Stokastisk integration med anvendelser

Transkript

1 tokastisk integration med anvendelser Frank Hansen 23. januar 24 Indhold 1 Mål og integralteori Målrum Mål og udvidelse af mål Integrationsteori Opgaver til afsnit tokastiske variable Normal- og Gaussisk fordelte stokastiske variable Betingede forventninger Opgaver til afsnit Brownske bevægelser tokastiske processer Konstruktion af den Brownske bevægelse ætninger om den Brownske bevægelse Itos integral tokastiske differentialligninger på integralform Konstruktion af Itos integral Egenskaber ved Itos integral En besynderlig formel Itos integral i flere variable Itos lemma Itos lemma i en variabel Itos lemma i flere variable Opgaver til afsnit

2 INDHOLD 2 6 tokastiske differentialligninger Den geometrisk Brownske bevægelse Langevin Ornstein-Uhlenbeck ligningen Koblede lineære stokastiske differentialligninger Opgaver til afsnit Girsanovs sætning 43 8 Finansielle markeder Porteføljer og arbitrage Hedging af derivater Den generaliserede Black choles model Black-choles formel for prisen på en europæisk call option Litteratur 55 Indeks 56 Frank Hansen: Institute of Economics, University of Copenhagen, tudiestraede 6, DK-1455 Copenhagen K, Denmark.

3 1 MÅL OG INTEGRALTEORI 3 1 Mål og integralteori 1.1 Målrum Lad være en ikke-tom mængde. DEFINITION 1.1 En familie eller et system F af delmængder af kaldes en mængdealgebra på, hvis følgende betingelser er opfyldt: i Den tomme mængde tilhører F. ii For enhver mængde A i F tilhører komplementærmængden \A også F. iii For ethvert endeligt sæt A 1,..., A n af mængder i F tilhører foreningsmængden A 1 A n også F. Et godt eksempel på en mængdealgebra er systemet J af endelige foreningsmængder af halvåbne reelle intervaller af formen [a, b[, idet vi anser intervaller af formen ], a[ og [a, [ for at være halvåbne. Bemærk, at herved er komplementærmængden R\[a, b[ foreningen af de to halvåbne intervaller ], a[ og [b, [. Vi indser også, at enhver mængde A J kan skrives som en endelig disjunkt forening af halvåbne intervaller. DEFINITION 1.2 En mængdealgebra F på kaldes en σ-algebra, hvis til enhver følge A 1, A 2,... af mængder i F foreningsmængden også tilhører F. Vi bemærker, at J ikke er en σ-algebra. Fx kan det åbne interval ], 1[= n=1 A n [n 1, 1[ n=2 ikke skrives som en endelig forening af halvåbne intervaller. DEFINITION 1.3 Et par, F kaldes et målrum, hvis er en ikke-tom mængde og F er en σ-algebra på. En delmængde A kaldes målelig hvis A F. I modsat fald siges A at være ikke-målelig.

4 1 MÅL OG INTEGRALTEORI 4 I beslutningsteorien udviklet af Arrow, Debreu et al. benyttes målrum, F til at beskrive de konkrete modeller. Mængden kaldes for tilstandsrummet medens σ-algebraen F repræsenterer de observerbare begivenheder. Når verdens sande tilstand ω er kendt, så kan man afgøre om en begivenhed A F er indtruffet eller ej, idet A er indtruffet netop hvis ω A. Betingelserne i definitionen af en σ-algebra er stabile under vilkårlig fællesmængdedannelse. KOROLLAR 1.4 Lad være en ikke-tom mængde og lad {F i i I} være en familie af σ-algebraer på. å er også fællesmængden F = i I F i = {A A F i i I} en σ-algebra på. Ethvert system af delmængder af er indeholdt i en σ-algebra, simpelthen fordi systemet af alle delmængder af er en σ-algebra. Mængden af σ-algebraer, som indeholder et givet system O af delmængder af, er derfor ikke-tom, og idet deres fællesmængde ifølge Korollar 1.4 er en σ-algebra, findes der åbenbart en mindste σ-algebra σo, som indeholder O. Denne kaldes også for σ-algebraen frembragt af O. ystemet af halvåbne reelle intervaller frembringer derfor en σ-algebra BR på R, som kaldes for systemet af Borel mængder. Det er relativt nemt at vise, at BR også kan karakteriseres som σ- algebraen frembragt af de åbne delmængder af R. Tilsvarende lader vi BR n betegne σ-algebraen frembragt af de åbne mængder i R n og mere generelt for enhver Borel mængde F BR n. BF = {B F B BR n } DEFINITION 1.5 Lad, F være et målrum. En funktion f : R n kaldes F-målelig, hvis for enhver Borel mængde B BR n. f 1 B = {ω f ω B} F Undertiden får man brug for at gå den anden vej og vælge en σ-algebra F f på gerne så lille som muligt, således at en given funktion f : R n bliver F f -målelig. Dette problem løses ved at sætte F f = { f 1 B B BR n }, jvf Opgave 1.2. Endvidere bliver en familie { f i : R n i I} af funktioner F-målelige ved at sætte F = σ F f i. i I Vi kalder F den af funktionerne f i i I frembragte σ-algebra på. Det er den mindste σ-algebra på med hensyn til hvilken funktionerne f i i I er målelige.

5 1 MÅL OG INTEGRALTEORI Mål og udvidelse af mål Lad F være en mængdealgebra på en ikke-tom mængde. DEFINITION 1.6 En funktion µ : F R kaldes et mål, hvis i µa A F. ii µ =. iii Hvis A 1, A 2,... er en følge af mængder fra F således at A i A j = for i = j, og hvis foreningsmængde A = n 1 F, så gælder der µa = µa n. n=1 En mængde A F kaldes en nulmængde hvis µa =. Enhver mængde A J kan skrives som en endelig foreningsmængde A = [a 1, b 1 [ [a n, b n [ af disjunkte halvåbne intervaller. Vi kan altså antage a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n. Hvis vi sætter µa = n i=1 b i a i, så defineres der herved et mål µ overvej dette på mængdealgebraen J. Helt bogstaveligt, så måler µ længden af mængden A, og det er netop dette eksempel, som har givet anledning til betegnelsen mål. DEFINITION 1.7 Lad F være en mængdealgebra på en ikke-tom mængde. Et mål µ på F kaldes fuldstændigt, hvis A B og µb = B F for enhver delmængde B. Den følgende sætning er et hovedresultat i målteorien. For beviset henvises til [1]. TEOREM 1.8 Lad F være en mængdealgebra på en ikke-tom mængde udstyret med et mål µ : F R. Der findes en udvidelse af µ til et fuldstændigt mål µ : R defineret på en σ-algebra F på. Hvis dette teorem benyttes på det ovenfor indførte mål µ defineret på mængdealgebraen J, så udvides µ til et mål λ kaldet Lebesgue-målet defineret på en σ-algebra. Mængderne i kaldes for Lebesgue-mængderne, og er mere omfattende end σ- algebraen BR af Borel-mængder.

6 1 MÅL OG INTEGRALTEORI Integrationsteori Lad, F, µ være et målrum udstyret med et fuldstændigt mål µ. Ved indikatorfunktionen 1 A for en mængde A F forstår man funktionen { 1 t A 1 A ω = t / A, En ikke-negativ funktion f : [, [ kaldes simpel, hvis den kan skrives på formen f ω = k c i 1 Ai ω ω, i=1 hvor, for et k 1, mængderne A 1,..., A k er disjunkte F-målelige funktioner med forening en såkaldt brolægning af, og hvor målet µa i < hvis c i = for et i = 1,..., k. Vi indfører integralet af en simpel funktion ved at sætte f ω dµω = k c i µa i i=1 og bemærker, at integralet for c i, i = 1,..., k er arealet under grafen for f. Man indser endvidere, at mængden af simple funktioner er et underrum og at a f + bgω dµω = a f ω dµω + b gω dµω for vilkårlige simple funktioner f og g. Endelig gælder der f g f ω dµω gω dµω for simple funktioner f og g. DEFINITION 1.9 Ved et net af funktioner f i i I forstår man en indiceret familie af funktioner for hvilken indeksmængden I er ordnet på en sådan måde, at der til vilkårlige i, j I findes et k I, således at k i og k j. Nettet siges at være opad filtrerende, hvis der til vilkårlige i, j I findes et k I således at både k i, j i og f k max{ f i, f j }. DEFINITION 1.1 En ikke-negativ F-målelig funktion f : [, [ kaldes integrabel, hvis der findes et opad filtrerende net f i i I af simple funktioner og en konstant C > således at f i ω dµω C i I. Vi indfører så integralet af f ved at sætte f ω dµω = sup i I f i ω dµω.

7 1 MÅL OG INTEGRALTEORI 7 Det er naturligvis vigtigt, at det således indførte integral ikke afhænger af det specifikke net f i i I, men det viser sig at gå godt. En vilkårlig funktion f : [, [ kaldes herefter integrabel, hvis den kan skrives som en differens f + f af to integrable ikkenegative funktioner, og vi sætter f ω dµω = f + ω dµω f ω dµω. Mængden af integrable funktioner bliver herved et vektorrum og integralet en lineær funktional med en række behagelige egenskaber. Man skelner ikke mellem to integrable funktioner f og g for hvilke f ω gω dµω =, og sådanne funktioner kaldes ækvivalente. Det er forholdsvis nemt at vise, at f og g er ækvivalente hvis og kun hvis µ {ω f ω = gω} =. Vi udtrykker også dette ved at sige at f ω = gω for næsten alle ω. Mængden af ækvivalensklasser af reelle integrable funktioner på kaldes L 1, µ. Tilsvarende indføres L 2, µ som mængden af kvadratisk integrable funktioner funktioner f hvis kvadrat f 2 er integrabel på. Der gælder, at produktet f g af to kvadratisk integrable funktioner er integrabelt. Mere præcist gælder uligheden 1 f ωgω dµω 1/2 1/2 f ω 2 dµω gω 2 dµω for vilkårlige funktioner f, g L 2, µ. Vektorfunktioner f = f 1,..., f n : R n integreres ved simpelthen at integrere hver koordinatfunktion for sig. Herved indføres rummene L 1, R n, µ og L 2, R n, µ, der også kan skrives L 1, R n og L 2, R n, når der ikke tvivl om identiteten af målet µ.

8 2 TOKATIKE VARIABLE Opgaver til afsnit 1 Opgave 1.1 Vis, at fællesmængden i I F i af en familie {F i i I} af σ-algebraer på en ikke-tom mængde også er en σ-algebra. Opgave 1.2 Lad, F være et målrum og betragt en funktion f : R n. Vis, at mængden F f = { f 1 B B BR n } er en σ-algebra på og at f er U f -målelig. Opgave 1.3 Lad, F være et målrum og betragt en funktion f : R n. Vi lader U = σ { f 1 O O er åben i R n } betegne σ-algebraen på frembragt af originalmængderne ved f af de åbne mængder i R n og sætter herefter A = {B BR n f 1 B U}. 1 Vis, at A indeholder de åbne mængder i R n. 2 Vis, at A er en σ-algebra på R n. 3 Vis, at f er F-målelig blot f 1 O F for enhver åben mængde O R n. 4 Vis, at f 1 BR n = U. 2 tokastiske variable En n-dimensional stokastisk variabel er en F-målelig funktion X = X 1,..., X n : R n defineret på et sandsynlighedsrum, F, P. Fordelingen af en sådan stokastisk variabel er sandsynlighedsmålet µ X på R n defineret ved at sætte µ X B = P[X 1 B] for enhver Borel mængde B BR n. En familie, indiceret ved en indeksmængde I, af n-dimensionale stokastiske variable skriver vi på formen X i i I idet for i I og ω. X i ω = X 1i ω,..., X ni ω R n DEFINITION 2.1 Den karakteristiske funktion for en stokastisk variabel X : R n er den komplekse funktion φ X : R n C, som vi indfører ved at sætte φ X u = φ X u 1,..., u n = eiu x dµ X x, R n idet µ X er fordelingen af X.

9 2 TOKATIKE VARIABLE 9 Med en sprogbrug som vi ellers ikke skal benytte i disse noter siger man, at φ X er den Fourier transformerede af målet µ X. Det er et generelt resultat at Fourier transformationen er injektiv, og dette medfører at fordelingsmålet µ X er entydigt bestemt alene ud fra kendskabet til den karakteristiske funktion φ X. Ifølge Opgave 2.1 gælder identiteten 2 φ X u 1,..., u n = E [expiu 1 X u n X n ] for en stokastisk variabel. DEFINITION 2.2 Vi siger, at et sæt A 1,..., A k bestående af F-målelige mængder af et sandsynlighedsrum, F, P er uafhængigt, hvis P[A i1 A ip ] = P[A i1 ] P[A ip ] for ethvert delsæt i 1,..., i p af indeksmængden 1,..., k. Tilsvarende siger vi, at en familie af stokastiske variable {X i : R n i I} er uafhængig, hvis ethvert sæt af mængder på formen A i1,..., A ik er uafhængigt for k = 1, 2,... og forskellige sæt af indices i 1,..., i k I, idet vi vælger for ethvert i I. A i σx i = {X 1 i B B BR n } KOROLLAR 2.3 En familie af stokastiske variable {X i : R n i I} på et sandsynlighedsrum, F, P er uafhængig, hvis der for k = 1, 2,... gælder P[X i1 ω F 1,..., X ik ω F k ] = P[X i1 ω F 1 ] P[X ik ω F k ] for vilkårlige Borelmængder F 1,..., F k BR n og forskellige sæt af indices i 1,..., i k I. Ved en simpel udregning, jvf. Opgave 2.3, får vi herefter følgende resultat: ÆTNING 2.4 En familie af stokastiske variable {X i : R n i I} på et sandsynlighedsrum, F, P er uafhængig, hvis og kun hvis der for k = 1, 2,... og forskellige sæt af indices i 1,..., i k I gælder produktformlen φ Z u = φ Xi1 u 1 φ Xik u k for den stokastiske variabel Z : R nk defineret ved at sætte Zω = X i1 ω,..., X ik ω, idet vektoren u = u ij i=1,...,n; j=1,...,k R nk er dobbeltindiceret og vi sætter u j = u 1,j,..., u n,j for j = 1,..., k.

10 2 TOKATIKE VARIABLE Normal- og Gaussisk fordelte stokastiske variable Vi begynder med at give en oversigt over normalfordelingen og multi normalfordelingen. Det tilhørende Teorem 2.6 om formen for den tilhørende karakteristiske funktion gives uden bevis, idet vi ikke skal bruge resultatet til noget. Vi benytter det kun som inspiration til at indføre begrebet Gaussisk fordeling. En stokastisk variabel X : R defineret på et sandsynlighedsrum, F, P kaldes normalfordelt, hvis fordelingen µ X kan skrives på formen µ X B = for en tæthedsfunktion p X givet ved B p X x dx B BR p X x = 1 σ 2π exp x m2 2σ 2, hvor σ > og m er konstanter. I givet fald er middelværdien og variansen Mere generelt indfører vi: E[X] = Var[X] = E[X m 2 ] = R t p X t dt = m R t m 2 p X t dt = σ 2. DEFINITION 2.5 Lad, F, P være et sandsynlighedsrum. En stokastisk variabel X : R n kaldes multi normalfordelt, hvis der findes en vektor m = m 1,..., m n R n og en positiv definit n n matrix A = a ij, således at fordelingen µ X kan skrives på formen 3 µ X B = for en tæthedsfunktion p X givet ved det A p X x 1,..., x n = for x = x 1,..., x n R n. B = p X x 1,..., x n dx 1 dx n B BR n exp 2π n/2 det A exp 2π n/2 1 Ax m x m n x i m i a ij x j m j i,j=1

11 2 TOKATIKE VARIABLE 11 Hvis en stokastisk variabel X = X 1,..., X n : R n er multi normalfordelt, jvf. ovenstående definition, er middelværdierne E[X 1 ],..., E[X n ] = m 1,..., m n og kovariansmatricen C = c ij n i,j=1 = A 1, idet kovarianserne for i, j = 1,..., n. c ij = E[X i m i X j m j ] TEOREM 2.6 Hvis en stokastisk variabel X : R n er multi normalfordelt med middelværdier m = m 1,..., m n og kovariansmatrix C, så er den karakteristiske funktion φ X givet ved φ X u 1,..., u n = exp 1 Cu u + iu m 2 for ethvert sæt u 1,..., u n R n. = exp 1 2 n i,j=1 u i c ij u j + i n i=1 u i m i Bemærk, at vi ved at sætte A = C 1 kan regne baglæns og skrive fordelingen på formen 3. Ved blot at kigge på den karakteristiske funktion kan vi altså direkte aflæse middelværdierne og kovariansmatricen for en multi normalfordelt stokastisk variabel. Herefter benytter vi ovenstående teorem som inspiration til at indføre de såkaldt Gaussisk fordelte stokastiske variable. DEFINITION 2.7 Lad, F, P være et sandsynlighedsrum. En stokastisk variabel X : R n siges at være Gaussisk fordelt, hvis den karakteristiske funktion φ X : R n C kan skrives på formen φ X u 1,..., u n = exp 1 Cu u + iu m 2 4 = exp 1 u 2 i c ij u j + i u i m i n i,j=1 for en vector m = m 1,..., m n R n og en positiv semidefinit n n matrix C = c ij. n i=1

12 2 TOKATIKE VARIABLE 12 Den eneste forskel i forhold til de allerede indførte multi normalfordelte stokastiske variable er at matricen C kun antages at være positiv semidefinit. En Gaussisk fordelt stokastisk variabel med karakteristisk funktion skrevet på formen 4 med positiv definit matrix C er altså multi normalfordelt, og dermed er m vektoren af middelværdier og C kovariansmatricen. Ved et simpelt approximationsargument følger herefter, at også for en vilkårlig Gaussisk fordelt stokastisk variabel med karakteristisk funktion skrevet på formen 4 er m vektoren af middelværdier og C kovariansmatricen. KOROLLAR 2.8 Lad X 1 ω,..., X k ω : R n være stokastiske variable på et sandsynlighedsrum, F, P og betragt den stokastiske variable Z : R nk defineret ved at sætte Zω = X 1 ω,..., X k ω ω Hvis Z er Gaussisk fordelt med middelværdier m ij for i = 1,..., n og j = 1,..., k og de forskellige komponenter i Z er ukorrelerede, dvs. 5 CovX i1 j 1, X i2 j 2 = E[X i1 j 1 m i1 j 1 X j2 i 2 m i2 j 2 ] = for i 1, j 1 = i 2, j 2, så er familien af stokastiske variable X 1 ω,..., X k ω uafhængig. Proof: Idet Z er Gaussisk fordelt har den karakteristiske funktion φ Z formen φ Z u = exp 1 Cu u + iu m 2 idet vektoren u = u ij i=1,...,n; j=1,...,k er dobbeltindiceret og C betegner kovariansmatricen. Ifølge 5 er C en diagonalmatrix skrevet på blokformen C 1 O n O n O n C 2 O n C =......, O n O n C k hvor C j er en diagonalmatrix med diagonalelementer c ij = Var[X ij ω] for i = 1,..., n og j = 1,..., k. Heraf fremgår at det indre produkt Cu u = k j=1 C j u j u j, idet vi sætter u j = u 1j,..., u nj R n for j = 1,..., k. ætter vi også m j = m 1j,..., m nj for j = 1,..., k kan vi sammenfattende skrive den karakteristiske funktion φ Z u = exp 1 k k Cj u 2 j u j + i u j m j = φ X1 u 1 φ Xk u k, j=1 og dermed er familien X 1 ω,..., X k ω uafhængig ifølge ætning 2.4. j=1 QED

13 2 TOKATIKE VARIABLE Betingede forventninger TEOREM 2.9 Lad, F, P være et sandsynlighedsrum udstyret med en ekstra σ-algebra G F. Til enhver stokastisk variabel X L 2, R n findes der en entydigt bestemt stokastisk variabel E[X G] L 2, R n, kaldet forventningen til X betinget af σ-algebraen G, for hvilken i E[X G] er G-målelig ii For enhver G-målelig funktion Y L 2, R n gælder der E[X G] Yω dpω = X Yω dpω Proof: Mængden af ækvivalensklasser af kvadratisk integrable G-målelige funktioner er et afsluttet underrum U af L 2, R n. Lad Φ : L 2, R n U betegne den ortogonale projektion på U og sæt E[X G] = ΦX X L 2, R n. Med denne definition af E[X G] følger i umiddelbart, og idet E[X G] Yω dpω = ΦX Y L 2,R n = X ΦY L 2,R n = X Y L 2,R n = X Yω dpω for enhver G-målelig funktion Y L 2, R n, følger også ii. Hvis betingelserne også er opfyldt for en anden G-målelig funktion Z L 2, R n, gælder der åbenbart E[X G] Z Y ω dpω = for enhver G-målelig funktion Y L 2, R n. Ved specielt at vælge Y = E[X G] Z, får vi hermed Z = E[X G]. QED Der findes en udgave af ovenstående teorem, som kun kræver at X L 1, R n. Men denne lidt finere sætning får vi ikke brug for. ÆTNING 2.1 Lad, F, P være et sandsynlighedsrum udstyret med en ekstra σ-algebra G F. Der gælder

14 2 TOKATIKE VARIABLE 14 i E[aX + by G] = ae[x G] + be[y G] ii E[E[X G] G] = E[X G] iii E[X G] = X hvis X er G-målelig iv E[X G] = E[X] hvis X er uafhængig af G v E[X Y G] = E[X G] Y hvis Y er G-målelig for vilkårlige X, Y L 2, R n og konstanter a, b R. Proof: Egenskaberne i, ii og iii følger direkte af karakteristikken af E[X G] som værende billedet ΦX af X under den ortogonale projection Φ : L 2, R n U. Hvis X er uafhængig af G gælder E[X G] Yω dpω = = E[X] Yω dpω X Yω dpω = E[X] E[Y] for enhver G-målelig funktion Y L 2, R n. Ved specielt at vælge Y = E[X G] E[X], indser vi at E[X G] = E[X], hvoraf iv. Hvis endelig Y er G-målelig, gælder der = E[X Y G]ωZω dpω = E[X G] YZω dpω = X YωZω dpω = E[X G] YωZω dpω X YZω dpω for enhver G-målelig funktion Z L 2, R, idet YZ er den G-målelige funktion YZω = Y 1 ωzω,..., Y n ωzω L 2, R n. Ved specielt at vælge Z = E[X Y G] E[X G] Y får vi E[X Y G] = E[X G] Y, hvormed v er vist. QED

15 3 BROWNKE BEVÆGELER Opgaver til afsnit 2 Opgave 2.1 formen Vis, at den karakteristiske funktion for en stokastisk variabel kan skrives på φ X u 1,..., u n = E [expiu 1 X u n X n ]. Opgave 2.2 Lad X, Y : R være to reelle stokastiske variable på et sandsynlighedsrum, F, P. Vis at middelværdien E[XY] = E[X] E[Y], såfremt X, Y er uafhængig, og X og Y har endelige middelværdier. Opgave 2.3 Bevis ætning 2.4. Opgave 2.4 Lad X : R n være en Gaussisk fordelt stokastisk variabel, hvis karakteristiske funktion φ X : R n C er skrevet på formen φ X u 1,..., u n = exp 1 Cu u + iu m, 2 hvor m = m 1,..., m n R n og C er en positiv semidefinit n n matrix. Vis, at m er vektoren af middelværdier og C er kovariansmatricen. Opgave 2.5 Lad X, Y : R n være to stokastiske variable på et sandsynlighedsrum, F, P, og antag at den stokastiske variabel Zω = Xω, Yω : R 2n er Gaussisk fordelt. Vis, at for vilkårlige λ, µ R er linearkombinationen λx + µy : R n også en Gaussisk fordelt stokastisk variabel. Vink: Benyt sammenhængen i ligning Brownske bevægelser 3.1 tokastiske processer DEFINITION 3.1 Lad, F, P være et sandsynlighedsrum. Vi kalder en stokastisk variabel X : [, [ R n defineret på produktet [, [ for en n-dimensional stokastisk proces på, idet vi udstyrer [, [ med produkt σ-algebraen B[, [ F.

16 3 BROWNKE BEVÆGELER 16 Vi kan betragte en stokastisk proces som en tidsafhængig bølge af stokastiske variable, idet afbildningen ω X t ω = Xt, ω for et fast t [, [ er en stokastisk variabel på. For et fast ω kaldes funktionen en bane for X. [, [ t X t ω DEFINITION 3.2 En n-dimensional stokastisk process Xt, ω på et sandsynlighedsrum, F, P kaldes en Gaussisk proces, hvis for ethvert k = 1, 2,... og ethvert sæt t 1 t 2 t k den stokastiske variable Z : R nk givet ved er Gaussisk fordelt. Zω = Xt 1, ω,..., Xt k, ω DEFINITION 3.3 En k-dimensional fordeling af en stokastisk proces X : [, [ R n er for k 1 og t 1,..., t k [, [ defineret som det mål µ t1,...,t k på R nk for hvilket µ t1,...,t k F 1 F k = P[X t1 ω F 1,..., X tk ω F k ] for ethvert valg af mængder F 1,..., F k BR n. Vi noterer at idet P[X t1 ω F 1,..., X tk ω F k ] = P [X t1 ω,..., X tk ω F 1 F k ] er µ t1,...,t k åbenbart fordelingen af den nk-dimensionale stokastiske variable Zω = Xt 1, ω,..., Xt k, ω R n R k = R nk. Vi kalder målene µ t1,...,t k for de endelig-dimensionale fordelinger hørende til den stokastiske proces X. En berømt sætning af Kolmogorov sikrer, at der til ethvert sæt af mål µ t1,...,t k, parametriseret ved t 1,..., t k [, [ for k = 1, 2,... og opfyldende to simple konsistensbetingelser 1, findes et sandsynlighedsrum, F, P og en stokastisk proces X : [, [ R n, som har de givne mål µ t1,...,t k som endelig-dimensionale fordelinger. Vi skal dog ikke studere denne teori nærmere, men udelukkende benytte Kolmogorovs resultat til at indføre den Brownske bevægelse. 1 Kolmogorov 1: ν tχ1,...,t χk F 1 F k = ν t1,...,t k F χ 1 1 F χ 1 k for enhver permutation χ af {1,..., k}. Kolmogorov 2: µ t1,...,t k F 1 F k = ν t1,...,t k,t k+1,...,t k+m F 1 F k R n R n for ethvert m = 1, 2,....

17 3 BROWNKE BEVÆGELER Konstruktion af den Brownske bevægelse Vi indfører for t > og x R n tæthedsfunktionen p x t, y = 2πt n/2 x y 2 6 exp 2t y R n. Idet der henvises til opgaverne noterer vi at 7 samt at 8 R n p xt, y dy = 1 R n f yp xt, y dy t f x for enhver kontinuert funktion f på R n med kompakt støtte. For t 1 t 2 t k indfører vi et mål ν t1,...,t k på R nk ved først at sætte 9 µ t1,...,t k F 1 F k = p t 1, x 1 p x1 t 2 t 1, x 2 p x t k t, x k dx 1 dx k F 1 F k for mængder F 1,..., F k BR n og derpå udvide µ t1,...,t k til produkt σ-algebraen. Hvis der er lighedstegn t i = t i+1 for et eller flere i benyttes fortolkningen i 8. Derefter udvides definitionen af µ t1,...,t k til vilkårlige følger t 1,..., t k ved at benytte Kolmogorovs første konsistensbetingelse. Endelig følger Kolmogorovs anden konsistensbetingelse af 7. Vi har hermed etableret følgende: TEOREM 3.4 Der findes et sandsynlighedsrum, F, P og en stokastisk proces hvis endelig dimensionale fordelinger opfylder B : [, [ R n, P[B t1 ω F 1,..., B tk ω F k ] = µ t1,...,t k F 1 F k for vilkårlige mængder F 1,..., F k BR n, idet målene µ t1,...,t k er givet ved 9. Vi kalder den ovenfor indførte stokastiske proces B t ω for en version af den Brownske bevægelse med start i nulvektoren i R n. Den er ikke entydigt defineret. Men kunne vi ikke stille det ekstra krav, at banerne [, [ t B t ω

18 3 BROWNKE BEVÆGELER 18 er kontinuerte for næsten alle ω? Dette er desværre meningsløst, idet mængden af ω, for hvilke banen t B t ω er kontinuert, i almindelighed ikke er en målelig mængde. Men vi kan omformulere kravet lidt og spørge, om der findes en anden stokastisk proces ˆB t ω med overalt kontinuerte baner, således at 1 P [ {ω B t ω = ˆB t ω} ] = 1 t. Bemærk, at en stokastisk proces ˆB t ω som opfylder 1 har de samme endelig-dimensionale fordelinger som B t ω. Kolmogorov har vist, at der findes en og essentielt kun en Brownsk bevægelse, som opfylder dette ekstra krav. I det tilfælde kan identificeres med mængden C[, [, R n af kontinuerte funktioner på intervallet [, [ med værdier i R n, og banen t ˆB t ω for den kontinuerte version af den Brownske bevægelse B t ω er så simpelthen identisk med den kontinuerte funktion ω C[, [, R n. 3.3 ætninger om den Brownske bevægelse Lad os for et fast k 1 og t 1 t 2 t k betragte den nk-dimensionale stokastiske variable Z : R nk givet ved Zω = Bt 1, ω,..., Bt k, ω R nk. Fordelingen af Z er den endelig-dimensionale fordeling µ t1,...,t k af den n-dimensionale Brownske bevægelse, hvoraf følger at middelværdien [ ] n k 11 E exp i u ij B i t j, ω = eiu x dµ t1,...,t R nk k x i=1 j=1 idet vektorerne u = u ij i=1,...,n; j=1,...,k og x = x ij i=1,...,n; j=1,...,k er dobbelt indicerede og skalarproduktet u x = n k i=1 j=1 u ij x ij. Lad os begynde med at analysere tilfældet k = 1. Udtrykket 11 antager så formen [ ] n E exp i u i1 B i t 1, ω = eiu 1 x 1 dµ t1 x 1 = eiu 1 x 1 p t 1, x 1 dx 1 R n R n i=1 idet vi sætter u 1 = u 11,..., u n1 og x 1 = x 11,..., x n1. Vi omskriver integranden e iu 1 x 1 p t 1, x 1 = 2πt 1 n/2 exp iu 11 x u n1 x n1 x x2 n1 2t 1 = 2πt 1 n/2 exp 1 x11 it 1 u x n1 it 1 u n1 2 t 1 2t 1 2 u u2 11

19 3 BROWNKE BEVÆGELER 19 ved hjælp af et af de ældste matematiske trick. Det kaldes fuldendelsen af kvadratet, og ideen går mere end 2.5 år tilbage i tiden. Vi kan herefter foretage variabelskiftene x 11 x 11 + it 1 u 11, x 21 x 21 + it 1 u 21,..., x n1 x n1 + it 1 u n1 og får herved omskrevet integralet til udtrykket 2πt 1 n/2 e t 1u u2 n1 /2 R n e x x2 n1 /2t 1 dx 11 dx n1 = e t 1u u2 n1 /2. Vi har altså vist ved at sætte t = t 1 og u i = u i1 for i = 1,..., n at den karakteristiske funktion for den stokastiske variabel Zω = Bt, ω = B 1 t, ω,..., B n t, ω er givet ved udtrykket φ Z u 1,..., u n = E [ exp i n i=1 u i B i t, ω ] = exp t 2 u u2 n. Den n-dimensionale Brownske bevægelse er altså Gaussisk fordelt med middelværdierne og kovariansmatrix E[B 1 t, ω],..., E[B n t, ω] =,..., n Cov[B i t, ω, B j t, ω] = ti n i,j=1 idet I n betegner n n enhedsmatricen. Mere generelt gælder der: TEOREM 3.5 For k 1 og t 1 t 2 t k er den karakteristiske funktion for den nk-dimensionale stokastiske variable Z : R nk defineret ved givet ved udtrykket 12 φ Z u = E [ Zω = Bt 1, ω,..., Bt k, ω R nk exp i n k i=1 j=1 u ij B i t j, ω ] = exp 1 Cu u 2, hvor u = u ij i=1,...,n; j=1,...,k og blok matricen t 1 I n t 1 I n t 1 I n t 1 I n t 2 I n t 2 I n 13 C = t 1 I n t 2 I n t k I n er positiv semidefinit.

20 3 BROWNKE BEVÆGELER 2 Den n-dimensionale Brownske bevægelse er altså en Gaussisk proces med middelværdier nul og matricen C i 13 er en kovariansmatrix. pecielt er Cov[B i t, ω, B j s, ω] = i = j; t, s og Cov[B i t, ω, B i s, ω] = min{t, s} i = 1,..., n. Proof: Vi har allerede formen 12 for den karakteristiske funktion i tilfældet k = 1 og vilkårligt n. Det generelle tilfælde følger på tilsvarende vis ved induktion efter k. Vi mangler så blot at vise, at matricen C i 13 er positiv semidefinit. En lille overvejelse viser, at det er ækvivalent med at k k matricen t 1 t 1 t 1 t 1 t 2 t 2 A k t 1, t 2,..., t k = t 1 t 2 t k er positiv semidefinit. Matricen P k = er positiv semidefinit k 1 P k er den 1-dimensionale projektion på vektoren 1, 1,..., 1. Hvis vi for et vilkårligt fast k antager matrixuligheden A r 2,..., r k r 2 P for vilkårlige r 2 r k så gælder der åbenbart r 1 r 1 r 1 r 1 A k r 1, r 2,..., r k = r 1 r 2 r r 2 r k r 1P k for vilkårlige r 1 r 2 r k. Induktionsantagelsen er trivielt opfyldt for k = 2, idet r1 r A 2 r 1, r 2 = 1 r r 1 r 1 P 2 2 for vilkårlige r 1 r 2. Dermed har vi ved induktion vist matrixuligheden A k t 1, t 2,..., t k t 1 P k, hvilket er den ønskede påstand. QED

21 4 ITO INTEGRAL 21 KOROLLAR 3.6 Den n-dimensionale Brownske bevægelse har uafhængige tilvækster, hvilket betyder at de stokastiske variable 14 Bt 1, ω, Bt 2, ω Bt 1, ω,..., Bt k, ω Bt, ω er uafhængige for t 1 t 2 t k. Proof: Rækken af tilvækster 14 er Gaussisk fordelt, jvf. Opgave 2.5. Komponenterne i rækken er ukorrelerede, fx er og Cov[B i t 1, ω, B j t 2, ω B j t 1, ω] = δ ij Cov[B i t 1, ω, B i t 2, ω B i t 1, ω] = δ ij t1 min{t 1, t 2 } = Cov[B i t 2, ω B i t 1, ω, B j t 3, ω B j t 2, ω] = δ ij Cov[B i t 2, ω B i t 1, ω, B i t 3, ω B i t 2, ω] = δ ij min{t2, t 3 } min{t 2, t 2 } min{t 1, t 3 } + min{t 1, t 2 } = t 2 t 2 t 1 + t 1 =, hvormed rækken er tilvækster udgør en uafhængig familie, jvf. Korollar 2.8. QED 4 Itos integral 4.1 tokastiske differentialligninger på integralform Vi søger at give mening til en stokastisk differentialligning af formen 15 dx dt = bt, X t + σt, X t W t, hvor funktionen t, ω X t ω er den ukendte stokastiske proces, som vi ønsker at bestemme, og funktionen t, ω W t ω repræsenterer et støjled. Ligningen specificeres ved hjælp af b og σ, som er kendte funktioner af to variable. Vi betragter først en diskret udgave af ligningen ved at indføre tidspunkter = t < t 1 < < t k = t og derpå sætte X j = X tj for j =, 1,..., k, W j = W tj for j =, 1,..., k, t j = t j+1 t j for j =, 1,..., k 1.

22 4 ITO INTEGRAL 22 Vi kan herefter tilnærme 15 med den stokastiske differensligning 16 for j =, 1,..., k 1. Vi vælger støjledet X j+1 X j = bt j, X j t j + σt j, X j W j t j W j t j = W tj t j+1 t j = B tj+1 B tj = B j+1 B j = B j som en tilvækst B tj+1 B tj af den Brownske bevægelse. Dette kan måske synes arbitrært. Hvorfor ikke vælge støjledet som tilvæksten af en anden stokastisk proces? Man kan imidlertid vise, at den Brownske bevægelse er den eneste stokastiske proces, hvis tilvækster har de rimelige og hensigtsmæssige egenskaber, som vi normalt forbinder med et støjled. 2 Herved antager ligning 16 formen 17 X j+1 X j = bt j, X j t j + σt j, X j B j for j =, 1,..., k 1. Vi kan udregne X t som en trumpetsum af tilvækster ved at skrive 18 X t = X k = X + = X + j= X j+1 X j bt j, X j t j + σt j, X j B j. j= j= Vi indfører finheden ρk af inddelingen = t < t 1 < < t k = t ved at sætte ρk = max{t j+1 t j j =, 1..., k 1} og vil undersøge 19 for k, idet inddelingens finhed ρk samtidig antages at gå mod nul. Den første sum er integralet af en simpel funktion, og det konvergerer derfor for ω mod t bs, X s ω ds, såfremt funktionen s bs, X s ω er integrabel. Vi ønsker at indføre et såkaldt stokastisk integralbegreb, således at den anden sum i 19 konvergerer mod t σs, X s db s, idet vi sætter det endnu ikke indførte stokastiske integralbegreb i anførselstegn. åfremt dette projekt lykkes vil vi ved en løsning til den stokastiske differentialligning 15 forstå en stokastisk proces X t som opfylder integralligningen 19 for næsten alle ω. X t ω = X ω + t bs, X s ω ds + t σs, X s db s ω 2 Den Brownske bevægelse har stationære uafhængige tilvækster, middelværdi nul og kontinuert bane t B t ω for ethvert ω.

23 4 ITO INTEGRAL Konstruktion af Itos integral Vi ønsker for < T at definere integralet T f t, ω db t ω ω for en stor klasse af funktioner f : [, T] R. Lad os fx betragte en funktion f af formen 2 f t, ω = e j ω1 [tj,t j+1 [t, j= hvor = t < t 1 < < t k = T og den såkaldte indikatorfunktion for et interval [a, b[ er defineret ved { 1 t [a, b[ 1 [a,b[ t = t / [a, b[, og e 1,..., e er tidsuafhængige stokastiske variable. Vi indser at f t, ω = e j ω for det entydigt bestemte j for hvilket t [t j, t j+1 [. For en sådan funktion f virker det rimeligt at definere 21 T f t, X t db t ω = e j ωb tj+1 ω B tj ω. j= Det stokastiske integral måler således variationen af den Brownske bevægelse henover hvert interval [t j, t j+1 [ og gange denne variation med højden e j ω. Herefter summeres over alle intervallerne. Dette giver en konstruktion af integralbegrebet, som minder om det Riemannintegral, som man kender fra gymnasiet. Forskellen er blot, at man måler variationen af den Brownske bevægelse henover intervallet i stedet for blot at måle intervallængden. Der er imidlertid en alvorlig vanskelighed ved denne konstruktion. om vi skal belyse i det følgende eksempel, kan stokastisk integrationen af funktioner, der tilsyneladende kun afviger en smule fra hinanden, give helt forskellige resultater. EKEMPEL 4.1 Lad os for = t < t 1 < < t k = T sætte ϕ 1 t, ω = ϕ 2 t, ω = j= B tj ω1 [tj,t j+1 [t B tj+1 ω1 [tj,t j+1 [t. j= Dette er funktioner skrevet på formen 2, og den eneste forskel mellem ϕ 1 og ϕ 2 er at den Brownske bevægelse i ϕ 1 tages i begyndelsen af hvert interval, medens den i ϕ 2 tages

24 4 ITO INTEGRAL 24 i endepunktet. Lad os benytte integralbegrebet som indført i 21 og udregne middelværdien [ T ] [ ] E ϕ 1 t, ω db t ω = E B tj ωb tj+1 B tj j= [ ] = E B tj B tj+1 B tj =. j= Derimod er middelværdien [ T ] E ϕ 2 t, ω db t ω = E = [ ] E B tj+1 B tj+1 B tj = j= [ ] B tj+1 ωb tj+1 B tj j= j= [ E B tj+1 B tj 2] = j= t j+1 t j = T, idet vi undervejs har benyttet at middelværdien E[B s B t B s ] = og variansen for s t. E[B t B s 2 ] = t s Det ser ikke godt ud. Hvis vi ønsker at bruge funktionerne i 2 til at approximere sådanne funktioner, som vi måtte ønske at kunne integere med hensyn til den Brownske bevægelse, så er det åbenbart kritisk hvor funktionsværdien beregnes i delintervallerne hørende til en inddeling af definitionsintervallet [, T]. Det er vi ikke vant til fra Riemannintegralet. DEFINITION 4.1 Lad B t ω = B 1 t, ω,..., B n t, ω være den n-dimensionale Brownske bevægelse på sandsynlighedsrummet, F, P. Vi indfører σ-algebraen F n t frembragt af mængderne af formen {ω B s ω F} hvor s t og F BR n. Vi skriver blot F t i tilfældet n = 1. Vi ser, at F n t er den mindste σ-algebra for hvilken afbildningen ω B s ω er F n t - målelig for ethvert s t. Løst sagt betyder det, at en funktion f : R n er F t -målelig, hvis værdien f ω, for næsten alle ω, kan beregnes ud fra kendskabet til værdierne B s ω af den Brownske bevægelse for ethvert s t. Det er altså ikke nødvendigt at kunne se ud i fremtiden for at kunne bestemme værdierne af en F t -målelig funktion. åledes er funktionen f ω = B t/2 ω ω F t -målelig, medens funktionen gω = B t+1 ω ω

25 4 ITO INTEGRAL 25 ikke er F t -målelig. Vi kalder en voksende familie af σ-algebraer for en filtration. Vi skal i disse noter kun beskæftige os med filtrationer af formen {F n t t } for et n 1. DEFINITION 4.2 MARTINGAL En m-dimensional stokastisk proces Xs, ω kaldes for en martingal med hensyn til filtrationen {F n t t }, hvis i Middelværdien E[ Xs, ω ] < for ethvert t. ii For vilkårlige s t er den betingede forventning for næsten alle ω. E[Xt, ω F n s ] = Xs, ω Hvis vejrudsigten er en martingal, så siger den at vejret i morgen bliver ligesom vejret er i dag. TEOREM 4.3 Hver af koordinatprocesserne for den n-dimensionale Brownske bevægelse Bs, ω = B 1 s, ω,..., B n s, ω ω er en martingal med hensyn til filtrationen {F n t t }. Proof: Ifølge Cauchy-chwartz ulighed gælder der E[ B i t, ω ] E[B i t, ω 2 ] = t for ethvert t. For s t og i = 1,..., n gælder der endvidere E[B i t, ω F n s ] = E[B i t, ω B i s, ω + B i s, ω F n s ] = E[B i t, ω B i s, ω F n s ] + E[B i s, ω F n s ] = E[B i t, ω B i s, ω] + B i s, ω = B i s, ω for næsten alle ω, idet vi har benyttet at B i t, ω B i s, ω er uafhængig af F n s og B i s, ω er F n s -målelig. QED Vi er nu i stand til at afgrænse typen af funktioner i 2 på en sådan måde, at vi undgår de problemer, som Eksempel 4.1 illustrerer.

26 4 ITO INTEGRAL 26 DEFINITION 4.4 Lad < T. En funktion f : [, T] R R kaldes simpel, hvis den kan skrives på formen 22 f t, ω = e j ω1 [tj,t j+1 [t, j= hvor = t < t 1 < < t k = T og e j : R er F tj -målelig for j =, 1,..., k 1. Bemærk, at i Eksempel 4.1 er ϕ 1 en simpel funktion, medens ϕ 2 ikke er det. DEFINITION 4.5 En stokastisk proces X : [, [ R n kaldes tilpasset, hvis funktionen er F n t -målelig for ethvert t. ω Xt, ω Vi ser, at en simpel funktion er en tilpasset proces. TEOREM 4.6 ITO IOMETRI For en simpel funktion f t, ω er middelværdien E [ T ] 2 [ T f t, ω db t ω = E ] f t, ω 2 dt. Proof: Vi indfører som tidligere en inddeling = t < t 1 < < t k = T og sætter igen B tj+1 B tj = B j+1 B j = B j j =, 1,..., k 1. Vi benytter også betegnelsen F j for F tj og bemærker at den betingede middelværdi E[ B j F j ] = E[B j+1 B j F j ] = B j B j =, idet den Brownske bevægelse er en martingal. Funktionen f t, ω er simpel og kan derfor skrives på formen 22, hvor funktionen e j : R er F j -målelig for j =, 1,..., k 1. Vi bemærker også at e i e j B i er F j -målelig for i < j, hvormed E[e i e j B i B j ] = E[E[e i e j B i B j F j ]] = E[e i e j B i E[ B j F j ]] = i = j. Endelig beregner vi middelværdien E[e 2 j B j 2 ] = E[E[e 2 j B j 2 F j ]] = E[e 2 j E[ B j 2 F j ]] = t j+1 t j E[e 2 j ].

27 4 ITO INTEGRAL 27 Med disse ingredienser på plads kan vi vise Itos isometri. Idet vi benytter 21 som definition på integralet af den simple funktion f t, ω givet ved 22 får vi E [ T = E = j= ] 2 f t, ω db t ω = E [ e i ωe j ω B i ω B j ω i,j= [ T = E t j+1 t j E[e j ω 2 ] = E ] f t, ω 2 dt, [ 2 e j ωb tj+1 ω B tj ω j= ] = E[e j ω 2 B j 2 ] j= ] t j+1 t j e j ω 2 j= idet det sidste lighedstegn fremgår ved at benytte, at produktet af indikatorfunktioner for disjunkte intervaller er nul. QED DEFINITION 4.7 Lad ν, T betegne mængden af funktioner f : [, T] R for hvilke i f er B[, T] F-målelig. ii ω f t, ω er F t -målelig for ethvert t. [ T ] iii E f t, ω 2 dt <. Idet de simple funktioner 22 ligger tæt i ν, T overvej dette med hensyn til normen [ T ] 1/2 f = E f t, ω 2 dt får vi umiddelbart: KOROLLAR 4.8 Lad f ν, T. Der findes en følge af simple funktioner f n for hvilken f f n for n. Vi kan nu indføre Ito-integralet af en funktion f ν, T. Ifølge ovenstående korollar findes der en følge af simple funktioner f n for hvilken f f n for n. Idet f n f m f n f + f f m

28 4 ITO INTEGRAL 28 følger endvidere at f n f m for n, m. Vi udtrykker dette ved at sige at f n er en Cauchy-følge. Ifølge Itos isometri gælder der endvidere [ T T ] [ 2 T ] 2 E f n t, ω db t ω f m t, ω db t ω = E f n f m t, ω db t ω [ T ] = E f n f m t, ω 2 dt = f n f m 2 for n, m. Heraf følger eksistensen af en stokastisk variabel kaldet Itos integral og benævnt T f t, ω db t ω i L 2, P for hvilken [ T E f t, ω db t ω T ] 2 f n t, ω db t ω for n. Det fremgår endvidere, at integralet ikke afhænger af det specielle valg af følgen f n men kun af grænsefunktionen f. Endvidere konvergerer for næsten alle ω integralet T f n t, ω db t ω T f t, ω db t ω for n. Det er altså funktionerne i ν, T, som kan integreres stokastisk med hensyn til den Brownske bevægelse, og resultatet er en stokastisk variabel i L 2, P. Dette kan synes meget formelt, men giver sjældent nogen problemer i praksis. I gymnasiet bruger vi jo heller ikke definitionen af Riemann-integralet, når man løser en konkret opgave. I stedet benytter man delvis integration eller integration ved substitution kombineret med en liste over kendte stamfunktioner. Vi er imidlertid begrænset af, at man ikke har nogen teori for stokastisk differentiation. Bemærk, at den tilsyneladende differentielle form 15 er et rent symbolsk udtryk, som i virkeligheden dækker over integralligningen 19. Vi skal i næste afsnit indføre Itos lemma, som er det dominerende hjælpemiddel indenfor stokastisk integration. Det er en teknik, som gør det muligt på en enkelt måde at regne konkrete opgaver. Itos lemma har derfor samme praktiske betydning indenfor stokastisk integration som delvis integration og integration ved substitution har det for det sædvanlige deterministiske integral. 4.3 Egenskaber ved Itos integral TEOREM 4.9 Lad R T og lad f, g være funktioner i ν, T. Der gælder følgende:

29 4 ITO INTEGRAL 29 i Indskudsreglen T f t, ω db t ω = R f t, ω db t ω + ii Itos integral er en lineær funktional For vilkårlige konstanter a, b gælder der: T T a f + bgt, ω db t ω = a for næsten alle ω. T R f t, ω db t ω for næsten alle ω. T f t, ω db t ω + b gt, ω db t ω iii Itos [ integral er en martingal T ] E f t, ω db t ω F R = iv Itos [ integral har middelværdi nul T ] E f t, ω db t ω =. R f t, ω db t ω for næsten alle ω. Proof: Vi bemærker først, at iv er en konsekvens af iii. Vi indser herefter, at i, ii og iii følger for vilkårlige funktioner i ν, T, såfremt de blot gælder for simple funktioner. Påstandene i og ii er trivielt opfyldte for simple funktioner. Lad herefter f være en simpel funktion i ν, T på formen f t, ω = e j ω1 [tj,t j+1 [t, j= hvor = t < t 1 < < t k = T og e j : R er F tj -målelig for j =, 1,..., k 1. Der findes åbenbart et j så t j R for j j og t j > R for j > j. Idet Itos integral af den simple funktion f er givet ved T f t, X t db t ω = er den betingede middelværdi [ T ] E f t, ω db t ω F R = = = e j ωb tj+1 ω B tj ω j= e j ω E[B tj+1 ω F R ] E[B tj ω F R ] j= j 1 e j ωb tj+1 ω B tj ω + e j ωb R ω B tj ω j= R f t, ω db t ω

30 4 ITO INTEGRAL 3 for næsten alle ω. Dette følger af at den Brownske bevægelse er en martingal, hvormed { Btj ω j j E[B tj ω F R ] = B R ω j > j for næsten alle ω. Hermed er iii vist. 4.4 En besynderlig formel QED ÆTNING 4.1 Lad f ν, T og sæt e j ω = f t j, ω og B j ω = B tj+1 ω B tj ω for = t < t 1 < < t k = T og ω. Der gælder T e j ω B j ω 2 j= f t, ω dt i L 2, P for k, såfremt inddelingens finhed ρk for k. Proof: Vi udregner E e j B j 2 j= j= 2 e j t j = E[e i e j B i 2 t i B j 2 t j ] i,j= og bemærker at for i < j er middelværdien [ ] E[e i e j B i 2 t i B j 2 t j ] = E E[e i e j B i 2 t i B j 2 t j F tj ] [ ] = E e i e j B i 2 t i E[ B j 2 t j F tj ] Vi får hermed E = = e j B j 2 j= j= 2 e j t j = j= [ ] E e 2 j E[ B j 2 t j 2 F tj ] = j= =. E[e 2 j 3 t j 2 2 t j 2 + t j 2 ] = 2 j= ρke [ ] e 2 j t j j= E[e 2 j B j 2 t j 2 ] [ ] E e 2 j E[ B j 4 2 t j B j 2 + t j 2 F tj ] j= j= E[e 2 j ] t j 2

31 4 ITO INTEGRAL 31 og dette udtryk konvergerer mod nul for k idet [ ] [ T ] E e 2 j t j E at, ω 2 < j= for k. Påstanden følger heraf idet også T e j ω t j j= f t, ω dt i L 2, P for k. QED Vi udtrykker lidt uformelt indholdet af sætningen ved at skrive db t 2 = dt. Dette er første skridt på vejen mod at indføre Itos lemma. 4.5 Itos integral i flere variable Vi har konstrueret Itos integral for funktionerne i νt,, som blev indført i Definition 4.7. Betingelse ii i definitionen kræver at funktionen ω f t, ω er F t -målelig for ethvert t. Endvidere har vi i konstruktionen af Itos integral benyttet at den Brownske bevægelse er en martingal med hensyn til filtrationen {F t t }. Vi har imidlertid ikke benyttet den konkrete definition af σ-algebraen F t for hvert t. Denne fleksibilitet kan vi benytte til at udvide anvendelsesområdet for Itos integral. Det mest nærliggende er at erstatte F t med σ-algebraen F n t frembragt af den n-dimensionale Brownske bevægelse B t ω = B 1 t, ω,..., B n t, ω jvf. Definition 4.1. Den i-te koordinat B i t, ω er nemlig også en martingal med hensyn til filtrationen {F n t t }. Hermed får vi mulighed for at udregne stokastiske integraler af formen t B 1 s, ω db 2 s, ω, som indeholder forskellige komponenter af den n-dimensionale Brownske bevægelse. DEFINITION 4.11 Lad ν m n, T betegne mængden af m n matricer f = f ij t, ω hvis matrixelementer er funktioner f ij : [, T] R for hvilke i f ij er B[, T] F-målelig. ii ω f ij t, ω er F n t -målelig for ethvert t. [ T ] iii E f ij t, ω 2 dt <.

32 5 ITO LEMMA 32 for i = 1,..., m og j = 1,..., n. For f ν m n, T definerer vi det m-dimensionale Ito-integral med n støjkilder repræsenteret ved den n-dimensonale Brownske bevægelse ved at sætte T T f 11 t, ω f 1n t, ω db 1 t, ω f t, ω dbt, ω =... f m1 t, ω f mn t, ω db n t, ω = n T j=1 n T j=1 f 1j t, ω db j t, ω. f mj t, ω db j t, ω og bemærker at resultatet er en m 1 matrix bestående af stokastiske variable i L 2, P. 5 Itos lemma 5.1 Itos lemma i en variabel TEOREM 5.1 Itos lemma Lad X t være en Ito proces givet ved og sæt dx t ω = ut, ωdt + vt, ωdb t ω Y t ω = gt, X t ω, hvor g : [, [ R R er en to gange kontinuert differentiabel funktion. å er Y t også en Ito proces og dy t ω = g 1 t, X tω + g 2 t, X tωut, ω g 22t, X t ωvt, ω 2 dt + g 2t, X t ωvt, ωdb t ω for t og ω. Proof: Vi benytter notationen gt j, X j = gt j+1, X tj+1 ω gt j, X tj ω og omskriver gt, Xω = g, X ω + gt j, X j j=

33 5 ITO LEMMA 33 for = t < t 1 < < t k = t. Herefter benyttes Taylors formel gt j, X j = g 1 t j, X j ω t j + g 2 t j, X j ω X j ω g 11 t j, X j ω t j 2 + g 12 t j, X j ω t j X j g 22 t j, X j ω X j 2 + R j t, X j ω hvor t j = t j+1 t j og X j = X j+1 ω X j ω, og restleddet Dermed er gt, Xω = g, X ω g 11 t j, X j t j 2 + j= R j t, X j ω = o t j 2 + X j ω 2. g 1 t j, X j t j + g 2t j, X j X j j= j= g 12 t j, X j t j X j j= g 22t j, X j X j 2 + j= R j t, X j. j= Den første sum Den anden sum t g 1 t j, X j ω t j g 1 s, X sω ds. j= = g 2t j, X j ω X j ω j= j= t g 2t tj+1 j, X j ω us, X s ω ds + t j g 2s, X s ωus, X s ω ds + t j= g 2t tj+1 j, X j ω vs, X s ω db s ω t j g 2s, X s ωvs, X s ω db s ω For den tredie sum gælder E g j= 2 11 t j, X j t j 2 = E 2 E[g 11 t j, X j 2 ] 1/2 t j 2 j= for ρk. For den fjerde sum gælder [ ] g 11 t i, X i t i 2 g 11 t j, X j t j 2 i,j=

34 5 ITO LEMMA 34 E 2 g 12 t j, X j X j t j j= = E t i t j E[g 12 t i, X i X i g 12 t j, X j X j ] i,j= ρk 2 E g j= t j, X i X j for ρk. Den femte sum kan skrives g 22t j, X j X j 2 = j= +2 j= [ ] g 12 t i, X i X i t i g 12 t j, X j X j t j i,j= g 22t j, X j ut j, ω 2 t j 2 j= g 22t j, X j ut j, ωvt j, ω t j B j + g 22t j, X j vt j, ω 2 B j 2 j= De to første led går mod nul i kvadratisk middel for ρk som ovenfor bemærket, medens det sidste går mod t g 22s, Xsvs, ω 2 ds QED i kvadratisk middel for ρk ifølge det foregående lemma. EKEMPEL 5.1 Vi betragter Ito processen X t = B t B = og funktionen gt, x = 1 2 x2. Ifølge Itos lemma er 1 d 2 B2 t = dy t = 1 2 dt + B t db t Y t = gt, X t, hvormed t B s db s = 1 2 B2 t t 2.

35 5 ITO LEMMA 35 EKEMPEL 5.2 Vi betragter Ito processen X t = B t og funktionen gt, x = tx. Ifølge Itos lemma er d tb t = dy t = B t dt + t db t Y t = gt, X t, hvormed t s db s = tb t t B s ds. EKEMPEL 5.3 Vi betragter Ito processen X t = B t B = og funktionen gt, x = f tx, idet f er en funktion af en variabel. Ifølge Itos lemma er d f tb t = dy t = f tb t dt + f t db t Y t = gt, X t, hvormed t f s db s = f tb t t f sb s ds. 5.2 Itos lemma i flere variable Lad Bt, ω = B 1 t, ω,..., B m t, ω betegne den m-dimensionale Brownske bevægelse. En proces af formen dx 1 t, ω = u 1 t, ω dt + v 11 t, ω db 1 t, ω + + v 1m db m t, ω. dx n t, ω = u n t, ω dt + v n1 t, ω db 1 t, ω + + v nm db m t, ω kaldes en Ito proces, hvis funktionerne v ν m n, og funktionerne u i er tilpassede processer med [ t ] P u i s, ω 2 ds < t = 1. Vi indfører matrix notationen hvor Xt = X 1 t, ω. X n t, ω, u = dxt = u dt + v dbt, u 1 t, ω. u n t, ω, v = v 11 t, ω v 1m t, ω.. v n1 t, ω v nm t, ω

36 5 ITO LEMMA 36 og dbt = db 1 t, ω. db m t, ω. TEOREM 5.2 Lad være en n-dimensional Ito proces og lad dxt = u dt + v dbt gt, x = gt, x 1,..., x n = g 1 t, x,..., g p t, x være en vektor funktion i C 2 [, [ R n, R p. å er en p-dimensional Ito proces hvor gq n dy q = t t, X + i=1 + n i=1 Yt, ω = gt, Xt g q x i t, Xu i n i,j=1 g q x i t, X v i1 db 1 t + + v im db m t for q = 1,..., p. Dette kan skrives forkortet som dy q = g n q t t, X dt + g q t, X dx x i + 1 i=1 i 2 for q = 1,..., p, idet man benytter regnereglerne 2 g q t, Xv x i x i1 v j1 + + v im v jm dt j. n i,j=1 2 g q x i x j t, X dx i dx j dt dt =, dt db i =, db i db j = δ ij dt i, j = 1,..., n. Kiyosi Ito blev født den 7. september 1915 og var i perioden professor ved Kyoto Universitet. Ito besøgte Aahus Universitet som gæsteprofessor i perioden Jeg husker, at Ito ved sin afskedsforelæsning i 1979 fortalte om, hvorledes hans tre døtre som børn havde spurgt, hvorfor far hver dag tegner blæksprutter. Dette er naturligvis en henvisning til en grafisk repræsentation af en variabel, som udvikler sig efter en stokastisk differentialligning - det som vi i dag kalder en Ito proces.

37 6 TOKATIKE DIFFERENTIALLIGNINGER Opgaver til afsnit 5 Opgave 5.1 Vi betragter processen X t ω = exp t 2 + B tω t T, idet B t er en 1-dimensional Brownsk bevægelse med B =. ivis at X t er en Itoproces med dx t = exp t 2 + B t db t Vink: Benyt Itos lemma på funktionen gt, x = e t/2 e x. iiredegør for at X t er en martingal. iiibestem middelværdien E[X t ] idet det oplyses at E[B t ] = expt/2. ivvis at den betingede forventning Vink: Benyt 2. E[expB t F s ] = e t s/2 expb s s t T. 6 tokastiske differentialligninger 6.1 Den geometrisk Brownske bevægelse TEOREM 6.1 GEOMETRIK BROWNK BEVÆGELE Lad r og σ være reelle konstanter. Den stokastiske differentialligning d t = r t dt + σ t db t har løsningerne t = exp r σ 2 /2t + σb t t for >. Middelværdien er E[ t ] = e rt og variansen Var[ t ] = 2 e2rt e σ2t 1 for t. Proof: I intervaller [, t] hvor s > benytter vi Itos lemma for funktionen gs, x = log x x > og sætter Y s ω = gs, s ω = log s ω. Vi udregner g 1 s, x =, g 2s, x = 1 x, g 22s, x = 1 x 2

38 6 TOKATIKE DIFFERENTIALLIGNINGER 38 og får heraf hvormed Hermed er dy s = 1 s r s s Y t Y = σ 2 2 s t ds + 1 s σ s db s = r σ 2 /2 ds + σ db s dy s ds = r σ 2 /2t + σb t. t = expy t = exp r σ 2 /2t + σb t og det fremgår at t > for alle t. Middelværdien udregnes til E[ t ] = exp r σ 2 /2t E[expσB t ] = exp r σ 2 /2t exp σ 2 /2t = e rt og variansen [ Var[ t ] = E[ t E[ t ] 2 ] = E exp r ] σ 2 /2t + σb t e rt 2 [ ] 2 = 2e2rt E exp σ 2 t/2 + σb t 1 [ ] = 2e2rt E exp σ 2 t + 2σB t exp σ 2 t/2 + σb t = 2e2rt e σ2t e 4σ2t/ e σ2t/2 e σ2 t/2 = 2 e2rt e σ2t 1. QED EKEMPEL 6.1 Vi betragter en aktie, som til tiden t betaler en stokastisk dividende x t bestemt ved en geometrisk Brownsk bevægelse dx t = αx t dt + σx t db t med driftsled α og volatilitet σ >. Hvis den konstante kontinuerte diskonteringsrente r > α, så er den forventede nutidsværdi af betalingsstrømmen givet ved udtrykket [ ] [ ] E x t e rt dt = E x exp α σ 2 /2t + σb t e rt dt = x [ ] E exp α r σ 2 /2t + σb t dt = x e α rt dt = x r α. Vi vil derfor gerne købe aktien, hvis kursværdien x r α 1.