Stokastisk Kalkyle II E05

Transkript

1 Forelæsningsnoter til Stokastisk Kalkyle II E5 Svend Erik Graversen August 25 1

2 Indledning. En del af det, jeg vil fortælle jer her i starten, vil være vel kendt, men da det indeholder en lidt anden vinkel på stoffet, end den I kender fra Goran s gennemgang, vil jeg alligevel gøre det. En anden begrundelse er, at vi hermed får opbygget en fælles notation og tilhørende sprogbrug. Alle processer omtalt i det følgende tænkes defineret på et givet filtreret sandsynlighedsfelt Ω, F, F t t, P. Da dette altså tænkes fastholdt, vil vi generelt undlade eksplicit at fremhæve elementerne i Ω, F, F t t, P i notationerne nedenfor, også selvom begreberne eksplicit afhænger af de enkelte bestanddele. F.eks. vil vi kort skrive adapteret, stoptid, lokalisering og martingal i stedet for det mere korrekte F t -adapteret, F t -stoptid, F t -lokalisering og F t, P -martingal. Ligeledes vil vi, da vi udelukkende arbejder med tidsparametermængden [,, kort skrive F t i stedet for F t t og tilsvarende X t i stedet for X t t. Bemærk at vi ikke antager, at F t er P -komplet, idet en sådan antagelse komplicerer målskifte. Vi får brug for forskellige typer adapterede processer samt notation i forbindelse med sådanne. Definition. Previsibilitet En stokastisk proces X t med udfaldsrum S, et polsk rum, siges at være previsibel, hvis afbildningen s, ω X s ω fra R + Ω ind i S er målelig mht. PF., BS, hvor PF. := σ { {} F F F } { ] u, v ] F u < v, F F u }. PF., der kaldes den previsible σ-algebra, er altså frembragt af alle såkaldte elementære previsible mængder, dvs. mængderne { {} F F F og ] u, v ] F u < v, F F u. Previsible processer er specielt adapterede, og omvendt er enhver venstrekontinuert adapteret proces previsibel. Mere generel gælder for enhver reel adapteret proces X t, at X t er previsibel, hvor X t er defineret ved hvis t = X t := lim sup s t, s Q X s hvis t > og lim sup s t, s Q X s er endelig ellers. Bemærk at hvis for givet ω t X t ω har venstre grænseværdier i ethvert punkt t >, så er t X t ω venstrekontinuert, idet der da gælder, at X t ω = lim s t X s ω for alle t >. 2

3 Definition. Progressiv målelighed En stokastisk proces X t med udfaldsrum S, et polsk rum, siges at være progessivt målelig, hvis afbildningen s, ω X s ω fra R + Ω ind i S er målelig mht. PrF., BS, hvor PrF. := {A BR + F A [, t ] Ω B [, t ] F t for alle t}. Progressivt målelige processer er adapterede, og omvendt er enhver højre - eller venstrekontinuert adapteret proces progessivt målelig. Ligeledes er enhver previsibel proces progessivt målelig, idet PF. er indeholdt i PrF.. Da vi hovedsageligt skal studere reelle processer, lader vi i det følgende PR / PrR betegne mængden af hhv. previsible/progressivt målelige reelle processer. For enhver højrekontinuert adapteret reel proces X t definerer X t := X t X t derfor et element i PrR, ofte omtalt som springprocessen hørende til X t. For hvis t X t ω er cadlag, angiver funktionen t X t ω netop springene, idet den er, hvis t X t ω er kontinuert i t, og springet i t, hvis t X t ω er diskontinuert i t. Det er i denne sammenhæng værd at erindre, at en caldlag funktion kun har endelig mange spring større end et vilkårligt tal på ethvert endeligt interval, dvs. alt i alt kun tællelig mange spring. Vi skal ofte arbejde med tilvækster i reelle processer, og for en sådan proces X t indføres notationen Xi, n, t := X i/2 n t X i 1/2 n t i, n 1, dvs. t i 1/2 n Xi, n, t = X t X i 1/2 n i 1/2 n < t i/2 n X i/2 n X i 1/2 n i/2 n < t. For givne t, n og ω er Xi, n, tω altså kun forskellig fra for endelig mange i og Xi, n, t = X t X t, n 1. i 1 Endvidere betegnes med C h procesrummet bestående af de reelle adapterede højrekontinuerte processer. Dvs. en adapteret reel proces X t ligger i C h, hvis og kun hvis t X t ω er højrekontinuert for alle ω Ω. Vi får brug for forskellige P -afhængige delmængder af C h, nemlig C h P := {X t C h P X = = 1 } 3

4 og samt gennemsnit CP := {X t C h t X t ω kontinuert for P -n.a. ω } DP := {X t C h t X t ω cadlag for P -n.a. ω } VP := {X t C h t X t ω voksende for P -n.a. ω }. CP := CP C h P, DP := DP C h P VP := VP C h P, V c P := CP VP og V c P := CP VP. Endvidere indføres BVP :=VP VP tillige med rummene BV c P, BVP og BV c P. Det kan ved hjælp af Proposition 1 nedenfor vises, at BV c P =V c P V c P, BVP =VP VP og BV c P =V c P V c P. Enhver proces X t i BVP er altså højrekontinuert og adapteret samt opfylder, at sup Xi, n, t < P -n.o. for alle t, n i 1 og X t siges at have integrabel variation, hvis E[ sup Xi, n, t ] = sup E[ Xi, n, t ] < for alle t. n n i 1 i 1 Da for ethvert par af dyadisk rationale tal t < s Xi, n, tω Xi, n, sω for alle ω i 1 i 1 og alle n tilstrækkelig stor samt for alle n m Xi, n, tω Xi, m, tω for alle ω og t, i 1 i 1 ses ved brug af Proposition 1, at der findes et element VarX t VP, så at lim Xi, n, t = VarX t i d P n i 1 og for P -n.a. ω og alle t er VarX t ω = den totale variation over intervallet [, t ] af s X s ω X ω. VarX t V c P, hvis X t er P -kontinuert. 4

5 Bemærk at alle de indførte rum pånær C h P er indeholdt i C h P l.b. := {X t C h t X t ω lokalt begrænset P -n.a. ω } Endvidere er de alle tydeligvis stabile under standsning med udvidede stoptider og identiske med de tilhørende lokaliserede rum, hvor for en delmængde H C h stabilitet under standsning betyder og X t H og τ udvidet stoptid X τ t := X τ t H LH := {X t C h τ n lokalisering X τn t H for n 1 }. LH omtales som det lokaliserede rum hørende til H, og elementerne i LH kaldes lokale H-processer. I denne sammenhæng er flg. bemærkninger relevante. 1 H stabil under standsning LH stabil under standsning. 2 H stabil under standsning og et vektorrum LH et vektorrum. 3 H 1 og H 2 stabil under standsning LH 1 H 2 = LH 1 LH 2 4 H stabil under standsning LLH = LH. 1, 2 og 3 overlades til læseren, og da det lokaliserede rum altid indeholder det oprindelige rum, udestår i 4 kun at vise, at ethvert element i LLH ligger i LH. Lad derfor X t LLH være givet. Pr. definition findes der lokaliseringer så at X τn t τ n og S n, k k 1 for n 1, LH n 1 og X. τn S n, k t = X τn S n, k t H n, k 1. Da lim k S n, k = P -n.o. for alle n kan vi for ethvert n vælge et k n n, så at Sæt nu P S n, kn < n 2 n. R n = inf l n S l, k l n 1. For ethvert n er R n en udvidet stoptid og R n R n+1 og R n S n, kn samt P R n < n P S l,kl < n P S l,kl < l 2 l = 2 2 n. l=n l=n l=n Ifølge det første Borel-Cantelli Lemma er R n og dermed også τ n R n en lokalisering, og da X τn Rn t = X τn Rn S n, kn t = X. τn S n, kn R n t for alle n 1 5

6 følger påstand 4, da H er stabil under standsning. Det er i mange sammenhænge nødvendigt at operere med flere sandsynlighedsmål samtidigt, og i forbindelse hermed er flg. begreb vigtigt. Definition. Lad P og Q betegne to sandsynlighedsmål på Ω, F. P siges da lokalt at dominere Q betegnes Q loc P, hvis Q P opfattet som mål på Ω, F t for ethvert t. Lokal ækvivalens defineres tilsvarende og betegnes Q loc P. Implikationen: Q P på F Q loc P, er her oplagt, men P og Q kan være singulære på F selvom Q loc P. Læseren opfordres til at overveje, at ingen af de ovenfor indførte rum ændres ved skift til et lokalt ækvivalent mål Q. Dette gælder ligeledes alle lokaliserede rum, da en følge af udvidede stoptider τ n er en lokalisering mht. P hvis og kun hvis τ n er en lokalisering mht. Q, idet τ n P -n.o. P sup τ n < t = for alle t >. n P inducerer et konvergensbegreb d P på C h ved fastsættelsen. dvs. Xt n d P X t lim sup Xs n X s = i P -mål for alle t. n s t Xt n d P X t lim P sup Xs n X s ɛ = for alle t og ɛ >. n s t d P -konvergens, der omtales som uniform konvergens i P -mål, er metrisk, idet den svarer til konvergens i pseudo metrikken Bemærk at d P X t, Y t := 2 n sup s n X s Y s E[ 1 + sup s n X s Y s ] X t, Y t C h. n=1 d P X t, Y t = X t og Y t P -uskelnelige kort X t P = Y t Konvergensbegrebet, der er sammenfaldende for lokalt ækvivalente sandsynlighedsmål P og Q, harmonerer pænt med den lineære struktur, idet en linearkombination af konvergente følger konvergerer mod den tilsvarende linearkombination af de oprindelige grænseværdier. Eventuelle grænseværdier er entydigt bestemt op til P -uskelnelighed idet Xt n d P X t Xt n X t i P -mål for alle t. Der gælder endog, at X n τ X τ i P -mål for enhver endelig udvidet stoptid τ, og afbildningen X t X τ t 6

7 er endvidere d P -kontinuert for enhver udvidet stoptid τ. Mere præcist gælder at Xt n d P X t X n, τ k t d P X τ k t for alle k for en lokalisering τ k k 1. Bemærk at C h P, CP, DP og VP sammen med herudfra dannede gennemsnit alle er lukkede under d P -konvergens. Dvs. grænseprocessen hørende til en konvergent følge af elementer fra et af rummene ligger igen i det samme rum. Et standardargument baseret på Borel-Cantelli lemmaet viser, at hvis Xt n d P X t så findes der en delfølge n k k 1, så at sup X n k s X s P -n.o. for alle t >. s t Dette sikrer derfor, at de tilhørende springprocesser også konvergerer, f. eks. har vi for X n t, X t DP, at Xt n d P X t X n k d P X t for en delfølge n k k 1. t De indtil nu nævnte egenskaber er mere eller mindre trivielle konsekvenser af definitionen. Derimod er det næste resultat, som viser, at d P -konvergens er fuldstændig, mere indviklet. Påstanden, der spiller en vigtig rolle i det følgende, formuleres u- den bevis, men den interesserede læser kan finde et bevis på side 97 i Stroock og Varadhan s bog: Multidimensional Diffusion Processes. Resultatet er ikke totalt indlysende, idet vi, som allerede tidligere har nævnt, med vilje har undladt at forlange, at det givne filter er P -komplet. Proposition 1 En følge X n t n 1 C h konvergerer i d P, dvs. der findes et element X t C h så at Xt n d P X t, hvis og kun hvis lim P sup Xs n Xs m ɛ = for alle k 1 og ɛ >. m,n s k Fuldstændigheden muliggør, at vi kan definere en proces via lokalisering, thi som en umiddelbar konsekvens af Proposition 1, har vi flg. udsagn. Korollar 1 Hvis X n t n 1 er en følge af elementer i C h, og τ n n 1 er en lokalisering, så at X n+1, τn t P = X n t for alle n 1, så findes der op til P -uskelnelighed præcist et element X t C h så at X τn t P = X n t for alle n 1. Ved nærmere eftersyn af beviset for Proposition 1 ses, at der gælder flg. tillæg omhandlende processer afhængig af en parameter. Korollar 2 Lad for ethvert n 1 og a R Xt n a, n 1 være elementer i C h, så at a, t, ω Xt n a, ω er BR PrF.-målelig og lim P m,n sup Xs n a, Xs m a, ɛ s k 7 = for alle a R, k 1 og ɛ >.

8 Da findes der for alle a R et X t a, C h, så at Xt n a, d P X t a, og a, t, ω X t a, ω er BR PrF.-målelig. Som allerede nævnt sikrer Proposition 1 også, at ethvert element i VP kan opsplittes i en kontinuert og en ren diskontinuert del, dvs. for ethvert A t VP findes der to processer A c t og A d t i VP, så at 1 A t P = A c t + A d t og 2 A c t V c P og A d t = s t A s t > P -n.o. Ideen i beviset, som overlades til læseren, er først at bevise påstanden for ethvert af A n t erne, hvor for alle n 1 A n t ω := sup A s ω n t, ω Ω. s t Da A n t erne har lutter voksende og højrekontinuerte udfaldsfunktioner, er dekompositionen her mulig, da der på ethvert endeligt interval kun er endelig mange spring, som er numerisk større end en fast værdi. Den ønskede dekomponering fås derefter ved en d p -grænseovergang. Lad mig afslutte denne indledning med definere to meget vigtige processer nemlig Wiener og Poisson processen. Læg mærke til at begreberne afhænger eksplicit af både P og F t. Definition Wiener processen. En proces W t CP kaldes en Wiener proces med parameter σ 2 >, hvis a W t W s N, σ 2 t s for alle s < t. b F t og σ{w t+u W t u } er uafhængige for alle t. Definition Poisson processen. En proces P t VP kaldes en Poisson proces med parameter λ >, hvis a P t P s poλ t s for alle s < t. b F t og σ{p t+u P t u } er uafhængige for alle t. Som bekendt antager en Poisson proces P t kun ikke-negative heltallige værdier og dens spring er alle af størrelse 1, dvs. P P t N for alle t = 1 og P t > : P t / {, 1} =. 8

9 Martingalteori De delmængder af C h, der blev indført i sidste kapitel, afhang kun af P gennem de tilhørende nulmængder. Martingalrummenne MP og M 2 P er derimod i høj grad målafhængige. MP hhv. M 2 P betegner her de processer i C h, som er martingaler hhv. kvadratisk integrable martingaler. Procesrummene MP, M c P og M c P og tilsvarende MP 2, M 2 cp og M 2 cp defineres herudfra på naturlig måde. Alle er vektorrum, som er stabile under standsning, men modsat tidligere er de tilhørende lokaliserede rum, som også er vektorrum og stabile under standsning, generelt meget større. Bemærk endvidere at Martingal Modifikationssætningen sikrer inklusionen MP DP. Da teorien om martingaler for en stor del er kendt stof, vil vi nøjes med at formulere og delvis bevise flg. tre udsagn, som vi ofte vil gøre brug af i det følgende. Af overskuelighedsgrunde vil i dette og kommende afsnit for ethvert X t C h lade X t betegne maksimumsprocessen Bemærk at X t VP. Xt := sup X s for t. s t Proposition 2 Doob s Ulighed For ethvert X t MP og ethvert t og λ > er og derfor P X t λ 1/λ E[ X t, X t λ ] 1/λ E[ X t ], E[X p p t ] p 1 p E[ X t p ] for alle p > 1. Proposition 3 Lenglart s Ulighed Lad X t C h P og < X > t V c P være givet, så at X 2 t < X > t LMP. Da gælder med notation som i Doob s Ulighed for alle positive t, δ og λ, at P X t λ E[δ < X > t ]/λ 2 + P < X > t δ δ λ 2 + P < X > t δ specielt er P X t < = 1 for alle t. For ethvert p, 2 gælder derfor, at E[X p t ] 4 p E[< X >p/2 t ]. 2 p Korollar 3 Hvis X t yderligere er P -kontinuert, gælder også omvendt P < X > 1/2 t λ E[δ X 2 t ]/λ 2 + P X 2 t δ for alle t, δ og λ, og dermed for alle p, 2 E[< X > p/2 t ] 4 p 2 p E[X p t ]. 9

10 Proposition 4 Ethvert element X t LM c P BV c P er konstant, dvs. P X t = X 1. Mere generelt gælder, at hvis X t BV c P er submartingal, så er X t en P -voksende, dvs. X t V c P. Da beviset for Doob s Ulighed er vel kendt, bevises kun propositionerne 3 og 4. De anførte momentuligheder er konsekvenser af flg. generelle resultater for ikke-negative stokastiske variable. Beviserne findes i Appendiks 1. Momentuligheder. For ikke-negative stokastiske variable X og Y gælder a Hvis λ P X λ E[Y, X λ] for λ > er E[X p p ] p 1 p E[Y p ] for p > 1. b Hvis P X λ 1/λ E[λ Y ] + P Y λ for λ > er E[X p ] 2 p 1 p E[Y p ] for < p < 1. Bevis for Proposition 3. Da C h P og V c P er stabil under standsning, viser et simpelt lokaliseringsargument, at det er nok at betragte tilfældet, hvor X 2 t < X > t MP. Vi behøver endvidere kun vise den første ulighed, og da højresiden heri er en kontinuert funktion af λ, er det nok at vise uligheden, hvor vi på venstre side erstatter λ med > λ. Lad derfor positive tal t, λ og δ være givet. Definer τ λ := inf{s > X s > λ} og S δ := inf{s > < X > s > δ}. τ λ og S δ er da vel definerede udvidede stoptider, og der gælder P X t > λ = P X t > λ, < X > t < δ + P X t > λ, < X > t δ P X t > λ, < X > t < δ + P < X > t δ. Benyttes nu, at X t er højrekontinuert og < X > t P -kontinuert, fås endvidere ved brug af Optional Sampling, at P X t > λ, < X > t < δ E[ X τ λ λ, X t > λ, < X > t < δ ] λ 2 E[ X 2 τ λ t S δ, X t > λ, < X > t < δ ] λ 2 E[ X 2 τ λ t S δ ] = λ 2 E[ < X > τλ t S δ ] λ 2 E[ δ < X > t ] δ/λ 2. Hvilket alt i alt er de søgte uligheder. 1

11 Bevis for Korollar 3. I det netop gennemførte bevis anvendtes Optional Sampling Sætningen på martingalen X 2 t < X > t og den begrænsede stoptid τ λ t S δ, dvs. ligheden E[X 2 τ λ t S δ < X > τλ t S δ ] = eller ækvivalent E[X 2 τ λ t S δ ] = E[< X > τλ t S δ ]. For beviset er det ikke afgørende, at der gælder =, idet er nok, og da t Xt en ikke-negativ P -kontinuert voksende proces, samt er E[ < X > τ 2 ] = E[< X > τ ] = E[X 2 τ ] E[X 2 τ ] for enhver begænset udvidet stoptid τ, kan man i det P -kontinuerte tilfælde derfor tilsvarende vise, at for alle positive t, λ og δ. P < X > t λ λ 2 E[ δ X 2 t ] + P X 2 t δ. Bevis for Proposition 4. Lad X t LM c P BV c P være givet. Da X t X er element i det samme procesrum, kan og vil vi antage, at X t er i og er på formen A t B t, hvor A t og B t er elementer i V c P. Sæt for n 1 τ n = inf{t > A t + B t > n}. τ n erne er da udvidede stoptider, og Xt τn erne, der hermed er uniformt begrænsede, er derfor elementer i M 2 cp. For alle t, k og n gælder nu i X τn i, k, t 2 sup X τn i, k, t i i X τn i, k, t sup X τn i, k, t i i A τn i, k, t + B τn i, k, t sup X τn i, k, t A τn t i + B τn t n sup X τn i, k, t. i P -kontinuiteten sikrer derfor, at lim k i Xτn i, k, t 2 = P -n.o. Men da martingalegenskaben bevirker, at E[X 2 t τ n ] = E[ i X τn i, k, t 2 ] for alle k, fås ved brug af Doob s ulighed og Lebesgue s sætning, at X t τn = P -n.o. for alle n og dermed X t = P -n.o., da τ n P -n.o. Lad os dernæst vise bemærkningen. Det er klart nok at vise, at P X t X s = 1 for ethvert par af dyadisk rationale tal t < s. Lad derfor et sådant par være givet. 11

12 Som ovenfor kan vi antage, at processen er i og uniformt begrænset specielt kvadratisk integrabel. Resultatet vil derfor være vist, hvis og tilsvarende S n t := i 1 E[ Xi, n, t F i 1 2 n t ] n X t i L 2 S n s := i 1 E[ Xi, n, s F i 1 2 n s ] n X s i L 2. For da t < s og begge er dyadisk rationale, er summen svarende til t en delsum i summen hørende til s for tilstrækkeligt store n, dvs. E[ Xi, n, t F i 1 2 n t ] E[ Xi, n, s F i 1 2 n t ] P -n.o. i 1 i 1 for n stor, da leddene ifølge submartingal egenskaben er ikke negative. Hvad angår L 2 -konvergensen har vi for alle n 1 2 E[ X t S n t 2 ] = E[ Xi, n, t E[ Xi, n, t F i 1 2 n t ] ] i 1 = i 1 E[ Xi, n, t E[ Xi, n, t F i 1 2 n t ] 2 ] = E[ Xi, n, t 2 E[ Xi, n, t F i 1 2 n t ]2 ] E[ Xi, n, t 2 ]. i 1 i 1 Men som vist ovenfor, konvergerer denne sum imod, og da det tilsvarende gælder for s, er bemærknigen vist. Doob s Ulighed viser at det er interessant at udstyre M 2 P med den såkaldte d 2 P - konvergens, hvor for elementer M n t n 1 og M t i M 2 P M n t M t i d 2 P hvis og kun hvis lim n E[ M n t M t 2 ] = for alle t >. Doob s Ulighed viser, at d 2 P -konvergens medfører d P -konvergens, samt at M 2 P er d 2 P -fuldstændig i flg. forstand: Hvis lim E[ M t n Mt m 2 ] = for alle t > for Mt n n 1 M 2 P, n,m så findes der et M t M 2 P, så at M n t M t i d 2 P. Resultatet ses ved at observere, at Doob s Ulighed sikrer, at M n t n 1 er Cauchy i d P. Ifølge Proposition 1 har M n t n 1 derfor en grænseværdi M t C h, dvs. specielt M n t M t i P -mål for alle t >. Konvergensen derfor også i L 2, hvorefter det er let at vise, at M t M 2 P og at M n t M t i d 2 P. 12

13 Proposition 4 viser, at der til et X t i M 2 P op til P -uskelnelighed højst findes et element < X > t i V c P, så at X 2 t < X > t MP entydigheden retfærdiggør notationen. Med baggrund heri indføres M 2 P := {X t M 2 P < X > t V c P : X 2 t < X > t MP }. En simpel øvelse viser, at enhver Wiener proces W t ligger i M 2 P tillige med enhver proces af formen P t λt, hvor P t er en Poisson proces med parameter λ. Men M 2 P udgør normalt ikke hele M 2 P, dog omfatter den altid M 2 cp. Da M 2 P, V c P og MP er stabil under standsning gælder dette også for M 2 P. Mere præcist gælder for enhver udvidet stoptid τ og ethvert X t i M 2 P, at X τ t M 2 P og < X τ > t P = < X > t τ. Sammen med Proposition 1 viser dette derfor, at M 2 P L M 2 P = mere generelt, at M 2 P og L M 2 P = {X t LM 2 P < X > t V c P : X 2 t < X > t LMP }. Ifølge Lenglart s Ulighed findes der derfor for ethvert p, 2 to universalkonstanter c p og C p kun afhængig af p, så at c p E[< X > p/2 t ] E[ sup X s p ] C p E[< X > p/2 t ] for alle t > s t og alle X t i L M 2 cp med tilhørende voksende proces < X > t. Den højre ulighed forudsætter ikke P -kontinuitet. Som nævnt ovenfor udgør M 2 P normalt ikke hele M 2 P, og spørgsmålet om, hvorvidt et givent element X t i M 2 P ligger i M 2 P eller ej, viser sig at være sig at være et spørgsmål om forudsigeligheden af springene i X t. Der gælder nemlig flg. udsagn. Et X t i M 2 P ligger i M 2 P, hvis og kun hvis der for enhver udvidet stoptid τ gælder X τ 1 {τn<τ for alle n} = P -n.o. for enhver følge τ n af udvidede stoptider, så at τ n τ P -n.o. Da hvis-delen kræver et stort arsenal af generel teori, nøjes vi her med at vise kun hvis -delen. Lad hertil τ og τ n være givet, så at τ n τ P -n.o. Ved at se på τ t og τ n t for t > ses, at vi uden tab af generalitet kan antage, at τ er begrænset. Da X t, som tidligere nævnt, ligger i DP, har vi X τ 1 {τn<τ for alle n} = lim n X τ X τn 1 {τn<τ for alle n} P -n.o. og ifølge Fatou s Lemma derfor E[ X τ 2 1 {τn<τ for alle n} ] lim inf n 13 E[X τ X τn 2 ].

14 Men Optional Sampling anvendt på martingalen X 2 t < X > t og de begrænsede stoptider τ n τ viser, at E[X τ X τn 2 ] = E[X 2 τ ] E[X 2 τ n ] = E[< X > τ ] E[< X > τn ] for alle n 1, hvoraf resultatet følger ved brug af Monoton konvergens. LMP er generelt meget større end MP, og spørgsmålet om, hvornår en given lokal martingal er en martingal, er normalt vanskeligt at besvare. Men der gælder dog flg. to resultater. Lemma 1 For et givet M t LMP gælder implikationen E[ M t ] < t > M t MP. Bevis. Lad M t LMP opfyldende betingelsen være givet. Pr. definition findes der da en lokalisering τ n, så at Mt τn MP for alle n. Men da M τn t M t P -n.o. for alle t og dermed ifølge antagelsen og Lebesgue s Sætning også i L 1, følger konklusionen umiddelbart af den vel kendte implikation X n X i L 1 E[X n, B] E[X, B] B F. Lemma 2 Enhver ikke negativ lokal martingal er en supermartingal. Dvs. et element M t i LMP + er en martingal, hvis og kun hvis E[M t ] = E[M ] for alle t >. Bevis. Lad M t LMP + være givet og lad τ n betegne en lokalisering, så at Mt τn er en martingal for alle n. Da fås af Fatou s Lemma, at E[M t ] lim inf n M τn t M t P -n.o. for alle t > E[Mt τn ] = E[M τn ] = E[M ] < for alle t > og tilsvarende af Fatou s Lemma for betingede middelværdier, at E[M t F s ] lim inf n E[M τn t F s ] = lim inf n M τn s = M s for alle s < t. Dvs. M t er en supermartingal og dermed en martingal, hvis og kun hvis den har konstant middelværdi. Ud fra Lemma 1 og Doob s Ulighed kan man nu vise, at for ethvert X t L M 2 P med tilhørende voksende proces < X > t V c P gælder og X t M 2 P E[< X > t ] < for alle t > E[< X > t ] E[X t 2 ] 4 E[< X > t ] for alle t > Lad mig afslutte kapitlet om martingaler med at nævne flg. simple, men dog nyttige resultat. 14

15 Lemma 3 Et givet X t CP er en martingal, hvis og kun hvis for alle begrænsede udvidede stoptider S. X S L 1 og E[X S ] = Bevis. kun hvis er en umiddelbar konsekvens af Optional Sampling. Ved først at bruge antagelsen på konstante S ses, at X t erne er integrable med middelværdi. Martingalegenskaben følger nu let ved for givne s < t og A F s at udnytte antagelsen på S := s 1 A + t 1 A c. 15

16 Appendiks 1. Lad i det følgende X og Y betegne to ikke-negative stokastiske variable defineret på et sandsynlighedsfelt Ω, F, P. Vi skal i dette appendiks deducere forskellige momentuligheder ud fra fordelingsuligheder. Vi starter med et resultat, som bruges i Doob s ulighed. Resultat 1 For alle p > 1 gælder implikationen t P X t E[Y, X t] t > E[X p p ] p 1 p E[Y p ]. Bevis. Lad p > 1 være givet, og antag at fordelingsuligheden holder. Da X n for ethvert n ligeledes opfylder uligheden, kan og vil vi antage, at X er begrænset. Integreres på begge sider med p t p 1 dt fås ved brug af Tonelli s sætning, at E[X p ] = P X t p t p 1 dt E[Y X Men ifølge Hölder s ulighed er p t p 2 dt] = E[Y, X t] p t p 2 dt = p p 1 E[Y Xp 1 ]. E[Y X p 1 ] E[Y p ] 1/p P [X p ] p 1 p, og indsættes dette fås ved forkortning, da E[X p ] er endelig, at E[X p p ] p 1 p E[Y p ]. Det generelle tilfælde følger nu ved brug af monoton konvergens. Beviset udnytter eksplicit at p > 1, og modeksempler viser også, at resultatet ikke holder for p = 1. Men for fuldstændigheden skyld vises, at den samme fordelingsulighed sikrer implikationen. Resultat 2 Bevis. Ifølge antagelserne er og dermed E[Y log + Y ] < E[X] <. 2t P X 2t E[Y, X 2t] E[Y, Y t, X 2t]+ E[Y, Y > t, X 2t] t P X 2t + E[Y, Y > t], P X 2t 1/t E[Y, Y > t] for alle t >. Integreres denne ulighed fra 1 til med dt fås ved brug af Tonelli s sætning 1 P X 2t dt 1 E[Y, Y > t]/t dt E[Y log Y 1] = E[Y log + Y ], 16

17 hvoraf påstanden følger, da E[X] = P X t dt P X t dt = P X 2t dt. En variant af Resultat 1, som dog holder for alle p 1, er indeholdt i flg. implikation. Resultat 3 E[X, X t] E[Y + t, X t] for alle t > E[X p ] p p E[Y p ]. Bevis. Tilfældet p = 1 følger umiddelbart ved at lade t på begge sider i de givne sæt af betingelser. For at klare tilfældet p > 1 lader vi r > være givet. På samme vis som ovenfor kan og vil vi antage, at X er begrænset. Integreres uligheden på begge sider med r t r 1 dt fås via Tonelli s sætning, at 1/r 1/r + 1 E[X r+1 ] 1/r E[Y X r ], og derfor ifølge Hölder s ulighed brugt på r + 1 og dets konjugerede r + 1/r, at 1 r + 1 E[Xr+1 ] E[X r+1 ] r r+1 E[Y r+1 ] 1 p+1. Den ønskede ulighed følger nu igen ved forkortning. Til slut vises momentuligheden, som bruges sammen med Lenglart s ulighed. Resultat 4 For alle < p < 1 gælder implikationen P X t 1/t E[t Y ] + P Y t t > E[X p ] 2 p 1 p E[Y p ]. Bevis. Lad < p < 1 være givet. Ved brug af Tonelli s sætning fås som før E[X p ] = = E[ Y P X t p t p 1 dt E[t Y ] p t p 2 dt + p t p 1 dt + Y Y P Y t p t p 1 dt p t p 2 dt] + E[Y p ] = E[Y p ] + p 1 p E[Y p ] + E[Y p ] = 2 p 1 p E[Y p ]. 17

18 Stokastisk integration A. Vi vil nu indføre begrebet en stokastisk integrator eller retteligt en F t, P -stokastisk integrator. Med baggrund i integralteori på R + og det faktum at vi ønsker at tænke på et stokastisk integral som en afbildning, som til visse integrantprocesser tilordner en integralproces på lineær og kontinuert vis alle disse begreber kan og vil afhænge af P forekommer nedenstående definition naturlig. I formuleringen gøres brug af flg. notation. Notation. H PrR kaldes en D-mængde, hvis i H er et vektorrum, som er stabil under punktvis max og min dannelse, og indeholder EF., hvor EF. := span {Z 1 {}, Y 1 ] a,b ] a < b og Z bmf, Y bmf a }. ii H er stabil under lokalt domineret punktvis konvergens, dvs. hvis Z n t og Y n t er to følger af elementer i H, så at lim n Z n t ω eksisterer for alle ω og alle t samt for ethvert m 1 og ethvert ω opfylder Z n t ω Y m t ω for alle t [, m] og alle n, så er Z t H, hvor Z t ω := lim n Z n t ω for alle ω og alle t. Ud fra definitionen ses umiddelbart, at et vilkårligt gennemsnit af D-mængder igen er en D-mængde, samt at PR u.l.b. er en D-mængde, som er indeholdt i enhver anden D-mængde. Med lidt mere arbejde kan man vise, at også LPR u.l.b. PR er en D-mængde. Det er oplagt kun punkt ii, der volder kvaler. Men hvis processer Z n t og Y n t i LPR u.l.b. PR, er valgt, så at de opfylder betingelserne i punkt ii, så er Z t previsibel og Z t 1 [[,τn]]t PR u.l.b. for alle n 1, hvor med τ Y k τ n := inf k n τ Y k k for alle n 1 værende en udvidet stoptid valgt så at P τ Y k < k < 2 k og Y k t 1 [[,τ Y k ]]t PR u.l.b. for alle k 1. Definition En proces X t C h kaldes en P -integrator, hvis der findes en afbildning IP X med definitionsområde DIX P, så at 1 DIP X er en D-mængde, og IX P er P -lineær med værdier i C h. 2 I X P er en P -udvidelse af det simple integral IX, EF., dvs. den lineære afbildning af EF. ind i C h, som er bestemt ved I X Z 1 {} t = Z X og I X Y 1 ] a,b ] t = Y X b t X a t, 18

19 hvor Z bmf, Y bmf a og a < b. 3 Hvis Zt n DIP X konvergerer lokalt domineret punktvis mod et Z t i DIP X, så konvergerer IP X P Z. n t d P IP X Z. t for n. I X P, DX P kaldes i givet fald et P -stokastisk integral mht. X t. I overensstemmelse med den vedtagne konvention skrives fremover integrator / stokastisk integral i stedet for P -integrator / P -stokastisk integral, hvis ikke det er vigtigt at fremhæve P. Hvis integratoren X t ligger i C h P, kræver man også, at de tilhørende integralprocesser ligger i C h P. Det er i det hele taget nok at se på integratorer i C h P. For er I X P, DIX P er integral mht. X t, så er I X P Z. t := I X P Z. t I X P Z. Z t DI X P et integral mht. X t := X t X ; og er I X P, DI X P et integral mht. X t, så er I X P Z. := Z X + I X P Z. Z t DI X P et integral mht. X t. Dvs. X t er en integrator, hvis og kun hvis X t er en integrator. Til en given integrator kan der knyttes flere integraler defineret på forskellige delmængder af PrR. Men de har alle en fælles kerne, for ifølge et Monotont klasse argument er de alle definerede og identiske på PR u.l.b.. Men man kan endda sige lidt mere, for er IP X, DIX P og ĨX P, DĨX P to stokastiske integraler mht. til en integrator X t, så gælder I X P Z. t P = ĨX P Z. t for alle Z t DI X P DĨX P LPR u.l.b., hvis begge integraler identificerer P -uskelnelige integranter, dvs. definitionsmængden indeholder hele ækvivalensklasser af P -uskelnelige processer, samt tilordner samme integralproces til P -uskelnelige integranter. Bevis. Lad Z t DI X P DĨX P LPR u.l.b. være givet. Pr, definition findes der derfor en lokalisering τ n, så at og dermed Men da Z t 1 [[,τn]]t PR u.l.b. for alle n 1, I X P Z. 1 [[,τn]] t P = ĨX P Z. 1 [[,τn]] t for alle n 1. Z t 1 [[,τn]]t n 1 konvergerer punktvis lokalt domineret i både DIP X og DĨX P mod en proces, som er uskelnelig fra Z t, følger påstanden umiddelbart af antagelsen og integralernes kontinuitet. 19

20 Inden vi går i gang med det egentlige arbejde, der består i at bestemme processer eller rettere procestyper, som er integratorer, samt studere de tilhørende integraler, udnyttes ovenstående måske lidt abstrakte definition til at formulere interessante og vigtige påstande angående integratorer og integration. Udsagnene er i det store hele umiddelbare konsekvenser af definitionen, og beviserne overlades for en stor del til læseren. A Mængden af integratorer er et vektorum. Dvs. hvis X t og Y t er integratorer med tilhørende integraler I X P, DIX P og IY P, DIY P, så er ax t + by t en integrator for alle reelle tal a og b, og et tilhørende integral er givet ved ai X P + bi Y P, DI X P DI Y P. B Mængden af integratorer er stabil under lokalt ækvivalent målskifte. Dvs. hvis X t er en P -integrator med tilhørende P -integral IP X, DIX P, og Q er et andet sandsynlighesmål, som er lokalt domineret af P, så er X t også en Q-integrator, og afbildningen IP X, DIX P er et Q-integral mht. X t. C Mængden af integratorer er stabil under standsning. Dvs. hvis X t er en integrator med tilhørende integral I X P, DIX P og τ en udvidet stoptid, så er Xτ t også en integrator, og et tilhørende integral er givet ved Z t I X P Z. τ t for Z t DI X P. Kombineres C med Korollar 1 ovenfor fås yderligere. D Lad X t C h være givet, så at Xt n := Xt τn er en integrator med tilhørende integral I Xn P, DI Xn P for en lokalisering τ n. Da er X t en integrator med et tilhørende integral IP X, DIX P specificeret ved DI X P := PR u.l.b. og IP X Z. τn t = IP Xn Z. t n 1 for Z t DIP X. Bevis. Ifølge C er I Xn+1 P Z. τn t = P IP Xn Z. t for alle n 1 og alle Z t DIP X. Korollar 1 sikrer derfor, at IX P Z. t er vel defineret, og resten følger nu af definitionen på en stokastisk integrator og egenskaberne ved d P -konvergens. E For enhver integrator X t og tilhørende integral IP X, DIX P konvergerer Z X + i 1 Z i 1/2 n Xi, n, t d P I X P Z. t for n. hvis Z t er uniformt lokalt begrænset og venstrekontinuert. Specielt gælder derfor, at I X P Z. t P = Z X τ2 t X τ1 t, hvis Z t = Z 1 ]]τ1,τ 2 ]]t for udvidede stoptider τ 1 τ 2 og Z bmf τ1 +. 2

21 Bevis. Den første formel følger umiddelbart af egenskaber ved integralet, da følgen af simple previsible processer n2 n Z 1 {} t + Z i 1/2 n 1 ] i 1/2 n,i/2 n ]t n 1 i=1 konvergerer punktvis lokal domineret mod Z t, som er element i PR u.l.b.. Den anden fås ved at bemærke, at for n tilstrækkelig stor er for ethvert ω {τ 1 < τ 2 } og ethvert t > Z X + i 1 Z i 1/2 n Xi, n, t ω = Zω X t i2 /2 nω X t i 1 /2 nω hvor i 1, i 2 1 er bestemt ved i 1 1/2 n τ 1 ω < i 1 /2 n i 2 1/2 n τ 2 ω < i 2 /2 n. Da der for enhver udvidet stoptid τ gælder, at Z 1 {} t 1 [[,τ]] t = Z 1 {} t og Y 1 ] a,b ] t 1 [[,τ]] t = Y 1 {τ a} 1 [[a,b τ]] t for a < b samt Z bmf og Y bmf a }, fås ved linearitet ud fra E, at I X P Z. 1 [[,τ]] t P = I X P Z. τ t for enhver udvidet stoptid τ og ethvert Z t EF. og dermed også for ethvert Z t PR u.l.b. ifølge et Monotont klasse argument. Alt i alt flg. resultat. F For enhver integrator X t og tilhørende integral IP X, DIX P er I X P Z. 1 [[,τ]] t P = I X P Z. τ t for enhver udvidet stoptid τ og ethvert Z t PR u.l.b.. Bemærkning. Approksimationer af samme type, som dem der blev anvendt nederst side 19, viser, at hvis IP X, DIX P identificerer P -uskelnelige integranter, så gælder formlen i F også for alle Z t DIP X LPR u.l.b.. Ud fra F kan man også vise, at for enhver stokastisk integrator X t, hvis integral identificerer P -uskelnelige elementer i PR u.l.b., findes der et kanonisk integral I X P på LPR u.l.b. givet ved I X P Z. t = lim n I X P Z. 1 [[,τn]] t, hvor grænseovergangen sker i d p, og τ n er en lokalisering, så at Z t 1 [[,τn]]t PR u.l.b. for alle n 1. Integralet identificerer P -uskelnelige elementer og opfylder F. 21

22 Beviset, der i det store hele overlades til læseren, består først og fremmest i at få vist, at grænseværdien eksisterer og er uafhængig af den valgte lokalisering. Men for Z t og τ n valgt som ovenfor fås af F, at I X P Z. 1 [[,τn]] t P = I X P Z. 1 [[,τn+1 ]] 1 [[,τn]] t P = I X P Z. 1 [[,τn+1 ]] τn t for alle n, hvilket ifølge Korollar 1 sikrer eksistensen af grænseværdien. Er endvidere S n en anden lokalisering med samme egenskab gælder ifølge integralets kontinuitet samt F, at I X P Z. 1 [[,Sk ]] t P = lim n I X P Z. 1 [[,Sk ]] 1 [[,τn]] t P = lim n I X P Z. 1 [[,τn]] S k t P = I X P Z. S k t for alle k, hvilket viser uafhængigheden af den valgte lokalisering. 22

23 Stokastisk integration B. For bedre at forstå konstruktionen af de to hovedtyper af stokastiske integraler indføres yderligere lidt notation hørende til et A t VP. Definer for Y t P rr + og t hvor ω L.S. Y s da s ω = Y s ω da s ω ω V A t ω / V A t, V A t = {ω s A s ω er voksende i [, t] }. L.S. notationen er valgt for at understrege tilknytningen til Lebesgue-Stieltjes integralet. Da V A t F t er den herved definerede variabel F t -målelig med værdier i R + { }. Herudfra defineres og dvs. L 1 A., P := {Y t P rr L.S. L 2 A., P := {Y t P rr L.S. Y s da s < P -n.o. for alle t} Y 2 s da s < P -n.o. for alle t}, Y t L 2 A., P Y 2 t L 1 A., P. I det vigtige specialtilfælde, hvor A t er den deterministiske proces t, benyttes specialbetegnelserne L 1 λ, P og L 2 λ, P. Til senere brug udvides ovenstående L.S.-variabel til hele L 1 A., P via fastsættelsen L.S. Y s + da s L.S. Ys da s hvis L.S. Y s da s < L.S. Y s da s := ellers. En simpel overvejelse viser inklusionen PrR l.b. L 2 A., P L 1 A., P, og at de to L-rum er D-mængder, som yderligere er stabile under multiplikation med processer i PrR l.b.. Disse egenskaber holder også for de for os mere interessante rum L 1 E, A., P og L 2 E, A., P, hvor L 1 E, A., P betegner de elementer Y t i L 1 A., P, for hvilke der findes en følge Yt n EF., så at L.S. Y s Y n s da s n i P -mål for alle t. 23

24 og tilsvarende L 2 E, A., P de elementer Z t i L 2 A., P, for hvilke der findes en følge Zt n EF., så at L.S. Z s Z n s 2 da s n i P -mål for alle t. Bemærk at en anvendelse af trekantsuligheden hhv. Cauchy-Schwarz s Ulighed viser, at hvis hhv. så gælder hhv. L.S. L.S. L.S. L.S. Y s Y n s da s n i P -mål for alle t. Z s Z n s 2 da s n i P -mål for alle t. Y n s da s n L.S. Z n s 2 da s n L.S. Y s da s i P -mål for alle t Z 2 s da s i P -mål for alle t. Det næste resultat omhandler størrelsen af L 1 E, A., P og L 2 E, A., P. Proposition 5 L 1 E, A., P / L 2 E, A., P indeholder begge alle previsible samt alle P -venstrekontinuerte elementer i L 1 A., P / L 2 A., P, og hvis A t V c P er L 1 E, A., P = L 1 A., P og L 2 E, A., P = L 2 A., P. Udsagnet vedrørende de previsible elementer følger af det Monotone klasse lemma, og hvad angår de P -venstrekontinuerte processer, er der tale om en anvendelse af Lebesgue s Sætning. Derimod er identiteterne mere komplicerede, og læseren henvises til Lemma 5.4 på side 185 i R. Sh. Liptser og A.N.Shiryaev s bog Stochastics of Random Processes. Tilfældet A t = t følger det dog ved et simpelt approksimerende kerne -argument. Bemærk at fuldstændigheden af L 2 -rummet hørende til målrummet hvor for t > sikrer, at hvis µ t B = E[ L.S. [, t ] Ω, B[, t ] F t, µ t, 1 B s, da s ] B B[, t ] F t, lim E[ L.S. Zs n Zs m 2 da s ] = for Zt n n 1 L 2 A., P, n,m så findes der et Z t L 2 A., P, så at E[ L.S. Z n s Z s 2 da s ] for alle t >. 24

25 Stokastisk integration C. Vi er nu klar til at vise, at ethvert element i VP og i M 2 P er en integrator, samt at konstruere de dertil hørende kanoniske integraler. Ifølge påstandene A, C og D på side 2 er alle processer af typen BVP + L M 2 P derfor også integratorer. Lad først A t VP være givet. Da I A Y. t og L.S. Y s da s er P -uskelnelige for alle Y t EF., gælder for ethvert par af processer Y t, Z t EF. P sup I A Y. s I A Z. s ɛ = P sup I A Y. Z. s ɛ s k s k = P sup I A Y. Z. s ɛ = P sup L.S. s Qk s Qk P sup L.S. s Qk s s Y u Z u da u ɛ P L.S. k Y u Z u da u ɛ Y s Z s da s ɛ for alle k 1 og ɛ >, hvor Qk = [, k ] Q. Proposition 1 sikrer derfor, at lim n I A Y n. t eksisterer i d p for ethvert Y t L 1 E, A., P og enhver følge Yt n EF. så at L.S. Y s Y n s da s n i mål for alle t. Eksistensen af grænseværdien for enhver approksimerende følge viser, at grænseværdien ikke afhænger af den eksplicitte valgte approksimerende følge. Vi kan derfor definere en afbildning IP A fra L1 E, A., P ind i C h P ved fastsættelsen hvor Yt n EF. er valgt så at L.S. I A P Y. t := lim n I A Y n. t i d p, Y s Y n s da s n i mål for alle t. Da I A er lineær, bliver IP A tydeligvis P -lineær. Tidligere overvejelser viser, at hvis Y t L 1 E, A., P er P -venstrekontinuert kan Yt n EF. vælges således, at der findes en delfølge n k k 1, så at I A P Y. t = lim k I A Y n k. t = lim k Y n k t A t i d p 25

26 og dermed Endvidere er hvilket sikrer uligheden I A P Y. t P = Y t A t. L.S. Y s da s P = I A P Y. t, P sup IP A Y. s IP A Z. s ɛ P L.S. s t Y s Z s da s ɛ for alle t, ɛ > og alle Y t, Z t L 1 E, A., P. Ved brug heraf ses nu let, at I A P, L1 E, A., P er et stokastisk integral mht. A t. Det netop konstruerede integral mht. til et element i VP kaldes det kanoniske integral, og det er altid det, man har i tankerne, når vi taler om et stokastisk integral mht. en proces i VP. Som det fremgår af definitionen, er integralet op til uskelnelighed et punktvis Lebesgue-Stieltjes integral. Denne egenskab sikrer udover ekstra kontinuitetsegenskaber, at alle integralprocesserne er elementer i BVP. For integralprocessen hørende til en ikke-negativ integrant er tydeligvis P -n.o. voksende, dvs. element i VP, hvoraf resten følger ved linearitet. Vi samler det viste i en sætning, hvor vi i følge sædvane i stedet for IP AY. t skriver Y s da s Sætning 1 Ethvert A t i VP er en integrator, og det tilhørende kanoniske integral defineret på L 1 E, A., P har flg. egenskaber, hvor Y t og Yt n betegner elementer i L 1 E, A., P og τ en udvidet stoptid. a b Y s da s BVP BV c P hvis A t V c P. Y s da s og L.S. Y s da s er P -uskelnelige, og integralprocesserne hørende til Yt n konvergerer i d P -forstand mod integralprocessen hørende til Y t, hvis L.S. Y s Y n s da s n i P -mål for alle t. Specielt gælder, hvis Y t er P -kontinuert eller mere generelt P -venstrekontinuert og lokalt begrænset, at d Y i 1/2 n Ai, n, t P n Y s da s og Y s da s = P Y t A t. i 1 26

27 c Y s 1 [[,τ]] da s τ t P = Y s da s Påstand A side 2 giver derfor anledning til flg. korollar. P = Y s da τ s. Korollar 4 Ethvert A t i BVP er en integrator, og idet Y t og Yt n betegner tilladelige integranter gælder a b Y s da s BVP BV c P hvis A t BV c P. Y s da s og L.S. Y s da 1 s L.S. Y s da 2 s er P -uskelnelige, og integralprocessen hørende til Yt n konvergerer i d P -forstand mod integralprocessen hørende til Y t, hvis L.S. Y s Y n s da 1 s + A 2 s n i P -mål for alle t, hvor A i t VP for i = 1, 2 er valgt, så at A t = A 1 t A 2 t. Heraf fås specielt stoptidskalkylereglen, dvs. punkt c i Sætning 1, samt at d Y i 1/2 n Ai, n, t P n Y s da s og Y s da s = P Y t A t, i 1 hvis Y t er kontinuert eller mere generelt P -venstrekontinuert og lokalt begrænset. Hvis A t BVP MP og har integrabel variation, og Y t er P -venstrekontinuert og uniformt lokalt begrænset, er integralprocessen element i MP. Bevis. Kun martingaludsagnet er nyt. Men dette fås ved at observere, at antagelserne sikrer, at for alle n er i 1 Y i 1/2 n Ai, n, t MP og Y i 1/2 n Ai, n, t i 1 Y s da s i L 1 for alle t >. Integralprocesserne er altså igen integratorer, og sammenhængen mellem det oprindelige integral og integralet mht. en integralproces er derfor af interesse. I denne forbindelse er flg. resultat næsten oplagt. Proposition 6 Lad A t BVP og en tilhørende integrantproces Y t være givet. Afbildningen Z t Z s Y s da s, defineret for de progressivt målelige processer Z t for hvilke Z t Y t er en integrantproces for A t, er da et stokastisk integral hørende til integralprocessen Y s da s. 27

28 Lad nu i stedet X t M 2 P være givet. Skønt situationen her er helt anderledes, da udfaldsfunktionerne ikke nødvendigvis er af begrænset variation, er ideen i beviset den samme. Blot tager vi nu udgangspunkt i flg. egenskab ved det simple integral I X, EF.. Resultatet, hvis bevis overlades til læseren, udnytter ikke, at < X > t er P -kontinuert. Proposition 7 For alle Y t i EF. er I X Y. t M 2 P og I X Y. 2 t I <X> Y. 2 t MP, og I X Y. t er P -kontinuert, hvis X t er P -kontinuert. Mere præcist gælder I X Y. t P = Y t X t. Da I <X> Y. 2 t V c P for Y t i EF. fås derfor af Lenglart s Ulighed, at P sup I X Y s I X Z. s λ δλ + P s t 2 L.S. Y s Z s 2 d < X > s δ for alle t, δ, λ > og Y t, Z t EF.. Ud fra denne ulighed og Proposition 1 kan vi nu med samme argumentation som ovenfor definere en P -lineær afbildning IP X fra L 2 < X >., P ind i C h P ved fastsættelsen hvor Yt n EF. er valgt så at L.S. I X P Y. t := lim n I X Y n. t i d p, Y s Y n s 2 d < X > s n i mål for alle t. Ved approksimation med elementer i EF. ses endvidere, at ovenstående ulighed udvider til L 2 < X >., P, dvs. P sup I X Y s I X Z. s λ δλ + P s t 2 L.S. Y s Z s 2 d < X > s δ opfylder derfor kontinui- for alle t, δ, λ >, og alle Y t, Z t L 2 < X >., P. IP X tetsbetingelsen L.S. Y s Y n s 2 d < X > s i mål for t > I X P Y. t = lim n I X Y n. t i d p, for alle Y t og Y n t n 1 elementer i L 2 < X >., P. Specielt gælder at I X P Z 1 {} t P = og I X P Y 1 ] a,b ] t P = Y X b t X a t, hvor Z MF, Y MF a og a < b. Da I X P endvidere er en P -udvidelse af det simple integral, er det alt i alt oplagt, at 28

29 I X P, L2 < X >., P er et stokastisk integral mht. X t. Igen er der tale om et såkaldt kanonisk integral, og idet man normalt skriver HX, P i stedet for L 2 < X >., P, kan det viste med sædvanlig integralnotation formuleres som følger. Sætning 2 I X P, HX, P er et P -stokastisk integral mht. X t, som opfylder. 1 Integralprocesserne er kontinuerte, hvis X t er kontinuert, og mere generelt er hvis Y t HX, P er P -venstrekontinuert. Y s dx s P = Y t X t, 2 Hvis Y t og Yt n er elementer i HX, P så at konvergerer L.S. Y n s Y s 2 d < X > s n i P -mål for alle t, Ys n dx s d P Y s dx s for n. Er specielt Y t P -kontinuert eller mere generelt P -venstrekontinuert og lokalt begrænset, konvergerer d Y i 1/2 n Xi, n, t P Y s dx s for n. i 1 3 For ethvert Y t HX, P og enhver udvidet stoptid τ er τ t P P Y s 1 [[,τ]] s dx s = Y s dx s = Y s dxs τ. Bevisskitse. 2 følger umiddelbart af, og da de simple integraler er P -kontinuerte, hvis X t er P -kontinuert, fås P -kontinuiteten i 1, da CP er lukket under d p - konvergens. Hvad angår formlerne i 1 og 3 indses først, at de gælder for simple processer, hvorefter det generelle følger ved grænseovergang. Men vi kan sige mere om integralprocesserne. For da < X > t er en integrabel proces, findes der for ethvert Y t H 2 X, P, hvor H 2 X, P = {Y t HX, P E[ L.S. en følge Y n t EF., så at Y 2 s d < X > s ] < for alle t}. lim E[ L.S. Y s Ys n 2 d < X > s ] = for alle t. n 29

30 og dermed samt lim E[ L.S. Y 2 d < X > s L.S. n lim E[ L.S. Ys n m,n Men ifølge Proposition 7 er E[I X Y. n 2 t ] = E[ L.S. for alle n, og der må derfor gælde, at Y n s 2 d < X > s ] = Y m s 2 d < X > s ] = for alle t. Y n s 2 d < X > s ] I X Y. n t n Y s dx s i L 2 for alle t, for alle t hvilket alt i alt giver anledning til flg. resultat. Sidste del følger af Sætning 2 punkt 3, idet vi udnytter, at der for ethvert Y t HX, P findes der en lokalisering τ n så at Y t 1 [[,τn]]t H 2 X, P for alle n 1. τ n erne kan f.eks. vælges som τ n = inf {t > Sætning 3 For alle Y t H 2 X, P er Y s dx s M 2 P og < Y 2 s d < X > s > n }. Y s dx s > t P = og dermed for alle t og alle Y t og Z t i H 2 X, P og E[ 2 E[ Y s dx s ] = E[ L.S. Y s dx s Z s dx s ] = E[ L.S. Mere generelt gælder for Y t HX, P, at Y s dx s L M 2 P og < Y 2 s d < X > s ] Y s dx s > t P = Y 2 s d < X > s, Y s Z s d < X > s ]. Y 2 s d < X > s. 3

31 Korollar 5 For alle Y t H 1 X, P er H 1 X, P := {Y t HX, P E[ L.S. M t H 1 X, P for ethvert M t M 2 P. Bevis. Ifølge Lenglart s Ulighed er E[ sup s t s Y s dx s MP, hvor Y 2 s d < X > s 1/2] < for alle t }. Y u dx u ] < for alle t > for ethvert Y t H 1 X, P, og første del følger derfor umiddelbart af Lemma 1. Anden del fås af Doob s ulighed, idet E[ L.S. for alle M t M 2 P. 1/2 Ms 2 d < X > s ] E[ sup Ms 2 1/2 < X > 1/2 t ] s t E[ sup Ms 2 ] E[ < X > t ] < s t Ved brug af stoptidskalkylereglen i Sætning 2 og korollarret til Proposition 1 ses at for ethvert X t L M 2 P med tilhørende voksende proces < X > t V c P, der ifølge Proposition 4 er entydigt karakteriseret ved at er afbildningen hvor τ n er en lokalisering så at X 2 t < X > t LMP, L 2 < X >., P Y t d P lim n X τn Y s dx τn s, t M 2 P og Xt τn 2 < X > τn t MP, vel defineret. Betegnes grænseprocessen ses let, at Y s dx s L 2 < X >., P Y t Y s dx s er et stokastisk integral mht. X t, samt at påstandene i sætningerne 2 og 3 med tilhørende korollar også holder for dette integral. Integralprocesserne er altså igen integratorer af samme type, og ikke overraskende gælder her som tidligere flg. sammenhæng mellem de tilknyttede integraler. 31

32 Sætning 4 Lad X t L M 2 P og Y t HX, P være givet og betegn med M t den tilhørende integralproces. Da er Z s dm s P = Z s Y s dx s for Z t {U t P rr U t Y t HX, P } = HM, P. Beviset, der overlades til læseren, består i at indse, at det er nok at vise resultatet for simple processer Y t og Z t. Men for simple processer følger identiteten ved umiddelbar opskrivning. Advarsel. Fællesmængden M 2 P BVP er ikke tom, idet den f.eks. indeholder processen X t := P t λt, hvor P t er en Poisson proces med parameter λ. Vi har altså to såkaldte kanoniske integraler mht. til denne proces. Som tidligere bemærket er disse sammenfaldende på PR u.l.b., men som flg.regnerier viser, gælder dette ikke for mere generelle integranter. P t og P t er tilladelige integranter for begge integraltyper, men beregning af integralerne opfattende X t som et element i BVP hhv. M 2 P giver P s dx s P = P t + Dvs. forskellige da P s dx s hhv. P s dx s P = P s dx s. P s dx s, som nævnt, er uafhængig af beregningsmetoden. Vi vil afslutte kapitlet med at indføre begrebet kvadratiske variation. Notation Et element X t C h siges at have endelig kvadratisk variation, hvis lim Xi, n, t 2 n i 1 eksisterer i d P. Grænseprocessen betegnes [X] t og kaldes den kvadratiske variationsproces hørende til X t. Endvidere siges to elementer X t og Y t i C h at have endelig mikset variation, hvis lim Xi, n, t Y i, n, t n i 1 eksisterer i d P. Grænseprocessen betegnes [X, Y ] t og kaldes den miksede variationsproces hørende til X t og Y t. Bemærk at [X, X] t P = [X] t, hvis X t har endelig kvadratisk variation. Definitionen giver umiddelbart anledning til flg. tre kommentarer. I. Ud fra definitionen på Xi, n, t fås at for givne dyadiske rationale tal < s < t gælder, at Xi, n, t 2 P -n.o. i 1 Xi, n, s 2 i 1 32

33 for n tilstrækkelig stor. Dvs. enhver kvadratisk variationsproces er P -voksende eller ækvivalent [X] t VP, hvis X t i C h har endelig kvadratisk variation. II. Yderligere ses let, at hvis X t i C h har endelig kvadratisk variation [X] t, så har X τ t for enhver udvidet stoptid τ også endelig kvadratisk variation, og der gælder flg. sammenhæng [X τ ] t P = [X] τ t P = [X] τ t III. Hvis X t, Y t og X t + Y t har endelig kvadratisk variation, har X t og Y t endelig mikset variation, og der gælder flg. sammenhæng [X, Y ] t P = 1 2 [X + Y ] t [X] t [Y ] t. Specielt er [X, Y ] t derfor i denne situation element i BVP, og kalkylereglerne vedrørende stoptider omtalt i punkt II overføres umiddelbart til den miksede variation. IV. Hvis X t og Y t har endelig kvadratisk variation og [Y ] t P =, har X t og Y t endelig mikset variation og [X, Y ] t P =. Da vi kun skal beskæftige os med begrebet mikset variation i situationer, hvor forudsætningerne i punkt III eller IV er opfyldte, vil vi i det følgende kun beskæftige os med kvadratisk variation. Flg. simple regnerier holder for ethvert X t i C h. 2 i 1 X i 1/2 n Xi, n, t = 2 i 1 X i 1/2 n t Xi, n, t = i 1 Xi/2 n t + X i 1/2 n t X i/2 n t X i 1/2 n t Xi, n, t = i 1 X i/2 n t + X i 1/2 n tx i/2 n t X i 1/2 n t i 1 Xi, n, t 2 = X 2 t X 2 i 1 Xi, n, t 2. Dvs. X t har endelig kvadratisk variation, hvis og kun hvis lim X i 1/2 n Xi, n, t n i 1 eksisterer i d P. Det er derfor ikke overraskende, at mængden af processer med endelig kvadratisk variation er tæt forbundet med mængden af stokastiske integratorer. Dette kommer tydeligt frem i flg. resultater. 33

34 Sætning 5 Ethvert X t L M 2 P har endelig kvadratisk variation og Xt 2 = P 2 X s dx s + [X] t. Specielt gælder derfor a X 2 t [X] t, [X] t < X > t LMP MP hvisx t M 2 P. b [X] t P = X t 2, dvs. [X] t er P -kontinuert, hvis og kun hvis X t er P -kontinuert, og i givet fald er [X] t P = < X > t. Bevis. Lad X t L M 2 P være givet. Egenskaber ved integralet mht. X t viser sammen med Proposition 4, at det er nok at vise den første lighed. Men som allerede tidligere nævnt, sikrer Martingal Modifikationssætningen, at X t en P -caglad previsibel proces, så at hvor L.S. X s X n s 2 d < X > s n P -n.o. for alle t, X n t := 1 i 2 n X i 1/2 n 1 ] i 1/2 n,1/2 n ]t t. Egenskaber ved integralet sikrer derfor, at lim X i 1/2 n Xi, n, t n i 1 eksisterer i d P, hvoraf påstanden umiddelbart følger af de ovenstående regnerier. Bemærk at hvis X t M 2 P er endvidere E[ [X] t ] = E[X 2 t ] for alle t. Ikke overraskende gælder der et tilsvarende resultat for X t BVP. Ved brug af strukturen af det tilknyttede integral kan vi endog her give en mere nøjagtig beskrivelse af [X] t. Der gælder nemlig flg. resultat. Sætning 5A Ethvert X t BVP har endelig kvadratisk variation og Xt 2 = P 2 X s dx s + [X] t samt [X] t ω = s t X 2 s ω for alle t 34