Matematik Camp Noter og Opgaver

Matematik Camp 2018 Noter og Opgaver Freja Elbro Simon Skjernaa Erfurth Jonas Rysgaard Jensen Benjamin Muntz Anders Jess Pedersen Eigil Fjeldgren Rischel Nikolaj Jensen Ulrik

Indhold Indhold i 1 Introduktion 1 1 Mængder............................ 1 2 Mængdeoperationer....................... 3 3 Påstande............................ 4 4 Beviser.............................. 7 5 Funktioner............................ 11 6 Øvelser............................. 14 2 Lineær Algebra 17 1 Matricer............................. 17 2 Lineære Ligningssystemer................... 30 3 Egenværdier og Egenvektorer................. 52 4 Opgaver............................. 64 5 Projekt 1: Determinanter................... 73 6 Projekt 2: Den Inverse Matrix................. 79 7 Projekt 3: Fibonaccis talrække................ 81 3 Kombinatorisk spilteori 83 1 Hvilke spil ser vi på?...................... 83 2 Udfaldsklasser.......................... 84 3 Notation af spil......................... 86 i

ii INDHOLD 4 De fire simpleste spil...................... 87 5 Spiltræer og udfaldsklasser................... 87 6 Addition af spil......................... 88 7 Nulspil.............................. 88 8 Negationen af et spil...................... 89 9 Lighed af spil.......................... 90 10 Heltallene............................ 92 11 Fortegn på spil......................... 93 12 Ordningen af spil........................ 93 13 Rationale tal.......................... 97 14 Spil der ikke er tal....................... 98 15 Regler for spillene........................ 100 16 Opgaver............................. 103 17 Projekt Nim........................... 110 18 Projekt Lav dit Eget Spil................... 119 19 Løsninger............................ 121 4 Kategoriteori 129 1 Introduktion.......................... 129 2 Kategorien af mængder.................... 133 3 Lineær algebra kategorien................... 148 4 Kategoriske produkter..................... 152 5 Dualisering........................... 157 5 Markovkæder 161 1 Indledning............................ 161 2 Grundlæggende sandsynlighedsregning............ 162 3 Markovkæder.......................... 173 4 Irreducibilitet og (a)periodicitet................ 180 5 Sidespring: Følger og rækker.................. 185 6 Rekurrens og transiens..................... 188

Kapitel 1 Introduktion I denne introduktion skal vi kigge på nogle helt centrale matematiske begreber: mængder, mængdeoperationer, påstande, beviser og funktioner. 1 Mængder Først, hvad er en mængde? Kort fortalt er en mængde simpelthen en samling af ting. Vi skriver mængder med tuborgparenteser, så for eksempel er {2, 4, 5}, {} og {1, 2, 3, 4...} alle eksempler på mængder. Den første er en meget simpel mængde med tre elementer: 2, 4 og 5. Den anden er hvad vi kalder den tomme mængde, altså mængden uden nogen elementer i. Den bliver brugt så ofte at den har fået sit eget tegn:. Den sidste er en uendeligt stor mængde, som indeholder alle de naturlige tal. Den bliver også brugt utroligt ofte, og fortjener derfor også et tegn. Den skriver vi som N. Af andre meget kendte mængder kan vi 1

2 KAPITEL 1. INTRODUKTION nævne Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = mængden af alle hele tal Q = mængden af alle brøker R = mængden af alle tal Da Z indeholder alle hele tal kales Z samlet for heltallene. Mængden af alle brøker Q kaldes også for de rationale tal. Mængden R kalder vi de reelle tal. Derfor vil en matematiker ofte kaldte det, du er vant til bare at kalde for et tal for et reelt tal. Mængden Q kan også skrives på en anden måde: { n } Q = n Z, m Z, m 0 m Her er to nye symboler. Hvad betyder de? " " betyder "ligger i" eller "er et element i" og " " betyder "hvor" eller "således at". Med det på plads, lad os så prøve at udtale mængden ovenfor: "Q er lig med mængden af alting på formen n divideret med m hvor n ligger i Z, m ligger i Z og m ikke er 0". Hvad betyder det at m ligger i Z? Det betyder at m er et af elementerne i Z eller med andre ord at m er et helt tal. Med den viden kan vi sige mængden ovenfor lidt nemmere: "Q er mængden af alting på formen n divideret med m hvor n og m er hele tal, men m ikke er nul". Det giver mening! Mængden af brøker, er netop alt det du kan få frem ved at dividere et helt tal med et andet helt tal. Opgave 1.1. Læs følgende mængder højt, og forklar med dine egne ord hvad de er: { n } {2n n N} og n N, m N m I forbindelse med arbejdet med mængder viser det sig ofte, ethvert element i en mængde A er indeholdt i en anden mængde B. Hvis dette er tilfældet, så siger vi, at A er en delmængde af B, i symboler skriver vi A B. Så for eksempel er {1, 2} {1, 2, 3, 4},

2. MÆNGDEOPERATIONER 3 {1, 2, 3, 4} og sandt, mens ikke er sandt. {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {1, 2} {2, 3, 4, 5} 2 Mængdeoperationer Nu har vi været igennem den vigtigste notation i forbindelse med angivelse af en mængde. Når man først har angivet en eller anden mængde, så vil man nogle gerne gerne gøre noget ved den mængde. Lad A og B være mængder. Da betyder A B foreningen af A og B, eller med andre ord "mængden af alle de elementer der findes i enten A eller B". Eksempel: {2, 4, 6} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 6} A B fællesmængden af A og B, eller med andre ord "mængden af alt det A og B har til fælles". Eksempel: {2, 4, 6} {1, 2, 3, 4} = {2, 4} B\A eller B A er differensmængden af B og A, dvs. alle de elementer i B som ikke også er i A. Eksempel {1, 2, 3, 4} \ {2, 4, 6} = {1, 3} P (A) potensmængden af A, eller med andre ord "mængden af alle delmængder af A". Eksempel<. P ({1, 2}) = {, {1}, {2}, {1, 2}}

4 KAPITEL 1. INTRODUKTION Hvis vi i en bestemt situation ved, at de mængder, vi arbejder med, alle er delmængder af den samme store mængde X, så kan vi også tale om komplementær mængder. Konkret så definerer vi, for en mængde A X, med notationen A C mængden af alle de elementer i X som ikke er indeholdt i A, dvs. A C = X \ A. Endelig er der et sidste begreb og et sidste stykke notation vi skal have på plads, nemlig interval og den tilhørende notation. Et interval angives med symboler [a, b] og dette betyder mængden af reelle tal, dvs. decimaltal, der ligger mellem a og b. Vi tegner ofte et interval som vist i figur 1.1. Mere præcist angiver man i forbindelse med intervaller altid, om endepunkterne er en del af mændgen eller ej. Så faktisk betyder [a, b] mængden af alle reelle tal mellem a og b inklusiv a og b. I symboler er [a, b] = {x R a x b}. Mens intervallet ]a, b[ eller (a, b) angiver mængden af alle reelle tal mellem a og b eksklusiv a og b. I symboler er (a, b) =]a, b[= {x R a < x < b}. a [a, b] b R Figur 1.1: Tegning af intervallet [a, b] R Nu har vi efterhånden mængdebegrebet på plads. Lad os gå videre til det næste emne: Påstande. 3 Påstande Først hvad er det overhovedet for noget?

3. PÅSTANDE 5 Definition 3.1. En påstand er en sætning som enten er sand eller falsk. Ikke begge dele. Eksempel 3.2. Eksempler på påstande er 1 + 1 = 2 Månen er lavet af grøn ost x > 2 x 2 > 4 Jeg står ude i regnen Jorden blev skabt på 7 dage 10 = 583 74 Eksempler på ting som ikke er påstande er Blå er den flotteste farve 7 Hvem er statsminister i Danmark? Bemærk at nogen påstande afhænger af en variabel - fx er x > 2 falsk for nogen x, men sand for andre. Eftersom det for ethvert givet x enten er sandt eller falsk, er det også en påstand. I matematik arbejder vi konstant med påstande. Specielt vil vi gerne sætte påstande sammen. Det mest udbredte at bruge til dette er. Definition 3.3. kaldes en implikationspil. Den bruges til at sætte to påstande P 1 og P 2 sammen. Betydningen af P 1 P 2 er hvis P 1 er sand, så er også P 2 sand.

6 KAPITEL 1. INTRODUKTION Hvis man har et udsagn P, så kan man også være interesseret i at formulere det modsatte udsagn af P. Lad os give et eksempel: Hvis P 1 er udsagnet Jeg er mellem 1.8 og 2 meter høj og P 2 er udsagnet 1 + 1 = 3, så kan vi også være i interesseret i de modsatte udsagn Jeg er ikke mellem 1.8 og 2 meter høj og 1 + 1 3. Vi bruger symbolet til at angive det modsatte udsagn. Det udtales non. Så P 1 betyder udsagnet 1 + 1 3 og P 2 betyder udsagnet Jeg er ikke mellem 1.8 og 2 meter høj. To udligner hinanden, så for ethvert udsagn P er P = P. Rigtig ofte vil man indenfor matematik have brug for at formulere et udsagn som For alle elementer x i mængden B er udsagnet P (x) sandt eller Der findes et element x i mængden B så P (x) er sandt hvor vi med P (x) mener et udsagn, der afhænger af x. Vi bruger faktisk denne type udsagn så ofte, at vi har fundet på en smart måde at skrive det på: Udsagnet For alle elementer x i mængden B er udsagnet P (x) sandt skriver vi som x B : P (x) og udsagnet Der findes et element x i mængden B så P (x) er sandt skriver vi som x B : P (x). Det er her vigtigt, at vide at Der findes et element altid skal forstås som Der findes minimum et element. Udsagnet x B : P (x) er altså sandt uanset om der findes bare 1 eller 132 eller uendelig mange x er, så udsagnet P (x) er sandt. Lad os inden vi går videre se på nogle konkrete eksempler: Udsagnet Alle naturlige tal er større end eller lig med 0 kan skrives som n N: n 0. Udsagnet Der findes et heltal som er strengt mindre end nul kan skrives som x Z: x < 0.

4. BEVISER 7 4 Beviser Vi vil rigtigt gerne frem til at bevise ting, da det er en af hovedbeskæftigelserne for en arbejdende matematiker. At bevise en påstand betyder at starte med en påstand man antager er sand, og bruge den til argumentere for at en anden påstand også er sandt. Den mest oplagte form for bevis er et direkte bevis. Lad os sige at vi antager at P 1 er sand, og vi vil gerne vise P 4. Hvis vi kan lave følgende logiske række Så er vi færdige. P 1 P 2 P 3 P 4 Eksempel 4.1. Jeg ved at jeg er hjemme hos min mormor og vil gerne vise at jeg er stopmæt. Jeg laver følgende logiske udledning Jeg er hjemme hos min mormor Jeg får serveret lækker mad Eller et mere matematisk eksempel. Jeg spiser meget mad Jeg bliver stopmæt Eksempel 4.2. Jeg vil gerne vise at {2, 3} P ([1, 2] [3, 4]), altså at {2, 3} ligger i potensmængden til [1, 2] [3, 4]. For at vise det starter jeg med noget jeg ved, og arbejder mig frem til det jeg gerne vil vise: 2 [1, 2] og 3 [3, 4] 2 og 3 er begge elementer i [1, 2] [3, 4] {2, 3} [1, 2] [3, 4] {2, 3} P ([1, 2] [3, 4]) En anden meget typisk bevismetode hedder modstridsbevis. Her starter man med at antage det MODSATTE af det man gerne vil vise. Hvis man så kan komme frem til noget falsk ved hjælp af en række af argumenter, konkluderer man at udgangspunktet må have været falsk. Men udgangspunktet var det modsatte af hvad man gerne ville bevise, så hvis det er falsk, må det man gerne vil vise være sandt.

8 KAPITEL 1. INTRODUKTION Eksempel 4.3. Jeg vil gerne bevise at jeg ikke er en Tyrannosaurus Rex. Antag derfor for modstrid at jeg er en Tyrannosaurus Rex. Vi laver følgende udledninger: Jeg er en Tyrannosaurus Rex. Jeg har mega korte uduelige arme. Det er ikke fysisk muligt for mig at skrive ting på et tastatur. Jeg skriver ikke på tastatur lige nu. Det sidste ved vi ikke er sandt! Hvordan var disse ord ellers være kommet ind i bogen? Dermed må der være noget galt med vores antagelse, og jeg er dermed ikke Tyrannosaurus Rex.

4. BEVISER 9 Eksempel 4.4. Jeg vil gerne bevise at 2 ikke kan skrives som en brøk, eller med andre ord 2 / Q. Antag derfor for modstid at 2 Q. n 2 Q 2 = for nogle hele tal n og m m 2 = p, en uforkortelig brøk (1.1) q ( ) 2 2 p 2 = q 2 = p2 q 2 2q 2 = p 2 (1.2) p 2 er lige p er lige (1.3) p = 2b for et helt tal b p 2 = 4b (1.2) 2q 2 = 4b q 2 = 2b q 2 er lige q er lige (1.4) (1.3),(1.4) p q 2 går op i både p og q er ikke uforkortelig (1.1) modstrid Det leder altså til en modstrid at antage at 2 ligger i Q, og dermed må der gælde 2 / Q. Sidst men ikke mindst, skal vi introducere biimplikationen,. Hvis vi har P 1 P 2

10 KAPITEL 1. INTRODUKTION betyder det egentlig bare at P 1 P 2 og at P 2 P 1. Ofte skriver man "P 1 hvis og kun hvis P 2 ", hvilket skal forstås som "P 1 gælder hvis P 2 gælder, og ikke i andre tilfælde". Man siger ofte at P 1 og P 2 er ækvivalente eller "lige sande". Eksempel 4.5. Her er nogle ækvivalente udtryk du er min forælder jeg er dit barn x Z og x > 0 x N p = 2n for et helt tal, n p er lige I beviser er mange af de implikationer vi skriver i virkeligheden biimplikationer. Grunden til at vi ofte kun skriver implikationen den ene vej, er at vi ikke er interesserede i hvorvidt implikationen gælder den anden vej. Opgave 4.1. Gå igennem et af de tidligere beviser og overvej hvilke implikationer, som i virkeligheden er biimplikationer. Vi bruger blandt andet biimplikationer til at vise at to mængder i virkeligheden er den samme: Hvis der gælder at x A x B, må der også gælde at A = B. Det virker måske mere kompliceret at vise x A x B end A = B, men følgende eksempel skulle gerne give en idé om hvorfor vi gør det. Eksempel 4.6. Hvis vi definerer A C til at være mængden af alt det der ikke ligger i A, så kan vi vise at (A B) C = A C B C. Først viser vi at x (A B) C x A C B C : x (A B) C x ligger ikke i A B x ligger hverken i A eller B x ligger i A C og x ligger i B C x A C B C

5. FUNKTIONER 11 hvilket afslutter beviset den ene vej. For at lave den anden vej, skal vi bare indse at alle implikationerne i virkeligheden er biimplikationer. Start nedefra og læs beviset igennem omvendt for at indse at vi i allerede er færdige. Her har vi brugt den mest almindelige måde at bevise en biimplikation - først beviser vi den ene implikation, og så den anden. 5 Funktioner Indenfor matematik benyttet vi os ofte af afbildninger og egenskaber ved disse. Det, vi kalder for afbildninger, svarer til det, du er vant til at kalde for funktioner. Faktisk bruger matematikere nogle gange ordene funktion og afbildning lidt i flæng, fordi de dækker over det samme. Men for mange betyder funktion dog nok en afbildning, der er defineret på reelle tal, mens ordet afbildning bliver brugt i alle andre tilfælde. Afbildning er altså det generelle udtryk, men hvad er en afbildning? Definition 5.1. En afbildning f er en sammenknytning af elementerne i to mængder A og B, således at hvert element a i A bliver knyttet til præcis ét element f(a) i B. I symboler udtrykker vi dette med f : A B, hvilket læses højt som: f er en afbildning fra A til B. Bemærkning 5.2. En afbildning f : A B skal give et b B til hvert a A. For eksempel er g : R R så g(x) = x for x R ikke en afbildning, fordi der ikke er en værdi i R for x < 0. Bemærkning 5.3. En afbildning f : A B skal give højst ét b B for hvert a A. For eksempel er g : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3} så 2 hvis x er et primtal g(x) = 3 hvis 3 deler x 1 ellers ikke en afbildning, fordi 3 både er et primtal og har 3 som divisor, så g(3) skulle både være 2 og 3!

12 KAPITEL 1. INTRODUKTION Det er derfor, du er blevet fortalt, at 1/x ikke er en funktion på R (fordi den ikke knytter nogen værdi til 0), og der over en x-værdi kun ligger ét punkt i grafen for en funktion. Man kan sagtens skrive symbolerne ned på et papir, men hvis en postuleret afbildning ikke opfylder kravene i forrige afsnit siger vi, at afbildningen ikke er veldefineret (det er matematik fagsprog, der betyder: Det du har beskrevet er ikke en afbildning ). Definition 5.4. Lad f : A B være en funktion. Mængden A kaldes definitionsmængden for f og mængden B kaldes for værdimængden for f. Definition 5.5. Lad f : A B. Hvis f(a) = b, så siger vi, at a bliver afbildet eller sendt over i b, og at b bliver ramt af a. Mængden af de b i B som bliver ramt af elementer fra A kaldes for billedet af f. I mængdenotation er dette f(a) = {f(a) B a A} = {b B Der er et a i A, så f(a) = b } = {b B a A: f(a) = b}. Definition 5.6. Hvis definitionsmængden og værdimængden fremgår af sammenhængen, og hvis man ikke har behov for at referere til afbildningen ved navn, kan man benytte notationen x f(x). Her angiver x et element i definitionsmængen og f(x) angiver det element i værdimængden, der rammes af x. Dette læses som: Afbildningen, der sender x over i f(x). Afbildninger kan have forskellige egenskaber. Definition 5.7. En afbildning f : A B kaldes injektiv eller én-til-én, hvis ethvert b f(a) bliver ramt af højst ét a A. Bemærk dette er forskelligt fra kravet til en afbildning, der lød at ethvert a i A bliver knyttet til præcis ét b i B. En afbildning må altså gerne sende forskellige a og a til samme b, f.eks. er x x 2 en afbildning. Man kalder også injektive afbildninger for én-til-én afbildning, fordi der er en én-til-én sammenhæng mellem elementerne i A og elementerne i f(a).

5. FUNKTIONER 13 Definition 5.8. En afbildning f : A B kaldes surjektiv eller på, hvis éthvert b i B bliver ramt af et element fra A. Bemærkning 5.9. Afbildningen f : A B er altså surjektiv, hvis billedet af f er lig B: f(a) = B. Definition 5.10. En afbildning er bijektiv hvis den både er surjektiv og injektiv. En bijektion fra A til B danner par mellem elementerne i de to mængder således, at ethvert element i B er parret med præcist ét element fra A (og hvert element i A er pr. definition af en afbildning også i præcis ét par). En bijektion mellem to mængder er altså en én-til-én korrespondence mellem mængderne. Sætning 5.11. En afbildning f : A B er bijektiv netop hvis der findes g : B A, så f(g(b)) = b for alle b i B og g(f(a) = a for alle a i A. Vi kalder g en dobbeltsidet invers til f. Vi benytter symbolet f 1 for g. Eksempel 5.12 (Bevise injektivitet). Lad f : A B. Hvis man vil vise, at f er injektiv, er standard fremgangsmåden følgende: Antag, at der findes a og a, så f(a) = f(a ). Hvis man ud fra antagelsen kan vise, at a = a, så er det blevet vist, at der ikke kan findes a a, så f(a) = f(a ) (dette ville jo føre til en modstrid). Lad os vise, at funktionen g : R R hvor g(x) = 3x 4 for alle x i R er injektiv. Antag der findes x og y, så g(x) = g(y). Da finder vi ved ligningsmanipulation g(x) = g(y) 3x 4 = 3y 4 3x = 3y x = y. Altså er g injektiv. Eksempel 5.13 (Bevise surjektivitet). Lad f : A B. Hvis man vil vise, at f er surjektiv, skal man vise at der for ethvert b B findes a A, så f(a) = b. For at vise dette tager man et vilkårligt b B og finder et a A, så f(a) = b.

14 KAPITEL 1. INTRODUKTION Lad os vise, at funktionen g : R R hvor g(x) = 3x 4 for alle x i R også er surjektiv. Tag y R. Lad x = 1 3 y + 4 3. Da er g(x) = g( 1 3 y + 4 3 ) = 3( 1 3 y + 4 3 ) 4 = y + 4 4 = y, så g er surjektiv. I virkeligheden skal man her starte med at løse ligningen y = 3x 4 mht. x for at finde den korrekte værdi, men surjektiviteten vises ved at indsætte det fundne x og vise at det rammer det givne y. 6 Øvelser Opgave 6.1. Besvar, med din sidekammerat, de følgende spørgsmål med jeres egne ord: 1. Hvad er en mængde? 2. Hvad er en påstand? 3. Hvad er et direkte bevis? 4. Hvad er et modstridsbevis? 5. Hvornår er en funktion injektiv, surjektiv og bijektiv? Opgave 6.2. Afgør om følgende påstande er sande eller falske a) 3 N b) π [2, 3] c) x > 2 x 2 > 4 d) R Q e) P (N) f) [2, 4] [3, 4] = [3, 4]

6. ØVELSER 15 Opgave 6.3. Afgør om følgende funktioner bijektive, surjektive eller injektive. 1. f : Z Z defineret ved f(x) = x. 2. f : Z Q defineret ved f(x) = x. 3. f : Z N defineret ved f(x) = x 4. f : R R defineret ved f(x) = 2 Opgave 6.4. Lad a, b R, da er intervallet (a, b) åbent, og intervallet [a, b] er lukket. Der findes to slags intervallet mere, hvordan ser disse ud? Opgave 6.5. Forklar hvorfor funktionen f : R R defineret ved f(x) = x 3 x er surjektiv, men ikke injektiv. Opgave 6.6. Forklar hvorfor funktionen f : Z Z givet ved f(x) = 2x er injektiv, men ikke surjektiv. Opgave 6.7. Giv et eksempel på en sand implikation fra din hverdag, hvis omvendte implikation er sand, og et hvor den omvendte implikation er falsk. Opgave 6.8. Skriv følgende mængder på elementform a) {x R 4x 2 4x 3 = 0} b) {x Z 4x 2 4x 3 = 0} Opgave 6.9. bevis, at a) {1, 2} {x R x 2 + 2x 3} b) {x Z 5x + 1 11} {x Z x 2} Opgave 6.10. Udregn [ 1 1, 1 + 1 ] [ 1 1 2, 1 + 1 ] [ 1 2 3, 1 + 1 ] 3

16 KAPITEL 1. INTRODUKTION og gæt på hvad du får hvis du fortsætter rækken [ 1 1, 1 + 1 ] [ 1 1 2, 1 + 1 ] [ 1 2 3, 1 + 1 3 Hint: Det hjælper at tegne en tegning. ] [ 1 4, 1 + 1 ]... 4 Opgave 6.11. Lad A og B være delmængder af X. Bevis at B\A = B A C Opgave 6.12. Lad A, B og C være delmængder af X Bevis at (A B) C = A C B C. Du kan lade dig inspirerer af beviset i 4.6.

Kapitel 2 Lineær Algebra I dette kapitel vil vi definere konceptet af en matrix, samt nogle regneregler vi kan knytte til disse. Først defineres matricer helt implicit, hvorefter vi vil komme med nogle eksempler på, hvad vi kan bruge dem til, og studere nogle af deres spændende egenskaber. For at opsummere hele kapitlet i en sætning, er en matrix en tabel af tal, som i sig selv også er et redskab der bruges vidt inden ( for naturvidenskab ) og 1 2 3 mange andre grene af matematikken. For eksempel er en matrix. 4 5 6 Lad os starte med at gøre det lidt mere præcist, hvad vi mener med ordet tal. 1 Matricer Tallegemer Under den faglige intro nævnte vi talmængderne N, Z, Q og R. Derudover kan vi nævne de komplekse tal C = {a + ib a R, b R}. Uden at gå i dybden med, hvad de komplekse tal er, vil vi lynhurtigt fortælle, at tallet i, er den (opfundede) imaginære enhed, som opfylder i 2 = 1. Man kan, som I sikkert ved, ikke tage kvadratroden af et negativt tal, fordi plus gange plus, samt minus gange minus, begge giver plus. Men hvis 17

18 KAPITEL 2. LINEÆR ALGEBRA man nu kunne, så skulle f.eks. 5 være lig med i 5, fordi (i 5) 2 = i 2 5 = 5. Bemærk, at vi naturligt har, at N Z. Endvidere har vi, at Z Q via identifikationen, Z z = z 1 Q. Ydermere har vi, at Q R C. Det vil sige, vi har følgende kæde: N Z Q R C. Der bør bemærkes to yderligere ting: De naturlige tal er ikke nogle vi kan konstruere. Vi vil simpelthen antage, at de findes. Leopold Kronecker udtalte faktisk: God made the integers, all else is the work of man. Den anden bemærkning er, at vi selvfølgelig kunne være mere præcise i vores definition af de reelle tal, men at definere dem helt præcis er et komplekst emne, som vi ikke ønsker at begive os ind i. Derfor er vores definition af de reelle tal blot alle kommatal. På alle disse mængder af tal har vi de sædvanlige regneoperationer + (plus) og (gange). Nogle gange har vi også følgende sædvanlige regneoperationer: (minus) og / (dividere). Definition 1.1 (Talmængde). En mængde af tal M kalder vi en talmængde, hvis vi har regneoperationerne + (plus) og (gange) på M. Det vil sige, hvis følgende er sandt: 1. m, n M gælder, at m + n M. 2. m, n M gælder, at m n M. Bemærk, at man med ord kunne sige, at en mængde af tal er en talmængde, hvis man kan gange og lægge sammen i mængden. Eksempel 1.2. Alle mængderne af tal N, Z, Q, R og C er talmængder. Eksempel 1.3. Mængden M = {1, 2, 3, 4} er ikke en talmængde, da for eksempel 2, 3 M, men 2 + 3 = 5 M.

1. MATRICER 19 Eksempel 1.4. Man kan altid lægge to naturlige tal sammen og få et nyt naturligt tal. Det vil sige, at for alle m, n N gælder det, at m + n N. Det er dog ikke sandt, at alle naturlige tal kan trækkes fra hinanden. For eksempel er 1 2 = 1, men 1 / N, fordi det er negativt. Hertil har vi heltallene, hvor der faktisk gælder følgende interessante ting: m, n Z er m + n Z, m Z er 0 + m = m, m Z, n Z : m + n = 0. I den sidste linje er n = m og således er operationen blot +-operationen med det negative element, det vil sige m n = m + ( n). Det vil sige, at der for alle m, n Z faktisk gælder, at m n Z. Ligesom man ikke kan trække tal fra hinanden i N kan man heller ikke dividere tal med hinanden i Z for eksempel er 2, 3 Z men 2 4 = 1 2 / Z. Til dette har vi netop de rationelle tal, Q. Eksempel 1.5. De rationelle tal, Q, opfylder blandt andre følgende interessante regneregler: p, q Q er p q Q, p Q er 1 p = p, p Q, p 0 q Q : p q = 1. I tredje linje er q = 1 p, og hvis vi skriver p = r s, vil det sige, at q = s r. Derfor har vi nu, at p q = r s s r = rs sr = 1. Vi kan med andre ord dividere med alle tal fra Q, bortset fra 0, og division er egentlig blot at gange med det reciprokke tal.

20 KAPITEL 2. LINEÆR ALGEBRA For at opsummere: minus- og divider-operationerne er basalt set blot henholdsvis plus- og gange-operationerne. Når vi skal til at snakke om matricer, er det vigtigt, at man i vores talmængder kan trække fra og dividere. Dette vil vi formulere i følgende definition: Definition 1.6 (Tallegeme). En talmængde M kaldes for et tallegeme, hvis der gælder følgende: 1. m, n M skal der gælde, at m n M. 2. m, n M, hvor n 0 skal der gælde, at m n M. Normalt vil vi betegne et tallegeme med symbolet F dette kommer fra det engelske ord for legeme, i matematisk forstand, field. Vi vil også ofte vælge at droppe ordet tal og blot kalde et tallegeme for et legeme. Med andre ord kunne man sige, at en talmængde er et tallegeme, hvis man kan dividere og trække fra inde i talmængden. Eksempel 1.7. Diskussionen ovenfor fortæller os, at: 1. Følgende to talmængder er også tallegemer: Q og R. 2. Følgende to talmængder er ikke tallegemer: N og Z. Bemærkning 1.8. Det bør bemærkes, at ovenstående definition af et legeme ikke er helt den, man vil finde i litteraturen, men at den er tilstrækkelig til dette forløb. Definitionen på matricer En matrix er, som vi også nævnte ovenfor, en slags tabel med tal. Tabellen skal være rektangulær, og vi skal angive dens størrelse ved at angive antallet af henholdsvis rækker og søjler. En matrix skal indeholde tal fra et legeme, som vi også angiver. En matrix med n-rækker og m-søjler over et legeme F betegnes med M n m (F).

1. MATRICER 21 Definition 1.9 (Matrix). Lad F være et legeme (dvs. for eksempel F = Q, F = R eller F = C). Lad m, n N være to naturlige tal. Mængden af m nmatricer over F skrives M m n (F) og består af elementer A M m n (F) af formen a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =......, a m1 a m2 a mn hvor tallene a ij F (for alle i = 1, 2,..., m og alle j = 1, 2,..., n) er elementer i legemet F. Vi kalder a ij erne for matricens indgange. Disse noteres også som (A) ij. Tallene efter a erne kaldes indekser og angiver, hvilken indgang der er tale om. Det første indeks indikerer hvilken række i matricen tallet ligger i, og andet indeks er søjlen. Nogle gange er det nødvendigt at gøre det ekstra tydeligt at adskille de to indekser. I dette tilfælde adskilles indekserne med et komma, altså a i,j i stedet for a ij. I dette materiale vil vi prøve at holde os til at skrive uden komma. Eksempel 1.10. Hvis m = n = 1 i Definition 1.9 er M 1 1 (F) essentielt legemet selv, F, fordi alle elementerne A M 1 1 (F) er af formen A = (a), hvor a F. Dette eksempel er derfor uinteressant. Eksempel 1.11. Et noget mere interessant eksempel er M 2 1 (F), som består af elementer A M 2 1 (F) af formen A = ( a 1 ) a 2, hvilket måske er kendt fra gymnasiet som søjlevektorer (eller blot vektorer). Dette er netop søjlevektorer, som de er kendt fra gymnasiet. Tilsvarende er M 1 2 (F) rækkevektorer af formen A = (a 1 a 2 ), som de er kendt fra gymnasiet. I gymnasiet har man nok ikke skelnet mellem række- og søjlevektorer, men det skal vise sig at der er interessante forskelle mellem disse. Nogle gange vil man skrive M 1 2 (F) = F 2 og M 2 1 (F) = F 2, fordi dette er kortere, og man typisk ikke er i tvivl om, hvilken type vektor, man arbejder med.

22 KAPITEL 2. LINEÆR ALGEBRA Sætning 1.12. En matrix A M m n (F) er entydigt bestemt ud fra sine indgange (A) ij, hvor i = 1, 2,..., m og j = 1, 2,..., n. Bevis. Dette følger direkte af Definition 1.9. At regne med matricer Definition 1.13 (Regneregler for matricer). Lad m, n, p N og F være et legeme. Vi definerer: 1. Matrixaddition: Lad A, B M m n (F) være matricer. Summen A + B er en matrix fra M m n (F) hvor der gælder at (A + B) ij = (A) ij + (B) ij, Altså adderes de individuelle indgange. 2. Skalarmultiplikation: Lad A M m n (F) og α F være et tal fra F. Skalarmultiplikationen 1 αa er en m n matrix, hvor (αa) ij = α(a) ij. 3. Matrixmultiplikation: Lad A M m p (F) og B M p n (F). Vi definerer matrixproduktet AB som en matrix AB M m n (F), hvor den (i, j) te indgang i AB er givet som (AB) ij = p (A) ik (B) kj k=1 = (A) i1 (B) 1j + (A) i2 (B) 2,j + + (A) ip (B) pj. Bemærkning 1.14. Matrixmultiplikation er ikke veldefineret for alle matricer. For at vi kan gange to matricer sammen skal deres indre dimension være den samme (antal søjler i den første matrix skal være lig antal rækker 1 Man kalder typisk tallene fra F for skalarer.

1. MATRICER 23 i den anden). Ser vi på definition er det også tydeligt de netop skal have samme indre dimension, idet hvis A M m p (F) og B M q n (F) og p q, så er den øvre grænse for sumoperatoren ikke entydig. Vi kan illustrere dette med følgende eksempel. Eksempel 1.15. Lad A M 2 3 (R) og B M 3 2 (R) være følgende matricer ( ) 1 0 1 2 3 A =, B = 1 1. 4 5 6 0 1 Vi beregner nu ( ) 0 1 2 3 AB = 1 1 1 4 5 6 0 1 ( ) 1 1 + 2 1 + 3 0 1 0 + 2 1 + 3 1 = 4 1 + 5 1 + 6 0 4 0 + 5 1 + 6 1 = ( ) 3 5. 9 11 Vi kan også beregne 1 0 ( ) BA = 1 1 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 + 0 4 1 2 + 0 5 1 3 + 0 6 1 2 3 = 1 1 + 1 4 1 2 + 1 5 1 3 + 1 6 = 5 7 9 0 1 + 1 4 0 2 + 1 5 0 3 + 1 6 4 5 6 Ovenfor ser vi ikke blot, at matrixprodukterne AB og BA giver forskellige matricer, men da deres ydre dimensioner er forskellige får vi også matricer af forskellige størrelser. Lader vi derimod ( ) 5 1 2 C =, D = 6 3 4 7

24 KAPITEL 2. LINEÆR ALGEBRA er det ikke muligt at definere deres matrixprodukter idet ( ) 1 2 CD = 5 6 3 4 7 ( ) 1 5 + 2 6 +? 7 = 3 5 + 4 6 +? 7 5 ( ) DC = 6 1 2 3 4 7 5 1 +? 3 5 2 +? 4 = 6 1 +? 3 6 2 +? 4 7 1 +? 3 7 2 +? 4 begge er udefinerede. Det giver derfor ikke mening at tage matrixproduktet, hvis de indre dimensioner ikke er ens. Eksempel 1.16. Vi så ovenfor, at et matrixprodukt ikke altid opfylder, at AB = BA, fordi størrelserne ikke passede. Hvad nu, hvis de to matricer var kvadratiske? Lad A, B M 2 2 (R) være matricerne A = Da er produkterne AB = ( ) 1 2, B = 0 1 ( ) 6 5, BA = 3 2 ( ) 0 1. 3 2 ( ) 0 1, 3 8 hvilket viser, at AB BA i dette tilfælde, selvom A og B er kvadratiske. Bemærkning 1.17. Lad A M m p (F) og B M p n (F) være matricer. Hvis vi dykker ind i 1.13 og vil gange A sammen med B, kan vi beskrive

1. MATRICER 25 dette på en smart måde. Opskriv matricen A på rækkeform og matricen B på søjleform, hvilket betyder, at vi skriver a 1 a 2 A =., B = b 1 b 2 b n, a m hvor a 1, a 2,..., a m er rækkevektorer og b 1, b 2,..., b n er søjlevektorer (deraf navnene række- og søjleform). Nu kan vi beregne produktet AB ved, at a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b n a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b n AB =....... a m b 1 a m b 2 a m b n Man skal lige huske, at produktet a i b j er et produkt af to vektorer (det vil sige en sum af produkter af vektorindgange), som i dette tilfælde giver en skalar (et tal fra tallegemet). I de næste tre sætninger vil vi opsummere nogen af de regneregler der gælder for matricer. Sætning 1.18. For A, B M n m (F) gælder der, at A + B = B + A. Der findes desuden en matrix 0 M n m (F), sådan at for alle A M n m (F). 0 + A = A + 0 = A, Bevis. At A + B = B + A for alle A, B M m n (F) følger direkte fra definitionen af + i Definition 1.13. Med inspiration i Definition 1.13 vælger

26 KAPITEL 2. LINEÆR ALGEBRA vi 0-matricen til blot at være den matrix, som har 0 er i alle sine indgange, dvs. 0 M n m (F) er defineret til, at 0 0 0 0 0 0 0 =...... 0 0 0 Nu ser vi nemt, at 0 + A = A + 0 = A, for alle A M n m (F). Sætning 1.19. Der eksisterer identitetsmatricer I m M m m (F) og I n M n n (F) sådan, at I m A = A = AI n, for alle A M m n (F). I m og I n er entydige for kendte m og n. { 1 hvis i = j Bevis. Definer I m M m m (F) således at (I m ) ij =. Det vil 0 hvis i j sige, der er 1-taller på diagonalen og 0 er alle andre steder, altså 1 0 0. I m = 0 1.......... 0. 0 0 1 Vi ser nu, at hvis A M m n (F), så er m (I m A) ij = (I m ) ik (A) kj = (A) ij, k=1 fordi (I m ) ik = 0, når k i og (I m ) ik = 1, når k = i. Dette viser, at I m A = A. Vi vil nu vise entydigheden af I m. For l = 1, 2,..., m, lad A l M m n (F) være matricen, hvor { 1 hvis i = l og j = 1 (A l ) ij = 0 ellers

1. MATRICER 27 Det vil sige, at A l har et 1-tal i række l i første søjle og 0 er alle andre steder; altså (A l ) l1 = 1 og (A l ) ij = 0 ellers. Antag, at J m opfylder, at J m A = A for alle A M m n (F). Dette skal da gælde specielt for A l erne. Vi får nu, at (A l ) i1 = (J m A l ) i1 = m (J m ) ik (A l ) k1 = (J m ) il k=1 Dette viser, at (J m ) il = (A l ) i1 = { 1 hvis i = l 0 ellers Det vil sige, at (J m ) ll = 1 og (J m ) il = { 0, når i l; så J m = I m. Tilsvarende 1 hvis i = j sætter vi I n M n n (F), så (I n ) ij = 0 hvis i j. Beviset for, at AI n = A og entydigheden af I m på præcis samme måde som ovenfor. Bemærkning 1.20. Hvis A M n n (F) er en kvadratisk matrix har A kun en identitetsmatrice, I n M n n (F) og I n A = A = AI n. I tildfældet hvor der ikke kan opstå tvivl noteres denne bare som I. Sætning 1.21. Lad A, Ã M m p (F), B, B M p n (F) samt C M n k (F) være fem matricer. Lad endvidere α F være en skalar. Da gælder følgende: 1. (αa)b = α(ab) = A(αB). 2. A(B + B) = AB + A B. 3. (A + Ã)B = AB + ÃB. 4. A(BC) = (AB)C. Bevis. De første tre punkter overlades til opgaverne. For at vise det sidste punkt bemærkes det først, at matricerne på højre og venstre side af

28 KAPITEL 2. LINEÆR ALGEBRA lighedstegnene begge er m k-matricer. Betragt nu den (i, j) te indgang i venstresiden, (A(BC)) ij = = = = ( p p n ) (A) is (BC) sj = is (B) sr (C) rj s=1(a) r=1 p n n p (A) is ((B) sr (C) rj ) = (A) is ((B) sr (C) rj ) s=1 s=1 r=1 n r=1 s=1 p ((A) is (B) sr )(C) rj = r=1 s=1 ( n p ) (A) is (B) sr (C) rj r=1 n (AB) ir (C) rj = ((AB)C) ij. r=1 Dette viser ligheden. s=1 Den inverse matrix Ser vi tilbage på definition af legemer, Definition 1.6, ser vi at vi for matricer kan finde ud af at lægge dem sammen, og vi kan finde ud af at gange dem sammen. Hvis vi tænker os om, kan vi også finde ud af at trække dem fra hinanden (vi kan gange med skalaren 1 og lægge dem sammen). Men kan man dividere med matricer? Hvad er ( ) 1 2 0 1 ( )? 4 1 3 1 Vi så tidligere, at afhængig af om man ganger en matrix for fra højre eller venstre giver det et forskelligt resultat. Så her er det bestemt ikke oplagt, hvordan man skal dividere matricer med hinanden. Vi så også, at hvis Q var et legeme, så kunne vi dividere med ethvert tal q 0. Vi bemærkede, at det at dividere faktisk er at gange med den reciprokke (eller inverse) til

1. MATRICER 29 q, dvs. 1 q. Nogle gange skriver man også q 1 for den inverse. Vi har, at q 1 opfylder, at q q 1 = 1. Det er denne egenskab, vi vil imitere ved matricerne. Når den inverse matrix skal defineres, er det også vigtigt at huske, at den skal være invers fra både højre og venstre side. Vi vil derfor kun definere den inverse til en matrix for kvadratiske matricer. Definition 1.22 (Invers). Lad A M n n (F). Vi siger, at A er invertibel, hvis der findes en matrix B M n n (F), som opfylder, at AB = I, BA = I. (2.1) I bekræftende fald kalder vi B for den inverse til A og skriver B = A 1. Eksempel 1.23. Lad A, B M 2 2 (R) være matricerne ( ) ( ) 1 2 4 1 A =, B =. (2.2) 0 1 3 1 Vi vil nu prøve at beregne A B. Hvis p, q Q og q 0, kan vi beregne p q ved at beregne p q 1, hvor q 1 netop er det tal fra Q som opfylder, at qq 1 = 1. Således går ovenstående altså ud på at beregne matrixproduktet AB 1, hvilket kun kan lade sig gøre, hvis B er invertibel. Hvordan man bestemmer den inverse matrix vil vi overlade som et projekt. Dog her kommer vi med en passende kandidat. ( ) B 1 1 1 = (2.3) 3 4 Vi ser at BB 1 = B 1 B = ( ) 1 0 = I, (2.4) 0 1 hvilket viser, at B 1 faktisk er den inverse til B. Herfra beregnes ( ) AB 1 5 7 =. (2.5) 3 4 Bemærk i øvrigt at ( ) B 1 1 1 A = AB 1. (2.6) 3 2

30 KAPITEL 2. LINEÆR ALGEBRA Vi ser fra Eksempel 1.23, at det er upræcist at skrive A B, fordi man da kan være i tvivl om, hvorvidt vi mener AB 1 eller B 1 A. Vi vil derfor altid skrive enten AB 1 eller B 1 A, når vi skal dividere med matricer. Man undlader faktisk også at kalde det for matrixdivision i stedet vil man kalde det for mutiplikation med den inverse matrix. Det næste spørgsmål er om den givne B 1 er den eneste matrice som opfylder at BB 1 = I? Hvis det ikke er tilfældet giver det ikke mening at kalde den B 1. Sætning 1.24. Lad A M n n (F) være en invertibel matrix. Hvis A 1, A 1 M n n (F) er to inverse matricer til A, så er A 1 = A 1. Bevis. Da A 1 og A 1 begge er inverse matricer til A har vi A 1 A = I = AB 1. Dette giver A 1 = A 1 I = A 1 (AA 1 ) = (A 1 A)A 1 = IA 1 = A 1 (2.7) Ergo er den inverse unik. Sætning 1.25. Antag, at A, B M n n (F) begge er invertible matricer. Da er AB invertibel og (AB) 1 = B 1 A 1. Bevis. Beviset er temmelig lige til: Lad A 1 og B 1 betegne de inverse til henholdsvis A og B. Da er (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 = AA 1 = I, (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I, (2.8) hvilket var det, der skulle vises. 2 Lineære Ligningssystemer Systemer af lineære ligningssystemer spiller en vigtig rolle inden for lineær algebra. Faktisk kan rigtig mange problemer reduceres til blot at skulle løse flere ligninger med flere ubekendte. Derpå kan vi bruge vores viden om lineære ligninger til at regne på matricer, men også modsat kan vi bruge

2. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31 operationer på matricer til at forstå, hvordan lineære ligninger opfører sig i relation til hinanden. Alle vores ligninger involverer skalar koefficienter (tal), som oftest antages at være reelle tal. Men i virkeligheden skal disse bare være elementer i et vilkårligt tallegeme F. Definition 2.1 (System af lineære ligninger). En lineær ligning med variablerne x 1, x 2,..., x n F er en ligning af formen a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, (2.9) hvor a 1, a 2,..., a n, b F er konstanter. a i kaldes koefficienten til x i. Et system af lineære ligninger er dermed et sæt af m ligninger med n ubekendte på formen l 1 : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, l 2 : a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2,. l n : a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (2.10) hvor alle a ij, b i F. Listen af ligninger (2.10) vil vi også kalde for et m n ligningssystem. Løsningsmængden L af et sådan ligningssystem er dermed alle ordnede par (x 1, x 2,..., x n ) F n der opfylder ligningerne L = (l 1, l 2,..., l n ). Med andre ord L = {(x 1, x 2,..., x n ) F n (x 1, x 2,..., x n ) løser ligningssystemet L} (2.11) For at forstå hvordan vi kan løse dette ved brug af lineær algebra, er det måske først en god ide at undersøge, hvilke metoder og tricks vi kan benytte os af, når vi gør det ved en mere intuitiv tilgang. Eksempel 2.2. Betragt følgende 2 2 ligningssystem: l 1 : x 1 + 2x 2 = 5 l 2 : 2x 1 + 3x 2 = 8 (2.12)

32 KAPITEL 2. LINEÆR ALGEBRA Da kan vi løse ligningen ved brug af to forskellige metoder. Den første metode er ved at isolere x 1 i l 1, som bliver til x 1 = 5 2x 2, og indsætte i l 2. 8 = 2(5 2x 2 ) + 3x 2 8 = 10 4x 2 + 3x 2 (2.13) 2 = x 2 Herefter kan x 2 = 2 indsættes i l 1 5 = x 1 + 2 2 (2.14) 1 = x 1. Den anden metode vil være at addere de to ligninger med hinanden på en sådan måde, at koefficienterne foran hhv. x 1 og x 2 bliver 0. Tager vi l 2 2 l 1 fås Tager vi 2 l 2 3 l 1 fås 2x 1 + 3x 2 2(x 1 + 2x 2 ) = 8 2 5 x 2 = 2 (2.15) x 2 = 2. 2(2x 1 + 3x 2 ) 3(x 1 + 2x 2 ) = 2 8 3 5 x 1 = 1. (2.16) Vi har dermed vist ved to forskellige metoder at løsningsmængden til dette 2 2 ligningssystem er L = {(1, 2)}. Eksempel 2.3. Betragt følgende 1 2 ligningssystem: Ved at flytte rundt ser vi at l 1 : x 1 + x 2 = 5 (2.17) x 1 = 5 x 2. (2.18)

2. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 33 Vi ser af Ligning (2.18), at vi frit kan vælge en værdi for x 2. Når vi har valgt en værdi for x 2, er x 1 fastlagt. Sæt for eksempel x 2 = 7. Da reduceres til at x 1 = 5 7 = 2. Dermed må ( 2, 7) være element i løsningsmængden. Fordi vi kan gøre dette for alle mulige værdier af x 2, kalder vi det for et frit variabel. Løsningsmængden bliver derfor L = {(5 x 2, x 2 ) x 2 F}. (2.19) Så løsningsmængder kan altså både være et punkt, eller en mængde af punkter givet af en ligning. Men hvad afgør hvorvidt at vi får et enkelt punkt eller en mængde? For at forklarer dette ser vi på afbildningen af ligningerne fra Eksempel 2.2 og 2.3. Betragt Figur 2.1 som illustrerer løsningsmængderne. Fra figuren kan vi se at der kun er et punkt som opfylder begge ligningerne fra Eksempel 2.2, netop (1, 2), mens at alle punkter på linien som opfylder ligningssytemet fra Eksempel 2.3 opfylder det der er jo kun en ligning. Generelt har et ligningssystem uendeligt mange løsninger hvis vi har flere ubekendte end vi har ligninger. Vi kan dog også have uendeligt mange løsninger selvom vi har lige så mange eller flere ligninger end vi har ubekendte. Eksempel 2.4. Betragt følgende 2 2 ligningssystem: l 1 : x 1 + 3x 2 = 5 l 2 : 2x 1 + 6x 2 = 10 (2.20) Tager vi l 2 2l 2 får vi l 2 : 2x 1 + 6x 2 2(x 1 + 3x 2 ) = 10 2 5 0x 1 + 0x 2 = 0, (2.21) hvorom ligningssystemet så bliver l 1 : x 1 + 3x 2 = 5 l 2 : 0x 1 + 0x 2 = 0 (2.22)

34 KAPITEL 2. LINEÆR ALGEBRA x 2 x 1 Figur 2.1: Ligningerne fra Eksempel 2.2 (rød) der viser én løsning ved skæringspunktet, og den ene ligning med to ubekendte fra Eksempel 2.3 (blå), hvor alle punkter på linjen er løsninger. Her er tegnet alle (x 1, x 2 ) [0, 6] [0, 6]. Ved at isolere x 1 er det oplagt, at denne har løsningsmængden L = {(5 3x 2, x 2 ) x 2 F}. Dette skyldes at vi startede med to ligninger hvor l 2 = 2 l 1, altså blot to forskellige måder at udtrykke den samme ligning. Så i sidste ende var dette ligningssystem ækvivalent med at vi kun havde en ligning med to ubekendte. Ud fra metoderne omkring hvordan vi kan løse ligningssystemer i Eksempel 2.2, er følgende pointer måske klare at forstå. Det er lige meget, hvilken rækkefølge vi navngiver eller skriver vores ligninger. l 1 kunne lige så godt hedde l 2, l eller Erik. Vi kan gange en ligning med en konstant, og den vil stadig være relevant (og kan ligefrem erstatte den originale ligning) i vores ligningssystem.

2. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 35 Vi kan addere og subtrahere ligninger i ligningssystemet med hinanden, og igen vil den resulterende ligning stadig være relevant. Med udgangspunkt i dette, kommer vi frem til følgende definition på en række operationer, som kan benyttes til at reducere ligningssystemet illustreret i Eksempel 2.2. Definition 2.5. En elementær operation på et lineært ligningssystem L n = (l 1,..., l n ) er en af følgende tre typer operationer: (E1) Byt rundt på l i og l j. (E2) Erstat l i med α l i, hvor α F \ {0}. (E3) For i j, erstat l i med l i + α l j, hvor α F. Ved at benytte de elementære operationer kan vi reducere et ligningssystem og derefter finde løsninger til det reducerede ligningssystem. Men hvordan kan vi være sikre på, når vi har fundet løsninger til det reducerede system, at de også er en løsning til det originale sæt af ligninger? Med andre ord: Hvordan ved vi, at løsningsmængden ikke ændres, når vi udfører elementære operationer på ligningssystemer? Proposition 2.6. Lad L n = (l 1,..., l n ) og L n = (l 1,..., l n) være ligningssystemer med løsningsmængderne L og L, hvor L n fås ved at udføre elementære operationer på L n. Da er L = L (2.23) Før vi kaster os ud i at bevise dette, vil vi første vise et hjælperesultat. Denne siger, at hvis vi har dannet os et ligningssystem L n ud af et andet ligningssystem L n, kan vi også gå den modsatte vej og bruge de samme operationer til at danne L n med udgangspunkt i L n. Lemma 2.7. Lad L n = (l 1,..., l n ) og L n = (l 1,..., l n) være ligningssystemer, hvor L n er dannet ved at udføre elementære operationer på L n. Da kan man ved at udføre elementære operationer på L n komme frem til ligningssystemet L n.

36 KAPITEL 2. LINEÆR ALGEBRA Bevis. Vi vil argumentere for, at alle de elementære operationer har en "invers". Altså, hvis du udfører operationen på et ligningssystem, kan du ligeledes udføre en operation for at komme tilbage igen. (E1): Hvis du bytter rundt på den i te og j te række, bytter du bare tilbage igen. (E2): Hvis du ersatter l i med α l i, så kan vi skrive l i = α l i. Da α 0, må du gerne dividere med α. og vi er tilbage til udgangspunktet. (E3): Hvis l i = l i + α l j, så er 1 α l i = 1 α α l i = l i, (2.24) l i α l j = l i + α l j α l j = l i, (2.25) og vi er igen tilbage til udgangspunktet. Nu er vi klar til at bevise Proposition 2.6. Bevis (for Proposition 2.6). For at vise at de to løsningsmængder fra Ligning (2.23) er ens, vil vi vise at L L og L L. Med andre ord viser vi følgende to ting: 1. Hvis (c 1,..., c n ) er en løsning til ligningssystemet L n, er det også en løsning til ligningssystemet L n. 2. Hvis (c 1,..., c n) er en løsning til ligningssystemet L n, er det også en løsning til ligningssystemet L n. Lad os først vise punkt 1. Dette gør vi en operation ad gangen. (E1): Hvis du bytter rundt på ligning l i og l j, vil (c 1,..., c n ) oplagt stadig være en løsning, da vi ikke har ændret nogle af ligningerne.

= b i + α b j (2.27) 2. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 37 (E2): Antag l i = α l i, for et α 0. Vi skal tjekke at (c 1,..., c n ) også løser ligningssystemet L n. Da vi kun har ændret l i, vil (c 1,..., c n ) stadig være en løsning for alle ligningerne l j, i j. Dermed mangler vi blot at vise, at (c 1,..., c n ) løser l i. Højresiden af lighedstegnet må give α b i. Vi beregner venstresiden α a i1 c 1 + α a i2 c 2 + + α a in c n = α (a i1 c 1 + a i2 c 2 + + a in c n ) = α b i (2.26) hvor sidste lighed kommer af at (c 1,..., c n ) løser l i. (E3): Antag, at l i = l i+α l j. Som før er det nok at tjekke, at (c 1,..., c n ) løser ligning l i. Højresiden af denne ligning bliver b i + α b j. Venstresiden er givet ved (a i1 + α a j1 )c 1 + (a i2 + α a j2 )c 2 + + (a in + α a jn )c n = a i1 c 1 + α a j1 c 1 + a i2 c 2 + α a j2 c 2 + + a in c n + α a jn c n = (a i1 c 1 + a i2 c 2 + + a in c n ) + (αa j1 c 1 + αa j2 c 2 + + αa jn c n ) = b i + α (a j1 c 1 + a j2 c 2 + + a jn c n ) hvor det næstsidste lighedstegn følger af at (c 1,..., c n ) løser l i, og det sidste af at (c 1,..., c n ) løser l j. Dermed vil enhver løsning til L n også være en løsning til L n. Vi mangler nu blot at vise punkt 2. Da L n er dannet ud fra elementære operationer på L n, kan man ifølge Lemma 2.6 også danne L n ud fra operationer på L n. Dermed giver første del af beviset, at enhver løsning for L n også vil være løsning til L n, hvilket skulle vises. Ligningssystemer og matricer Nu er vi kommet til det punkt, hvor vi gerne vil bruge vores viden om matricer til at opskrive vores ligningssystemer. Lad A M m n (F), x

38 KAPITEL 2. LINEÆR ALGEBRA M n 1 (F) og b M m 1 (F), hvor a 1,1 a 1,2 a 1,n x 1 b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n A =......, x = x 2., b = b 2. (2.28) a m,1 a m,2 a m,n x n b m Betragt da følgende matrix produkt a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2....... = b 2. a m1 a m2 a mn x n b m a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n. = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m (2.29) (2.30) Her er alle indgange i den resulterende matrix præcis ligesom lineære ligninger, hvor der gælder at a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = b i (2.31) for alle 1 i m. Dette er altså egentlig bare et ligninssystem som i Definition 2.10, men med en anderledes notation. Definition 2.8 (Totalmatricer). Givet et ligningssystem af formen l 1 : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, l 2 : a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2,. l n : a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (2.32)

2. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 39 kan vi omskrive det til Ax = b, for passende matricer A, x, b; a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2....... = b 2. a m1 a m2 a mn x n b m (2.33) Og vi kan nu opstille totalmatricen for dette system ved at undlade x, og sætte A og b sammen til en matrix: a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2..... (2.34).. a m1 a m2 a mn b m Denne indeholder oplagt alt information fra systemet. Vi kan også foretage alle elementæroperationerne fra definition 2.5 på vores totalmatrix, præcis som man oplagt vil forvente, se Eksempel 2.10. Bemærkning 2.9 (Notation for elementæroperationer). Vi skriver R i for at hentyde til den i te række. Derved kan vi eksempelvis skrive vores række operationer som R 2 R 2 + 5 R 1 for at sige "Række to bliver til række to plus fem gange række et", eller R 1 R 2 for når vi bytter rundt på række 1 og 2.

40 KAPITEL 2. LINEÆR ALGEBRA Eksempel 2.10. Betragt ligninssystemet 2x + 6y = 10 3x 9y = 12 (2.35) Som har følgende totalmatrix ( 2 6 ) 10 3 9 9 (2.36) Vi kan løse det ved at bruge elementæroperationer på følgende måde R 1 1 ( ) 1 3 5 2 R 1 (2.37) 3 9 9 ( ) 1 3 5 R 2 R 2 3R 1 (2.38) 0 18 6 R 2 1 ( ) 1 3 5 18 R 2 1 (2.39) 0 1 3 ( ) 1 0 4 R 1 R 1 3R 2 1 (2.40) 0 1 3 Transformere vi det nu tilbage til ligninsform ser vi at der står x =4 y = 1 3 (2.41) Og vi har altså nemt og overskueligt løst systemet! Vi vil i næste afsnit gå mere i dybden med at løse systemer når vi har lavet dem om til denne form. Gauss-Jordan elimination I dette afsnit vil vi introducere en algoritme for hvordan at man nemt kan løse ligningssystemer ved hjælp af totalmatricen og elementæroperationerne. Til at starte med vil vi definere det vi ønsker at opnå, med vores algoritme.

2. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 41 Definition 2.11. En matrix A siges at være på rækkeechelonform (REF), såfremt 1. En række, som kun indeholder 0 er ligger under enhver række med en ikke-0-indgang. 2. Den første ikke-0-indgang i en række er 1 og ligger i en søjle til højre for den første ikke-0-indgang i enhver af rækkerne ovenfor. En indgangene med 1-tallet fra punkt 2. kaldes en pivot, og en matrix siges at være på reduceret rækkeechelonform (RREF), såfremt den er på (REF) og der over enhver pivot kun står 0 er. Bemærkning 2.12. I en matrix på RREF er de søjler der ikke kun indeholder nuller, eller nuller og en pivot, de frie variabler. Definitionen på rækkeechelonform og reduceret rækkeechelonform kan godt virke forvirrende, men vi illustrer her med et eksempel på hver: Eksempel 2.13. Matricen 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 4 8 16 0 0 0 0 0 1 0 (2.42) 0 0 0 0 0 0 0 er på REF men ikke på RREF. Matricen 0 1 0 2 0 7 0 0 0 1 2 0 8 0 0 0 0 0 1 2 0 (2.43) 0 0 0 0 0 0 1 er på REF og RREF. Desuden er den sidste matrix i Eksempel 2.10 på RREF. Den illustrerede også hvorfor at RREF gør det trivielt at finde løsningen på et system, man skal bare isolere den første konstant. Vi vil nu angive algoritmen for Gauss- Jordan elimination, og bagefter vise hvordan vi bruger den i praksis.