3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896 442880975 665933446 2847564823 378678365 2720909 4564856692 346034860 4543266482 339360726 02494273 7245870066 06355887 488520920 9628292540 97536436 7892590360 03305305 4882046652 3844695 9456094 3305727036 575959953 0928673 8932679 3058548 0744623799 6274956735 885752724 89227938 8309492 9833673362 4406566430 860239494 6395224737 90702798 6094370277 05392776 293767523 846748846 766940532 00056827 4526356082 778577342 757789609 736377872 46844090 224953430 4654958537 050792279 6892589235 4209956 22902960 86403448 598362977 477309960 5870723 4999999837 297804995 059737328 60963859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 269388 7000033 7838752886 5875332083 8420677 766947303 5982534904 2875546873 59562863 8823537875 937595778 857780532 72268066 30092787 6695909 26420989 3809525720 065485863 278865936 533882796 823030952 035308529 6899577362 25994389 249727752 8347935 5574857242 454506959 50829533 686727855 8890750983 875463746 493939255 0604009277 0673900 984882402 858366035 637076600 4708942 955596989 4676783744 9448255379 774726847 0404753464 6208046684 259069492 933367702 89895204 752620569 6602405803 850935 2533824300 3558764024 7496473263 94992726 0426992279 678235478 636009347 2642992 458635030 286829745 5570674983 8505494588 5869269956 909272079 7509302955 32653449 8720275596 0236480665 4999888 3479775356 6369807426 5425278625 5884757 4672890977 7727938000 86470600 64524992 7327247 72350444 973568548 636573 525523347 574849468 4385233239 073944333 454776246 862589835 6948556209 92922284 2725502542 568876779 049460653 4668049886 272327978 6085784383 8279679766 84540095 3883786360 9506800642 2525205 7392984896 084284886 2694560424 965285022 2066863 0674427862 203994945 04723737 8696095636 43797287 4677646575 739624389 0865832645 995833904 7802759009 9465764078 952694683 9835259570 9825822620 5224894077 267947826 848260476 990902640 3639443745 5305068203 496252457 493996543 42980990 6592509372 2696465 5709858387 405978859 5977297549 89306753 928468382 6868386894 27745599 8559252459 539594304 9972524680 8459872736 4469584865 3836736222 626099246 080524388 439045244 365497627 807977569 435997700 29660894 469486855 5848406353 4220722258 284886485 8456028506 068427394 5226746767 889525238 5225499546 6672782398 64565966 3548862305 7745649803 5593634568 7432425 507606947 945096596 0940252288 79708934 566936867 2287489405 60050330 867928680 9208747609 782493858 900974909 675985263 655497889 32978482 6829989487 2265880485 756404270 477555323 79644552 3746234364 5428584447 9526586782 054354 735739523 3427660 235969536 234429524 8493787 045765403 5902799344 037420073 0578539062 983874478 0847848968 33244573 868759435 064302845 3904848 005370646 806749927 8997939 95206496 6342875444 064374523 7892799 9839059 95684675 42692397 489409078 64942396 5679452080 954655022 52360388 930420937 623785595 6638937787 0830390697 9207734672 282562599 6650425 0306803844 7734549202 605446659 252049744 285073258 666002324 34088907 048633734 649654539 0579626856 00550806 658796998 6357473638 405257459 02897064 4009720 6280439039 75955677 5770042033 7869936007 230558763 763594287 3254720 53292898 26862586 73257998 44848829 6447060957 5270695722 0975676 72290986 90952807 350672748 583222878 3520935396 57252083 57953698 82094442 006750334 670342 6736990 865856398 3509706 556857 43765768 355565088 4909989859 9823873455 283363550 764798535 893226854 896323293 3089857064 2046752590 7095484 654985946 637802709 899430992 448895757 2828905923 2332609729 972084433 5732654893 82399325 9746366730 583604428 388303203 8249037589 852437447 029327656 809377344 4030707469 220930 203303809 762000 44929325 6084244485 9637669838 9522868478 323552658 23449576 8572624334 489303968 642624340 7732269780 28073895 4400446 823252762 005265227 2660396 6655730925 47055785 3763466820 653098965 269862056 476932570 Note af Erik 586356620 Vestergaard 855800729 3606598764 8679045 3348850346 36576867 532494466 8039626579 787785560 845529654 2665408530 64344438 586769754 566406800 7002378776 5934407 2749470420 5622305389 94563407 27000407 8547332699 390845466 4645880797 2708266830 6343285878 5698305235 8089330657 5740679545 763775254 20249557 65840025 026228594 3026475 5097925923 0990796547 37625576 56753575 7829666454 7797450 299648903 046399473 296207340 437589573 59645890 938973 7904297828 5647503203 9869540 2870808599 04800942 4722379 4764777262 244254854 54033257 853064228 837585043 06332758 2979866223 7725960 776692547 4873898665 49494504 6540628433 6639379003 9769265672 463853067 360965720 980763832 76646274 8888007869 2560290228 47204037 28608204 900042296 6796377 92337575 49595056 604963862 9472654736 425230877 036755906 7350235072 8354056704 038674353 622224775 895049530 9844489333 0963408780 7693259939 78054934 447377448 426329860 8099888687 43260472 569562396 586457302 6359893 95673538 297467729 4786724229 2465436680 0980676928 2382806899 6400482435 40370463 496589794 0924323789 6907069779 4223625082 268895738 379862300 593776476 522893578 6058867 5578297352 334460428 526272037 34346539 77774603 990665548 7639792933 4495254 348994854 4473456738 36249934 9384809 277770386 387734377 2075456545 3220777092 2090566 0962804909 263609759 88286332 366636528 693266863 3606273567 6303544776 2803504507 772355470 5859548702 790843562 4045780 6246436267 94562753 834078330 3362542327 8394497538 2437205835 347799 260638334 6776879695 9703098339 30770987 040859337 464442822 7726346594 7047458784 778720927 75280737 679077075 723444730 6057007334 92436933 835049363 28404252 92565798 06943528 0347030 478643788 585290928 54520658 393496562 3494345 9562586586 5570552690 4965209858 0338507224 2648293972 858478363 0577775606 8887644624 8246857926 0395352773 4803048029 0058760758 250474709 64396362 6760449256 2742042083 20856690 6254543372 35359584 5068772460 29068766 795240663 425225779 54296299 9306455377 994037340 4328752628 8896399587 947572974 6426357455 254079094 535736 9409939 32590760 208252026 879853887 7058429725 9677834 969900909 2697737 2784768472 6860849003 3770242429 65300500 568323364 350389570 2989392233 45722038 28069650 784408745 9602228 59937623 3074448 4640903890 6449544400 698690754 856026327 505298349 8740786680 88833850 2283345085 0486082503 93023329 75584306 3545500766 8282949304 377655279 39757546 3953984683 3936383047 46996653 858538420 568533862 8672523340 28308723 282789225 077262946 3229563989 89893582 674562700 283564622 0349675 889097303 89800497 340723960 3685406643 939509790 906996395 5245300545 058068550 9567302292 9393398 5680344903 982059550 0226353536 92049947 455385938 0234395544 9597783779 02374267 2772364 3435439478 22885286 240854006 6604433258 8856986705 435470696 5747458550 332323342 073054594 056553790 6866273337 99585562 5784322988 273723989 87574595 7896358 3300594087 30682602 8764962867
. Kurvelægde Før vi går i gag med at behadle emet pi, skal vi tale om, hvorda ma bestemmer lægde af e kurve. Ma ka forestille sig at bestemme lægde ved at tilpasse et stykke sor lags kurve og derefter måle sores lægde med e lieal. E ade og mere teoretisk brugbar metode er at tilærme kurve med e uedelig følge af polygoer. De første polygo i følge fremkommer ved at placere e række pukter på kurve og forbide disse med rette lijestykker. Nu tilføjer vi yderligere ogle pukter og forbider alle de hidtidige pukter med lijestykker, hvorved vi får de æste polygo, etc. Jo mere fimasket vi iddeler kurve i pukter, jo tættere vil polygoes lægde være på kurves lægde. Græseværdie af polygoeres lægder vil være lig med kurves lægde. 3
Defiitio. (Multiplikatio omkrig et pukt) Hvis ma har e kurve α, så ka ma få e y kurve β ved at multiplicere α med e kostat k udfra et pukt S. Hermed mees følgede: For et pukt P på α teges e halvlije fra S geem P. Abrig u et pukt Q på halvlije, så Q s afstad fra S er k gage så stor som P s afstad fra S. Gør ma dette for ethvert pukt P på α, får ma e mægde af Q-pukter disse udgør kurve β. Situatioe er illustreret på figure edefor. Her er også afsat ogle eksempler: Puktet P0 på α giver aledig til puktet Q 0 på β, puktet P på α giver aledig til puktet Q på β etc. På figure er også teget polygoapproksimatioe PP 0 P til α og polygoapproksimatioe Q0Q Q til kurve β. Ved at studere esviklede trekater får ma edvidere, at polygoe Q0Q Q har e lægde, der er k gage så stor som lægde af PP 0 P. Ved hjælp af e uedelig følge af polygoapproksimatioer ka ma herefter ret emt vise, at lægde af kurve β er præcis k gage så stor som lægde af kurve α. 4
Defiitio.2 Tallet π er defieret som omkredse af e cirkel med diameter. Sætig.3 For ehver cirkel gælder det, at forholdet mellem e cirkels omkreds og des diameter er lig med π. Bevis : E cirkel C d med diameter d ka klart fås ved at multiplicere e cirkel med diameter udfra dets cetrum med e faktor d. Lad O d og O være omkredsee af heholdsvis C d og C. Ifølge overvejelsere med kurvelægde ovefor vil der derfor gælde: Od = d O. Me per defiitio er O = π. Heraf det øskede: C O d d = π 2. Cirkle tilærmes med polygoer Allerede meget tidligt i historie fadt ma ud af, at forholdet mellem omkredse og diametere af e cirkel altid er det samme. De første kedte værdier for dette forhold går tilbage til babyloere og ægyptere for mere ed 3500 år side. Her fadt ma 8 bladt adet værdiere heholdsvis 3 = 3,25 og 4 8 ( ) 2 = 3,6049. Vi skal dog ikke 9 komme ærmere id på dette her. De første rigtigt sobre udledig af e vurderig af pi skyldes oldtides største matematiker, grækere Archimedes (287 f.kr. 22 f.kr.), som tilærmede e cirkel idefra og udefra med regulære polygoer, og efter sedige formler og udregiger fadt frem til, at 3 < π < 3 0 7 7 Med e regulær polygo mees e polygo, hvor hjørere alle ligger på e cirkel og hvor alle sidere har samme lægde. Det er forholdsvist oplagt, at cirkles omkreds er større ed omkredse af de idskreve polygo, me midre ed omkredse af de omskreve polygo. Lad betege atallet af sider i polygoe. Ved at vælge større og større vil omkredsee af de idskreve regulære polygoer og de omskreve regulære polygoer ærme sig til cirkles omkreds. For at berege omkredsee af -polygoere brugte Archimedes specielle beregiger, som vi ikke skal komme ærmere id 22 på her. Bemærk, at vi ovefor støder på tallet 3 =, som mage tror er de eksakte 7 7 værdi for π. Det er imidlertid ikke rigtigt det er ku e god tilærmelse til π. 5
6
På forrige side ses, hvorda cirkle tilærmes bedre og bedre med regulære polygoer idefra, såvel som udefra. Der er agivet formler for heholdsvis omkredse P O af de omskreve regulære -polygo og omkredse P i af de idskreve regulære -polygo. Ved hjælp af de trigoometriske fuktioer sius og tages skal vi fide e tilærmet værdi for π, og vi skal tillige aalysere, hvor godt tilærmelsere egetlig er. Archimedes havde selvfølgelig ikke de trigoometriske fuktioer til rådighed. Øvelse 2. Argumetér for formlere for P og P. O i Øvelse 2.2 a) Vi skal se på Archimedes tilfælde, hvor = 96. Beyt formlere for PO og Pi til at bestemme e øvre og edre græse for π. Bemærk, at ma ikke får Archimedes værdier, eftersom ha foretog ogle yderligere simplifikatioer udervejs i sie vurderiger! b) Udreg geemsittet af øvre og edre græse fra a) og beyt det som di tilærmede værdi for π. c) Hvor meget ka di værdi fra b) højst være forkert? d) I det følgede forestiller jeg mig, at du som e tilærmet værdi for π, vælger geemsittet af øvre og edre græse ligesom uder b). Hvor stor skal være, for at fejle på di værdi for π med sikkerhed bliver midre ed /.000.000, altså så 6 decimaler på beregige af π er korrekte: Prøv dig frem på lommeregere. Hvis du har e grafreger ka du evetuelt lave e tabel over fuktiosværdier for P og P som fuktio af. O i Idée med at tilærme e cirkel med polygoer idefra og udefra for at bestemme e tilærmet værdi for pi blev avedt helt op til 500-tallet, altså i mere ed 700 år efter Archimedes død. Herefter kom ye metoder på bae: Uedelige rækker og uedelige produkter. Bladt adet viste eglædere Joh Wallis (66 703) i 655 følgede formel, hvori pi idgår: () π 2 2 4 4 6 6 8 = 2 3 3 5 5 7 7 Der er tale om et uedeligt produkt. Resultatet var mere af teoretisk iteresse, idet det viser sig, at formle ikke er særlig veleget til at berege p med stor øjagtighed. 7
Lidt seere blev e uedelig række fudet til bestemmelse af pi: (2) π = 4 + + 3 5 7 9 Formle blev i 674 opdaget af de berømte tyske matematiker Gottfried Wilhelm Leibiz (646 76). Dee række er et specialtilfælde af e række, som allerede i 67 blev opdaget af eglædere James Gregory (638 675). Det overlades til læsere at fide systemet i række, dvs. at gætte de led, der ligger efter /9. Gregory-Leibiz række ovefor viste sig desværre heller ikke at være så veleget til at bestemme pi med stor præcisio. Gottfried W. Leibiz (646-76) James Gregory (638-675) 3. Uedelige rækker Det er på tide, at vi stopper lidt op for at studere det ye viduder: e uedelig række. Dette gøres bedst ved at overveje ogle eksempler. Det ses klart, at de edeståede række, hvor ma bliver ved med at lægge til, ikke ærmer sig til oget tal de går mod uedelig: + + + + + Øvelse 3. Overvej, om edeståede rækker ærmer sig til oget tal eller ej. a) + + + b) + + + + 0 00 000 8
Der fides ikke oge regel, der i alle tilfælde ka afgøre, om e uedelig række ærmer sig til et tal. Nogle metoder ka bruges i bestemte situatioer, me selv hvis ma har afgjort, at e række ærmer sig til et tal i matematisk sprog siger vi, at række kovergerer så ka det være e meget svær opgave at fide ud af, hvad det er for et tal, de ærmer sig til. I ogle tilfælde er det dog ikke så svært, bare ma ser på problemet på de rigtige måde, som edeståede. Øvelse 3.2 Afgør, hvad følgede række ærmer sig til: (3) + + + + 2 4 8 idet du for hvert led, du yderligere tilføjer, idteger et areal svarede til tallet: Tilbage til række (2). Jo flere led, der medtages, jo mere øjagtig bliver beregige af π. Det viser sig, at for at få e øjagtighed på bare 6 decimaler, ligesom i øvelse 2, så skal der omtret e halv millio led til, så selv om ma bruger e computer, er dee formel ikke særlig god til vort formål. I 706 fadt Joh Machi (680 752), professor i astroomi i Lodo, e ade formel, som består af to uedelige rækker: (4) π = 6 + + + ( ) + 3 5 7 2 5 35 55 75 (2 )5 4 + + + ( ) + 3 5 7 2 239 3 239 5 239 7 239 (2 ) 239 9
Bemærk, at jeg i hver delrække har agivet et udtryk for det te led. Formle (4) viser sig lagt mere hesigtsmæssig til at udrege π med mage decimaler, da de ekelte led i delrækkere meget hurtig bliver små. I det følgede skal du eksperimetere lidt med oveævte formler. Dertil får du brug for et regeark. Øvelse 3.3 Vi skal se lidt på, hvor lagsom række (2) egetligt kovergerer. Hvis ma i række bortskærer alle led efter det te led, får ma afsitssumme (5) s = 4 + + + ( ) 3 5 7 2 (6) s 4 = s + ( ) 2 Ligig (6) er veleget til brug i forbidelse med regeark, idet de blot udtrykker, at ma får de ye afsitssum (de te) ved at lægge det te led til de forrige afsitssum (de ( ) te). Nedefor ses regearket. Du skal lave to søjler. De ee med overskrift og de ade med overskrift s. Du skal sørge for, at der er i første søjle står tallee fra til 00 der er ku vist til 5 på figure! I feltet B2 skriver du tallet 4, idet er lig med 4. I feltet B3 skal du så udytte ligig (6) ved at skrive formle s =B2+(-)^(A3-)*4/(2*A3-) idet A3 og B2 ideholder heholdsvis værdie af og s, for = 2. Herefter edkopierer du formle i reste af søjles felter idtil felt B0, Hvor tæt er på pi? s 00 0
Defiitio 3.4 For at gøre opskrivige mere hady fremover vil vi idføre e kortfattet otatio for e uedelig række ved hjælp af det store græske bogstav sigma: s = a = a + a + a + + a + i= i 2 3 s = a = a + a + a + + a i 2 3 i= Teget kaldes også for et summatiosteg. Det hetyder til, at ma skal lade i løbe fra begydelsesværdie agivet uder summatiosteget til slutværdie agivet over summatiosteget, i skridt på. Ma skal så lægge alle de fremkome a i 'er samme. I første tilfælde har vi e uedelig række, mes vi i det æste tilfælde har e edelig række. I de ederste række har vi skåret alle leddee fra i = + og opefter fra. Som tidligere atydet kalder vi det for de te afsitssum af de øverste række. Defiitioer 3.5 a) E række kaldes altererede såfremt des led skiftevis er positive og egative. b) E uedelig række, som ærmer sig til et bestemt tal, kaldes koverget. Sætig 3.6 Givet e altererede og koverget række s = ai i= hvor leddee umerisk set aldrig vokser, dvs. hvor a a2 a. Da vil forskelle på summe s og afsitssumme s højst være lig med de umeriske værdi af det først bortkastede led a+, altså: s s a + Der vil først blive givet et bevis for dee sætig uder afsluttede kommetarer. På dette sted skal vi blot se et eksempel på sætiges avedelse.
Eksempel 3.7 Betragt de uedelige række s = = + + + + i ( ) 2 2 2 2 2 i= i 2 3 4 i Dee uedelige række ka vises at være koverget ja faktisk ka ma vise, at de 2 ærmer sig til (kovergerer mod) tallet π. Dette er dog svært at vise. Hvad sætig 8 3.6 imidlertid siger, er følgede: Da række vides at være koverget, og fordi des led hele tide skifter forteg, og fordi leddee bliver umerisk midre og midre, så vil s s4 a5 s + 2 2 2 2 3 4 2 5 bare for at tage et eksempel! Hvis ma smider leddee fra og med det femte led bort, så begår ma altså højst e fejl på 25. Øvelse 3.8 a) Forklar, hvorfor de uedelige række (2) adlyder kravee i sætig 3.6, og beyt derefter sætige til at vurdere de maksimale fejl ma begår, hvis ma bruger s 00 (udreget i regearket i øvelse 3.3) som e værdi for π. b) Hvor mage led skal medtages i afsitssumme s for at fejle på π bliver midre ed 0,00000? Øvelse 3.9 Aalogt til øvelse 3.3 skal du u lave et lille regeark til at berege e tilærmet værdi for pi. Dee gag skal du bruge de mere effektive formel (4), som er e differes af to uedelige rækker. Af (4) ser ma emt, at ma får de te afsitsfølge s udfra de ( )'te afsitsfølge ved at tilføje de to sidste led: s 6 4 = s + ( ) ( ) 2 2 (2 ) 5 (2 ) 239 a) Lav regearket, så du ka se afsitssummere ed til de tyvede, s 20. Bemærk, at regearket ku reger med et bestemt atal decimaler for eksempel 5 decimaler. Derfor ka der godt opstå afrudigsfejl på de sidste cifre. b) Brug sætig 3.6 på hver af de uedelige rækker i (4) til at bestemme de fejl, der begås, år ma beytter s 7 som e værdi for pi. Hvor mage decimaler er da korrekte? 2
4. Jagte på pi Hvad får matematikere til at ville berege π med 000 decimaler eller edda mere, år ma har rigeligt i de 8-0 decimaler, som fides på ehver lommereger med respekt for sig selv? E af forklarigere er vel, at meeskers hadliger ikke altid følger forufte der ka gå sport i det! Hvem udreger først π med millio decimaler eller i de dur? Opgave er ikke bare at sætte e computer til at rege på det i e eller flere dage, alt efter hvor mage decimaler, ma måtte øske. E tidoblig af atallet af decimaler vil emlig ofte resultere i et computerarbejde, som er lagt over det 0-dobbelte, og ma ka jo ikke have computere til at køre i årevis. Heldigvis viser det sig, at hvis ma er lidt smart, så ka ma ædre på es fremgagsmåde, heruder de avedte algoritme eller formel til bestemmelse af π, og derved edbrige køretide gaske betragteligt. Nogle af de metoder, som er blevet avedt til de seeste beregiger af pi er da også yderst raffierede, og det er e iteressat kedsgerig, at metodere bygger på ogle formler og idéer, som blev opdaget af et idisk matematikgei, som levede omkrig år 900. Både computeres hurtighed og de avedte metoder har altså e stor betydig for, hvor lag tid det tager at udrege π med e give øjagtighed. E ade tig er, at de metoder, der udvikles, ka hæde at fide avedelse adre steder. Det er matematikke i hvert fald fuld af eksempler på. I 989 passerede ma de første milliard (0 9 ) decimaler af pi. Hvis de bliver skrevet ud med 0.000 decimaler på hver side hvilket er ret tæt vil det fylde 200 bøger á 500 sider! I det følgede vil jeg agive e metode til at berege pi med mage decimaler. Det skal dog æves, at metode ikke er veleget til at berege vores viduderlige kostat med for eksempel milliard decimaler det er de ikke effektiv ok til! Fremgagsmåde viser dog udmærket ogle af de problemer, der er. For det første opdager vi hurtigt, at lommeregere ikke ude videre ka beyttes, idet de ku reger med ca. 0 cifre. E måde at løse dette problem på er at iddele decimalere i blokke og så rege på é blok af gage. Lad os som eksempel sige, at vi øsker 25 decimaler af pi. Det ka gøres med 7 blokke af 5 cifre. De første blok agiver cifree fora kommaet og der er medtaget e ekstra blok til opsamlig af afrudigsfejl. Sidstævte kasseres til slut. De øskede øjagtighed på 25 decimaler ka opås ved at medtage 20 led fra første delrække og 6 led fra ade delrække (aved sætig 3.6). Vi skal altså udrege: 6 + + + 5 35 55 75 95 5 35 55 3 5 7 9 3 5 + + + 7 5 9 5 2 5 23 5 25 5 27 5 7 9 2 23 25 27 + + + 29 3 33 35 37 39 29 5 3 5 33 5 35 5 37 5 39 5 4 + + 3 5 7 9 239 3 239 5 239 7 239 9 239 239 3
Et tal vil som sagt blive repræseteret ved 7 blokke af 5 cifre. For eksempel vil tallet 2,628047325293860024373627287 blive repræseteret som blokummer 2 3 4 5 6 7 00002 628 04732 52938 6002 43736 27287 Vi skal u selv lære computere at rege. Bladt adet får vi brug for at lægge to tal samme, for eksempel: + 00002 628 04732 52938 6002 43736 27287 00000 80329 62897 7604 00342 40 82535 00003 42447 67630 29042 6344 57838 09822 Fremgagsmåde: Start bagfra. 27287 lægges til 82535, hvorved der fås 09822, som er sekscifret. Derfor bliver resultatet 09822 med i mete. Mete lægges til i æste blokberegig, som derfor bliver 43736 + 40 + = 57838, etc... Øvelse 4. Hvilke fremgagsmåde bruger ma for at trække to tal fra hiade? Illustrer evetuelt på oveståede to tal. Vi får tillige brug for at dividere et tal med et lille tal. Med et lille tal mees et tal, som ikke behøver blive præseteret med blokke. Beregige kue for eksempel være: 00002 628 04732 52938 6002 43736 27287 : 7 = 00000 548 70866 6937 56529 5553 89840 Fremgagsmåde: Start fra vestre. 2 divideret med 7 er 0 med 2 til rest. Gag dee rest med 00.000 og læg æste blok til, hvorved ma får 2628. Dette tal divideres med 7 og ma får 548 med 2 til rest. Dee rest gages med 00.000 og æste blok lægges til, etc... 4
Øvelse 4.2 Hvilke fremgagsmåde bruges, hvis ma i stedet for at dividere oveståede tal med 7, skulle multiplicere med det? Nu til udregige af rækkere på side 3: Vi starter med at udrege 6/5 og får:. led: 00003 20000 00000 00000 00000 00000 00000 3 For at bestemme 2. led, altså 6 (3 5 ) ka vi bare fortsætte med at dividere. led med 25 og seere med 3. Når vi først dividerer med 25 får vi: 00000 2800 00000 00000 00000 00000 00000 som vi vil udæve til 2. hjælpeled. Grude er, at det ka bruges til at udrege 3. led! Hjælpeleddet divideres med 3: 2. led: 00000 04266 66666 66666 66666 66666 66666 Lad os straks trække 2. led fra. led, hvorved vi får et udtryk, vi ka kalde sum. Hver gag et led udreges, lægges det ete til eller trækkes fra sum: sum: 00003 5733 33333 33333 33333 33333 33333 5 Det 3. led, altså 6 (5 5 ), fides ved at dividere 2. hjælpeled med 25 (resultatet kaldet vi 3. hjælpeled) og derefter dividere resultatet med 5. På æste side ka du fide e liste over de successive opdateriger af sum, som fremkommer hver gag et led lægges til eller trækkes fra. Helt tilsvarede gøres for de ade uedelige række. Vi idfører ige e y sum, sum2, som løbede skal opsummere leddee fra de ade række. E liste over de successive opdateriger af sum2 ka du også fide på æste side. Vi slutter af med at trække de sidste opdateriger af sum og sum2 fra hiade, hvorefter vi får e tilærmet værdi for pi: 00003 5832 89575 98092 3392 07962 4308 00000 0673 63040 08298 89545 8528 59837 00003 459 26535 89793 23846 26433 8327 Idet vi kasserer de sidste blok, hvis formål var at opsamle afrudigsfejl, får vi følgede tilærmede værdi for pi, med 25 decimalers øjagtighed: π 00003 459 26535 89793 23846 26433 5
Successive opdateriger af sum: 00003 20000 00000 00000 00000 00000 00000 00003 5733 33333 33333 33333 33333 33333 00003 5835 73333 33333 33333 33333 33333 00003 5832 8076 90476 9047 6904 7690 00003 5832 89864 2698 4269 8426 9842 00003 5832 89566 23607 50360 75036 07503 00003 5832 89576 3853 65745 36574 53657 00003 5832 89575 9690 242 0324 20324 00003 5832 89575 9834 74294 38535 32088 00003 5832 89575 98090 59237 54324 79457 00003 5832 89575 98092 9020 55277 7552 00003 5832 89575 98092 384 99938 04509 00003 5832 89575 98092 3399 74774 52509 00003 5832 89575 98092 339 7940 20 00003 5832 89575 98092 3392 09030 6752 00003 5832 89575 98092 3392 07922 29646 00003 5832 89575 98092 3392 07963 94463 00003 5832 89575 98092 3392 07962 37390 00003 5832 89575 98092 3392 07962 43333 00003 5832 89575 98092 3392 07962 4308 Successive opdateriger af sum2: 00000 0673 6406 73640 6736 4067 3640 00003 0673 63040 07273 0902 88022 26754 00003 0673 63040 08298 90828 65008 626 00003 0673 63040 08298 89545 7978 85078 00003 0673 63040 08298 89545 8528 62339 00003 0673 63040 08298 89545 8528 59837 6
5. Afsluttede kommetarer På side lovede jeg et bevis for sætig 3.6, som vi brugte med stor succes til at vurdere fejle ved at bortkaste alle led fra og med det ( + )'te led. Her kommer det: Bevis for sætig 3.6 For simpelheds skyld vil jeg gå ud fra, at = 5. Beviset for et vilkårligt kører helt tilsvarede. Desude vil jeg atage, at de ulige led er positive og de lige led er egative. Er det omvedte tilfældet kører argumetere på ligede vis. Summe ka skrives på to måder: (a) s = a + a + a + a + ( a + a ) + ( a + a ) + 2 3 4 5 6 7 8 (b) s = a + a + a + a + a + ( a + a ) + ( a + a ) + 2 3 4 5 6 7 8 9 Da leddee med de ulige umre er positive og leddee med de lige umre er egative, er paretesere i række (a) alle positive eller ul, hvorimod paretesere i række (b) er egative eller ul. Det betyder, at hvis vi smider alle paretesere i række (a) væk, så smider vi oget ikke-egativt væk, hvorfor reste må være midre ed eller lig med s. Tilsvarede med række (b). Vi har altså: s a + a + a + a 2 3 4 s a a a a a + 2 + 3 + 4 + 5 eller, hvad der er det samme: a + a + a + a s a + a + a + a + a 2 3 4 2 3 4 5 Da forskelle på vestre og højre side er højst er. Det øskede er hermed vist. a 5 a 5, slutter vi, at forskelle på s og vestre side Bemærkig 5. Det er helt afgørede, at de betragtede række er koverget. Hvis række derimod ikke ærmer sig til oget tal for eksempel går imod uedelig så er det ikke tilladt at beytte argumeter, som ovefor. Forsøger ma alligevel fejlagtigt at argumetere på ikke- kovergete rækker, så er der eksempler på, at ma ka vise uhyrligheder, for eksempel, at 5 er lig med 0! Forklarige på, hvorfor ma må bruge argumeter som ovefor i forbidelse med kovergete rækker og ikke på divergete rækker, ligger i selve begrebet koverges, dvs. hvad det vil sige, at oget ærmer sig til oget adet. Det ligger dog udefor dee otes mål. 7
Historie om Ramauja Som tidligere ævt bygger ogle af de yeste metoder til beregig af π på formler opdaget af de idiske matematiker Sriviasa Ramauja (887 920). Historie om Ramauja er eeståede. Ha blev født de 22. december 887 i e relativ fattig familie i e ladsby i det sydlige Idie. Has talet for matematik blev opdaget tidligt, me alligevel er det især has idsats på ege håd, der satte skub i has udviklig. Det lykkedes ham at låe e matematikbog, der var fyldt med formler, me ude beviser for disse. Dette kom sadsyligvis til at præge Ramaujas måde at dyrke matematik på. Has såkaldte otesbøger med ege opdagelser ideholder stort set ige forklariger på, hvorda ha kom frem til sie formler. Det har i øvrigt betydet et kæmpe arbejde for matematikere at lede efter beviser for Ramaujas formler. Efterhåde blev Ramaujas specielle ever opdaget af betydigsfulde idiske matematikere, og ha blev opfordret til at sede sie opdagelser til tre promiete egelske matematikere. To af dem sedte brevet tilbage ude kommetarer, hvorimod de tredje, G. H. Hardy fra Cambridge, svarede. Hardy betragtes u som de førede britiske matematiker på daværede tid. Hardy, som var vat til at få breve fra særlige, som troede at de var geiale og havde gjort store ye opdagelser, var tæt på at afvise brevet, da det akom de 6. jauar 93: me efter aftesmade satte Hardy og Joh E. Littlewood, e kollega til Hardy, sig ed for at pusle med ogle af formlere i Ramaujas brev. Nogle timer seere var de kommet til e erkedelse: De så arbejdet af et gei, og ikke e galig. Hardy omtalte seere, at ogle af Ramaujas formler fuldstædigt besejrede ham: De måtte være sade, for hvis de ikke var, ville ige have fatasi ok til at opfide dem. Hardy iviterede Ramauja til at komme til Cambridge, og de æste fem år arbejdede de to matematikere samme i et yderst givtigt samarbejde, som resulterede i flere matematiske artikler af højeste klasse. Klimaet i Eglad var imidlertid imod Ramauja, og de omstædighed, at det var krig og svært for ham at holde si vegetariske diæt gjorde, at ha blev syg. I 99 tog idere tilbage til sit hjemlad. Her døde ha stærkt svækket de 26. april 920 e død, ma u tror skyldes vitamimagel. Trods sie ku 37 leveår fik Ramauja gjort sig udødelig i matematikkes historie. Ramauja besad e æste overaturlig ituitio for tal, og det fortælles, at ha havde et forhold til ethvert tal! Som et eksempel herpå ka æves e gag, hvor Hardy besøgte Ramauja på hospitalet. Hardy, der altid var lidt kejtet, år ha skulle idlede e samtale, udbrød som oget af det første: Jeg tror ummeret på mi taxi var 729. Det forekommer mig at være et temmelig kedeligt tal!, til hvilket Ramauja svarede: Nej Hardy, Nej Hardy, det er et meget iteressat tal. Det er det midste tal, som på to måder ka skrives som e sum af 3 to kubiktal (729 = + 2 3 og 729 = 9 3 + 0 3 ). Et eksempel på e af Ramaujas formler er de fatastiske formel: 8 (4 )! 03+ 26390 = π 4 4 980 0 (!) 396 = 8
I 994 beyttede Chudovsky brødree følgede Ramauja-ligede formel til bestemmelse af 4 milliarder decimaler af pi: (6 )! 359409 + 5454034 = 2 ( ) 3 3 π = 0 (!) (3 )! 3 + 640320 2 Dee formel giver midst 4 ekstra korrekte cifre i beregige af pi, for hvert ekstra led, som medtages. Iterative metoder Med e iteratio mees e procedure, hvor ma bereger e følge af tal, hvor det æste tal i følge bereges på baggrud af det forrige. I 976 opdagede Eugee Salami og Richard P. Bret, uafhægigt af hiade, e iterativ algoritme, som sjovt ok liger e algoritme, der blev opdaget af de store tyske matematiker Carl Friedrich Gauss (777 855) mere ed 00 år tidligere. Derfor fik algoritme avet Gauss-Bret-Salamialgoritme. De kovergerer kvadratisk mod pi, hvormed mees, at atallet af korrekte cifre fordobles efter hvert tri i iteratioe. De ser således ud: a = a + b 2 b = a b 2 2 = c a b s = s 2 c p = 2a s 2 startede med værdiere a0 =, b0 =, s0 = 2 2 Altså e metode, hvor ma arbejder sig frem led for led for = 0,, 2, Det viser sig, at p kovergerer kvadratisk mod pi. Du ka evetuelt prøve det af på regeark, me vær opmærksom på, at allerede efter gaske få led opås øjagtighede på de maksimalt ca. 5 decimaler, som regearket ka rege med! Ka ma blot lære computere at rege med tilstrækkeligt mage decimaler, ka ma få 45 millioer decimaler med bare 25 iteratioer!... 9
E ade iterativ algoritme, der kovergerer firdobbelt, dvs. hvor der for hver iteratio kommer midst fire gage så mage korrekte cifre i pi, blev opdaget af brødree Borwei i 985. De ser således ud: y + = 4 4 y + y 4 4 4 2k + 3 2 + + + + + a = a ( + y ) 2 y ( + y + y ) hvor startværdiere er givet ved a = 6 4 2, y = 2 0 0 Da vil a kovergere mod pi. For brødree Borwei, der fadt ye iterative algoritmer af forskellige order, var det e stor hjælp at kigge i Ramaujas gamle otesbøger, idet det viste sig, at de iterative algoritmer var sævert forbudet med Ramaujas såkaldte modulære ligiger. Bestemme ekeltståede cifre I 996 kom det som oget af e sesatio, da D. Bailey, P. Borwei og S. Plouffe kue påvise e formel for pi, med hvilke ma ka udrege e vilkårlig hexadecimal af pi, ude at udrege de tidligere hexadecimaler. Hexadecimalsystemet er 6-talsystemet! Idtil da havde ma troet, at arbejdet med at bestemme e give hexadecimal var lige så stort som at udrege de pågældede hexadecimal samt alle de øvrige tidligere hexadecimaler. Oveævte persoer fadt frem til følgede formel ved hjælp af et sedigt program på e computer: 4 2 π = 8 + 8 + 4 8 + 5 8 + 6 0 6 i i= i i i i Jeg vil ikke komme ærmere id på detaljer her, blot æve, at de ikke umiddelbart ka bruges til at bestemme ekeltståede decimaler i pi. Hvis du er iteresseret i mere om pi, ka du kosultere ogle af de bøger og artikler, som jeg har agivet på æste side. Nogle af artiklere ka du dowloade direkte fra ettet. Edelig vil jeg slutte af med et diagram, som viser hvorår hver y tipotes af decimaler af pi blev opået, samt de første 0.000 decimaler af pi. God forøjelse! 20
Litteratur. Gert Almkvist. Att räka ut de 00:e hexadecimale av π uta att räka ut de tidligare. Tidsskriftet Normat, 2000, sidere 49-55. 2. David H. Bailey, Joatha M. Borwei, Peter B. Borwei og Simo Plouffe. The Quest for Pi. Mathematical Itelligecer, vol. 9, o., Ja 997, sidere 50-57. Ka også dowloades fra ettet: www.ersc.gov/~dhbailey/dhbpapers 3. David Bailey, Peter Borwei ad Simo Plouffe. O the Rapid Computatio of Various Polylogaritmic Costats. Iteret artikel fra 996, som ka dowloades fra: www.ersc.gov/~dhbailey/dhbpapers. 4. J. M. Borwei, P. B. Borwei. Ramauja, Modular Equatios, ad Approximatios tp Pi or How to Compute Oe Billio Digits of Pi. America Mathematical Mothly, 989, p. 20-209. 5. Joatha M. Borwei, Peter B. Borwei. Ramauja ad Pi. Scietific America, febr. 988. 6. Petr Beckma. A History of pi. St. Marti s Press, The Golem Press, 97. 7. David Blater. The Joy of Pi. Pegui Books, 997. 8. Moges Esrom Larse. π med e milliard decimaler. Nordisk Matematisk tidsskrift r. 3, 990, sidere 2-4. 9. Jesper Lütze. Cirkles kvadratur, Vikles tredelig, Teriges fordoblig. Fra oldtides geometri til modere algebra. Systime, 985. 0. Jea-Claude Martzloff. A History of Chiese Mathematics. Sprigerverlag, 997.. Simo Plouffe. O the computatio of the 'th decimal digit of various trascedetal umbers. Iteret artikel fra 996: http://www.lacim.uqam.ca/plouffe/simo/articlepi.html 2. Torbe Svedse. Boge om π. Systime, 992. 3. Boris Sjöberg. Historie om π. Normat, 998, sidere 4-25. 4. Sta Wago. Is π Normal? Mathematical Itelligecer, 985 o. 3, sidere 65-67. 2