Her skal du lære om 1. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler

Transkript

1 Oversigt [S] 8.2 Her skal du lære om. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Calculus Uge 4. -

2 Uendelig række Definition Givet en talfølge {a n }. Calculus Uge

3 Uendelig række Definition Givet en talfølge {a n }. Udtrykket a + + a n +... kaldes en uendelig række. Calculus Uge

4 Uendelig række Definition Givet en talfølge {a n }. Udtrykket a + + a n +... kaldes en uendelig række. Skrives også a n Calculus Uge

5 Harmonisk række Eksempel Talfølgen { n } giver rækken Skrives også n +... n Calculus Uge

6 Harmonisk række Eksempel Talfølgen { n 2 } giver rækken Skrives også n n 2 Calculus Uge

7 Afsnitssum 2 Definition Rækken a n har n-te afsnitssum s n = a + + a n = n i= a i Calculus Uge

8 Afsnitssum 2 Definition Rækken a n har n-te afsnitssum s n = a + + a n = n i= a i Rækken kaldes konvergent, hvis talfølge {s n } er konvergent og i modsat fald divergent. Calculus Uge

9 Afsnitssum 2 Definition Rækken a n har n-te afsnitssum s n = a + + a n = n i= a i Rækken kaldes konvergent, hvis talfølge {s n } er konvergent og i modsat fald divergent. s = lim n s n kaldes rækkens sum og skrives a n = s Calculus Uge

10 Enkel udregning Eksempel 6 Rækken n(n + ) +... har led a n = n(n + ) = n n + Calculus Uge

11 Enkel udregning Eksempel 6 Rækken n(n + ) +... har led og afsnitssum a n = n(n + ) = n n + s n = n n + = n + Calculus Uge

12 Enkel udregning Eksempel 6 Afsnitssummen er konvergent s n = n + når n Calculus Uge

13 Enkel udregning Eksempel 6 Afsnitssummen er konvergent s n = n + når n Rækken er da konvergent n(n + ) = Calculus Uge

14 Geometrisk række 4 Sætning (Geometrisk række) Den geometriske række n=0 ar n = a + ar + ar er konvergent for r < med sum n=0 ar n = a r Calculus Uge

15 Geometrisk række 4 Sætning (Geometrisk række) Den geometriske række n=0 ar n = a + ar + ar er konvergent for r < med sum n=0 ar n = a r Rækken er divergent for øvrige r (a 0). Calculus Uge

16 Bevis geometrisk række Bevis Afsnitssummen findes som kvotientrække s n = a + ar + ar ar n = a rn+ r Så rækken er konvergent for r < med sum n=0 ar n = a r Calculus Uge

17 En sum findes Eksempel Den geometriske række n=0 2 n har r = 2 og er konvergent. Calculus Uge

18 En sum findes Eksempel Den geometriske række n=0 2 n har r = 2 og er konvergent. Summen findes n=0 2 = n 2 = 2 Calculus Uge

19 Led forsvinder 6 Sætning Hvis rœkken a n er konvergent, så gœlder lim a n = 0 n Calculus Uge 4. -

20 Led forsvinder 6 Sætning Hvis rœkken a n er konvergent, så gœlder Bevis Antag s n s når n. når n. lim a n = 0 n a n = s n s n s s = 0 Calculus Uge 4. -

21 Divergente rækker Eksempler Den geometriske række ( ) n = n=0 er divergent. Calculus Uge

22 Divergente rækker Eksempler Den geometriske række ( ) n = n=0 er divergent. Rækken er divergent Calculus Uge

23 Divergent med forsvindende led Eksempel 7 (Paspå) Den harmoniske række n har led n 0 når n Men rækken er divergent. Calculus Uge

24 Divergent med forsvindende led Eksempel 7 (Paspå) Afsnitssummen s 2 n = ( ) + ( ) n n n 2 n = + n 2 giver en divergent følge. Calculus Uge

25 Kriterie for divergens 7 Sætning Hvis lim n a n ikke eksisterer eller lim n a n 0, så er rœkken divergent. a n Calculus Uge

26 Kriterie for divergens 7 Sætning Hvis lim n a n ikke eksisterer eller lim n a n 0, så er rœkken divergent. Bevis Omformuler Sætning 6. a n Calculus Uge

27 Divergente rækker Eksempel Rækken ( n ) har led som konvergerer og er da divergent. a n = n for n Calculus Uge

28 Nyttige regler 8 Sætning (Regneregler) Calculus Uge

29 Nyttige regler 8 Sætning (Regneregler). ca n = c a n Calculus Uge

30 Nyttige regler 8 Sætning (Regneregler). ca n = c a n 2. (a n + b n ) = a n + b n Calculus Uge

31 Nyttige regler 8 Sætning (Regneregler). ca n = c a n 2. (a n + b n ) = a n + b n 3. (a n b n ) = a n b n Calculus Uge

32 Brug sumreglen Eksempel 9 Rækken 3 ( n(n + ) + 2 n) er sum af to konvergente rækker. Calculus Uge

33 Brug sumreglen Eksempel 9 Rækken 3 ( n(n + ) + 2 n) er sum af to konvergente rækker. 3 ( n(n + ) + 2 n) = 3 n(n + ) + 2 n Calculus Uge

34 Brug sumreglen Eksempel 9 Fra tidligere 3 n(n + ) = 3 n(n + ) = 3 2 n = 2 = Calculus Uge

35 Brug sumreglen Eksempel 9 Fra tidligere 3 n(n + ) = 3 n(n + ) = 3 Giver i alt 2 n = 2 = 3 ( n(n + ) + 2 n) = 3 + = 4 Calculus Uge

36 Opgave Øvelse 28 Undersøg rækken n ln( n + ) Calculus Uge

37 Opgave Øvelse 28 Undersøg rækken n ln( n + ) Ledene konvergerer n ln( ) ln() = 0 n + for n så divergenstesten giver os intet. Calculus Uge

38 Opgave Øvelse 28 Om afsnitssummen gælder s n = ln( 2 ) + ln(2 3 ) + + ln( n n + ) = ln( n n + ) = ln( n + ) s n for n Calculus Uge

39 Opgave Øvelse 28 Altså er rækken divergent. n ln( n + ) Calculus Uge

40 Opgave Øvelse 28 Altså er rækken divergent. n ln( n + ) Men det går langsomt s 0 6 ln(0 6 ) 4 Calculus Uge