Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket under dannelse af sum og multiplikation med skalarer. Det kan formuleres på den måde at der for vilkårlige skalarer a 1, a 2 R og vektorer u 1, u 2 U gælder at linearkombinationen a 1 u 1 + a 2 u 2 U. Ved gentagen brug af denne egenskab kan man så vise at vilkårlige linearkombinationer a 1 u 1 + a 2 u 2 + + a k u k U når alle vektorerne u i U. Opfattet geometrisk er underrummene linier, planer og generaliseringer heraf i højere dimensioner. Det er dog ikke alle linier, planer osv. der er underrum. Underrum går alle gennem 0. Hvis vi fjerner dette krav får vi en klasse af objekter der bedre svarer til dem man beskæftiger sig med i geometrien. Det gør vi med følgende definition. Definition. Et affint underrum A R n er en delmængde der er lukket under dannelse af linearkombinationer af formen a 1 u 1 + a 2 u 2 hvor u 1, u 2 A og a 1 + a 2 = 1. Hvis vi sætter a 2 = t, er a 1 = 1 t. Da er a 1 u 1 + a 2 u 2 = (1 t)u 1 + tu 2. Når t gennemløber R, gennemløber linearkombinationen den rette linie der indeholder u 1 og u 2. Den antager værdierne u 1 og u 2 for t = 0 og t = 1. Geometrisk kan vi derfor forstå et affint rum som en mængde der for hvert par af punkter indeholder hele den rette linie gennem punkterne. Det er mere naturligt at tænke på elementerne i et affint rum som punkter end som vektorer selv om begge muligheder er til stede da vi begrænser os til at betragte affine rum indeholdt i R n. Lad u 1, u 2,, u k A. En linearkombination a 1 u 1 + a 2 u 2 + + a k u k hvor a 1 + a 2 + + a k = 1 kaldes en affin kombination. Ligesom for underrum kan vi bevise at Et affint rum A indeholder alle affine kombinationer af punkter i A. Vi vil bevise påstanden ved induktion efter k. For k = 1 er påstanden triviel. For k = 2 er påstanden identisk med definitionen. For k = 3 kan vi, hvis a 1 1, foretage omskrivningen a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3 u 3 ) 1 a 1 1 a 1 Da a 2 + a 3 = a 2+a 3 = 1, er parentesen i A, og dermed er den affine kombination omskrevet som en affin kombination af to led hvoraf den ene vektor selv er en affin kombination af to led. Dermed er det vist at kombinationen er i A. 1 a 2
Hvis a 1 = 1, er en af de andre koefficienter 1. Vi kan da lave en tilsvarende omskrivning. Vi betragter nu det generelle induktionstrin. Vi antager at affine kombinationer med højst k 1 led er i A. Hvis a 1 1 omskriver vi hvor a 1 u 1 + a 2 u 2 + + a k u k = a 1 u 1 + (1 a 1 )w w = a 2 1 a 1 u 2 + + a k 1 a k u k Da a 2 + + a k 1 a k = a 2+ +a k = 1, er w A i henhold til induktionsantagelsen. Derfor er a 1 u 1 + (1 a 1 )w A i henhold til definitionen af A. Hvis a 1 = 1 laver vi omskrivningen med udgangspunkt i et af de andre led. Det er muligt idet ikke alle a i kan være 1. Hermed er påstanden bevist for alle værdier af k. Affine rum findes i naturen Affine rum er som oftest bedre egnede end underrum til beskrivelse af forhold i naturen. Det gælder f.eks. det fysiske rum som det beskrives i Newtons fysik. Der er punkter, afstande og vinkler, men man kan ikke på nogen naturlig måde addere to punkter, men man kan godt lave affine kombinationer. Hvis man har to punkter, kan man konstruere den rette linie gennem dem. Hvis man har tre punkter der ikke ligger på en linie, kan man konstruere planen gennem dem. Den består af de affine kombinationer af de tre punkter. Lad P 1, P 2, P 3 være tre punkter. Lad a 1 P 1 +a 2 P 2 +a 3 P 3 være en affin kombination. Hvis 0 a 1, a 2, a 3 1 er punktet i trekanten med hjørnerne P 1, P 2, P 3. For punkter udenfor trekanten er der en af ulighederne som ikke er opfyldt. og i skolen En karakterskala er også et eksempel på et affint rum. Karaktererne er talværdier. De eneste meningsfulde operationer man kan lave på et antal karakterer er forskellige former for gennemsnit. For karakterer K 1, K 2,, K n dannes det sædvanlige gennemsnit som 1 n (K 1 + K 2 + + K n ) = 1 n K 1 + + 1 n K n Det er en affin kombination. Nogle gange benyttes vægtede gennemsnit hvorved nogle karakterer vægtes mere end andre. Gennemsnittet er da et udtryk af formen w 1 K 1 + + w n K n hvor w 1 + + w n = 1. Man vil normalt kun benytte positive vægte. Når alle koefficienterne i en affin kombination er 0 kalder vi det en konveks kombination. Studiet af rum med konvekse kombinationer leder til en anden gren af geometrien med bl.a. anvendelser i økonomi. 2
Sammenhæng mellen affine rum og underrum Lad U R n være et underrum, og lad d være en vektor som ikke behøver at ligge i U. Mængden A = d + U består af alle vektorer der kan skrives som d + u hvor u U. Da er A et affint rum. Det kan vi kontrollere ved at betragte en affin kombination a(d + u) + b(d + v) hvor a + b = 1 og u, v U. Den omskrives til a(d + u) + b(d + v) = (a + b)d + (u + v) = d + (u + v) som ses også at ligge i A. Det viser at A er et affint rum. Geometrisk kan vi tænke på d + U som det affine rum der fremkommer af U ved parallelforskydning med vektoren d. Hvis omvendt A er et affint underrum i R n vil vi finde et underrum U og en vektor d så A = d + U. Vektoren d kan vi vælge som en vilkårlig vektor i A. Når d er valgt, definerer vi U = A d, dvs. som mængden af vektorer af formen u d hvor u A. U er et underrum. Det viser vi ved at betragte en linearkombination a(u d) + b(v d) hvor u, v A. Vi foretager omskrivningen a(u d) + b(v d) = [au + bv + (1 a b)d] d Udtrykket i [] er en affin kombination af vektorerne u, v, d A og er derfor i A. Det følger nu at linearkombinationen er i U. Vi har dermed vist at U er et underrum. Da U = A d er det klart at A = d + U. Ethvert affint underrum fremkommer derfor ved parallelforskydning af et underrum. Underrummet hørende til et affint underrum er entydigt Underrummet U = A d afhænger ikke af valget af vektoren d. Med et andet valg af en vektor d A får vi underrummet U = A d. Det er det samme som U. Lad nemlig u U. Da kan u skrives på formen u = w d hvor w A. Vi kan foretage omskrivningen u = w d = (w d + d) d. Da parentesen er en affin kombination af vektorer i A er den i A. Det viser at u U. Alle vektorer i U er med i U, dvs. U U. På tilsvarende måde vises det at U U. Der må da gælde at U = U. Det følger også at underrummet kan defineres som U = {u v u, v A}. Dimensionen af et affint underrum Da der er et entydigt bestemt underrum U knyttet til et affint underrum A kan vi definere dimensionen af A ved dim(a) = dim(u). Affint rum udspændt af et system af vektorer Sætning: Lad u 1, u 2,, u k R n. Vi antager at underrummet W = sp(u 2 u 1, u 3 u 1,, u k u k 1 ) har dimension r. Der findes da netop ét affint underrum af dimension r som indeholder u 1, u 2,, u k, nemlig W + u 1. 3
Bemærkning: Vektoren u 1 optræder her på en anden måde end de øvrige vektorer. Det er uden betydning. Man kunne have valgt en af de andre i stedet. Bevis. Vi noterer først at alle vektorerne u i W + u 1. For i > 1 kan vi skrive u i = (u i u 1 ) + u 1. Det viser at u i W + u 1. For i = 0 skriver vi u 1 = 0 + u 1. Derfor er også u 1 W + u 1. Vi har hermed set at W + u 1 er et affint underrum af dimension r som indeholder alle vektorerne u i. For at vise at der ikke er andre, betragter vi et vilkårligt affint rum af dimension r der indeholder alle vektorerne u i. Det kan skrives på formen X + u 1 hvor X er et underrum af dimension r. Da u i X+u 1 for i > 1, er u i u 1 X. Det medfører at W = sp(u 2 u 1, u 3 u 1,, u k u 1 ) X. Da dim(w) = dim(x) = r, er X = W. Hermed er entydigheden bevist. Den fuldstændige løsning til et lineært ligningssystem Betragt et lineært ligningssystem Ax = b skrevet på matrixform. Lad x 0 være en partikulær løsning til ligningssystemet, og lad N være nulrummet for matricen A. Da er den fuldstændige løsning til ligningssystemet det affine rum x 0 + N. Der gælder et omvendt resultat. Vi skal vise følgende. Sætning: Ethvert affint underrum af dimension k i R n er den fuldstændige løsning til et lineært ligningssystem med n k ligninger og n ubekendte. Hvis det affine underrum skrives på formen W + b 1 hvor W er et underrum og b 1 / W, findes der en (n k) n matrix A, så W = {x R n Ax = 0} og W + b 1 = {x R n Ax = e 1 }. Bevis. Vi vælger en basis w 1, w 2,, w k i W. Da det er forudsat at b 1 / W, er vektorerne w 1, w 2,, w k, b 1 lineært uafhængige. Vi kan derfor udvide til en basis w 1, w 2,, w k, b 1, b 2,, b n k i R n. Vi definerer nu en lineær afbildning T : R n R n k ved at sætte T(w i ) = 0 for i = 1,, k og T(b j ) = e j for j = 1,, n k. Der er jo netop én lineær afbildning med givne værdier på vektorerne i en basis. Billedrummet for T er hele R n k. Rangen af T er derfor n k. Kernen kar derfor dimension n (n k) = k. T er konstrueret så W er indeholdt i kernen. Da kernen og W begge har dimension k er W netop kernen for T. Lad nu A være matricen svarende til T. Da er nulrummet for A netop kernen for T, dvs. W. Hermed er det bevist at W = {x R n Ax = 0}. Da Ab 1 = e 1 er b 1 en partikulær løsning til ligningssystemet Ax = e 1. Den fuldstændige løsning er derfor W + b 1, det givne affine underrum. Hermed er sætningen bevist. 4
Abstrakte affine rum Dette afsnit forudsætter kendskab til abstrakte vektorrum. Behandlingen er kun en skitse. Vi betragter et affint rum A, der ikke som ovenfor er født som et affint underrum af R n. F.eks. det fysiske rum i Newtons fysik. Vi kan da lave affine kombinationer, men der er ikke noget 0-punkt hvortil det affine rum kan translateres for at få et underrum. Vi kan konstruere et vektorrum ud fra A på følgende måde. Vi betragter mængden V bestående af alle par (P 0, P 1 ) af punkter i A. Vi skal tænke på (P 0, P 1 ) som en vektor fra P 0 til P 1. Vi skal altså forestille os vektorer strittende ud fra alle punkter i A. V er ikke et vektorrum, men vi vil konstruere et vektorrum U. En vektor u U skal være en delmængde af V. To par (P 0, P 1 ) og (Q 0, Q 1 ) er i samme u hvis (og kun hvis) Q 1 = P 1 P 0 + Q 0. Ligningen giver mening da højresiden er en affin kombination. Vi skal tænke på u som vektoren P 1 P 0 = Q 1 Q 0. Det kan vi dog ikke skrive formelt da P 1 P 0 ikke er en affin kombination. u kan altså opfattes som samlingen af vektorer startende alle mulige steder, men med samme størrelse og retning. Vi vil sige at (P 0, P 1 ) er en repræsentant for vektoren u når (P 0, P 1 ) u. Vi definerer addition af to vektorer u og v ved at vælge repræsentanter (P 0, P 1 ) og (Q 0, Q 1 ) for u og v. Vi lader da være u + v være den vektor der har repræsentanten (P 0, P 1 + Q 1 Q 0 ). 2. koordinaten giver mening da det er en affin kombination. Vi kan endvidere definere produktet ru med en skalar som vektoren med en repræsentanten (P 0, (1 r)p 0 + rp 1 ). Disse definitioner giver anledning til en række spørgsmål fordi der er mange forskellige repræsentanter for den samme vektor. Derfor kræver det en række små beviser at sikre at definitionerne er meningsfulde, og at U herved bliver et vektorrum. Det springer vi over her. Når underrummet U er konstrueret, defineres en addition af en vektor u U med et punkt i P A. Tænk på at vi forskyder P med vektoren u. Hvis (Q 0, Q 1 ) repræsenterer u defineres u + P = P + Q 1 Q 0. (Bemærk at højresiden er en affin kombination). Er repræsentanten specielt valgt så Q 0 = P er u + P = Q 1. Efter disse konstruktioner og definitioner kan vi skrive A = P + U hvor P er et vilkårligt valgt punkt i A. 5