Dynamiske systemer - Iteration og approksimation

Dynamiske systemer - Iteration og approksimation - Økonomiske Modeller AALBORG UNIVERSITET Institut for Matematiske fag Gruppe G2-101 3. semester MAT1 2. sept. - 21. dec. 2009

AALBORG UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG TITEL: Dynamiske systemer - Iteration og approksimation - Økonomiske modeller PROJEKT PERIODE: Fra 2. September til 21. December 2009 PROJEKTGRUPPE: Alexander B. Ottesen Dennis Hansen Leif E. Schaefer Sara N. Hansen VEJLEDER: Martin Raussen SYNOPSIS: Rapportens omhandler dynamiske systemer og dets anvendelser. Der vil indledningsvist blive forklaret lineær algebra samt lineære dierensligninger og systemer af diss. Der bliver også set på systemer af lineære og ikke-lineære dierentialligninger. Desuden vil rapporten komme nærmere ind på stabiliteten af systemer af dierens- og dierentialligninger, sam anvendelsen af faseportrætter. Til sidst benyttes den opnåede viden til at analysere økonomiske modeller - specielt IS-LM modellen. OPLAGSTAL: 8 ANTAL SIDER: 105 Gruppe MAT1-G2-101

Forord Denne rapport er udarbejdet af en gruppe matematikstuderende på MAT 1, 3. semester på Matematik og Statistik uddannelsen ved Aalborg Universitet. Projektperioden er fra den 2. september 2009 til den 21. december 2009. Dynamiske systemer - Iteration og approksimation er det overordnede tema for projektet, hvorunder gruppen valgte at arbejde med det matematiske emne lignings systemer. Rapporten gennemgår derfor de vigtigste redskaber for at kunne arbejde med systemer af dierensligninger og dierentialligninger, for til sidst at anvende disse redskaber til se på stabilitet af disse systemer, ud fra nogle økonomiske modeller. Kilderne i denne rapport er angivet efter Harvard-metoden, som har følgende udseende [Efternavn, År, Evt. sidetal]. Sidst i rapporten ndes en litteraturliste, hvor der er angivet mere detaljerede oplysninger for de forskellige kilder. Tabeller, gurer, denitioner, sætninger og beviser er alle fortløbende nummererede efter hvilket kapitel, de er placeret i, og hvor i kapitlet de står. Derfor vil der nogle steder eksempelvis stå en reference i teksten, såsom Sætning 4.7, hvilket angiver den 7. sætning i kapitel 4. En reference til Sætning A.2 vil være til sætning nummer 2 i appendiks A, som ndes bagerst i rapporten. Aalborg den 21/12 2009 Alexander B. Ottesen Leif E. Schaefer Dennis Hansen Sara N. Hansen iii

Indholdsfortegnelse Kapitel 1 Indledning 1 Kapitel 2 Problem og opbygning 3 2.1 Problemafgrænsning............................... 3 2.2 Rapportens opbygning.............................. 3 Kapitel 3 Indledende teori 5 3.1 Vektorrum..................................... 5 3.2 Dimension af vektorum............................. 6 3.2.1 Lineær uafhængighed.......................... 6 3.2.2 Baser................................... 9 3.3 Lineære afbildninger............................... 11 3.3.1 Nulrum.................................. 12 3.3.2 Billedrum................................. 13 3.4 Egenværdier og -vektorer............................ 14 3.5 Diagonalisering.................................. 16 3.6 Spektralsætningerne............................... 17 3.6.1 Den reelle spektralsætning........................ 18 3.6.2 Den komplekse spektralsætning..................... 18 Kapitel 4 Lineære dierensligninger 19 4.1 Homogene lineære dierensligninger...................... 19 4.2 Inhomogene lineære dierensligninger..................... 23 4.3 Løsning af dierensligninger........................... 24 4.3.1 Ligninger af første orden......................... 24 4.3.2 Ligninger af n'te orden.......................... 26 4.4 Systemer af dierensligninger.......................... 26 4.4.1 Første ordens 2 2-systemer i normal form.............. 26 4.4.2 Første ordens n n systemer...................... 28 4.5 Handelsmodel................................... 30 Kapitel 5 Dierentialligninger 33 5.1 Systemer af lineære dierentialligninger.................... 33 5.1.1 Ukoblede lineære systemer........................ 34 5.1.2 Koblede lineære systemer........................ 35 5.1.3 Eksponential operatorer......................... 36 5.1.4 Fundamentalsætningen for lineære systemer.............. 36 v

5.2 Egenværdier i systemmatricen.......................... 39 5.2.1 Forskellige reelle egenværdier...................... 39 5.2.2 Forskellige komplekse egenværdier................... 40 5.2.3 Multiple egenværdier........................... 41 5.3 Markedsmodel.................................. 43 5.4 Ikke-lineære dierentialligningssystemer.................... 45 5.4.1 Jacobi matrix............................... 46 5.4.2 Hovedantagelse.............................. 46 Kapitel 6 Faseportrætter og stabilitet 49 6.1 Ligevægtspunkter og faseportræt........................ 49 6.1.1 Faseportrætter.............................. 51 6.2 Stabilitet af systemer af lineære ligninger................... 52 6.2.1 Lineære dierensligninger i 2 2.................... 52 6.2.2 Lineære dierentialligninger i 2 2................... 57 6.2.3 Inhomogene systemer.......................... 61 6.3 Gensyn med eksempler.............................. 62 6.4 Stabilitet i ikke-lineære systemer af dierentialligninger........... 63 6.4.1 Linearisering............................... 64 6.4.2 Lyapunov funktion............................ 65 Kapitel 7 Analyse af økonomisk model 75 7.1 IS-LM modellen.................................. 75 7.1.1 Det lineære IS-LM-model........................ 76 7.1.2 Eksempler på den lineære IS-LM model................ 77 7.1.3 Ikke-lineær IS-LM model........................ 81 Kapitel 8 Konklusion 85 Litteratur 87 A Partikulære løsninger 89 B Dierentialligninger 91 B.1 Første ordens dierentialligninger........................ 91 B.2 Homogene lineære anden ordens dierentialligninger med konstante koecienter....................................... 93 B.3 Inhomogene lineære dierentialligninger.................... 94 B.4 Oversigt over kvalicerede gæt på partikulære løsninger............ 95 C Diverse 97 C.1 Aksiomer for vektorrum............................. 97 C.2 Walras....................................... 97 vi

Indledning 1 Kan fremtiden forudsiges? Det er et spørgsmål som mange gerne ville kunne svare ja til, da det ville gøre livet meget lettere. Desvære er det ikke muligt at forudsige fremtiden helt præcist, men det er muligt at opstille forskellige modeller som kan tilnærme sig virkeligheden. Disse modeller anvendes blandt andet inden for meterologien til at kunne forudsige vejret og som det nok er kendt er vejrudsigten ikke altid til at stole på. Men det er ikke kun indenfor vejret at det er rart at kunne forudsige fremtiden med en vis sikkerhed. Indenfor økonomien forudsiges fremtiden også ved hjælp af forskellige modeller for at kunne give blandt andet politikerne nogle muligheder for at vide hvad der skal gøres for f.eks at undgå at en krise forværres. Disse modeller er ikke fuldstændigt sikre, da visse ting ofte tages for givet, samtidig med der kan indtræe forskellige begivenheder der ændrer tingenes tilstand. Selvom disse modeller ikke er helt præcise er de stadig interessante, specielt set med en matematikers øjne. Disse modeller, specielt indenfor økonomien, kan beskrives ved hjælp af såkaldte dierensog dierentialligninger som denne rapport beskæftiger sig med. Ideen med modellerne er nde ud af om et system før eller siden opnår en såkaldt ligevægt, dvs. der er balance som svarer til f.eks, at der er samme mængde udbud som der er efterspørgsel. Gennem matematisk analyse er det muligt at bestemme om modellen vil være stabil for et givet marked. Dette gøres gennem systemer af dienrens- og dierentialligninger som kan fortælle mange vigtige ting om modellen. At beskrive og løse disse systemer er ikke altid verdens nemmeste job, men ved hjælp af lineær algebra gøres det betydeligt nemmere, hvorfor denne rapport også beskæftiger sig med dette emne. 1

Problem og opbygning 2 Denne rapport beskæftiger sig med økonomiske modeller og matematikken bag disse modeller. Til dette er det nødvendigt at se på systemer af ligninger. Derfor er disse spørgsmål essentielle: Problemformulering: Hvilke systemer af ligninger kan der bruges til at beskrive økonomiske modeller? Hvordan løses og/eller analyseres disse systemer af ligninger? 2.1 Problemafgrænsning Dette er selvfølgelig et meget vidtrækkende emne, så det bliver begrænset inden for følgende: Der ses på systemer af lineære dierensligninger og systemer af både lineære og ikkelineære dierentialligninger. Endvidere vil der blive vist metoder til løsningen af systemer af lineære dierens- og dierentialligninger. Analysen af de tre typer af systemer vil blive en stabilitetsanalyse af det to dimensionelle tilfælde. Der vil der blive kigget på to små økonomiske modeller inden fokus bliver lagt på den økonomiske model kaldet IS-LM modellen, der beskriver sammenhængen mellem et varemarked og et pengemarked. 2.2 Rapportens opbygning Denne rapport er opbygget på følgende måde: Kapitel 3 indeholder indledende teori om lineær algebra. Dette skal bruges i de efterfølgende kapitler til at behandle systemer af dierens- og dierentialligninger. I Kapitel 4 og 5 bliver det beskevet, hvordan systemer af ligninger løses. Kapitel 4 er om lineære dierensligninger, og det bliver indledt med noget generelt omkring lineære dierensligninger inden der ses på systemer af lineære dierensligninger. Kapitel 5 beskriver både lineære og ikke-lineære dierentialligninger. Der bliver kigget specikt på løsningsmåder af systemer af lineære dierentialligninger ud fra deres 3

egenværdier. Hvorimod der kun bliver kigget overordnet på systemer af ikke-lineære dierentialligninger, med henblik på stabilitetsanalyse af disse. Alle disse tre emner bruges som baggrund for stabilitetsanalysen af disse systemer. Kapitel 6 er det kapitel, hvor der bliver kigget på stabilitetsanalyse af systemer ud fra Kapitel 4 og 5. Der vil også blive set på, hvordan faceportrætter af disse systemer arter sig. Analysedelen af rapporten er Kapitel 7, hvor der vil blive set på både lineære og ikkelineære udgaver af IS-LM modellen. Der vil blive udført en analyse af stabiliteten af modellerne ud fra systemer med forskellige taleksempler. Konklusionen på rapporten ndes i Kapitel 8. Her vil der blive konkluderet på problemformuleringen og perspektiveret over hvilke ting der også kunne have været interessante at have haft med i rapporten. 4

Indledende teori 3 Dette kapitel er skrevet ud fra [Lay, 2006] og [Axler, 1997]. 3.1 Vektorrum Der vil her blive skrevet om vektorrum, denitionen på sådanne og deres egenskaber, idet det så vil være muligt at benytte vektorrum til at beskrive dierensligninger og dierentialligninger. Denition 3.1 En mængde V kan kaldes et vektorrum, hvis den er organiseret ved addition og skalar multiplikation sådan at samtlige af de følgende aksiomer gælder: - Komutativitet - Associativitet - Additiv identitet - Additiv invers - Multiplikativ identitet - Distributive egenskaber For yderligere uddybelse af de omtalte aksiomer se Appendix C.1. Et vektorrum har en række egenskaber, her følger sætninger med bevis for nogle af egenskaberne: Sætning 3.2 Den additive identitet er entydigt bestemt. Bevis: Antag at både 0 og 0 er additive identiteter for et vektorrum V, så gælder: 0 = 0+ 0 = 0 Som det var ønsket. 5

Sætning 3.3 Den additivt inverse til et element v V er entydigt bestemt. Bevis: Der haves tre vektorer v, w, w V. Antag at w og w er additivt inverse til v, hvilket vil medføre: w = w + 0 = w +( v + w ) = ( w + v)+ w = 0+ w = w Som det var ønsket Et underrum deneres som følgende: Denition 3.4 En delmængde U til V kaldes et underrum til V, hvis U er et vektorrum, og der gælder: Additiv identitet: Den additive identitet til V er også indeholdt i U. Lukket under addition: For ethvert u og v indeholdt i U gælder der også, at u+ v er indeholdt i U. Lukket under skalar multiplikation: For en skalar a L og en vektor u U, er a u U Senere vil underrum blive benyttet i forbindelse med løsningen af forskellige systemer af dierensligninger. 3.2 Dimension af vektorum Dimensionen af vektorrum er vigtigt i beviserne af mange sætninger, så derfor vil der her blive arbejdet med dette. Dimensionen fortæller blandt andet om antallet af vektorer i en basis for vektorrummet. 3.2.1 Lineær uafhængighed Linear kombinationen af et sæt af vektorer v 1, v 2..., v n V, hvor V er et vektorrum, er en vektor v, hvorom der gælder at: v = a 1 v 1 +a 2 v 2 + +a n v n Hvor a 1,a 2,...,a n L er skalarer, hvor L er et skalarlegme. Mængden af alle vektorer, der er linear kombinationer af vektorene i sættet, kaldes sættets spænd, hvilket skrives som: span( v 1, v 2..., v n ) 6

Hvis span( v 1, v 2..., v n ), svarer til vektorummet V, siges det at ( v 1, v 2..., v n ) udspænder V. Et sæt der udspænder et vektorrum V kaldes også for et frembringersæt til V. Et vektorrum siges at være endeligt dimensionelt, hvis og kun hvis, der ndes et frembringersæt for vektorrummet. Et sæt af vektorer ( v 1, v 2..., v n ) siges at være lineært uafhængigt, hvis og kun hvis, der for skalarer a 1,a 2,...,a n L gælder, at a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a n v n = 0, når og kun når, a 1 = a 2 = = a n = 0. Modsat siges et sæt af vektorer ( v 1, v 2..., v m ) at være lineært afhængigt, når der for skalarer a 1,a 2,...,a m L, hvorom der gælder at a 1 a 2 a m 0, ndes en linear kombination af vektorene i sættet således, at der gælder 0 = a 1 v 1 +a 2 v 2 + +a m v m. Et sæt bestående af kun én vektor ( v) er linæret uafhængigt, så længe der gælder, at v 0, og lineært afhængig, hvis v = 0. Dette ses, idet hvis der gælder, at v = 0, da gælder det at enhver linear kombination af vektoren v er lig med 0, hvilket er kravet for lineær afhængighed. Sætning 3.5 Hvis ( v 1, v 2..., v m ) er et lineært afhængigt sæt i V og v 1 0, så eksisterer der et j {2,...,m}, således at det følgende gælder: ˆ v j span( v 1, v 2,..., v j 1 ); ˆ Hvis den j'te vektor i ( v 1, v 2..., v m ) fjernes, da gælder der, at span( v 1, v 2..., v m ) = span( v 1,..., v j 1, v j+1,..., v m ) Bevis: Antag at sættet af vektorer ( v 1, v 2..., v m ) er et lineært afhængigt sæt, og at der gælder, at det første element i sættet er forskelligt fra 0. Så eksisterer der skalarer a 1,...,a m L, der ikke alle er lig 0, så der gælder: o = a 1 v 1 +a 2 v 2 + +a m v m Lad j være det største element i mængden {2,...,m}, hvorom der gælder at a j 0, det vil sige at v j kan skrives som: 0 = a 1 v 1 + +a j v j v j = a 1 a j v 1 a j 1 a j v j 1 Hvilket beviser den første del af sætningen. For at bevise anden del af sætningen, tages en vektor u span( v 1,..., v m ), så eksisterer der skalarer c 1,...,c m L således at: u = c 1 v 1 +c 2 v 2 + +c m v m Hvis v j indsættes i den ovenstående, ses det at spændet ikke ændres ved at fjerne v j fra spændet, hvilket var det ønskede. 7

Det kan nu vises at et lineært uafhængigt sæt aldrig kan indeholde ere elementer end det tilsvarende frembringersæt. Sætning 3.6 I et endeligt dimensionelt vektorrum V er antallet af elementer i ethvert lineært uafhængigt sæt, mindre end eller lig med antallet af elementer i ethvert frembringersæt. Bevis: Det antages først, at ( u 1,..., u m ) er et lineært uafhængigt sæt i V, og ( w 1,..., w n ) er et frembringersæt. Det er nu nødvendigt at vise, at m n. Dette gøres gennem en række trin, hvor der i hvert trin tages en af u'erne og lægges til ( w 1,..., w n ), hvorefter der fjernes et w. Trin 1: Der gælder, at span( w 1,..., w n ) = V og som følge deraf fås et lineært afhængigt sæt af vektorer, hvis der tilføjes en vektor til mængden, hvilket specielt gælder for mængden: ( u 1, w 1,..., w n ) hvilket vil sige at det, som følge af den forige sætning, er muligt at fjerne et af w'erne, uden at spændet ændres. Dette giver en mængde bestående af de resterende w'er, samt u 1, kaldet B, der består af n elementer, som stadig udspænder V. Trin j Mængden B givet efter trin j 1 udspænder vektorrummet V, og derved fås et lineært afhængigt sæt, hvis der tilføjes en vektor til mængden. Specielt mængden med n+1 elementer, der fås ved at tilføje u j til B, hvilket giver en ny mængde der også kaldes B, er lineært afhængigt. Den tilføjede vektor placeres efter elementerne u j,..., u j 1. Jf. den forrige sætning, så er en af vektorene i denne mængde en linear kombination af de forgående, og idet ( u 1,..., u j ) er lineært uafhængige, er det kun et af de resterende w'er der kan fjernes, dette w kan fjernes fra B, hvilket giver en ny mængde, som nu navngives B, således at B indeholder n elementer, bestående af u 1,..., u j samt de resterende w'er, og B udspænder V. Efter trin m er alle u'erne tilføjet til mængden B. Hvis der på noget tidspunkt kan tilføjes et u til mængden, og der ikke er nogle w'er at fjerne, fås en modstrid, og deraf følger det, at m n, som det var ønsket. Det virker selvindlysende, at hvis der er tale om et endeligt dimensionelt vektorrum, så er ethvert vektorrum indeholdt i det pågældende vektorum også endeligt dimensionelt, hvilket nu kan bevises: Sætning 3.7 Ethvert underrum af et endeligt dimensionelt vektorrum er også endeligt dimensionelt. Bevis: Antag at V er et endeligt dimensionelt vektorrum, og U et underrum til V. Det der nu skal bevises er, at U også er endeligt dimensionelt. Dette gøres gennem en proces af ere trin: Trin 1: Hvis U = { 0}, så er det åbenlyst, at U er endeligt dimensionelt. Hvis U { 0}, 8

da vælges en vektor forskellig fra 0 v 1 U Trin j: Hvis der gælderu =span( v 1,..., v j 1 ), så eru endeligt dimensionel. HvisU span( v 1,..., v j 1 ), da vælges en vektor v j, hvorom der gælder at v j / span( v 1,..., v j 1 ) Efter hvert trin, så længe processen forløber, er der blevet konstrueret mængder af vektorer, der alle er lineært uafhængige. Jf. den forige sætning må processen ende før eller siden, hvorfra det kan uddrages, at der er tale om et endeligt dimensionelt underrum. 3.2.2 Baser Basis til et vektorrum er deneret som en lineært uafhængig mængde af vektorer, der udspænder vektorrummet. Baser er vigtige, idet de benyttes til at denere dimensionen af vektorrum. Der gælder følgende: Sætning 3.8 En mængde af lineær uafhængige vektorer ( v 1,..., v n ) V kaldes for en basis til V, hvis og kun hvis enhver vektor v V kan entydigt skrives på formen: v = a 1 v 1 + +a n v n Hvor a 1,a 2,...,a n L Bevis: Antag at ( v 1,..., v n ) er en basis til V og lad v være en vektor i V. Idet v er en vektor i V kan den skrives som en linear kombination af ( v 1,..., v n ). Det skal nu vises, at disse skalarer er entydigt bestemt. Antag at der eksisterer skalarer b 1,b 2,...,b n, så der gælder: v = b 1 v 1,b n v n Hvilket vil medføre, at der gælder: 0 = (b 1 a 1 ) v 1,...,(b n a n ) v n Hvilket, idet en basis er lineært uafhængig, giver at: (b 1 a 1 ) = 0 (b 2 a 2 ) = 0. (b n a n ) = 0 Hvilket giver at: a 1 = b 1,...,a n = b n, som var det ønskede resultat. Nu skal det så vises, at hvis skalarerne a 1,a 2,...,a n L er entydigt bestemt, så: v = a 1 v 1 + +a n v n Dette indikerer, at vektorene ( v 1,..., v n ) udspænder vektorrummet. Der vælges skalare således, at der gælder: 0 = a 1 v 1 + +a n v n Da ses det, at idet alle vektorer er givet ved entydige skalarer, må alle skalarerne være lig 0, hvilket vil sige, at vektorene er lineært uafhængige, hvilket afslutter beviset. 9

Denne viden kan nu udnyttes, til følgende denition. Denition 3.9 Lad v 1, v 2,..., v n være en basis for vektorrummet V, da er dimensionen af V, betegnet med dim(v), givet ved: dim(v) = n (3.1) Det næste vigtige resultat er, at det er muligt for hvert sæt af vektorer, der udspænder et vektorrum, at udtynde det til en basis. Udtynding til en basis betyder, at der fjernes vektorer, der kan skrives som linear kombinationer af de forgående, dette kan skrives mere formelt som: Sætning 3.10 Ethvert frembringersæt kan udtyndes til en basis for V Bevis: Antag at ( 0 = a 1 v 1 + + a n v n ) udspænder V. Det ønskes at fjerne vektorer fra ( 0 = a 1 v 1 + +a n v n ) således, at de resterende vektorer udgør en basis til V. Dette gøres gennem en process på ere trin, der startes ved at sætteb givet ved( 0 = a 1 v 1 + +a n v n ). Trin 1: Er v 1 = 0, slettes den fra B, og den nye mængde deneres som B. Hvis v 1 0, da lades B være uændret. Trin j: Er v j i spændet af ( v 1,..., v j 1 ), da slettes v j fra B, og det nye sæt sættes til at være B. Hvis v j ikke er i spændet, da lades B være uændret. Denne proces endes efter trin n, givende et sæt B. Dette sæt udspænder V, idet det originale sæt gjorde og de eneste vektorer, der er blevet udtyndet fra sættet, er vektorer der kan skrives som linear kombinationer af de foregående vektorer. Dette medfører at ingen af vektorerene kan skrives som linear kombinationer af de foregående. Heraf følger at B er lineært uafhængigt, og som følge deraf er B en basis til V. Dette resultat betyder også at ethvert endeligt dimensionelt vektorrum har en basis. Da der gælder at ethvert frembringersæt kan udtyndes til en basis til V, virker det logisk at ethvert lineært uafhængigt sæt i V kan supleres op til en basis for V, hvilket vises i den følgende sætning. Sætning 3.11 Ethvert lineært uafhængigt sæt af vektorer i et endeligt dimentionelt vektorrum kan supleres til en basis for vektorrummet. Bevis: Først antages det, at V er et endeligt dimensionelt vektorrum, samt at ( v 1,..., v m ) er et lineært uafhængigt sæt i V. Det ønskes at suplere sættet ( v 1,..., v m ) til en basis for V. Dette gøres gennem en proces i ere trin: Først lad ( w 1,..., w n ) udgøre et tilfældigt 10

frembringersæt til V. Trin 1: Hvis w 1 er i spændet af ( v 1,..., v m ) deneres B til at være ( v 1,..., v m ). Hvis w 1 ikke er i spændet af ( v 1,..., v m ) sættes B til at være ( v 1,..., v m, w 1 ). Trin j: Hvis w j er i spændet af B, lades B være uændret. Er w j ej i spændet af B, da tilføjes w j til B og det nye sæt sættes til at være B. Det er tydeligt, at efter hvert trin er B stadig lineært uafhængigt, idet der ikke tilføjes vektorer, der er i spændet af de forgående. Efter det n'te trin er alle w'erne i spændet af B, hvilket medfører, at B udspænder V, og da vektorerne i B er lineært uafhængige, er B en basis for V. Som følge af den ovenstående sætning fås følgende sætning: Sætning 3.12 Antag at V er et endeligt dimensionelt vektorrum, samt at U er et underrum til V, da ndes der et underrum W, således at V = U W. Bevis: Idet V er endeligt dimensionelt, er U også, og som følge deraf vides det, at der er en basis ( u 1,..., u m ) for U. Idet U er et underrum til V, og ( u 1,..., u m ) er en basis til U, er ( u 1,..., u m ) et lineært uafhængigt sæt af vektorer i V. Det medfører, at det er muligt at opsuplere sættet til en basis for V, skrevet ( u 1,..., u m, w 1,..., w n ). Lad så ( w 1,..., w n ) udspænde et underrum W, til V. For at bevise sætningen, er det nødvendigt at vise, at der gælder, at V = U W, og at U W = {0} For at vise det første, tages en v V, så gælder det, at da ( u 1,..., u m, w 1,..., w n ) udspænder V, eksisterer der skalarer a 1...a m,b 1...b n L således at: v = a 1 u 1 + +a m u m +b 1 w 1 + +b n w n Med andre ord kan v skrives som v = u+ w, hvor u U og w W, hvilket medfører, at v U W. Dette færdiggør beviset for, at V = U W. Nu skal det vises, at U W = {0}. Antag at der ndes et v U W, da ndes der skalarer a 1...a m,b 1...b n L således at: v = a 1 u 1 + +a m u m = b 1 w 1 + +b n w n Dette medfører at: a 1 u 1 + +a m u m b 1 w 1 b n w n = 0 Idet ( u 1,..., u 2, w m,..., w n ) er lineært uafhængigt, må skalarene være lig med 0, og som følge deraf må v = 0, hvilket afslutter beviset for, at U W = {0}. 3.3 Lineære afbildninger Dette afsnit vil beskæftige sig med lineære afbildninger, her følger denitionen på en lineær afbildning: 11

Denition 3.13 En afbildning T:V W, hvor V og W er vektorrum over L, kaldes lineær hvis: 1. T( x+ y) = T x+t y for alle x, y V 2. T(λ x) = λ T x for alle x V,λ L Dette noteres på følgende måde T L(V,W). Bemærk: T( 0) = 0, hvis T er lineær. Derudover gælder det, at hvis T er lineær, så er T(λ x+µ y) = λ T x+µ T y. 3.3.1 Nulrum Det vil først blive deneret, hvad et nulrum er: Denition 3.14 Nulrummet af T L(V,W), betegnet Null(T) opfylder følgende: Null(T) = { } v V : T( v) = 0 Det vil nu blive vist at nulrummet er et underrum: Sætning 3.15 For T L(V,W), er nulrummet for T, et underum i V, der indeholder de vektorer, som ved T bliver afbildet i 0. Bevis: For at vise, at Null(T) er et underum i V, er det nødvendigt at vise, at Null(T) opfylder kravene til et underrum. Først skal det vises, at 0 Null(T): T( 0) = T( 0+ 0) = T( 0)+T( 0) Hvilket viser, at T( 0) = 0, hvormed 0 Null(T). Så skal det vises, at Null(T) er lukket under addition. Hvis u, v Null(T), så: T( u+ v) = T u+t v = 0+ 0 = 0. Hvilket viser, at u+ v Null(T). Dette medfører, at Null(T) er lukket under addition. Til sidst skal det vises, at Null(T) er lukket under skalarmultiplikation. Det antages, at u Null(T) og a L, således at T(a u) = at( u) = a 0 = 0. 12

Da a u Null(T) er Null(T) lukket under skalarmultiplikation. Da det nu er vist, at Null(T) både er lukket under addition og skalarmultiplikation og indeholder 0, er det givet, at Null(T) er et underrum af V. 3.3.2 Billedrum Først vil der blive deneret hvad et billedrum er: Denition 3.16 For T L(V,W), er billedrummet, der noteres som Ran(T), givet som: Ran(T) = {T( v) : v V}. Det vil nu blive bevist at billedrummet er et underrum. Sætning 3.17 Hvis T L(V,W), så er Ran(T) et underrum af W. Bevis: For at vise, at Ran(T) er underrum, er det nødvendigt at vise, at denne opfylder kravene til et underrum. Først vises det, at 0 Ran(T). Antag, at T L(V,W). Så er T( 0) = 0. Dette viser, at 0 Ran(T). Så er det nødvendigt at vise, at Ran(T) er lukket overfor addition. Hvis w 1, w 2 Ran(T), så eksisterer der v 1, v 2 V, således at Det vil sige og da T v 1 = w 1 T v 2 = w 2. T( v 1 + v 2 ) = T( v 1 )+T( v 2 ) = w 1 + w 2 w 1 + w 2 Ran(T) er Ran(T) lukket under addition. Til sidst skal det vises, at Ran(T) er lukket overfor skalarmultiplikation. Hvis w Ran(T) og a L, så eksisterer der et v V, således at T( v) = w T(a v) = at( v) = a w og da a w Ran(T), viser dette, at Ran(T) er lukket under skalarmultiplikation. Da Ran(T) indeholder 0 og både er lukket under addition og skalarmultiplikation er det vist, at Ran(T) er et underrum af W. 13

3.4 Egenværdier og -vektorer Egenværdier og -vektorer er centrale, når der tales om diagonalisering af matricer og similaritet mellem to matricer. Der vil her følge en denition inden for emnet: Denition 3.18 En egenvektor til en n n matrix A er en vektor, x, forskellig fra 0, hvorom der gælder at A x = λ x for en skalar λ. Skalaren λ kaldes for en egenværdi til A, hvis der er en ikke triviel løsning x til A x = λ x En sådan x kaldes en egenvektor hørende til egenværdien λ. Der er desuden en del sætninger der letter forståelsen af egenværdier, viser hvordan disse let kan ndes, samt viser nogle vigtige egenskaber for egenvektorer. Sætning 3.19 Egenværdierne til en triangulær matrix er de tal, der står på hovediagonalen i matricen. Bevis ndes i [Lay, 2006, s. 306]. Denne sætning resulterer i, at hvis det er muligt at nde en øvre trekants matrix for en afbildning med matrix A, da er det let at nde egenværdierne for afbildningen. Sætning 3.20 Hvis v 1, v 2,..., v r er egenvektorer hørende til egenværdierne λ 1,λ 2,...,λ r for T L(V), da er mængden af vektorerne v 1, v 2,..., v r lineært uafhængige. Bevis ndes i [Lay, 2006, s.307]. Det er nu muligt at nde kriterier for hvornår en matrix kan diagonaliseres. Sætning 3.21 Hvis T L(V) har dim(v) fra hinanden forskellige egenvektorer, så har T en diagonalmatrix med hensyn til en vilkårlig basis til V. Bevis: Antag at T L(V) har dim(v) fra hinanden forskellige egenværdier λ 1...λ dimv. For alle j, lad v j V være egenvektorer forskellige fra nulvektoren, der hører til egenværdierne 14

λ j. Fordi egenvektorer, forskellige fra 0, hørende til egenværdier forskellige fra hinanden, er lineært uafhængige, er også ( v 1,..., v dim(v) ) lineært uafhængige. Et lineært uafhængigt sæt med dim(v) vektorer i V danner en basis for V, derfor er ( v 1,..., v dim(v) ) en basis for V. På baggrund af, at denne basis består af egenvektorer, har T en diagonal matrix. Det følgende lemma skal benyttes i beviset af den efterfølgende sætning. Lemma 3.22 Hvis V er et kompleks vektorrum, med dimension n, og T L(V), da har T invariente underrum af dimension j for alle j = 1,2,...dimV. Bevis: Dette følger af at enhver transformation T har en øvretrekantsmatrix med hensyn til en basis ( v 1, v 2,..., v n ) til V (se sætning 5.13 i [Axler, 1997, s. 84]). Dette er ækvivalent med at spændet af ( v 1,..., v k ) for alle k = 1,2,...n er invariente under T (se sætning 5.12 i [Axler, 1997, s.83]) hvilket beviser sætningen. Herefter følger en vigtig sætning. Sætning 3.23 Antag T L(V). Lad λ 1...λ n betegne de fra hinanden forskellige egenværdier til T. Hvis ovenstående gælder er følgende udsagn ækvivalente: (a) T har en diagonalmatrix i forhold til en vilkårlig basis i V. (b) V har en basis bestående af egenvektorer til T. (c) Der eksisterer en-dimentionelle underrum U 1,...,U n V, alle invariante under T, således at, V = U 1... U n (d) V = Null(T λ 1 I)... Null(T λ n I). (e) dim(v) =dim(null(t λ 1 I))... dim(null(t λ n I)). Bevis: Ifølge sætning 3.21 er (a) og (b) ækvivalente. Antag at (b) gælder, altså har V en basis ( v 1,..., v n ) bestående af T's egenvektorer. For ethvert j, lad U j = span( v j ). Heraf fremgår tydeligt, at ethvert U j er et en-dimentionelt underrum af V som er invariant under T. Fordi ( v 1,..., v n ) er en basis for V, kan enhver vektor i V skrives som en unik linear kombination af ( v 1,..., v n ). Med andre ord, enhver vektor i V kan skrives som en unik sum u 1 +... + u n, hvor ethvert u j U j. Derfor er V = U 1... U n og (b) medfører (c). Antag nu, at (c) gælder. Dette medfører, at der eksisterer en-dimentionelle underrum U 1...U n af V, alle invariante under T, således at V = U 1... U n For alle j, lad v j 0 tilhøre U j. Så er enhver v j en egenvektor til T. Fordi enhver vektor i V kan skrives som en unik sum af u 1 +...+ u n, hvor enhver u j U j (så ethvert u j er et 15

skalar multiplum af v j ), ses det, at ( v 1,..., v n ) er en basis for V. Altså (c) medfører (b). På dette stadie af beviset vides det, at (a), (b) og (c) alle er ækvivalente. Beviset færdiggøres ved at vise, at (b) medfører (d) som medfører (e), som igen medfører (b). Antag at (b) gælder, altså har V en basis bestående af egenvektorer til T. Altså er enhver vektor i V en linearkombination af egenvektorer til T. Derfor: V = Null(T λ 1 I)+...+Null(T λ n I) (3.2) For at vise at summen er direkte, antages det at: 0 = u 1 +...+ u j, hvor ethvert u j Null(T λ j I) Fordi egenvektorer forskellige fra 0 svarende til fra hinanden forskellige egenværdier er lineært uafhængige, medfører dette at ethvert u j = 0. Dette medfører, at summen i 3.2 er direkte og dermed er det vist, at (b) medfører (d). At (d) medfører (e) følger direkte af Lemma 3.22 Til sidst, antag at (e) gælder, altså: dim(v) = dim(null(t λ 1 I))... dim(null(t λ n I)) Vælg en basis for hver Null(T λ j I) og sæt alle disse basis sammen til et sæt ( v 1,..., v n ) af egenvektorer til T, hvor n = dim(v). For at vise, at dette sæt er lineært uafhængigt, antag at: a 1 v 1 +...+a n v n = 0hvor a 1,...,a n L For ethvert j = 1,...,m, lad u j betegne summen af alle udtrykkene a k v k, således at v k Null(T λ j I). Altså er ethvert u j en egenvektor til T med egenværdier λ j, og u 1 +...+ u m = 0. Fordi egenvektorer forskellige fra 0, og svarende til fra hinanden forskellige egenværdier, er lineært uafhængige, medfører dette, at enhvert u j = 0. Fordi ethvert u j er en sum af udtrykkene a k v k, hvor v k 'erne er valgt til at være en basis for Null(T λ j I), medfører dette, at ethvert a k = 0. Altså er ( v 1,..., v n ) lineært uafhængige og derfor en basis for V. Altså (e) medfører (b). 3.5 Diagonalisering En matrix A svarende til en lineær afbildning T L(V) kan skrives på følgende måde: A = PDP 1 Hvor D er en diagonal matrix med hensyn til en basis af egenvektorer v 1, v 2,..., v n, det vil sige D svarer til A blot med en anden basis. P er den inverterbare matrix med egenvektorerne til A som søjler, nemlig [ v 1 v 2... v n ]. Det er så muligt at nde D ved at skrive: D = P 1 AP 16

Matricerne D og A kaldes for similære, hvilket betyder, at for en tilfældig vektor v gælder at A v = D v. Det skal her bemærkes, at indgangene i diagonalen i D er egenværdierne for A. En anden vigtig egenskab ved diagonaliserbare matricer bliver beskrevet i følgende sætning. Sætning 3.24 For en diagonaliserbar m m matrix, A gælder følgende: A n = PD n P 1 Hvor D er diagonalmatricen med hensyn til en basis af egenvektorer for A og P er matricen, der indeholder egenvektorerne hørende til egenværdierne til A og n Z. Bevis: Først kigges der på A, som bekendt er lig med PDP 1. Hvis A så opløftes i n fås det følgende: A n = (PDP 1 ) n Dette kan så skrives om til: A n = = n gange {}}{ (PDP 1 )(PDP 1 )...(PDP 1 ) n gange {}}{ (PD)(P 1 P)D(P 1 P)(DP 1 ) = PD n P 1 Hvilket var det der skulle vises. Teorien i dette afsnit leder op til at kunne benyttes i analysen af systemer af dierens- og dierentialligninger. 3.6 Spektralsætningerne Spektralsætningerne er en af de vigtigste sætninger indenfor lineær algebra. Sætningerne bliver mest brugt som hjælpemiddel til bevisføring i andre beviser. Senere i rapporten vil spektralsætningerne også bruges til præcis det samme. Følgende denition er nødvendigt forståelsen på spektralsætningerne: Denition 3.25 Et sæt af vektorer kaldes for orthonormal, hvis vektorende er parvis orthogonal og har norm 1. En orthonormalbasis af V er det orthonormale sæt af vektorer i V, som udspænder V 's basis. 17

3.6.1 Den reelle spektralsætning Sætning 3.26 Antag at V er et reelt indreproduktrum og T L(V). Så eksisterer der en orthonormalbasis for V udelukkende bestående af egenvektorer til T, hvis og kun hvis T er selvadjungeret. Beviset for sætningen ndes i [Axler, 1997, s. 136-137]. 3.6.2 Den komplekse spektralsætning Sætning 3.27 Antag at V er et komplekst indreproduktrum og T L(V). Så eksisterer der en orthonormalbasis for V udelukkende bestående af egenvektorer til T, hvis og kun hvis T er normal. Beviset for sætningen ndes i [Axler, 1997, s. 133-134]. Det ovenstående vil blive brugt i de følgende kapitler til at forenkle blandt andet beviser. 18

Lineære differensligninger 4 Det følgende kapitel er skrevet ud fra [Raussen, 2009], [Gandolfo, 1997] og [Elaydi, 1999]. Dierensligninger er en type af ligninger, hvis anvendelser er mangfoldige. En dierensligning er en rekursivt deneret funktion, der benyttes til at beskrive, for eksempel, rentetilvæksten på en konto, eller beregningen af Fibonacci tallene. Fibonacci tallene beskrives med følgende dierensligning: y(t) = y(t 2)+y(t 1) Hvor y(0) = y(1) = 1. Men hvad betyder dette egentligt? Lad der først blive set på navnet, dette hentyder ti, at der er tales om forskellen mellem to ting. Dierensligninger er ligninger, der beskriver en udvikling til tiden t på baggrund af værdierne til de n foregående tidstrin. En sådan dierensligning kaldes en n'te ordens dierensligning, og skrives på formen: c n y t+n +c n 1 y t+(n 1) + +c 1 y t+1 +c 0 y t = g(t) Hvor c 0,c 1,...,c n er kendte konstanter og g(t) er en kendt funktion. Denne ligning kaldes den n't ordens dierensligning med konstante koecenter, og det er disse der vil blive arbejdet med i det følgende. 4.1 Homogene lineære dierensligninger Her følger nogle vigtige sætninger om homogene lineære dierensligninger: Sætning 4.1 Hvis y 1 (t) er en løsning til den homogene lineære dierensligning af n'te orden, så er Ay 1 (t), hvor A er en arbitrær konstant, også en løsning til den homogene lineære dierensligning. 19

Bevis: Antag at y 1 (t) er en løsning, dvs. c n y(t+n)+ +c 0 y(t) = 0 Multiplicer den homogene lineære dierensligning af n'te orden med A: A[c n y(t+n)+c n 1 y(t+(n 1))+ +c 1 y(t+1)+c 0 y(t)] = 0 c n Ay(t+n)+c n 1 Ay(t+(n 1))+ +c 1 Ay(t+1)+c 0 Ay(t) = 0. Hvilket afslutter beviset. Sætning 4.2 Hvis y 1 (t) og y 2 (t) er to lineært uafhængige løsninger til den homogene linære dierensligning med orden n > 1, så er y 1 (t)+y 2 (t) også en løsning til den homogene lineære dierensligning. Bevis: Antag at y 1 (t) og y 2 er to lineært uafhængige løsninger, det vil sige at A 1 y 1 (t)+a 2 y 2 (t). A 1 y 1 (t)+a 2 y 2 (t) indsættes så i den homogene lineære dierensligning af n'te orden: c n (A 1 y 2 (t+n)+a 2 y 2 (t+n))+c n 1 (A 1 y 1 (t+(n 1))+A 2 y 2 (t+(n 1)))+ + c 1 (A 1 y 1 (t+1)+a 2 y 2 (t+1))+c 0 (A 1 y 2 (t)+a 2 y 2 (t)) = 0 A 1 [c n y 1 (t+n)+c n 1 y 1 (t+(n 1))+ +c 1 y 1 (t+1)+c 0 y 1 (t)]+ A 2 [c n y 2 (t+n)+c n 1 y 2 (t+(n 1))+ +c 1 y 2 (t+1)+c 0 y 2 (t)] = 0 For at A 1 y 1 (t)+a 2 y 2 kan være løsning, da må c n y 1 (t+n)+c n 1 y 1 (t+(n 1))+ +c 1 y 1 (t+1)+c 0 y 1 (t) = 0 hvilket gælder, idet y 1 (t) er løsning og c n y 2 (t+n)+c n 1 y 2 (t+(n 1))+ +c 1 y 2 (t+1)+c 0 y 2 (t) = 0 hvilket gælder, idet y 2 (t) er løsning. Dermed er sætningen bevist. Sætning 4.1 og 4.2 kaldes tilsammen superpositions sætningen, og kan nemt udvides til et hvilket som helst antal k n linært uafhængige løsninger til den homogene linære dierensligning. Sætning 4.3 LadF være mængden af reelle afbildninger på intervalleti, da vilf være et vektorrum. Der eksisterer et underrum i F, som indeholder dierensligningerne. Bevis: At dette gælder kan ses, idet afbildninger i de reelle tal, opfylder reglerne givet for vektorrum givet i Denition 3.1, hvor den additive identitet er tallet 0, og den multiplikative identitet er lig 1. 20

Derpå kan det vises, at der eksisterer et underrum, til dette vektorrum, bestående af afbildninger på de naturlige tal, det vil sige dierensligninger. Det er nu nødvendigt at vise, at dette er et underrum, og det vil sige, at det skal overholde reglerne for underrum som givet i Denition 3.4. Først er det nødvendigt at vise, at mængden indholder den additive identitet, nul elementet, hvilket åbenlyst er tilfældet. Dernæst skal der gælde, at mængden er lukket under addition, det vil sige at addition af to afbildninger på de naturlige tal også skal give en afbildning på de naturlige tal, hvilket Sætning 4.1 viser. Til sidst skal der gælde at mængden er lukket under skalar multiplikation, hvilket ses ud fra Sætning 4.2. Det vil med andre ord sige, at dierensligninger er et underrum af alle afbildninger. Den generelle løsning til den lineære homogene dierensligning af orden n er givet ved: f(t;a 1,A 2,...,A n ) = A 1 y 1 (t)+a 2 y 2 (t)+ +A n y n (t) hvor y 1 (t),y 2 (t),...,y n (t) er lineært uafhængige løsninger og A 1,A 2,...,A n er abitrære konstanter. Det skal her vises, at løsningsrummet har dimension n, det vil sige, at løsningsrummet til en n'te ordens dierensligning har en basis af løsninger y 1 (t),y 2 (t),,y n (t). Sætning 4.4 Lad y 1 (t),y 2 (t),...,y n (t) være løsninger til den homogene lineære dierensligning. Disse løsninger er en lineær uafhængig mængde, (også kaldet en fundamental mængde) når den følgende determinant,(kaldet Casorati determinanten), er forskellig fra 0 for alle mulige værdier af t. Det vil sige: y 1 (t) y 2 (t) y n (t) y 1 (t+1) y 2 (t+1) y n (t+1) D(t) = y 1 (t+2) y 2 (t+2) y n (t+2) 0...... y 1 (t+n 1) y 2 (t+n 1) y n (t+n 1) for alle mulige værdier af t. Og hvis det gælder for en værdi af t, så gælder det også for alle værdier af t. Bevis: For at bevise dette ses på ligningen: A 1 y 1 +A 2 y 2 + +A n y n = 0 (4.1) hvor A 1,A 2,...A n er arbitrære konstanter og y 1,y 2,...,y n er løsninger til den homogene lineære dierensligning. Siden alle funktionerne i ligningen er løsninger i alle t, og derved også til t+1,t+2,...,t+ n 1, kan følgende ligningssystem opskrives: A 1 y 1 (t)+a 2 y 2 (t)+ +A n y n (t) = 0 A 1 y 1 (t+1)+a 2 y 2 (t+1)+ +A n y n (t+1) = 0. A 1 y 1 (t+n 1)+A 2 y 2 (t+n 1)+ +A n y n (t+n 1) = 0 21

Hvilket er et system af løsninger til de homogene lineære dierensligninger, der kan skrives på matrix form. y 1 (t) y 2 (t)... y n (t) A 1 0 y 1 (t+1) y 2 (t+1)... y n (t+1) A 2....... = 0. y 1 (t+n) y 2 (t+n)... y n (t+n) 0 A n (4.2) Når determinanten i denne matrix er forskellig fra 0, så har ligningen kun nulløsningen, og derfor er Ay 1,...,Ay n =A 1 =... = A n = 0, hvilket er denitionen på lineært uafhængige funktioner. Da løsningsrummet er et vektorrum vides det, at en lineært afhængig funktion f, ved afblidning i funktionen g, vil medføre at g også vil være lineært afhængig. Da det vides, at Ligningen (4.1) er lineært afhængig og bliver afbildedet i systemet (4.2), medfører dette, som bevist ovenfor, at systemet også vil være afhængigt. Hvis det derimod er systemet (4.2) der er afhængigt, vil dette på grund af isomor medføre at Ligningen (4.1) også vil være afhængig. Der mangles nu bare at vise at det er tilstrækkelig at se på løsningerne y(t),y(t+1),...,y(t+n 1) for at bestemme løsningerne til alle t. Lad der blive deneret en afbildning fra mængden af alle løsninger til en n'te ordens dierensligning, ind i mængden bestående af n på hinanden følgende løsninger. At dette er muligt er let at se, idet dette er en simpel begrænsnings afbildning. Det komplicerede bliver at vise, at denne afbildning er inverterbar, det vil sige, at der ndes en afbildning fra en mængde af n løsninger ind i mængden af samtlige løsninger. Da der er tale om en n'te ordens dierensligning, der beskriver hvordan løsningen y(t+n 1) afhænger af de foregående n 1 løsninger, er det logisk, at det er muligt at bestemme løsningen y(t + n) ud fra de foregående. Det vil sige, at der gælder følgende matrix afbildning: y(t) y(t+1) y(t+1) A. = y(t+2). y(t+n 1) y(t+n) For en passende systemmatrix, A. Det ses her, at hvis A er inverterbar, da er det også uden videre muligt at nde y(t 1) ud fra de n efterfølgende løsninger. Det vil med andre ord sige, at der kan ndes en afbildning fra n på hinanden følgende løsninger, ind i det samlede løsningsrum, og derved ses det, at dette er det mindste antal af løsninger, der er nødvendigt for at nde alle løsninger til en n'te ordens dierensligning. Det vides altså, at der er tale om en fundamental mængde af løsninger. Nu mangles det så at vise at denne også er en basis til løsningsrummet, med n elementer, og derved at løsningsrummet har dimension n. For at gøre dette, er det først nødvendigt at vise, at mængden af n'te ordens dierensligninger er et vektorrum. 22

Lad y 1 (t),y 2 (t),...,y n (t) være en fundametal løsningsmængde, og A 1,...,A n er konstante så der gælder, at y(t) = n i=1 a iy i (t) er en løsning. Derved gælder der: y 1 (t) y 2 (t)... y n (t) A 1 y(t) y 1 (t+1) y 2 (t+1)... y n (t+1) A 2....... = y(t+1). y 1 (t+n 1) y 2 (t+n 1)... y n (t+n 1) y(t+n 1) hvilket kan skrives kortere på denne måde: Y(t) A = Y (t) Det kan uden videre ses, at dette er en lineær afbildning fra R n ind i løsningsrummet, her kaldet L. Idet det vides, at y 1 (t),y 2 (t),...,y n (t) er en fundamental løsningsmængde, vides det, at Casoratti determinanten er forskellig fra 0, og derved vides det, at matricen Y(t) er regulær og derved også inverterbar. Dette medfører, at der også gælder følgende lineære afbildning: Y(t) 1 Y (t) = A hvilket er en lineær afbildning fra løsningsmængden, L, ind i R n. Det vil altså sige, at der ndes en inverterbar lineær afbildning fra R n ind i løsningsmængden, L, hvilket vil sige, at løsningsmængden er homomof med R n, hvilket vil sige, at de har samme dimension og derved er den fundamentale løsnings mængde, bestående af n elementer y 1 (t),y 2 (t),...,y n (t) en basis til løsningsrummet. Det vil derved sige, at enhver løsnig kan skrives som en linearkombination af elementerne i y 1 (t),y 2 (t),...,y n (t), hvilket var det ønskede. A n 4.2 Inhomogene lineære dierensligninger Her følger en kort gennemgang af, hvordan løsningen til den inhomogene ligning hænger sammen med løsningen til den tilsvarende homogene ligning. Sætning 4.5 Hvis y(t) er en vilkårlig partikulær løsning til den inhomogene lineære dierensligning, da opnås den generelle løsning til denne, ved at lægge y(t) til den generelle løsning til den homogene lineære dierenslignings løsning, således at: y(t) = y +f(t;a 1,A 2,...,A n ) hvor y(t) er den generelle løsning. Bevis: Det vises, at dette er en løsning ved at indsætte y(t) = y + f(t;a 1,A 2,...,A n ) i c n y t+n +c n 1 y t+(n 1) + +c 1 y t+1 +c 0 y t = g(t), hvilket giver: c n (y +f(t+n;a 1,A 2,...,A n ))+c n 1 (y +f(t+(n 1);A 1,A 2,...,A n ))+ + c 1 (y +f(t+1;a 1,A 2,...,A n ))+c 0 (y +f(t;a 1,A 2,...,A n )) = g(t) 23

Da f(t;a 1,A 2,...,A n )) er løsning til den homogene ligning, kan denne del af det ovenstående sættes lig 0, hvilket efterlader den partikulære løsning, der også er en løsning. Derved er det bevist, at y(t) = y +f(t;a 1,A 2,...,A n ) er en løsning. Her ud fra vises den generelle måde, hvorpå den generelle løsning til den inhomogene lineære dierensligning ndes: (a) Find en partikulær løsning, y(t), til den inhomogene lineære dierensligning(hvordan dette gøres vises senere). (b) Sæt g(t) = 0 og nd løsningen til den homogene lineære dierensligning. (c) Læg de to resultater sammen. Bemærk at (a) og (b) kan foretages i vilkårlig rækkefølge. 4.3 Løsning af dierensligninger 4.3.1 Ligninger af første orden Den generelle formel for en første ordens dierensligning er: c 1 y t +c 0 y t 1 = g(t) hvor c 0 og c 1, forskellige fra 0, er givne konstanter og g(t) er en kendt funktion. Løsningen af den homogene ligning Først kigges der på den homogene ligning: c 1 y t +c 0 y t 1 = 0 (4.3) der også kan skrives som y t +by t 1 = 0 hvor b c 0 c 1. Antag, at for et begyndelsespunkt, for eksempel t = 0, antager y en arbitrær værdi A. Ud fra dette kommer følgende sekvens af udregninger: y 1 = by 0 = ba y 2 = by 1 = b( ba) = b 2 A y 3 = by 2 = b(b 2 A) = b 3 A y 4 = by 3 = b( b 3 a) = b 4 A. Ud fra dette vides det, at løsningen er: y t = A( b) t (4.4) 24

For at undersøge om dette er løsningen, indsættes den i Ligningen (4.3): A( b) t +ba( b) t 1 = 0 = A( b) t ( b)a( b) t 1 = A( b) t A( b) t = 0 Ergo er Ligningen (4.4) løsning til Ligningen (4.3). I appendix A ndes nogle af de forskellige partikulære løsninger. Endnu en måde hvorpå det er muligt at løse en ligning af orden 1, er den følgende. Der haves følgende inhomogen første ordens dierens ligning: y(t+1) = ay(t)+g(t) Hvor y(t 0 ) = y 0 og t t 0 0, og det antages, at a 0 samt at a g(t) er reelle. Det ses let at det følgende må gælde: y(t 0 +1) =ay 0 +g(t 0 ) y(t 0 +2) =a(y(t 0 +1))+g(t 0 +1) =aay 0 +ag(t 0 )+g(t 0 +1). Hvilket ved hjælp af matematisk induktion, kan vise at der gælder: y(t) = [ t 1 ] ([ t 1 t 1 ] ) a y 0 + a g(r) i=t 0 r=t 0 i=r+1 Lad der blive antaget, at dette gælder for t n, så skal det vises, at dette medfører, at det også gælder for t = n+1. Der gælder: y(n+1) =a = = [ n 1 [ n i=t 0 a i=t 0 a [ n i=t 0 a ] ] ] y 0 + y 0 + y 0 + n 1 r=t 0 n 1 r=t 0 ([ ([ a ([ n a r=t 0 a n 1 i=r+1 n i=r+1 n i=r+1 a a a ] ] ] g(r) g(r) g(r) ) ) ) + +g(n) ( k i=k+1 hvilket var det ønskede. Denne kan skrives om til denne form: t 1 y(t) = a n y 0 + a t k 1 g(k) k=0 a ) g(n) hvilket er en metode, der sørger for, at det er muligt at nde en løsning i et trin. 25

4.3.2 Ligninger af n'te orden Som det allerede vides er den generelle form af en n'te ordens dierensligning: c 1 y t +c 2 y t 1 + +c n y t n = g(t) hvor c 1,c n 0. Dette kan omskrives til et system af ligninger: c 1 y t = c 2 y t 1 c 3 y t 2 c n y t n +g(t) c 2 y t 1 = c 1 y t c 3 y t 2 c n y t n +g(t). c n y t n = c 1 y t c 2 y t 1 c n 1 y t (n 1) +g(t) y 1 = y t = a 12 y t 1 +a 13 y t 2 + +a 1n y t n +g 1 (t) y 2 = y t 1 = a 21 y t +a 23 y t 2 + +a 2n y t n +g 2 (t). y n = y t n = a n1 y t +a n2 y t 1 + +a n(n 1) y t (n 1) +g n (t) hvor a ij = c j c i og g i (t) = g(t) c i. Dette kan omskrives til følgende system: y 1 (t) a 11 a 12 a 1n y 1 (t) g 1 (t) y 2 (t). = a 21 a 22 a 2n y 2 (t)....... + g 2 (t). y n (t) a n1 a n2 a nn y n (t) g n (t) Det er ofte nemmer at løse systemer af dierensligninger, end selve dierensligningen. 4.4 Systemer af dierensligninger Et system er bestående af en eller ere ligninger, hvor i der er mindst en variabel. Disse variable kan enden være konstanter eller funktioner. Hvis disse variable kun optreder konstanter er det lineærtsystem. Hvis de også optræder funktioner er systemer ikkelineært. For at et system af dierensligninger er løseligt, er antallet af ligninger nødt til at være lig med antallet af ukendte, og ligningerne skal være uafhængige og konsistente. Dette afsnit vil omhandle systemer af dierensligninger, og siden hen vil dette blive brugt til at se på økonomiske systemer. 4.4.1 Første ordens 2 2-systemer i normal form Den simpleste type af systemer, af orden 1, ser ud på følgende måde: y t+1 = a 11 y t +a 12 z t +g 1 (t) z t+1 = a 21 y t +a 22 z t +g 2 (t) 26

hvor a ij er givne konstanter og g 1 (t) og g 2 (t) er kendte funktioner. Hvis g 1 (t) = g 2 (t) = 0 kaldes det et homogent system, hvis ikke, kaldes systemet inhomogent. Dette er et første ordens system, da der er tale om to første ordens ligninger. Der vil senere blive vist, at ordenen af systemet svarer til ordenen af den karakteristiske ligning. Når der tales om et første ordens system, betyder det, at der bruges ligninger af første orden i systemet. Løsningerne til de inhomogene system ndes på samme måde som for ligninger, ved først at nde løsningerne til det homogene system, og derefter adderer den partikulære løsning. 4.4.1.1 Generel løsning af det homogene system Lad det homogene 2 2 system blive opskrevet som en matrix ligning: [ ] [ ][ ] y t+1 a 11 a 12 y t = z t+1 a 21 a 22 z t Lad det blive antaget, at der til dette system[ ndes ] to fra [ hinanden ] forskellige egenværdier, y λ 1,λ 2, med deres tilhørende egenvektorer (1) y og (2). Som følge af denitionen af z (1) z (2) egenvektorer må følgende gælde: [ ] [ ] y (1) y (1) A z (1) = λ 1 z (1) Dette leder tankerne hen på en mulig løsning på formen: [ ] [ ] y (1) t z (1) = λ t y (1) 1 z (1) t For at se hvorvidt dette er en løsning, indsættes denne i systemet: [ ] ( [ ]) [ ] [ ] [ ] y t A = A λ t y (1) 1 z t z (1) = λ t y (1) A z (1) = λλ t y (1) z (1) = λ t+1 y (1) z (1) [ ] y t+1 = z t+1 Dette gælder selvfølgelig også for egenværdien λ 2, og den tilhørende egenvektor, det vil altså sige, at der er fundet de to mulige løsninger. Dette kan også gøres, hvis der er komplekse egenværdier eller ens egenværdier. En mulig løsning, jævnfør de forrige afsnit om dierens ligninger, er på formen: [ ] [ ] y t = A t y 0 z t z 0 Hvor [y t,z t ] er en vektor af begyndelsesværdier, og A er koecentmatricen. For at undersøge hvorvidt denne er en løsning kan den indsættes i systemet: [ ] [ ]) [ ] y t A = A (A t y 0 = A t+1 y 0 z t z 0 z 0 som det var ønsket. 27