t x 1 e t dt. Man kan let vise, at dette integral er endeligt for positive x- værdier (se f.eks. [EA, s ]).
|
|
- Rebecca Berg
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Artikel 35 Gammafunktionen En introduktion Jacob Stevne Jørgensen I 1700-tallet var interolation en vigtig discilin blandt matematikere. Det handler om ud fra et givet datasæt at finde en funktion, hvis graf gennemløber datasættet. Det var allerede velkendt, at funktionen f : R R (eller C C for den sags skyld) givet ved f(x) = x(x+1) 2 giver summen af de x første naturlige tal (det x te trekanttal) for x N. f interolerer således trekanttallene. Det var derfor naturligt for datidens matematikere at sørge sig selv: Er det også muligt at finde en funktion, der interolerer fakultetsfunktionen? Altså en funktion, der giver x! for x N, men også er defineret for andre x-værdier. 14 Gammafunktionen blev ofundet som en løsning til dette interolationsroblem. Definition 1 Der skal med Gammafunktionen forstås funktionen Γ :]0, [ R givet ved Γ(x) = 0 t x 1 e t dt. Man kan let vise, at dette integral er endeligt for ositive x- værdier (se f.eks. [EA, s ]). 14 Med vores nutidige funktionsbegreb er det klart, at der findes uendeligt mange funktioner, der interolerer fakultetsfunktionen. Ved blot at indtegne unkterne (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24),..., (n, n!),... og forbinde dem å en vilkårlig måde har man konstrueret en (kontinuert!) løsning til roblemet. I 1700-tallet var funktionsbegrebet imidlertid ikke så veludviklet. En funktion var snarere lig en formel eller et ekslicit udtryk.
2 36 Gammafunktionen Ved at bruge artiel integration ser man, at Gammafunktionen ofylder funktionalligningen Γ(x + 1) = xγ(x). (1) Ved at bruge denne funktionalligning gentagne gange ser man, at for x > 0, n N er Γ(x + n) = (x + n 1)(x + n 2)... (x + 1)xΓ(x). (2) Ved at sætte x = 1 i Definition 1 ser man, at Γ(1) = 1, og ved at sætte x = 1 i (2) fås nu Γ(n + 1) = n!, n N, der viser, at Gammafunktionen rent faktisk interolerer fakultetsfunktionen. (Dog med forskudt argument). Fra (2) får vi, at Γ(x) = Γ(x + n), x > 0, n N. x(x + 1)... (x + n 1) Højresiden er veldefineret for x > n, når blot x / {0, 1, 2,..., n + 1}. Dermed kan vi udvide definitionsmængden for Gammafunktionen fra ]0, [ til R \ Z 0. Mere end blot interolation Skønt Gammafunktionen blev ofundet som løsning til et interolationsroblem, stod det hurtigt klart, at funktionen var interessant i sig selv. Den siller en vigtig rolle i sandsynlighedsregning og teoretisk fysik, og den indgår i et væld af identiteter, bl.a. en sejlingsformel, der binder den sammen med de trigonometriske funktioner. Famøs setember 2013
3 Jacob Stevne Jørgensen 37 I resten af denne artikel vil vi vise nogle af disse sændende resultater. Vi vil starte med et entydighedsresultat om Gammafunktionen. Entydig karakterisering å ]0, [ Det er klart, at der findes uendeligt mange funktioner, der ofylder funktionalligningen f(x + 1) = xf(x). Har man én kan man gange den med en vilkårlig eriodisk funktion med eriode 1, og man vil få en ny. Hvis man yderligere kræver, at funktionen skal antage værdien 1 i 1, er der stadig uendeligt mange (hvis f ofylder funktionalligningen, så vil f(x) f(1) også ofylde funktionalligningen og yderligere tage værdien 1 i 1). Disse to kriterier er derfor ikke nok til at karakterisere Gammafunktionen entydigt. Imidlertid er der et tredje kriterium, der sorterer Gammafunktionen ud fra de uendeligt mange andre funkioner, og det er kriteriet om logaritmisk konveksitet. Definition 2 En funktion, f, siges at være konveks, hvis der for a < x < b gælder f(x) f(a) x a f(b) f(a) b a f(b) f(x). b x En strengt ositiv funktion, f, siges at være logaritmisk konveks, hvis log f er konveks. Med ord vil det sige, at en funktion er konveks, hvis hældningen af korden mellem to unkter å grafen vokser, når højre såvel som venstre endeunkt vokser.
4 38 Gammafunktionen f a x b Figur 1 En konveks funktion I 1922 odagede de danske matematikere Johannes Molleru og Harald Bohr 15, at disse tre kriterier var nok til at karakterisere Gammafunktionen entydigt. Sætning 3 (Bohr-Mollerus sætning) Gammafunktionen ofylder, at Γ(1) = 1, at Γ(x + 1) = x Γ(x) for alle x R \ Z 0, og at Γ ]0, [ er logaritmisk konveks. Hvis f : A R, hvor ]0, [ A R ofylder (i) f(1) = 1, (ii) f(x + 1) = xf(x) for alle x A, (iii) f ]0, [ er logaritmisk konveks, så er f(x) = Γ(x) for alle x A \ Z Udover at være matematiker var han en glimrende fodboldsiller, der vandt OL-sølv med det danske landshold i Han var rofessor her ved instituttet, og du har måske røvet at sidde i hans sofagrue, der var udstillet i frokoststuen å fjerde sal i foråret. Famøs setember 2013
5 Jacob Stevne Jørgensen 39 Bevis. Vi har allerede set, at Γ(1) = 1 og at Γ(x + 1) = xγ(x) er ofyldt. At vise, at Gammafunktionen er logaritmisk konveks, kræver lidt mere arbejde. Et vigtigt (og ikke trivielt) resultat om logaritmisk konvekse funktioner er, at summen af to logaritmisk konvekse funktioner igen er logaritmisk konveks. (Dette kan vises ved Hölders ulighed). Et andet vigtigt resultat er, at den unktvise grænse af en følge af logaritmisk konvekse funktioner igen er logaritmisk konveks. Kombinationen af disse resultater giver, at integralet af en logaritmisk konveks funktion igen er logaritmisk konveks. Vi skal altså blot vise, at x t x 1 e t er logaritmisk konveks for hvert t > 0. Lad t > 0 være givet. Nu vil log(t x 1 e t ) = (x 1) log(t) t være affin og dermed konveks (kordehældningen vil være konstant og dermed svagt voksende som funktion af venstre såvel som højre endeunkt). Antag nu, at f ofylder (i)-(iii). Ved (ii) ser vi, at f(x + n) = (x + n 1)(x + n 2)... x f(x) (3) for alle x ]0, [, n N, og ved at bruge (i), gælder f(n) = (n 1)! (4) Dermed stemmer f overens med Γ å N. Hvis vi kan vise, at de også stemmer overens å ]0, 1], så følger det af (ii), at de stemmer overens å hele A \ Z 0. Lad derfor x ]0, 1] være givet. Ved at bruge (iii) har vi følgende ulighed for n 2. log f(n) log f(n 1) log f(x + n) log f(n) [ n (n 1) (x + n) n log f(n + 1) log f(n) (n + 1) n
6 40 Gammafunktionen Ved brug af (4) fås nu log(n 1) Det vil sige log(f(x + n)) log((n 1)!) x log(n) log((n 1) x (n 1)!) log(f(x + n)) log(n x (n 1)!) Ved at tage eksonentialfunktionen å denne ulighed og herefter benytte (3), fås (n 1) x (n 1)! x(x + 1) (x + n 1) f(x) n x (n 1)! x(x + 1) (x + n 1) Da n ikke længere indgår i den midterste term, kan vi ofatte ovenstående som to searate uligheder, der begge holder for n 2. Altså må vi godt oerere med forskellige værdier af n til venstre og højre henholdsvist, og secielt kan vi gå ind i venstresiden med n + 1, hvilket giver n x n! x(x + 1) (x + n) f(x) n x (n 1)! x(x + 1) (x + n 1). En simel maniulation med disse uligheder giver n f(x) x + n n x n! x(x + 1) (x + n) f(x), og tager vi grænseværdien for n, får vi for alle x ]0, 1]. n x n! f(x) = lim n x(x + 1) (x + n), Famøs setember 2013
7 Jacob Stevne Jørgensen 41 Da Γ også ofylder (i)-(iii), må der ligeledes gælde n x n! Γ(x) = lim n x(x + 1) (x + n) (5) for x ]0, 1], hvorved sætningen er vist. Stirlings Formel og Gauss Multilikationsformel Bohr-Mollerus sætning gør det let at vise identiteter om Gammafunktionen. Vi vil her illustrere dette, ved at vise to store resultater om Gammafunktionen ved hjæl af den. Sætning 4 (Stirlings Formel) For x > 0 er Γ(x) = 2πx x 1 2 e x+µ(x), (6) hvor µ(x) = n=0 g(x + n) og g(x) = (x ) log(1 + 1 x ) 1. (Gauss Multilikationsformel) For hvert N og x R \ Z 0 er Γ(x) = x (2π) 2 Γ( x x+1 x+ 1 )Γ( )... Γ( ). (7) Stirlings formel er en måde at aroksimere Gammafunktionen å ved hjæl af simlere funktioner. µ(x) 0 for x, så fejlen ved at se bort fra µ bliver mindre og mindre, des større x bliver. Gauss Multilikationsformel er en æstetisk sammenhæng mellem Γ(x) og 1 x+i i=0 Γ( ), der holder for alle naturlige tal. Vi viser de to formler ved først at vise to lemmaer, der giver os formlerne å nær nogle multilikative konstanter. Dernæst fastslår vi konstanterne.
8 42 Gammafunktionen Lemma 5 For hvert N findes en konstant b R så for alle x R \ Z 0. 1 Γ(x) = b x i=0 Γ( x+i ) Bevis. Lad N og lad f : R\Z 0 R betegne funktionen med forskriften 1 f(x) = x Γ( x+i ). i=0 Vi viser, at f ofylder (ii) og (iii) fra Bohr-Mollerus sætning. Derved adskiller f sig fra Γ med en multilikativ konstant, og lemmaet er vist. Vi ser, at x x er logaritmisk konveks for x > 0, da log x = x log er affin. Da Γ er logaritmisk konveks å ]0, [, er x Γ( x+i ) det også for i {0, 1,..., 1}. Produktet af logaritmisk konvekse funktioner er igen logaritmisk konveks, og dermed ofylder f kriterium (iii) fra Bohr-Mollerus sætning. f ofylder også funktionalligningen, da f(x + 1) = x+1 Γ( x+1 for alle x R \ Z 0. = x Γ( x+1 = xf(x) x+2 ) Γ( x+2 ) Γ( Lemma 6 Der findes et a R så hvor µ er som i (6). )... Γ( x+ 1 )... Γ( x+ 1 Γ(x) = a x x 1 2 e x+µ(x), x > 0, ) Γ( x+ ) ) x Γ( x ) Famøs setember 2013
9 Jacob Stevne Jørgensen 43 Bevis. Af hensyn til artiklens omfang udelader vi beviset for, at rækken for µ konvergerer, og at µ(x) 0 for x. (For et bevis se [EA, s ]. Vi bærer os ad som i beviset for Lemma 5. Lad først funktionen f være giveet ved f(x) = x x 1 2 e x+µ(x) for x > 0. Først viser vi den logaritmiske konveksitet å ]0, [. Hvis vi kan vise, at x x x 1 2, x e x og x e µ(x) hver især er logaritmisk konvekse, så vil deres rodukt, f, også være det. En funktion er konveks, hvis og kun hvis dens andenafledede er ikke-negativ. x x x 1 2 er logaritmisk konveks, da d 2 dx 2 log(xx 1 2 ) = d 2 (( dx 2 x 1 ) 2 ( log(x) + x 1 2 x = d dx ) log(x) ) = 1 x + 1 2x 2 > 0 for x > 0. Ligeledes er x e x logaritmisk konveks, da d 2 dx 2 (log(e x )) = d2 ( x) = 0, dx2 for alle x R og dermed secielt for x > 0. Hvis vi kan vise, at x g(x) er konveks, så vil x µ(x) være konveks (da konveksitet bevares ved summer og grænseværdier).
10 44 Gammafunktionen Men dette svarer neto til, at x e µ(x) er logaritmisk konveks. g (x) = d2 ( ) dx 2 (x ) log(1 + 1 x ) 1 ( = d dx = log(1 + 1 x ) x x 2 (1 + 1 x ) 1 x 2 (1 + 1 x ) x2 (1 + 1 x ) (x )(2x(1 + 1 x ) x2 x 4 (1 + 1 x )2 = 2x2 (1 + 1 x ) + 2x2 (1 + 1 x ) x + x(1 + 1 x ) 1 2 x 4 (1 + 1 x )2 1 = 2x 4 (1 + 1 > 0, x )2 ) x 2 ) for x > 0, så g er konveks. Nu mangler vi blot at vise, at f ofylder Gammafunktionens funktionalligning. Ved at skrive f(x + 1) = (x + 1) x+ 1 2 e x 1 e µ(x+1) f(x) = x x+ 1 2 x 1 e x e µ(x), ser vi, at f(x + 1) f(x) = ( ) x+ 1 2 x x e eµ(x+1) µ(x). (8) Famøs setember 2013
11 Jacob Stevne Jørgensen 45 Vi undersøger µ(x + 1) µ(x): µ(x + 1) µ(x) = g(x + n + 1) g(x + n) n=0 = g(x) + lim g(m) m ( = g(x) + lim log Ved at indsætte i (8) får vi m = g(x) + lim m ( ) m m 1 ( ( ) ) m log m + log m 1 = g(x) + log(e) + log( 1) 1 = g(x). e µ(x+1) µ(x) = e g(x) = f(x + 1) f(x) e e log(1+ 1 x )x+ 1 2 = x ) e = (1 + 1 x )x+ 1 2 for alle x > 0, hvorved der ved Bohr-Mollerus sætning findes en konstant a, så Γ(x) = af(x) for alle x > 0. Nu er vi klar til at vise Sætning 4. Bevis. Det vi skal vise er blot, at a = 2π i Lemma 6 og b = 1 2 (2π) 1 2 i Lemma 5. Imidlertid får vi brug for næsten al den teori, vi hidtil har udviklet om Gammafunktionen. Lad N. For at (i) fra Bohr-Mollerus sætning kan være overholdt, må b 1 = i=1 ( i Γ. )
12 46 Gammafunktionen Går vi ind i denne formel med (5), 16 får vi b 1 n! n i = lim n i i=1 ( i + 1)... ( i + n) n! n i = lim n+1 n i(i + )... (i + n) i=1 = lim (n!) n 1 i=1 i n+ n (n + )! ( (n!) n +1 2 n+ ) = lim. n (n + )! Den sidste linje ganger vi med 1 = lim og får n i=1 ( 1 + i ) = lim n n b 1 ( ) n + i i=1 n = lim n ( (n!) n 1 2 n ) = lim. n (n)! Nogle af faktorerne kan nu omskrives vha. Lemma 6. (n + )! (n)! (n), (n!) = (n a n n 1 2 e n+µ(n) ) = a n n+ 2 e n+µ(n). (n)! = a (n) n+ 1 2 e n+µ(n). Indsættes disse i udtrykket for b 1, fås b 1 = a 1 lim n eµ(n) µ(n). 16 Vi har kun vist, at formel (5) holder å ]0, 1], men det er let at udvide til R \ Z 0. Famøs setember 2013
13 Jacob Stevne Jørgensen 47 Da imidlertid µ(x) 0 for x, vil µ(n) µ(n) n 0, og b 1 = a 1. (9) For = 2 har vi altså ( ) 2 a = b 1 2 = 2Γ 1 2 Γ(1) = 2 π, hvor vi ved sidste lighedstegn har brugt Γ( 1 2 ) = π (hvilket kan vises uafhængigt af denne sætning, f.eks. ved formlen Γ(x)Γ(1 x) = π sin πx ). Nu har vi, at a = 2π og ved (9) at b = 1 2 (2π) 1 2, hvorved sætningen er vist. Blod å tanden? Har du fået blod å tanden og vil vide mere om Gammafunktionen, så skal du være velkommen til at læse mit bachelorrojekt (henvendelse å m10jsj@math.ku.dk), der udover resultaterne i denne artikel også indeholder en udvidelse af Gammafunktionen til at tage komlekse værdier, samt en masse saftige resultater om den komlekse Gammafunktion. Litteratur [EA] Artin, Emil: The Gamma Function, Holt, Rinehart and Winston (1964). (Oversat af M. Butler fra den tyske originaludgave Einführung in die Theorie der Gammafunktion, B. G. Teubner (1931)), htt:// %20The%20Gamma%20Function%20(1931)(23s).df.
Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereFagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 23. årgang, nr. 1, september 2013
FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 23. årgang, nr. 1, september 2013 SuperSune: Præmieopgaveløseren af stål Redaktion Jingyu She, Kristian Knudsen Olesen, Maria Bekker-Nielsen Dunbar,
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereA. Appendix: Løse ender.
Løse ender A.1 A. Appendix: Løse ender. (A.1). I dette appendix giver vi et bevis for Bertrand s Postulat, nævnt i Kapitel 1. Som nævnt følger Postulatet af en tilstræelig nøjagtig vurdering af primtalsfuntionen
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs mereKonvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereFagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik
, september 2013 Oplag: 400 stk. ISSN: 1903-2722 Fagbladet Famøs c/o Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø http://www.math.ku.dk/famos/ Famøs er et internt
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereKapitel 7. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse Øvelse a = 3 0, = 8 2,6 3 = 25 3, , =
ISBN 978877066879 Kaitel 7 Øvelse 71 1 3 4 ( x + 6) ( x 4) (y + 3 z) (y 3 z) (m + 10) Øvelse 74 a 3 5 = 4,6 49 7 = 7,0 3 0,1875 16 = 8,6 3 = 5 3,57148 7 = 10 0, 76930 13 = Stregerne over tallene efter
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereFunktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereSvingninger. Erik Vestergaard
Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereKirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino
12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereMike Vandal Auerbach. Funktioner.
Mike Vandal Auerbach Funktioner y f g x www.mathematicus.dk Funktioner. udgave, 208 Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx A- og B-niveau. Det indledende kapitel beskriver selve funktionsbegrebet,
Læs merePartielle afledede og retningsafledede
Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereNOGET OM ELLIPSEN. Mogens Esrom Larsen 20. april Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet
Noget om ellisen NOGET OM ELLIPSEN Mogens Esrom Larsen 20. aril 2012 Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet Ellisen som keglesnit. Ellisen er et af de første matematiske
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereAng. skriftlig matematik B på hf
Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet
Læs mereDiploMat. Eksempel på 4-timersprøve.
DiloMat. Eksemel å 4-timersrøve. Preben lsholm Maj 4 Ogave Vi skal løse ligningen e i 4 z 3 i = Løsningen skal angives å olær form, dvs. å formen re i, hvor r > og R. Først nder vi e i 4 z = 3 Heraf fås
Læs mereDen harmoniske svingning
Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder
Læs mereIndhold. Forord. Det græske alfabet. 1. Kontinuitet og grænseværdi Indledning Kontinuitet Opgaver til 1.2
Indhold Forord Det græske alfabet 1. Kontinuitet og grænseværdi 1.1. Indledning 1.2. Kontinuitet Opgaver til 1.2 1.3. Regning med kontinuerte funktioner Opgaver til 1.3 1.4. Kontinuerte funktioners egenskaber
Læs mereSide 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik
Læs mere13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b
3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 17. marts 2015 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereGraph brugermanual til matematik C
Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereViètes formel Jens Siegstad
6 Viètes formel Jens Siegstad Vi skal i denne artikel vise Viètes formel. Theorem 1 (Viètes formel) π = = a k + + hvor a n = + a n 1 for n > 1 og a 1 =. +... Ovenstående formel blev vist i 1593 af Francois
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereSide 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mere