Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Indhold 1 Introduktion 1 1.1 Meget små og meget store tal.............. 2 1.2 Begrebet uendelig................... 3 2 Grænseværdier 3 2.1 Uendelig som grænseværdi............... 6 2.2 Grænseværdier for funktioner............. 8 2.3 Eksempler......................... 10 3 Kontinuitet 16 3.1 Kontinuitet og skæringer................. 19 3.2 Kontinuitet og ekstremer................ 22 4 Asymptoter 23 5 Den præcise definition 25

Resumé I dette afsnit går vi løs på grænseværdibegrebet. Til sidst indføres begrebet kontinuitet, og vi ser på hvad det betyder for grænseværdiproblemet. 1 Introduktion Grænseværdier? Puh... Det svarer nogenlunde til at skulle forklare hvordan man kører på cykel: Man kan enten gennemgå alle de teoretiske detaljer om impulsmomenter i hjulene, opbygningen af kuglelejer og kraftoverførsel mellem tandhjulene, eller man kan smide folk op på cyklen og håbe at det går godt af sig selv. Vi vælger en mellemting her, hvor grænseværdibegrebet bliver indført temmeligt intuitivt, men hvor vi alligevel snuser til nogle af de vigtige detaljer undervejs. Som med cyklen er det vigtigste at du kommer i gang med at bruge begrebet. Så skal den dybere forståelse nok komme hen ad vejen. Grænseværdibegrebet hører hjemme i funktionernes verden. Funktioner er den matematiske manifestation af det fænomen at en størrelse afhænger af en anden. Man bør forestille sig situationen, hvor man har total magt over den ene størrelse (den uafhængige størrelse), og kan indstille den til at være præcis hvad man vil, mens den anden størrelse (den afhængige) automatisk ændrer sig når den første gør det. Grænseværdibegrebet opstår præcis når man har en sådan situation og begynder at tale om hvordan små ændringer i den uafhængige størrelse giver ændringer i den afhængige. Mere præcist: Hvis man lidt ad gangen lader den uafhængige størrelse nærme sig en bestemt værdi, hvad sker der så med den afhængige størrelse? side 1

Forudsætninger Dokumentet kan forstås uden problemer hvis man har styr på funktionsbegrebet 1. For at forstå eksemplerne skal man desuden kende de basale funktionstyper 2. Indholdet leder direkte videre til et studie af de vigtige begreber differentiation og integration. 1.1 Meget små og meget store tal Vi starter med en lille omvej, nemlig med en type problemer der har drillet mennesker siden talbegrebet opstod. Tænk f.eks. over følgende spørgsmål: Hvad sker der med en positiv talstørrelse hvis man bliver ved med at dividere den med 2, uendeligt mange gange? 3 Svaret er ikke helt oplagt, fordi det viser sig at spørgsmålet slet ikke er præcist nok stillet. Nogle almindelige forsøg på at svare er følgende: 1. Det er fristende at sige at størrelsen må blive uendeligt lille. Men hvad betyder det? Og hvad sker der når man så dividerer en uendeligt lille størrelse med 2? Bliver den endnu mere uendeligt lille? 2. Hvis man er fysiker vil man måske påstå at det slet ikke kan lade sig gøre at blive ved med at dele noget for evigt, fordi alle fysiske størrelser er kvantificerede, dvs. at man til sidst vil nå et atom niveau hvor der ikke kan deles yderligere. Men her er ikke tale om en fysisk størrelse. De reelle tal er et abstrakt begreb som er defineret meget præcist, og det er en direkte konsekvens af definitionen at man kan blive ved med at dele et reelt tal med 2 lige så mange gange man har lyst til. Der findes ikke noget positivt reelt tal som er det mindste. 1 Læs om funktioner her 2 Læs om funktionstyper her. 3 Der findes tusindvis af varianter af dette problem. En meget berømt variant er Zenon s såkaldte paradoks om Achilleus og skildpadden. Det kan du læse om her. side 2

3. Et tredie bud kunne være at størrelsen ganske enkelt bliver til nul på et tidspunkt. Men det er helt forkert, fordi halvdelen af et positivt tal altid er positivt. Ganske vist vil en lommeregner på et tidspunkt nå til grænsen for hvor små tal den kan håndtere og derefter afrunde resultatet til nul. Men det er lommeregneren som laver en fejl, og ikke selve divisionen der giver nul. Det korrekte svar på spørgsmålet er at selve begrebet uendeligt skal bruges mere forsigtigt. Det er rigtigt at man kan blive ved med divisionerne så længe man har lyst, men man når aldrig til uendelig. Det eneste man kan gøre er at nærme sig uendelig. Og hvad der sker der så når man nærmer sig at have divideret uendeligt mange gange med 2? Jo, resultatet vil nærme sig nul uden nogensinde at blive lig med nul. Dette er ideen med grænseværdibegrebet: Vi skal studere fænomener hvor en størrelse nærmer sig eller går imod en teoretisk grænse, og hvor andre størrelser som konsekvens deraf nærmer sig nogle andre grænseværdier. 1.2 Begrebet uendelig I vores diskussioner undervejs vil vi bruge begrebet uendelig så ofte at det skal have sit eget symbol, nemlig: Bemærk dog: er ikke et tal! Man kan aldrig sætte en størrelse til at være lig med, og man kan ikke lægge sammen med 713. 2 Grænseværdier Nu kaster vi os over de fundamentale definitioner. De kommer i en light version her, fordi de rigtige definitioner er meget komplicerede. Læs eventuelt det sidste afsnit i dette dokument hvis du har mod på at se hvor komplicerede, men start her hvis det er første gang du læser side 3

om grænseværdier. Alene light udgaven kan være temmeligt svær at fordøje. Definition 1. Vi siger at en talstørrelse, x nærmer sig eller går imod et tal, a R hvis vi (teoretisk set 4 ) på skift lader x være lig hver af værdierne: x 1, x 2, x 3,... hvor disse værdier bliver tættere og tættere på at være lig med a i følgende forstand: Uanset hvilket åbent interval 5 man vælger omkring a, så vil værdierne ligge inden for dette interval fra et eller andet trin og fremefter. Tallet a kaldes i så fald en grænseværdi for x, og vi skriver at x går imod a på følgende måde: x a Bemærkninger Det er betydningen af tættere og tættere som er svær at fordøje. Hvis følgende bemærkninger giver mening, så har du forstået den rigtigt: Værdierne: (1,1),(1,11),(1,111),... nærmer sig ikke 6 517, selvom de kommer tættere på i hvert eneste skridt. Vælger man det åbne interval ]516; 518[ omkring 517, så vil værdierne aldrig komme til at ligge inden for dette interval. 6 Derimod nærmer disse tal sig det reelle tal 1,11, bedre kendt som 10 9. side 4

Værdierne behøver ikke at komme tættere på a i hvert eneste skridt. F.eks. kan værdierne: 1 2, 1 3,951, 1 4, 1 5, 1 6,... nærme sig nul, også selvom de i tredje skridt smutter helt ud forbi 951. Blot de følger den naturlige udvikling resten af tiden. Værdierne x 1, x 2,...kan umiddelbart godt blive lig med grænseværdien a flere gange undervejs. De må også gerne ligge skiftevist over og under a. F.eks. vil vi sige at tallene: nærmer sig 1. (1,1),1,(0,99),1,(0,999),1,(1,0001),... Nogle gange er vi ikke interesserede i at x ligger skiftevist over og under grænseværdien. Derfor har vi følgende udvidelser af den første definition: Definition 2. Vi siger at en talstørrelse, x nærmer sig eller går imod et tal, a R fra venstre (eller nogle gange: nedefra) hvis alle værdierne, x 1, x 2, x 3,... er mindre end a. At x går imod a fra venstre skrives på følgende måde: x a side 5

Definition 3. Vi siger at en talstørrelse, x nærmer sig eller går imod et tal, a R fra højre (eller nogle gange: ovenfra) hvis alle værdierne, x 1, x 2, x 3,... er større end a. At x går imod a fra højre skrives på følgende måde: x a + 2.1 Uendelig som grænseværdi Til sidst skal vi også have muligheden for at bruge som grænseværdi: Definition 4. Vi siger at en talstørrelse x går imod uendelig hvis vi (teoretisk set) på skift lader x være lig hver af værdierne: x 1, x 2, x 3,... hvor disse værdier bliver større og større i følgende forstand: Uanset hvilket tal 7 man vælger, så vil værdierne være større end dette tal fra et eller andet trin og fremefter. At x går imod uendelig skrives på følgende måde: x Definition 5. Tilsvarende siger vi at en talstørrelse x går imod minus uendelig hvis vi side 6

(teoretisk set) på skift lader x være lig hver af værdierne: x 1, x 2, x 3,... hvor disse værdier bliver mindre og mindre i følgende forstand: Uanset hvilket tal 8 man vælger, så vil værdierne være mindre end dette tal fra et eller andet trin og fremefter. At x går imod minus uendelig skrives på følgende måde: x Igen er formuleringerne større og større"og mindre og mindre grunden til at definitionerne er svære at fordøje. Læs forklaringen grundigt og test dig selv med følgende opgave: Øvelse 1. Hvilke af følgende værdier går imod enten uendelig eller minus uendelig. (Alle værdierne skal forestille at fortsætte på den logiske måde.) 1. 1,2,3,4,5,... 2. 1,(1,1),(1,11),(1,111),... 3. 1, 10, 100, 1000,... 4. 1,10,100,10,100,1000,100,1000,10000,... 5. 1, 1,10, 10,100, 100,... side 7

2.2 Grænseværdier for funktioner Nu kommer hele grunden til at tale om grænseværdier: Nemlig hvis er en funktion, så kan man spørge: f : R R Hvad sker der med funktionsværdierne når den variable nærmer sig en grænse? Svaret på dette spørgsmål kan være meget forskelligt, alt efter hvilken funktion der er tale om. Vi vil se på nogle forskellige muligheder i de følgende eksempler. Først definerer vi lige de ord som vi for brug for: Definition 6. Hvis f : R R er en funktion og a og b er reelle tal, så siger vi at 9 : funktionsværdierne f (x) går imod b når x går imod a hvis vi kan lade x gå imod a sådan at værdierne x 1, x 2, x 3,... ligger i definitionsmængden for f, og sådan at de tilsvarende funktionsværdier: f (x 1 ), f (x 2 ), f (x 3 ),... nærmer sig b uanset hvordan vi har valgt x 1, x 2, x 3,... Dette skriver man på følgende måde: f (x) b når x a (Bemærk rækkefølgen som man siger de to ting i.) side 8

Man omtaler også b som grænseværdien af f (x) for x gående imod a. Dette skrives som: b = lim x a f (x) side 9

Bemærkninger Definition 6 giver også mening hvis a eller b (eller begge to) udskiftes med plus eller minus uendelig. Dermed kan man tale om funktioners grænseværdier for x gående mod og. Det kan også forekomme at en funktion har eller som grænseværdi når x nærmer sig en grænse. Kravet: f (x 1 ), f (x 2 ), f (x 3 ),... nærmer sig b skal forstås lige som før: Uanset hvilket åbent interval man vælger omkring b, så vil værdierne af f (x 1 ), f (x 2 ), f (x 3 ),... ligge inden for dette interval fra et eller andet trin og fremefter. Man kan selvfølgelig aldrig nogensinde tjekke om f (x) b når x a ved at lade x gå imod a på alle tænkelige måder og for hver af disse tjekke at værdierne f (x 1 ), f (x 2 ), f (x 3 ),... nærmer sig b. I stedet vil man prøve på at give et generelt argument for at det forholder sig sådan. Det kan du se nogle eksempler på lige om lidt. 2.3 Eksempler Eksempel 1. Betragt funktionen f givet ved: f (x) = x2 + x 2 x 1 Denne funktion er tydeligvis ikke defineret i x = 1, fordi der ville komme til at stå nul i nævneren på brøken. Det giver derfor ikke mening at spørge om hvad f (1) giver. side 10

I stedet kan vi prøve at lade x nærme sig 1 som beskrevet i det foregående afsnit. Hvis man prøver at beregne f (x) for værdier af x som ligger meget tæt på 1 (prøv med x = 0,999 eller x = 1,00001, får man hurtigt en mistanke. Det viser sig nemlig at funktionsværdierne er meget tæt på 3. Tegner man grafen for f (se figur 1) bliver mistanken bekræftet. Faktisk kunne man fra starten have skrevet forskriften for f meget simplere, hvis man havde luret at: x 2 + x 2 = (x 1) (x + 2) Derfor er: (x 1) (x + 2) f (x) = = x + 2 x 1 og nu er det helt klart at grafen for f løber langs en ret linje, og at funktionsværdierne nærmer sig 1 + 2 = 3 når x nærmer sig 1. Vi kan altså skrive vores konklusion på følgende måde: f (x) 3 for x 1 Øvelse 2. Betragt funktionen f, givet ved: f (x) = sin(x) x Den er naturligvis ikke defineret i x = 0, men vi kunne spørge om der mon var en grænseværdi for f (x) når x nærmer sig nul. Undersøg funktionsværdier f (x) når x nærmer sig nul, og giv et bud på grænseværdien. Tegn derefter grafen for f og se efter om dit første bud virker fornuftigt. Dette er faktisk en vigtig grænseværdi, og det er en god ide at lære den udenad. side 11

5 4 y=f(x) 3 2 1 0 1 2 3-1 Figur 1: Grafen for funktionen f i eksempel 1 Eksempel 2. Betragt funktionen f defineret ved gaffelforskriften: { x 2, x > 0 f (x) = x + 2, x 0 Grafen for denne funktion er angivet på figur 2, og det fremgår at: f (0) = 2 og at Men også at: f (x) 2,når x 0 f (x) 0,når x 0 + side 12

5 4 3 2 y=f(x) 1-3 -2-1 0 1 2 3-1 -2 Figur 2: Grafen for funktionen f i eksempel 2 Eksempel 3. Reciprokfunktionen, f defineret ved: f (x) = 1 x har flere interessante grænseværdier. Når x nærmer sig uendelig, bliver f (x) meget tæt på nul (prøv f.eks. med x = 10 36 ). Det kan skrives som: f (x) 0,Når x Tilsvarende, når x nærmer sig minus uendelig, bliver f (x) også meget tæt på nul. (Denne gang er funktionsværdierne blot negative). Det kan skrives som: f (x) 0,Når x side 13

Derudover sker der noget interessant når x nærmer sig nul. Ved at se på grafen for reciprokfunktionen, kan man se at: Og at: f (x),når x 0 + f (x),når x 0 Øvelse 3. Kan du komme i tanker om en funktion f : R R som opfylder at og at f (x) f (x) ( π ),når x 2 ( π ),når x 2 + Eksempel 4. Den naturlige logaritmefunktion er kun defineret i positive tal. (Se grafen på figur 3.) Når x nærmer sig nul fra højre bliver funktionsværdierne meget hurtigt små. Vi kan skrive: ln(x),når x 0 + Når x bliver meget stor, så vokser logaritmefunktionen ekstremt langsomt. Når f.eks. x = 1000000000000, så er logaritmefunktionen kun nået op på: ln(1000000000000) 27,6 Den berømte russiske fysiker Lev Landau har engang udtalt noget i retning af: side 14

En kylling er ikke en fugl, og en logaritme går ikke imod uendelig Vistnok i frustration over hvor ufatteligt langsomt logaritmen vokser. Men selvom det går langsomt, så går den naturlige logaritme faktisk imod uendelig når x nærmer sig uendelig. (Ligesom en kylling rent faktisk er en fugl.) Hvis vi f.eks. skal argumentere for at ln(x) kan blive større end 1000, så skal vi blot sætte x til at være 10 x = e 1000 fordi vi så har: ln(x) = ln(e 1000 ) = 1000 5 4 3 2 y=ln(x) 1-1 5 10 15 20-2 -3 Figur 3: Grafen for den naturlige logaritmefunktion side 15

3 Kontinuitet Måske har du allerede indset at mange grænseværdispørgsmål kan besvares ved ganske enkelt at sætte grænsepunktet ind i funktionen. F.eks. er der ingen tvivl om at sin(x) 1, når x π 2 Men hvorfor egentlig? Vi definerer en egenskab som forklarer dette: Definition 7. Hvis f er en funktion, og x 0 er et element i definitionsmængden for f, så siger vi at f er kontinuert i x 0 hvis f (x) f (x 0 ), når x x 0 Hvis f er kontinuert i alle punkter i dens definitionsmængde, så siger man at f er en kontinuert funktion. Bemærkninger f er kontinuert i x 0 hvis funktionsværdien i x 0 og grænseværdien når x nærmer sig x 0 er det samme. Hvis man tænker på grafen for f betyder kontinuitet at grafen hænger sammen (deraf navnet) omkring x 0. For eksempel er funktionen i eksempel 2 ikke kontinuert, fordi den ikke er kontinuert i punktet x 0 = 0. Bemærk dog at den løse formulering at grafen hænger sammen eller at den kan tegnes uden at løfte blyanten slet ikke er præcis nok. Det vil de næste eksempler vise meget tydeligt. side 16

Eksempel 5. Funktionen f givet ved: f (x) = tan(x) er kontinuert. Ganske vist kan man ikke tegne dens graf uden at løfte blyanten (grafen laver nogle kæmpe spring hver gang vi passerer... π 2, π 2, 3π 2,... men da f ikke er defineret i disse punkter, kan man slet ikke tale om kontinuitet i dem. I alle punkter hvor f er defineret, hænger grafen pænt sammen. Eksempel 6. Funktionen f givet ved: f (x) = x med den underlige definitionsmængde: Dm(f ) = {x R x 1} har en graf som er vist på figur 4. Selv om grafen har et stort spring i midten, er f alligevel kontinuert. Det som sker i endepunkterne er blot at i disse punkter kan x kun nærme sig fra en af siderne. Men når den så gør det, har f en grænseværdi som er lig med funktionsværdien. Langt de fleste funktioner som vi skal arbejde med er heldigvis kontinuerte. Faktisk er det kun hvis vi laver fjollede gaffelforskrifter at vi kan lave funktioner som ikke er kontinuerte. Dette er dog en langt dybere sandhed end man umiddelbart skulle tro. Følgende sætning ville kræve en meget mere præcis definition af grænseværdibegrebet, og mindst et års intense studier af definitionerne på vores funktioner hvis vi skulle bevise den. Sætning 8. Følgende funktioner er kontinuerte: side 17

2 1-4 -3-2 -1 1 2 3 4-1 -2 Figur 4: En kontinuert funktion, hvis graf springer Alle konstante funktioner. Alle potensfunktioner af typen: f (x) = x a hvor a er en reel konstant. Alle eksponentialfunktioner af typen: f (x) = a x hvor a er en positiv, reel konstant. Alle logaritmer; f (x) = log a (x) hvor a er en positiv, reel konstant. De trigonometriske funktioner: cos, sin og tan og deres sektioner: cos 1, sin 1 og tan 1 side 18

Alle summer, differenser, produker, brøker og sammensætninger af ovenstående. Herunder, f.eks. alle polynomier. Selvom vi ikke beviser denne sætning, vil vi bruge den hele tiden, når vi skal udregne grænseværdier. Eksempel 7. Vi vil udregne grænseværdien af funktionen f givet ved: f (x) = x2 cos(π x) + e x x 3 x + 1 når x nærmer sig 1. Da denne funktion er kontinuert, kan vi udregne grænseværdien ved ganske enkelt at indsætte x = 1: lim f (x) = f (1) = 12 cos(π 1) + e 1 x 1 1 3 = (1 + e) 1 + 1 Kontinuitet er et meget dybsindigt begreb. I de næste to afsnit skal vi se på to konsekvenser af at en funktion er kontinuert. Begge disse sætninger er meget logiske når man tænker på at kontinuitet betyder at grafen hænger sammen. På en måde siger de begge bare at kontinuerte funktioner er til at stole på. Men faktisk er disse sætninger faktisk så dybe at vi ikke kan bevise dem uden at bevæge os langt ud over normalt gymnasiepensum 11. 3.1 Kontinuitet og skæringer Kontinuitet er vigtigt når vi taler om skæringer mellem funktioners grafer. Og dermed også hver gang vi snakker om at løse ligninger. 11 Begge sætninger hænger sammen med en meget dyb egenskab ved de reelle tal som hedder fuldstændighed. side 19

Sætning 9 (Skæringssætningen). Hvis f er en kontinuert funktion som er defineret på et lukket interval, [a;b] (den må gerne være defineret i andre punkter også), sådan at: og f (a) > 0 f (b) < 0 så findes der et sted, x [a;b] hvor f (x) = 0. Bemærkninger Grunden til at denne sætning hedder skæringssætningen bliver meget klar hvis man forestiller sig grafen for en funktion af den omtalte type. (Se figur 5). Sætningen siger ganske enkelt at hvis en kontinuert funktions graf på et tidspunkt ligger over x-aksen og på et senere tidspunkt ligger under x-aksen, så må den skære x-aksen et sted mellem disse to steder. En direkte konsekvens af skæringssætningen er at hvis f og g er to kontinuerte funktioner som er definerede på et lukket interval, sådan at og [a;b] f (a) > g (a) f (b) < g (b) så må de to funktioner på et tidspunkt have samme funktionsværdi. Eller sagt med andre ord: Deres grafer vil skære hinanden. For at side 20

a b Figur 5: Illustration af skæringssætningen bevise dette, kan man bare bruge skæringssætningen på funktionen h defineret ved: h(x) = f (x) g (x) Bemærk at dette kan bruges til at konkludere at der findes løsninger til ligninger. Hvis man har en ligningen af formen: f (x) = g (x) hvor f og g er kontinuerte funktioner, og man blot kan finde to punkter x 1 og x 2, hvor venstresiden henholdsvist større og mindre end højresiden, så ved man at der findes en løsning til ligningen et sted imellem x 1 og x 2. Øvelse 4. Giv et argument for at der findes mindst et reelt tal, x, hvor cos(x) = x side 21

(Lad være med at prøve at finde dette x ved at løse ligningen.) 3.2 Kontinuitet og ekstremer Den anden viser at kontinuerte funktioner er til at stole på når man leder efter ekstremer. Sætning 10 (Ekstremalværdisætningen). Hvis f er en kontinuert funktion som er defineret på et lukket interval, [a;b] så er værdimængden for f på dette interval: Vm(f ) = {f (x) x [a;b]} et lukket interval. Derfor antager f både en maksimumsværdi og en minimumsværdi på intervallet mellem a og b. Øvelse 5. Giv nogle eksempler på situationer hvor konklusionen i ekstremalsætningen er både rigtig og forkert: 1. Tegn nogle grafer for kontinuerte funktioner som er defineret på lukkede intervaller, og indse at de allesammen har mindst et globalt maksimumssted og mindst et globalt minimumssted på dette interval. 2. Prøv derefter at tegne grafer for nogle funktioner der ikke har nogen ekstremumssteder, og undersøg hvilken af forudsætningerne i ekstremalværdisætningen der ikke er opfyldt. side 22

4 Asymptoter En særlig form for grænseværdier forekommer, når en funktions graf har såkaldte asymptoter. En asymptote er løst sagt en ret linje som grafen lægger sig tæt opad. Mere præcist laver vi følgende definitioner: Definition 11 (Lodret asymptote). Hvis f : R R er en funktion og a er et reelt tal, så siges grafen for f at have den lodrette linje: som asymptote hvis: {(x; y) R 2 x = a} 1. a ligger uden for definitionsmængden Dm(f ). 2. Man kan lade x gå imod a, sådan at x 1, x 2, x 3... ligger i definitionsmængden Dm(f ). 3. f (x), når x a Bemærk den nummeriske værdi i det sidste krav. Det betyder at vi tillader funktionsværdierne at gå imod enten plus eller minus uendelig, og endda have hver sin grænse fra henholdsvis venstre og højre. Definition 12 (Vandret asymptote). Hvis f : R R er en funktion og a er et reelt tal, så siges grafen for f at have den vandrette linje: som asymptote hvis: {(x; y) R 2 y = a} eller f (x) a f (x) a, når x, når x side 23

eller eventuelt begge dele. Eksempel 8. Grafen for reciprokfunktionen, f, givet ved: f (x) = 1 x har y-aksen som en lodret asymptote, og den har x-aksen som vandret asymptote. Definition 13 (Skrå asymptote). Hvis f : R R er en funktion og a og b er reelle tal, så siges grafen for f at have den skrå linje: som asymptote hvis: eller eller eventuelt begge dele. {(x; y) R 2 y = ax + b} f (x) (ax + b) 0, når x f (x) (ax + b) 0, når x Eksempel 9. Grafen for funktionen f givet ved: f (x) = 2x + 1 + e x side 24

har en skrå asymptote i form af den skrå linje givet ved ligningen: Dette er fordi forskellen: y = 2x + 1 f (x) (2x + 1) = (2x + 1 + e x ) (2x + 1) = e x nærmer sig nul når x går imod uendelig. Der findes en særlig type af funktioner, hvor hvilke det er meget nemt at afgøre om deres grafer har asymptoter. Det er de såkaldte polynomiumsbrøker eller med et fint ord: rationelle funktioner 12. 5 Den præcise definition Dette afsnit er udelukkende taget med for at tilfredsstille de mest nysgerrige, og for at vise præcis hvor svært det er at definere grænseværdibegrebet på en måde som er præcis nok til at man kan arbejde med den. Som nævnt er de foregående formuleringer af grænseværdibegrebet ikke helt præcise nok hvis man skal bevise sætninger om grænseværdier. I virkeligheden definerer man ikke hvad det vil sige at en størrelse går mod en grænse, men kun det samlede begreb: Hvad det vil sige at en funktions værdier nærmer sig en grænse idet den variable nærmer sig en anden grænse. Her er definitionen i al sin rædsel: Definition 14. Hvis f : R R er en funktion og a R, så siger man at f (x) går imod en grænse b når x går imod a, eller skrevet i symboler: f (x) b når x a 12 Læs om asymtoter til grafer for polynomiumsbrøker her side 25

hvis: ɛ > 0 δ > 0 : x Dm(f ) : x a < δ f (x) b < ɛ Dette skal læses som: For ethvert positivt tal 13, ɛ, kan man vælge et andet positivt tal 14, δ, med den egenskab at alle elementer x i definitionsmængden opfylder at hvis de bare er tættere på a end δ, så er funktionsværdien f (x) tættere på b end det ɛ som vi startede med. Løst sagt siger det: Vi kan bringe funktionsværdierne lige så tæt på b som det skal være, alene ved at holde x tilpas tæt på a. Der findes tilsvarende definitioner når den ene eller begge grænserne sættes til at være uendelig. Eksempel 10. Lad os prøve at bevise følgende meget uskyldige påstand: x 2 1, når x 1 bare for at illustrere hvor svært det er at være fuldstændig præcis: Vi betragter funktionen f, givet ved: Vi skal vise at: f (x) = x 2 ɛ > 0 δ > 0 : x R : x 1 < δ f (x) 1 < ɛ Antag derfor at ɛ er et hvilket som helst reelt tal. Uanset hvad ɛ er, kan vi vælge δ til at være mindre end en trediedel af ɛ: δ < ɛ 3 13 Underforstået: Uanset hvor lille det måtte være. 14 Underforstået: Også meget lille, men afhængigt af hvad ɛ er. side 26

Vi kan samtidigt vælge δ til at være mindre end 1. Hvis vi gør dette, har vi for ethvert x R med x 1 < δ at: og x 1 < ɛ 3 x 1 < 1 Til brug lige om lidt bemærker vi at den sidste information betyder at x ligger mellem 0 og 2, hvilket betyder at x + 1 ligger mellem 1 og 3. Vi kan nu konkludere at så længe x 1 < δ, har vi: f (x) 1 = x 2 1 = (x 1) (x + 1) = x 1 x + 1 < ɛ 3 3 = ɛ Dermed er påstanden bevist. :) side 27