Introduktion til Grafteori

Transkript

1 Introdktion til Grafteori Jonas Lindstrøm Jensen IMF, Indledning En graf inden for matematikken er nogle pnkter, kaldet knder, der er forbndet af nogle streger, kaldet kanter. Hor pnkterne og stregerne er, er ikke igtigt det eneste i behøer at ide er, hilke knder der er forbndet. Rent matematisk er en graf G derfor et par G = (V,E) hor V er en mængde af knder, og E er en mængde af kanter. His, V er knder, så er der en kant mellem og his {,} E. Ds. his i har G = (V,E) og V = {,,} og E = {{,}, {,}}, så ser G således d. Figr 1: Grafen G. En graf kan godt hae en kant, der går fra et knde til sig sel, ds af tpen (,). Sådan en kaldes en løkke. Der kan også godt ære flere kanter mellem to knder. Opgae 1. Tegn grafen G = (V,E) giet ed V = {a,b,c,d,e} og E = {{a,c}, {d,e}, {a,d}, {c, e}, {a, e}, {b, e}}. Man kan lae alle mlige skægge ting med sådan nogle grafer, og de dkker op i rigtigt mange sammenhænge, da mange ting inden for matematikken kan beskries ha. grafer, f en masse ting inden for matematik-økonomi. Videnskaben om grafer kaldes ikke oerraskende for grafteori. En graf med n knder, hor alle knderne er indbrdes forbndet kaldes for K n. Ds at K 3 er en trekant, og K 4 ser d som på figren nedenfor. Opgae 2. Tegn K 6. Hor mange kanter har K n? (Hint: Had ed d om binomialkoefficienter?) 2 Centrale begreber i grafteori N il jeg lige remse nogle begreber op, man kan brge til at beskrie en graf. 1

2 Figr 2: K 4 Grad En kndes grad er ganske enkelt antallet af kanter, der har en ende i knden. En løkke bidrager med to til kndens grad. Delgraf His i har en graf G, og tager nogen af knderne og kanterne derfra (selfølgelig kn kanter, his knder i også har algt), så får i en n graf. En sådan kaldes en delgraf af G. Walk En alk er en sekens af knder, hor to på hinanden følgende knder har en kant imellem sig. Ds. det er en gåtr på grafen. Sti En sti er en alk, hor alle kanter man følger er forskellige. Ds. man ikke bentter den samme kant to gange. En simpel sti er en sti, hor også alle knderne er forskellige. Lkket sti En lkket sti er en sti, så den første og sidste knde er den samme. Ds. i er kommet tilbage til start. Plan En graf kaldes plan, his den kan tegnes på en måde, så ingen kanter krdser hinanden. Eksempel 2.1. Se på følgende graf, som i passende kan kalde G. Figr 3: G Det ses, at har grad 4 og har grad 3. Det skries som regel som deg = 4 og deg = 3. Nedenstående graf er en delgraf af G. 2

3 Figr 4: En delgraf af G Vi har en alk gennem knderne,,,,. Vi har en sti gennem knderne,,,. Der er en lkket sti gennem knderne,,,,. Opgae 3. Er G plan? 3 Et (simpelt?) grafteoretisk resltat Vi er n klar til at beise nogle sætninger inden for grafteori. Sætning 3.1. En graf G har et lige antal knder med lige grad. Beis. Lad os se på smmen af alle knders grad, den kan skries som V deg. His i tager den led for led, så il her kant bidrage med præcis 2 til denne sm (tænk!). Ds at deg = 2 E, V hor E er antallet af kanter i G. His n der ar et lige antal knder med lige grad, så ille smmen på HS ære lige (da smmen af et lige antal lige tal er lige), men det er den ikke, de 2 E er lige, så der må altså ære et lige antal knder med lige grad. Eksempel 3.2. Se på grafen fra figr 3. Den har netop 2 knder med lige grad, nemlig og. 4 Broerne i Königsberg Den første der arbejdede med grafteori ar den scheizeren Leonhard Eler, der i 1736 ndersøgte følgende spørgsmål: Er det mligt at gå en tr i Königsberg (n hedder ben Kaliningrad), så man krdser alle broer netop en gang, og man ender tilbage samme sted som man startede? Man kan fristes til at spørge sig sel, had det har med grafteori og gøre, men det er ikke så sært at sare på, for broerne i Königsberg kan betragtes som følgende graf. Inspireret af spørgsmålet laer i følgende definition. 3

4 Figr 5: Königsberg Definition 4.1. En graf kaldes Elersk his der findes en lkket sti, der brger alle grafens kanter netop én gang. Vi kan n omformlere Elers spørgsmål: Er grafen i figren oenfor Elersk? Her kan man selfølgelig prøe alle mligheder, men det er en fjollet og matematisk måde at gribe tingene an på. Istedet il i ise følgende sætning. Sætning 4.2. En graf er Elersk his og kn his den er sammenhængende og alle knder har lige grad. Sætningen siger n, at grafen ikke er Elersk, så der findes altså ikke nogen gåtr rndt i Königsberg, der krdser alle broer præcis en gang. Bemærk at en graf er sammenhængende betder det man sklle tro, nemlig at kan kan komme fra enher knde til en ilkårlig anden. Lad os prøe at beise sætningen. Beis. Beiset består af to dele. Lad os først antage, at grafen er Elersk. Vi skal så ise at den er sammenhængende og at alle knder har lige grad. Det er klart at grafen må ære sammenhængende, ellers knne i jo ikke komme rndt gennem alle kanter. Lad os oereje horfor graden af alle knder er lige. Hergang den elerske sti kommer til et pnkt, går den også d igen af en ikke allerede brgt kant. Ds. her gang ores sti krdser en knde gier det 2 mere til graden, og da stien kommer igennem alle kanter, kan der ikke gemme sig kanter der kan gøre graden lige. Altså er alle grader lige. Lad os n ise den anden ej. Antag at grafen er sammenhængende og at alle knder har lige grad. Vi il n ise, at der findes en elersk sti. Tag en ilkårlig knde, og la en sti med begndelse i. Vi går idere langs den sti, den at brge samme kant to gange indtil i ikke kan fortsætte derligere. Det kan kn ske i netop knden, da alle knder har lige grad, så his i kan kommer hen til den ad en kant, findes der også en kant d. His der er brgte kanter, kan i brge samme procedre som oenfor til at lae en lkket sti på en sammenhængende mængde af disse kanter. En sådan n sti kan kombineres med den sti i allerede har, så his i fortsætter procedren, får i til sidst alle kanter med, da grafen kn har endeligt mange kanter. Anden del af beiset er måske ikke så nemt at følge, så lad os prøe at illstrere det. Lad os se på følgende graf, hor alle knder har lige graf. 4

5 z Figr 6: Graf hor alle knder har lige grad Lad os tage knden og begnde at lae en tilfældig sti, indtil i ikke kan komme længere. Lad os sige i laer stien (,,,,). Så kan i ikke komme længere. Lad os n se på hilke kanter der er tilbage. z Figr 7: Ikke brgte kanter efter første sti Lad os så tage en ilkårlig knde, lad os sige, og forsøge at lae endn en sti. Lad os sige i får (,z,,). Den har bl.a. knden tilfælles med den første sti, så tilsammen får i stien (,, z,,,,, ). Så har i følgende kanter tilbage. z Figr 8: Ikke brgte kanter efter anden sti 5

6 Her er det ikke sært at lae en sti: (,,z,). Den har bl.a. knden tilfælles med den lange sti i har, så ialt får i den elerske sti (,,z,,,,,z,,, ). Det er en sti, der kommer igennem alle kanter prø sel efter! Sætning 4.3. I en sammenhængende graf har to længste stier en fælles knde. Beis. Lad P 1 og P 2 ære to længste stier i en sammenhængende graf G. Lad P 1 ære beskreet ed knde sekensen 0, 1, 2,..., k og P 2 med sekensen 0, 1, 2,..., k. Bemærk at antallet af knder er ens i de to sekenser, da de begge er længst. Antag at P 1 og P 2 ikke har en fælles knde. Da G er sammenhængende må der findes en sti mellem en knde fra P 1 og en fra P 2 hor de eneste knder fra P 1 og P 2 er endeknderne. Endeknderne betegner jeg med i og j, hor 0 i k og 0 j k. Og stien kalder jeg for P a. Lad: t 1 = Længden af stien 0 - i i P 1, stien betegnes P 11 t 2 = Længden af stien i - k i P 1, stien betegnes P 12 t 1 = Længden af stien 0- j i P 2, stien betegnes P 21 t 2 = Længden af stien j- k i P 2, stien betegnes P 22 t a = Længden af stien P a Noter at: Og at t 1 + t 2 = t 1 + t 2 = Længden af de længste stier i G t a > 0 Antag nden tab af generalitet at: t 1 t 2 og t 1 t 2 Hsk at jeg har at: t 1 + t 2 = t 1 + t 2 Ved brg af disse tre ligninger kan jeg beregne at: t 1 = t 1 + t 2 t 2 Ved brg af den sidste lighed får jeg at: t 2 t 1 = t 1 + t 2 t 2 2t 2 t 1 + t 2 2t 2 t 1 + t 2 2t 1 t 2 t 1 His jeg så brger dette sammen med ligheden: t 1 + t 2 = t 1 + t 2 t 1 + t 1 N il jeg kigge på den sammensatte sti P 11,P a,p 21. Dette er en sti da den ikke har fælles kanter. Dens længde er: t 1 + t a + t 1 som er skarpt større end t 1 + t 2 da t a > 0. Dette er en modstrid mod at t 1 + t 2 er længden af den længste sti i G. Derfor må de to længste stier hae mindst en fælles knde da det er ores eneste antagelse. 6

7 5 Afslttende bemærkninger En fortsættelse der bl.a. kommer til at indeholde træer og netærk kommer forhåbentlig snart. Tjek Kommentarer og rettelser kan sendes til 7