χ -fordelte varable Defnton af χ -fordelngen Kvadratsummen V n af n uafhængge standardserede normalfordelte stokastske varable sges at være χ -fordelt med n frhedsgrader. V n fremkommer altså som V n = X + X + + X n, hvor X N(, ), =,..., n, X erne uafhængge. V skrver kort V n χ (n). Bestemmelse af V = X χ () Tæthedsfunktonen for X, hvor X N(, ), blver f X (x) = π e ( Bemærk, at f X (x) kan skrves x) = e x, < x <. x πx f X (x) = ( ) Γ ( )x e x, < x <, og skalapa- som er tæthedsfunkton for en gammafordelt varabel med formparameter rameter, dvs. χ () = Γ (, ). Øvelse. Bestem først fordelngsfunktonen for X (fact: Φ( x) ), og dernæst tæthedsfunktonen for X ved dfferentaton. Gammafordelngens foldnngsegenskab Inspreret af ovenstående resultat vl v se på foldnngen af to gammafordelte varable med ens ntenstet λ (ækvvalent med ens skalaparameter λ ). Lad X Γ(α, λ) og Y Γ(β, λ), X og Y uafhængge. Tæthedsfunktonerne er f X (x) = f Y (y) = λα Γ(α) xα e λx, < x <, λβ Γ(β) xβ e λx, < y <,
og dermed f X+Y (z) = f X f Y (z) = z λ α λ β Γ(α) (z u)α e λ(z u) Γ(β) uβ e λu du Γ(α)Γ(β) e λz Γ(α)Γ(β) e λz z Γ(α)Γ(β) zα+β e λz (z u) α u β du, z α+β ( w) α w β zdw Γ(α)Γ(β) zα+β e λz B(α, β), ( w) α w β dw u = zw du = zdw jf. baggrundsnote tl sandsynlghedsregnng sde 7 lne 3 fra neden. Idet der gælder, at B(α, β) = Γ(α)Γ(β) ), får v Γ(α + β) f X+Y (z) = dvs. X + Y Γ(α + β, λ). λα+β Γ(α + β) zα+β e λz, < z <, Bestemmelse af V n χ (n) Ved at benytte af gammafordelngens foldnngsegenskab får v umddelbart for j V = X + Xj Γ( +, ) = Γ(, ), og ved fortsat anvendelse V n = X + X + + Xn Γ( + + +, ) = Γ( n, ). Der gælder altså χ (n) = Γ( n, ). Herefter kan v let udregne mddelværd og varans χ -fordelngen: E V n = ) Γ(α)Γ(β) = s α e s ds = x = s + t y = s s + t n = n Var V n = t β e t dt = s = xy t = x( y) (xy) α (x( y)) β e x x dydx = = Γ(α + β)b(α, β) B(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β) n ( ) = n s α t β e (s+t) dsdt J(x, y) = y x y x = xy x + xy = x x α+β e x dx y α ( y) β dy
Tæthedsfunktonen for V n blver f Vn (x) = ( )n Γ ( n )x n e x = n Γ ( )x n e x, < x <. n Øvelse. Eftervs, at χ -fordelngen med frhedsgrader er dentsk med eksponentalfordelngen med ntenstet λ =. Sum af uafhængge χ -fordelte varable Lad V m χ (m) og V n χ (n), V m og V n uafhængge. Ved gen at benytte af gammmafordelngens foldnngsegenskab får v V m + V n Γ( m + n, m+n ) = Γ(, ) = χ (m + n), som umddelbart kan generalseres tl en sum af flere uafhængge χ -fordelnger. Modfkatoner Med X N n (, σ I) er X σ N(, ), =,..., n, uafhængge, og dermed σ X χ (n). Dette skrves ofte X σ χ (n). Med X N n (µ, I) blver X såkaldt kke-centralt χ -fordelt med n frhedsgrader og kke-centraltetsparameter µ µ = µ. Dette skrves X χ (n; µ µ). Øvelse. Vs, at mddelværden af X afhænger af µ og kke af de enkelte µ er. Med X N n (µ, σ I) blver X σ χ (n; µ µ σ ). For mere om den kke-centrale χ -fordelng, se fx http://en.wkpeda.org/wk/ Noncentral_ch-square_dstrbuton. En stokastsk kvadratsk form Betragt en stokastsk kvadratsk form, hvor X N n (, I), og A er en n n symmetrsk og dempotent matrx ) med rang A = q n. V vl vse, at X AX χ (q). Når A er symmetrsk, fndes en ortogonal matrx C, som dagonalserer A, dvs. C AC = Λ = λ λ λ n, hvor λ erne er A s egenværder. Med A dempotent er også Λ dempotent. Det gælder derfor om alle A s egenværder, at λ = λ, dvs. alle egenværderne er enten eller. Af rang A = rang Λ = tr Λ får v tr Λ = q, dvs. A har netop q egenværder med værden og n q egenværder med værden. Den ortogonale transformaton Y = C X har samme fordelng som X, det Y = C X N n (C, C IC) = N n (, I), ) En symmetrsk og dempotent matrx kaldes også en projektonsmatrx. 3
hvorefter X AX = X CΛC X = (C X) ΛC X = Y ΛY = vser, at X ΛX χ (q). :λ = Øvelse. Vs, at hvs X N n (, σ I), så er X ΛX σ χ (q), og hvs X N n (µ, σ I), så er X ΛX σ χ (q; µ µ σ ). Antager v omvendt, at X AX χ (q) vl v vse, at A er dempotent med rang A = q. Da A er symmetrsk, kan v dagonalsere A tl Λ = λ λ λ n og ved tlsvarende regnnger som ovenfor får v hvor Y N n (, I). X AX = Y ΛY = n = λ Y, For at n = λ Y kan modsvare kvadratsummen af q uafhængge standardserede normalfordelte varable må der gælde, at q af λ erne er og n q er. Heraf følger, at A er dempotent med rang A = rang Λ = tr Λ = q. For helt at udelukke at en lnearkombnaton n = λ X med andre koeffcenter end og kan være χ (q)-fordelt, betragter v momentfrembrngende funktoner 3). Et krav om n = λ X χ (q) udmøntes tl n n ( λ t) = ( t) q ( λ t) = ( t) q, = men dette vser gen, at λ erne må vælges som ovenfor anført. = Y Uafhængghed mellem stokastske kvadratske former Betragt to stokastske kvadratske former X A X og X A X, hvor X N n (, I) og hvor både A og A er n n symmetrske og dempotente matrcer med rang hhv. q og q. V vl vse, at X A X og X A X uafhængge A A = O. Antag først, at X A X og X A X er uafhængge. Summen af to uafhængge χ - fordelte varable er gen χ -fordelt, dvs. X (A + A )X χ (q + q ). Heraf følger, at A + A er dempotent, dvs. (A + A )(A + A ) = A + A A + A A + A = A + A, hvlket kræver, at A A + A A = O. Multplcerer v denne lgnng med A hhv. forfra og bagfra får v A A + A A A = O og A A A + A A = O. 3) MV (t) = E[e tv ] = e tx e x dx = ( t) π = ( t) M Vn (t) = ( t) n π e ( t)x d ( ( t) x ) 4
Subtrakton gver A A A A = O, som sammenholdt med A A + A A = O vser, at A A = O. Omvendt, når A A = O, blver A X og A X er uafhængge, det Cov(A X, A X) = A Var(X)A = A IA = A A = O. Uafhænggheden mellem A X og A X medfører uafhængghed mellem (A X) A X = X A X og (A X) A X = X A X. Dekomposton af en χ -fordelt stokastsk varabel V vl undersøge, om det er mulgt at dekomponere V n = X X χ (n), X N n (, I), en sum af parvs uafhængge χ -fordelte varable. Antag, at X X kan skrves som en sum af stokastske kvadratske former, X X = X A X + X A X + + X A k X, hvor A er symmetrsk og dempotent med rang A = q, =,..., k. Bemærk, at X A X + X A X + + X A k X = X (A + A + + A k )X, dvs. A + A + + A k = I. Der gælder umddelbart, at X A X χ (q ), =,..., k, men spørgsmålet er uafhængghed skal også afklares. Lad A j repræsentere en vlkårlg af de kvadratske former. Da A j er symmetrsk og dempotent fndes en ortogonal matrx C, som dagonalserer A j tl Λ med alle dagonalelementer eller. Multplcerer v på begge sder af A + A + + A k = I forfra med C og bagfra med C, får v C A C + Λ = I. j Matrcerne C A C, j, er som A erne dempotente. Alle dagonalelementer er derfor kke-negatve. Dette betyder, at hvor Λ har dagonalen, er de tlsvarende dagonalelementer C A C, j, nødvendgvs alle. Endvdere gælder, at når der C A C optræder hoveddagonalen, så vl alle elementerne den aktuelle række og den aktuelle søjle også have værden 4). Multplkaton af C A C, j med Λ gver derfor O. Ved at ndføre Λ = C A j C får v hvoraf A A j = O, j. C A CΛ = C A CC A j C = C A A j C = O, 4) Lad C dagonalsere C A C tl Λ. Så er C A C = C Λ C = C Λ Λ C = C Λ (C Λ ). Et hoveddagonalen C A C kræver, at den tlsvarende række C A følger. er en nulrække, hvoraf påstanden 5
Da A j var arbtrært valgt, har v A A j = O for alle, j =,..., k, j, hvlket vser, at X A X, =,..., k, er parvs uafhængge. Heraf følger, at X A X + X A X + + X A k X χ ( k = q ), som sammenholdt med X X χ (n) vser, at k = q = n er en nødvendg og tlstrækkelg betngelse for gyldgheden af den betragtede dekomposton. Mere udførlgt kan v slutte, at følgende udsagn er ækvvalente: X A X χ (q ), =,..., k, parvs uafhængge. A A j = O,, j =,..., k, j. k = q = n. Dette resultat, som fndes flere varanter, kaldes Cochrans sætnng. Øvelse. Lad X N n (, I). Betragt V n = X X og V q = X AX, A symmetrsk og dempotent, rang A = q. Sæt U = V n V q, og vs, at U χ (n q), samt at V q og U er uafhængge. Hvs stedet X N n (, σ I), kan udlednngen opretholdes, når blot χ ( ) alle steder erstattes af σ χ ( ). Hvs X N n (µ, σ I), kan udlednngen stadg opretholdes, når yderlgere X erstattes af X µ. Øvelse. Betragt en normalfordelt stkprøve X N n (µ, σi), µ = µ = µ(,,..., ). Vs, at X µ og S er uafhængge. Vnk: Der gælder samt og n (X µ) = (n )S + n(x µ) = n (n )S = (X X) = σ (X µ) (I n )(X µ) = (X µ) = σ (X µ) ( n )(X µ). (V kan kke ad denne vej nå helt frem tl, at X og S er uafhængge.) 6../BR 6