Projet 0.7. Viles tredelig og ostruerbare tal Det er let at tredele et lijestye. Eller for de sags syld dele det op i lige store dele, hvor : Afsæt e vilårlig viel, hvor lije l = AB ligger ud af det ee be. Afsæt lige lage styer ed af det adet be, så vi her får putere P, P, P,..., P. Forbid u det sidste P med B og teg geem P, P, P,..., P lijer parallelle med. Dette a gøres med brug af passer og lieal ved at afsætte vile ved i de adre puter. Deres PB særigsputer med lije l alder vi for Q, Q, Q,..., Q, og disse puter deler AB i lige store dele: P A Q Q Q Q B = Q A Q Q B = Q 4 5 P P P P P 4 P 5 Tilflædet = 5 Tilfældet = P P Når dette er tilfældet, er det jo ie e fjer tae at rejse problemet om tredelig af e viel. Me det ue mærværdigvis ie løses så let ja det viste sig at være uløseligt. Me med flere hjælpemidler gi det fit. Archimedes tredelig af vile Archimedes lavede de o eleste ostrutio, hvor ha brugte e»idsydigslieal«, dvs. e lieal med måleeheder. Ha gjorde som følger: I ehedscirle afsættes de viel, vi vil tredele, i. vadrat A (se figure). Vi alder vile v, og v øser altså at fide e viel af størrelse v. v B Vi tager u lieale, lægger v de, v så de rører putet A, således v at vi får afsat et stye BC, der har E O F C lægde. Det a vi gøre ved at prøve os frem. Når BC er afsat, er treatere OAB og OBC begge ligebeede, og ved at se på vielsumme fider vi vilere som vist på tegige og specielt: C= v, altså etop e tredjedel af de, vi begydte med. Øvelse Geemfør beviset for at C= v. I deres jagt på e løsig fadt de græse matematiere frem til e ræe ye, omplicerede urver, som Kvadratrice, Kooide, Arimedes spiral og adre, som ma i dag studerer uder vetorfutioer. Me ige af dem ue ostrueres med passer og lieal. Geem århudredere fortsattes forsøgee, og mage troede, de havde fudet e løsig, som de så sedte til matematiere og videsabelige aademier i håb om berømmelse og beløig. Det gi så vidt, at det frase Videsaberes Aademi i 775 udsedte e erlærig om, at det fremover hvere ville bedømme vieltredeliger, cirelvadraturer eller evighedsmasier. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
I deres begrudelse srev de, at der gi rygter om, at regeriger havde udlovet store dusører til dem, som løste problemere, og at det var blevet til e sad galsab hos mage, som opgav deres arbejde og blev gase forstyrrede i hovedere og i øvrigt ie ville tage imod foruft og acceptere, at de løsiger, de om med, var fejlagtige. Me det stoppede ie de glade amatører, og mage lavede utroligt omplicerede ostrutioer, som var tæt ved, me aldrig esat løste opgave. Således bragtes i åree omrig 90 i et af de store tyse matematitidssrifter ogle artiler på grudlag af e srædders ihærdige arbejde med passer og lieal. De første hed:»die Wieldreiteilug des Scheidermeister Kopf«og de æste:»eie eue Wieldreiteilug des Scheidermeister Kopf«. Mere frugtbar var udvilige bladt de arabise matematiere omrig år 000. De fadt frem til, at vieltredelige ue»oversættes«til et spørgsmål, om e bestemt tredjegradsligig havde e løsig. Dette blev seere fulgt op af Descartes (596 650), der i si præsetatio af oordiatsystemet behadlede urver af tredje, fjerde og højere grad, for at vise de ye aalytise geometris overlegehed. Descartes argumet var ogelude som følger: Lad os ige alde de viel, vi vil tredele, for v, og begyde med at afsætte e viel på 6v i e ehedscirel med cetrum i O. De to puter A og D forbides, og vi atager u, at vi ue tredele vile på 6v for at aalysere problemet øjere. Tredelig af 6v ville give viler på v og putere B og C. A B l G E C v O v v F D Treatere OAB, OBC og OCD er alle ligebeede og har alle topvile v, dvs. vilere ved grudlije er 90 v, f.es. A = B = 90 v Treat OAD er også ligebeet, med topviel 6v og viler ved grudlije: OAD = ODA = 90 v Derfor ser vi, at i treat ABE er EAB lig med v, og da EBA = 90 v, må også BEA være 90 v, så treate er ligebeet og ligedaet med treat OAB. Altså: AB AO BE = eller AB BE AB = = AB, AO da AO =. Vores mål er at ue ostruere si(v) ud fra edsab til si(v), for så a vi også på ehedscirle ostruere v ud fra v. AB = si v : Vi vil å frem til dette ved at udytte, at treat OAB er ligebeet, så 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
A si v si v B v v amt udytte, at treat OAD er ligebeet, så AD si( v) O = : A si v si v D v v O Nu magler vi blot at få AD udtryt ved AB. Derfor træer vi e lije l parallel med OC, og som særer AD i G. Nu er BC = GF, og vi ved, at DF = DC = AB. Heraf ser vi, at AD = AE + DF + GF GE AD = AB GE. Se u på treat BGE. De er ostrueret, så G = F = 90 v. er også lig med 90 v. Me så er treat BGE ligebeet og ligedaet med treat ABE, dvs. E GE BE BE = GE = BE AB AB Idsæt u BE = AB : GE ( AB ) = = AB, dvs. AB AD = AB GE ( v) ( v) ( v) ( v) ( v) ( v) ( v) = ( v) ( v) AD = AB AB si = si si si = 6 si 8si si si 4 si 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
Hermed er tredelige oversat til løsig af e tredjegradsligig: Givet tallet si(v). Fid det x, der opfylder: 4x + x = si v Dette x er så si(v), og a på ehedscirle give os v. EKSEMPEL Tredelig af e viel på 0. Vi ved, at 4x + x= eller 8x 6x+ = 0 si 0 =. Altså fides si(0 ) ud af ligige: Det medførte ie, at ma u ue løse problemet med passer og lieal. Me oversættelse fra et geometris til et algebrais problem sulle vise sig at være et afgørede redsab til at bevise umulighede af at løse opgave. Kostruerbare puter - ostruerbare tal I geometris algebra (se fx projetet 0. i C-boge) viser ma, at ma a ostruere alle brøer, dvs hele e masse forsellige rod-udtry. Me præcis hvile? Det sal vi u få styr på. Først:, samt Forudsætiger Vi har givet et oordiatsystem med putere Tilladte ostrutioer med passer og lieal P 0,0 og P,0.. Givet to puter, må vi tege lije geem dem.. Givet et put og e afstad (mellem to puter), må vi tege e cirel med putet som cetrum og afstade som radius.. Ved hjælp af put og får vi ostrueret ye puter ud fra give puter, emlig: a. særigsputer mellem lijer, b. særigsputer mellem cirler, c. særigsputer mellem e cirel og e lije. DEFINITION Mægde af alle de puter i plae, der fremommer ved at gå ud fra P og P og avede de tilladte ostrutioer et edeligt atal gage, alder vi for mægde af ostruerbare puter. Mægde af ostruerbare puter a vi forestille os fremomme ved sridt for sridt at øre put - igeem, ud fra de puter, vi i det foregåede sridt har saffet os: Forudsætiger P ( 0,0 ) og (,0 ) P. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
. sridt Vi har avedt put til at tege de vadrette lije og put til at tege de to cirler. Det giver os 4 ye puter som særigsputer mellem cirlere og lije og mellem cirlere idbyrdes. P P 5 P P P4 P 6. sridt Nu har vi ses puter og e ye afstade mellem forsellige af putere, der a avedes som radier i ye cirler. Og det giver e masse ye særigsputer: P 5 P P P P4 P 6 Vi stoppede midt i tegeriet, da det viste sig, at geometrie allerede her i. tri blev uoversuelig. Me sridt for sridt får vi fat i alle ostruerbare puter. Et put repræseteres af oordiater (x,y). x og y fides ved at edfælde e lije vielret på heholdsvis første- og adease. Har vi et y på adease, a vi få det samme tal på førstease ved at bruge passere: 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
y y DEFINITION Koordiatere til de ostruerbare puter aldes ostruerbare tal. Mægde af alle ostruerbare tal beteges K. Af vores udersøgelse i afsittet om Elemetære ostrutioer a vi u drage følgede slutiger: SÆTNING.. Alle tal, der fremommer ved at ombiere ratioale tal ved hjælp af +,,, / og, er med i K. K Tallegemer Vi vil u å frem til e mere oversuelig besrivelse af K. Oveståede tegig sulle være e rimelig begrudelse herfor. Sætige ovefor atyder det, vi vil å frem til emlig at besrive K som fremommet ved at udvide, først med almidelige vadratrødder, så med vadratrødder af vadratrødder osv. osv. For at holde styr på dette idføres først e defiitio af talmægder med særligt pæe egesaber: DEFINITION 4 E talmægde L aldes et Legeme, hvis der gælder følgede: a, b L a + b L a L a L a, b L a b L a, b L, b 0 L a L b Kort og godt: Et legeme er e mægde L, hvori vi a udføre de 4 regigsarter og stadig blive ide for L. SÆTNING 5. er et legeme.. er det midste legeme, dvs. ethvert tallegeme L må ideholde. BEVIS Vis selv put. Bevis for put Da L, får vi, at = + L, tilsvarede L, 4 L osv. Altså alle aturlige tal er med: 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
L L L Edvidere: L L, og derfor videre:, osv., så alle egative hele tal er med i L., L + L, dvs. 0 L. Hermed har vi, at alle hele tal er med: L Divisiosregle giver u edelig, at for alle hele tal p og q, hvor Forhold mellem hele tal giver etop brøere, så: L q 0 p, gælder: p, q L L. q ØVELSE Hvile af følgede talmægder er legemer:,,,, mægde af irratioale tal I? + SÆTNING 6 K er et legeme. BEVIS Følger umiddelbart af ostrutioere i geometris algebra, hvor vi viser, at ma a lægge samme og træe fra, gage og dividere med passer og lieal. Prøv evt. selv at gå det efter. BEMÆRKNING Normalt a vi ie uddrage rødder ide for et tallegeme. er f.es. ie et ratioalt tal. Vi a uddrage rødder ide for, og vi a også ide for K (det beviste vi uder geometris algebra). DEFINITION Hvis q er et positivt ratioalt tal, hvorom det gælder, at q, så beteger ( q ) mægde af alle tal, der a srives som a + b q : ( q ) = a + b q a, b SÆTNING 7 ( q ) er et tallegeme, der ideholder. Tallegemet ( q ) aldes e vadratis legemsudvidelse af. Først vises e hjælpesætig: HJÆLPESÆTNING 8 Hvis q, er opsrivige af tal i q på forme a + b q etydig. BEMÆRKNING 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
er alle tal på forme a+ b, f.es. og 7 + 8. Hjælpesætige siger altså, at et tal som ie a srives på dee form på adre måder. Et esempel på oget, der ie er etydig, er opsrivig af tal som produter: 0 = 4 5 = 0 BEVIS Påstade er, at det samme tal ie a srives på to forsellige måder på dee form. Dvs. hvis x = a + b q = c + d q så er a c og b d. Lad os derfor atage, at a + b q = c + d q. = = Hvis u b = d, får vi stras, at a = c, og så står der jo samme tal. Hvis i stedet b d, så omsriver vi: a + b q = c + d q a c = b d q a c q = b d Me vi havde jo forudsat, at q, så det går ie; altså a det ie gælde, at b d. Når b = d gælder således også, at a = c. Og dermed har vi, at x ie a srives på dee form på to forsellige måder. BEMÆRKNING Specielt gælder: a + b q = 0 a = 0 b = 0 BEVIS FOR SÆTNING 7 ( q ) er trivielt, da vi blot a sætte b = 0. Vi sal u vise, at vi»a rege idefor ( q ) «. (I algebra bruger ma også det udtry, at ( q ) er luet over for +,, og /). Lad os sige, at vi har to tal i ( q ) : Så reger vi: x = a + b q og y = c + d q 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
a b q ( a + b q )( c d q ) ( ac bdq) + ( bc ad ) q c + d q ( c + d q )( c d q ) c ( d q ) x + y = a + b q + c + d q = a + c + b + d q x = a + b q = a + b q x y = a + b q c + d q = ac + bd q + ad q + bc q = ac + bdq + ad + bc q x + ac bdq bc ad y 0, = = = = + y c qd c qd q Alle fire udregiger eder på forme r+ r q, r, r, etop fordi selv er et tallegeme. De tre første er simple omsriviger. I de sidste forlægede vi med c d q for at udytte regle og dermed få ( a + b)( a b) = a b q væ i ævere. Vi ved, at c d q 0, for hvis der gjaldt, at c d q = 0, så var c = 0 og d = 0, og dermed ville også y = c + d q være 0. Me vi har etop forudsat, at y 0. Oveståede defiitioer og sætiger er ie specielle for. Vi har u brugt, at er et tallegeme. Derfor a vi formulere resultatere mere geerelt: DEFINITION 9 Hvis L er et tallegeme, og q er et tal i L, således at q L = +, L q a b q a b L, defieres L q som SÆTNING 0. Opsrivige af tal i L( q ) på forme x = a + b q,,. L L( q ), og L( q ) er selv et tallegeme. a b L, er etydig. BEMÆRKNING L( q ) aldes derfor et udvidelseslegeme til L. Ide for algebra siger ma også, at L adjutio af q til L. q er fremommet ved Besrivelse af de ostruerbare tal Vi er u i stad til at besrive K de ostruerbare tal ved hjælp af udvidelseslegemer til. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
. Først veder vi lige tilbage til ostrutioe af alle de ostruerbare puter. Uaset hvor uoversuelig e tegig ue være, er det alligevel lart, at der i hvert sridt u bliver ostrueret et bestemt, edeligt atal puter. Derfor a vi fortsætte de ummererig af dem, som begydte med P, P,, P 6, så vi får e følge af puter: P, P,, P Det er ligegyldigt, hvile ræefølge vi vælger ide for hvert sridt. Ud fra putere får vi så de ostruerbare tal, som tilsvarede a srives op i ræefølge: x, x,..., x (*) Det er ligegyldigt, hvile ræefølge vi vælger ide for hvert sridt. Det eeste af betydig er, at alle er med, samt at vi først tager alle fra første sridt, deræst alle fra adet sridt osv.. Deræst går vi i gag med at ostruere e følge af udvidelseslegemer til efter følgede recept: Vi bevæger os frem i følge af x er, til vi første gag møder et x i, hvor i put, fider vi så et tal l0 og daer L ( l0) =. xi Nu har vi begydelse på følge, som vi leder efter, idet L er et legeme, og Vi fortsætter frem i ræe af x er, til vi første gag møder et x j, hvor edefor og daer som før L L ( l ) =. xj. Efter e opsrift, der følger edefor L L., fider et l L efter opsrifte Nu gælder derfor: L L, og processe fortsætter, så vi får ostrueret e følge af udvidelseslegemer: L L L L.... Det eeste, vi magler at agive, er, hvorledes vi fider de l 0, l, l, l,..., l, som avedes ved hver udvidelse: L = + L l, hvor l L Lad os sige, vi er ået til ostrutioe af L og sal videre. Vi går som besrevet frem i ræe og år frem til et x. Lad os u lige overveje, hvorledes et sådat x i ræe af ostruerbare tal fremommer. Der er tre mulige måder som særigsput: I. mellem to lijer, II. mellem e lije og e cirel, III. mellem to cirler, hvor disse lijer og cirler alle er fastlagt ud fra ogle af de foregåede puter, dvs. ud fra ogle af x, x,..., x. E lije fastlagt af putere (, ) y y xi y i og ( j, j) ( j) i j y y j = x x xi xj, x y har ligige: og srives dette på forme ax + by + c = 0, er det let at se, at a, b og c er fremommet af de foregåede tal ved brug af regeartere +,, og /. Altså: a, b, c L. E cirel med cetrum i (, ) ( x x ) + ( y y ) = r, og srives dee på forme: x y og radius r (som er et tal fastlagt ud fra de foregåede puter), har ligige: 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
x y dx ey f + + + + = 0, ses let, at d, e og f alle er fremommet af de foregåede puter ved brug af +,, og /. Altså: d, e og f ligger også i L. Vi ser u på de tre ævte tilfælde: I. x stammer fra et særigsput mellem to lijer: a x + b y + c = 0 a x + b y + c = 0 x fides altså ved at løse disse to ligiger og må derfor fremomme af a ere, b ere og c ere ved brug af +,, og /. Me så ligger x jo selv i L. Med adre ord bidrager x ie med oget yt i dette tilfælde: L bliver ie udvidet. II. x stammer fra et særigsput mellem lije: ax + by + c = 0 og cirle: x y dx ey f + + + + = 0 a og b a ie begge være lig ul. Lad os sige ax + c y =, b som deræst idsættes i de ade ligig: ax + c ax + c x dx e f b 0 + + + + = 0 b b Vi a se, at dee ligig a reduceres til e ligig af forme:. Så fides y af de første ligig: Ax Bx C + + = 0, A, B, C L Vi ved jo, at x = x er e løsig. Derfor vil vi opsrive løsigsformle: x B + D B = x D =, A A hvor D B 4AC L =. Hvis D L, vil også x L og bidrager således heller ie til oget yt; L bliver ie udvidet. Me hvis D L, så sætter vi: L L D =, dvs. D er det omtalte tal l +. III. x stammer fra et særigsput mellem to cirler: x + y + d x + e y + f = 0 x + y + dx + e y + f = 0 Ved at træe de ederste fra de øverste får vi omformet dette ligigssystem til følgede to ligiger: d d x + e e y + f f = 0 x + y + dx + e y + f = 0 Me det er jo præcis samme situatio som uder put II med e lije og e cirel, så det har vi allerede behadlet. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
Kolusio: Et yt tal i ræe af ostruerbare tal vil ete blot være e ombiatio af de foregåede tal ved brug af +,, og /, dvs. ligge idefor det tallegeme, som de hidtidige tal tilhører. Eller der vil fides et, så x ligger L i l, som så bliver det æste i følge af tallegemer. l L SÆTNING Hvis K er mægde af ostruerbare tal, og L har samme betydig som ovefor, så gælder: K = = L BEVIS Lighedsteget mellem de to mægder vises ved e almidelig avedt tei, emlig:. K = L. K = L, for så må de jo være es.. L ere er ostrueret, så ethvert x K bliver faget og ommer med i et eller adet L. Derfor er K L. =. Se på følge: Vi ved, at derfor også, at b l0 L K L L L... L K. L består af tal af forme a + b l0, a, b, l0. Fra sætig, side 6, ved vi, at l K og 0 K og edelig, at a + b l0 K. Altså: L består af tal af forme a + b l, a, b, ll K. Som før ved vi derfor også, at l K og derfor også, at b l K og edelig, at a + b l K. Altså: L K Dette a vi idlysede o fortsætte og får for ethvert, at K L, = og sætige er vist. L K, altså: Tredelig af e vilårlig viel er ie mulig Vi er u edelig parat til at vise umulighede af at tredele e vilårlig viel, dvs umulighede af at ostruere e såda tredelig med passer og lieal. Først vises følgede vigtige sætig, der også har alme iteresse: SÆTNING 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
L q Lad være et udvidelseslegeme til et tallegeme L, og lad = +... + + 0 P x a x a x a være et polyomium med oefficieter i L: a,..., a, a0 L. Så gælder: Hvis a b q er e rod i P(x), så er også a b q e rod i P(x). a b q + aldes partere til a b q. + BEMÆRKNING Prøv selv at overveje situatioe, hvor P(x) er et adegradspolyomium med ratioale oefficieter (tæ på løsigsformle). BEVIS Først e betegelse: Hvis x = a + b q, beteger vi partere med x : x = a b q Partere til et tal a L er tallet selv, for her gælder jo, at b = 0: a= a Deræst e iagttagelse: Hvis x = a + b q, y = c + d q, har vi tidligere udreget x y = ( ac + bdq) + ( ad + bc) q. Tilsvarede a vi udrege x y = ( a b q ) ( c d q ) = ( ac + bdq) ( ad + bc) q. Me heraf ser vi, at x y = x y Dette a vi aturligvis fortsætte, så vi også får x ( x) =. Det er edvidere let at se, at x y x y + = +. Nu a vi idse sætiges rigtighed: Lad emlig x0 = a + b q være e rod i P(x): P( x 0 ) = 0 eller Tag u partere på begge sider: a x + a x +... + a x + a = 0 0 0 0 0 a x + a x +... + a x + a = 0 = 0 0 0 0 0 Aved de regeregler, vi etop har idset, til omsrivig af vestre side: a x + a x +... + a x + a = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) a x + a x +... + a x + a = 0 0 0 0 0 a x + a x +... + a x + a = 0 0 0 0 0 Me vestre side er jo u P( x 0 ), så der står 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
altså at også P x = 0 0 x 0, er e rod. HJÆLPESÆTNING 4 L q Lad være et udvidelseslegeme af L. Sæt: P x = x x + Så gælder, at hvis P x har e rod i L q, så har P( x) også e rod i L. BEMÆRKNING Slå tilbage til side 4 og fid hvad det var for et polyomium, der duede op, da vi udersøgte, om e viel på 0 ue tredeles. Det liger meget P(x), og det er da også begrudelse for at vise dee ellers ret uiteressate sætig. BEVIS Lad x0 = a + b q,, være e rod i P(x). Hvis b = 0, vil x 0 være lig med a. Og så er det jo trivielt, at P(x) har e rod (emlig x 0 ) i L. Hvis, så er ifølge sætig partere x0 = a b q også e rod i P(x), og der gælder: b 0 x x 0 0 a, b, q L Ved polyomiers divisio a vi derfor få P(x) srevet således: P x = x a + b q x a b q x c, hvor c er de tredje rod i P(x). Når vi gager paretesere på højre side ud, sal vi få vestreside. På vestre side er der 0x, hvilet der derfor også må være på højre side. Lad os se efter og fide, hvor mage x der er: + = +, c x a b q x a b q x c a b q a b q x som altså er lig med 0x. Me det vil jo sige: c ( a + b q ) ( a b q ) = 0 c a = 0 c = a Hermed har vi vist, at P(x) har e rod i L, emlig: c = a L Deræst vises: HJÆLPESÆTNING 5 P x = x x + har ige ratioale rødder. BEVIS Lad os sige, det ratioale tal r var e rod i P(x), og lad os sige, r var srevet som e uforortelig brø: p r = q Så gjaldt der: 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
p p p p 0 0 p pq q 0 + = + = + = q q q q I dee ligig isolerer vi først q, deræst p og får de to ligiger:. p = pq q. p + pq = q Af. ser vi, at det hele tal q går op i højreside, derfor også i vestreside. Me p q var jo uforortelig, så de eeste mulighed for q er at være + eller. Af. ser vi på samme måde, at p må være ete + eller. Derfor er tallet r ete + eller. Altså: r = + og r = er de eeste mulige ratioale rødder. Om de u også virelig dur, a vi efterprøve ved blot at idsætte dem og se efter. Prøv at gøre det og se, at de fatis ie dur. Altså: der er ige ratioale rødder. HOVEDSÆTNING Det er umuligt at tredele e vilårlig viel med passer og lieal. BEMÆRKNING Vi huser, at ogle viler aturligvis a tredeles. Når vi a ostruere e viel på 0 ved f.es. at halvere e viel på 60 (som vi får fra e ligesidet treat), ja så a vi jo sige, at vi har tredelt e viel på 90 o. Det, sætige siger, er, at vi ie a tredele e vilårlig viel. Dette bevises ved at vise, at e gase bestemt viel, emlig de på 0 ie a tredeles. BEVIS Vi viser, at e viel på 0 ie er ostruerbar, ved at vise, at tallet si(0 ) ie er et ostruerbart tal (det er jo. oordiate til retigsputet P 0 på ehedscirle). Der gælder følgede ligig (se side 4) for ehver viel u: si u = 4si u + si u, og idet vi sætter u = 0, får vi, som vi også så på side 4: si 0 = 4si 0 + si 0 4si ( 0 ) si( 0 ) 8si ( 0 ) 6si( 0 ) + = 0 Nu substitueres x = si( 0 ) = +, så ligige bliver til x x+ = 0, som vi eder fra sætige ovefor. Derfor ser vi u: Hvis si(0 ) var ostruerbar, var også si(0 ) det. Dermed ville polyomiet ostruerbar rod, x 0. Da x0 K, vil der fides et L så x0 L. Hjælpesætig 4 giver derfor: P x har e rod i L L ( l ) P( x) = har e rod i L. Som vi gjorde tidligere, a vi også her fortsætte dette edad og får: P( x ) har e rod i L P( x) P( x) har e rod i L P( x) har e rod i. L... P x = x x + have e har e rod i Stregt taget har vi u vist, at formle gælder for viler, hvor 6v 80, dvs. for v 0. Me det a vises, at trigoometrise formler, der gælder i et iterval, uaset hvor lille, gælder overalt! Vi beytter imidlertid her u det, vi har vist. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
Me det har P(x) ie, ifølge hjælpesætig 5. Derfor har P(x) overhovedet ie oge ostruerbare rødder, altså si(0 ) er ie ostruerbar: Vile på 0 a ie tredeles.. Litteraturliste Aglig & Lambe, The Heritage of Thales, Spriger, 995. (E matematihistorie, hvor sætigere fatis bevises fuldt ud, f.es. om umulighede af viles tredelig). E.T. Bell, Matematies mæd, Reitzel, 944. Burtos History of Mathematics, Brow Publishers, 995. (Ideholder et apitel med e ræe større øvelser om de lassise ostrutiosopgaver). Flemmig Clause og Jørge Falesgaard, Tal og Tae, Musgaard, 985. Poul la Cour, Historis matemati, Roseilde og Bagger, 96. Eulid, Elemeter I IV, Trips forlag. (Fotografis geoptry af Thyra Eibes oversættelse fra 897). Howard Eves, Itroductio to the History of Mathematics, The Sauders, 99. (Ideholder et apitel med e ræe støre øvelser om de lassise ostrutiosopgaver). Thomas Heath, A History of Gree Mathematics, vol I, Dover, 98. (Stadardværet fotografis geoptry. Været er meget detaljeret om alle spørgsmål. Er tro mod de græse matematieres argumetatio). Herodot, Historie, Gyldedal, 975. Vitor Katz, A History of Mathematics, Harper Collis, 99. (E matematihistorie, hvor argumetatioe for de matematise sætiger gegives detaljeret og i respet for de origiale metoder, samtidig med at læsevelighede er prioriteret). Jesper Lütze, Cirles vadratur, Viles tredelig, Teriges fordoblig, Systime, 985. Prebe Vestergaard, Løste og uløste matematise problemer, Aalborg Uiversitetsforlag, 98. Has Wussig, Biographie Bedeuteder Mathematier, Berli, 975. Viles tredelig, et matematiprojet af Kare Birelud og Bjør Christese, IMFUFA srifter r. 0, 99. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
Tillæg. Om Galois orte liv og bratte død Selv om e del store matematiere (især Lagrage, 76 8) havde arbejdet med at udvile e såda y algebra, tilommer ære de geiale frase matematier Evariste Galois. Efter ham aldes dee del af algebrae, der viste sig at have de mest forselligartede og overrasede avedelser, for Galois teori. Galois liv var som e lassis græs tragedie. Ha blev født i 8, hvor hele Europa var revet op af Napoleosrigee, og Frarig selv splittet på ryds og tværs af modsætigere mellem demoratere, der ville forsvare idealere fra de store revolutio i 789, og moarister af mage afsygiger. De meget temperametsfulde Evariste Galois tog allerede fra gymasietide ativt del i agitatioe for at få geetableret republie, og med sie idlæg i gymasieblade og taler på møder og værtshuse bragte ha sig i oflit med mydighedere. I juli 80 forsøgte oge, der var blevet idsat efter Napoleos fald, at bremse de demoratise bevægelse med cesur og beslaglæggelse af tryeriere; me det blev i stedet sigal til oprør. Det var i øvrigt på samme tid, at atioale ofliter og frihedsrige førte til, at Belgie rev sig løs fra Hollad og om på Europaortet, Serbie blev selvstædig, og Græelad edelig fi smidt tyrere ud og efter æste 000 år ige blev herrer i deres eget hus. I Paris lyedes det godt o at få væltet oge, som flygtede til Eglad; me i stedet for de demoratise republi blev der idsat e y, me dog mere liberal oge. Republiaere og bladt dem Evariste Galois og de adre studeter, som var højlydt utilfredse fortsatte deres agitatio, me måtte u opleve at mydighedere sred hårdt id. Efter at have srevet et læserbrev vedt mod si retor, blev Galois smidt ud af sole i december 80. Ha slutter sig til republiaergarde, der er de mest oprørse, og som ort efter forbydes. Da Galois selv offetligt udtaler sig imod oge, fægsles ha i maj 8. Ha løslades for e ort bemærig i jui, me ryger id ige i juli 8, efter at ha har deltaget i e demostratio på Bastilledage (4. juli årsdage for de store revolutio i 789). 9. april 8 slipper ha edelig ud. Ude af fægslet opdager ha, at der er e medbejler til de pige, ha er forelset i. Stras udfordrer de temperametsfulde Galois de ade til duel, me er tilsyeladede lar over sie rige chacer, for om atte til de 0. maj, hvor duelle sal fide sted, samler ha febrils sie matematise artiler og udast samme og sriver e lægere redegørelse for, at ha her har udvilet e helt y algebrais teori, der vil have vide avedelsesmuligheder (og bl.a. demostrere umulighede af at løse de tre lassise problemer). Redegørelse var især bereget for de store tyse matematier Gauss (77 855). Galois sriver:»[ ] jeg har gjort ogle ye opdagelser i aalyse. [ ] Bed Jacobi eller Gauss om offetligt at udtale deres meig, ie om sadhede, me om betydige af disse sætiger. Seere vil der, håber jeg, fides matematiere, som vil have fordel af at dechifrere alt dette rod [ ]«Og i papirere radsede ha flere steder ed:»jeg har ie tid, jeg har ie tid.«de 0. maj 8 om morgee blev Evariste Galois, som ha havde forudaet, dødeligt såret i duelle; ha blev efterladt med sie sudsår og først fudet e del timer seere af e bode, der bragte ham til et ærliggede hospital, me for set. Ha overlevede ie. Og has papirer åede tilsyeladede aldrig frem til Gauss. Uheldet sytes at forfølge staels Galois efter has død, som det var set, mes ha levede. Artilere var i forsellige versioer sedt frem til tidssrifter og bedømmelse hos edte matematiere. E af disse, Cauchy (789 857) havde med iteresse læst oget af det, me blev uheldigvis syg, da ha sulle præsetere Galois ideer for Aademiet i 89. Samme år dumper Galois selv ved optagelsesprøve til Polyteis læreastalt, da ha er stært edbrudt over, at has far efter e smædeampage havde begået selvmord få dage før prøve. I 80 veder Cauchy så tilbage til Galois og beder ham om at omsrive materialet til e prisopgave, som aademiet etop havde udsrevet. Me da Galois gør det og idseder si ye versio, bliver has bidrag væ! Sadsyligvis fordi omitéformade Fourier (768 80, edt fra teorie om Fourier-ræer, der avedes i studiet af sammesatte harmoise svigiger) havde taget artile med hjem, og pludselig dør. Et af de adre omitemedlemmer er Poisso (78 840, edt fra Poisso-fordelige, der avedes i sadsylighedsregig og statisti) amoder u Galois om ige at lave e y versio, dee gag med esempler på de rige avedelsesmuligheder, has teori har. Artile idleveres først på året 8; me i juli 8 afviser Poisso de med bemærige»uforståelig«. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d
Ad mærelige omveje lader Galois artiler og sidste breve i 84 hos edu e af Frarigs mage store matematiere, Liouville (809 88, især edt fra differetialligigsteorie), og edelig er der e, som forstår teories betydig og geialitet. Ha bearbejder det, og i 846 offetliggøres materialet. Sideløbede hermed havde Gauss og adre udvilet elemeter af de ye algebraise teori, som smeltede samme med Galois bidrag til det, vi i dag blot alder for Algebra, og hvor teorie om grupper, om legemer (som vi sal høre om) og Galois teori er specielle områder. 09 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf: 45000 Email: ifo@lru.d