Projekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten"

Transkript

1 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. I -bogens kapitel 10 har i i første afsnit behandlet Euklids Elementer. Her findes links til udgaer på nettet. Til det følgende repeterer i kort strukturen i Elementer. 0. Forudsætninger, definitioner og notation Euklids Elementer består af 13 bøger, der i al korthed har følgende indhold: Bog I: Elementære konstruktioner (»Trekantens geometri«) Bog II: Geometrisk lgebra (»Firkantens geometri«) Bog III: irklens Geometri Bog IV: Regulære Polygoner (»Femkantens geometri«) Bog V: Størrelseslæren (»ntikkens differential- og integralregning«) Bog VI: Ligedannethed Bog VII-IX: Talteori Bog X: Irrationale tal Bog XI: Rumgeometri Bog XII: real og Volumen Bog XIII: Konstruktion af de 5 regulære polyedre Indholdsfortegnelsen gier et ist indtryk af, hor omfattende et ærk det er. Men det, som kom til at præge åndsliet siden, er strukturen i bøgerne. Euklid går frem på følgende måde: Forrest er alle de definitioner (3 i alt), han får brug for i bog I. en første definition i bogen er simpelthen:»1. Et punkt er det, som ikke kan deles.«bang herken forord eller anden snak, men lige på. ernæst følger de postulater (aksiomer) (5 i alt), han mener, er nødendige for denne geometri. Og endelig sætter han nogle almene aksiomer op (5 i alt), som danner grundlag både for geometrien og for al anden matematik. en sidste gruppe gier en slags regler for, hordan i logisk argumenterer os frem. Herefter klør han på med sætning efter sætning, hor han skelner mellem konstruktioner der afsluttes med»hilket skulle gøres«, forkortet hsg og beiser der afsluttes med»hilket skulle beises«, forkortet hsb; den mere berømte latinske forkortelse qed, der står for»quod erat demonstrandum«anendes stadig i mange matematikbøger. ØVELSE Prø at oereje, hor der er ligheder, og hor der er forskelle mellem Euklids matematikbog og opbygningen af moderne matematikbøger. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

2 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten EUKLIS ELEMENTER* BOG 1 efinitioner 1. Et punkt er det, der ikke kan deles.. En linie er en længde uden bredde. 3. En linies begrænsninger er punkter. 4. En ret linie er en linie, som ligger lige mellem punkterne på den. 5. En flade er det, der kun har en længde og en bredde. 6. En flades begrænsninger er linier. 7. En plan flade er en flade, som ligger lige mellem de rette linier i den. 8. En plan inkel er hældningen mellem to linier, der ligger i samme plan, har et punkt fælles og ikke ligger på en ret linie. 9. Når de linier, der indeslutter inkler, er rette, kaldes inklen retliniet. 10. Når en ret linie er oprejst på en anden, så at de ed siden af hinanden liggende inkler blier lige store, er enher af de lige store inkler ret; og denne rette linie, der er oprejst på den anden, kaldes inkelret på denne. 11. Em stump inkel er en inkel, som er større end en ret. 1. En spids inkel er en inkel, som er mindre end en ret. 13. En omkreds er begrænsningen af noget. 14. En figur er det, der indesluttes af en eller flere omkredse. 15. En cirkel er en plan figur, indesluttet af en sådan linie (som kaldes periferien), at alle de rette linier, der kan trækkes ud til den fra et inden for figuren liggende punkt, er indbyrdes lige store. 16. ette punkt kaldes centrum i cirklen. 17. En diameter i cirklen er en ret linie, trykket gennem centrum og begrænset til begge sider af cirkelperiferien, og den halerer også cirklen. 18. En halcirkel er en figur, som indesluttes af en diameter og den af diameteren afskårne periferi. Halcirklens centrum er det samme som cirklens. 19. Retliniede figurer er sådanne, som indesluttes af rette linier: tresidede, som indesluttes af tre, firesidede af fire, flersidede af flere end fire rette linier. 0. f tresidede figurer kaldes den, der har alle tre sider lige store, en ligesidet, den som kun har to sider lige store, en ligebenet, og den, som har alle tre sider ulige store, en skæ trekant. 1. f tresidede figurer kaldes endidere den, der har en ret inkel, en retinklet, den, der har en stump inkel, en stumpinklet, den, der har alle tre inkler spidse, en spidsinklet trekant.. f firesidede figurer kaldes den, der både er ligesidet og retinklet, et kadrat, den, der er retinklet, men ikke ligesidet, et rektangel, den, der er ligesidet, men ikke retinklet, en rhombe, den, der både ar modstående sider og inkler lige store, men herken er ligesidet eller retinklet, en rhomboide, de ørige firesider kunne kaldes trapezer. 3. Parallelle linier er rette linier, der ligger i samme plan, og som, når de forlænges ubegrænset til begge sider, ikke mødes til nogen af siderne. Forudsætninger Lad det ære forudsat: 1. t man kan trække en ret linie fra et hilket som helst punkt til et hilket som helst andet punkt.. t man kan forlænge en begrænset linie i ret linie ud i eet. 3. t man kan tegne en cirkel med et hilket som helst centrum og en hilken som helst radius. 4. t alle rette inkler er lige store. 5. t når en ret linie skærer to rette linier og de indendige inkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på den side, hor de to inkler, der er mindre end de to rette, ligger. lmindelige begreber 1. Størrelser, der er lige store med samme størrelse, er indbyrdes lige store.. Når lige store størrelser lægges til lige store størrelser, er summerne lige store. 3. Når lige store størrelser trækkes fra lige store størrelser, er resterne lige store. 4. Størrelser, der kan dække herandre, er indbyrdes lige store. 5. et hele er større end en del deraf. Notation er henises til de 5 aksiomer (almindelige begreber) med a1 (aksiom 1), a, a3, a4 og a5. er henises til Euklids egne sætninger med f.eks. I, 35: Bog I, sætning L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

3 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten 1. Euklids beis for Pythagoras læresætning SÆTNING 1 (I, 35) Parallelogrammer på samme grundlinje mellem de samme paralleller er lige store. FIGUR B E F Vi iser først, at trekant BE og trekant F er kongruente: B, da de er modstående sider i et parallelogram. E F, da de er modstående sider i et parallelogram. Tilsarende gælder, at B, og EF, ds. ifølge a1 er B EF. f a følger så, at B E EF E, og hermed BE F (se figur). a trekanterne BE og F har tre sider paris ens, er de kongruente (kan dække hinanden ed en flytning). Vi ser på hele figuren BF. Fra denne figur fjernes først trekant BE hered fremkommer parallelogrammet EF. Fra BF fjernes så trekant F hered fremkommer parallelogrammet B. a i har fjernet lige meget fra BF, er resterne lige store (a3), ds. de to parallelogrammer er lige store, som i ønskede at ise. SÆTNING (I, 41) Når et parallelogram har samme grundlinje som en trekant og ligger mellem de samme paralleller, er parallelogrammet dobbelt så stort som trekanten. FIGUR B E F Vi tegner linjen gennem parallel med E, og punktet F fremkommer. Fra sætning 1 har i, at parallelogrammerne B og EF er lige store, og da EF er dobbelt så stor som trekant E, har i det ønskede. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

4 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten SÆTNING 3 (I, 47) I en retinklet trekant er kadratet på den side, der ligger oer for den rette inkel, lig summen af kadraterne på de sider, der indeslutter den rette inkel. Vi bemærker, at dette er Pythagoras sætning! Vi konstruerer først kadrater på 3 sider (se figur). Herefter tegnes linjerne E, B og højden fra, og punkterne H og F fremkommer. Vi indser først, at trekant B og trekant E er kongruente: B E og (siderne i samme kadrat). Vinkel i de to trekanter er også ens, da de begge er en ret inkel + inkel i trekant B. Heraf følger så, at trekanterne er kongruente (to sider og en mellemliggende inkel paris ens). Vi bemærker nu, at parallelogrammet HFE og trekant E har samme grundlinje og ligger mellem de samme paralleller, altså er parallelogrammet dobbelt så stort som trekanten ifølge sætning. et samme gælder om parallelogrammet G og trekant B. a trekant B og trekant E er kongruente, følger, at HFE og G er lige store, altså at rektanglet HFE er lig kadratet på. G H B E F I På samme måde kan i ise, at rektanglet HBIF er lig kadratet på B (gør det sel ed at benytte figuren til højre). Heraf følger så, at HFE HBIF B, og hermed er det ønskede da HFE HBIF B. G H B E F I 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

5 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten. Euklids konstruktion af det gyldne snit SÆTNING 4 (II, 6) Når en ret linje er haleret, og en anden ret linje er afsat i forlængelse af den, så er det rektangel, der indesluttes af hele linjen og dens forlængelse, samt kadratet på haldelen, lig kadratet på den rette linje, der er sammensat af haldelen og forlængelsen. BEMÆRKNING ette er et eksempel på det, i kalder geometrisk algebra, ds.»en algebraisk sætning oersat til geometri«. Sætningen irker meget uigennemskuelig; men indholdet er det samme som det, i kalder kadratet på en toleddet størrelse: a b a b ab Sætningen blier brugt meget af Euklid i de næste sætninger, så det er en god idé at lære og forstå sætningens geometriske indhold. FIGUR a a B b b E a B a a b F en gine rette linje er B, og forlængelsen er B, og B haleres i. E er afsat lig B, og F er afsat lig. Sætningen siger nu, at rektanglet bestemt af siderne og E samt kadratet på B er lig med kadratet på. Ved at se på figuren ser i, at dette er det samme som at indse, at de to skraerede rektangler er ens (prø sel at ise det!). His i sætter a og B b, blier det algebraiske indhold af sætningen: a b b a ab b a. Rektanglet bestemt af og E plus kadratet på B: Kadratet på : a b. ltså siger sætningen: a b a b ab. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

6 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Inden i går idere med Euklids næste sætning (II, 11), lidt om»det gyldne snit«: EFINITION Vi ser på et linjestykke B. Linjestykket siges at ære delt i det gyldne snit ed punktet H, his B H H BH BEMÆRKNING Vi ser, at dette er det samme som H B H (i har ganget oerkors), eller som Euklid ille sige: Kadratet på H er lig med rektanglet bestemt af B og BH. FIGUR H B BEMÆRKNING His i il bestemme, hor H skal ligge på linjestykket B, kan i gøre følgende: Vi sætter B a (kendt tal) og sætter det søgte linjestykke H x. Hermed er BH a x. Vi får nu ed at indsætte disse størrelser i x a a x x ax a 0 Ved at løse denne andengradsligning, fås a 5a a 5 x x 1. x kan således bestemmes, når i kender a. x a x H B H : Vi skal nu se, hordan Euklid konstruerer punktet H, altså det punkt, der deler B i det gyldne snit. Vi bemærker, at Euklid hermed faktisk har løst en andengradsligning geometrisk. (Herken Euklid eller andre græske matematikere anendte begrebet»det gyldne snit«, sel om de med stor sandsynlighed kendte og ærdsatte dets egenskaber. Begrebet dukker først op i renæssancen (nogle steder:»det guddommelige forhold«, andre steder:»den gyldne brøk«) for endelig at inde fodfæste som et anerkendt begreb i det 19. århundrede). 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

7 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten SÆTNING 5 (II, 11) t dele en gien ret linje, således at det rektangel, der indesluttes af hele linjen, og det ene af stykkerne, er lig kadratet på det andet stykke. Vi betegner det gine linjestykke med B. Vi skal så bestemme et punkt H, således at H B H Euklid går nu frem i følgende skridt (prø sel at tegne figuren efterhånden): 1. Kadratet B konstrueres.. Siden haleres i punktet E. 3. forlænges ud oer. 4. irklen med centrum i E og radius EB tegnes. enne cirkel skærer s forlængelse i F. 5. irklen med centrum i og radius F tegnes. enne cirkel skærer B i det søgte punkt H. 6. Kadratet FGH tegnes. 7. Linjen gennem G og H skærer i K. Euklid argumenterer nu på følgende måde (se også figur): Vi ser, at er haleret i E, og F er forlængelsen, ds. ifølge sætning 4 gælder der, at F F E EF da EF EB, fås F F E EB F F E B E Vi fjerner E da trekant B er retinklet, fås EB B E F F B da F FG, fås F FG B, som indsættes, og i får fra begge sider og får Vi får således, at rektanglet bestemt af siderne F og FG er lig med kadratet på B. Euklid fjerner nu fra disse lige store figurer rektanglet bestemt af siderne og H (se figur). Resterne blier da henholdsis kadratet på H og rektanglet bestemt af siderne B og BH, altså gælder: H B HB, og da B B, fås det ønskede: H B HB. F G H B E 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

8 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten 3. Euklids sætninger om et punkts potens mht. en cirkel SÆTNING 6 (III, 36) His der fra et punkt uden for en cirkel tegnes en linje, der rører cirklen i et punkt T (ds. linjen er tangent til cirklen i T), og en ilkårlig linje, der skærer cirklen i R og S, så gælder det altid, at PR PS PT. Euklid iser først sætningen, når linjen, der skærer cirklen i R og S, også går gennem cirklens centrum. Herefter benytter Euklid dette beis til at ise, at det også gælder for en ilkårlig linje. FIGUR 1 FIGUR T T P P R R S M Linjen fra til T tegnes (står inkelret på tangenten i T). Vi ser nu, at RS er haleret af, og PR er forlængelsen. f sætning 4 følger da, at S PS PR R P da R T (radier i cirklen), fås PS PR T P PS PR P T PS PR PT og hermed og da trekant PT er retinklet, fås af Pythagoras PT T P og hermed PT P T. Vi tegner linjerne P, R, S og M, hor M er bestemt som midtpunkt af RS. Vi bemærker nu, at trekant RS er ligebenet, ds. medianen M blier også højde i trekanten, altså er trekanterne RM og PM retinklede. Ved at benytte sætning 4 igen, fås PS PR RM PM ed at lægge M til på begge sider, fås PS PR RM M PM M ed at anende Pythagoras på trekant RM og PM. PS PR R P Hermed er i tilbage i tilfælde L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

9 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten SÆTNING 7 (III, 37) His der fra et punkt uden for en cirkel trækkes to linjer, hor den ene skærer cirklen i punkterne R og S, og den anden har fællespunktet med cirklen, og der yderligere gælder, at R S, da er linjen tangent til cirklen. Vi bemærker, at dette er den»omendte«sætning til sætning 6. FIGUR R S T Vi tegner tangenten fra til T (se figur) og får således, at R S (forudsætning) R S T (fra sætning 6). f dette fås, at T, og hermed at T. Vi tegner nu linjerne, T og. Trekanterne og T er kongruente (tre sider paris ens). Heraf følger, at inkel er ret, og linjen er således tangent til cirklen. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

10 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten 4. enterinkel, periferiinkel og kordetangentinkel Vi tegner en cirkel med centrum i punktet O. En inkel med toppunkt i O kaldes en centerinkel. En centerinkel er lige så stor som den bue, den spænder oer. O EFINITION En inkel, der har toppunkt på cirkel periferien og begge ben som korder til cirklen, kaldes en periferiinkel. SÆTNING 8 En periferiinkel er halt så stor som den bue, den spænder oer. FIGUR 180 B Beiset opdeles i tre dele: 1. Periferiinklen har et ben som diameter.. Periferiinklen har et ben på her side af diameteren tegnet fra inklens toppunkt. 3. Periferiinklen har begge ben på samme side af diameteren. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

11 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten et iser sig nu, at når 1 er ist, kan dette bruges til beis for og 3. Beis for 1: Vi skal således ise, at buen B er (se figur). a) Vi ser først, at trekant OB er ligebenet, ds. inklerne ed grundlinjen er lige store (). b) Vinkel O er derfor 180. c) ltså er inkel O i trekant OB lig med. d) Hermed er buen B =, som i skulle ise. Beis for og 3: Benyt sel figurerne fra resultatet fra 1. O B u O B 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

12 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten EFINITION Ved en kordetangentinkel forstås en inkel med toppunkt på cirkelperiferien, og his ene ben er en korde, mens det andet ben er en tangent til cirklen. SÆTNING 9 En kordetangentinkel er halt så stor som den bue, benene spænder oer. Vi ser på figuren nedenfor og tegner linjen fra centrum O til inklens toppunkt. a denne linje står inkelret på tangenten i, får i, at inkel i trekant OB blier 90. a trekant OB også er ligebenet, blier inkel O =, og hermed er sætningen beist. FIGUR 90 O 90 B SÆTNING 10 (III, 3) Kordetangentinklen er lig periferiinkel, der indesluttes af den bue, der bestemmes af korden, og ligger til modsat side af. a både periferiinklen og kordetangentinklen er halt så store, som den bue, de spænder oer (som jo er den samme), er =. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

13 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten 5. Euklids konstruktion af den regulære femkant SÆTNING 11 (IV, 10) t konstruere en ligebenet trekant, hori her af inklerne ed grundlinjen er dobbelt så store som topinklen. BEMÆRKNING I en sådan trekant er inklerne hh. 36, 7 og 7, idet x + x + x = 180, og hermed er x = 36. x x x Vi bemærker også, at Euklid hermed kan konstruere den regulere tikant og hermed også den regulære femkant (se figur nedenfor). Femkantssiden Tikantssiden (10 30 = 360 ) 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

14 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Euklid får frem i følgende skridt: 1. På det gine linjestykke B konstrueres punktet, så. irklen med centrum i og diameter B tegnes. 3. Korden B konstrueres, så B. 4. Linjerne og tegnes. B B (sætning 5). Euklid iser nu, at trekant B har den ønskede egenskab. Trekanten er klart ligebenet, så i skal blot ise, at y = x (se figur nedenfor). Euklid tegner nu trekant s omskrene cirkel og argumenterer på følgende måde: Vi har, at B B B, fås, at B B (sætning 5), og da B. Vi bemærker nu, at B er et punkt uden for trekant s omskrene cirkel, samt at i har to linjer gennem B, som skærer cirklen (i og ) og rører cirklen (i ). f sætning 7 følger så, at B er tangent til cirklen. Hermed er B en kordetangentinkel, som spænder oer samme bue som periferiinklen. f sætning 10 følger så, at B x (se figur). B x y x For at indse, at y = x, laes en ny figur: B x y y 180 y B y, ds. y x y x x I trekant har å så. at x y x y f denne figur fremgår, at i trekant B er inklerne ed grundlinjen lige store, altså er B, og da B, er, og trekant er ligebenet. ltså er inkel = x i trekant, og trekant B har den ønskede egenskab. 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

15 Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten 6. Bilag om tangenter til cirkler Man har ikke kunnet finde Euklids definition på, had han forstår ed en tangent til en cirkel; men af hans arbejde fremgår, at den må ligge tæt på følgende definition: EFINITION Lad P ære et punkt på en cirkel. En ret linje l siges da at ære tangent til cirklen i punktet P, his 1. irklen og l kun har punktet P til fælles.. er ikke findes nogen ret linje gennem P mellem l og cirklen. SÆTNING 1 Lad P ære et punkt på cirklen med centrum i. en rette linje l, der går gennem P, og som står inkelret på P, er tangent til cirklen i P. Vi gør først rede for, at l kun kan hae punktet P fælles med cirklen. Lad ære et ilkårligt punkt på l. Vi ser så på trekant P, hor inkel P = 90. a inkelsummen i en trekant er 180, er inkel mindre end inkel P. Euklid har i sætning I, 19 ist, at i enher trekant ligger der oer for en større inkel en større side, ds. at er større end P. a nu P er cirklens radius, må ligge uden for cirklen, og hermed har i gjort rede for punkt 1. P l For at ise punkt antager i, at der findes en linje m gennem P mellem l og cirklen (indirekte beis). Vi tegner den inkelrette fra centrum ned på m (kaldes ). Vi ser på trekant P, og ed igen sætning I, 19, kan i slutte, at er mindre end P (radius), og hermed at ligger inde i cirklen. Hermed har i modstriden, altså kan der ikke ligge nogen linje mellem l og cirklen. P m l 013 L&R Uddannelse /S Vognmagergade 11 K-1148 Københan K Tlf:

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Link Mål Kompetence mål: Modellering Færdighedsmål Eleven kan vurdere egne og andres modelleringsprocesser Videns mål Eleven har viden om

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Geometri - Teori og opgaveløsning

Geometri - Teori og opgaveløsning Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Keplers ellipse. Perihel F' Aphel

Keplers ellipse. Perihel F' Aphel Keplers ellipse Keplers udgangspunkt er ellipsen opfattet som en fladtrykt cirkel. Han har selfølgelig stadigæk brug for brændpunkter mm. Konstruktionen af disse er simpel ud fra ellipsens omskrene rektangel.

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210 1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie 2005 Grundskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

ELEVFORUDSÆTNINGER OM KAPITLET PLANGEOMETRI

ELEVFORUDSÆTNINGER OM KAPITLET PLANGEOMETRI OM KAPITLET I dette kapitel om plangeometri arbejder eleverne med forskellige egenskaber ved plane figurer. I den første del af kapitlet arbejder eleverne med at finde areal af rektangler, parallelogrammer,

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Sæt 05 Geometri 01 Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 165 min. = 2,75 time

Læs mere

Kinematik. Ole Witt-Hansen 1975 (2015) Indhold. Kinematik 1

Kinematik. Ole Witt-Hansen 1975 (2015) Indhold. Kinematik 1 Kinematik Kinematik Indhold. Retlinet beægelse.... Jæn retlinet beægelse...3 3. Ujæn beægelse...4 4. Konstant accelereret beægelse...5 5. Tilbagelagt ej ed en konstant accelereret beægelse...8 6. Frit

Læs mere

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

OM KAPITLET PLANGEOMETRI. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I

OM KAPITLET PLANGEOMETRI. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I PLNGEOMETRI OM KPITLET I dette kapitel om plangeometri skal eleverne arbejde med trekanter og deres egenskaber. Eleverne skal kunne anvende deres viden om trekanter til at beregne afstande, som de ikke

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Lektion 8 Geometri Når du bruger denne facitliste skal du være opmærksom på, at: - der kan være enkelte fejl. - nogle af facitterne er udeladt - bl.a. der hvor facitterne er tegninger. - decimaltal kan

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold

Geometri. 1 Trekantens linjer. Indhold Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Geometri Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1

Matematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1 f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable

Læs mere

FORSØGSVEJLEDNING. Kasteparablen

FORSØGSVEJLEDNING. Kasteparablen Fysik i idræt - Idræt i fysik 006 FORSØGSVEJLEDNING Kasteparablen Formål: At bestemme kastelængden (x-positionen) for kast ed forskellige afleeringsinkler: o Ca. 30 o. o Ca. 45 o. o Ca. 60 o. og ed brug

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie nr. 2-2005 Folkeskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul

Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul Trekantsberegning for - og - niea i stx og hf dgae 3 l 34 8 016 Karsten Jl Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for inkler... 1. Omkreds, areal, häjde... 1.1 Omkreds... 1. Rektangel... 1.3 Kadrat... 1.4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK) Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog

Læs mere

Sorø 2004. Opgaver, geometri

Sorø 2004. Opgaver, geometri Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere