Noter til An0 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER

UDKAST 7122009 Noter til An0 Inst f Matematiske Fag Gerd Grubb December 2009 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 1 Generelle resultater 11 Introduktion I tidligere kurser er der gennemgået de simpleste (meget vigtige) tilfælde af differentialligninger for funtioner af én variabel, som vi lige kort vil omtale først Tilfælde 1 En lineær første-ordens ligning for en ubekendt funktion x(t), med begyndelsesbetingelse, er et problem af formen: (11) (12) x (t) = p(t)x(t) + g(t) for t I, x( ) = x 0, hvor p og g er givne kontinuerte funktioner på et interval I af R, er et givet punkt i I og x 0 et givet tal En entydigt bestemt løsning til dette problem findes ved at man indfører stamfunktionen og tager P(t) = p(s) ds, (13) x(t) = x 0 e P(t) + e P(t) e P(s) g(s) ds Formlen virker, hvadenten man søger reelle løsninger til en ligning hvor p, g og x 0 er reelle, eller man søger komplekse løsninger og p, g og x 0 tillades at tage komplekse værdier Tilfælde 2 En ligning der kan løses ved separation er en ligning (14) x (t) = p(t)q(x(t)), skrives også som dx dt = p(t)q(x), hvor p og q er givne kontinuerte funktioner Vi ser i første omgang bort fra nulpunkter af q Ligningen skrives x (t) q(x(t)) = p(t), og integreres mht t på begge sider: x (t) q(x(t)) dt = 1 p(t) dt + C

2 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER Man bemærker, at venstre side kan omskrives til 1 q(x) dx, ved regneregler for integraler, så ligningen bliver til 1 q(x) dx = p(t) dt + C Det gælder nu om at finde stamfunktioner Q(x) og P(t) til q og p, samt at løse ligningen (15) Q(x) = P(t) + C, med hensyn til x Derved fås x udtrykt som en funktion af t, der løser det oprindelige problem Dette er blot en skitse af den overordnede idé, i konkrete tilfælde må man forholde sig til nulpunkter af q, eventuel flertydighed ved løsning af (15), tilpasning til de intervaller hvor funktionerne er givet, tilpasning til en begyndelsesbetingelse, og lignende Tilfælde 3 En anden-ordens ligning med konstante koefficienter er en ligning af formen (16) x (t) + a 1 x (t) + a 0 x(t) = g(t) For tilfældet hvor g er funktionen 0, søges løsninger af typen e λt ved indsættelse i ligningen; det viser, at λ skal være løsning til karakterligningen λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0 Det er her en fordel at regne med komplekse tal, da polynomiet altid har to komplekse rødder, enten to forskellige λ 1 og λ 2 eller én dobbeltrod λ 0 Løsningerne til differentialligningen er så alle linearkombinationer (17) x(t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t, henholdsvis x(t) = c 1 e λ 0t + c 2 te λ 0t Hvis der udelukkende søges reelle løsninger (i tilfældet hvor a 1 og a 0 er reelle), bruger man Eulers formel (18) e (µ+iν)t = e µt (cos νt + i sin νt) til at finde de reelle løsninger udfra udtrykkene (17) Løsningerne er defineret for t R, og kan tilpasses til et givet sæt af begyndelsesværdier x( ) = x 0, x ( ) = x 1, på entydig måde Når g ikke er nulfunktionen, findes der gættemetoder for særlige valg af g, som man kan komme langt med i praktiske opgaver (En generel løsningsformel vil blive udledt i Eksempel A5 i Appendix) I ovenstående eksempler har vi for tydeligheds skyld skrevet x(t), x (t), osvmed angivelse af den uafhængigt variable t Det er sædvane blot at skrive x, x osv i ligningerne Løsninger gives ofte et andet navn, fx ϕ(t)

DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 3 12 Overgang mellem første-ordens systemer og højere-ordens ligninger En noget mere kompliceret opgave end den, der blev behandlet i Tilfælde 1, er problemet med to ubekendte funktioner x 1 of x 2 koblet sammen i et ligningssystem (19) x 1 = p 11 (t)x 1 + p 12 (t)x 2 + g 1 (t) x 2 = p 21(t)x 1 + p 22 (t)x 2 + g 2 (t) Det kaldes et lineært første-ordens system (med 2 ubekendte) Her har man i almindelighed ikke færdige løsningsformler Anden-ordens differentialligningen i Tilfælde 3 kan omskrives til et sådant system: Hvis x(t) skal løse (16), kan man indføre to nye ubekendte funktioner x 1 (t) = x(t), x 2 (t) = x (t); så skal de opfylde to ligninger (110) x 1 = x 2 x 2 = a 0x 1 a 1 x 2 + g(t) Det er et system som (19) Man checker, at hvis parret x 1 (t), x 2 (t) løser (110), så er x(t) = x 1 (t) netop løsning til (16) Lineære første-ordens systemer har interesse både som selvstændige problemer og som omskrivning af lineære differentialligninger af højere orden Helt generelt er et første-ordens differentialligningssystem med n ubekendte et system af ligninger af formen (111) x 1 = f 1 (t, x 1, x 2,, x n ), x 2 = f 2(t, x 1, x 2,, x n ), x n = f n (t, x 1, x 2,, x n ) Med vektor-notation, hvor x = (x 1,, x n ) og f = (f 1,, f n ) (i reglen skrevet som søjlevektorer i ligningerne) kan vi skrive (111) kort som (112) x = f(t, x) Man opfatter her f som en vektor-funktion af de n + 1 koordinater t, x 1,, x n En generel n-te ordens differentialligning (113) x (n) = h(t, x, x,, x (n 1) ) kan omskrives til et dermed ækvivalent første-ordens system ved at man indfører n funktioner x 1 = x, x 2 = x,, x n = x (n 1) ;

4 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER så erstattes (113) af systemet (114) x 1 = x 2, x n 1 = x n, x n = h(t, x 1,, x n ) Der findes omfattende teorier for løsning af generelle systemer Vi skal her nøjes med at behandle de lineære systemer, det er dem hvor hver f j er en (affin) lineær funktion af x, for hvert t: f j (t, x 1,, x n ) = a j1 (t)x 1 + + a jn (t)x n + g j (t), for j = 1,, n Indføres matricen og vektoren a 11 (t) a 1n (t) (115) A(t) = a n1 (t) a nn (t), g(t) = kan vi skrive det lineære differentialligningssystem som (116) x = A(t)x + g(t) I tilfældet af en lineær n-te ordens differentialligning g 1 (t) g n (t) (117) x (n) = p 0 (t)x + p 1 (t)x + + p n 1 (t)x (n 1) + g(t), bliver det tilsvarende første-ordens system et lineært differentialligningssystem af formen (116) med 0 1 0 0 0 0 1 0 (118) A(t) = 0 0 0 1 p 0 (t) p 1 (t) p 2 (t) p n 1 (t), g(t) =, 0 0 g(t) 13 Eksistens og entydighed af løsninger Der gælder generelle eksistens- og entydighedssætninger for ligninger (112) med begyndelsesbetingelser, under passende krav til funktionen f Vi skal her blot formulere en sætning for det lineære tilfælde Vi regner primært med komplekse funktioner; der gælder endvidere en tilsvarende sætning hvor alle funktioner er reelle Sætning 11 Betragt det lineære system (116) med begyndelsesbetingelsen (119) x( ) = η

DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 5 Det antages, at n n-matricen A(t) afhænger kontinuert af t i et interval I af R (dvs hvert element a jk (t) er en kontinuert funktion af t I), at n-vektor funktionen g(t) er kontinuert på I, at I og at η C n Der findes da en entydigt bestemt løsning ϕ(t) til (116), (119), defineret på I At ϕ(t) er løsning, betyder at det er en vektor af n funktioner ϕ = (ϕ 1,, ϕ n ) på I som opfylder ϕ (t) = A(t)ϕ(t) + g(t) på I, ϕ( ) = η Specielt kræves, at ϕ(t) er differentiabel, og at differentialkvotienten er kontinuert (da højre side i ligningen er kontinuert) Intervallet I kan i denne sætning være af enhver type: begrænset eller ubegrænset, åbent, afsluttet eller halvåbent For den interesserede læser medtages i Appendix et bevis (Picard s metode), der benytter teknikker fra mere avanceret analyse Når den lineære n-te ordens ligning (117) laves om til et første-ordens system (jvf (118)), erstattes den ubekendte funktion ϕ(t) jo af den ubekendte vektorfunktion (ϕ(t), ϕ (t),, ϕ (n 1) (t)), og begyndelsesbetingelsen svarer til (120) (ϕ( ), ϕ ( ),, ϕ (n 1) ( )) = (η 1, η 2,, η n ) Vi slutter da direkte fra Sætning 11 den tilsvarende sætning for lineære n-te ordens ligninger: Korollar 12 Betragt den lineære differentialligning af n-te orden (117) med begyndelsesbetingelsen (121) (x, x,, x (n 1) )( ) = η Det antages, at p 0 (t),, p n 1 (t) og g(t) er kontinuerte for t i et interval I af R For hvert η C n findes en entydigt bestemt løsning defineret på I Bevis Erstat (117) med systemet (116), hvor A(t) og g(t) er defineret som i (118) Ifølge Sætning 11 eksisterer en entydigt bestemt løsning ϕ til dette problem Så er første koordinat af ϕ den søgte løsning Både sætningen og dens korollar har tilsvarende versioner for reelle funktioner, med reelle koefficienter i ligningerne 14 Løsningsrummet for den homogene ligning Den ligning, der fås af (116) ved at erstatte g med nulfunktionen, kaldes den homogene ligning, (122) x = A(t)x Tilsvarende kaldes ligningen (117) homogen, når g(t) er nulfunktionen: (123) x (n) = p 0 (t)x + p 1 (t)x + + p n 1 (t)x (n 1) Vi antager i det følgende, at A(t) er kontinuert på et interval I, så at Sætning 11 kan benyttes

6 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER Sætning 13 Rummet V af løsninger til den homogene ligning (122) udgør et n-dimensionalt vektorrum (et underrum af vektorrummet af differentiable n-vektor-funktioner på I) Lad I Til enhver vektor η C n findes netop én løsning ϕ(t) til (122), så at (124) ϕ( ) = η Den herved definerede afbildning L : η ϕ er en vektorrums-isomorfi fra C n til V Bevis For at checke vektorrumsstrukturen betragter vi to løsninger ϕ 1 og ϕ 2, samt en linearkombination c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 Her er (c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 ) = c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 = c 1 A(t)ϕ 1 + c 2 A(t)ϕ 2 = A(t)(c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 ), så linearkombinationen er ligeledes løsning Altså er V et vektorrum Dimensionen bestemmes nedenfor Det næste udsagn i sætningen følger direkte af Sætning 11 For det tredje udsagn, lad η 1 og η 2 være vektorer i C n og lad ϕ 1 (t) og ϕ 2 (t) være løsningerne med henholdsvis ϕ 1 ( ) = η 1, ϕ 2 ( ) = η 2 For vilkårlige c 1 og c 2 er c 1 ϕ 1 +c 2 ϕ 2 en løsning, og den antager værdien c 1 η 1 +c 2 η 2 i Den er altså billedet ved L af vektoren c 1 η 1 + c 2 η 2 Dette viser, at L er en lineær afbildning fra C n ind i V Den er surjektiv, da ethvert element ϕ V har en værdi ϕ( ) C n Den er injektiv, da en funktion ϕ V ikke kan have to forskellige værdier i Alt i alt ses L at være en bijektiv lineær afbildning fra C n til V ; så er det en vektorrumsisomorfi Specielt ser vi, at C n og V har samme dimension, nemlig n Bemærkning 14 Vektorrummet V har en basis bestående af n elementer ϕ 1,, ϕ n Som basis kan man tage løsningerne ϕ j til (122) som opfylder (124) med η = v j, hvor v 1,, v n er en basis for C n De er lineært uafhængige, dvs at en linearkombination c 1 ϕ 1 + + c n ϕ n er nulfunktionen hvis og kun hvis koefficienterne c 1,, c n alle er 0 Vi har et lignende resultat for højere-ordens ligninger: Sætning 15 Rummet V 0 af løsninger til den homogene ligning (123) udgør et n-dimensionalt vektorrum (et underrum af vektorrummet af differentiable funktioner på I) Lad I Til enhver vektor η C n findes netop én løsning ϕ(t) til (123), som opfylder (120) Den herved definerede afbildning L 0 : η ϕ er en vektorrums-isomorfi fra C n til V 0 Bevis Til ligning (123) er knyttet en ligning (122), hvor A(t) er defineret ved (118) Ved Sætning 13 udgør løsningerne et n-dimensionalt vektorrum af n-vektor funktioner De vil alle være af formen ϕ = (ϕ, ϕ,, ϕ (n 1) ) Vektorrummet V 0 består nu af funktionerne ϕ der står som første koordinat i ϕ erne, og L 0 er afbildningen fra η til ϕ Vektorrummet V 0 har dimension n, da afbildningen L 0 : η ϕ er lineær, og er bijektiv fra C n til V 0 ifølge Korollar 12 Bemærkning 16 Som basis for V 0 kan man tage løsningerne ϕ j til (123) som opfylder (121) med η = v j, hvor v 1,, v n er en basis for C n Disse funktioner er altså lineært uafhængige, dvs en linearkombination c 1 ϕ 1 + +c n ϕ n er nulfunktionen hvis og kun hvis koefficienterne c 1,, c n alle er 0

DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 7 Bemærk, at vi her har et tilfæde hvor vektorfunktionerne ϕ 1,, ϕ n defineret som i Bemærkning 14 er lineært uafhængige, og samtidigt deres første-koordinater ϕ 1,, ϕ n er lineært uafhængige Man kan i almindelighed ikke slutte lineær uafhængighed af førstekoordinaterne i et sæt af vektor-funktioner ud fra lineær uafhængighed af sættet At man kan slutte det her, følger af den specielle struktur: Hvis funktionerne ϕ 1,, ϕ n i V 0 opfylder (125) c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 + + c n ϕ n = 0, så følger ved differentiation, at og dermed er c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 + + c n ϕ n = 0, c 1 ϕ (n 1) 1 + c 2 ϕ (n 1) 2 + + c n ϕ (n 1) n = 0, (126) c 1 ϕ 1 + c 2 ϕ 2 + + c n ϕ n = 0, for de tilsvarende vektorfunktioner i V Hvis disse er lineært uafhængige, må c 1 = c 2 = = c n = 0 I så fald sluttes at første-koordinaterne også er lineært uafhængige Der er tilsvarende sætninger med reelle værdier Man kan yderligere benytte strukturen af løsningsrummet V til at indføre begrebet fundamentalmatrix, der bla bruges ved løsning af inhomogene problemer En forklaring gives nedenfor i Appendix 2 Lineære systemer med konstante koefficienter 21 Egenvektorernes betydning Vi betragter nu systemer, hvor A er en konstant matrix, (21) x = Ax, altså homogene første-ordens systemer med konstante koefficienter Bemærk, at A er en kontinuert funktion på R, så løsningerne er defineret på I = R I dette tilfælde er det muligt at finde løsningerne eksplicit Grund-idéen er at søge løsninger af typen ϕ(t) = e λt v Indsæt en sådan funktion i ligning (21), så fås ligningen λe λt v = Ae λt v, som ved division med e λt og omordning giver ligningen (22) Av = λv Dette er et egenværdi-problem! Vi søger ikke-trivielle løsninger, dvs løsninger hvor v 0, og ser at det netop er egenvektorer for A med tilhørende egenværdi λ Hvis C n har en basis af egenvektorer for A, kan vi herudfra finde løsningerne til alle begyndelsesværdi-problemer Det er det nemme tilfælde, og vi formulerer resultatet i en sætning

8 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER Sætning 21 Betragt problemet (21) med begyndelsesbetingelsen (23) x( ) = η Hvis egenvektorerne for A udgør en basis {v 1,, v n }, med tilhørende egenværdier λ 1,, λ n, så er løsningen til (21), (23), (24) ϕ(t) = c 1 e λ 1(t ) v 1 + + c n e λ n(t ) v n, hvor c 1,, c n er koefficienterne til opløsningen af η efter denne basis: (25) η = c 1 v 1 + c n v n Bevis Da {v 1,, v n } er en basis, har η en entydig fremstilling (25) Hver af funktionerne e λ j(t ) v j løser differentialligningen (21), og antager værdien v j for t = Så løser linearkombinationen (24) differentialligningen, og har værdien (25) for t = Det bemærkes, at λ j erne ikke behøver være forskellige; det vigtige er, at der er egenvektorer nok til at udspænde C n Der er en helt tilsvarende sætning for reelle løsninger: Sætning 22 Hvis A er reel, og R n har en basis {v 1,, v n } af egenvektorer for A, med tilhørende reelle egenværdier λ 1,, λ n, så er løsningen til (21), (23) med η R n netop (24), hvor koefficienterne (reelle) fås ved at opløse η som i (25) Et reelt tilfælde hvor der findes en basis af reelle egenvektorer er, når A er symmetrisk Men der er også reelle tilfælde, hvor vi ikke har (nok) reelle egenværdier Her kan man sommetider komme igennem ved at regne komplekst Vi ser nu nærmere på, hvordan egenværdier og egenvektorer bestemmes, idet vi atter regner komplekst Ligningen (22) kan også skrives (26) (A λe)v = 0, og da vi søger værdier af λ, for hvilke dette har en løsning v 0, er det værdier λ, for hvilke det(a λe) = 0 Determinanten udregnes til at være et polynomium i λ af grad n (hvor λ n har koefficient ( 1) n ): (27) p A (λ) = det(a λe), det karakteristiske polynomium Ifølge Algebraens Fundamentalsætning har det n komplekse rødder, ikke nødvendigvis forskellige Lad os organisere dem som k indbyrdes forskellige rødder λ 1,, λ k med multipliciteter n 1,, n k ; så kan polynomiet skrives (28) p A (λ) = ( 1) n (λ λ 1 ) n1 (λ λ k ) n k Her er n 1 + + n k = n

DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 9 Til hver rod findes mindst én egenvektor, en ikke-triviel løsning til (26) Egenrummet hørende til λ j er vektorrummet udspændt af samtlige egenvektorer, det har en dimension mellem 1 og n j De tilfælde, der blev behandlet i Sætning 21, er netop dem hvor egenrummet har dimension n j for hvert j (og dermed har en basis af n j egenvektorer); da egenrummene for forskellige egenværdier er indbyrdes lineært uafhængige, får vi den ønskede basis for C n ved at sammenstille baserne for de forskellige egenrum Før vi går videre til at behandle det vanskeligere tilfælde hvor der er egenvektorrum med dimension mindre end n j skal vi lige se på reelle løsninger fundet ved komplekse udregninger Hvis ligningen (21) har reel matrix A, gælder, at når ϕ er løsning, er også den komplekst konjugerede funktion ϕ løsning, idet A bevares, når man konjugerer ligningen Så er realdelen Re ϕ = (ϕ + ϕ)/2 og imaginærdelen Im ϕ = (ϕ ϕ)/2i også løsninger, på grund af lineariteten Dvs, vi kan finde reelle løsninger blot ved at tage realdel og imaginærdel af komplekse løsninger Eksempel 23 Lad A = her er n = 2 og matricen er reel Vi finder, at ( ) 0 1, 1 0 ( ) λ 1 p A (λ) = det = λ 2 + 1, 1 λ som har de to komplekse rødder λ 1 = i og λ 2 = i Egenvektorligningerne løses af ( ) i 1 v 1 i 1 = 0, v 1 = ( ) i 1 v 1 i 2 = 0, ( ) ( ) 1 1, v i 2 = i Løsningsrummet V udspændes da af de specielle løsninger ϕ 1 = e it ( 1 i ) ( ), ϕ 2 = e it 1 i Idet e it = cos t + i sin t (ved Eulers formel (17)), er (29) Re ϕ 1 = ( ) ( ) cos t sint, Imϕ sin t 1 = cos t Diss to reelle vektorfunktioner udspænder også løsningsrummet (da de er lineært uafhængige: en linearkombination kan ikke være nulfunktionen uden at være triviel) Så har vi fundet en reel basis for løsningsrummet, som kan bruges til at finde reelle løsninger med reelle begyndelsesværdier

10 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 22 Generaliserede egenrum Hvad gør man, når der ikke er egenvektorer nok til at anvende Sætning 21? Når der er en basis af egenvektorer, kan man skifte kordinater i x-rummet på en sådan måde at matricen får diagonalform løsningen i Sætning 21 kan også forklares udfra en sådan diagonalisering Når A ikke kan diagonaliseres, hvad så? Der findes en mulighed for at skifte koordinater så A bliver en trekantsmatrix, hvor man også har direkte løsningsmetoder; det er den såkaldte Jordan s normalform Men det er ikke altid nødvendigt at gøre dette i alle detaljer (og det kan være kompliceret at regne reelle løsninger ud ved sådanne komplekse transformationer), så vi vil forklare en beslægtet metode, der i praktiske tilfælde kræver færre udregninger Lad λ j være en egenværdi for A med multiplicitet n j Vi definerer det generaliserede egenrum X j for λ j ved: (210) X j = {v C n (A λ j E) n j v = 0} Der gælder følgende sætning, som vi ikke her vil medtage beviset for Sætning 24 Antag, at A har de indbyrdes forskellige egenværdier λ 1,, λ k med multipliciteter n 1,, n k For hvert j har det generaliserede egenrum X j dimensionen n j, og det består af samtlige vektorer, for hvilke (A λ j E) r v = 0 for et r 1 De generaliserede egenrum X 1,, X k er indbyrdes lineært uafhængige, og udspænder tilsammen C n Det kan godt forekomme, at (A λ j E) r v = 0 med r < n j for alle v X j Eksempel 25 For matricerne A 1 = ( ) 3 1 0 3 og A 2 = 3 1 0 0 3 0 0 0 3 gælder, at 3 er eneste egenværdi (med multiplicitet 2 henholdsvis 3) For A 1 finder man et endimensionalt egenrum udspændt af vektoren (1, 0) Det generaliserede egenrum er C 2 For A 2 finder man et todimensionalt egenrum udspændt af (1, 0, 0) og (0, 0, 1) Her er C 3 det generaliserede egenrum Ved udregning ses, at allerede (A 2 3E) 2 = 0, så man finder alle generaliserede egenvektorer som løsninger til (A 2 3E) 2 v = 0 Vi vil nu beskrive de løsninger, der har begyndelsesværdi i X j Lemma 26 Lad v X j Så er (211) ϕ j (t) = e λ jt (E +t(a λ j E)+ 1 2! t2 (A λ j E) 2 + + 1 (n j 1)! tn j 1 (A λ j E) n j 1 )v løsning til (21) med ϕ j (0) = v

DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 11 Bevis Det ses umiddelbart, at værdien for t = 0 er v For at vise at differentialligningen gælder, regner vi løs, med brug af at (A λ j E) n j v = 0: ϕ j(t) = λ j e λ jt (E + t(a λ j E) + 1 2! t2 (A λ j E) 2 + + 1 (n j 1)! tn j 1 (A λ j E) n j 1 )v + e λ jt ((A λ j E) + t(a λ j E) 2 + + 1 (n j 2)! tn j 2 (A λ j E) n j 1 )v = λ j ϕ j (t) + e λ jt ((A λ j E) + t(a λ j E) 2 + + 1 (n j 2)! tn j 2 (A λ j E) n j 1 + 1 (n j 1)! tn j 1 (A λ j E) n j )v = λ j ϕ j (t) + (A λ j E)ϕ j (t) = Aϕ j (t) Nu kan en generel løsning findes på følgende måde Sætning 26 For η givet i C n findes løsningen ϕ(t) til (21) med ϕ(0) = η således: Skriv η som en sum af vektorer v j X j, (212) η = v 1 + + v k Så er (213) ϕ(t) = k j=1 e λ jt (E+t(A λ j E)+ 1 2! t2 (A λ j E) 2 + + 1 (n j 1)! tn j 1 (A λ j E) n j 1 )v j Bevis Lemma 25 anvendes på hver komponent v j, og løsningerne lægges sammen For løsninger med begyndelsesværdien givet i et generelt punkt kan ovenstående formel anvendes, når t erstattes med t Formlen i Sætning 26 dækker naturligvis specielt tilfældet hvor A kan diagonaliseres; her er hvert X j lig med egenrummet for λ j, og alle led med positive potenser af t falder væk 3 Lineære højere-ordens ligninger med konstante koefficienter Vi betragter til sidst en homogen n-te ordens ligning (31) x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 1 x + a 0 x = 0 Det er her naturligt at søge efter løsninger på formen ce λt ; ved indsættelse giver en sådan funktion ligningen (λ n + a n 1 λ n 1 + + a 0 )ce λt = 0 som kun har ikke-trivielle løsninger, når λ er rod i det karakteristiske polynomium p(λ), (32) p(λ) = λ n + a n 1 λ n 1 + + a 0 Hvis dette polynomium har n indbyrdes forskellige rødder λ 1,, λ n, får vi n forskellige løsninger e λ 1t,, e λ nt til (31) De er faktisk en basis for løsningsrummet V 0 (jvf Sætning 15); det vil blive bevist senere

12 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER I det nævnte tilfælde er rødderne simple Når der er multiple rødder, ser løsningerne anderledes ud Antag, at der er k indbyrdes forskellige rødder λ 1,, λ k med multipliciteter n 1,, n k ; så kan polynomiet faktoriseres som p(λ) = (λ λ 1 ) n1 (λ λ k ) n k Det svarer til at differentialligningen kan skrives som (33) ( d dt λ 1) n1 ( d dt λ k) n k x = 0 Lemma 31 Funktionerne t l e at, l = 0, 1,, r 1, er lineært uafhængige løsninger til (34) ( d dt a)r x = 0 Bevis Funktionerne er lineært uafhængige, for hvis c 0 e at + c 1 te at + + c r 1 t r 1 e at 0, så er polynomiet c 0 + c 1 t + + c r 1 t r 1 identisk 0, og dermed er koefficienterne alle 0 Beviset for, at de løser (34), går ved induktion For r = 1 er e at løsning Antag, at vi har udsagnet for r r 0 For r = r 0 + 1 er funktionerne t l e at allerede løsninger når l < r 0 (da ( d dt a)r 0+1 kan skrives ( d dt a)( d dt a)r 0 ) For t r 0 e at har vi, at ( d dt a)(tr 0 e at ) = r 0 t r 0 1 e at + t r 0 ae at at r 0 e at = r 0 t r 0 1 e at, som løser ligning (34) med r = r 0 Nu kan vi vise: Sætning 32 Når det karakteristiske polynomium p(λ) har k indbyrdes forskellige rødder λ 1,, λ k med multipliciteter n 1,, n k, så har ligningen (31) løsningerne (35) samt disses linearkombinationer e λ 1t, te λ 1t,, t n 1 1 e λ 1t, e λ kt, te λ kt,, t n k 1 e λ kt, Bevis For at vise, at funktionerne i første linie af (35) er løsninger, kan vi ændre faktorernes orden i opskrivningen (33), så differentialligningen skrives: ( d dt λ 2) n2 ( d dt λ k) n k ( d dt λ 1) n 1 x = 0 Så fås påstanden af Lemma 32, der viser at allerede ( d dt λ 1) n 1 anvendt på funktionerne giver 0 Man går tilsvarende frem for de andre linier Vi har her fundet n 1 + + n k = n forskellige løsninger til (31) For at vise at de udgør en basis for løsningsrummet mangler vi blot at indse, at de er lineært uafhængige, eller, at de udspænder samtlige løsninger Det får vi med ved at inddrage den matricielle formulering af differentialligningen Første-ordens systemet svarende til ligningen (31) har matricen (jvf (117) (118)) 0 1 0 0 0 0 1 0 (36) A = 0 0 0 1 a 0 a 1 a 2 a n 1

DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 13 Lemma 33 For A som i (36) er hvor p(λ) er defineret i (32) p A (λ) = det(a λe) = ( 1) n p(λ), Bevis Vi kan udføre følgende søjleoperationer på A λe uden at ændre determinantens værdi: Til første søjle adderes λ (anden søjle), λ 2 (tredje søjle),, λ n 1 (n-te søjle) Derved fås λ 1 0 0 0 1 0 0 0 λ 1 0 0 λ 1 0 det 0 0 0 1 a 0 a 1 a 2 a n 1 λ = det Ved opløsning efter første søjle ses, at værdien er ( 1) n p(λ) 0 0 0 1 p(λ) a 1 a 2 a n 1 λ Vi kan nu bruge den kvalitative beskrivelse i Sætning 26 af løsningerne til et generelt system, til at vise at de løsninger, vi fandt i Sætning 32, udgør en basis for løsningsrummet Sætning 34 Funktionerne i (35) er en basis for løsningsrummet til (31) Bevis Vi anvender Sætning 26 på første-ordens systemet (37) x = Ax med A defineret ved (36) For hvert j vælges en basis v j1,, v jnj for X j, og løsningen med værdi v jl for t = 0 betegnes ϕ jl (t) Da rummene X j er indbyrdes lineært uafhængige, udgør systemet (38) ϕ 11,, ϕ 1n1 ; ; ϕ k1,, ϕ knk ; en basis for løsningsrummet V til (37) Ifølge Bemærkning 16 udgør første-koordinaterne ϕ jl til vektorfunktionerne ϕ jl da en basis for løsningsrummet V 0 til (31) Nu ser vi af formel (213), at disse funktioner har formen ϕ jl (t) = s jl (t)e λ jt, 1 j k, 1 l n j, hvor funktionerne s jl (t) er polynomier i t af grad n j 1 Alle funktionerne ϕ jl er altså linearkombinationer af funktionerne i (35)! Dermed indeholder rummet udspændt af funktionerne i (35) alle løsninger til (31) Dvs, de n funktioner i (35) frembringer løsningsrummet V 0 Vi ved, at dette rum har dimension n; så er funktionerne i (35) en basis Hvis koefficienterne a 0,, a n 1 er reelle, har det interesse at søge efter reelle løsninger I dette tilfælde optræder de ikke-reelle rødder i p(λ) i par {λ, λ}, dvs {σ +iν, σ iν} hvor σ = Re λ, ν = Im λ, med samme multiplicitet Når t l e (σ+iν)t er en løsning med ν 0, er dens realdel t l e σt cos νt og imaginærdel t l e σt sin νt lineært uafhængige løsninger De samme to funktioner, bortset fra fortegn, fås som real- og imaginærdel af t l e (σ iν)t Man finder da:

14 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER Sætning 35 Lad a 0, a 1,, a n 1 være reelle, og antag, at det karakteristiske polynomium p(λ) har k indbyrdes forskellige rødder λ 1,, λ k med multipliciteter n 1,, n k, ordnet sådan at (med ν j 0) λ j = σ j + iν j og λ j+k0 = σ j iν j for j k 0, λ j er reel for j > 2k 0 Det reelle løsningsrum til (31) udspændes da af de n lineært uafhængige funktioner (39) t l e σ jt cos(ν j t), t l e σ jt sin(ν j t), for 1 j k 0, 0 l < n j, t l e λ jt, for 2k 0 < j k, 0 l < n j Appendix A1 Bevis for Sætning 11 Hvis ϕ(t) løser problemet (116), (119), dvs (A1) ϕ (t) = A(t)ϕ(t) + g(t) for t I, ϕ( ) = η, så fås ved integration efter t, at (A2) ϕ(t) = η + (A(s)ϕ(s) + g(s)) ds, for t I Omvendt checker man, at en funktion ϕ(t) der opfylder (A2), også opfylder (A1) Vi løser (A2) ved at metoden successiv approximation, nemlig ved successivt at definere en følge ϕ j, der skal konvergere mod en løsning, således: ϕ 0 (t) = η, ϕ 1 (t) = η + ϕ j+1 (t) = η + (A(s)ϕ 0 (s) + g(s)) ds (A(s)ϕ j (s) + g(s)) ds Lad [a, b] I Der findes konstanter K og M, så at A(t)x K x, g(t) M, for t [a, b] For de første funktioner finder vi da ulighederne for t [a, b]: ϕ 1 (t) ϕ 0 (t) (K η + M) ds t (K η + M) ϕ 2 (t) ϕ 1 (t) K ϕ 1 (s) ϕ 0 (s) ds = K 1 2 t 2 (K η + M) Mere generelt gælder: K s (K η + M) ds

DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 15 Lemma A1 For j 0, t [a, b], er (A3) ϕ j+1 (t) ϕ j (t) K j 1 (j+1)! t j+1 (K η + M) Bevis Det går ved induktion Når vurderingen haves for index j 1, fås for næste index: ϕ j+1 (t) ϕ j (t) K ϕ j (s) ϕ j 1 (s) ds K j 1 j! s j (K η + M) ds Vi kan nu skrive opfylder = K j 1 (j+1)! t j+1 (K η + M) ϕ j+1 (t) = ϕ 0 (t) + j ψ k (t), hvor ψ k (t) = ϕ k+1 (t) ϕ k (t) k=0 ψ k (t) 1 (k+1)! (K t ) k+1 (K η + M)/K, for alle k Rækken k=0 ψ k (t) opfylder altså, at leddene er domineret af leddene i en eksponentialrække, og derfor er den uniformt konvergent for t [a, b] Dermed har følgen ϕ j (t) en grænsefunktion ϕ(t) for j, t [a, b] Man efterviser let, at ϕ(t) opfylder (A2) og dermed ligning og begyndelsesbetingelse Da vi kan vælge [a, b] I vilkårligt, bliver ϕ(t) på denne måde veldefineret på hele I Entydigheden fås ved hjælp af følgende version af Gronwall s lemma: Lemma A2 Hvis f(t) er kontinuert og 0 på et interval [α, β], og K 0, så medfører uligheden (A4) f(t) K α f(s) ds, for t [α, β], at f er nulfunktionen Bevis Lad U(t) = K f(s) ds; bemærk at U(α) = 0 og U(t) 0 på [α, β] Den givne α ulighed viser, at (A5) på [α, β] Så er endvidere f(t) U(t) U (t) = Kf(t) KU(t) Ved multiplikation med e K(t α) fås U (t)e K(t α) KU(t)e K(t α)

16 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER Bemærk nu, at [U(t)e K(t α) ] = U (t)e K(t α) KU(t)e K(t α) ; der gælder altså at Men så er [U(t)e K(t α) ] 0 U(t) = U(t) U(α) = α U (s) ds 0, hvilket sammenholdt med U(t) 0 giver at U(t) 0 på [α, β] Det følger da af (A5), at f(t) 0 Lad ϕ og ψ være to løsninger Da de begge opfylder (A2), har vi, med konstanter valgt som ovenfor, at ϕ(t) ψ(t) = A(s)(ϕ(s) ψ(s)) ds K ϕ(s) ψ(s) ds for t [a, b] For t [, b] følger umiddelbart ved anvendelse af Lemma A2, at ϕ(t) = ψ(t) For t [a, ] skal man foretage en lille omskrivning for at bringe Lemma A2 i spil Da [a, b] kan vælges vilkårligt, ses at ϕ = ψ A2 Fundamentalmatrix, inhomogene problemer, Wronski determinant Når n løsninger ϕ 1,, ϕ n til (122), hvor hver ϕ j skrives som en søjlevektor stilles op i en række, får vi en n n-matrix Φ(t) = ( ϕ 1 (t),, ϕ n (t)) = ϕ 11 (t) ϕ n1 (t) ; ϕ 1n (t) ϕ nn (t) den kaldes en løsningsmatrix (Bemærk, at andet index angiver rækkenummer, i strid med den sædvanlige notation) Løsningsmatricen kaldes en fundamentalmatrix, hvis søjlerne er lineært uafhængige (som n-vektor-funktioner), det er netop tilfældet, når de udgør en basis for V Sætning A3 Lad Φ(t) være en løsningsmatrix til (122) Følgende tre udsagn er ækvivalente: (i) Φ(t) er en fundamentalmatrix (ii) det Φ(t) 0 for alle t I (iii) det Φ( ) 0 for et I Bevis Dette er en konsekvens af Sætning 13 Det er klart, at (ii) medfører (iii) Vælg et punkt I; når (iii) gælder, udgør værdierne af løsningerne i punktet en basis for C n, og så er løsningerne ifølge Sætning 13 en basis for V, altså (i) gælder Endvidere, da L er en vektorrumsisomorfi, vil (i) medføre (iii) Da var vilkårligt valgt, vil (i) også medføre (ii) Dermed er alle tre udsagn ækvivalente Vi bemærker det særlige fænomen, at den lineære uafhængighed af et sæt af løsninger kan checkes blot ved at checke den lineære uafhængighed af løsningernes værdier i ét punkt ϕ j1 ϕ jn,

DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER 17 Når ϕ 1,, ϕ n er en basis for V, kan en vilkårlig løsning skrives som en linearkombination af dem, og ifølge notationen for matrix-multiplikation kan dette endvidere skrives således: c 1 c 1 ϕ 1 (t) + + c n ϕ n (t) = Φ(t) c, hvor c er søjlen Vi ser altså, at vilkårlige løsninger til (122) fås som Φ(t) c, hvor c gennemløber C n Bemærk, at hvis (A6) Φ( ) = E, så er Φ(t)c den løsning til (122), som antager værdien c for t = Udfra en vilkårlig fundamentalmatrix Ψ(t) fås en, der opfylder (A6), ved at gange til højre med matricen Ψ( ) 1 Vi kan løse inhomogene problemer, når en fundamentalmatrix er kendt: Sætning A4 Lad Φ(t) være en fundamentalmatrix for (122), som opfylder (A6) Så er løsningen til (116) med begyndelsesbetingelsen (119): (A7) ψ(t) = Φ(t) η + Φ(t) Bevis Da søjlerne i Φ(t) løser (122), er Φ (t) = A(t)Φ(t) Φ(s) 1 g(s) ds Da (A6) gælder, er ψ( ) = η Vi checker, at (A7) løser (116), ved udregning: ψ(t) = Φ (t) η + Φ (t) = A(t)Φ(t) η + A(t)Φ(t) = A(t) ψ(t) + g(t) c n Φ(s) 1 g(s) ds + Φ(t)Φ(t) 1 g(t) Φ(s) 1 g(s) ds + g(t) Bemærk analogien mellem (A7) og (13) Når disse idéer anvendes på systemet knyttet til en n-te ordens ligning (117), har en løsningsmatrix den specielle form ϕ 1 (t) ϕ n (t) (A8) Φ(t) = ϕ 1 (t) ϕ n (t) ϕ (n 1) 1 (t) ϕ n (n 1) (t) og dens determinant kaldes Wronski-determinanten, W(t) Det følger af Sætning A3 og Bemærkning 16, at W(t) 0 i et punkt hvis og kun hvis den er 0 i alle t, samt at dette finder sted netop når funktionerne ϕ 1 (t),, ϕ n (t) er lineært uafhængige løsninger Wronski-determinanten kan bruges til at udlede bekvemmere løsningsformler for inhomogene problemer,

18 DIFFERENTIALLIGNINGER MED KONSTANTE KOEFFICIENTER Eksempel A5 Lad n = 2, og lad ϕ 1 og ϕ 2 være løsninger til (123) med (ϕ 1 ( ), ϕ 1 ()) = (1, 0), (ϕ 2 ( ), ϕ 2 ()) = (0, 1); de danner en fundamentalmatrix og Wronski-determinant Φ(t) = ( ) ϕ1 (t) ϕ 2 (t) ϕ 1 (t) ϕ 2 (t) med Φ( ) = E, Inversen Φ(t) 1 udregnes ved matrix-regning til Φ 1 = 1 W ( ϕ 2 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 1 W(t) = ϕ 1 (t)ϕ 2 (t) ϕ 2(t)ϕ 1 (t) ), og da g = (0, g), fås Φ 1 g = 1 W ( ϕ 2 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 1 )( ) 0 = 1 g W ( ) ϕ2 g ϕ 1 g Dermed er, for et givet η = (η 1, η 2 ), løsningen til det inhomogene førsteordenssystem med værdi η i : Første koordinat ψ(t) = Φ(t) η + Φ(t) = Φ(t) η + 1 W(s) (A9) ψ(t) = ϕ 1 (t)η 1 + ϕ 2 (t)η 2 + Φ(s) 1 g(s) ds ( ϕ1 (t)ϕ 2 (s)g(s) + ϕ 2 (t)ϕ 1 (s)g(s) ϕ 1(t)ϕ 2 (s)g(s) + ϕ 2(t)ϕ 1 (s)g(s) ϕ 1 (s)ϕ 2 (t) ϕ 2 (s)ϕ 1 (t) W(s) løser det inhomogene problem (117) med ψ( ) = η 1, ψ ( ) = η 2 Mere om differentialligninger kan fx findes i nedennævnte bøger Litteraturliste ) ds g(s) ds [AB] K G Andersson og L-C Böiers, Ordinära Differentialekvationer, Studentlitteratur, Lund, 1992 [BN] F Brauer og J Nohel, The Qualitative Theory of Differential Equations, Dover, New York, 1989