Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum

Transkript

1 Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne Hilbertrum og Banachrum, samt at forstå de begrænsede operatorer. Selvom emnet ikke fylder så meget i kurset Reel Analyse, er det en meget stor og (efter min mening) ganske elegant teori, og det er i øvrigt hovedtemaet for kurset Advanced Analysis/Analyse 2. Hvis I gerne vil læse mere om Banachrum og begrænsede operatorer, kan jeg anbefale, at I kigger i [Pe], [Ru] eller [St]. Alle 3 bøger har været anvendt i kurset Analyse 2 ([Ru] er den, der bruges i øjeblikket). Umiddelbart er [St] nok den, der er lettest at gå til. De to andre bøger dækker til gengæld væsentlig mere stof. Lige et par kommentarer om notation og terminologi. I [BM] lægges der en del vægt på at skelne mellem funktionsrummene L p (X, E, µ) og kvotientrummet L p (X, E, µ) hvor man tager L p (X, E, µ) og dividerer ud med funktionerne, som er 0 næsten overalt (mht. målet µ). I [Ve] lægges der mindre vægt på dette. Det er naturligvis vigtigt, at forstå forskellen mellem L p (X, E, µ) og L p (X, E, µ), men da vi i denne note arbejder med Banachrum, vil vi kun betragte L p (X, E, µ) og ikke dvæle så meget ved dette. Som hovedregel vil betegne normer på normerede rum, mens, vil betegne indre produkter på vektorrum med indre produkt. Hvis I har spørgsmål eller finder fejl, er I velkomne til at kontakte mig på lee@imf.au.dk. Rettelser og kommentarer vil være at finde på nettet: Hilbertrum og Banachrum I lineær algebra studerer man vektorrummene R n og C n. Disse vektorrum er begge eksempler på Banachrum. Da R n og C n har endelig dimension, er det ofte sådan, at man ikke behøver, at bekymre sig om topologiske begreber som kontinuitet og fuldstændighed, for i det tilfælde er et normeret rum automatisk fuldstændigt, og en lineær afbildning er automatisk kontinuert. Det er vigtigt at gøre sig klart, at et normeret rum specielt er et metrisk rum (se [Gr] Appendiks B): Sætning 1. Lad X være et normeret rum med normen. Da definerer afbildningen d : X X R givet ved d(x, y) = x y en metrik på X. Bevis. Det er oplagt, at d er ikke-negativ. Lad x, y X. Vi ser at d(x, y) = 0 x y = 0 x = y. Vi mangler derfor kun at vise trekantsuligheden. Lad x, y, z X. Vi ser at d(x, z) = x z x y + y z = d(x, y) + d(y, z) Vi vil bruge metrikken ovenfor til at give mening til begreber som konvergens, fuldstændighed samt åbne og lukkede mængder, altså ting hørende til den såkaldte topologiske struktur. Et Banachrum er et normeret rum, som er fuldstændigt. Man skal være opmærksom på, om der er tale om et vektorrum over R eller C. Det viser sig senere, 1

2 Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum 2 at komplekse Banachrum er de pæneste, men det vil vi ikke komme yderligere ind på her. Her er et par eksempler på Banach rum: Eksempel 2. Lad A være et Banachrum. Da er ethvert lukket underrum af A igen et Banachrum (se [Ve] Sætning 1.2). Eksempel 3. votientrummet L p (X, E, µ) er et Banachrum (se [BM] Sætning 7.18), og måske det vigtigste eksempel fra kurset. Eksempel 4. Lad være en kompakt delmængde af R n. Vektorrummet C() af kontinuerte funtioner f : C med normen f = sup f(x) x er et Banachrum. Det følger af Sætning i [ST]. Normen defineret ovenfor kaldes supremumsnormen. Et Hilbertrum er et Banachrum, hvor normen kommer fra et indre produkt. At et indre produkt giver anledning til en norm vises i [Ve] Sætning 2.4. Her er så et par eksempler på Hilbertrum: Eksempel 5. votientrummet L 2 (X, E, µ) er et Hilbertrum, hvor det indre produkt er givet ved: f, g = f(x)g(x)dµ(x). X Dette Hilbertrum må i mange henseender anses for at være det vigtigste Hilbertrum. Eksempel 6. C n er et Hilbertrum, hvor det indre produkt er givet ved: n x, y = x i y i, hvor x = (x 1,..., x n ) og y = (y 1,..., y n ). Helt analogt er R n et Hilbertrum over de reelle tal. At C n (hhv. R n ) er fuldstændigt følger af at C (hhv. R) er fuldstændigt (se Sætning 4.44 i [Po]). For en god ordens skyld kommer vi med et eksempel på et normeret rum, som ikke generelt er fuldstændigt: Eksempel 7. Vektorrummet C c (R n ) af kontinuerte funktioner på R n med kompakt støtte udstyret med det indre produkt (for et Radon mål µ): f, g = f(x)g(x)dµ(x) R n er ikke generelt et Hilbertrum. Fra Sætning 7.28 i [BM] ved vi at C c (R n ) er tæt i L 2 (R n, µ). På den anden side er der mange ækvivalensklasser af funktioner i L 2 (R n, µ), som ikke indeholder en kontinuert repræsentant. Dermed er C c (R n ) ikke et lukket underrum (for i såfald ville det være det hele) og dermed heller ikke et Hilbertrum jvf. Sætning 1.2 i [Ve]. Pr. definition er et Hilbertrum også et Banachrum mht. normen v = v, v, men det omvendte gælder ikke (med andre ord, der findes fuldstændige normer, som ikke kommer fra et indre produkt), som vi skal se i følgende eksempel (opgave 2.9 i [Ve]): Eksempel 8. Betragt Banachrummet C([0, 1]) med supremumsnormen (jvf. Eksempel 4). Lad f, g : [0, 1] C være givet ved f(x) = x og g(x) = 1 x. Bemærk at f = g = f + g = f g = 1.

3 Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum 3 Heraf ses specielt at f + g 2 + f g 2 2 f g 2. Dvs. parallelogramloven (se [Ve] 2.5) er ikke opfyldt, og dermed kan supremumsnormen ikke komme fra et indre produkt. Ortonormalbaser for Hilbertrum I lineær algebra arbejder man også med basis-begrebet (en såkaldt Hamelbasis), men det er ikke helt det samme som begrebet ortonormalbasis for Hilbertrum. Forskellen er, at en Hamelbasis er et rent algebraisk begreb, hvor ortonormalbasisbegrebet for Hilbertrum også involverer topologien for rummet. Lad os lige genopfriske et par definitioner. Definition 9. Lad V være et vektorrum over legemet F. For A V defineres udspændingen (eller span et eller det lineære hylster ) af A til at være mængden af alle endelige linearkombinationer af elementer fra A, dvs. { N } span(a) = a i v i N N, ai F, v i A. Definition 10. Lad V være et vektorrum over legemet F. En delmængde B af V kaldes en Hamelbasis for V, hvis span(b) = V og der for alle v B gælder v / span(b\{v}). Definition 11. Lad H være et Hilbertrum. Et ortonormalsystem (e j ) j J kaldes en ortonormalbasis hvis span({e j j J}) = H. Husk at aflukningen af en mængde A H er den mindste lukkede mængde i H, som indeholder A. Aflukningen af A kan også defineres som mængden af alle grænsepunkter for A forenet med A. Bemærk at topologien indgår i definitionen af en ortonormalbasis for et Hilbertrum (dvs. konvergens og lukkethed mht. Hilbertrumsnormen), mens der ikke er nogen reference til topologien i definitionen af en Hamelbasis. Hvis der er tale om Hilbertrum af endelig dimension er en ortonormalbasis for Hilbertrummet også en Hamelbasis, men de sjoveste Hilbertrum er nu engang dem af uendelig dimension, og i det tilfælde er en ortonormalbasis ikke generelt en Hamelbasis. Som et kuriosum kan det nævnes, at ethvert vektorrum har en Hamelbasis. Beviset for denne påstand er ikke konstruktivt, da det kræver, at man bruger Zorns lemma (og dermed udvalgsaksiomet). Hamelbaser for Hilbertrum er imidlertid uinteressante for os, da de fuldstændig ignorerer Hilbertrummets topologiske struktur. Et Hilbertrum siges at være separabelt, hvis det er separabelt som metrisk rum, dvs. hvis der findes en tællelig delmængde, som er tæt i rummet. Vi har følgende udvidelse af Sætning 2.15 fra [Ve]: Sætning 12. Et Hilbertrum H er separabelt hvis og kun hvis H har en endelig eller tællelig ortonormalbasis. Bevis. Fra Sætning 2.15 i [Ve] ved vi, at hvis H er separabel, så findes der er endelig eller tællelig ortonormalbasis for H. Antag nu at der findes en tællelig ortonormalbasis (e i ) i N for H (for nemheds skyld antager vi også, at H er et Hilbertrum over R). Mængden { N } A = a i e i N N, ai Q

4 Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum 4 er tællelig. Det kan f.eks. ses ved at udnytte, at en tællelig forening af tællelige mængder igen er tællelig. Lad x H. Fra Sætning 2.12 i [Ve] ved vi, at x kan skrives som x = x, e i e i hvor x 2 = x, e i 2 <. Lad nu ε > 0 være givet. Der findes N N så x, e i 2 < ε2 2. i=n+1 Vælg a 1,..., a N Q således at a i x, e i < ε 2N for alle i. Vi ser vha. Pythagoras sætning for Hilbertrum (se [Ve] Afsnit 2.1) at N 2 N x a i e i = a i x, e i 2 + x, e i 2 < ε2 2 + ε2 2 = ε 2. i=n+1 Dvs. A = H og dermed er H separabelt. Tilfældet hvor H er et komplekst Hilbertrum klares på tilsvarende vis, og det samme gælder tilfældet, hvor H har en endelig ortonormalbasis. Fra lineær algebra er det velkendt, at to vektorrum af endelig dimension over samme legeme er isomorfe, hvis de har samme dimension. Tilsvarende er to separable Hilbertrum H og H over samme legeme isometrisk isomorfe. En isometrisk isomorfi kan konstrueres ved at ved at vælge tællelige ortonormalbaser (e i ) i N og (e i ) i N for H hhv. H og derefter betragte den entydig bestemte lineære afbildning fra H til H, som sender e i til e i. Som konsekvens heraf ses, at L 2([0, 2π]) er isomorf med følgerummet l 2. Man kunne fristes til at tro, at denne isomorfi skulle være meget nyttig, men i praksis viser det sig at ovenstående observation har begrænsede anvendelser, ikke mindst fordi den konkrete form af Hilbertrummet ofte har betydning. F.eks. er f(x) = x en meget pæn funktion i L 2 ([0, 2π]), mens Fourierrækken for f ikke er specielt pæn. Vi starter med en definition: Begrænsede Operatorer Definition 13. Lad X og X være normerede rum. En lineær afbildning T : X X kaldes en begrænset operator, hvis der findes C R + således at T (x) C x for alle x X. I såfald defineres operatornormen af T til at være T = sup T (x). x X x 1 Ofte skriver man bare T x i stedet for T (x). Bemærk at hvis T (x) C x for alle x X så gælder at T (x) C for alle x X med x 1. Dvs. T <. Bemærk at T x T x, og at T er den mindste konstant C der kan bruges i ovenstående definition. Vi har følgende vigtige sætning:

5 Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum 5 Sætning 14. Lad X og X være normerede rum og T en lineær afbildning fra X til X. Da er følgende 4 punkter ækvivalente: (1) T er en begrænset operator. (2) T er kontinuert. (3) T er kontinuert i mindst ét punkt. (4) { T x x 1, x X } R er begrænset. Bevis. Vi starter med (1) (2). Da T er begrænset findes der C R + så T x T y = T (x y) C x y. Dvs. x y 0 medfører at T x T y 0. Dermed er T kontinuert. Da (2) (3) er triviel springer vi videre til (3) (4). Vi antager at T er kontinuert i x 0 X. Dvs. der findes specielt et δ > 0 så: Lad nu y X, y 1. Vi ser at x x 0 < δ T (x x 0 ) < 1. (x δy) x 0 = δ y < δ. 2 Derfor har vi at 2 1 δt y = T ((x δy) x 0 ) < 1. og dermed T y < 2 δ. Så { T x x 1, x X } [0, 2δ 1 ]. Betragt nu (4) (1). Antag at { T x x 1, x X } [0, C] hvor C R +. Da ses, at for alle x X, x 0 gælder T ( x 1 x) C, og dermed har vi, at T x C x for alle x X. Følgende sætning forklarer sprogbrugen og notation for operatornormen: Sætning 15. Lad X og X være normerede rum over det samme legeme. De begrænsede operatorer fra X til X udgør et vektorrum (over samme legeme som X og X ), som er et nomeret rum i operatornormen. Hvis X er fuldstændigt (dvs. et Banachrum), så udgør de begrænsede operatorer et Banachrum, som ofte skrives som B(X, X ). Bevis. Det er helt ligeud af landevejen at verificere, at de begrænsede operatorer bliver et normeret vektorrum med operatornormen. Antag nu at X er et Banachrum. Vi vil gerne vise at rummet af begrænsede operatorer bliver fuldstændigt i operatornormen. Antag at (T n ) n 1 er en Cauchyfølge af begrænsede operatorer fra X til X. Da er følgen er Cauchy, ses at (T n x) n 1 er en Cauchyfølge i X for alle x X. Vi definerer afbildningen T : X X ved T x = lim n T n x (dette er veldefineret, da X er et Banachrum), og det er klart, at T er lineær. Pga. kontinuitet af normen fås at T x = lim T n x lim sup T n x. n n Så T er begrænset. Bemærk nemlig at lim sup n T n <, da (T n ) n 1 er en Cauchyfølge i det normerede rum B(X, X ) og dermed en begrænset følge. Desuden ses at (T T n )x = lim (T m T n )x lim sup (T m T n ) x m m

6 Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum 6 da (T n ) n 1 er en Cauchyfølge. Dvs. da lim n lim sup m T m T n = 0 fås T T n 0 for n, så (T n ) n 1 er konvergent med grænseværdi T. Lad os nu se på et par konkrete eksempler: Eksempel 16. Lad H være et Hilbertrum over C og x 0 H. Afbildningen T x0 : H C defineret ved T x0 (x) = x, x 0 er en begrænset operator (husk at C er et Hilbertrum). T x0 er lineær, da det indre produkt er lineært i første variabel og T x0 er begrænset pga. Cauchy-Schwarz ulighed ([Ve] Sætning 2.3): T x0 (x) = x, x 0 x 0 x. Bemærk at T x0 x 0. Hvis x 0 0 ses at T x0 ( x 0 1 x 0 ) = x 0 1 x 0, x 0 = x 0 så T x0 x 0. Samlet kan vi altså konkludere at T x0 = x 0. Generelt kaldes begrænsede operatorer fra et normeret rum til R eller C for begrænsede lineære funktionaler. Eksempel 17. Lad T være en lineær afbildning fra R n R m (dvs. en matrix). Lad e 1,..., e n betegne standardbasisvektorerne i R n. Det ses at T (a 1 e a n e n ) a 1 T (e 1 ) + + a n T (e n ) n a i 2 n T (e i ) 2 Da a a n 2 = a 1 e a n e n 2 ses at T (x) n T (e i) 2 x for alle x R n. Dette generaliserer uden videre til lineære afbildninger mellem normerede vektorrum af endelig dimension. Eksempel 18. Fouriertransformationen på L 2 (R n ) er også en begrænset operator. Det følger af Sætning 8.22 i [BM], da isometrier er kontinuerte, og kontinuitet er det samme som begrænsethed (jvf. Sætning 14). Eksempel 19. Lad H være et Hilbertrum og M H et lukket underrum (som i Projektionssætningen, [Ve] Sætning 2.17). Ortogonalprojektionen P på M er en begrænset operator (se [Ve] Afsnit 3.1). Eksempel 20. Lad være en kompakt delmængde af R n og ϕ : C være begrænset ( τ(x, y) C for alle x, y ) og målelig. Lad f L 2 (). Vi ser at τ(x, y)f(y) dy C f(y) dy C m n () f 2 hvor vi i sidste ulighed har brugt Cauchy-Schwartz ulighed. Vi påstår at funktionen x τ(x, y)f(y)dy ligger i L 2(). Det ses som følger: ( τ(x, y)f(y)dy 2 2 dx τ(x, y)f(y) dy) dx C 2 m n () f(y) 2 dydx = C 2 m n () 2 f 2 2. Heraf ses det at T : L 2 () L 2 () defineret ved T (f(x)) = τ(x, y)f(y)dy

7 Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum 7 er en begrænset operator, idet lineariteten af T følger af lineariteten af integralet. Sprogbrugen begrænset operator antyder, at der findes operatorer (altså lineære afbildninger) som ikke er begrænsede. Hvis en operator ikke er begrænset, kan den ifølge Sætning 14 ikke være kontinuert i ét eneste punkt! Her er to eksempler på ubegrænsede operatorer Eksempel 21. Lad H være et separabelt, men uendeligdimensionalt Hilbertrum og (e i ) i N en ortonormalbasis for H. Betragt underrummet V = span({e i i N}). Lad S : V V være den entydigt bestemte lineære afbildning, som opfylder at S(e j ) = je j. Da er mængden { Sx x 1, x V } ikke begrænset og dermed er S ikke begrænset (jvf. Sætning 14). Bemærk at V ikke er et lukket underrum af H og dermed ikke et Hilbertrum. Lad os se på et konkret eksempel i stil med det foregående eksempel: Eksempel 22. Betragt underrummet V = span({f k k Z}) af L 2 ([0, 2π]), hvor f k (x) = eikx 2π. Elementerne i V er klart differentiable, og da i d dx eikx = ke ikx er i d dx en veldefineret lineær afbildning på V. Men denne udregning viser også at { idf/dx 2 f 1, f V } ikke er begrænset, og dermed er i d dx ikke begrænset. Operatorer der er defineret på underrum af L 2 ([a, b]) og som involverer differentiation ( differentialoperatorer ) er generelt ubegrænsede. I de to eksempler ovenfor har vores operatorer ikke været defineret overalt på de pågældende Hilbertrum. Det er som regel (men ikke altid) sådan, at hvis en operator kan defineres overalt på et Hilbertrum, så er den begrænset. Duale Rum Vi har allerede set at de begrænsede lineære funktionaler på et Banachrum igen udgør et Banachrum jvf. Sætning 15. Helt generelt omtaler man rummet af de begrænsede lineære funktionaler på et normeret rum X (dvs. de begrænsede operatorer fra X til R eller C, afhængig af om X er et komplekst eller reelt vektorrum) som det duale rum til X, og man skriver X. Bemærk at der i apitel 3 i [Ve] kun betragtes komplekse vektorrum. Hovedsætningen i apitel 3 i [Ve] er Riesz-Fréchets sætning. Lad os for en god ordens skyld lige uddybe den her: Sætning 23. Lad H være et komplekst Hilbertrum. For x H defineres T x H ved T x (y) = y, x. Afbildningen T : H H defineret ved T (x) = T x er konjugeret lineær og afbilder H isometriskt og surjektivt på H. Bevis. Vi har set i Eksempel 16 at T x H og at T x = x. At T er konjugeret lineær følger af at det indre produkt er konjugeret lineært i anden variabel: T λx+x (y) = y, λx + x = λ y, x + y, x = λt x (y) + T x (y) hvor λ C og x, x, y H. Vi ser også at for x, x H gælder: T x T x = T x x = x x idet vi udnytter, at T er konjugeret lineær samt at T x = x. Det viser at T er en isometri. Nu mangler vi kun surjektiviteten. Her vil vi følge [Ve]. Lad f H. Hvis f = 0 har vi at f = T 0. Antag derfor at f 0. Vi ved at M = ker f er et lukket underrum af H (lukket da f er kontinuert, og et underrum da f er lineær). Da M og M danner direkte sum (jvf. Projektionssætningen, [Ve] Sætning 2.17)

8 Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum 8 findes x 0 M så f(x 0 ) 0 (ellers ville f = 0). Bemærk at f(x 0 ) 0 medfører at x 0 0, da f er lineær. Vi kan antage at f(x 0 ) = 1 (idet vi ellers kan erstatte x 0 med ). Lad y H. Vi ser at x0 f(x 0) f(y f(y)x 0 ) = f(y) f(y)f(x 0 ) = 0, så y f(y)x 0 M. Da x 0 M har vi at y, x 0 f(y) x 0, x 0 = y f(y)x 0, x 0 = 0 og dermed at f(y) = y, x 0 2 x 0. Dvs. f = T x0 2 x 0. Man bør bemærke, at afbildningen T ikke er lineær, så vi kan ikke umiddelbart slutte, at H og H er isometrisk isomorfe som Banachrum. Det er dog sandt, og vi vil kort skitsere et bevis. Vi kan bruge afbildningen T til at hilbertificere H, dvs. lægge et indre produkt på H som på diagonalen stemmer overens med operatornormen på H. Det gøres ved at sætte T x, T y = y, x. Man kan vise, at ethvert Hilbertrum har en ortonormalbasis (igen må man have Zorns lemma i sving, se f.eks. [Pe] Proposition ). Ovenstående konstruktion viser, at hvis (e j ) j J er en ortonormalbasis for H, så er (T ej ) j J en ortonormalbasis for H. Vi kan nu konstruere en lineær isometrisk isomorfi fra H til H, ved at tage den lineære afbildning som sender e j til T ej. Selvom vi nu har fået konstrueret en isometrisk isomorfi, er afbildningen T langt mere interessant, og det er den identifikation af H med H, som er vigtig. Det andet er blot en simpel konsekvens. Riesz-Fréchets sætning kan let kan modificeres til at fungere i det reelle tilfælde også, og i det tilfælde bliver T en isometrisk isomorfi, da det reelle indre produkt er bilineært. Bemærk at Riesz-Fréchets sætning minder om den fra lineær algebra velkendte identifikation af lineære afbildninger på vektorrum af endelig dimension med matricer. Udover at Riesz-Fréchets sætning er ganske smuk i sig selv, har den faktisk en utrolig vigtig anvendelse i funktionalanalysen. Fra lineær algebra er det velkendt, at hvis A er en kompleks m n matrix og A er den hermitisk adjungerede (dvs. den matrix der fås ved at transponere A og komplekskonjugere indgangene) så gælder at Av, w = v, A w for alle v C n og w C m, hvor det indre produkt bare er det sædvanlige hermitiske skalarprodukt på C m hhv. C n. Vha. Riesz-Fréchets sætning generaliserer dette let til Hilbertrum: Sætning 24. Lad H, H være Hilbertrum og T : H H en begrænset operator. Da findes en entydig operator T således at for alle x H og y H. T x, y = x, T y Bevis. Da det indre produkt er lineært i første variabel ses at for fast y H er afbildningen H x T x, y C lineær. Afbildningen er desuden begrænset, da T x, y T x y T x y hvor vi har brugt Cauchy-Schwarz ulighed. Dvs. afbildningen er et lineært funktional. Riesz-Fréchets sætning siger, at der findes et entydigt (så T bliver en afbildning) element T y H så T x, y = x, T y

9 Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum 9 for alle x H. At T : H H er lineær følger af, at det indre produkt er konjugeret lineær i anden variabel. At T er begrænset ses som følger: T y 2 = T y, T y = T T y, y T T y y hvor vi igen har brugt Cauchy-Schwarz ulighed. Dvs. T y T y. Nu til entydigheden. Antag at der findes en begrænset operator S : H H så x, Sy = x, T y for alle x H og y H. Da ses at x, (S T )y = 0. Men da x, x = 0 medfører at x = 0, ses at S T = 0, dvs. S = T. At den adjungerede operator spiller en central rolle i Hilbertrumsteorien kan ikke komme bag på nogen, der har haft lineær algebra. Et af hovedresultaterne i elementær lineær algebra, er at en normal matrix (dvs. matricen kommuterer med sin hermitisk adjungerede) har en ortonormalbasis af egenvektorer (Spektralsætningen, se [FB] Sætning 9.7), og det generaliserer faktisk (i passende forstand) til begrænsede operatorer på et Hilbertrum. Lad os slutte af med at se på duale rum for nogle Banachrum, som ikke er Hilbertrum Eksempel 25. I [Ve] apitel 3 vises det, at hvis p og q er Hölderkonjugerede så er l p = lq. Tilsvarende gælder L p ([a, b]) = L q ([a, b]). Vi vil ikke vise dette men blot forklare, hvordan elementer i L q ([a, b]) kan opfattes som elementer i L p ([a, b]). Lad g L q ([a, b]). Fra Hölders ulighed ved vi at fg er integrabel for f L p ([a, b]) og b a f(x)g(x) dx f p g q. Da integralet er lineært, viser dette at L p ([a, b]) f b f(x)g(x)dx C er et a begrænset lineært funktional. Litteratur [BM] C. Berg og T. G. Madsen. Mål- og integralteori. Noter (2001). [FB] J. B. Fraleigh og R. A. Beauregard. Linear Algebra. 3. udgave Addison Wesley (1995). [Gr] S. E. Graversen. Forelæsningsnoter til Målteori og Sandsynlighedsteori 1.1. Noter (2005). [Pe] G.. Pedersen. Analysis Now. Springer-Verlag New York (1995). [Po] E. T. Poulsen. Funktioner af en og flere variable. Gads forlag (2001). [Ru] W. Rudin. Functional Analysis. 2. udgave, McGraw-Hill (1991). [St] H. Stetkær. Notes for Analysis II, Noter (2000). [ST] H. Stetkær,. Thomsen og C. Tønnesen-Friedman. Indledning til Matematisk Analyse II. Noter (2002). [Ve] J. Vesterstrøm. Forelæsningsnoter til Analyse 1. Noter, 5. udgave (2003).