ANALYSE 1, 2013, Uge 2

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "ANALYSE 1, 2013, Uge 2"

Transkript

1 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består udelukkende i deres fortolkning. Tlfølgen fortolker vi blot som opremsningen f dens led, men når vi tler om en række tænker vi os t leddene lægges smmen. Groft sgt drejer det sig ltså om en sum f uendelig mnge tl. Det vigtigste er t klrlægge om det overhovedet giver mening t sige hvd summen giver, hvilket kldes konvergens f rækken (TL For rækker med udelukkende positive led findes (TL 12.2 nogle nyttige kriterier (også kldet tests for konvergens: integrlkriteriet, smmenligningskriteriet, kvotientkriteriet og rodkriteriet. Det næste emne (TL 12.3 er konvergens f lternerende rækker, hvor leddene er skiftevis positive og negtive. Til slut (TL 12.4 behndles generelle tlrækker, hvor der ingen fortegnskrv er til de enkelte led. De enkelte led kn endd også være komplekse tl. Her indføres bsolut konvergens som det vigtigste begreb. Herudover eksempler. Bemærk t fsnit mrkeret med * i Lindstrøms Klkulus som regel kun er kursorisk pensum: Der vil ikke direkte blive stillet opgver i disse fsnit til eksmen, men kendskb til resultterne i fsnittene kn f og til være en hjælp. Det gælder feks fsnittet Ombytte v led i TL Torsdg: Vi generliserer (TL 12.5 tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner. Det svrer gnske nøje til sidste uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger. Et centrlt resultt er Weierstrss mjorntkriterium (TL Sætning Afsnit 12.5 om funktionsrækker suppleres med en uddybning, som findes til sidst på denne ugeseddel. 1

2 Torsdg påbegynder vi også teorien for potensrækker (TL 12.6, som er funktionsrækker hvor funktionerne er potensfunktioner. Potensrækker optræder for eksempel i form f Tylorrækker som er en fortsættelse f teorien for Tylor polynomier fr MtIntro. Dgens hovedresultter vedrører konvergensforholdene for potensrækker. Vi indfører konvergensrdius og konvergensintervl som de centrle begreber, og vi viser en sætning (TL om uniform konvergens i delintervller f konvergensintervllet. De omtlte resultter gennemgås også i generliseret version med komplekse tl. Abels sætning (TL omtles, men beviset gennemgås ikke. Første obligtoriske fleveringsopgve med frist Tirsdg den 7/5 vil være tilgængelig fr Tirsdg den 30/4. Regneøvelser Tirsdg TL , TL , TL I disse opgver er det underforstået, t definitionsmængden er R. I den sidste kn det være illustrtivt t benytte Mple til t skitsere grferne. TL , b, c, TL (I spørgsmål kn du ignorere bemærkningen om prtilbrøksopspltning og blot verificere påstnden direkte. Torsdg morgen og eftermiddg regnes følgende opgver. Der er mnge så vær velforberedt og brug tiden på de svære. TL , c, TL b, c, TL , TL (Ps på med integrlkriteriet for negtive værdier f p, eller brug et ndet kriterium for disse. TL e og g, TL b og g TL b og d, TL TL b og e De følgende opgver egner sig bedst til eftermiddgen d de forudsætter kendskb til formiddgens forelæsningsemne. TL c, d og f, TL b og c 2

3 Uddybning om funktionsrækker D de grundlæggende begreber vedrørende funktionsrækker og konvergens f sådnne kun er omtlt gnske kort i lærebogen (fsnit TL 12.5, gives her en uddybning. Givet en følge (f n n N f funktioner defineret på et intervl I, betegnes den tilsvrende funktionsrække med f n. Funktionen f n kldes rækkens n te led, og funktionen s k defineret ved s k (x = f n (x, x I. kldes rækkens k te fsnit (i TL benyttes betegnelsen delsum. Funktionsfølgen (s k k N kldes fsnitsfølgen. At rækken konvergerer punktvis, hhv. uniformt, mod en funktion s på I, betyder per definition, t fsnitsfølgen konvergerer punktvis, hhv. uniformt, mod s på I. Formuleret eksplicit betyder dette følgende: Rækken f n konvergerer punktvis mod s hvis der for ethvert x I og ethvert ɛ > 0 findes K > 0, således t f n (x s(x < ɛ for lle k > K. Den konvergerer uniformt mod s hvis der for ethvert ɛ > 0 findes K > 0, så t f n (x s(x < ɛ for lle x I og lle k > K, ltså hvis vi kn bruge det smme K for lle x. Det er klrt t uniform konvergens mod s medfører punktvis konvergens mod s. I begge tilfælde betegnes grænsefunktionen s også med f n, og den kldes summen f rækken eller blot sumfunktionen. 3

4 Addition, subtrktion og multipliktion med tl f funktionsrækker defineres punktvis (ligesom for funktioner: f n ± c g n = f n = (f n ± g n (cf n. hvor det er ntget, t lle funktioner er defineret på det smme intervl I. Der gælder, t hvis rækkerne på venstresiderne er punktvis, hhv. uniformt, konvergente på I, d er rækkerne på højresiden også punktvis, hhv. uniformt, konvergente på I, og de to identiteter gælder d også for sumfunktionerne. For punktvis konvergens følger dette umiddelbrt f de tilsvrende resultter for tlrækker (Sætning TL For uniform konvergens og ddition følger det f opgve TL , og for subtrktion og sklrmultipliktion ses det tilsvrende. Uniform konvergens f en funktionsfølge fgøres næsten ltid med Weierstrss kriteriet (TL Sætning Grunden til t uniform konvergens er vigtig er først og fremmest de følgende tre resultter. Sætning A Ld f n være en uniformt konvergent funktionsrække på intervllet I og ntg, t hvert led f n er en kontinuert funktion på I. D er sumfunktionen kontinuert på I. Bevis. Dette følger umiddelbrt f TL Sætning , d s k = f f k er kontinuert på I for hvert k, hvis lle f n er kontinuerte. Sætning B Ld f n være en uniformt konvergent funktionsrække på intervllet [, b] og ntg, t hvert led f n er en kontinuert funktion på [, b]. D er tlrækken ( b f n(xdx konvergent med summen ( b ( b f n (x dx = f n (x dx. Bevis. Ifølge regnereglerne for integrler (TL Sætning gælder ( b ( b f n (x dx = f n (x dx. 4

5 Ved t bruge TL Sætning på funktionsfølgen (s k fås t højresiden f den ovenstående identitet konvergerer mod b ( f n(x dx. Det gør venstresiden så også, og det viser påstnden. Sætning C Ld f n være en funktionsrække og ntg, t hvert led f n er en kontinuert differentibel funktion på et åbent og begrænset intervl I smt, t den ledvis differentierede række f n er uniformt konvergent på I. Hvis der findes et c I, således t tlrækken f n(c er konvergent, d er rækken f n uniformt konvergent på I med kontinuert differentibel sumfunktion, og der gælder ( d f n (x = f dx n(x, x I. Bevis. Ifølge regnereglerne for differentition (TL Sætning gælder s k(x = f n(x. Ved t bruge TL Sætning på fsnitsfølgen (s k fås t den konvergerer uniformt mod en kontinuert differentibel funktion s på I, hvis differentilkvotient s netop er grænsefunktionen for følgen (s k. I krft f identiteten ovenfor gælder derfor s = f n. De sidste to sætninger tillder os t ombytte rækkefølgen f summtion og integrtion/differentition, også selvom det er en uendelig sum (men selvfølgelig kun hvis de i sætningerne nævnte betingelser er opfyldt. 5

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx = Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (

Læs mere

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons

Læs mere

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave Formelsmling til Fouriernlyse. udgve Kristin Jerslev og Steven Hyden 3. oktober 9 Her følger en formelsmling lvet til kurset Fouriernlyse på Arhus Universitet. Bemærk venligst, t smlingen indeholder sætninger

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen

Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen Fremkomsten f mængdelæren Stig Andur Pedersen 1 Fourier række for f(x)=x x n 1 ( 1) 2 sin( nx) n n= 1 sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) = 2 sin( x) + + 2 3 4 De første 15 led er tget med på kurven. 2 Fourierrække

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8. Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( ) Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Her skal du lære om 1. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler

Her skal du lære om 1. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Oversigt [S] 8.2 Her skal du lære om. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Calculus - 2003 Uge 4. - Uendelig række Definition Givet en talfølge

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås

5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås 5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Dgens emner fsnit 3.5 og 4. oissonfordelingen Sndsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Mtemtik og Computer Science Dnmrks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Dnmrk Emil: bfni@dtu.dk Kontinuerte

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning 9 Geodætiske kurver og Guss-krumning 9. Geodætiske kurver En ret linie i plnen fr punktet p til punktet q hr den egenskb t enhver nden kurve fr p til q hr kurvelængde som er mindst p q. Et stykke f en

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger

Læs mere