3 2 4 ) 1 ( ) 6 2 1 ( 3) 1 3 2 1 3 ( 3) 1 2 2 1 + 2 ( 3) 1 2 1 + 6 ( 3) 1 = ( 1581 34815 2321 7654 ) Calculus 2-24 Uge 45.1-16
Nyt eksempel [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - Opgave! Betragt matricen A = 11 6 12 6 1) Angiv egenværdierne for A. 2) Angiv egentlige egenvektorer for hver af disse egenværdier. 3) Diagonaliser A ved brug af en matrix B. Calculus 2-24 Uge 45.1-17
Nyt eksempel, egenværdier [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat Fra det karakteristiske polynomium 11 λ 6 12 6 λ = (11 λ)( 6 λ) ( 6) 12 = λ2 5λ+6 fås, at matricen A = 11 6 12 6 har de to rødder som egenværdier. λ 1 = 2, λ 2 = 3 Calculus 2-24 Uge 45.1-18
Nyt eksempel, egenrum [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat For λ 1 = 2 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 11 λ 1 6 12 6 λ 1 = 9 6 12 8 1 2 3 Calculus 2-24 Uge 45.1-19
Nyt eksempel, egenrum [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat For λ 1 = 2 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 11 λ 1 6 12 6 λ 1 = 9 6 12 8 1 2 3 Heraf fås egenvektorerne hvor x 2 vælges frit. x 1 x 2 = 2 x 3 2 x 2 = x 2 ( 2 3 1 ) Calculus 2-24 Uge 45.1-19
Nyt eksempel, egenrum [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat For λ 2 = 3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 11 λ 2 6 12 6 λ 2 = 8 6 12 9 1 3 4 Calculus 2-24 Uge 45.1-2
Nyt eksempel, egenrum [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat For λ 2 = 3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 11 λ 2 6 12 6 λ 2 = 8 6 12 9 1 3 4 Heraf fås egenvektorerne hvor x 2 vælges frit. x 1 x 2 = 3 x 4 2 x 2 = x 2 ( 3 4 1 ) Calculus 2-24 Uge 45.1-2
Nyt eksempel, diagonalisering [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat Dette giver for eksempel (valg af egenvektorer) A = 11 6, B = 12 6 1 3, Λ = 3 4 2 2 3 som opfylder matrixidentiteten AB = BΛ Calculus 2-24 Uge 45.1-21
Nyt eksempel, diagonalisering [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 1 - fortsat Dette giver for eksempel (valg af egenvektorer) A = 11 6, B = 12 6 1 3, Λ = 3 4 2 2 3 som opfylder matrixidentiteten AB = BΛ Da determinanten B = 1 2 er B invertibel og diagonaliserer A. Calculus 2-24 Uge 45.1-21
Nyt eksempel, potens [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 2 - fortsat 11 6 A =, B = 12 6 B 1 = opfylder matrixidentiteten 8 6, Λ = 3 2 A = BΛB 1 1 3 3 4 2 2 3 og giver potensen A k = BΛ k B 1 Calculus 2-24 Uge 45.1-22
Nyt eksempel, potens [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 2 - fortsat = ( 1 3 3 4 2 = ( ( 11 6 12 6 2 5 3 5 ) 5 1931 1266 2532 1656 ) ( 8 6 3 2 ) ) Calculus 2-24 Uge 45.1-23
Advarsel! [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 3 (Pas på) Betragt matricen A = 3 1 3 Matricen A kan ikke diagonaliseres. Calculus 2-24 Uge 45.1-24
Advarsel! [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 3 (Pas på) Betragt matricen A = 3 1 3 Matricen A kan ikke diagonaliseres. λ = 3 er eneste egenværdi. Egenrummet er nulrum for matricen 1 A 3I 3 = Calculus 2-24 Uge 45.1-24
Advarsel! [LA] 1 Diagonalisering Eksempel 3 - fortsat Egenrummet er E 3 = span(e 1 ) En matrix B, hvis søjler er egenvektorer B = b 1 b 2 har determinant og dermed ikke invertibel. Altså kan A ikke diagonaliseres. Calculus 2-24 Uge 45.1-25
Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 Det oplyses, at matricen A givet ved A = 1 3 3 3 5 3 3 3 1 har egenværdier λ 1 = 1 og λ 2 = 2, og at der ikke er andre egenværdier. 1. Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien 2. 2. Angiv en invertibel matrix B og en diagonal matrix Λ så at B 1 AB = Λ Calculus 2-24 Uge 45.1-26
Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - Løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: A 2I = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 giver det reducerede ligningssystem og dermed x 1 + x 2 + x 3 = x 1 = x 2 x 3 1 1 1 Calculus 2-24 Uge 45.1-27
Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - Løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: x 1 x 2 x 3 = hvor x 2,x 3 vælges frit. x 2 x 3 x 2 x 3 = x 2 1 1 + x 3 1 1 Calculus 2-24 Uge 45.1-28
Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - Løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: x 1 x 2 x 3 = hvor x 2,x 3 vælges frit. Egenrummet udtrykkes x 2 x 3 x 2 x 3 = x 2 1 E 2 = span( 1 1, 1 + x 3 1 1 ) 1 1 Calculus 2-24 Uge 45.1-28
Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - Løsning Egenvektorer hørende til egenværdien 1: A + I = hvor x 3 vælges frit. 3 3 1 1 3 6 3 1 1 3 3 x 1 x 2 x 3 = x 3 1 x 3 = x 3 1 1 x 3 Calculus 2-24 Uge 45.1-29
Opgave Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - Løsning 2. Angiv en invertibel matrix B og en diagonal matrix Λ så at B 1 AB = Λ Søjler af egenvektorer giver B = 1 1 1 1 1, Λ = 1 1 2 2 1 det(b) = 1 sikrer invertibilitet. Calculus 2-24 Uge 45.1-3
Opgave, gør prøve Matematik Alfa 1, August 22 Opgave 2 - Gør prøve! AB = B Λ 1 3 3 1 1 1 2 2 1 3 5 3 1 1 = 2 1 3 3 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 = 2 1 1 1 1 2 1 Så prøven stemmer! Calculus 2-24 Uge 45.1-31
Prikprodukt [S] 9.3 The dot product Definition b θ a Længden af en vektor a betegnes a. Prikproduktet, skalarproduktet af vektorer a, b er a b = a b cos(θ) Calculus 2-24 Uge 45.1-32
Prikprodukt [S] 9.3 The dot product Definition b θ a Længden af en vektor a betegnes a. Prikproduktet, skalarproduktet af vektorer a, b er a b = a b cos(θ) Udtrykt ved den vinkelrette projektion b a af b på a a b = a b a Calculus 2-24 Uge 45.1-32
Prikprodukt [S] 9.3 The dot product (b 1, b 2 ) I koordinater fås θ (a 1, a 2 ) Calculus 2-24 Uge 45.1-33
Prikprodukt [S] 9.3 The dot product (b 1, b 2 ) I koordinater fås θ (a 1, a 2 ) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 a = a a = a 2 1 + a 2 2 cos(θ) = a b a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 a 2 1 + a 2 2 b 2 1 + b 2 2 Calculus 2-24 Uge 45.1-33
Vinkel [S] 9.3 The dot product y a=(1,3) b=( 2,2) θ x Vinkel mellem vektorer Calculus 2-24 Uge 45.1-34
Prikprodukt [S] 9.3 The dot product Eksempel Vektorerne a = (1, 3) og b = ( 2, 2) har prikprodukt og længder og vinkel mellem sig a b = 1 ( 2) + 3 2 = 4 a = a a = 1 b = b b = 8 θ = cos 1 ( 4 1 8 ) 63.4 Calculus 2-24 Uge 45.1-35
Skalarprodukt [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition For vektorer a = (a 1,...,a n ),b = (b 1,...,b n ) i R n er skalarproduktet n a b = a i b i i=1 Calculus 2-24 Uge 45.1-36
Skalarprodukt [LA] 11 Skalarprodukt i R n Definition For vektorer a = (a 1,...,a n ),b = (b 1,...,b n ) i R n er skalarproduktet n a b = a i b i og lœngden, normen er i=1 a = a a Calculus 2-24 Uge 45.1-36
Enhedsvektor [LA] 11 Skalarprodukt i R n Bemærkning For en vektor a = (a 1,...,a n ) er længden a = a 2 1 + + a 2 n Calculus 2-24 Uge 45.1-37
Enhedsvektor [LA] 11 Skalarprodukt i R n Bemærkning For en vektor a = (a 1,...,a n ) er længden a = a 2 1 + + a 2 n En vektor med længde a = 1 kaldes en enhedsvektor Calculus 2-24 Uge 45.1-37
Skalarprodukt udregnet [S] 9.3 The dot product Eksempel Vektorerne a = (1, 3, 4, 1) og b = ( 2,, 2, 5) har prikprodukt og længder a b = 1 ( 2) + 3 + 4 2 + 1 5 = 11 a = a a = 27 b = b b = 33 Calculus 2-24 Uge 45.1-38
Enhedsvektor i given retning [S] 9.3 The dot product Eksempel Vektoren a = (1, 3, 4, 1) har længde a = a a = 27 Calculus 2-24 Uge 45.1-39
Enhedsvektor i given retning [S] 9.3 The dot product Eksempel Vektoren a = (1, 3, 4, 1) har længde Enhedsvektoren i a s retning er a = a a = 27 a a = ( 1, 27 3 27, 4 27, 1 27 ) Calculus 2-24 Uge 45.1-39
Skalarprodukt, regneregler [LA] 11 Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt (a,b) a b Calculus 2-24 Uge 45.1-4
Skalarprodukt, regneregler [LA] 11 Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt 1. a a = a 2 (a,b) a b Calculus 2-24 Uge 45.1-4
Skalarprodukt, regneregler [LA] 11 Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt (a,b) a b 1. a a = a 2 2. a b = b a Calculus 2-24 Uge 45.1-4
Skalarprodukt, regneregler [LA] 11 Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt (a,b) a b 1. a a = a 2 2. a b = b a 3. a (b + c) = a b + a c Calculus 2-24 Uge 45.1-4
Skalarprodukt, regneregler [LA] 11 Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt (a,b) a b 1. a a = a 2 2. a b = b a 3. a (b + c) = a b + a c 4. a (λb) = λ(a b) Calculus 2-24 Uge 45.1-4
Skalarprodukt, regneregler [LA] 11 Skalarprodukt i R n Regneregler for skalarprodukt (a,b) a b 1. a a = a 2 2. a b = b a 3. a (b + c) = a b + a c 4. a (λb) = λ(a b) 5. a a = a = Calculus 2-24 Uge 45.1-4