Minimalflader i R 3 : Weierstrassrepræsentation og Costas flade

Minimalflader i R 3 : Weierstrassrepræsentation og Costas flade 9. juni 0, Aarhus Bachelorprojekt af Mikkel Stouby Petersen, 009877 Vejleder: Lektor Andrew Swann AARHUS AU UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK

Dansk titel: Minimalflader i R 3 : Weierstrassrepræsentation og Costas flade Engelsk titel: Minimal surfaces in R 3 : Weierstrass representation and Costa s surface c Mikkel Stouby Petersen, 0 Denne opgave er trykt med Latin Modern Layout og typografi er lavet af forfatteren ved hjælp af L A TEX Figurer er lavet af forfatteren ved hjælp af Maple R og GeoGebra, som kan hentes fra http://www.geogebra.org. Billedet på forsiden er et fotografi af skulpturen Invisible Handshake af Helaman Ferguson. Den er lavet i 008 og står opstillet ved Macalester College i St. Paul, MN, USA. Skulpturen er inspireret af Costas minimalflade. Billedet er taget af Stan Wagon, og det bringes her med hans tilladelse.

Abstract A minimal surface is a surface with zero mean curvature. In this paper, it is shown that all minimal surfaces in R 3 can be represented by complex functions using a representation due to Weierstrass. The main example in the paper is Costa s minimal surface, which provides the first example of a complete embedded minimal surface in R 3 of genus. It was first descibed by C. Costa in his thesis. It is constructed through the Weierstrass representation using the Weierstrass function and it s derivative. These functions are introduced along with their most important properties. Costas surface has dihedral symmetry and this is proved and used as a key ingredient in proving that the surface is embedded. Both results are due to D. Hoffman and W. H. Meeks. The paper aims to introduce Costa s surface and the theory of minimal surfaces on an elementary level.

Forord Om projektet Dette projekt er skrevet som et obligatorisk led i min bacheloruddannelse i matematik på Aarhus Universitet. Det omhandler minimalflader i R 3, som konstrueres og studeres gennem deres Weierstrassrepræsentation. Projektet er centreret omkring Costas flade, og målet er gennem projektet at udvikle den teori, der er nødvendig for at konstruere Costas flade og arbejde med nogle af dens egenskaber. Projektet er skrevet, så en matematikstuderende, der har gennemført kurserne Geometri og Kompleks funktionsteori ved Aarhus Universitet eller tilsvarende kurser, der dækker det stof, man finder i [3] eller [] samt [], har forudsætningerne for at forstå det. Projektet indeholder et kort appendiks om maksimalitetsprincippet for harmoniske funktioner. Hjemmeside Da det er vanskeligt at lave to-dimensionelle plots, der yder Costas flade retfærdighed, har jeg som et supplement oprettet en hjemmeside til interesserede, hvor jeg har lavet to interaktive java-applets, der gør det muligt at udforske fladen fra alle vinkler. Denne hjemmeside findes på http://home.imf.au.dk/mstouby/ba.html. Tak til... På denne plads skal også lyde en tak til nogle af dem, der har hjulpet mig gennem processen. Jeg vil gerne takke min vejleder Andrew Swann for hans store hjælp og utallige gode råd. Jeg skylder også en tak til Mads Aunskjær Bech og Kenneth Rasmussen for opmuntring og sparring. Sidst men ikke mindst skal lyde en tak til Heidi Rasmussen for tålmodigt og samvittighedsfuldt at have rettet stave- og grammatikfejl i projektet. Mikkel Stouby Petersen, 0 iii

Indhold Forord iii Flader og middelkrumning. Parametriserede flader............................... Lokal teori for flader............................... 3 Minimalflader med Weierstrassrepræsentation 7. Konforme parametriseringer af minimalflader................. 7. Minimalflader og holomorfe funktioner......................3 Weierstrassrepræsentation............................ 3 Weierstrass - og ζ-funktion 3. Elliptiske funktioner............................... 3. Weierstrass -funktion............................. 3 3.3 Weierstrass ζ-funktion.............................. 30 3.4 Tilfældet ω = og ω = i............................ 34 4 Costas minimalflade 39 4. Konstruktion af fladen.............................. 39 4. Symmetrier.................................... 44 4.3 Ingen løse ender................................. 49 4.4 Indlejring af fladen................................ 53 A Harmoniske funktioner 6 Litteratur 63 iv

Flader og middelkrumning I dette kapitel vil vi definere begrebet flade, som det bruges her i opgaven, og vi vil desuden definere en række af de vigtigste begreber, som knytter sig til arbejdet med flader og minimalflader i særdeleshed. Meningen er dog kun at genintroducere og præcisere begreber, som læseren antages allerede at være bekendt med. Til sidst vil vi definere begrebet minimalflade. Dette kapitel og det næste låner meget fra [3], [] samt klassikeren [].. Parametriserede flader Definition.: En parametriseret flade er en glat afbildning x: U R 3, hvor U betegner en åben delmængde af R. Vi vil kalde x for parametriseringen og U for parameterområdet. Et punkt i U vil vi typisk betegne p = (u, v), og vi siger, at x = (x, x, x 3 ) er regulær, hvis vektorerne og er lineært uafhængige for alle p 0 U. x u (p 0 ) = x ( u (p x 0) = u (p 0), x u (p 0), x ) 3 u (p 0) x v (p 0 ) = x ( v (p x 0) = v (p 0), x v (p 0), x ) 3 v (p 0) Hvis x er injektiv, så siger vi, at fladen er indlejret. Denne definition stemmer ikke overens med definitionen af en regulær flade i [3] eller [], da vi ikke her kræver, at x er en homeomorfi. Specielt kan en parametriseret flade have selvgennemskæringer. En lidt mere subtil forskel er, at vi ikke her betragter flader som en delmængde af R 3, men som afbildninger. Når vi taler om at tegne en flade, så vil det være billedet af denne afbildning, vi tegner. Her er denne lidt løsere definition valgt, fordi den er praktisk at arbejde med i konkrete udregninger, og fordi der er interessante flader, som vi ikke ønsker at udelukke. Det kan desuden tilføjes, at mens mange andre forfattere formelt definerer flader med en skrappere definition, så tyer de meget ofte til ovennævte definition, når de præsenterer konkrete eksempler.

. Flader og middelkrumning Bemærkning.: Når x opfylder betingelserne for at være regulær, så betyder det, at differentialet af x i et punkt p U er injektivt for alle p U. En sådan funktion kaldes også en immersion, og flader defineret som ovenfor betegnes ofte på engelsk an immersed surface. Når differentialet for en afbildning alle steder er surjektivt, så siges afbildningen at være en submersion. Præcis som med kurver kan parametriserede flader reparametriseres. Definition.3: En flade parametriseret x: Ũ R3 er en reparametrisering af en anden parametriseret flade x: U R 3, hvis der findes en diffeomorfi Φ: Ũ U, så x( p) = x(φ( p)) (.) for alle p Ũ. Bemærkning.4: Det er klart, at enhver afbildning på formen (.) er en parametriseret flade, da σ er en diffeomorfi. Desuden er en reparametrisering af en regulær, parametriseret flade igen regulær, for vi får jo af kædereglen, at d(x Φ) p = dx Φ( p) dφ p, og både dx Φ( p) og dφ p er injektive, hvorfor d(x Φ) p også er injektiv. Som tidligere nævnt har parametriserede flader den skavank, at parametriseringen ikke nødvendigvis er injektiv, og vi må derfor ofte restringere os til at betragte en omegn af U, hvor parametriseringen er injektiv. Dette kan gøres på følgende måde: Sætning.5: Lad x: U R 3 være en regulær, parametriseret flade. Lad p være et punkt i U. Så findes en åben omegn V U af p, så der findes en reparametrisering x: Ṽ R3 af x V på formen x i = ũ, x j = ṽ og x k = f(ũ, ṽ) for (ũ, ṽ), hvor f : Ṽ R er en glat funktion, og i, j og k er forskellige og ligger i {,, 3}. Bevis: Da x u (p) og x v (p) er lineært uafhængige, kan vi uden tab af generalitet antage, at matricen u (p) x v (p) ) x u (p) x v (p) ( x er invertibel. Lad nu π : R 3 R betegne projektionen givet ved π(x, y, z) = (x, y). Da er matricen ovenfor netop Jacobimatricen for afbildningen π x i punktet p. Da den er invertibel, følger af den inverse funktionssætning, at der findes en åben omegn V U af p, så (π x) V : V (π x)(v ) er en diffeomorfi. Sæt nu Ṽ = (π x)(v ) R.

.. Lokal teori for flader Nu er x ((π x) V ) : Ṽ V en sammensætning af glatte afbildninger og er således selv glat. Vi har dog, at ( π x ((π x) V ) ) (ũ, ṽ) = (ũ, ṽ) for (u, v) Ṽ, så x ((π x) V ) fastholder altså de to første koordinater, og der findes en glat funktion f : Ṽ R, så ( x ((π x) V ) ) (ũ, ṽ) = (ũ, ṽ, f(ũ, ṽ)) for (u, v) Ṽ. Sæt nu x = x ((π x) V ). Da er x en reparametrisering på den ønskede form. Lokalt i parameterområdet er x altså en injektiv afbildning, og vi kan reparametrisere ved hjælp af sætningen til, hvad vi vil kalde en grafparametrisering.. Lokal teori for flader Vi vil nu definere en lang række begreber knyttet til arbjdet med flader, indtil vi kan definere begrebet middelkrumning og endelig minimalflade. Vi vil fra nu af med ordet flade altid mene en regulær, parametriseret flade. Lad i det følgende x: U R 3 betegne en flade, og lad p U være et fast punkt. Da x ifølge vores konvention er regulær, så er span{x u (p), x v (p)} et todimensionalt underrum af R 3. Dette underrum vil vi kalde tangentplanen i p og betegne med Π p. Yderligere kan vi definere vektoren N p = x u(p) x v (p) x u (p) x v (p). (.) Vi vil kalde denne vektor for normalvektoren i p. Bemærk, at dette naturligt giver anledning til en afbildning N : U S. Denne afbildning kaldes Gauss-afbildningen. Lad nu Φ betegne en diffeomorfi Ũ (ũ, ṽ) (u, v) U, og lad x: Ũ R3 være den tilsvarende reparametrisering. Vi har da af kædereglen, at Vi får således, at xũ = uũx u + vũx v og xṽ = uṽx u + vṽx v. (.3) xũ xṽ = uũuṽx u x u + uũvṽx u x v + vũuṽx v x u + vũvṽx v x v = (uũvṽ vũuṽ)x u x v = det(dφ)x u x v, hvor DΦ er Jacobimatricen for Φ. Dette betyder, at normalvektoren altså kun afhænger af parametriseringen op til et fortegn. Da Π p = N, kan vi deraf slutte, at tangentplanen ikke afhænger af parametriseringen omkring p. Efter Carl Friedrich Gauss (777-855), tysk matematiker. 3

. Flader og middelkrumning Sæt E = x u, x u, F = x u, x v og G = x v, x v. Afbildningen z = dux u + dvx v Edu + F dudv + Gdv kaldes første fundamentalform, og E, F og G kaldes for koefficienterne til første fundamentalform. Tilsvarende sættes L = N, x uu, M = N, x uv og N = N, x vv, og afbildningen z = dux u + dvx v Ldu + Mdudv + Ndv kaldes anden fundamentalform. L, M og N vil vi på samme måde kalde koefficienterne til anden fundamentalform. Sæt nu ( ) ( ) E F L M F I = og F II =. F G M N Vi har, at det(f I ) = EG F = x u x v x u, x v 0, hvorfor F I er invertibel. ved Vi kan nu definere Gauss-krumningen K og middelkrumningen H for x i punktet p K = det(fi F II ) og H = tr(fi F II ). Vi har altså, at K = LN M EG F LG MF + NE og H = (EG F ) (.4) Hvis vi betragter samme reparametrisering som ovenfor og lader Ẽ, F og G betegne koefficienterne til første fundamentalform med parametriseringen x, så får vi ved hjælp af (.3), at Ẽ = xũ, xũ x = u ũe + uũvũf + vũg. Ved at lave samme beregning for F og G får vi, samlet, at (Ẽ ) F F G ( ) E F = (DΦ) T DΦ. F G Ved at bruge kædereglen endnu en gang og lave beregninger, som er tilsvarende, fås, at ( ) L M M Ñ ( ) L M = ±(DΦ) T DΦ. M N 4

.. Lokal teori for flader Det betyder altså, at F I (Ẽ ) ( ) F L M F II = F G M Ñ ( ) ( ) E F L M = ±(DΦ) DΦ F G M N = ±(DΦ) FI F II DΦ. Da de to matricer pånær et fortegn er similære, har vi således, at K = K og H = ±H. Gauss-krumningen er derfor invariant under reparametriseringer, og middelkrumningen kan højst skifte fortegn. Vi er nu klar til at give definitionen af en minimalflade, og med bemærkningerne ovenfor er det klart, at denne definition er uafhængig af reparametriseringer af fladen. Definition.6: Lad x: U R 3 være en flade. Vi vil da kalde x en minimalflade, hvis middelkrumningen er 0 for ethvert punkt i U. Som eksempel kan vi udregne middelkrumningen for en flade i grafparametrisering. Det vil sige, at x er på formen x(u, v) = (u, v, f(u, v)) for (u, v) U. Vi får da, at x u = (, 0, f u ) og x v = (0,, f v ). Det følger heraf, at E = + f u, F = f u f v og G = + f v. Desuden får vi, at N = ( f u, f v, ). + f u + fv Vi har samtidig, at x uu = (0, 0, f uu ), x uv = (0, 0, f uv ) og x vv = (0, 0, f vv ), så vi får nu, at L = x uu, N = M = x uv, N = N = x vv, N = f uu, + f u + fv f uv, + f u + fv f vv. + f u + fv 5

. Flader og middelkrumning Vi kan nu udregne middelkrumningen H, og vi får, at H = f uu( + f v ) f uv f u f v + f vv ( + f u) + f u + f v (( + f u)( + f v ) f uf v ) = f uu( + fv ) f uv f u f v + f vv ( + fu) ( + fu + fv ) 3. Vi skal senere få brug for denne formel for middelkrumningen af en flade i grafparametrisering. 6

Minimalflader med Weierstrassrepræsentation Minimalflader viser sig at have en meget tæt relation til holomorfe funktioner af én variabel. Det viser sig nemlig, at minimalflader kan laves ved hjælp af holomorfe funktioner gennem et apparatur kaldet Weierstrassrepræsentationen, og endnu mere overraskende, at enhver minimalflade fremkommer på denne måde.. Konforme parametriseringer af minimalflader Definition.: Lad x: U R 3 være en flade. Vi siger, at x er en konform parametrisering, hvis x u, x u = x v, x v og x u, x v = 0. Det vil sige, at E = G og F = 0. Vi vil vise, at en sådan konform parametrisering findes for enhver minimalflade. Faktisk kan det vises, at det findes for enhver regulær flade, men det vil vi ikke gøre her. Først skal vi dog bruge en lille smule teori fra vektoranalysen. Den er fundet i [0]. Vi begynder med følgende definition: Definition.: En delmængde A R n kaldes stjerneformet om x 0 U, hvis det for alle x U gælder, at tx + ( t)x 0 A for t [0, ]. Eksempel.3: Lad B R n være den åbne kugle omkring punktet x R n med radius r > 0. Så er B stjerneformet omkring x. Vi har nemlig for alle x B og t [0, ], at tx + ( t)x 0 x 0 = tx tx 0 = t x x 0 < r. Lemma.4: Lad U R være åbent og stjerneformet omkring (x 0, y 0 ) U. Lad f : U R være en glat afbildning. Da er følgende ækvivalente: (i) Det gælder, at f y (x, y) = f (x, y). x Efter Karl Weierstrass (85-897). 7

. Minimalflader med Weierstrassrepræsentation (ii) Der findes en glat afbildning F : U R, så F x (x, y) = f (x, y) og F y (x, y) = f (x, y). Bevis: Vi viser først, at (i) medfører (ii). Sæt r(t) = (tx + ( t)x 0, ty + ( t)y 0 ). Definer da F : U R ved F (x, y) = 0 (x x 0 )f (r(t)) + (y y 0 )f (r(t)) dt. Vi får da ved at differentiere under integraltegnet, at Vi har desuden, at F x (x, y) = f (r(t)) + (x x 0 )t f x (r(t)) + (y y 0)t f (r(t)) dt. x 0 d dt [tf (r(t))] = f (r(t)) + t(x x 0 ) f x (r(t)) + t(y y 0) f y (r(t)). Ved at indsætte dette resultat i ligningen ovenfor, får vi F x (x, y) = = 0 0 d dt [tf (r(t))] + t(y y 0 ) d dt [tf (r(t))] dt = [tf (r(t)] 0 = f (x, y). Resultatet for f følger på samme måde. [ f x (r(t)) f y (r(t)) ] dt Vi mangler nu at vise, at (ii) medfører (i). Dette følger dog let, da f y = F y x = F x y = f x. Dette fuldender beviset. Nu kan vi vise sætningen. Sætning.5: Lad x: U R 3 være en minimalflade, og lad p U være et punkt. Så findes en omegn U U af p og en diffeomorfi Ψ: Ũ U og en reparametrisering x: Ũ R3, så Ψ (p) Ũ, og x er konform. Bevis: Ifølge sætning.5 findes en åben omegn V U af p, så x V kan reparametriseres til en grafparametisering x = Ṽ R3. Vi kan desuden antage, at den er på formen x(ũ, ṽ, f(ũ, ṽ)) for en glat funktion f : Ṽ R. Ydermere kan vi antage, at Ṽ er en åben 8

.. Konforme parametriseringer af minimalflader cirkelskive med centrum i p. For at lette notationen en smule sættes y = x og D = Ṽ. Vi vil vise, at y : D R 3 har en konform reparametrisering. Koefficienterne til første fundamentalform for y er givet ved E = + fu, F = f u f v og G = + fv. Sæt A = EG F. Vi vil nu vise, at ( ) ( ) F E = A A u v og ( ) ( ) G F = A A u v. Vi har nemlig fra beregningerne i afsnit., at ( ) ( ) ( ) ( F E = A u A v f u f v + f u + f v u + f u + f u + f v (f uu f v + f u f vu ) + fu + f f v f u f uf uu+f vf vu v = + fu + fv f u f uv + f u + fv ( + fu) fufuu+fvfvu +f u +fv + fu + fv = (f uuf v + f u f vu )( + fu + fv ) f u f v (f u f uu + f v f vu ) ( + fu + fv ) 3 ) v +f u +f v f uf uv ( + fu + fv ) ( + fu)(f u f uu + f v f vu ) ( + fu + fv ) 3 = f ( v ( + f v )f uu f u f v f uv + ( + fu)f ) vv ( + fu + fv ) 3 = f v H = 0. Den anden lighed følger af en tilsvarende beregning. Af lemma.4 har vi nu, at der findes glatte funktioner ϕ, ψ : D R 3, så ϕ u = E A, ϕ v = F A, ψ u = F A og ψ v = G A. Vi kan således definere en glat afbildning Φ: D R 3, ved Φ(u, v) = (ũ, ṽ) = (u + ϕ(u, v), v + ψ(u, v)). Jacobimatricen for Φ bliver da DΦ = (ũu ṽ u ) ũ v ṽ v = ( + E F A A F A + G A ), og determinanten er det(dφ) = ( + E ) ( + + G ) F A A A = + E + G A + EG F A = + E + G A > 0. 9

. Minimalflader med Weierstrassrepræsentation Det følger således af den inverse funktionsætning, at der findes en mindre, åben cirkelskive D D med samme centrum, så Φ D er en diffeomorfi. Vi vil nu vise, at reparametriseringen ỹ(ũ, ṽ) = y((φ D ) (ũ, ṽ)) = (u(ũ, ṽ), v(ũ, ṽ), f(u(ũ, ṽ), v(ũ, ṽ))), (ũ, ṽ) Φ(D ) er en konform parametrisering. Vi har for Jacobimatricerne, at D(Φ D ) = (DΦ D ), så ( ) ( ) (ỹ )ũ (ỹ )ṽ = D(Φ D ) uũ uṽ (ũu = = (ỹ )ũ (ỹ )ṽ vũ vṽ ṽ u ( ) G + A F =. E + G + A F E + A ) ũ v ṽ v Vi har desuden, at ỹ 3 = f(u(ũ, ṽ), v(ũ, ṽ)), så (ỹ 3 )ũ = uũf u + vũf v = f u(g + A) f v F E + G + A og tilsvarende (ỹ 3 )ṽ = uṽf u + vṽf v = f v(e + A) f u F E + G + A. Vi får således, når vi husker, at f u = E, f v = G og f u f v = F, samt at A = EG F, at (E + G + A) ỹũ, ỹṽ = F (G + A) F (E + A) + (f u (G + A) f v F )(f v (E + A) f u F ) = F (G + A) F (E + A) + f u f v (G + A)(E + A) fuf (G + A) fv F (E + A) + f u f v F = F (G + A) F (E + A) + F (G + A)(E + A) (E )F (G + A) (G )F (E + A) + F 3 =F ( G A E A + EG + GA + EA + EG F GE GA + E + A EG EA + G + A + F ) =0. Tilsvarende udregninger giver, at ỹ u, ỹ u = ỹ v, ỹ v = A E + G + A. Dette viser, at ỹ er konform. 0

.. Minimalflader og holomorfe funktioner. Minimalflader og holomorfe funktioner Det følger af (.4), at hvis x: U R 3 er en konform parametrisering af en flade, så er middelkrumningen af fladen givet ved H = L + N E. Vi vil bruge dette til at vise en sammenhæng mellem minimalflader og holomorfe funktioner. I første omgang skal vi se, at der er en sammenhæng til harmoniske funktioner. Vi har nemlig følgende lemma: Lemma.6: Lad x: U R 3 være en konform parametrisering. Da er den minimal, hvis og kun hvis x uu + x vv = 0 overalt i U. Bevis: Vi har, at x uu + x vv, x u = x uu, x u + x vv, x u = x u, x u u + x v, x u v x v, x vu = x u, x u u + x v, x u v x v, x v u = ( x u, x u x v, x v ) u + x v, x u v = 0, da x er konform. På samme måde får vi, at x uu + x vv, x v = 0. Så er x uu + x vv altså parallel med normalvektoren N. Da vi har H = 0, hvis og kun hvis 0 = L + N = N, x uu + x vv, så følger det, at x er minimal, hvis og kun hvis x uu + x vv = 0 overalt i U. Det betyder altså, at hvis x: U R 3 er en minimalflade, og parametriseringen er konform, så er koordinatfunktionerne x i : U R 3 for i =,, 3 harmoniske funktioner. Vi kan opfatte U R som en delmængde af C gennem den sædvanlige identifikation R (u, v) z = u + iv C, og vi kan definere en funktion ϕ: U C 3 ved Bemærk, at ϕ = (ϕ, ϕ, ϕ 3 ) med ϕ i : U C defineret ved for i =,, 3. ϕ(z) = x u (u, v) ix v (u, v). (.) ϕ i = x i u i x i v

. Minimalflader med Weierstrassrepræsentation Lemma.7: Lad x: U R 3 være en konform parametrisering. Så er x minimal, hvis og kun hvis ϕ: U C 3 defineret ved (.) er holomorf. Bevis: Funktionen ϕ er holomorf, hvis og kun hvis Cauchy-Riemanns ligninger er opfyldte for ϕ i for i =,, 3. Det vil sige, at ϕ i u u = ϕ i v v og ϕ i v u = ϕ i u v for i =,, 3. Det giver altså seks ligninger. Den sidste er imidlertid trivielt opfyldt, og vi vil derfor kun beskæftige os med den første. Denne kan omskrives til x uu = x vv x uu + x vv = 0. Resultatet følger nu af lemma.6..3 Weierstrassrepræsentation Vi skal nu se på, hvordan man kan bruge holomorfe funktioner til at parametrisere minimalflader. Sætning.8: Lad x: U R 3 defineret ved (.) holomorf og opfylder følgende betingelser: (i) ϕ + ϕ + ϕ 3 = 0. (ii) ϕ har ingen nulpunkter i U. være en minimal, konform parametrisering. Da er ϕ Omvendt, hvis U er enkeltsammenhængende, og hvis ϕ, ϕ og ϕ 3 er holomorfefunktioner på U, der opfylder (i) og (ii), så fås en minimal, konform parametrisering x: U R 3 ved at sætte z x i (u, v) = Re ϕ i (ζ)dζ z 0 (.) for i =,, 3, hvor z = u + iv og z 0 = u 0 + iv 0 for et fast punkt (u 0, v 0 ) U, og integralet er over en vilkårlig kurve i U fra (u 0, v 0 ) til (u, v). Da gælder (.), og x er entydig med denne egenskab op til translation. Bevis: Lad x: U R 3 være en minimal, konform parametrisering. Så følger det af lemma.7, at ϕ = x u ix v er holomorf. Vi skal vise, at (i) og (ii) gælder. Bemærk først, at ϕ i = (x i ) u i(x i ) v for i =,, 3. Vi får derfor direkte, at 3 3 ϕ i = ((x i ) u i(x i ) v ) i= i= 3 = (x i ) u (x i ) v i(x i ) u (x i ) v i= = x u, x u x v, x v i x u, x v = 0,

.3. Weierstrassrepræsentation idet x er konform. Dette viser altså (i). Desuden har vi, at x u og x v ikke begge kan være 0 i noget punkt, da x er regulær, hvorfor ϕ ikke kan have nogen nulpunkter, og det viser (ii). Lad nu omvendt ϕ = (ϕ, ϕ, ϕ 3 ) opfylde betingelserne i sætningen, og antag, at U er enkeltsammenhængende. Lad (u 0, v 0 ) være et punkt i U. Definer x: U R 3 ved (.). Dette giver en veldefineret afbildning, da U er enkeltsammenhængende, og integralet derfor er uafhængigt af vej. Da det gælder, at hvis f : C C er holomorf, så er f u (u, v) = d dz f(u + iv) = if v(u, v), har vi for i =,, 3, at (x i ) u = ( z ) Re ϕ i (ζ)dζ = Re d z ϕ i (ζ)dζ = Re ϕ i z 0 u dz z 0 og (x i ) v = ( z ) Re ϕ i (ζ)dζ = Im d z ϕ i (ζ)dζ = Im ϕ i. z 0 v dz z 0 Det betyder altså, at ϕ i = (x i ) u i(x i ) v for i =,, 3, hvorfor (.) er opfyldt. Vi skal nu vise, at x: U R 3 er en konform parametisering, for så følger af lemma.7, at x er minimal. Da (i) er opfyldt, så er x u x v i x u, x v = 0. Specielt har vi altså, at x u = x v og x u, x v = 0. (.3) Det følger af (ii), at x u og x v ikke begge er 0, så x u og x v er lineært uafhængige. Det viser, at x er regulær, og (.3) betyder således, at x er konform. Lad nu x: U R 3 være en anden konform parametrisering med ϕ = x u i x v. Så er x u = x u og x v = x v, så x x er konstant, og dermed er x en translation af x. Opgaven er således at finde holomorfe funktioner ϕ, der matcher betingelserne i sætning.8, så vi kan konstruere minimalflader ved at bruge parametriseringen i (.). Det viser sig dog, at løsningerne kan karakteriseres på følgende måde: 3

. Minimalflader med Weierstrassrepræsentation Sætning.9: Lad U C være en åben delmængde af den komplekse plan. Lad g : U C være en meromorf funktion, og lad f : U C være en holomorf funktion, så hvis z 0 U er en pol for g af orden m, så er z 0 et nulpunkt for f af orden m, og dette er de eneste nulpunkter for f. Da vil ( ϕ = f( g ), i ) f( + g ), fg (.4) være holomorf og opfylde betingelserne (i) og (ii) i sætning.8. Ydermere gælder, at alle holomorfe funktioner, som opfylder disse betingelser, er på denne form. Bevis: Lad f og g være som foreskrevet, og definer ϕ ved (.4). Alle poler for g hæves af nulpunkterne for f, så ϕ er holomorf på U. Vi har desuden, at ( ) ( i f( g ) + )) f( + g + (fg) = ( 4 f ( g ) ( + g ) + 4g ) = 4 f ( 4g + 4g ) = 0. Bemærk desuden, at ϕ kun har nulpunkter, hvor f(z) = 0 og g(z) C, eller hvor g har en pol og f(z)g(z) = 0, men vi har antaget, at disse tilfælde ikke forekommer, så ϕ har ingen nulpunkter. Dette viser (i) og (ii) fra sætning.8. Antag nu, at ϕ: U C 3 er holomorf og opfylder (i) og (ii) fra sætning.8. De to udtryk ϕ + iϕ og ϕ iϕ kan ikke begge være 0, for så følger ved at addere dem, at ϕ = ϕ = 0, og af betingelsen (i) følger da, at ϕ 3 = 0, hvilket strider mod (ii). Antag, at ϕ + iϕ ikke er 0 overalt, og sæt f = ϕ + iϕ og g = ϕ 3 ϕ + iϕ. Da bliver f holomorf, og g bliver meromorf. Vi har af (ii), at (ϕ + iϕ )(ϕ iϕ ) = ϕ + ϕ = ϕ 3, så Altså har vi, at fg = ϕ 3 (ϕ + iϕ ) (ϕ + iϕ ) = ϕ iϕ. (.5) f( g ) = (f fg ) = ϕ = ϕ, og på samme måde følger, at ϕ = i f( + g ) og ϕ 3 = fg. Vi får af (.5), at fg er holomorf, og det betyder, at hvis g har en pol i z 0 af orden m, så er z 0 et nulpunkt for f af orden mindst m. Da ϕ ikke har nogen nulpunkter, så får vi dog, at nulpunkterne for f netop må være som beskrevet i sætningen. 4

.3. Weierstrassrepræsentation Vi kan nu beskrive en masse minimalflader udelukkende ved at specificere komplekse funktioner, der opfylder kravene fra sætning.9, og konstruere dem med parametriseringen i sætning.8. Vi vil sige, at minimalflader parametriseret på denne måde er i Weierstrassrepræsentation. Ennepers flade er et eksempel på en flade, som let lader sig beskrive på denne måde. Figur.: Ennepers flade. Eksempel.0 (Ennepers flade): Lad U = C, og sæt f(z) = og g(z) = z for alle z C. Dette er måske det simpleste valg af funktioner, der opfylder betingelserne i sætning.9. Med dette valg får vi, med ϕ defineret som ovenfor, at ( ϕ = ( z ), i ) ( + z ), z. Dette giver, at u+iv x (u, v) = Re 0 [ = Re = ( Re = ( ( ( z )dz z z3 3 )] u+iv ) (u + iv)3 u + iv 3 ) u u3 3 + uv, 0 og tilsvarende, at x (u, v) = ( ) v + v3 3 u v og x 3 (u, v) = ( u v ). Efter Alfred Enneper (830-885), tysk matematiker. 5

. Minimalflader med Weierstrassrepræsentation Det ses tydeligt på figur., at Ennepers flade ikke er indlejret. Eksempel. (Katenoiden): En klassisk flade fremkommer ved at sætte U = C, f(z) = e z a og g(z) = e z a. Da får vi nemlig, at ϕ = ( sinh z a, i cosh z a, ). Vi får da u+iv x (u, v) = Re sinh z a dz 0 ] u+iv = Re [ a cosh z a 0 ) = Re (a cosh( a (u + iv)) a = a 4 (e a (u+iv) + e a (u+iv) + e a (u iv) + e a ( u+iv) ) a = a 4 (e u a + e u a )(e i v a + e v a ) a = a cosh u a sin v a a. På samme måde ser vi, at x (u, v) = a cosh u a sin v a og x 3(u, v) = u. Denne flade er en translateret udgave af den såkaldte katenoide 3, der kan konstrueres Figur.: Katenoiden. som omdrejningsfladen hørende til kædelinjen givet ved (t, cosh t a ). Det kan vises, at katenoiden er den eneste minimale omdrejningsflade. Se eventuelt []. 3 Af latin catena, kæde. 6

.3. Weierstrassrepræsentation Funktionen g i Weierstrassrepræsentationen spiller en særlig rolle for minimalfladens geometri. For at undersøge dette skal vi først regne på Gauss-afbildningen. Lad x: U R 3 være en minimalflade i Weierstrassrepræsentation. Vi har da af sætning.8, at Vi får således, at Samtidig får vi, at x u = Re ϕ = (ϕ + ϕ) og x v = Im ϕ = (ϕ ϕ). (.6) i x u x v = (Re ϕ, Re ϕ, Re ϕ 3 ) ( Im ϕ, Im ϕ, Im ϕ 3 ) = ( Re ϕ Im ϕ 3 + Re ϕ 3 Im ϕ, Re ϕ 3 Im ϕ + Re ϕ Im ϕ 3, Re ϕ Im ϕ + Re ϕ Im ϕ ) = (Im ϕ ϕ 3, Im ϕ 3 ϕ, Im ϕ ϕ ) ( ( ) ( ) i = Im f (g + g g ), Im f (g g g ), ( Im i )) f ( + g g g 4 ) = ( ) 4 f ( + g ) Re g, Im g, g. x u x v = 4 f ( + g ) 4(Re g) + 4(Im g) + ( g ) = 4 f ( + g ). Det følger, at N = x u x v x u x u = ( ) + g Re g, Im g, g. Lad π : S \ {(, 0, 0)} C betegne stereografisk projektion. Vi ser da, at bortset fra i polerne for g, så gælder, at π(n) = g. Vi kan udvide π til en afbildning π : S C { }, og her har vi så, at g = π N. Specielt har vi nu vist følgende sætning: Sætning.: Lad x: U R 3 være en minimalflade. Da kan den tilhørende Gaussafbildning betragtes om en meromorf funktion fra U til Riemannsfæren. Det er også interessant at regne lidt på Gauss-krumningen for en minimalflade i Weierstrassrepræsentation. Vi bemærker først, at ifølge [, side 5], så er Gauss-krumningen for en flade givet ved formlen K = E [( ) Eu + E u ( ) ] Ev, E v 7

. Minimalflader med Weierstrassrepræsentation når parametriseringen af fladen er konform. Da Weierstrassrepræsentationen giver en konform parametrisering, så får vi, at x u x v = x u x v x u, x v = EG F = E. Vi får således, at første fundamentalform for en minimalflade i Weierstrassrepræsentation x er givet ved Videre får vi, at 4 f ( + g ) (du + dv ). (.7) E u E = 4 (f f + ff )( + g ) + f ( + g )(g g + gg ) E = f f + ff f + (g g + gg ) ( + g ), hvor mærket står for kompleks differentiation. Ved at differentiere endnu en gang, får vi, at ( ) Eu = (f f f + ff ) f (f f + ff ) E u f 4 + (g g + g + gg )( + g ) (g g + gg ) ( + g ). Tilsvarende får vi, at ( ) Ev = ( f f + f ff ) f + (f f ff ) E v f 4 + ( g g + g gg )( + g ) + (g g gg ) ( + g ), så K = E ( (Eu ) E u + ( ) ) Ev = E v 6 dg dz Her er det værd at gøre et kort holdt for at vise følgende sætning: f ( + g ) 4. (.8) Sætning.3: Lad x: U R 3 være en minimalflade. Da beskriver x enten en del af en plan, eller også har Gauss-krumningen isolerede nulpunkter. Bevis: Lad x være i Weierstrassrepræsentation. Så følger af (.8), at K = 0, netop når g = 0. Men g er en meromorf funktion, så vi ved, at enten er nulpunkterne for g isolerede eller g = 0 overalt. Den sidste mulighed betyder dog, at K = 0 overalt, og så følger af navlepunktssætningen, at x beskriver en del af en plan. Vi kan dog også bruge (.8) til noget andet. Vi kan nemlig bruge den til at udtale os om den såkaldte totalkrumning, der for en parametriseret flade x: U R 3 er givet ved integralet U K EG F du dv. 8

.3. Weierstrassrepræsentation Her spiller g endnu en gang en hovedrolle. Vi får nemlig i dette tilfælde, at totalkrumningen er givet ved U KEdu dv = U 4 g ( + g du dv. ) Da steoreografisk projektion giver en konform parametrisering af sfæren med første fundamentalform givet ved 4 ( + u + v ) (du + dv ), så følger det, at integralet ovenfor netop er det negative af arealet på sfæren af billedet af π g = N, hvor dette areal medregnes flere gange, hvis billedet dækker området flere gange. Det følger nu, at Ennepers flade fra eksempel.0 og katenoiden fra eksempel. begge har totalkrumning 4π. Vi kalder en flade fuldstændig, hvis enhver divergent kurve på fladen har uendelig længde. Vi siger, at en kurve i U er divergent, hvis dens billede ikke er indeholdt i nogen kompakt mængde i U. I tilfældet med en minimalflade i Weierstrassrepræsentation kan dette formuleres, som at f ( + g ) dη = 0 f(γ(t)) ( + g(γ(t)) ) dγ dt dt = γ for alle divergente kurver γ : (0, ) U, da første fundamentalform er givet som i (.7). Da vi for Ennepers flade og katenoiden har henholdvis f(z) ( + g(z) ) = + z og f(z) ( + g(z) ) = e Rez a + e Rez a, så følger det altså, at begge disse flader er fuldstændige. 9

3 Weierstrass - og ζ-funktion Vi skal nu for et øjeblik vende os lidt væk fra minimalfladerne og i stedet bruge noget tid på at introducere en række berømte funktioner, som blev studeret af Weierstrass og nu bærer hans navn. Disse funktioner skal i næste kapitel bruges til at konstruere en meget kompliceret minimalflade. Fremstillingen i dette kapitel bygger i udpræget grad på kapitel 3 og 4 i [4]. 3. Elliptiske funktioner Definition 3.: En meromorf funktion f : C C kaldes elliptisk, hvis den ikke er konstant 0, og hvis der findes ω og ω i C med Im ω ω > 0, så f(z + ω ) = f(z), og f(z + ω ) = f(z). Vi kalder ω og ω for perioder for f. Mængden af alle perioder for f danner et gitter i C, og dette gitter kalder vi for periodegitteret. Vi siger, at ω og ω er basisperioder, når de danner en basis for periodegitteret. For ethvert par basisperioder (κ, κ ) definerer vi det fundamentale parallelogram for f til at være mængden Π f = {xκ + yκ 0 x <, 0 y < }. Bemærkning 3.: Det fundamentale parallelogram er ikke entydigt for en elliptisk funktion. Det afhænger af valget af basis for periodegitteret. Sætning 3.3: Hvis f er en elliptisk, hel funktion C C, så er f konstant. Bevis: Lad Π f være aflukningen af et fundamentalt paralellogram for f. Hvis f er holomorf på Π f, så findes, da Π f er kompakt, et R R, så f(z) R for z Π. Af periodiciteten følger nu, at f(z) R for z C. Ifølge Liouvilles sætning er f da konstant.

3. Weierstrass - og ζ-funktion Figur 3.: Fundamentalt parallelogram for elliptisk funktion med primitive perioder ω og ω. Sætning 3.4: Lad f være en elliptisk funktion. Hvis n betegner antallet af nulpunkter for f i et fundamentalt parallelogram Π f talt med multiplicitet, og m betegner antallet af poler for f i Π f talt med multiplicitet, så er n = m. Bevis: Da f er elliptisk, er også f elliptisk, for f er meromorf, og df dz (z + ω) = f (z + ω), så f har i hvert fald de samme perioder som f. Det betyder, at også funktionen f er periodisk med i hvert fald de samme perioder som f. Lad ω og ω være basisperioder for f. Vi skal nu se, at der findes α C, så randen af det translaterede parallelogram f Figur 3.: Randen af Π f + α. Π f + α = {z + α z Π f } ikke indeholder nogen poler eller nulpunkter for f. Lad P være mængden af nulpunkter og poler for f. Dette er en diskret mængde. Sæt X = {x [0, ) y [0, ) : xω + yω P }. Da Π f P er kompakt, så er den endelig, og X har dermed mål 0. Der findes altså x [0, ) \ X. Sæt Y = {y [0, ) x [0, ) : xω + yω P }.

3.. Weierstrass -funktion På samme måde kan vi nu finde y [0, ) \ Y. Vi kan da sætte α = x ω + y ω. Lad nu Γ betegne denne rand, og lad den bestå af linjestykkerne Γ, Γ, Γ 3 og Γ 4 som vist på figur 3.. Så følger af Cauchys residuesætning, at πi Γ f (z) dz = n m. f(z) Det følger af periodiciteten af f, at antallet af poler og nulpunkter i Π f ikke ændres, når det translateres. Men da f f er periodisk, følger det, at f (z) Γ f(z) dz = f (z) Γ 3 f(z) dz og f (z) Γ f(z) dz = f (z) Γ 4 f(z) dz, så πi Γ f (z) dz = 0, f(z) og det viser sætningen. Korollar 3.5: Lad f være en elliptisk funktion med n poler i et fundamentalt parallelogram Π f. Så antager f alle værdier i C præcis n gange i Π f talt med multiplicitet. Bevis: Betragt for c C funktionen g givet ved g(x) = f(x) c. Så er g elliptisk med de samme perioder og poler som f. Det følger da af sætning 3.4, at g har netop n nulpunkter i Π f talt med multiplicitet. 3. Weierstrass -funktion Vi er her først og fremmest interesserede i en bestemt elliptisk funktion kaldet Weierstrass -funktion, og vi vil i det følgende bruge en del kræfter på at definere den og vise visse centrale egenskaber hos den. Lad ω, ω C\{0} med Im ω ω Vi vil bruge notationen Proposition 3.6: Rækken ω > 0, og lad Ω betegne gitteret {mω + nω m, n Z}. ω λ = er konvergent for λ > og divergent for λ. ω ω Ω, ω 0 ω λ. ω λ (3.) Bevis: Sæt Ω k = {mω + nω n, m Z, m k, n k, (m, n) (0, 0)} Ω for alle k =,, 3,..., og sæt Ω 0 =. Lad nu Ω k betegne mængden Ω k \ Ω k. Sæt nu B k = Ω k for k =,, 3,.... ω λ 3

3. Weierstrass - og ζ-funktion Figur 3.3: Mængden Ω er markeret med ringe, og resten af Ω er markeret med prikker. Da alle leddene i summerne er positive og ens, har vi, at (3.) konvergerer netop, når k= B k gør det. Der er (k + ) elementer i Ω k, så der er (k + ) [((k ) + ) ] = 8k elementer i Ω k og led i B k. Det er klart, at normen af det element i Ω k, der har lavest norm, stiger lineært med k, og tilsvarende for normen af det element med størst norm. Der findes således a > 0 og b > 0 uafhængige af k, så ak < ω < bk for alle ω Ω k. Og vi har derfor, at 8b λ k λ < B k < 8a λ k λ. Det betyder, at k= B k konvergerer, hvis og kun hvis k= k λ gør det. Det vil sige, hvis og kun hvis λ >. Korollar 3.7: Rækken ( ω (z ω) ω ) (3.) konvergerer absolut for z / Ω. For alle R > 0 konvergerer rækken uniformt for z R, efter at endeligt mange led er fjernede. Bevis: Vi får let for z C \ Ω og ω Ω, at (z ω) ω = zω z ω (z ω) = z z ω ω 3 ( ) z. ω For R > 0 findes endeligt mange punkter ω i Ω, så ω R. For ω > R og z R har vi, at z ω <, 4

3.. Weierstrass -funktion så for disse punkter har vi desuden følgende vurderinger: I disse punkter får vi altså z ω + = 5 og z ω =. (z ω) ω z 5/ ω 3 /4 0R ω 3. ω Da ω 3 konvergerer ifølge propositionen, så følger det nu, at (3.) konvergerer uniform for z R, når der er fjernet endeligt mange led. Da dette gælder for et vilkårligt R > 0, ser vi samtidig, at rækken er absolut konvergent for z / Ω. Vi kan nu give følgende definition: Definition 3.8: Lad ω, ω og Ω være som ovenfor. Vi definerer da for z C \ Ω (z) = (z; ω, ω ) = z + Funktionen kaldes Weierstrass -funktion. ω Ω, ω 0 ( (z ω) ) ω. Vi vil indledningsvist bevise en række simple egenskaber ved funktionen (z). Sætning 3.9: Der gælder følgende: (i) Weierstrass -funktion er en elliptisk funktion med perioder ω og ω med dobbelte poler netop i punkterne z Ω. (ii) (z) = ( z). (iii) ( z) = (z). (iv) (z) er elliptisk med de samme perioder som (z). Bevis: Det følger fra korollar 3.7, at (z) er holomorf i C \ Ω, så (z) er meromorf. Det ses let ud fra definitionen, at (z) har dobbelte poler i z Ω. Af konvergensen i korollar 3.7 følger det, at (z) ikke har andre poler. Vi vil vende tilbage til beviset for, at (z) er periodisk. Det ses umiddelbart, at ( z) = z + ω Ω, ω 0 = z + ω Ω, ω 0 = z + ω Ω, ω 0 ( ( z ω) ) ω ( (z ω) ) ω ( (z ω) ) ω = (z), 5

3. Weierstrass - og ζ-funktion og det viser (ii). Heraf følger (iii) desuden direkte ved differentiation af ( z). Da vi har uniform konvergens i korollar 3.7 følger, at vi kan differentiere summen i (z) ledvist. Vi får da (z) = z 3 + ω Ω, ω 0 (z ω) 3 = ω Ω (z ω) 3. Det er klart, at for α Ω får vi blot Ω α = Ω. Det følger nu, at for z C \ Ω og i =, får vi (z + ω i ) = ω Ω (z + ω i ω) 3 = (z ω) 3 = (z ω) 3 = (z), ω Ω ω i ω Ω så (z) er elliptisk med perioder ω og ω. Dette viser (iv). Ved at integrere får vi, at der findes en konstant c C, så (z + ω i ) = (z) + c. Sæt nu z = ω i. Vi får, at ( ω i ) = ( ω i ) + c, og af (ii) slutter vi, at c = 0, og dette viser (i). Bemærkning 3.0: Vi ved nu, at Ω netop består af alle perioder for (z). Hvis periodegitteret indeholdt punkter, som ikke var i Ω, så ville de nemlig også skulle være poler for (z), og vi har netop vist, at punkterne i Ω udgør alle poler for (z). Da ω og ω er en basis for Ω, betyder det, at ω og ω er basisperioder, og mængden Π = {xω + yω 0 x <, 0 y < } er et fundamentalt parallelogram for (z). Da Ω også udgør alle poler for (z), så er Π på samme måde også et fundamentalt parallelogram for (z). Den mest centrale egenskab ved (z) er måske, at den opfylder en særlig differentialligning, og vi vil gøre brug af dette utallige gange i det følgende. Sætning 3.: Funktionen (z) opfylder ligningen (z) = 4 (z) 3 g (z) g 3, hvor g = 60 ω 4 og g 3 = 40 ω 6. ω ω 6

3.. Weierstrass -funktion Bevis: Lad 0 < z < ω for alle ω Ω \ {0}. Så får vi, at (z ω) ω = ω ( z ω ) ω = ( ω + z ) ω + 3z ω + 4z3 ω 3 + = z ω 3 + 3z ω 4 + 4z3 ω 5 +. Så for sådanne z får vi af den absolutte konvergens fra korollar 3.7, at (z) = z + z ω ω 3 + z ω 3 ω 4 + z3 ω ω 4 ω 5 +. Det betyder desuden, at lim ( (z) ) z 0 z = 0. Nær 0 kan (z) udvikles som en Laurentrække, og da (z) er en lige funktion og (z) z = 0 for z = 0, så har den formen (z) = z + c z + c z 4 + + b n z n +. Ved at sammenligne led får vi, at c n = (n + ) for n =,, 3,..., ωn+ ω så specielt er g = 0c og g 3 = 8c. Dette giver nu, at ( ) 3 (z) 3 = z + c z + c z 4 + c 3 z 6 + = ) 3 ( z 6 + c z 4 + c z 6 + c 3 z 8 + = ) ( z 6 + 3c z 4 + 3c z 6 + (3c 3 + 3c )z 8, og (z) = ( ) z 3 + c z + 4c z 3 + 6c 3 z 5 + = ( z 6 + c z 4 + 4c z 6 + 6c 3 z 8 + = ) (4 z 6 8c z 4 6c z 6 4c 3 z 8 +. ) Vi får således, at (z) 4 (z) 3 = 0c z 8c (36c 3 + c )z + = g z g 3 (36c 3 + c )z +. 7

3. Weierstrass - og ζ-funktion Det følger heraf, at tæt ved 0 kan funktionen f(z) = (z) 4 (z) 3 + g (z) + g 3 skrives som en Laurentrække med alene positive potenser. Det betyder, at f er holomorf i z = 0, og da den består af periodiske funktioner, må den selv være periodisk med hensyn til gitteret Ω. Den har derfor heller ikke nogen poler i resten af Ω og altså derfor ikke overhovedet, da det er de eneste poler for (z). Det følger nu af sætning 3.3, at f er konstant. Men Laurentrækken giver, at f(0) = 0, så f(z) = 0 for alle z C. Bemærkning 3.: for (z). (i) Størrelserne g (ω, ω ) og g 3 (ω, ω ) er kendt som invarianterne (ii) Ovenstående sætning har stor betydning for studiet af elliptiske kurver, idet den viser, at funktionen π : C/Ω CP givet ved π(z) = [ ] (z), (z), for z 0 og π(0) = [0,, 0] afbilder torusen C/Ω ind i de komplekse projektive punkter på den elliptiske kurve y = x 3 4 g x 4 g 3. Faktisk kan det vises, at afbildningen giver en parametrisering af kurven, og det viser sig, at under visse betingelser kan der findes en sådan parametrisering af alle elliptiske kurver på denne form. Se eventuelt [6]. Da (z) har netop én pol af orden tre i Π, så følger af sætning 3.4, at (z) har netop tre rødder i Π. Da (z) er ulige, fås for i =,, at ( ) ( ωi = ω i ) ( = ω ) i + ω i ( ) = ωi, så ( ) ωi = 0. På samme måde får vi, at ( ) ( ) ( ω + ω = ω + ω ω ω = ω ) + ω ( ) = ω + ω, så ( ) ω + ω = 0. Sæt ω 3 = ω + ω. Så er ω, ω og ω 3 altså alle rødder for (z). Sæt nu e = ( ω ), e = ( ) ω og e 3 = Da er e, e og e 3 forskellige. Betragt nemlig funktionen g(z) = (z) e i for i =,, 3. Den er elliptisk med samme perioder som (z), og Π er derfor et fundamentalt 8 ( ω3 ).

3.. Weierstrass -funktion parallelogram for g. Da g har én pol af orden to i Π, så har den to rødder (talt med multiplicitet) i Π. Hvis e i = e j for i j, så skal disse rødder for g være forskellige, men z = ω i er jo en rod, og ( ) g ωi ( ) = ωi = 0, så denne rod har orden to, og er dermed den eneste i Π. Det følger af sætning 3., at e, e og e 3 er rødderne i polynomiet 0 = 4x 3 g x g 3, der dermed kan omskrives til 0 = 4(x e )(x e )(x e 3 ). Ved at gange ud i parenteserne og sammenligne koefficienter finder vi, at e + e + e 3 = 0, (3.3) e e + e e 3 + e 3 e = g 4, (3.4) e e e 3 = g 3 4. (3.5) Vi vil sige, at z z modulo Ω hvis z z Ω, og vi i såfald sige, at z og z er kongruente. Vi har følgende sætning: Sætning 3.3 (Additionsformlen): Lad z z modulo Ω. Da gælder (z + z ) = 4 ( (z ) ) (z ) (z ) (z ). (z ) (z ) Bevis: Lad z C \ Ω, så (z ) 0, og lad dette z være fastholdt for nu. Vi vil herefter skrive z = z for variablen. Sæt nu f(z) = (z + z ) + (z) + (z ) 4 ( (z ) ) (z ). (z ) (z ) Så er f igen elliptisk, og vi vil som i beviset ovenfor argumentere for, at f er hel med f(0) = 0. Dette afslutter beviset, hvis z ikke er kongruent med nogen af tallene ω, ω og ω 3. Denne antagelse kan dog fjernes, idet additionsformlen er symmetrisk i z og z, og tilfældet, hvor z og z begge er kongruente med et (men ikke det samme) af tallene, følger af (3.3). De mulige poler for f ligger i z 0 modulo Ω kommende fra leddene med (z) og (z) og z z kommende fra leddet (z + z ). Vi vil først se på z 0. I nærheden af 0 har vi Laurentrækkerne (z) = z + c z + c z 4 + og (z) = z 3 + c z + 4c z 3 +, 9

3. Weierstrass - og ζ-funktion så vi får tæt ved 0, at 4 ( (z ) ) (z ) (z) = ( (z ) + (z ) (z ) 4 z 3 c z 4c z 3 + (z ) + z + c z + c z 4 + ) (z) = ( + (z )z 3 c z 4 c x 6 ) + z (z )z + c z 4 + c z 6 (z) + = ) ( z + (z )z + (z) = ) ( z + (z )z + z c z c z 4 + = (z ) + z( ). Dette betyder, at polerne her hæver hinanden, og f er derfor holomorf omkring 0. Vi ser samtidig, at f(0) = (z ) + (z ) (z ) 0( ) = 0. og Vi vil nu se på z z. Her udvikler vi også i nærheden af z og får (z + z ) = (z + z ) +, ( (z) ) (z ) 4 (z) (z ) = ( (z ) ( z ) ( z )(z + z ) + 4 (z ) ( z ) ( z )(z + z ) ( z )(z + z ) + = ( (z ) ) (z )(z + z ) + 4 (z )(z + z ) (z )(z + z ) + = (z + z ) +, idet vi husker, at (z) er en lige funktion. Vi har dermed, at også denne pol hæves i f, og f er således hel, og det følger af sætning 3.3, at f er konstant 0. ) 3.3 Weierstrass ζ-funktion Vi vil nu definere Weierstrass ζ-funktion og vise, at den har stor sammenhæng med (z). Endnu en gang skal vi dog først bruge et lemma til at sikre konvergens af en række. 30

3.3. Weierstrass ζ-funktion Lemma 3.4: Rækken ω ( z ω + ω + z ) ω er absolut konvergent for z / Ω. For alle R > 0 konvergerer rækken uniformt for z R, efter at der er fjernet endeligt mange led. Bevis: Beviset går næsten som i korollar 3.7. For ω > R z har vi, at z ω + ω + z ω = z ω (z ω) z ( ) z ω 3 z ω 3. Lemmaet følger nu på samme måde som i beviset for korollar 3.7 af, at ω 3 konvergerer. Dette leder på samme måde som i afsnit 3. til definitionen af en meromorf funktion. ω ω Definition 3.5: Lad ω, ω og Ω være som tidligere. Sæt for z C \ Ω ζ(z) = ζ(z; ω, ω ) = z + ω Ω, ω 0 Denne funktion er kendt som Weierstrass ζ-funktion. ( z ω + ω + z ) ω. Følgende sætning oplister en række fundamentale egenskaber ved ζ-funktionen: Sætning 3.6: Weierstrass ζ-funktion defineret i definition 3.5 er en ulige, meromorf funktion, og ζ (z) = (z). Bevis: At ζ(z) er holomorf for z C \ Ω følger af konvergensen i lemma 3.4. Dette viser, at ζ(z) er meromorf. Vi får direkte, at hvorfor ζ(z) er ulige. ζ( z) = z + = z + = z + = z + ( z ω + ω z ) ω ω Ω, ω 0 ( z + ω ω + z ) ω ω Ω, ω 0 ω Ω, ω 0 ω Ω, ω 0 ( z ω + ω + z ) ω ( z ω + ω + z ) ω = ζ(z), 3

3. Weierstrass - og ζ-funktion Da lemma 3.4 sikrer, at summen konvergerer lokalt uniformt, kan vi differentiere ledvist og få ζ (z) = d dz z + ( z ω + ω + z ) ω ω Ω, ω 0 = z + ( (z ω) + ) ω = (z), ω Ω, ω 0 hvilket viser den sidste påstand. Weierstrass ζ-funktion har altså en meget nær relation til (z), men den er ikke elliptisk. Den er dog såkaldt kvasi-periodisk, idet der gælder følgende sætning: Sætning 3.7: Lad ω 3 = ω + ω. Så gælder for i =,, 3, at ζ(z + ω i ) = ζ(z) + ζ ( ) ωi. Bevis: Vi har, at (z + ω i ) = (z) for i =,. Ved at integrere får vi, at ζ(z + ω i ) = ζ(z) + c i, hvor c i er en konstant, der kun afhænger af ω i. For ω 3 får vi, at ζ(z + ω 3 ) = ζ(z + ω + ω ) = ζ(z + ω ) + c = ζ(z) + (c + c ) = ζ(z) + c 3. Dette giver specielt for z = ω i, at ζ ( ) ( ωi = ζ ω ) ( ) i + ω ωi i = ζ + c i, så c i = ζ ( ) ωi for i =,, 3, og sætningen følger. Nedenstående resultat, skyldes Legendre. Sætning 3.8: Lad som ovenfor ω og ω være valgt så Im ω ω ( ) ( ) ω ω ζ ω ζ ω = πi. > 0. Så gælder, at Adrien-Marie Legendre (75-833), fransk matematiker. 3

3.3. Weierstrass ζ-funktion Bevis: Vi bemærker, at da ζ (z) = (z), så har vi for z tæt på 0 Laurentrækken ζ(z) = z c 3 z3 c 5 z5, hvor konstanterne c i er de samme som i beviset for sætning 3.. Det betyder, at polen i z = 0 har residue. Lad Λ betegne randen af parallelogrammet med hjørner ω +ω ω, ω, ω +ω og ω ω, og del den i linjestykkerne Λ, Λ, Λ 3 og Λ 4 som vist på figur 3.4. Det følger nu af Figur 3.4: Randen af parallelogrammet. Cauchys residuesætning, at Λ ζ(z)dz = πi. Vi har imidlertid af sætning 3.7, at ζ(z)dz = Λ ζ(z)dz Λ 3 Λ 3 ζ ( ) ( ) ω ω dz = ζ(z)dz ζ ω, Λ 3 og ζ(z)dz = Λ 4 ζ(z)dz Λ Λ ζ ( ) ( ) ω ω dz = ζ(z)dz + ζ ω. Λ Vi får således πi = Λ ζ(z)dz = 4 i= Λ i ζ(z)dz = ζ ( ) ( ) ω ω ω ζ ω, hvorfor πi = ζ ( ) ( ) ω ω ω ζ ω, og sætningen er vist. 33

3. Weierstrass - og ζ-funktion 3.4 Tilfældet ω = og ω = i Vi vil nu se nærmere på Weierstrass - og ζ-funktion, når vi vælger ω = og ω = i. Vi har allerede set, at (z) og ζ(z) har mange pæne egenskaber, men med dette valg af perioder dukker der flere nye egenskaber op, og mange af dem, der før var pæne, bliver nu endnu lettere at arbejde med. Da vi fremover har ω = og ω = i, så skal vi altså arbejde med gitteret Ω = {m + in m, n Z}. De egenskaber, som vi vil vise om (z;, i) og ζ(z;, i) stammer fra symmetrierne i dette gitter. Det er for eksempel klart, at gitteret opfylder ting som, at ω Ω netop når ω Ω. Vi vil fra nu af udelukkende beskæftige os med Weierstrass funktioner med ω = og ω = i, og vi vil som før undertrykke perioderne i notationen og forsætte med blot at skrive (z) og ζ(z), selvom sætningerne fra dette punkt kun udtaler sig om (z;, i) og ζ(z;, i). Vi vil begynde med at udnytte nogle af symmetrierne i Ω. Lemma 3.9: For (z) gælder følgende regneregler: (i) (iz) = (z), (ii) (z) = (z). Bevis: Vi får direkte, at (iz) = (iz) + = z + ω Ω, ω 0 ( ( (iz ω) ) ω (z ( iω)) ( iω) ω Ω, ω 0 = z + ( (z ω) ) ω iω Ω, ω 0 = (z), da iω Ω præcis når ω Ω. Dette viser (i). På lignende vis får vi af velkendte regneregler for kompleks konjugering, at (z) = z + ω Ω, ω 0 ( = z + ω Ω, ω 0 ( = z + = (z), ω Ω, ω 0 ( (z ω) ) ω (z ω) ) ω (z ω) ω ) ) 34

3.4. Tilfældet ω = og ω = i hvor det sidste lighedstegn følger af, at ω Ω netop når ω Ω. Dette viser (ii) og afslutter dermed beviset for lemmaet. Bemærkning 3.0: En konsekvens af lemma 3.9(ii) er, at (z) er reel, når z er reel, thi da har vi, at (z) = (z) = (z). Med lemma 3.9 kan vi let fastlægge konstanterne e, e og e 3 og dermed invarianterne g og g 3. Proposition 3.: Der gælder følgende: (i) Konstanterne e, e og e 3 er reelle, og e + e = 0 og e 3 = 0. (ii) Invariantene g og g 3 er givet ved g = 4e og g 3 = 0. Bevis: Det følger af lemma 3.9, at ( ( i e = = = e. ) ) Ifølge bemærkning 3.0 ovenfor er e reel, og dermed er e det også. Af (3.3) følger desuden, at e 3 = (e + e ) = 0, og dette viser (i). Af (3.4) følger nu, at g = 4e e = 4e, og (3.5) medfører, at g 3 = 4e e e 3 = 0. Dette viser (ii), og propositionen er således vist. Bemærkning 3.: Da ( ) = 0, så er et nulpunkt af orden for (z), og det følger af sætning 3.4, at alle nulpunkter således må være kongruente med modulo Ω, da (z) kun har poler i punkter, der er kongruente med 0, og disse poler er dobbelte. Differentilligningen, som vi behandlede i sætning 3., er nu blevet forsimplet en del til (z) = 4 (z) 3 4e (z) = 4 (z)( (z) e ). (3.6) 35

3. Weierstrass - og ζ-funktion Et matematik-program som Mathematicar kan beregne både invarianten g og e, og resultatet er ifølge [7, side 75] g 89,077... og e 6,8759.... (3.7) Også ζ(z) opfylder nu en enkel regneregel. Figur 3.5: Plot af henholdvis Re, Im og. Proposition 3.3: For alle z 6= 0 gælder iζ(iz) = ζ(z). Bevis: Som i beviset for lemma 3.9 får vi umiddelbart af definitionen, at X i i z i + + iζ(iz) = iz ω Ω, ω6=0 iz ω ω ω X z + + + z ω Ω, ω6=0 z ( iω) iω ( iω) = X z = + + + z iω Ω, iω6=0 z ω ω ω = ζ(z). Figur 3.6: Plot af henholdvis Re ζ, Im ζ og ζ. Fra sætning 3.8 har vi altså, at i i ζ ζ 36 = iπ.

3.4. Tilfældet ω = og ω = i Af proposition 3.3 følger imidlertid, at ( ( i iζ = ζ, ) ) så ( ζ = ) π ( ) i og ζ = iπ. (3.8) Af beviset for sætning 3.7 får vi desuden ( ) + i ζ Fra sætning 3.7 har vi endelig, at ( ( i = ζ + ζ = ) ) ( i)π. (3.9) ζ(z + ) = ζ(z) + π, (3.0) og ζ(z + i) = ζ(z) iπ. (3.) 37

4 Costas minimalflade I dette kapitel skal vi se på et langt mere kompliceret eksempel på en minimalflade i R 3. Det er Costas minimalflade, som første gang blev beskrevet af Celso J. Costa i hans ph.d.-afhandling fra 98. I 984 blev artiklen publiceret på engelsk. Se [5]. I artiklen brugte Costa Weierstrassrepræsentationen til at lave sin konstruktion af fladen, som var det første eksempel på en fuldstændig minimalflade med endelig totalkrumning og genus. I 985 viste David A. Hoffman og og William H. Meeks 3, at fladen er indlejret. Se [8]. I dette kapitel vil vi både følge Costas konstruktion samt præsentere Hoffman og Meeks bevis for, at fladen er indlejret. 4. Konstruktion af fladen Med hensyn til konstruktionen af Costas flade, vil vi i høj grad bygge vores fremstilling på præsentationen i []. Vi har indtil nu betragtet flader som afbildninger x: U R 3, hvor U er en åben delmængde af R. Denne definition er dog ikke den mest praktiske, når vi skal beskrive Costas flade. Her får vi brug for at betragte en flade som en afbildning x: M R 3, hvor M betegner en åben delmængde af en -mangfoldighed ˆM. I dette tilfælde kommer ˆM til at betegne en torus, og M kommer til at bestå af hele torussen bortset fra tre punkter. Dette kan umiddelbart ligne et markant brud med den teori, som vi hidtil har bevæget os indenfor, men det er ikke tilfældet. Denne generalisering ligger nemlig i direkte forlængelse af det, vi allerede har lavet. En torus er nemlig lokalt diffeomorf med R, så alle lokale udsagn i de foregående kapitler om flader er uændrede. Vi vil tænke på ˆM som C/Ω, hvor Ω er gitteret {m + in m, n Z}. Vi kan således betragte ˆM med enhedskvadratet {z C 0 Re z, Im z < }, hvor vi har identificeret modstående sider. Vi vil konstruere Costas flade ved hjælp af Weierstrassrepræsentationen, så i første omgang leder vi efter komplekse funktioner på enhedskvadratet, der opfylder betingelserne i sætning.9. Det er oplagt at vælge f =, da er periodisk med hensyn til Ω. Vi vil desuden sætte g = A, hvor A er en konstant, som vi vil lægge fast senere. For at f og g Celso J. Costa (949-), brasilliansk matematiker. David A. Hoffman, amerikansk matematiker. 3 William H. Meeks III (947-), amerikansk matematiker. 39

4. Costas minimalflade skal opfylde kravene, må vi fjerne nogle af polerne for g. Vi vil derfor betragte funktionerne på enhedskvadratet fraregnet punkterne 0, og i. Bemærkning 4.: Vi vil i dette kapitel lade den projektionsafbildning, der er fra C til ˆM være underforstået for ikke at gøre notationen unødigt vanskelig. Så vil altså på samme tid betyde et komplekst tal og et punkt på en torus. Sæt α =, α = i og α 3 = +i. Disse punkter på ˆM vil vi have særlig interesse for. Nu er funktionerne f og g altså fastlagte, og vi vil inspireret af sætning.8 forsøge os med parametriseringen x: M R 3 givet ved for i =,, 3, hvor x i = Re z α 3 ϕ i (η)dη ϕ (z) = ( ) (z) A (z), ϕ (z) = i ( ) (z) + A (z), ϕ 3 (z) = A (z) (z). Her gør det imidlertid en forskel, at vi har ændret parameterområdet til en torus. Det er nemlig ikke sikkert, at denne parametrisering er veldefineret. Vi skal først sørge for, at realdelen af integralerne ikke afhænger af valget af kurve fra α 3 til z. Vi vil kalde det, at integralerne ikke har reelle perioder. Denne og flere af de senere beregninger bliver lettet, hvis vi først skriver lidt om på udtrykkene for ϕ, ϕ og ϕ 3. Ved at bruge (3.6) får vi let, at ( ) og ϕ 3 (z) = A (z) (z) (z) = A ϕ (z) = (z) 4( (z) e ), (4.) ϕ (z) = i ( A ) (z) + 4( (z) e ) (4.) A (z) 4( (z) e ) = A ( (z) 8e (z) e (z) (z) + e For at få ϕ og ϕ på en endnu pænere form vil vi først lave en mellemregning. Ved brug af Additionsformlen samt (3.6) finder vi nemlig, at ( z ) ( ) ( = z + = ) (z) 4 (z) e (z) e = (z)( (z) e ) (z) e (z) e = (z)( (z) + e ) (z) + e (z) e = (z)e + e e = e +, (z) e (z) e 40 ).

4.. Konstruktion af fladen og på samme måde ses, at ( z i ) = e + e (z) + e, så ( z ) ( z i ) e = e (z) e e (z) + e = 4e 3 (z) e. Vi kan således omskrive ϕ og ϕ yderligere til: ϕ (z) = [ (z) A ( ( ) ( ) ) ] 6e 3 z z i e, ϕ (z) = i [ (z) + A ( ( ) ( ) ) ] 6e 3 z z i e. For at sikre, at integralerne ikke har reelle perioder, er det nok at sikre, at realdelen af integralerne er 0, når der integreres langs en lukket kurve i M. Da vi kender poler og nulpunkter for (z) og (z), kan dette reduceres ydereligere til følgende to betingelser: (A) Residiuerne for ϕ i i punkterne 0, og i er reelle for i =,, 3. (B) Hvis β og γ er frembringere for fundamentalgruppen for torussen ˆM, så er integralerne ϕ i (η)dη og ϕ i (η)dη β rent imaginære for i =,, 3. Det fremgår af omskrivningen ovenfor, at ϕ og ϕ kun har en pol i z = 0, og her har (z) residium 0, så Res(ϕ i, 0) = Res ( ϕ i, ) ( = Res ϕi, ) i = 0 γ for i =,. Lad δ ε betegne en cirkel med radius ε og centrum i. I en lille omegn om er α 3 holomorf, så vi får lim ε 0 δ ε α 3 (η)dη = lim ε 0 = lim ε 0 = lim ε 0 A 8e A 8e A 8e δ ε δ ε (η) (η) dη (η) e (η) + e (η) dη (η) e dω = A πin, ω e 8e (δ ε) hvor n Z. Her har vi lavet substitutionen ω = (η) og anvendt Argumentprincippet. Dette medfører, at Res(ϕ 3, ) = An 8e, og på samme måde fås Res(ϕ 3, i ) = Am 8e for m Z. Vi vil nu beregne Res(ϕ 3, 0). Her har ϕ 3 en simpel rod, og hvis vi skriver Lauretrækkerne ud, så får vi omkring 0, at (z) (z) ± e = z 3 + n= nc n z n ± e z + n= c n z n = z + n= nc n z n+ ± e z + n= c n z n+. 4

4. Costas minimalflade Det betyder, at z (z) (z)±e når z 0, og vi kan slutte, at Res(ϕ 3, 0) =. Samlet har vi altså, at for at opfylde betingelse A, så skal vi have A R. Vi vil nu se på B. Kurverne β og γ svarer i enhedskvadratet til vandrette og lodrette linjer. Vi er dog ikke interesserede i linjer, der går gennem de udeladte punkter. Lad β være på formen ib, + ib, og lad γ være på formen b, b + i, hvor b er et reelt tal, og b / Z. Vi har da af sætning 3.6 samt ligning (3.0), at β ( (η)dη = ζ( + ib) + ζ(ib) = ζ = π, ) og på samme måde følger, at γ (η)dη = iπ. Det følger nu, at β ϕ (η)dη = ( ) π A 6e 3 ( π + π a) = ( ) π + A 8e, og på samme måde, at ϕ (η)dη = i ( ) π + A γ 8e. Ved helt analoge udregninger fås også β ϕ (η)dη = i ( ) π + A 8e og ϕ (η)dη = ( ) π A γ 8e. Vi har, at β (η) (η) ± e dη = log( ( + ib) ± e ) log( (ib) ± e ) = 0, da (z) = (z + ), så vi får, at og ved et lignende argument fås, at ϕ 3 (η)dη = 0, β ϕ 3 (η)dη = 0. γ Vi kan således kun opfylde betingelserne (A) og (B), når A = 8e π, og A er reel. Vi vil derfor sætte A = πe. Dette færdiggør konstruktionen af Costas minimalflade. Vi har nu en minimalflade, der er en konform afbildning fra en torus med tre punkter fjernet til R 3. Vi vil derfor sige, at Costas flade har genus. For at tegne fladen med et program som Maple R er det imidlertid nyttigt at have en parametrisering af fladen, som ikke involverer integraler. Vi vil her give følgende parametrisering, som er beskrevet af Alfred Gray 4 i [7]. 4 Alfred Gray (939-998), amerikansk matematiker. 4

4.. Konstruktion af fladen Sætning 4.: For (u, v) {(x, y) R 0 x, y < } \ {(0, 0), (0, ), (, 0)} definerer vi x (u, v) = [ Re ζ(u + iv) + πu + π + π (ζ ( u + iv ) ( 4e e ζ u + iv i ) )], x (u, v) = [ Re iζ(u + iv) + πv + π iπ (ζ ( u + iv ) ( 4e e ζ u + iv i ) )], π x 3 (u, v) = 4 ln (u + iv) e (u + iv) + e. Da er x = (x, x, x 3 ) en parametrisering af Costas flade. Bevis: Vi begynder med x og tager udgangspunkt i den parametrisering, vi allerede har, og bruger, at vi nu har A = 8πe. Vi får da, at x (z) = Re z α 3 ϕ (η)dη = Re z α 3 (η) π e ( ( z = Re [ ζ(η) π e ( ζ ( η = Re { ζ(z) + πz + π e (ζ ( z = Re { + ζ ( +i ) ( + i)π ) ( ) ) z i e dη ) ( ) + ζ η i ) ] z e η α 3 ) ( ) ) ζ z i π ( ζ ( ( i e ) ζ ) )} ζ(z) + πu + π (ζ ( z ) ( ) ) e ζ z i + π 4e som ønsket. Her har vi til sidst anvendt ligningerne (3.8) og (3.9). Formlen for x fås på lignende vis. For x 3 har vi, idet (α 3 ) = 0, at Dette viser sætningen. Bemærkning 4.3: Ved at sætte z x 3 (z) = Re ϕ 3 (η)dη α 3 π z = 4 Re (η) (η) dη α 3 (η) e (η) + e π = 4 Re [log ( (η) e ) log ( (η) + e )] z α 3 ( π = 4 Re log (z) e ) iπ (z) + e π = 4 ln (z) e (z) + e. p(z) = πz + π (ζ ( z ) ( ) ) e ζ z og q(z) = ζ(z) π ( i) 4e }, 43

4. Costas minimalflade kan vi omskrive parametriseringen til x = ( ) π Re(p q), Im(p + q), ln e + e. Figur 4.: Costas flade. Med parametriseringen ovenfor kan vi tegne Costas flade i Maple R. Resultatet ses på figur 4.. 4. Symmetrier Vi vil vise, at Costa s flade har en lang række symmetrier, som stammer fra symmetrierne for (z). De symmetrier, vi er ude efter, er indeholdt i nedenstående lemma. Lemma 4.4: Lad α 3 = +i, og lad s(α 3 + z) = α 3 iz, r(α 3 + z) = α 3 + iz og b(α 3 + z) = α 3 + z. Da gælder, at (i) (s(α 3 + z)) = (α 3 + z). (ii) (r(α 3 + z)) = (α 3 + z). (iii) (b(α 3 + z)) = (α 3 + z). 44

4.. Symmetrier Bevis: Vi observerer først, at så α 3 α 3 iα 3 α 3 modulo Ω. α 3 = i iα 3 = i α 3 = i = α 3 i, = α 3, = α 3 i, Vi får nu ved at udnytte dette samt, at (z) er en lige funktion og regnereglerne fra lemma 3.9, at (s(α 3 + z)) = (α 3 iz) = (iα 3 + z) = (α 3 + z) = (α 3 + z) = (α 3 + z). Dette viser (i), og (ii) og (iii) følger på samme måde. Funktionerne s, r og b svarer til transformationer af enhedskvadratet. Transformationen s er spejling i diagonalen med negativ hældning, r er en rotation om α 3 gennem en vinkel på π, og b er en spejling i linjen α, α +. Det er velkendt, at symmetrigruppen for enhedskvadratet er frembragt af transformationerne s og b. Gruppen er kendt som den dihedrale gruppe med 8 elementer D 4. Vores mål er at vise, at D 4 også er en symmetrigruppe for Costas flade. Dette blev første gang vist i Hoffman og Meeks artikel. Vi bemærker, at matricerne 0 0 0 0 B = 0 0 og R = 0 0, 0 0 0 0 frembringer den samme gruppe. For at indse dette, kan man eventuelt betragte deres virkning på kvadratet med hjørner (,, 0), (,, 0), (,, 0) og (,, 0). Matricen B virker nemlig på R 3 ved en reflektion i (x, x 3 )-planen, og R virker tilsvarende ved en rotation med en vinkel på π omkring x 3-aksen efterfulgt af en spejling i (x, x )- planen. Sætning 4.5: Gruppen D 4 virkende på R 3 gennem multiplikation med B og R defineret ovenfor er en symmetrigruppe for Costas flade x: M R 3, idet B x(m) = x(m), og R x(m) = x(m). Mere nøjagtigt overføres symmetrierne i den forstand, at x b = B x, og x r = R x. Bevis: Da D 4 er en symmetrigruppe for enhedskvadratet, så er det også en symmetrigruppe for torussen ˆM. Da de punkter, som vi fjerner fra ˆM for at få M, svarer til 45

4. Costas minimalflade midtpunkterne af enhedskvadratets sider samt hjørnerne, ses det let, at disse punkter bliver sendt i sig selv af b og r. Det betyder, at D 4 også er en symmetrigruppe for M. Det er derfor nok at vise udsagnet om, at x b = B x, og x r = R x. Bemærk først, at vi af lemma 4.4(iii) har, at ( ) A ϕ (b(α 3 + z)) = (α 3 + z) 4( (α 3 + z) e = ϕ (α 3 + z), og ϕ (b(α 3 + z)) = i ( A ) (α 3 + z) + = ϕ 4( (α 3 + z) e (α 3 + z). Det betyder altså, at α3 +z x (b(α 3 + z)) = Re = Re = Re = Re α 3 z ϕ (η)dη α 3 ϕ (α 3 + η)dη z α 3 ϕ (α 3 + η)dη α3 +z α 3 = x (α 3 + z), ϕ (η)dη og på samme måde fås x (b(α 3 + z)) = x (α 3 + z). Desuden har vi, at x 3 (b(α 3 + z)) = π 4 ln (α 3 + z) e (α 3 + z) + e = π 4 ln (α 3 + z) e (α 3 + z) + e = x 3(α 3 + z). Dette viser altså, at x(b(α 3 + z)) = Bx(α 3 + z). Vi får nu på samme måde af lemma 4.4(ii), at ϕ (r(α 3 + z)) = ( A ) (α 3 + z) 4( (α 3 + z) e ) = iϕ (α 3 + z). (4.3) Vi har ydermere, at ϕ (α 3 z) = ϕ (α 3 + z), for (α 3 z) = (r (α 3 + z)) = (α 3 + z), så vi får af (4.3), at iϕ (r(α 3 + z)) = iϕ (α 3 + iz) = ϕ (r(α 3 + iz)) = ϕ (α 3 z), eller ϕ (r(α 3 + z)) = iϕ (α 3 + z). 46

4.. Symmetrier Vi får derfor α3 +iz x (r(α 3 + z)) = Re = Re = Re = Re = Re α 3 z ϕ (η)dη α 3 ϕ (α 3 + iω)idω z α 3 iϕ (α 3 + ω)idω z α 3 ϕ (α 3 + ω)dω α3 +z α 3 ϕ (eta)dη = x (α 3 + z), og på samme måde x (r(α 3 + z)) = x (α 3 + z). Til slut har vi desuden, at π x 3 (r(α 3 + z)) = 4 ln (α 3 + z) e π (α 3 + z) + e = 4 ln (α 3 + z) + e (α 3 + z) e = x 3(α 3 + z). Dette viser, at x(r(α 3 + z)) = Rx(α 3 + z), og det færdiggør beviset. Lemma 4.6: (i) Funktionen (z) restringeret til de horisontale linjer 0,, α, α + og i, + i og de vertikale linjer 0, i, α, α + og, + i har imaginærdel 0, og langs diagonalerne i, og 0, + i har (z) realdel 0. Ydermere er henholdsvis real- og imaginærdelen af (z) strengt voksende på linjestykkerne som angivet af pilene på figur 4. og 4.3. (ii) Realdelen af (z) er positiv på det åbne område O, som er afgrænset af linjerne 0,, 0, α 3 og α 3, samt på området b(o) og negativ på områderne s(o) og s(b(o)). Bevis: Af symmetrierne i lemma 4.4 har vi, at det er nok at se på trekanten A = {z C 0 Re z, 0 Im z Re z}. For at vise (i), skal vi først vise, at (z) er rent reel på linjestykkerne 0, α og α 3, α og voksende i retningen fra α mod 0 samt i retningen fra α 3 til α. Vi ved fra bemærkning 3.0, at (z) er reel på 0, α. Parametriser 0, α ved tα med t [0, ]. Vi får da af kædereglen, at d dt (tα ) = α (tα ) 47

4. Costas minimalflade for t (0, ). Vi ved, at (z) kun har nulpunkter i α, α og α 3, og det betyder, at (z) er monoton på 0, α. Vi har (α ) = e, og for t 0 har vi, at (tα ) går som (tα. ) Det betyder, at (tα ) går mod +, når t 0. Det følger heraf, at (z) er aftagende på 0, α i retning fra 0 mod α. På samme måde kan vi behandle linjestykket α 3, α. For at se, at (z) er reel her, bemærker vi, at transformationen s r sender dette linjestykke til sig selv. Vi får derfor af lemma 4.4, at for α 3 + z α 3, α gælder (α 3 + z) = (s(r(α 3 + z))) = (r(α 3 + z)) = (α 3 + z). Det betyder altså, at (z) er reel for z α 3, α. Vi kan parametrisere linjestykket α 3, α ved tα + ( t)α 3 for t [0, ]. På samme måde som ovenfor får vi, at d dt (tα + ( t)α 3 ) = (α α 3 ) (tα + ( t)α 3 ) for t (0, ). Da (α 3 ) = 0 og (α ) = e betyder det, at (z) er strengt voksende i retningen fra α 3 til α. Vi skal nu vise, at (z) er rent imaginær på linjestykket 0, α 3, og at imaginærdelen er strengt aftagende i retningen fra 0 til α 3. Dette går på samme måde som ovenfor. For at vise det første, ser vi, at 0, α 3 er fastholdt under transformationen r b. Vi får derfor med α 3 + z 0, α 3, at (α 3 + z) = (r(b(α 3 + z))) = (b(α 3 + z)) = (α 3 + z). Det betyder, at (z) er rent imaginær på linjestykket 0, α 3. Vi kan parametrisere 0, α 3 ved tα 3 med t [0, ], og vi får d dt (tα 3) = α 3 (tα 3 ) for t (0, ). Vi skal endnu en gang blot studere endepunkterne. Vi har (α 3 ) = 0, og for t 0 har vi Im (t + ti) = Im it = t, så Im (z) er strengt voksende på 0, α 3 i retning fra 0 til α 3. Dette viser (i). For at vise (ii) skal vi vise, at realdelen af (z) er positiv for z i det indre af A samt det indre af α 3, α. Det sidste har vi dog allerede fra (i). Sæt V ε = A {z C z = ε} for ε > 0. Vi får med z = a + bi, at Re z = Re (a + bi) = a b (a + b ) + 4a b. Så Re 0, når a b 0. Det vil sige, at Re z z tilstrækkeligt lille, så er Re (z) 0, når z V ε. 0 for z V ε. Det betyder, at for ε Lad nu U ε betegne området A \ {z C z < ε}. Det er et sammenhængende område, og randen udgøres af cirkelbuen V ε og linjestykkerne ε ( + i), α 3, α 3, α og ε, α. Det 48

4.3. Ingen løse ender følger af (i), at Re (z) er ikke-negativ på randen af U ε. Det følger nu af korollar A.6, at Re (z) > 0 for z U ε. Vi kan nu lade ε 0, og vi får, at Re (z) > 0 på det indre af A som ønsket. Figur 4.: (z) er rent reel langs linjerne, og Re vokser i pilens retning. Figur 4.3: (z) er rent reel langs linjerne, og Re vokser i pilens retning. Figur 4.4: Fortegnet på Re (z). 4.3 Ingen løse ender Lad x: M R 3 være Costas flade. Hvis D er en åben omegn i ˆM af 0, α eller α fraregnet punktet selv, vil vi betegne x D som en ende af Costas flade. Vi kan se, at når z 0, så har vi φ 3 (z) 0. Det betyder, at x 3 (z) 0, når z 0, så enden svarende til punktet 0 er altså asymptotisk til planen x 3 = 0. Dette stemmer da også godt overens med figur 4.. Det ses fra Grays parametrisering fra sætning 4., at x 3 (z) for z α, og x 3 for z α. Enderne, der svarer til α og α er altså de trompetformede ender, der vender i henholdvis negativ og positiv x 3 -retning. Ved hjælp af netop Grays parametrisering er det dog muligt at sige noget mere præcist om formen af de to ender. Proposition 4.7: Lad x: M R 3 være Costas flade. Enderne svarende til α og α er asymptotiske til katenoider. Bevis: Det følger af sætning 4.5, at vi kun behøver at regne på den ene af de to ender, og vi vil nøjes med α. Det følger af sætning 4., at for z = u + iv tæt på α har vi, at x (z) Re ( π + π + π + π ) ( ) ζ(z i 4e e ) ζ( ) = Re ( π 4e + π e = π 4e Re ζ(z ). ( ζ(z 49 )) ( + i)π )

4. Costas minimalflade På samme måde fås, at x (z) π 4e Im ζ(z ). Vi ved, at ζ(z) har en simpel pol i z = 0. Vi har derfor, at for z tæt på α, at x (z) + x (z) π 4e z (4.4). Vi ved, at funktionen (z) e har et dobbelt nulpunkt i z =. Ved l Hospitals regel får vi, at lim z (z) e (z) 6 (z) e (z = lim = lim ) z z = e. Vi har således tæt på α, at π x 3 (z) = 4 ln (z) e π (z) + e 4 ln e (z ) e = π 4 ln e (z ). Det betyder altså, at e x 3 (e z ) π 4. Vi får heraf, at z e e π x 3. Det følger dermed af (4.4), at hvor a = π og b = x + x π 4 e. Ved at sætte c = ( ) a ln ab π 4 e e ( π e = ln π x 3 = be ax 3, ) π = π ln ( ) e, π får vi, at x + x be ac e a(x 3 c) = a e a(x 3 c). Da vi har x 3, når z α, betyder det, at x + x a cosh (a(x 3 c)). Det betyder altså, at enden svarende til α er asymptotisk til en katenoide, der her er translateret i x 3 -retningen. Følgende proposition viser, at Costas flade kun indeholder to ortogonale linjer i planen x 3 = 0. 50

4.3. Ingen løse ender Figur 4.5: Her Costas flade (rød) indtegnet sammen med katenoiden (grøn) fra beviset for proposition 4.7. Proposition 4.8: Lad x: M R 3 betegne Costas flade. Da er og x 3 ({0}) = 0, + i i,, (4.5) x 3 ((0, )) = s(o) s(b(o)), (4.6) hvor O er som i lemma 4.6. Desuden afbilledes diagonalerne 0, + i og i, bijektivt på henholdsvis {x R 3 x x = 0, x 3 = 0} og {x R 3 x + x = 0, x 3 = 0}. Bevis: Af sætning 4. har vi, at x 3 (z) = π 4 ln (z) e (z) + e. Det betyder, at x 3 (z) > 0 netop når (z) er tættere på e end på e. Da e er reel og positiv, så er det netop, når Re (z) < 0. Samtidig har vi, at x 3 (z) = 0, hvis og kun hvis Re (z) = 0. Af lemma 4.6 følger nu (4.5) og (4.6). Den sidste påstand følger på denne måde: Lad linjestykket α 3, 0 være parametriseret ved η(t) = ( t)( + i) for 0 t. Vi har da af lemma 4.6(i), at (η(t)) = iλ(t), hvor λ: [0, ] R opfylder, at λ(0) = 0, λ(t) for t og λ (t) < 0 for t (0, ). 5

4. Costas minimalflade Figur 4.6: Linjerne fra proposition 4.8. Desuden følger det af (4.) og (4.), at t t x (η(t)) = Re ϕ (η(t))η (t)dt = Re 0 0 t t x (η(t)) = Re ϕ (η(t))η (t)dt = Re 0 Vi har imidlertid, at Re ϕ ( i) = så x (η(t)) = x (η(t)), og da ( λ(t) λ(t) 0 i ( A iλ(t) + 4(λ(t) + e ) ( i)dt, ( A ) iλ(t) 4(λ(t) + e ) ( i)dt. ) A ) 4(λ(t) + e ) = Re ϕ ( i), A 4(λ(t) + e ) < 0, så er x (η(t)) (og dermed x (η(t))) monotont aftagende med x (η(0)) = 0, og x (η(t)) for t. Det betyder, at α 3, 0 afbilledes bijektivt på linjen {x R 3 x x = 0, x 3 = 0, x, x 0}. Påstanden følger nu fra sætning 4.5 ved at rotere α 3, 0 med en vinkel på π om α 3. Da vi for Costas flade har g = A, og (z) er en elliptisk funktion af orden 3, så følger af beregningerne på side 9 samt korollar 3.5, at totalkrumningen af fladen er π. De eneste divergente kurver i M er dem, der konvergerer mod punkterne 0, eller i. I disse punkter har enten f = eller g = A side 9, at Costas flade er fuldstændig. dog en pol, så det følger af definitionen på For fuldstændige minimalflader i R 3 med endelig totalkrumning gælder følgende sætning, som skyldes Luquésio P. Jorge 5 og Meeks: 5 Luquésio P. Jorge, brasilliansk matematiker. 5

4.4. Indlejring af fladen Sætning 4.9: Lad x : M R 3 være en fuldstændig minimalflade med endelig totalkrumning 4πm og med k ender. Så er m k χ(m), hvor χ(m) er Euler-karakteristikken af M, og der gælder lighed, hvis og kun hvis enderne er indlejrede. Denne sætning vil vi ikke vise her, men blot henvise til [9]. Da M i tilfældet med Costas flade er en torus med tre punkter fjernet, så er χ(m) = 3. Da Costas flade som nævnt har tre ender, så kan vi slutte af ovenstående sætning, at disse ender er indlejrede. Det følger af diskussionen i begyndelsen af dette afsnit, at enderne desuden er indbyrdes disjunkte, hvilket betyder, at der findes en kompakt mængde K M, så x er injektiv på M \ K. 4.4 Indlejring af fladen Vores sidste mål er nu at vise, at Costas flade er indlejret. Dette resultat skyldes som nævnt Hoffman og Meeks, og vi skal følge deres strategi fra [8]. Hoffman og Meeks arbejdede sammen med programmøren James T. Hoffman på at udvikle software, der kunne tegne billeder af Costas flade. Det var disse billeder, der motiverede Hoffman og Meeks til det meget geometriske bevis, der i høj grad gør brug af sætning 4.5. Billederne kan ses i [8]. Kvadratet M består af otte trekanter, som hver især flyttes til at dække hinanden ved at bruge transformationerne b og r. Sætning 4.5 fortæller, at billederne af disse trekanter som netop udgør Costas flade er kongruente i den forstand, at hver af dem kan flyttes over i ethvert andet ved hjælp af transformationere B og R. Vi vil forkusere på trekanten T givet ved T = {z C Re z, Im z Re z} \ {α 3 +, + i}. (4.7) Vi vil opfatte T som en delmængde af M med rand bestående af linjerne L = α 3, α 3 +, L = α, i og L 3 = α 3, + i. Vi vil lade x: M R 3 betegne Costas flade i resten af afsnittet. Ideen er at vise, at x er injektiv på T, og at x(t ) ligger i den positive oktant {(x, x, x 3 ) R 3 x, x, x 3 0} med x( T ) på randen af oktanten. Vi viser således først en række tekniske lemmaer, der har til formål at etablere det resultat. Lemma 4.0: Der findes δ > 0, så x er injektiv på {z M x 3 (z) < δ}. Bevis: Vi har allerede argumenteret for, at der findes en kompakt mængde K M, så x K er injektiv, og K og x(m \K), som er enderne, er disjunkte mængder. Fra proposition 4.8 ved vi, at x er injektiv på x 3 ({0}) = 0, + i i,. Vi vil nu vise, at der findes en omegn N K af x 3 ({0}) K, så x er injektiv på N. 53

4. Costas minimalflade Figur 4.7: Trekanten T. Sæt nemlig N n = {z K d(x 3 ({0}) K, z) < n } for n N. Antag, at der for alle n N findes x n, y n N n, så x(x n ) = x(y n ) men x n y n. Da K er kompakt, findes delfølger {x k } og {y k } af {x n } og {y n }, så både {x k } og {y k } er konvergente. Lad x = lim k x k og y = lim k y k. Da x 3 ({0}) K er lukket, så er x, y x 3 ({0}) K. Af kontinuiteten følger, at x = y. Hvis x y så har vi en modstrid, da x er injektiv på x 3 ({0}) K. Vi har da x = y, men da x og y er grænsepunkterne for følgerne {x k } og {y k }, så betyder det jo, at der i enhver åben omegn af x findes to elementer x m y m, hvorfor x(x m ) = x(y m ). Dette giver dog igen en modstrid, da x er en immersion og derfor lokalt injektiv. Vi kan altså finde en sådan omegn N. Der findes da δ > 0, så {z K x 3 (z) < δ} N. Da x er injektiv på M \K, og x(m \K) og x(n) x(k) er disjunkte, så er x injektiv på {z M x 3 (z) < δ}, og dette viser lemmaet. Lemma 4.: Linjestykket L = α 3, α 3 + bliver afbilledet bijektivt på en kurve i den ikke-negative kvadrant i (x, x 3 )-planen, og kurven rammer kun en akse ved x 3 (α 3 ) = 0. Bevis: Fra sætning 4.5 følger, at en spejling i L svarer til en spejling af fladen i (x, x 3 )- planen, hvorfor x(l ) ligger i (x, x 3 )-planen. Vi kan parametrisere L ved γ(t) = α 3 + t, hvor 0 t. Vi har af lemma 4.6(i), at (γ(t)) = λ(t), hvor λ er en reel funktion med λ(0) = 0, λ( ) = e og λ (t) < 0 for t (0, ). Vi får nu, at x (γ(t)) = [ t 0 λ(s) A ] 4(λ(s) e ) ds = t λ(s)(λ(s) e ) A 4 0 λ(s) e ds, (4.8) 54

4.4. Indlejring af fladen og x 3 (γ(t)) = A 8e ln ( e λ(t) λ(t) + e ). Vi får således, at d dt x 3(γ(t)) = A λ(t) + e λ (t)(λ(t) + e ) λ (t)(e λ(t)) 8e e λ(t) (λ(t) + e ) > 0 for t (0, ), og x 3(γ(t)) er således strengt vokende, og x 3 (γ(t)) 0 med lighed, hvis og kun hvis t = 0. Det betyder også, at x γ er injektiv. Vi mangler nu at vise, at x (γ(t)) 0, og x (γ(t)) = 0 netop når t = 0. Af (4.8) fremgår, at det er nok at vise, at λ(t)(λ(t) e ) A 4 λ(t) e > 0 for t (0, ). Lad derfor t være sådan, og sæt y(λ) = λ(λ e ). Så har vi, at λ(t)(λ(t) e ) A 4 λ(t) e = λ(t)y(λ(t)) A 4 y(λ(t)). Vi skal således blot vise, at y(λ) < A 4 for λ ( e, 0). Vi har y(0) = 0 = y( e ) og y(λ) > 0 for λ ( e, 0). Desuden har vi, at d dλ y(λ) = 3λ e, så d dλ y(λ) = 0 med λ ( e, 0), hvis og kun hvis λ = e 3. Det betyder, at for λ ( e, 0) har vi, at ( 0 y(λ) y e ) = e3 3 3 3 < πe = A 4, idet det følger fra (3.7), at e < 6,9, så e 3 3 lemmaet. <,4 < π. Dette afslutter beviset for I samme stil har vi følgende lemma: Lemma 4.: Linjestykket L = α, i bliver afbilledet bijektivt på en kurve i øvre halvplan af (x, x 3 )-planen. Det er en graf over x 3 -aksen, og x, når man nærmer sig α eller i. Bevis: Vi har, at L = r (b(l )), så x(l ) = R Bx(L ). Det betyder, at x(l ) ligger i (x, x 3 )-planen. Vi kan parametrisere L ved γ(t) = it, hvor t. Vi får da af lemma 4.6(i), at (γ(t)) = λ(t), hvor λ er en reel funktion med λ( ) = e, λ(t) for t og 55

4. Costas minimalflade λ (t) < 0 for t (, ). Vi får da for t (, ), at x (γ(t)) = [ t Re A ] λ(s) + 4(λ(s) e ) = 3 4 [ = x ( 3 4 i ) A λ(s) + 4(λ(s) e ) [ t λ(s) + ] ds ds A ] 4(λ(s) e ) [ t ds, λ(s) + A ] 4(λ(s) e ) ds og det betyder, at d dt x (γ(t)) = ( A ) λ(t) + 4(λ(t) e ) for t, og på samme måde ser vi, at lim t d dt x (γ(t)) =. Vi har, at x 3 (γ(t)) = A ln λ(t) e 8e λ(t) + e = A ( ) λ(t) e ln > 0, 8e λ(t) + e og d dt x 3(γ(t)) = A λ(t) + e λ (t)e 8e λ(t) e (λ(t) + e ) < 0. Desuden ser vi, at lim t x 3 (γ(t)) = og lim t x 3 (γ(t)) = 0. Dette betyder, at x 3 γ er injektiv. Vi kan nu reparametrisere x(l ) ved Γ(s) = x(x 3 (s)) = (0, x (x 3 (s)), s), hvor s = x 3 (γ(t)) (0, ). For s 0 ligger kurven i enden svarende til z = 0, og for s ligger kurven i enden svarende til z = i. Det betyder, at lim s 0 Γ (s) = lim s Γ (s) =. Hvis vi nu sammenholder dette med observationerne om lim s 0 Γ (s) = lim s Γ (s) =. Dette afslutter beviset. d dt x (γ(t)), så får vi, at Lemma 4.3: Lad R betegne trekanten R = {z M 0 Re z, Im z Re z} {z M Re z, Im z Re z}. Da er x(int(r)) E = {(x, x, x 3 ) R 3 x, x 3 > 0}. 56

4.4. Indlejring af fladen Figur 4.8: Kurverne x(l ), x(l ) samt x(l 3 ) er plottet med henholdsvis blå, rød og grøn. Bevis: Sæt S ε,n = {z M ε < x 3 (z) < N} for N > ε > 0. Ifølge lemma 4.0 og diskussionen af enderne kan ε og N vælges, så x er injektiv på {z M x 3 (z) > 0} \ S ε,n. Specielt er x da injektiv på niveaukurverne C ε = x 3 ({ε}) og C N = x 3 ({N}). Disse kurver er således simple, og af lemma 4.4, får vi, at (b(z)) e (b(z)) + e = (z) e (z) + e, så C ε og C N er symmetriske ved refleksion om linjen α, α +, og på samme måde ser vi, at det også gør sig gældende med linjen α, α + i. Da C ε og C N begge er simple, x 3 (α 3 ) = 0 og x 3 (z) for z α, så følger det, at C ε og C N rammer α, α + netop to gange hver, og vi vil kalde disse punkter henholdsvis p ε, p ε, p N og p N. Figur 4.9: M med niveaukurverne C ε og C N og området R ε,n. Det følger af sætning 4.5 samt injektiviteten af x på C N, at α, α + deler C N op i to halvdele, der afbilledes til halvrummene henholdvis {x > 0} og {x < 0}. Lad C N + være den øverste af disse halvdele. Det følger af lemma 4., at C N + må være den af 57

4. Costas minimalflade halvdelene, der afbilledes til det øvre halvrum, idet vi kan vælge N stor nok til, at billedet af skæringspunktet mellem C N + og α, i har positiv andenkoordinat. Med samme argument ser vi, at den øvre halvdel C ε + af C ε afbilledes ind i halvrummet {x > 0}. Vi har desuden af lemma 4. samt beviset herfor, at p ε, p N og p ε, p N begge afbilledes ind i {(x, x, x 3 ) R 3 x = 0, ε x 3 N}. Sæt R ε,n = S ε,n R. Så har vi nu, at x( R ε,n ) = x(c + ε C + N p ε, p N p ε, p N) {(x, x, x 3 ) R 3 x 0, ε x 3 N}. Da R ε,n er enkeltsammenhængende, og da det følger af lemma.6, at x og x 3 er harmoniske funktioner, så har vi af korollar A.5 og A.6, at x(int(r ε,n )) E. Beviset afsluttes nu ved at lade ε 0 og N. Lemma 4.4: Lad T være trekanten defineret i (4.7), og lad Q = {(x, x, x 3 ) R 3 x, x, x 3 0}. Da har vi, at x(t ) Q, x(int(t )) int(q) og x( T ) Q. Bevis: Vi ser, at T = L L α 3, + i. Af lemma 4. har vi, at L afbilledes til en kurve i den ikke-negative kvadrant i (x, x 3 )-planen. Af lemmaerne 4. og 4.3 følger, at L afbilledes til en kurve i den ikke-negative kvadrant i (x, x 3 )-planen. Slutteligt har vi af beviset for proposition 4.8, at α 3, + i afbilledes til en linje i den ikke-negative kvadrant af (x, x )-planen. Lad N > ε > 0 være givet. Af samme argument som i beviset for lemma 4.3 ovenfor følger, at C + N T samt C+ ε T bliver afbilledet til Q. Ved at gentage afslutningen af beviset for lemma 4.3 får vi således, at det indre af T ε,n = R ε,n T afbilledes til det indre Q, og vi får således x(int(t )) int(q). Dette viser lemmaet. Lemma 4.5: Lad T være trekanten defineret i (4.7). Da er x injektiv på T. Ydermere er x(t ) en graf over planen H = u, hvor u = (,, 0). Bevis: Lad P : R 3 H betegne ortogonal projektion. Vi skal vise, at P x T er injektiv. Lad N > ε > 0, og lad T ε,n være defineret som ovenfor. Vi vil først vise, at P x er injektiv på T ε,n. Lad π : S C { } betegne stereografisk projektion. Fra kapitel har vi, at Gaussafbildningen N for Costas flade er givet ved N = π g, hvor g = A. Lad α 3, + i være parametriseret ved ω(t) = ( + i)t + α 3 ( t) for t [0, ]. Så følger af lemma 4.6, at (ω(t)) = iλ(t), hvor λ(t) er reel, og λ (t) < 0 for t (0, ). Vi får således, at (ω(t)) = iλ (t) ω (t), 58

4.4. Indlejring af fladen så A (ω(t)) = Aω (t) iλ (t) = Aα 3 A( i) iλ = (t) 4λ {t( i) t 0}. (t) På samme måde kan man vise, at g(z) {t t 0} for z L og g(z) {it t 0} for z L. Vi har, da har en simpel pol i z = α 3, at ( ) Res, 0 z α 3 = lim z α 3 (z) = lim z α 3 6 (z) e = e. Lad z T, og skriv z = α 3 + u, hvor arg(u) (0, π 4 ). For u 0 har vi, at ( ) arg arg (z) ( ) e u ( = arg ) e arg(u) = π arg(u) ( 3π 4, π ). Det betyder, at vi kan finde δ > 0, så arg(g(z)) ( 3π 4, π ) for z T {z C z α 3 δ}. På samme måde kan man vise, at vi kan finde δ > 0, så arg(g(z)) ( π, π ) for z T {z C z (α 3 + ) δ}, og slutteligt, at der findes δ > 0, så arg(g(z)) ( 3π 4, 3π ), når z T {z C z ( + i) δ}. Lad T betegne T med disse cirkelstykker fraregnet. Da har vi altså, at arg(g(z)) [ 3π 4, 3π ] for z på randen af T. Da T er enkeltsammenhængende, og arg g er en harmonisk funktion, så følger af korollar A.5 og A.6, at arg(g(z)) [ 3π 4, 3π ] for z T. Sammenlign eventuelt med beviset for lemma 4.6. Det følger nu, at g(t ) er det mindste af de stykker, der afgrænses af linjerne {it t 0} og {t( i) t 0}. Vi ser desuden, at de punkter der sendes til { } er α 3 og α 3 +, og at det eneste punkt, der sendes til 0, er + i. Ingen af disse punkter er i T ε,n, så vi kan nu slutte, at T ε,n afbilledes af N på en kompakt mængde i den åbne halvkugle {y S y, u < 0}. Normalvektoren ligger altså på intet tidspunkt i H, og det betyder, at projektionen fra tangentplanen til H er surjektiv overalt på T ε,n. Altså er P x en submersion. Det er en afbildning mellem to -dimensionale underrum, og den inverse funktionssætning medfører derfor, at P x er lokalt injektiv. Figur 4.0: Funktionen v er ikke injektiv i noget interval omkring t 0. 59