Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12
Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem er et system af ligninger på formen a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = d 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = d 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = d m a ij og d i er reelle tal for alle i = 1 m, j = 1 n x erne skal indgå uden funktions udtryk, dvs der må ikke stå x 2 eller x 2 9 2/12
Matrixligning Et lineært ligningssystem kan omskrives til matrixligningen Ax = d, a 11 a 1n A = x = a m1 a mn x 1 x n d = d 1 d m A, x og d kaldes matricer En matrix skrives også som A = [a ij ] En matrices størrelse kaldes også dens dimension og benævnes m n, dvs antal rækker gang antal søjler I specialtilfældende hvor der kun er en søjle eller en række kaldes matricen for hhv en søjle- eller rækkevektor Hvis x er en søjlevektor benævnes den tilsvarende rækkevektor x 3/12
Matrixmultiplikation Givet to matricer A og B, så er deres produkt AB defineret hvis og kun hvis antallet af søjler i A er lig antallet af rækker i B, dvs hvis A er m n så skal B være n p Der gælder så også at produktet af de to matricer bliver af dimension m p Hvis ovenstående er opfyldt så defineres produktet som AB = C = [c ij ], hvor Ex: A = [ ] 2 4 5 6 c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj [ ] 1 3 B = AB = C = 5 7 [ 12 ] 34 35 57 c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 = 2 1 + 4 5 = 12 c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 = 2 3 + 4 7 = 34 c 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 = 5 1 + 6 5 = 35 c 22 = a 21 b 12 + a 22 b 22 = 5 3 + 6 7 = 57 4/12
Matrixligningen fortsat Matrixligningen fra tidligere giver nu a 11 a 1n x 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n Ax = = a m1 a mn x n a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = Dette stemmer overens, med det oprindelige lineære ligningssystem d 1 d m 5/12
Addition og skalarmultiplikation For to matricer af samme dimension, A = [a ij ] og B = [B ij ] defineres summen som A + B = [a ij + b ij ] Ex: [ ] 1 2 + 3 4 [ ] 5 6 = 7 8 [ ] 1 + 5 2 + 6 = 3 + 7 4 + 8 [ 6 ] 8 10 12 for en matrix A = [a ij ] og et reelt tal k defineres multiplikation af en matrix med en skalar ved ka = [k a ij ] Ex: 5 [ ] 1 2 5 = 3 6 7 [ ] [5 1 5 2 5 5 = 5 3 5 6 5 7 [ 5 10 ] 25 15 30 35 6/12
Regneregler for matricer For matricer A,B og C af passende dimensioner gælder der følgende Kommutativ lov for addition A + B = B + A Associativ lov for addition A + (B + C) = (A + B) + C Associativ lov for multiplikation A(BC) = (AB)C Højre distributive lov A(B + C) = AB + AC Venstre distributive lov (B + C)A = BA + BC Den kommutative lov for multiplikation gælder derimod ikke generelt og vi har derfor at AB BA Pga definitionen af matrixproduktet, er det ikke sikkert at begge produkter er mulige Der er dog heller ikke en generel lov selvom begge matricer er kvadratiske og produktet får samme dimension uanset hvilken rækkefølge vi ganger sammen i 7/12
Specielle matricer [ ] 1 0 0 1 0 Enhedsmatricen I 2 = I 0 1 3 = 0 1 0 Generelt en n n 0 0 1 matrix med et-taller på diagonalen Opfylder at AI = IA = A, og svarer dermed til et et-tal [ ] 0 0 0 Nulmatricen feks 0 2 3 = generelt en m n matrix 0 0 0 bestående af nuller, som hvis dimensionerne passer opfylder at A0 = 0A = 0 og A + 0 = 0 + A = A og svarer altså til et nul 8/12
Transponerede Matricer For en generel matrix A defineres den transponerede matrix A = A T, som den matrix hvor vi har byttet rundet på rækker og søjler Dvs Ex: A = a 11 a 1n a m1 a mn A = [ 2 3 ] 4 5 6 7 A = For transponerede matricer gælder der (A ) = A a 11 a m1 a 1n a mn A = 2 5 3 6 4 7 (A + B) = A + B (AB) = B A 9/12
Inverse Matricer For kvadratiske (n n) matricer findes der i nogle tilfælde en invers matrix A 1, som opfylder at AA 1 = A 1 A = I En matrix som har en invers, kaldes en nonsingulær matrix Den inverse matrix er entydig og også kvadratisk For den inverse gælder ydermere (A 1 ) 1 = A (AB) 1 = B 1 A 1 (A ) 1 = (A 1 ) 10/12
Løsning af lineære ligninger med inverse matricer Hvis koefficientmatricen A i matrixligningen Ax = d har en invers findes der en løsning x ved ex: Løs ligningen x = A 1 d 2x 1 + 4x 2 = 9 5x 1 + 6x 2 = 7 Vi får at vide at koefficient matricen A har en invers og at denne er givet ved A 1 = 1 [ ] 6 4 8 5 2 Dvs at løsningen til ligningen er givet ved x = 1 [ ] [ [ ] 6 4 9 26/8 = 8 5 2 7] 31/8 11/12
Lineær uafhængighed For en mængde af vektorer x 1,, x n og tilhørende skalarer k 1,, k n kaldes nedenstående udtryk for en linearkombination n k i x i = k 1 v 1 + k 2 v 2 + + k n v n i=1 En mængde af vektorer siges at være lineært uafhængig hvis ligningen n k i v i = 0 i=1 kun kan løses for alle k i = 0 Hvis der findes en løsning hvor et eller flere k i 0 siges mængden at være lineært afhængig Man kan maksimalt have n lineært uafhængige n-dimensionelle vektorer 12/12