Stokastisk Kalkyle F06

Transkript

1 Forelæsningsnoter til Stokastisk Kalkyle F6 Svend Erik Graversen Januar 26 Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet. 1

2 Indledning. Alle i det følgende nævnte processer tænkes defineret på et givent filtreret sandsynlighedsfelt (Ω, F, (F t t, P, hvor (Ω, F, P er et sandsynlighedsfelt, og (F t t er et højrekontinuert filter af del-σ-algebraer i F, dvs. F t F s F og F t = u>t F u for alle t < s. Sæt F = t F t. Da denne basis tænkes fastholdt, vil vi oftest undlade at fremhæve elementerne i (Ω, F, (F t t, P i diverse notationer og definitioner nedenfor, også selvom begreberne eksplicit afhænger af de enkelte bestanddele. F.eks. vil vi kort skrive adapteret, stoptid, lokalisering og martingal i stedet for det mere korrekte (F t -adapteret, (F t -stoptid, ((F t, P-lokalisering og ((F t, P-martingal osv. Ligeledes vil vi, da vi udelukkende arbejder med tidsparametermængden [,, kort skrive (F t i stedet for (F t t og tilsvarende (X t i stedet for (X t t. Højrekontinuiteten af filtret betyder, at det ikke er nødvendigt at skelne mellem stoptider og udvidede stoptider, idet antagelsen bevirker, at τ : Ω R + er en stoptid, hvis og kun hvis {τ < t} F t t >, og i givet fald er den tilhørende stopids-σ-algebra givet ved F τ = {B F B {τ < t} F t t > }. Specielt er en First Hitting Time til en åben mængde for en adapteret proces med lutter højrekontinuerte udfaldsfunktioner en stoptid. Bemærk at (F t ikke antages P-komplet, idet en sådan antagelse komplicerer målskifte. Men i visse mere avancerede sammenhænge er det vigtigt at arbejde med en såkaldt komplet stokastisk basis eller ækvialent en stokastisk basis, som opfylder the usual conditions, hvilket betyder, at det ydeligere kræves, at (Ω, F, P er et komplet sandsynlighedsfelt, samt ethvert af F t erne indeholder alle P-nulmængder. Vi får brug for forskellige typer adapterede processer samt notation i forbindelse med sådanne. S betegner her et polsk rum for det meste dog R eller R n. Definition. Previsibilitet. En stokastisk proces (X t med udfaldsrum S siges at være previsibel, hvis afbildningen (s, ω X s (ω fra R + Ω ind i S er målelig mht. (P(F., B(S, hvor P(F. := σ( { {} F F F } { ] u, v ] F u < v, F F u }. P(F., der kaldes den previsible σ-algebra, er altså frembragt af alle såkaldte elementære previsible mængder, dvs. mængderne { {} F F F og ] u, v ] F u < v, F F u. Previsible processer er specielt adapterede, og omvendt er enhver venstrekontinuert adapteret proces previsibel. Mere generelt er (X t previsibel for enhver reel adap- 2

3 teret proces (X t, hvor (X t er defineret ved hvis t = X t := lim sup s t, s Q X s hvis t > og lim sup s t, s Q X s er endelig ellers. Bemærk at hvis t X t (ω for et givet ω har venstre grænseværdier i ethvert punkt t >, så er t X t (ω venstrekontinuert, idet der da gælder, at X t (ω = lim s t X s (ω for alle t >. Definition. Progressiv målelighed. En stokastisk proces (X t med udfaldsrum S siges at være progessivt målelig, hvis afbildningen (s, ω X s (ω fra R + Ω ind i S er målelig mht. (Pr(F., B(S, hvor Pr(F. := {A B(R + F A ([, t ] Ω B([, t ] F t for alle t }. Progressivt målelige processer er adapterede, og omvendt er enhver højre - eller venstrekontinuert adapteret proces progressivt målelig. Ligeledes er enhver previsibel proces progressivt målelig, idet P(F. er indeholdt i Pr(F.. Da vi hovedsageligt skal studere reelle processer, lader vi i det følgende P(R / Pr(R betegne mængden af previsible hhv. progressivt målelige reelle processer. For enhver højrekontinuert adapteret reel proces (X t definerer ( X t := (X t X t derfor et element i Pr(R, ofte omtalt som springprocessen hørende til (X t. For hvis t X t (ω er cadlag, angiver funktionen t X t (ω netop springene, idet den er, hvis t X t (ω er kontinuert i t, og springet i t, hvis t X t (ω er diskontinuert i t. Det er i denne sammenhæng værd at erindre, at en cadlag funktion på ethvert endeligt interval kun har endelig mange spring numerisk større end et fast tal, dvs. alt i alt kun tællelig mange spring. Tilvækster i reelle processer optræder hyppigt i det følgende, og for en reel proces (X t indføres notationen dvs. X(i, n, t := X i/2 n t X (i 1/2 n t i, n 1, t (i 1/2 n X(i, n, t = X t X (i 1/2 n (i 1/2 n t < i/2 n X i/2 n X (i 1/2 n i/2 n t. For givne t, n og ω er X(i, n, t(ω altså kun forskellig fra for endelig mange i og X(i, n, t = X t X t, n 1. i 1 Procesrummet bestående af de reelle adapterede højrekontinuerte processer betegnes C h. Dvs. en adapteret reel proces (X t ligger i C h, hvis og kun hvis 3

4 t X t (ω er højrekontinuert for alle ω Ω. Vi får brug for forskellige P-afhængige delmængder af C h samt Endvidere indføres C h (P l.b. := {(X t C h t X t (ω lokalt begrænset P -n.a. ω }, D(P := {(X t C h t X t (ω cadlag for P -n.a. ω } C(P := {(X t C h t X t (ω kontinuert for P -n.a. ω } V(P := {(X t C h t X t (ω voksende for P -n.a. ω } BV(P := V(P V(P. C h (P := {(X t C h P(X = = 1 } og for ethvert rum H eller H(P betegnes med notationen H(P, H c (P og H c (P gennemsnittene H(P C h (P, H(P C(P og H(P H c (P. Der gælder oplagt, at BV(P =V(P V(P samt at V c (P V c (P BV c (P og V c (P V c (P BV c (P. Men der gælder faktisk lighedstegn i den første og dermed også i den anden inklusion. Argument. (kan og bør overspringes ved første gennemlæsning Sæt for et givent element (X t = (A t B t i BV(P og ethvert n 1 ( (Var(X n t = X(i, n, t i 1 Ud fra definitionen ses umiddelbart, at (Var(X n t erne er elementer i C h, samt at der for alle n 1 gælder flg. punktvise uligheder Var(X n t Var(X n s t < s, t, s D n og Var(X n t Var(X m t t D n, m n. Definer herudfra for ethvert t D Udfra definitionen ses umiddelbart, at Var (X t := lim n Var(X n t (A t + B t. D t Var (X t (ω er voksende for alle ω. Men for P-n.a. ω er Var (X t (ω for alle t D lig den totale variation på intervallet [, t ] for udfaldsfunktionen t X t (ω, 4

5 dvs. D t Var (X t (ω er højrekontinuert for P-n.a. ω. Sættes derfor Var(X t (ω := inf Var (X s(ω t, ω Ω s>t, s D følger (her udnyttes, at filtret er højrekontinuert, at (Var(X t V(P, og den er P-kontinuert, hvis (X t er P-kontinuert. Endvidere er for P-n.a. ω og alle t Var(X t (ω = den totale variation på intervallet [, t ] for t X t (ω. Specielt gælder altså (Var(X t X t V(P, hvoraf den ønskede inklusion umiddelbart følger. Bemærkning. Et næsten identisk argument viser, at en højrekontinuert proces (X t ligger i BV(P hvis og kun hvis sup n X(i, n, t < P -n.o. for alle t. i 1 (X t i BV(P siges endvidere at have integrabel variation, hvis E[ Var(X t ] < for alle t, dvs. hvis E[ sup X(i, n, t ] = sup E[ X(i, n, t ] < for alle t n n i 1 i 1 D(P, C(P og V(P er alle delmængder af C h (P l.b., og de er alle lukkede under P-ækvivalens. Dvs. hvis to elementer (X t og (Y t i C h er P-ækvivalente, eller ækvivalent P-modifikationer, så ligger det ene i et af de pågældende rum, hvis og kun hvis det andet også ligger der. I det følgende skelnes normalt ikke mellem P-ækvivalente processer, og vi vil benytte betegnelsen (X t P = (Y t, hvis (X t og (Y t er P-ækvivalente. De indførte rum er ligeledes tydeligvis stabile under standsning samt identiske med de tilhørende lokaliserede rum, hvor en delmængde H C h siges at være stabil under standsning, hvis og (X t H og τ stoptid (X τ t := (X τ t H, LH := {(X t C h (τ n lokalisering så at (X τn t H for n 1 }. LH omtales som det lokaliserede rum hørende til H, og elementerne i LH kaldes lokale H-processer. Husk at en lokalisering (τ n n 1 er en følge af stoptider, så at τ n τ n+1 n 1 og τ n P-n.o. Dvs. hvis (τ n n 1 og (S n n 1 er lokaliseringer, så er (τ n S n n 1 også en lokalisering. Ved at benytte den trivielle lokalisering τ n for alle n ses, at der altid gælder H LH. 5

6 I forbindelse med lokaliseringsbegrebet er flg. bemærkninger relevante. Beviserne, hvoraf de tre første er umiddelbare, kan og bør igen overspringes i første gennemlæsning. 1 H stabil under standsning LH stabil under standsning. 2 H stabil under standsning og et vektorrum LH et vektorrum. 3 H 1 og H 2 stabil under standsning L(H 1 H 2 = LH 1 LH 2 4 H stabil under standsning L(LH = LH. 4 vil som nævnt være vist, hvis det vises, at ethvert element i L(LH ligger i LH. Lad derfor X t L(LH være givet. Pr. definition findes der lokaliseringer så at (X τn t (τ n og (S n, k k 1 for n 1, LH n 1 og ((X. τn S n, k t = (X τn S n, k t H n, k 1. Da lim k S n, k = P -n.o. for alle n kan vi for ethvert n vælge et k n n, så at Sæt nu For ethvert n er R n en stoptid og P(S n, kn < n 2 n. R n = inf l n S l, k l n 1. R n R n+1 og R n S n, kn samt P(R n < n P(S l,kl < n P(S l,kl < l 2 l = 2 2 n. l=n l=n l=n Ifølge det første Borel-Cantelli Lemma er (R n og dermed også (τ n R n en lokalisering, og da (X τn Rn t = (X τn Rn S n, kn t = ((X. τn S n, kn R n t for alle n 1 følger påstand 4, da H er stabil under standsning. Som allerede bemærket er en proces (X t i C h P-kontinuert, hvis og kun hvis der eksisterer en lokalisering (τ n, så at (Xt τn er P-kontinuert for alle n 1. For enhver delmængde H af C h er derfor L(H c (P = LH C(P, dvs. notationen LH c (P kan ikke misforstås. Til slut indføres de meget vigtige processer Wiener og Poisson processen. Begreberne afhænger eksplicit af både P og (F t. Bemærk at kravene til udfaldsfunktionerne er lidt anderledes end dem, I kender fra kurset Stokastiske Processer. 6

7 Definition. Wiener processen En proces (W t C(P kaldes en Wiener proces med parameter σ 2 >, hvis a W t W s N(, σ 2 (t s for alle s < t. b F t og σ({w t+u W t u } er uafhængige for alle t. Definition. Poisson processen En proces (P t V(P kaldes en Poisson proces med parameter λ >, hvis a P t P s po(λ (t s for alle s < t. b F t og (σ{p t+u P t u } er uafhængige for alle t. Som bekendt antager en Poisson proces (P t kun ikke-negative heltallige værdier, og dens spring er alle af størrelse 1, dvs. P(P t N for alle t = 1 og P( t > : P t / {, 1} =. 7

8 Martingalteori I. De delmængder af C h, der omtaltes i indledningen, afhænger kun af P gennem de tilhørende nulmængder. Martingalrummenne M(P og M 2 (P er derimod i høj grad målafhængige. M(P / M 2 (P betegner her de processer i C h, som er martingaler hhv. kvadratisk integrable martingaler. De tilhørende M(P, M c (P og M c (P samt M 2 (P, M 2 c(p og M 2 c(p er derfor vel definerede. Alle er vektorrum og stabile under standsning, men modsat tidligere er de tilhørende lokaliserede rum, som også er vektorrum og stabile under standsning, generelt meget større. M 2 (P er ligeledes normalt en ægte delmængde af M(P og tilsvarende for de tilhørende lokaliserede og kontinuerte udgaver. Men der gælder dog flg. resultat (X t LM c (P og X L 2 (P (X t LM 2 c(p, som ses ved at betragte lokaliseringen (τ n S n n 1, hvor (τ n n 1 er bestemt ved τ n := inf{t > X t > n X }, og (S n n 1 er en lokalisering, så at (Xt Sn M(P for alle n 1. Variablene i en lokal martingal er ikke nødvendigvis integrable, men da X τ = X for enhver stoptid τ er X L 1 (P/L 2 (P for ethvert (X t M(P/M 2 (P. Bemærk endvidere at M(P D(P og dermed LM(P D(P ifølge Martingal Modifikationssætningen. Da teorien om martingaler for en stor del er kendt stof, nøjes vi med at formulere og delvis bevise flg. tre udsagn, som vi ofte vil benytte i det følgende. Af overskuelighedsgrunde indføres for ethvert (X t C h og t betegnelsen Xt := sup X s. s t Maksimumsvariablen X t er tydeligvis F t -målelig med værdier i R +. Proposition 1 Doob s Ulighed For ethvert (X t M(P og ethvert t og λ > er λ P(X t λ E[ X t, X t λ ] E[ X t ], og derfor E[X p p t ] ( p 1 p E[ X t p ] for alle p > 1. Proposition 2 Lenglart s Ulighed Lad (X t C h (P og (< X > t V c (P være givet, så at (X 2 t < X > t LM(P. Da gælder med notation som i Doob s Ulighed for alle positive t, δ og λ, at P(X t λ E[δ < X > t ]/λ 2 + P(< X > t δ δ λ 2 + P(< X > t δ 8

9 specielt er P(X t < = 1 for alle t. For ethvert p (, 2 gælder derfor, at E[X p t ] 4 p 2 p E[< X >p/2 t ]. Korollar 1 Hvis (X t yderligere er P-kontinuert, gælder også omvendt P(< X > 1/2 t λ E[δ X 2 t ]/λ 2 + P(X 2 t δ for alle t, δ og λ, og dermed for alle p (, 2 E[< X > p/2 t ] 4 p 2 p E[X p t ]. Proposition 3 Ethvert element (X t LM c (P BV c (P er konstant, dvs. P(X t = X 1. Mere generelt gælder, at hvis (X t BV c (P er en submartingal, så er (X t P-voksende, dvs. (X t V c (P. Da beviset for Doob s Ulighed er vel kendt, bevises kun propositionerne 2 og 3. De anførte momentuligheder er konsekvenser af flg. generelle resultater for ikke-negative stokastiske variable. Beviserne for disse uligheder findes i Appendiks 1. Momentuligheder. For ikke-negative stokastiske variable X og Y gælder a Hvis λ P(X λ E[Y, X λ] for λ > er E[X p p ] ( p 1 p E[Y p ] for p > 1. b Hvis λ P(X λ E[λ Y ] + λ P(Y λ for λ > er E[X p ] 2 p 1 p E[Y p ] for < p < 1. Bevis for Proposition 2. Da C h (P og V c (P er stabil under standsning, viser et simpelt lokaliseringsargument, at det er nok at betragte tilfældet, hvor (X 2 t < X > t M(P. Vi behøver endvidere kun vise den første ulighed, og da højresiden heri er en kontinuert funktion af λ, er det nok at vise uligheden, hvor vi på venstreside erstatter λ med > λ. Lad derfor positive tal t, λ og δ være givet. Definer τ λ := inf{s > X s > λ} og S δ := inf{s > < X > s > δ}. τ λ og S δ er da vel definerede stoptider, og der gælder P(X t > λ = P(X t > λ, < X > t < δ + P(X t > λ, < X > t δ 9

10 P(X t > λ, < X > t < δ + P(< X > t δ. Benyttes nu, at (X t er højrekontinuert og (< X > t P-kontinuert, fås endvidere ved brug af Optional Sampling, at P(X t > λ, < X > t < δ E[ X τ λ λ, X t > λ, < X > t < δ ] λ 2 E[ X 2 τ λ t S δ, X t > λ, < X > t < δ ] λ 2 E[ X 2 τ λ t S δ ] = λ 2 E[ < X > τλ t S δ ] λ 2 E[ δ < X > t ] δ/λ 2. Hvilket alt i alt er de søgte uligheder. Bevis for Korollar 1. I det netop gennemførte bevis anvendtes Optional Sampling Sætningen på martingalen (X 2 t < X > t og den begrænsede stoptid τ λ t S δ, dvs. ligheden E[X 2 τ λ t S δ < X > τλ t S δ ] = eller ækvivalent E[X 2 τ λ t S δ ] = E[< X > τλ t S δ ]. For beviset er det ikke afgørende, at der gælder =, idet er nok, og da t Xt en ikke-negativ P-kontinuert voksende proces, samt er E[( < X > τ 2 ] = E[< X > τ ] = E[X 2 τ ] E[X 2 τ ] for enhver begænset stoptid τ, kan man i det P-kontinuerte tilfælde derfor tilsvarende vise, at for alle positive t, λ og δ. P( < X > t λ λ 2 E[ δ X 2 t ] + P(X 2 t δ Bevis for Proposition 3. Lad (X t LM c (P BV c (P være givet. Da (X t X er element i det samme procesrum, kan og vil vi antage, at (X t er i, dvs. er på formen (A t B t, hvor (A t og (B t er elementer i V c (P. Sæt for n 1 τ n = inf{t > A t + B t > n}. τ n erne er da stoptider, og (Xt τn erne, der er uniformt begrænsede, er derfor elementer i M 2 c(p. For alle t, k og n gælder nu i X τn (i, k, t 2 sup X τn (i, k, t i i X τn (i, k, t sup X τn (i, k, t i i ( A τn (i, k, t + B τn (i, k, t sup X τn (i, k, t (A τn t i + B τn t n sup X τn (i, k, t. i 1

11 P-kontinuiteten sikrer derfor, at lim k i Xτn (i, k, t 2 = P-n.o. Men da martingalegenskaben bevirker, at E[X 2 t τ n ] = E[ i X τn (i, k, t 2 ] for alle k, fås ved brug af Doob s ulighed og Lebesgue s sætning, at X t τn = P-n.o. for alle n og dermed X t = P -n.o., da τ n P-n.o. Lad os dernæst vise bemærkningen. Det er nok at vise, at P(X t X s = 1 for ethvert par af dyadisk rationale tal t < s. Lad derfor et sådant par være givet. Som ovenfor kan vi antage, at processen er i og uniformt begrænset specielt kvadratisk integrabel. Resultatet vil derfor være vist, hvis S n (t := 1 i 2 n t E[ X(i, n, t F i 1 2 n ] n X t i L 2 og tilsvarende S n (s := 1 i 2 n t E[ X(i, n, s F i 1 2 n ] n X s i L 2. For da t < s og begge er dyadisk rationale, er summen svarende til t en delsum i summen hørende til s for tilstrækkeligt store n, dvs. 1 i 2 n t E[ X(i, n, t F i 1 2 n ] 1 i 2 n t 1 i 2 n t E[ X(i, n, s F i 1 2 n ] P-n.o. for n stor, da leddene ifølge submartingal egenskaben er ikke negative. Hvad angår L 2 -konvergensen har vi for alle n 1 ( 2 E[ (X t S n (t 2 ] = E[ ( X(i, n, t E[ X(i, n, t F i 1 ] ] 2 n = 1 i 2 n t = 1 i 2 n t E[ ( X(i, n, t E[ X(i, n, t F i 1 2 n ] 2 ] E[ X(i, n, t 2 E[ X(i, n, t F i 1 2 n ]2 ] 1 i 2 n t E[ X(i, n, t 2 ]. Men som vist ovenfor, konvergerer denne sum imod, og da det tilsvarende gælder for s, er bemærknigen vist. LM(P er generelt meget større end M(P, og spørgsmålet om, hvornår en lokal martingal er en martingal, er normalt vanskeligt at besvare. Men flg. småresultater er ofte relevante. Lemma 1 For et givet (M t LM(P gælder implikationen E[ M t ] < t > (M t M(P. 11

12 Bevis. Lad (M t LM(P med Mt integrabel være givet. Pr. definition findes der en lokalisering (τ n, så at (Mt τn M(P for alle n. Men da M τn t M t P -n.o. for alle t og dermed ifølge antagelsen og Lebesgue s Sætning også i L 1, følger konklusionen umiddelbart af den vel kendte implikation X n X i L 1 (P E[X n, B] E[X, B] B F. Lemma 2 Enhver ikke negativ lokal martingal er en supermartingal. Dvs. et element (M t i LM(P + er en martingal, hvis og kun hvis E[M t ] = E[M ] for alle t >. Bevis. Lad (M t LM(P + være givet og lad (τ n betegne en lokalisering, så at (Mt τn er en martingal for alle n. Da fås af Fatou s Lemma, at E[M t ] lim inf n M τn t M t P -n.o. for alle t > E[Mt τn ] = E[M τn ] = E[M ] < for alle t > og tilsvarende af Fatou s Lemma for betingede middelværdier, at E[M t F s ] lim inf n E[M τn t F s ] = lim inf n M τn s = M s for alle s < t. Dvs. (M t er en supermartingal og dermed en martingal, hvis og kun hvis den har konstant middelværdi. Vi fortsætter med to simple, men, specielt hvad angår den sidste, meget nyttige resultater. Beviserne overlades i det store hele til læseren. Lemma 3 En given proces (X t C h (P er en martingal, hvis og kun hvis for alle begrænsede stoptider S. X S L 1 og E[X S ] = Bevis. kun hvis er en umiddelbar konsekvens af Optional Sampling. Ved først at bruge antagelsen på konstante S ses, at X t erne er integrable med middelværdi. Martingalegenskaben følger derefter ved for givne s < t og A F s at udnytte antagelsen på S := s 1 A + t 1 A c. Lemma 4 For ethvert (X t M(P og alle a < b og Z bm(f a er Endvidere er (Z (X b t X a t M(P. ( i 1 Z n i X(i, n, t M(P for alle n 1, hvis Zi n bm(f i 1 for i, n 1. Hvis (X t M 2 (P ligger de dannede martingaler 2 n igen i M 2 (P. 12

13 Det er i mange sammenhænge nødvendigt at operere med flere sandsynlighedsmål samtidigt, og i forbindelse hermed er flg. begreb vigtigt. Definition. Lad P og Q betegne to sandsynlighedsmål på (Ω, F. P siges da lokalt at dominere Q (betegnes Q loc P, hvis Q P opfattet som mål på (Ω, F t for ethvert t. Lokal ækvivalens defineres tilsvarende og betegnes Q loc P. Implikationen: Q P på F Q loc P, er oplagt, men P og Q kan være singulære på F selvom Q loc P. Læseren opfordres til at overveje, at de i indledningen indførte procesrum bevares ved skift til et lokalt ækvivalent mål Q. Dette gælder ligeledes de tilhørende lokaliserede rum, da en følge af stoptider (τ n er en lokalisering mht. P, hvis og kun hvis (τ n er en lokalisering mht. Q, idet τ n P-n.o. P(sup τ n < t = lim n n P(sup τ n < t = for alle t >. n Derimod er de tilhørende martingalrum og Wiener og Poisson proces begreberne yderst målafhængige. Hvis Q loc P kaldes en ikke-negativ adapteret proces (R t en Radon-Nikodym proces for Q mht. P, hvis Q(A = R t d P for alle A F t og t. A En Radon-Nikodym proces er altså entydigt bestemt op til P-modifikation. Da Q(A = A R t d P = A R s d P for A F t F s for alle t < s er (R t en ikke-negativ P-martingal med middelværdi 1, og en reel adapteret proces (X t er en Q-martingal, hvis og kun hvis (X t R t er en P-martingal. Dette følger umiddelbart af lighederne og E Q [ X t ] = E P [ X t R t ] = E P [ X t R t ] E Q [ X s, A ] = E Q [ X s 1 A ] = E Q [ X s 1 A R t ] = E Q [ X s R t, A ] for alle t s og A F t. Hvis (X t og (R t begge er højrekontinuerte, dvs. elementer i C h, og Q loc P, gælder tilsvarende, at Lemma 5 (X t er en Q-lokal martingal, hvis og kun hvis (X t R t er en P-lokal martingal. Bevis. En simpel overvejelse viser, at vi kan antage X. Som bemærket ovenfor er begreberne P-lokalisering og Q-lokalisering sammenfaldende. Dvs. hvis (X t er en Q-lokal martingal, findes der en P -lokalisering (τ n, så at (Xt τn er en Q-martingal, og dermed ifølge det netop viste, så at (Xt τn R t er en P-martingal. Men da martingal 13

14 egenskaben bevares under standsning er (Xt τn Rt τn derfor en P-martingal, og (X t R t er derfor en P-lokal martingal. Antag omvendt at (X t R t er en P-lokal martingal, dvs. der findes en Q-lokalisering (τ n, så at (Xt τn Rt τn er en P-martingal. For at vise at (Xt τn er en Q-martingal, er det ifølge Lemma 3 nok at vise, at X τn S L1 (Q og E Q [ X τn S ] = for enhver begrænset stoptid S. Lad S t være en sådan. Vi har da ifølge Optional Sampling E Q [ X τn S ] = EP [ X τn S R t ] = lim M EP [ X τn S M R t ] = lim M EP [ X τn S M R τn S ] = E P [ X τn S R τn S ] = E P [ X τn S R τn S ] < og tilsvarende fås ved opsplitning af X τn S E Q [ X τn s, A ] = E P [ Xs τn R τn i positiv og negativ del, at s, A ] = E P [ Xt τn Rt τn, A ] = E Q [ Xs τn, A ] for alle t s og alle A F t, hvilket netop er det, vi søger. Bemærkning. Som vist er enhver Radon-Nikodym proces en ikke-negativ P-martingal med middelværdi 1. Omvendt kan man ud fra en en given ikke-negativ P- martingal (R t med middelværdi 1 konstruere en mængdefunktion Q : F t [, 1] : Q(A := R t d P hvis A F t. t> Martingalegenskaben sikrer, at Q er vel defineret. For ethvert t er Q et sandsynlighedsmål på F t, men det kan ikke nødvendigvis udvides til et sandsynlighedsmål på F. Ifølge Martingalkonvergenssætning er dette muligt, hvis (R t er uniformt integrabel, og det gælder ligeledes, hvis (Ω, F, (F t er et såkaldt standard filteret måleligt rum. A 14

15 Konvergens af stokastiske processer. Inden vi fortsætter med martingalerne indføres et konvergensbegreb i C h ofte omtalt som lokal uniform konvergens i sandsynlighed. Begrebet afhænger af P, men er dog invariant under lokal ækvivalent målskifte. Notation Lad (X n t n 1 og (X t betegne processer i C h. (X n t n 1 siges da at konvergere imod (X t i d p -forstand, skrives (X n t d P (X t, hvis lim sup Xs n X s = i P -mål for alle t. n s t Dvs. ( (Xt n d P (X t lim P sup Xs n X s ɛ = for alle t og ɛ >. n s t Da konvergens i sandsynlighed er metrisk og invariant under ækvivalent målskifte, er det ikke vanskeligt at se, at d P -konvergens også er metrisk, idet den svarer til konvergens i (pseudo metrikken d P ((X t, (Y t := 2 n sup s n X s Y s E[ 1 + sup s n X s Y s ] (X t, (Y t C h. n=1 Bemærk at d P ((X t, (Y t = (X t P = (Y t samt, at d P og d Q erækvivalente, hvis P og Q er lokalt ækvivalente. Konvergensbegrebet harmonerer pænt med den lineære struktur, idet en linearkombination af konvergente følger konvergerer mod den tilsvarende linearkombination af de oprindelige grænseværdier. Eventuelle grænseværdier er entydigt bestemt op til P-uskelnelighed idet (X n t d P (X t X n t X t i P -mål for alle t. Der gælder endog, at X n τ X τ i P-mål for enhver endelig stoptid τ, og afbildningen (X t (X τ t er d P -kontinuert for enhver stoptid τ. Mere præcist gælder at (Xt n d P (X t (X n, τ k t d P (X τ k t for alle k for en lokalisering (τ k k 1. Bemærk at C h (P, C(P, D(P og V(P samt herudfra dannede gennemsnit alle er lukkede under d P -konvergens. Dvs. grænseprocessen hørende til en konvergent følge af elementer fra et af rummene kan vælges i det samme rum. Et standardargument baseret på Borel-Cantelli lemmaet viser, at hvis (X n t d P (X t så findes der en delfølge (n k k 1, så at sup X n k s X s P -n.o. for alle t >. s t 15

16 Endvidere konvergerer de tilhørende springprocesser, f. eks. har vi for (X n t, (X t D(P, at (X n t d P (X t ( X n t d P ( X t. De indtil nu nævnte egenskaber er mere eller mindre trivielle konsekvenser af definitionen. Det næste resultat, som viser, at d P -konvergens er fuldstændig, er derimod mere indviklet. Påstanden, der spiller en vigtig rolle i det følgende, formuleres u- den bevis, men den interesserede læser kan finde et bevis på side 97 i Stroock og Varadhan s bog: Multidimensional Diffusion Processes. Resultatet er ikke helt indlysende, da vi med vilje har undladt at forlange, at det givne filter er P-komplet. Proposition 4 En følge (X n t n 1 C h konvergerer i d P, dvs. der findes et element (X t C h så at (Xt n d P (X t, hvis og kun hvis ( lim P sup Xs n Xs m ɛ = for alle k 1 og ɛ >. m,n s k Fuldstændigheden muliggør definition via lokalisering. konsekvens af Proposition 4, har vi flg. udsagn. For som en umiddelbar Korollar 2 Hvis (X n t n 1 er en følge af elementer i C h, og (τ n n 1 er en lokalisering, så at (X n+1 τn t P = (X n t for alle n 1, så findes der op til P-uskelnelighed præcist et element (X t C h så at (X τn t P = (X n t for alle n 1. En anden mere kompliceret konsekvens af Proposition 4 viser, at ethvert element i V(P kan opsplittes i en kontinuert og en ren diskontinuert del, dvs. til ethvert (A t i V(P findes der to processer (A c t og (A d t i V(P, så at (A t = P (A c t + A d t og (A c t V c (P og A d t = A s t > P -n.o. s t Ideen i beviset, som overlades til læseren, er først at bevise påstanden for (A n t erne, hvor for n 1 A n t (ω := sup A s (ω n t, ω Ω. s t Da (A n t erne har lutter voksende og højrekontinuerte udfaldsfunktioner, er dekompositionen her mulig, da der på ethvert endeligt interval kun er endelig mange spring, som er større end en fast værdi. Den ønskede dekomponering fås derefter ved d p - grænseovergang. Vi afsluttet kapitlet med at se på d p konvergens af martingal processer. For (M 1 t og (M 2 t i M(P gælder ifølge Doob, at P( sup Ms 1 Ms 2 ɛ E[ Mk 1 Mk 2 ]/ɛ for alle k 1 og ɛ >. s k Dvs. for (M n t n 1 og (M t i M(P gælder E[ M n k M k ] k 1 (M n t d P (M t. 16

17 Da t E[ M n t M t ] er voksende, er venstresiden ækvivalent med, at E[ M n t M t ] for alle t >. Fuldstændigheden af L 1 (P og L 2 (P samt Proposition 4 sikrer derfor flg. påstand. Lemma 6 Hvis (M n t n 1 M(P opfylder lim E[ M t n Mt m ] = for alle t > ( ækvivalent for alle k 1 n,m så findes der et (M t M(P, så at (M n t d P (M t. For (M n t n 1 M 2 (P gælder tilsvarende, at hvis lim E[ (M t n Mt m 2 ] = for alle t > ( ækvivalent for alle k 1 n,m så findes der et (M t M 2 (P, så at (M n t d P (M t. Bevis. Vi viser kun L 2 -tilfældet. Som bemærket ovenfor sikrer Doob s Ulighed, at (M n t n 1 er en Cauchy-følge i d P, dvs. opfylder betingelsen i Proposition 4. (M n t n 1 har derfor en grænseværdi (M t C h Specielt gælder M n t M t i P-mål for alle t >, men da variablene Mt n for n 1 pr. antagelse er en L 2 -Cauchyfølge for ethvert t, er der derfor også konvergens i L 2. (M t er dermed en kvadratisk integrabel proces, og martingal egenskaben følger nu let af implikationen E[ (Mt n M t 2 ] t Mt n dp M t dp for alle B F, t. B B L 1 -tilfældet klares på samme måde. 17

18 Martingalteori II. Proposition 3 viser, at der til ethvert (X t i C h op til P-uskelnelighed højst findes et (< X > t i V c (P, så at (X 2 t < X > t M(P (entydigheden retfærdiggør notationen. Med baggrund heri indføres procesrummet MI(P := {(X t LM(P (< X > t V c (P : (X 2 t < X > t LM(P}. Forkortelsen MI(P står for martingal integratorer, en betegnelse, som vi senere skal se, giver god mening. En simpel øvelse viser, at enhver Wiener proces (W t ligger i MI(P tillige med processer af formen (P t λt, hvor (P t er en Poisson proces med parameter λ. Da LM(P og V c (P er stabile under standsning, er MI(P tydeligvis også stabil under standsning, og det tilhørende lokaliserede rum er derfor rummet selv. Dvs. vi har ligheden. LMI(P = MI(P. Et direkte argument for dette kan opnås ved en anvendelse af Korollar 2 og Proposition 3. For hvis (X t LMI(P, så er (X t LLM(P = LM(P, og der findes en lokalisering (τ n samt for ethvert n en proces (< X τn > t V c (P, så at Men da (Xt τn 2 < X τn > t M(P. (X τ n+1 2 t τ n < X τ n+1 > t τn = (X τn 2 < X τ n+1 > t τn M(P for ethvert n 1 og dermed (< X τ n+1 > t τn < X τn > t M(P fås af Proposition 3, at (< X τ n+1 > t τn P = (< X τn > t n 1. Ifølge Korollar 2 eksisterer der derfor et (< X > t V c (P, så at for alle n, hvilket indsat ovenfor giver, at (< X > t τn P = (< X τn > t (Xt τn 2 < X > t τn = (Xt τn 2 < X > τn t M(P for alle n 1. Men dette betyder netop, at (X 2 t < X > t LM(P. MI(P er pr. definition en delmængde af LM(P, men der gælder yderligere. Proposition 5 For ethvert (X t MI(P findes der en lokalisering (τ n, så at (X τn t t M 2 (P og (Xt τn 2 < X > t τn M(P for alle n 1. Dvs. MI(P LM 2 (P, og for (M t LM 2 (P gælder (M t MI(P ( M t := (M t M MI(P, og i givet fald er (< M > t P = (< M > t. 18

19 Bevis. Lad (X t i MI(P være givet. Ifølge definitionen findes der en lokalisering (τ n, så at (Xt τn M(P og ((X τn 2 t < X > t τn M(P for alle n. Men da vi ved yderligere standsning også kan opnå, at E[< X > t τn ] < for alle t > og n 1, indses let, at Xt τn er kvadratisk integrabel for alle n og t, dvs. (Xt τn M 2 (P for alle n. Den sidste påstand skyldes, at (M 2 t M 2 t LM(P for alle (M t LM 2 (P, da (Xt 2 (X t X 2 = (2X t X + X 2 M(P for ethvert (X t M 2 (P. Kombineres Proposition 5 med Lenglart s og Doob s uligheder fås flg. resultat. Korollar 3 For ethvert (X t MI(P gælder E[ < X > t ] < t > (X t M(P samt E[< X > t ] < t > (X t M 2 (P og (X 2 t < X > t M(P. Bevis. Proposition 5 viser, at det er nok at se på (X t i MI(P. Lad derfor et sådant (X t være givet. Første del følger umiddelbart af Lemma 1, da antagelsen sammen med Lenglart s Ulighed viser, at E[X t ] < for alle t >. For at vise anden del, vælges en lokalisering (τ n, så at (X τn t M 2 (P og (X 2 t τ n < X > t τn M(P for alle n. Ifølge Doob s ulighed gælder derfor for alle t > og alle n 1, at E[ sup Xs τ 2 n ] 4 E[< X > t τn ] 4 E[< X > t ] 1 s t og dermed via Monoton konvergens E[ sup Xs 2 ] 4 E[< X > t ]. 1 s t Men dette viser den ønskede implikation da ifølge Lebesgue s Sætning for alle t >. X τn t X t i L 2 og X 2 t τ n < X > t τn X 2 t < X > t i L 1 (P MI(P udgør normalt hverken hele LM(P eller LM 2 (P, men som vi nu skal vise, er LM 2 c(p altid indeholdt i MI(P. Der gælder nemlig flg. resultat. 19

20 Proposition 6 Ethvert (X t LM c (P for hvilket X L 2 (P ligger i MI(P. Specielt er LM c (P MI(P. Bevis. Ifølge Proposition 5 er det nok at vise det sidste; og da LMI(P = MI(P er det hertil nok at vise (tænk over dette, at MI(P indeholder ethvert element i M 2 c(p, som er uniformt begrænset. Lad derfor et sådant (X t være givet, og antag at (X t er uniformt begrænset af et M R +. Med baggrund i et vel kendt resultat for Wiener processen ledes vi til at se på den asymptotiske opførsel af processerne (A n t := ( i 1 X(i, n, t 2 n 1. Ud fra definitionen ses umiddelbart, at (A n t erne er P-kontinuerte, og at A n = samt A n t A n s for t s t, s D n P-n.o. for alle n 1. Dvs. hvis lim n (A n t eksisterer i d P må grænseprocessen nødvendigvis ligge i V c (P. Simpel aritmetik giver nu, at A n t = i 1 X(i, n, t 2 = i 1 (X i/2 n t + X (i 1/2 n t X(i, n, t 2 X (i 1/2 n X(i, n, t = i 1 (X 2 i/2 n t X 2 (i 1/2 n t 2 i 1 X (i 1/2 n X(i, n, t = X 2 t 2 M n t. Bemærk at (M n t M 2 (P for alle n 1. Dvs. konvergens af (A n t n 1 er det samme som konvergens af martingalfølgen (M n t n 1, og i følge overvejelserne side 16 mangler vi derfor alt i alt kun at vise, at for alle k 1 er Lad k 1 være valgt. For n m er i=1 lim E[ (M k n Mk m 2 ] =. n,m k2 n k2n Mk n = X i 1 (X 2 n i/2 n X (i 1/2n = dvs. M n k M m k = k2 n i=1 j=(i 12 m n +1 og dermed ifølge Pythagoras E[ (M n k M m k 2 ] = k2 n i2 m n i2 m n i=1 j=(i 12 m n +1 i=1 X i 1 2 n i2 m n j=(i 12 m n +1 (X j/2 m X (j 1/2 m (X (i 1/2 n X (j 1/2 m (X j/2 m X (j 1/2 m E[ (X (i 1/2 n X (j 1/2 m 2 (X j/2 m X (j 1/2 m 2 ]. 2

21 Sættes har vi derfor D n k (X = E[ (M n k M m k 2 ] E[D n k (X A n k ] sup (X s X t 2 s t 1/n, s,t k Men kontinuiteten og Doob s Ulighed sikrer at og da ovenstående omskrivning af A n t lim n E[D n k (X 2 ] =, viser, at E[ (A n k 2 ] 2 E[X 4 k] + 8 E[M n 2 k ] = 2 E[X 4 k] + 8 E[Dk n(x2 ] E[ (A n k 2 ]. k2 n i=1 E[ X 2 i 1 2 n (X i/2 n X (i 1/2 n2 ] k2n 2 M M 2 E[ (X i/2 n X (i 1/2 n 2 ] = 2 M M 2 E[ Xk] 2 1 M 4 ses derfor, at i=1 lim E[ (M k n Mk m 2 ] =. n,m Afgørende for om et ikke-kontinuert element i LM 2 (P ligger i MI(P er forudsigeligheden af springene i (X t. Der gælder nemlig flg. udsagn. Lemma 7 (X t LM 2 (P ligger i MI(P, hvis og kun hvis det for enhver stoptid τ gælder X τ 1 {τn<τ for alle n} = P -n.o. for enhver følge (τ n af stoptider, så at τ n τ P -n.o. Bevis. Da hvis-delen kræver et stort arsenal af generel teori, nøjes vi her med at vise kun hvis -delen. Beviset kan overspringes ved første gennemlæsning. Et lokaliseringsargument baseret på Proposition 5 viser, at vi kan antage, at (X t M 2 (P og (X 2 t < X > t M(P. Lad τ og (τ n være givet, så at τ n τ P -n.o. Ved at se på τ t og τ n t for t > ses, at vi uden tab af generalitet kan antage, at τ er begrænset. Da (X t, som tidligere nævnt, ligger i D(P, har vi X τ 1 {τn<τ for alle n} = lim n (X τ X τn 1 {τn<τ for alle n} P -n.o. og ifølge Fatou s Lemma derfor E[( X τ 2 1 {τn<τ for alle n} ] lim inf n E[(X τ X τn 2 ]. Men Optional Sampling anvendt på martingalen (X 2 t < X > t og de begrænsede stoptider τ n τ viser, at E[(X τ X τn 2 ] = E[X 2 τ ] E[X 2 τ n ] = E[< X > τ ] E[< X > τn ] for alle n 1, hvoraf resultatet følger ved brug af Monoton konvergens. 21

22 Appendiks 1. Lad i det følgende X og Y betegne to ikke-negative stokastiske variable defineret på et sandsynlighedsfelt (Ω, F, P. Vi skal i dette appendiks deducere forskellige momentuligheder ud fra fordelingsuligheder. Vi starter med et resultat, som bruges i Doob s ulighed. Resultat 1 For alle p > 1 gælder implikationen t P(X t E[ Y, X t ] t > E[X p p ] ( p 1 p E[ Y p ]. Bevis. Lad p > 1 være givet, og antag at fordelingsuligheden holder. Da X n for ethvert n ligeledes opfylder uligheden, kan og vil vi antage, at X er begrænset. Integreres på begge sider med p t p 1 dt fås ved brug af Tonelli s sætning, at E[X p ] = E[ Y P(X t p t p 1 dt X Men ifølge Hölder s ulighed er p t p 2 dt] = E[ Y, X t] p t p 2 dt = p p 1 E[ Y Xp 1 ]. E[ Y X p 1 ] E[ Y p ] 1/p P[X p ] p 1 p, og indsættes dette fås ved forkortning, da E[X p ] er endelig, at E[X p p ] ( p 1 p E[ Y p ]. Det generelle tilfælde følger nu ved brug af monoton konvergens. Beviset udnytter eksplicit at p > 1, og modeksempler viser, at resultatet ikke holder for p = 1. Men for fuldstændigheden skyld vises, at den samme fordelingsulighed sikrer flg. resultat. Resultat 2 Bevis. Antagelserne sikrer og dermed E[X] 2 (1 + E[ Y log + Y ]. 2t P(X 2t E[ Y, X 2t ] E[ Y, Y t, X 2t ]+ E[ Y, Y > t, X 2t ] t P(X 2t + E[ Y, Y > t ], t P(X 2t E[ Y, Y > t ] for alle t >. Integreres denne ulighed fra 1 til med dt fås ved brug af Tonelli s sætning E[X]/2 = E[X/2] = 22 P(X 2t dt

23 1 + 1 = 1 + E[ Y P(X 2t dt 1 + Y 1 1 E[ Y, Y > t ]/t dt 1/t dt, Y > t ] 1 + E[ Y log + Y ] En variant af Resultat 1, som dog holder for alle p 1, er indeholdt i flg. implikation. Resultat 3 E[X, X t] E[Y + t, X t] for alle t > E[X p ] p p E[ Y p ] p 1. Bevis. Tilfældet p = 1 følger umiddelbart ved at lade t på begge sider i de givne sæt af betingelser. For at klare tilfældet p > 1 lader vi r > være givet. På samme vis som ovenfor kan og vil vi antage, at X er begrænset. Integreres uligheden på begge sider med r t r 1 dt fås via Tonelli s sætning, at (1/r 1/(r + 1 E[X r+1 ] E[ Y X r ]/r, og derfor ifølge Hölder s ulighed brugt på r + 1 og dets konjugerede (r + 1/r, at 1 r + 1 E[Xr+1 ] E[X r+1 ] r r+1 E[ Y r+1 ] 1 p+1. Den ønskede ulighed følger nu igen ved forkortning. Til slut vises momentuligheden, som bruges sammen med Lenglart s ulighed. Resultat 4 For alle < p < 1 gælder implikationen P(X t E[t Y ]/t + P(Y t t > E[X p ] 2 p 1 p E[Y p ]. Bevis. Lad < p < 1 være givet. Ved brug af Tonelli s sætning fås som før E[X p ] = = E[ Y P(X t p t p 1 dt E[ t Y ] p t p 2 dt + p t p 1 dt + Y Y P(Y t p t p 1 dt p t p 2 dt] + E[ Y p ] = E[ Y p ] + p 1 p E[Y p ] + E[ Y p ] = 2 p 1 p E [Y p ]. 23

24 Stokastisk integration A. Til ethvert (X t C h tilordnes det såkaldte simple integral mht. (X t, dvs. den lineære afbildning I X : E(F. C h bestemt ved (I X (Z 1 {} t = (Z X og (I X (Y 1 ] a,b ] t = (Y (X b t X a t, hvis Z bm(f, Y bm(f a og a < b, hvor E(F. er vektorummet bestående af de elementære/simple previsible processer, dvs. E(F. = span ({Z 1 {}, Y 1 ] a,b ] a < b og Z bm(f, Y bm(f a }. Som navnet antyder, er der ikke tale om et rigtigt stokastisk integral, jævnfør nedenstående definition, men det spiller alligevel en vigtig rolle i det følgende. Til senere brug bemærkes, at integralprocesserne (I X (Y. t er P-kontinuerte, hvis (X t er P-kontinuert, og endvidere er I X (E(F. BV(P hvis (X t BV(P og I X (E(F. M(P/M 2 (P hvis (X t M(P/M 2 (P Her følger den sidste påstand af Lemma 4, og den første ved linearitet ud fra den åbenbare implikation (A t V(P I A (E(F. + V(P. Endvidere gælder for ethvert (X t C h, (Y t E(F. og stoptid τ stoptidsformlen (I X (Y. τ t = (I X (Y. τ t = (I Xτ (Y. t (1 Vi er nu klar til at indføre begrebet en stokastisk integrator og et stokastisk integral. Med baggrund i det dynamiske dvs. procesaspekt, vi har i tankerne, er et stokastisk integral et objekt, som på lineær og kontinuert vis til såkaldte integrantprocesser tilordner tilhørende integralprocesser på en sådan måde, at det har mening at sige, at integralprocesserne er generaliserede vægtede tilvækster i den betragtede stokastiske integrator. Kontinuiteten skal her i lighed med sædvanlig integralteori forstås som en form for Lebesgue s Sætning om domineret konvergens. Begrebet er præciseret i flg. matematiske definition. Definition SI. (X t C h kaldes en stokastisk integrator hvis der findes en afbildning P(R u.l.b. (Y t (I X P (Y. t C h med flg. tre egenskaber, hvor (Y n t n 1, (Y t og (Z t er elementer i P(R u.l.b.. 24

25 1 I X P er P-lineær og skelner ikke mellem P-uskelnelige integranter, dvs. (I X P (ay. + bz. t P = (ai X P (Y. t + bi X P (Z. t a, b R og (Y t P = (Z t (I X P (Y. t P = (I X P (Z. t. 2 I X P er en P-udvidelse af IX, dvs. (I X P (Y. t P = (I X (Y. t for alle (Y t E(F.. 3 (I X P (Y. n t d P (I X P (Y. t hvis (Yt n konvergerer P(R u.l.b. -domineret mod (Y t, dvs. hvis der for P-n.a. ω gælder Y n t (ω Y t (ω og sup Yt n (ω Z t (ω for alle t. n IP X kaldes i givet fald et stokastisk integral mht. (X t, en betegnelse der ligeledes vil blive brugt om enhver udvidelse af (IP X, P(R u.l.b., som opfylder 1, 2 og 3 på sit definitionsområde. Det ovenstående simple integral, der som nævnt eksisterer for ethvert (X t C h, er derfor ikke et stokastisk integral, da dets definitionsmængde er for lille, og fordi det generelt ikke opfylder punkt 3. Kombineres 1, 2 og 3 fremkommer umiddelbart følgende Riemann -resultat. Lemma 8 For enhver stokastisk integrator (X t konvergerer ( Z X + i 1 Z (i 1/2 n X(i, n, t d P (I X P (Z. t, hvis (Z t er adapteret og uniformt lokalt begrænset og venstrekontinuert. Specielt gælder derfor, at (I X P (Z. t P = (Z (X τ2 t X τ1 t, hvis (Z t = (Z 1 ]]τ1,τ 2 ]](t for stoptider τ 1 τ 2 og Z bm(f τ1 ; og dermed for alle (Y t E(F. og alle stoptider τ. (I X P (Y. 1 [[,τ]] ( t P = (I X P (Y. τ t (2 Bevis. Første del følger ved at observere, at (Z t er element i P(R u.l.b., og at følgen af simple previsible processer n2 n ( Z 1 {} (t + Z (i 1/2 n 1 ] (i 1/2 n,i/2 n ](t n 1 i=1 konvergerer P(R u.l.b. -domineret mod (Z t. Anden del følger af første ved at bemærke, at for n tilstrækkelig stor er ( i 1 Z (i 1/2 n X(i, n, t (ω = Z(ω (X t i2 /2 n(ω X t i 1 /2 n(ω 25

26 for ethvert ω {τ 1 < τ 2 } og ethvert t >, hvor i 1, i 2 1 er bestemt ved (i 1 1/2 n τ 1 (ω < i 1 /2 n (i 2 1/2 n τ 2 (ω < i 2 /2 n. Egenskaber ved d P -konvergens giver herudfra umiddelbart det ønskede resultat. Inden vi går i gang med at bestemme forskellige typer stokastiske integratorer og studere de tilhørende integraler, vil vi knytte nogle kommentarer til ovenstående definition. Beviserne, der overlades til læseren, kan overspringes ved første gennemlæsning. Stokastisk integral, generelle egenskaber A For enhver stokastisk integrator er det tilhørende stokastiske integral entydigt bestemt op til P-uskelnelighed på P(R u.l.b.. B Mængden af stokastiske integratorer er et lineært underrum, og integralet er P- lineær i integratoren. Specielt er (X t C h en stokastisk integrator, hvis og kun hvis ( X t = (X t X er en stokastisk integrator, og i givet fald gælder for alle (Y t i P(R u.l.b. (I X P (Y. t P = (Y X + I X P (Y. t P = (Y X + I X P (Y. 1 ], [ ( t. C Begreberne stokastisk integrator og stokastisk integral er invariante under lokal ækvivalent målskifte. D Mængden af stokastiske integratorer er stabil under standsning og identisk med det tilhørende lokaliserede procesrum. Endvidere gælder for enhver stokastisk integrator (X t og stoptid τ flg. ligheder for alle (Y t P(R u.l.b. (I Xτ P (Y. t P = (I X P (Y. t τ P = (I X P (Y. 1 [[,τ]] ( t. Bevisskitse. A er en konsekvens af det Monotone Klasse Lemma. B og D følger ved gentagen brug af A, og C skyldes, at konvergens i sandsynlighed er sammenfaldende for ækvivalente mål. Lad mig for fuldstændighedens skyld sige lidt mere om beviset for D. Lad en stokastisk integrator (X t og en stoptid τ være givet. Afbildningen P(R u.l.b. (Y t (I X P (Y. t τ C h opfylder klart 1 og 3 i Definition SI, og ifølge formel (1 er den derfor et stokastisk integral mht. (X τ t. Dvs. (X τ t er en stokastisk integrator, og den første lighed er dermed en konsekvens af A. Den anden vises tilsvarende ved at indse, at afbildningen P(R u.l.b. (Y t (I X P (Y. 1 [[,τ]] ( t C h også er et stokastisk integral mht. (X τ t. Her er det i stedet formel (2, der sikrer punkt 2 i Definition SI. Ved brug af formlerne i D kan man for enhver stokastisk integrator (X t på kanonisk vis udvide det tilhørende stokastiske integral IP X til et integral på LP(R u.l.b.. Eksistensen af en sådan udvidelse beror på, at for ethvert (Z t LP(R u.l.b. eksisterer lim n (I X P (Z. 1 [[,τn]]( t 26

27 i d p, for enhver lokaliserering (τ n så at (Z t 1 [[,τn]](t P(R u.l.b. for alle n 1. Eksistensen af grænseværdien fås af D og Korollar 2, idet (I X P (Z. 1 [[,τn]]( t P = (I X P (Z. 1 [[,τn+1 ]]( 1 [[,τn]]( t P = (I X P (Z. 1 [[,τn+1 ]]( τn t for alle n; og er (S n en eventuel anden lokalisering med samme egenskab gælder ifølge integralets kontinuitet og punkt D, at (I X P (Z. 1 [[,Sk ]]( t P = lim n (I X P (Z. 1 [[,Sk ]]( 1 [[,τn]]( t P = lim n (I X P (Z. 1 [[,τn]]( S k t P = (I X P (Z. S k t for alle k, hvilket sikrer uafhængigheden af den valgte lokalisering. (Z t LP(R u.l.b. er mængden L X P (Z. C h bestemt ved For ethvert {d P - lim n (I X P (Z. 1 [[,τn]]( t (τ n lokalisering, (Z t 1 [[,τn]](t P(R u.l.b. n 1} derfor ikke tom, og dens elementer er P-ækvivalente. Defineres derfor en afbildning ĨP X fra LP(R u.l.b. ind i C h, så at (ĨX P (Z. t L X P(Z. for alle (Z t LP(R u.l.b. ses, at sådan afbildning er et stokastisk integral mht. (X t på LP(R u.l.b.. 1 og 2 i Definition SI er oplagte, og 3 skyldes, at der ifølge ovenstående udregninger gælder (ĨX P (Z. 1 [[,τ]] ( t P = (ĨX P (Z. τ t for alle (Z t LP(R u.l.b. og alle stoptider τ. For heraf følger, at hvis (Y n t n 1 konvergerer LP(R u.l.b. -domineret mod (Y t, så findes der en lokalisering (τ k, så at og dermed (Yt n 1 [[,τk ]](t konvergerer P(R u.l.b. -domineret mod (Y t 1 [[,τk ]](t lim n (I X P (Y n. 1 [[,τk ]]( t P = (I X P (Y. 1 [[,τk ]]( t i d P for alle k 1, hvilket tilsammen viser 3. 27

28 Appendiks 2. For en given ikke-tom mængde E betegner b R E mængden af alle begrænsede reelle funktioner defineret på E. Definition En delmængde H br E kaldes et MVR, hvis H opfylder flg. betingelser. i H er et vektorrum. ii H indeholder alle konstante funktioner. iii H er stabil under monoton begrænset konvergens, dvs. (f n n 1 H, f n f n+1 f punktvis og f br E f H. Bemærk at bm(e er et MVR for enhver σ-algebra E på E. Det Monotone Klasse Lemma For ethvert MVR H og enhver multiplikativ delmængde K br E, dvs. f, g K fg K, gælder implikationen K H bm(σ(k H. Resultatet er ofte anvendeligt, hvis man ønsker at vise, at alle elementer i bm(e, hvor E er en σ-algebra på E, har en given egenskab p. Idet man så først viser, at H := {f bm(e f har egenskaben p} udgør et MVR, hvorefter resultatet følger, hvis man kan vise, at H indeholder en multiplikativ delmængde K, som er så stor, at σ(k = E. 28

29 Stokastisk integration B. For bedre at forstå konstruktionen af de to hovedtyper af stokastiske integraler indføres lidt notation hørende til et (A t V(P. Definer for (Y t Pr(R + og t ( t Y s (ω da s (ω ω V A (t ω L.S. Y s da s (ω = ω / V A (t, hvor V A (t = {ω s A s (ω er voksende i [, t] }. L.S. notationen er valgt for at understrege tilknytningen til Lebesgue-Stieltjes integralet. Da V A (t F t er den herved definerede variabel F t -målelig med værdier i R +. Herudfra defineres to lineære procesrum og dvs. L 1 (A., P := {(Y t Pr(R L.S. L 2 (A., P := {(Y t Pr(R L.S. Y s da s < P -n.o. for alle t} Y 2 s da s < P -n.o. for alle t}, (Y t L 2 (A., P (Y 2 t L 1 (A., P. Til senere brug udvides ovenstående L.S.-variabel til hele L 1 (A., P via fastsættelsen L.S. Y s + da s L.S. Ys da s hvis L.S. Y s da s < L.S. Y s da s := ellers. Det ses let, at Pr(R l.b. L 2 (A., P L 1 (A., P, samt at de to L-rum er stabile under multiplikation med processer i Pr(R l.b.. Endvidere er ( P L.S. Y s da s = (I A (Y. t for alle (Y t E(F.. Vi er især interesserede i delrummene L 1 (E, A., P og L 2 (E, A., P, hvor L 1 (E, A., P betegner de elementer (Y t i L 1 (A., P, for hvilke der findes en følge (Yt n E(F., så at L.S. Y s Y n s da s n i P -mål for alle t. og tilsvarende L 2 (E, A., P de elementer (Z t i L 2 (A., P, for hvilke der findes en følge (Zt n E(F., så at L.S. (Z s Z n s 2 da s n i P -mål for alle t. 29

30 Bemærk at trekantsuligheden og Cauchy-Schwarz s Ulighed tilsammen viser, at hvis hhv. så gælder L.S. L.S. Y s Y n s da s n i P -mål for alle t. (Z s Z n s 2 da s n i P -mål for alle t. hhv. L.S. L.S. Y n s da s n L.S. (Z n s 2 da s n L.S. Y s da s i P -mål for alle t Z 2 s da s i P -mål for alle t. L 1 (E, A., P og L 2 (E, A., P er oplagt lineære rum, som hver især er stabile under multiplikation med processer i P(R l.b.. Det næste resultat omhandler størrelsen af L 1 (E, A., P og L 2 (E, A., P. Proposition 7 L 1 (E, A., P / L 2 (E, A., P indeholder begge alle previsible samt alle P-venstrekontinuerte elementer i L 1 (A., P / L 2 (A., P, og hvis (A t V c (P er L 1 (E, A., P = L 1 (A., P og L 2 (E, A., P = L 2 (A., P. Udsagnet vedrørende de previsible / P-venstrekontinuerte elementer følger af det Monotone Klasse Lemma og Lebesgue s Sætning. Identiteterne er mere komplicerede, og læseren henvises til Lemma 5.4 på side 185 i R. Sh. Liptser og A.N. Shiryaev s bog Stochastics of Random Processes. I tilfældet (A t = (t følger det dog ved et simpelt approksimerende kerne -argument. Approksimationen i sandsynlighed kan skærpes under passende integrabilitetsbetingelser. F.eks. gælder flg. resultat. Korollar 4 Hvis (A t V c (P er integrabel, findes til ethvert (Y t L 2 (A., P, som opfylder E[ L.S. en følge (Yt n E(F., så at E[ L.S. Y 2 s da s ] < for alle t >, (Y s Y n s 2 da s ] for alle t >, Bevisskitse. Det er klart nok at vise, at der for ethvert n 1 findes et (Yt n E(F., så at E[ L.S. n (Y s Y n s 2 da s ] 1/n. Men sættes Y t, M = M Y s ( M for alle t og M >, ses, da E[ L.S. n (Y s Y s, M 2 da s ] M 3

31 for alle n ifølge Lebesgue s Sætning, ved et trekantsargument at vi kan antage, at (Y t er uniformt begrænset. Men for sådanne følger egenskaben af Proposition 7 og integrabiliteten af (A t. Bemærk endvidere at fuldstændigheden af L 2 -rummet hørende til målrummet hvor for t > µ t (B = E[ L.S. ([, t ] Ω, B([, t ] F t, µ t, sikrer, at hvis (Z n t n 1 L 2 (A., P opfylder, at 1 B (s, da s ] B B([, t ] F t, lim E[ L.S. (Zs n Zs m 2 da s ] = for alle t >, n,m så findes der et (Z t L 2 (A., P, så at E[ L.S. (Z n s Z s 2 da s ] for alle t >. Lad mig til slut nævne flg. evidente faktum. For ethvert (A t V(P og enhver stoptid τ er for i = 1, 2 L i (A., P L i (A τ., P og L i (E, A., P L i (E, A τ., P; og hvis for elementer (Z n t n 1 og (Z t i L 2 (A., P L.S. for alle t, så gælder også L.S. (Z n s Z s 2 da s i P -mål (Z n s Z s 2 da τ s i P -mål for alle t. Der gælder selvfølgeligt et tilsvarende resultat i L 1 (A., P. 31

32 Stokastisk integration C. Vi er nu klar til at vise, at alle processer i V(P og i MI(P og dermed også i BV(P + MI(P er integratorer, samt at konstruere de tilhørende kanoniske integraler. Fremgangsmåden er i begge tilfælde at vise, at de tilhørende simple integraler er tilstrækkeligt d P -kontinuerte. Bevisteknikkerne vil dog være helt forskellige afspejlende forskellen mellem et generelt element i V(P og MI(P. Betragt først et (A t V(P være givet. Da (I A (Y. t og (L.S. Y s da s er P-uskelnelige for alle (Y t E(F., gælder for ethvert par af processer (Y t, (Z t E(F. at P( sup I A (Y. s I A (Z. s ɛ = P( sup I A (Y. Z. s ɛ s k s k = P( sup I A (Y. Z. s ɛ = P( sup L.S. s Q [,k ] s Q [,k ] P( sup s Q [,k ] L.S. s Y u Z u da u ɛ P(L.S. s k (Y u Z u da u ɛ Y s Z s da s ɛ for alle k 1 og ɛ >. Ifølge Proposition 4 eksisterer lim n (I A (Y n. t derfor i d p for ethvert (Y t L 1 (E, A., P og enhver følge (Yt n E(F. så at L.S. Y s Y n s da s n i mål for alle t. Eksistensen af grænseværdien for enhver approksimerende følge viser, at grænseværdien ikke afhænger af den eksplicit valgte approksimerende følge. For blandes to approksimerende følger fås en ny approksimerende følge, hvori de to oprindelige optræder som delfølger. Vi kan derfor til ethvert (Y t L 1 (E, A., P tilordne en ikke-tom delmængde L A P (Y. C h(p givet ved {d P - lim n (I A (Y n. t Y n t E(F. : L.S. Y s Y n s da s i mål for t }. Elementerne i L A P (Y. er som netop vist P-ækvivalente, og ved at udnytte lineariteten af I A indses let, at der yderligere gælder a al A P (Y. + bla P (Z. LA P (ay. + bz. (Y t, (Z t L 1 (E, A., P og a, b R. b L A P (Y. = LA P (Z. hvis (Y t, (Z t L 1 (E, A., P er P-ækvivalente. c (I A (Y. t L A P (Y. for (Y t E(F.. Defineres derfor en afbildning I A P fra L1 (E, A., P ind i C h (P så at (I A P(Y. t L A P(Y. for alle (Y t L 1 (E, A., P 32