øenhvns niversitet et nturvidenskelige kultet TO ntroduktion til cientific omputing orelæsningsnote Om store tynde sprse ) mtricer og P fter stndrdmetoden for generelle mtricer dvs fktorisering med prtiel pivotering) eskriver eth kort nogle metoder der ør ruges hvis mn hr et ligningssystem med en mere speciel koefficientmtrix feks stndrdmetoden for generelle symmetrisk positivt definitte mtricer holeskyfktorisering vd ngår de såkldt tynde sprse) mtricer der er fyldt med reltivt mnge er så er prolemet jo t fktorisering eller holeskyfktorisering) ofte vil ændre erne undervejs lve fill s eller fillin s) og dermed øge ntllet f de eregninger der kræves for fktorisering og efterfølgende forlæns og glæns sustitution ogle f mtricerne kn dog ved omordning f rækker ligninger) og søjler vrile) få en form feks tringulær) hvor ntllet f fill s ikke liver så stort ved fktoriseringen så ld os strte med t se hvordn grfteori) kn nvendes til fornuftig omordning f en lidt tynd mtrix er findes flere grfteoretiske omordningsmetoder men vi eskriver lot den mest sle version f miniml degree metoden ksempel på omordning Mtricen i igure s i eth) hr ud f x ) elementer forskellige fr en fremkommer ved løsning f en prtiel differentilligning og normlt vil mtricen være meget meget større med ikkenulelementerne liggende i en lokmtrix f form M M M M n hvor M i erne er reltivt fyldte ikketynde) mtricer og i erne er digonlmtricer
ligner en tridigonl mtrix hvis lokkene opfttes som elementer kldes for en loktridigonl mtrix og fktorisering med prtiel pivotering vil kun kunne lve fillins i lokkene M i i og disses nolokke pg den prtielle pivotering) erfor er dette eksempel ikke det værste eksempel på udfyldning f en tynd mtrix men ld os lot skitsere miniml degree metoden lligevel i tger mtricen i igure og lver en grf hvor knude i repræsenterer i te række i te søjle d mtricen er symmetrisk) nude i er forundet med en knt til knude j hvis mtrixelement ij er forskelligt fr vd sker der hvis vi enytter elementet til t lve er i første søjle Tj f grfen ser vi t vi kun skl lve er i og række men d og element i første række er forskellige fr vil dette give fill s i og søjle medmindre i forvejen er forskellige fr i kn simulere elimintionen i søjle ved ) t fjerne knuden vi skl jo fortsætte fktoriseringen i den nederste x mtrix) og ) forinde knude og fillin s) hvis de ikke llerede er forundne t enytte som pivotelement vr ikke noget dårligt vlg idet række kun hvde to elementer forskellige fr foruden digonl elementerne som mn først skl sørge for ikke er hvilket er muligt for lle ikkesingulære mricer) ntllet f knter ud fr en knude kldes for grden f knuden og i miniml degree metoden vælges hele tiden en knude med mindst grd æste gng fjerner vi således enten knude og forinder og ) knude og forinder og ) eller knude og forinder og ) Rækkefølgen f knuderne der fjernes eskriver den rækkefølge som søjlerne og rækkerne) skl stå i i den omordnede mtrix Prolemerne med t vælge mellem flere knuder f smme grd kldes på engelsk ties og mn hr siden erne rejdet på forskellige måder for tiesolving og dermed udviklet forskellige versioner f miniml degree metoden enest er en såkldt pproksimtiv miniml degree version levet indføjet i MT for omordning f symmetriske mtricer kommndoen symmd) ) or ikkesymmetriske mtricer må grfen hve åde ud og indknter og mn kn feks som pivotelementer vælge de knuder med mindst udgrd gnge indgrd MT hr kommndoen colmd) for omordning f ikkesymmetriske mtricer men detljerne i denne og i symmd kender jeg ikke
På igure kn mn se resulttet f en miniml degree omordning f mtricen i igure nuderne er vlgt i rækkefølgen og der skes fill s se erne) i T ) stedet for t sætte de tyndeste rækker og søjler) forrest kn mn også forsøge t se om grfen feks kunne deles op i to delgrfer der kun er forundet med få knter elt seprte delgrfer svrer til mindre ligningsystemer der kn løses ufhængigt f hinnden feks mtricen ovenfor med i erne lig med nulmtricen) grfteorien er der lgoritmer for t finde sådnne delgrfer smmenhængskomponenterne) og disse minder måske om den metode der er nvendt i igure ) ykkes det ikke t omordne en tynd mtrix til een der kun vil få et egrænset ntl fill s ved fktoriseringen må mn undgå t fktorisere mtricen og i stedet enytte de metoder i fsnit som ikke findes implementeret i P år mn ind i eti s weside for P httpwwwnetliorglpck kn mn nemlig få referencer til såvel P ser uide n lug) som en fortegnelse over driverrutinerne som l kæder de forskellige fktoriseringsog sustitutionsrutiner smmen lpckqrefps) f sidstnævnte gengivet på de næste sider) ser vi l t ekspertrutinen for løsning f et generelt ligningssystem hedder X og t mn ikke ehndler åndmtricer herunder tridigonle mtricer) specielt hvis de lot er symmetriske og ikke også positivt definitte
mf ƒ k g{ ƒmf f k g{ ll g d q ) v v o e PM Me PM o r W R WX WX X s T]t Wt] T l d WM R WX WX X s T]t Wt] T W OM R WX WX X T]t Wt] T l d WM OM R WX WX X T]t Wt] T WO em T MR R RT M WX mf l d} ~ d h WOM em T MR R RT M WX WX WX T]t Wt] T T]t Wt] T k g{ ) wv vx ) y z cpm W ] R M P WX u pk hq d f r M cpm W ] R M P WX gf g h ij g MM cpm W ] R M P WX O cpm W ] R M WX WX P t] T Wt] T u o cpm sm W ] R M WX WX P t] T Wt] T gf g h ij g cpm sm M W ] R M WX WX P t] T Wt] T mlk n gf g h o ij g d R R XM O XM O WX WX mlk n `o cpm W ] R X M WX WX gf g h ij g M cpm W ] R X M WX WX mlk n gf g h ij g pk hq d f cpm W ] R M WX M cpm W ] R M WX mlk n o ] cpm W ] R gf g h ij g M] cpm W ] R M WX M WX WX WX e PM R d em PM R XM XM X W X W Xc Xc WX WX PM R W c RT M WX P WX ` M PM R W c RT M WX P WX O PM R M WX WX P OM PM R M WX WX P ) "
" ) M O P M R M M T W X T T M \ " ) ] M ] O P M ] O R M T W X T T
" ) M PO R M PO R T O M PO R M PO R M W X W M X T O ]\ `O ) P c d W e f W e f P g R h e i j k l R e P nmr g R h e i j k l R e
" ) ) M M PO PO PO ) " R T PO M M PO ) M M PO PO ) M M W " ) X O O O O O O O O P P O O O O P P O O M O P O O O M O O P O O O O P P P O O O O O O P P P O O O O \ ] ` dc ce f f g h` i jlk cnm om m mp e cp q r s vut w x s zyx { uw }ut ~ r y~ ] ` dc ce f f g h` i k cnm om m mp e cp q } s } y uw ƒ s } y uw ` c }q y uw ˆ m ` dce Š Š `n c e m ˆpp hœm dc
P contr P og P) om nævnt i ortorieopgve er den største forskel på PP og P t sidstnævnte enytte lokopdeling f mtricerne ntg feks t vi strter med t lve er i de første søjler f mtricen vilke rækker der skl enyttes kn fgøres ved kun t se på disse søjler og ligeledes kn de første søjler i indeholdende multipliktorerne) og de første søjler i de ændrede elementer) estemmes ud fr disse søjler i erfor fktoriserer X først denne del f m lok m m m lok m M m M m M P M M u u u u u u lok vordn mn finder resten f de rækker i som jo ikke skl ændres når vi eliminerer videre i smt får ændret den nederste højre M)x) del f til det den nu er ette ser mn ved t etrgte ligningen P som skl gælde fr strt P) til slut vis vi fjerner P ved t ytte rækkerne i resten f mtricen ser ligningen sådn ud lok M lok lok lok lok lok lok c lok lok lok lok c lok med omyttede rækker) Med ndre ord Mn løser de tringulære ligningssystemer vi en rutine hvilken) og får resten f de øverste rækker i erefter fås c ved simpel mtrixlger dvs en nden rutine hvilken) c c M Mn er nu klr til elimintion i de næste søjler f eller rettere c)
onjugeredegrdientmetoden enne metode er egentlig en optimeringsmetode dvs eregnet til t finde minimum eller mksimum for en funktion den ikke ændrer på men lot gnger på forskellige vektorer er vi ude over prolemet med fill s i tynde mtricer esværre kn den kun enyttes på symmetriske mtricer der ydermere skl være positivt definitte eller negtivt definitte idet mn så lot gnger lle ligninger igennem med ) n positiv definit mtrix er kendetegnet ved t tllet x T x hr minimumsværdi lig med og kun minimum i x vektoren ette etyder l t er ikkesingulær x kn ikke være hvis x ikke er det) vis mn ser på niveukurverneflderne for den reelle funktion x T x dvs de x hvor funktionen hr en given værdi så er de ellipseellipsoideformede og med fælles centrum i x ksempel Mtricen giver ndengrdspolynomiet px) x T x hvor px) x x x x x x ) x x ) ] Mn ser let t niveukurverne for funktionen qy) y y er ellipser med centrum i y cirkler klemt i y retningen ) og niveukurverne for px) fås ved t rotere qy) s ellipser o i urets retning y y ) x x x x ) etyder nemlig t vektoren y er x roteret o modst urets retning) Mn kn ændre minimumspunktet til løsningen x sol f det lineære ligningssystem x ved i stedet t etrgte funktionen φx) x ) T x ) xt x x T T et sidste led er ufhængigt f x så minimumspunktet x sol ændres ikke ved t fjerne leddet hr ltså minimum i x φx) xt x x T vordn findes så minimumspunktet for φx) Tj hvis niveuflderne vr kuglerunde ville det være en god idé t søge efter den mindst mulige værdi i n ortogonle retninger s s s T i s j for i j)
x x Punktet xo Men niveuflderne er jo flnge drejede kugler og derfor ør ortogonlitetskrvet ændres Mn får hvis der ikke sker frundingsfejl) minimumspunktet ved t søge efter mindst mulige værdi i n ortogonle konjugerede) retninger dvs krvet liver nu s T i s j for i j vordn finder mn den mindste værdi i en s k retning Tj x løer ud fr et eller ndet punkt x k og ntger værdierne x x k α s k α ætter mn x ind i funktionen φx) fås således en reel funktion f én vriel α) og den ved vi jo hvordn vi finder minimum i d dα {φx kα s k )} d dα { α s T k s kαx k ) T s k α ufhængige led } vs det edste α i s k retningen liver α residulet x k) T s k s T k s k trtende i et eller ndet punkt x med søgeretningen s residulet x kn mn vise t tælleren i udtrykket for det optimle α ikke ændres ved t mn ersttter den med residul T gnge residul men det er en f de detljer som vi ikke ehøver t vide et væsentligste er t kunne se feks ved t følge lgoritmen på et eksempel) hvordn mn når minimumspunktet vi optimle søgninger i højst n ortogonle retninger hvis der ingen frundingsfejl sker