Keplers ellipse. Perihel F' Aphel

Transkript

1 Keplers ellipse Keplers udgangspunkt er ellipsen opfattet som en fladtrykt cirkel. Han har selfølgelig stadigæk brug for brændpunkter mm. Konstruktionen af disse er simpel ud fra ellipsens omskrene rektangel. Detaljerne i en sådan konstruktion er der gjort rede for i bogen De centrale keglesnit. Ifølge Keplers første lo beæger planeterne sig i ellipser med olen i det ene brændpunkt. il enher sådan planet knytter Kepler nu en 'skyggeplanet', der beæger sig på den omskrene cirkel på en sådan måde at forbindelseslinjen mellem skyggeplaneten og sele planeten hele tiden står inkelret på storaksen. erihel ' ' Det gier nu anledning til to inkler. Den faktiske planetinkel og Keplers skyggeinkel. Læg mærke til, at planetens inkel måles ud fra ellipsens brændpunkt, mens skyggeinklen måles ud fra ellipsens centrum. Man kan tænke på skyggeplaneten, som en fikti position, der styrer planetens position i oerensstemmelse med den geometriske konstruktion, hor det jo netop er, der er uafhængig og der er afhængig. His man animerer får man en første tilnærmelse til planetens beægelse rundt om olen. Men Kepler idst godt at det netop kun ar en tilnærmelse :07 XXXXXX 1

2 Kepler bemærkede nu, at der er en simpel forbindelse mellem skyggeinklen og planetinklen. Denne forbindelse kommer fra Keplers anden lo, arealloen. Ifølge Keplers anden lo oerstryger planeten et areal A planet, der okser jænt med tiden. Man kan få det oerstrøgne areal at se ed at spore forbindelseslinjen. His omløbstiden er, og t tilsarende er tiden siden planeten sidst ar i et, har planeten derfor oerstrøget et areal A planet, som netop er brøkdelen t/ af hele ellipsens areal ( π a b), ds. A planet t = π a b Men dette areal kan i nu knytte til det areal, som skyggeplaneten oerstryger, ed en simpel oerejelse: ' ' His i lægger trekantarealet til det oerstrøgne areal fås nemlig en fladtrykt cirkeludsnit. Men det må da hae et areal, som netop er fladtrykningsfaktoren b/a af cirkeludsnittet A aphel : (*) Aplanet + = b Acirkeludsnit( A) a :07 XXXXXX 2

3 Men cirkeludsnittet kan på den anden side findes ed formlen: ½ radius buelængde, ds.: Acirkeludsnit 1 = a 2 2 Her har i målt keplerinklen i radianer, idet buelængden b da netop er giet som produktet af radius a og centerinklen, ds. b = a. erihel ' ' ilbage står så blot at finde arealet af den inolerede trekant. Det følger af elementær trigonometri, idet koordinaterne til nøglepunkterne er giet ed: ( cos( ), a sin( ) ), ( a cos( ), b sin( ) ) a, a ( e,0) Grundlinjen i trekanten, ds. stykket er giet ed a e. Højden i trekanten, ds. stykket ' er tilsarende giet ed b sin(). Altså er det søgte areal giet ed 1 = a b e sin( ) 2 Indsættes det i formlen (*) fås dermed endelig Keplers ligning: :07 XXXXXX 3

4 t 1 b π a b + a b e sin( ) = a = a b 2 a 2 2 2π t = e sin( ) Den fastlægger Keplerinklen som funktion af tiden siden sidste passage og dermed også planetens position til et ilkårligt tidspunkt: Dels afstanden r til olen, dels lanetinklen, ds. inklen i forhold til et. Det er en transcendent ligning, som ikke kan løses symbolsk, men den kan løses ed iteration, idet den omskries på formen: 2π t = + e sin( ) Ved indsætte startinklen 2 π t på 's plads på højresiden fås et forbedret bud på ærdien af, der derefter indsættes som det nye bud os. I praksis kan man nøjes med 5-10 iterationer for moderate ærdier af excentriciteten e. Men Geometer kan også håndtere iterationer, så i kan nu konstruere planetbeægelsen dynamisk i fuld oerensstemmelse med Keplers anden lo! Vi må da først indføre de grundlæggende parametre: Excentriciteten e: Den beregnes som forholdet mellem brændpunktsafstanden og den hale storakse A aphel. iden t: Den indføres som en parameter og gies startærdien 0. His i som tidsenhed ælger omløbstiden, sættes denne til 1 og kan altså ignoreres i det følgende. Keplerinklen : Den sættes til 0 radianer som startærdi, mens dens slutærdi nu skal findes ed hjælp af iteration. Vi skal altså gennemføre det første trin i iterationen: Vi udregner derfor ( 2π t + e sin( ) ) 1radian Denne inkel udpeges og i ælger Marker inkel i ransformer-menuen. Vi kan så dreje et om centrum med denne inkel. Det gier det første bud på skyggens placering :07 XXXXXX 4

5 lanetens placering findes så fx ud fra den indskrene og omskrene cirkel på sædanlig is. Men stadigæk er det kun et første bud. Vi udpeger nu startærdien for (ds. de 0 radianer!) og ælger menupunktet Iterer på ransformer-menuen. Vi afbilder den på ærdien af den første iteration: Vi kan så skjule den første iteration og nøjes med at fremhæe den sidste, ds. ælge menupunktet Vis kun den sidste iteration i den oenstående Vis-menu fra Iterations-dialogboksen. erihel ' :07 XXXXXX 5

6 Dermed kan i frembringe et billede af planetens sande position til tiden t: Ved at spore forbindelseslinjen til brændpunktet kan i nu fx frembringe figurer som den foregående, hor i har ladet tiden okse i skridt af 0.05, ds. i får netop frembragt 20 positioner rundt langs ellipsen. His i animerer tiden ses planetbeægelsen også tydeligt, hor planeten speeder op når den passerer et og sænker farten tilsarende når den passerer erihelet. Det er altså lykkedes os at frembringe en fuldt realistisk simulation af en planetbeægelse. Herunder ses strukturen af iterationen med den medfølgende tabel (der kan skjules, his det ønskes) :07 XXXXXX 6