Afsnit , Hypotesetest for en varians... 19

Transkript

1 Aft vad er tattk?... 5 Nøgletal... 5 Meda... 5 Vara... 5 Fraktler... 6 Fgurer... 6 Pareto dagram... 6 Dot dagram... 6 Frequecy dtrbuto... 6 togram... 6 Boplot... 6 Aft og 4.6 og E grudregel... 6 De klake adylghedkocept... 6 Bomalkoeffcete... 6 vad er tokatk varable... 6 Tæthedfukto for dkret varabel... 6 Fordelgfukto for dkret varabel... 6 Dkrete fordelger... 7 Bomal fordelg... 7 De ypergeometrk fordelg... 7 Poo fordelg... 8 Mddelværd og vara for e dkret tokatk varabel (overordet... 9 Aft 5. og Aft 5.7,5.,5. og Tæthedfuktoe for kotuert varabel... 9 Fordelgfukto for kotuert varabel... 9 Kotuerte fordelger... 9 Normal fordelg og tadarderet ormal fordelg... 9 Ekempel for tadard ormal fordelg:... Log-Normal fordelg... Uform fordelg... Mddelværd og vara af e kotuert tokatk varabel (overordet... Ekpoetel fordelg... Regler for tokatk varabel (ekempler de Traformato... Aft 7.-7., 6., 6. og tkprøvefordelger... Defto af populato og tlfældg tkprøve... tkprøvefordelg for mddelværde år varae er kedt... Etmato... 3 Begreber... 3 De cetrale græeværdætg... 3 Makmal fejl på et etmat hvor varae er kedt... 3 Itervaletmato (kofdeterval for mddelværd hvor varae er kedt... 4 Makmal fejl på et etmat hvor varae kke er kedt

2 Itervaletmato (kofdeterval for mddelværd hvor varae kke er kedt og e tor tkprøve (> Itervaletmato (kofdeterval for mddelværd hvor varae kke er kedt og e llle tkprøve (< Aft 7.3, 7.4 og ypoteetet for et geemt... 5 Formulerg af ul-hypotee og alteratv hypotee Parameter µ betragte Tr ved hypoteetet... 5 Beregg af tettørrele, p-værd og ammelgg, hv er kedt... 5 Beregg af tettørrele, p-værd og ammelgg, hv er kke kedt (> Beregg af tettørrele, p-værd og ammelgg, hv er kke kedt (< Aft ypoteetet for to geemt Formulerg af hypoteer beregg af tettørrele for kedte varaer og ammelgg med krtk værd for kedte varaer og beregg af tettørrele for kke kedte varaer og ammelgg med krtk værd for kke kedte varaer og beregg af tettørrele for kke kedte varaer og, me ammelgg med krtk værd for kke kedte varaer og, me... 8 Beregg af kofdeterval for forkel mddelværd for tore tkprøver... 9 Beregg af kofdeterval for forkel mddelværd for må tkprøver og ukedt og... 9 Aft , ypoteetet for e vara... 9 χ -fordelg... 9 Kofdeterval for e vara... ypoteetet af e vara.... Formulerg af hypoteer.... tettørrele blver ammelgg med krtk værd... ypoteetet af varaer... F-fordelg... ypoteetet af varaer.... Formulerg af hypoteer.... tettørrele blver ammelgg med krtk værd... Aft Etmato af adele... Kofdeterval for e adel... Kofdeterval for to adele... Makmal fejl på etmat... Betemmele af tkprøvetørrele hvor p kede... Betemmele af tkprøvetørrele hvor p kke kede

3 ypoteetet af adel Formulerg af hypoteer tettørrele blver ammelgg med krtk værd... 3 ypoteetet af adel Formulerg af hypoteer tettørrele blver ammelgg med krtk værd... 4 ypoteetet af flere adel Formulerg af hypoteer tettørrele blver ammelgg med krtk værd... 5 Aalye af ataltabeller Formulerg af hypoteer tettørrele blver ammelgg med krtk værd... 6 Goode of ft (tet for fordelg... 7 Aft g tet Formulerg af hypoteer tettørrele blver ammelgg med krtk værd... 7 Rak-um tet Formulerg af hypoteer tettørrele blver ammelgg med krtk værd... 8 Tet for tlfældghed... 8 Aft.,., Regreoaalye... 9 Korrelato... 9 mpel leær regreomodel... 9 Mdte kvadrater metode... 9 Iterfere regreomodel Formulerg af hypotee om kærg med y-ake tettørrele blver ammelgg med krtk værd Formulerg af hypotee om hældge β tettørrele blver ammelgg med krtk værd... 3 Kofdetervaller for α og β... 3 Kofdetervaller for α+ β*... 3 Prædktoterval for α+ β*... 3 Korrelato og regreo... 3 Aft Varaaalye (forkel mddel... 3 E-det varaaalye Formulerg af hypotee tettørrele blver

4 3. ammelgg med krtk værd Todet varaaalye Defto på parat t-tet

5 Aft.-.7 vad er tattk? Idamlg af data. tattk hadler ofte om at aalyere e tkprøve, der er taget fra e populato. Baeret på tkprøve, prøver v at geeralere (eller udtale o om populatoe. Nøgletal Mddelværd agver tygdepukt eller cetrerg af data: o Ek. ar v tallee:, 5, 3, 4, 6 Mddelværde blver: ( Meda agver tygdepukt eller cetrerg af data. I ogle tlfælde, f.ek. hv ma har ektreme værder, er medae at fortrække frem for mddelværde: Ført kal atal ætte rækkefølge, hv: o Ulge atal er tallet mdte medae. o Lge atal, tage de to tal mdte lgger dem amme og deler med mada. Vara (eller tadardafvgele ger oget om hvor maget data preder: o Vara: ( o Eller vara: ( Ek. ar v tallee:, 5, 3, 4, 6 (amme tal om mddelværd ek. å er de amme. Varae blver: 5 ( 4 + ( ( ( ( 6 4, 5 o tadardafvgele (predg: Vgtgt: _ og er etmerede værder dv. at hv ma tager e tkprøve ud af e populato og bereger mddelværde og predge er det etmerede. µ og gælder for hele populatoe. Varatokoeffcet bruge tl at ammelge varatoe mellem forkellge dataæt: V - 5 -

6 Fraktler er pukter hvor data dele. Medae deler data to halvdele. Fraktler deler data adre dele. Ofte bereger ma fraktler:, 5, 5, 75, % fraktler. Fgurer Pareto dagram ger f.ek. oget om hvor forkellge lag defekte der er et gvet ytem. Dot dagram er godt tl at detektere fejl ved at e på outler prkker om lgger uædvalgt. Frequecy dtrbuto: opdelg tervaller/klaer og optælle herefter. togram: e de 9. god tl grove data med mage tal. Boplot: e rektagel der repræetere mdte af data og e lje repræetere medae. De to ljer på dere af rektagle repræetere 95% og 5%. Aft og 4.6 og 4.7 E grudregel De klake adylghedkocept defere: v der fde lge adylge udfald, hvorfra et må ke, og hædele betege om ucce, å er adylghede for ucce gvet ved: Bomalkoeffcete Det atal forkellge måder om v ka udvælge r objekter taget ud fra e populato betåede af forkellge objekter er:! r r!( r! vad er tokatk varable E fukto deferet over udfaldrummet elemeter. Følger e tattk fordelg. tokatk varable agve ved tore bogtaver, f.ek. X, Y, Z. Udfaldet fra det tokatke varable agve ved tlvarede må bogtaver, f.ek., y,z. V keler mellem dkrete og kotuerte tokatke varable. Tæthedfukto for dkret varabel For e tokatk varabel betege tæthedfuktoe ved f(. For de dkrete varabel ka v krve tæthedfuktoe om: f ( P X Fordelgfukto for dkret varabel ( Fordelgfuktoe for e tokatk varabel betege ved F(. Fordelgfuktoe varer tl de kumulerede tæthedfukto: - 6 -

7 F( P( X Dkrete fordelger Bomal fordelg V betragter uafhægge forøg. I hvert ekelt forøg ka udfaldet/hædele blve ete ucce eller fako. adylghede for ucce er p (og er de amme for alle forøg. adylghede for fako er dermed -p (og er de amme for alle forøg. De forkellge udfald er uafhægge. Med tlbage lægg. E tokatk varabel, X, er bomal fordelt: X b( ;, p X atal mærkede tkprøve. p populatoadele a/, hvor a er alt defekte. tkprøvetørrele. Det er llle b hv det er præc e mægde og tore B hv det er tørre eller mdre ed e mægde. Tæthedfukto for e bomal fordelg: ( f ( P( X p ( p P ( X P( X P( X, tabel de 576. Fordelgfukto for bomal fordelg: F( P( X, tabel de 576. P ( X < P( X P ( X > P( X MOT (højt brug: P( X udfald, drekte ved oplag tabel. MORE TAN (mere ed: P( X > udfald P( X udfald LEAT (mdt brug: P ( X udfald P( X udfald LE TAN (mdre ed: P ( X < udfald P( X udfald Mddelværd: µ p Vara: p ( p v ma øker at fde adylghede for et betemt område: B(h;,p-B(t;,p De ypergeometrk fordelg E populato med tørrele N. E tkprøve af tørrele. Der er a defekte populatoe. t h - 7 -

8 Der er N-a kke-defekte populatoe. er atal defekte ud af tkprøve. Ude tlbage lægg. De tokatke varabel, X, er hypergeometrk fordelt: X h( ;, a, N Tæthedfukto for de hypergeometrke fordelg: f ( P( X a N a ( ( N ( De hypergeometrke fordelg ka udkfte med bomal fordelge hv populatoe N er tor og tkprøve er llle. Ob! Bomal fordelg ka tl forveklg bruge tlfælde hvor kke er å llle forhold tl N ogå kue ma begå de fejl at avede bomal dtrbuto med og p a/n. e de. a Mddelværd: µ N a Vara: a N N N N Poo fordelg Poo fordelg avede ofte om e fordelg (model for tælletal, hvor der kke er oge aturlg øvre græe. Poo fordelge ka ofte karakterere om tetet, dv. på forme atal/ehed. Parametere λ agver tetete poo fordelge. Når er tor og p er llle er bomal aylgheder approkmeret tl poo dtrbuto. Poo fordelg avede tl approkmato af bomale aylgheder, år og p.5, hv er approkmatoe god å læge p e. 9 for ammelgg af poo og bomal. De tokatke varabel, X, er poo fordelt: X P(λ Tæthedfuktoe: λ λ f ( P( X e! Fordelgfuktoe: F( P( X, tabel, de 58 MOT (højt brug: P( X udfald, drekte ved oplag tabel. MORE TEN (mere ed: P( X > udfald P( X udfald LEAT (mdt brug: P ( X udfald P( X udfald LE TEN (mdre ed: P ( X < udfald P( X udfald Mddelværd: µ λ Vara: λ - 8 -

9 Mddelværd og vara for e dkret tokatk varabel (overordet Mddelværd: µ f (, hvor er udfaldrummet for X. Det vde at: f ( Vara: ( µ f (, hvor er udfaldrummet for X. Aft 5. og Aft 5.7,5.,5. og 5. Tæthedfuktoe for kotuert varabel Tæthedfuktoe betege f(. f( ger oget om de relatve hyppghed af udfaldet for de tokatke varabel X. For kotuerte varable varer tæthede kke tl adylghede, dv: f ( P( X Fordelgfukto for kotuert varabel Fordelgfuktoe betege ved F(. Fordelgfuktoe varer tl de kumulerede tæthedfukto: F( P( X Kotuerte fordelger Normal fordelg og tadarderet ormal fordelg Der ka kke optlle geerelle krterer for, hvorår e varabel er ormalfordelt. Ofte ka ma ramme rgtgt, hv ma tl hvert elemet tller pørgmålet: hvlke værd har elemetet og varmulghede er et tal. X N( µ, Tæthedfuktoe: Mddelværd: µ µ ( µ ( e f π P ( X <, aflæe tabel 3, de 585 P ( X > P( X < P ( a X b f ( d Vara: E ormal fordelg med mddelværde og varae, dv. X N(,, kalde e tadard ormal fordelg. E vlkårlg ormal fordelt varabel X N( µ, ka tadardere ved at berege: µ Z X b a - 9 -

10 Fordelgfuktoe: F ( z π z e t dt P ( X < z, aflæe tabel 3, de 585 P ( X > z P( X < z, ka fde tabel 3, de 585. Le (mdre ed: a µ P ( X < a F More (tørre ed: a µ P( X > a F Betwee (mellem: b µ a µ P ( a < X < b F F F(Z aflæe tabel 3, de 585 Ekempel for tadard ormal fordelg: P(-z < X < z,998 z -,998/,998 Log-Normal fordelg Log-ormal fordelge beytte år v har e tlfældg varable, om er på de måde at hv ma tager l tl de gver det ormal dtrbuto: X LN( α, β Tæthedfukto: (l( / ( α β f e Mddelværd: µ e β α + β / α / β β Vara: e ( e π -z z E log-ormal fordelt varabel X LN( α, β, ka traformere tl e tadard ormal fordelt varabel Z ved: l(x α Z β tl at fde adylghede (mellem a og b: - -

11 P( a < X < b lb l a l a α P( X < a F β e π β l a α P( X > a F β Uform fordelg X U ( α, β Tæthedfuktoe: Fordelgfuktoe: Mddelværd: Vara: F ( ( yα / β lb α la α dy F F β β α + β µ ( β α Tabel f ( β α b a d β α a b α β Mddelværd og vara af e kotuert tokatk varabel (overordet Mddelværd: µ f ( d, hvor er udfaldrummet for X. Vara: ( µ f ( d, hvor er udfaldrummet for X. Ekpoetel fordelg Tæthedfuktoe: Fordelgfuktoe: f ( e β F ( P( X P( X / β e β / β < F( e d e / β > F( ( e / β / β Ekpoetal fordelg er et pecal tlfælde af Gamma fordelg (α. Ekpoetal fordelge avede f.ek. tl at bekrve levetder og vetetder. Ekpoetal fordelge avede f.ek. tl at bekrve (vetetde mellem hædeler poo fordelge. λ β Mddelværd: µ β. - -

12 Vara: β. Regler for tokatk varabel (ekempler de 86 V atager at a og b er kotater og X er e tokatk varabel: E mddelværd: E ( ax + b ae( X + b Var Vara: Var ( ax + b a Var( Følgede lear kombato gælder: E a X + a X a X a E( X + a E( X a E E( X ( ( X X E( X E( X ( ax bx + c ae( X be( X c E + Var ( a X + a X a X a Var( X + a Var( X a Var( X ( X X Var( X Var( X ( ax bx + c a Var( X b Var( X Var + Var +, læg mærke tl at der ædre her tl plu., læg mærke tl at der ædre her tl plu. Traformato åfremt data afvger fra at være ormalt fordelt, ka ma ofte med fordel traformere data, ålede at de traformerede data ka atage at være ormal fordelt. Aft 7.-7., 6., 6. og 6.3 tkprøvefordelger Defto af populato og tlfældg tkprøve Tlfældg tkprøve fra e edelg populato: Obervatoere X, X,,X er e tlfældg tkprøve af tørrele fra e edelg populato af tørrele N, åfremt værdere er valgt ålede, at ehver delmægde af tørrele af de N elemeter fra populatoe har de amme adylghed for at blve valgt. Tlfældg tkprøve fra e uedelg populato: Et æt obervatoer X, X,,X er e tlfældg tkprøve af tørrele fra e uedelg populato f( åfremt:. hvert X er e tokatk varabel med tæthedfuktoe f(.. De tokatke varable er uafhægge. tkprøvefordelg for mddelværde år varae er kedt Uedelg populato: Lad X være mddelværde af e tkprøve af tørrele fra e fordelg med mddelværd µ og varae. Da er X e tokatk varabel og følger e fordelg med mddelværd µ og varae /. Edelg populato: Lad X være mddelværde af e tkprøve af tørrele fra e fordelg med mddelværd µ og varae. - -

13 Da er X e tokatk varabel og følger e fordelg med mddelværd µ og varae N N Etmato Begreber. Cetral etmator: E etmator θˆ er cetral (eller kke-baed, hv og ku hv, mddelværde af tkprøvefordelge for etmatore er lg θ. Effcet etmator: E etmator ˆ θ er e mere effcet etmator af θ ed etmatore ˆ θ hv:. ˆ θ og ˆ θ begge er cetrale etmatorer af θ.. varae af tkprøvefordelge for ˆ θ er mdre ed for ˆ θ. De cetrale græeværdætg Lad X være mddelværde af e tkprøve af tørrele fra e fordelg med meda (mea µ og varae, da vl: X µ Z / Følge e N(, fordelg for. Makmal fejl på et etmat hvor varae er kedt For tore værder af gælder: X µ Z / α (α De makmale fejl, E, på et etmat med adylghed blver: E z /, hvor z α/ fde tabel 3. To ekempler for at fde z α : α α,95 α z α,95 z α,99 α z α,5,99 z,5,5,96,5,575 Værdere,96 og,575 blev fudet tabel v E er kedt ka tkprøvetørrele fde ved: - 3 -

14 zα E z 4 E α / ˆ µ Itervaletmato (kofdeterval for mddelværd hvor varae er kedt X µ z α / < < zα / / Ved omkrvg får (-α kofdetervallet: zα / < µ < + zα / ± zα / Makmal fejl på et etmat hvor varae kke er kedt For tore værder af gælder: X µ t / α (α De makmale fejl, E, på et etmat med adylghed blver: E t / α, hvor t α/ t(- α/ fde tabel 4 ( v og er bereget vara. Itervaletmato (kofdeterval for mddelværd hvor varae kke er kedt og e tor tkprøve (>3 zα / < µ < + zα /, blot ertattet med. Kofdeterval, tabel 3. ± zα / z kke kftet ud med t, ford tabel 4 går kke højere ed 3 å derfor gøre det ge forkel. Itervaletmato (kofdeterval for mddelværd hvor varae kke er kedt og e llle tkprøve (<3 tα / < µ < + tα /, z ertattet med t. Kofdeterval, tabel 4 (v

15 ± t / α Aft 7.3, 7.4 og 7.5 ypoteetet for et geemt Formulerg af ul-hypotee og alteratv hypotee Parameter µ betragte. Nul hypotee tete mod alteratv hypotee: : µ µ : µ µ Ma vælger ete at acceptere eller at forkate. Todet alteratv: : µ µ Edet alteratv, der blver ete: eller : µ µ : µ < µ : µ > µ I ulhypotee avede å vdt om mulgt lghedteg. I alteratv hypotee placere det udag om ma gere vl ve. Ekempelv: e ma tlle for e dommer, aklaget for oget krmelt. er blver ul- og alteratv-hypotee: : Made er kke kyldg : Made er kyldg Tr ved hypoteetet. Optl hypoteer og vælg gfkaveau α (vælg rko-veau.. Bereg tettørrele. 3. Bereg p-værd vha. tettørrele. Tetet p-værd måler data afvgeler fra. 4. ammelge p-værd med gfkaveau og drag e kokluo. Alteratvt ka tetet udføre ved at ammelge tettørrele med krtk værd. Beregg af tettørrele, p-værd og ammelgg, hv er kedt v ul- og alteratv-hypotee er formuleret. Og gfkaveau α er valgt. å ka tettørrele berege ved: X µ Z Der atage e ormal fordelg og er kedt. P-værde fde for tettørrele Z ved oplag ormal fordelg (tabel 3. ammelgg med krtk værd z α (eller z α/ et todet tet. Alteratv Afv - 5 -

16 hypotee Nul-hypotee hv µ < µ Z < zα µ > µ Z > zα µ µ Z < z α / eller Z > z α / Beregg af tettørrele, p-værd og ammelgg, hv er kke kedt (>3 v ul- og alteratv-hypotee er formuleret. Og gfkaveau α er valgt. å ka tettørrele berege ved: X µ Z Der atage e ormal fordelg og er kke kedt. P-værde fde for tettørrele Z ved oplag ormal fordelg (tabel 3. ammelgg med krtk værd z α (eller z α/ et todet tet. Alteratv Afv hypotee Nul-hypotee hv µ < µ Z < zα µ > µ Z > zα µ µ Z < z α / eller Z > z α / Beregg af tettørrele, p-værd og ammelgg, hv er kke kedt (<3 v ul- og alteratv-hypotee er formuleret. Og gfkaveau α er valgt. å ka tettørrele berege ved: X µ t Der atage e ormal fordelg og kke er kedt. P-værde fde for tettørrele Z ved oplag t-fordelg (tabel 4, v-. ammelgg med krtk værd t α (eller t α/ et todet tet. Alteratv Afv hypotee Nul-hypotee hv µ < µ t < t α µ > µ t > t α µ µ t < t α / eller t > t α / vorda ka adylghede for fejl påvrke: o Ved at ædre gfkaveau α. o Ved at øge tkprøvetørrele

17 Aft ypoteetet for to geemt ammelger geemt (mddelværder af tkprøver. o tkprøve :, X og o tkprøve :, X og. Formulerg af hypoteer Parameter µ, µ betragte. Nul hypotee tete mod alteratv hypotee: : µ µ δ : µ µ δ Ma vælger ete at acceptere eller at forkate. Todet alteratv: : µ µ δ : µ µ δ Edet alteratv, der blver ete: : µ µ eller < δ : µ µ > δ Typk er ma tereeret at tete med δ.. beregg af tettørrele for kedte varaer og Ved hypotee prøvg af mddelværder (µ og µ for data, der atage ormalfordelt og varaer og er kedte, få tettørrele: ( X X δ Z,(tabel 3. / + / Dee måler forkelle på to grupper og δ tort et altd ul. 3. ammelgg med krtk værd for kedte varaer og Ved hypoteeprøvg af to mddelværder (µ og µ for data, der atage ormalfordelt og varaer og er kedte, få: Alteratv hypotee Afv Nul-hypotee hv µ µ < δ Z < z α µ δ Z > zα µ δ Z z α / Z > z α / µ > µ (tabel 3. < eller - 7 -

18 . beregg af tettørrele for kke kedte varaer og Ved hypotee prøvg af mddelværder (µ og µ for data, der atage ormalfordelt og varaer og kke er kedte, få tettørrele: Z ( X X δ,(tabel 3. / + / Dee måler forkelle på to grupper og δ tort et altd ul. 3. ammelgg med krtk værd for kke kedte varaer og Ved hypoteeprøvg af to mddelværder (µ og µ for data, der atage ormalfordelt og varaer og kke er kedte, få: Alteratv hypotee Afv Nul-hypotee hv µ µ < δ Z < z α µ δ Z > zα µ δ Z z α / Z > z α / µ > µ (tabel 3. < eller. beregg af tettørrele for kke kedte varaer og, me Ved hypotee prøvg af mddelværder (µ og µ for data, der atage ormalfordelt og varaer og kke er kedte, me med, få tettørrele: ( X X δ t / + / p Dee måler forkelle på to grupper og δ tort et altd ul. vor ( + ( p + Og frhedgrader: v + (tabel ammelgg med krtk værd for kke kedte varaer og, me Ved hypoteeprøvg af to mddelværder (µ og µ for data, der atage ormalfordelt og varaer og kke er kedte, me, få: Alteratv hypotee Afv Nul-hypotee hv µ µ < δ t t α µ δ t > t α µ > - 8 -

19 µ µ δ t t α / t > t α / Og frhedgrader: v + (tabel 4. < eller Beregg af kofdeterval for forkel mddelværd for tore tkprøver For tore tkprøver berege et (-α% kofdeterval ved: α,(tabel 3. ± z / + α (α Kede og avede de tedet for. og Beregg af kofdeterval for forkel mddelværd for må tkprøver og ukedt og For må tkprøver og ukedt og, me med berege et (-α% kofdeterval ved: Aft , 6.4 ypoteetet for e vara χ -fordelg ( + ( ± tα / + + Og frhedgrader: v + (tabel 4. α (α Varae for e tokatk varabel X etmere ved: ( X X vor er atallet af obervatoer X er obervatoer r., hvor X etmat af mddelværde for X tore bogtaver > tokatkvarabel. Lad være varae af e tkprøve af tørrele fra e ormalfordelg med vara, da er: ( χ, K χ, v - (tabel 5,

20 P ( χ χα α Kofdeterval for e vara Et (-α% kofdeterval for e vara få ved: ( < < χ ypoteetet af e vara. Formulerg af hypoteer α / α (α ( χ α / v - (tabel 5, Nul hypotee tete mod alteratv hypotee: : : Ma vælger ete at acceptere eller at forkate. Todet alteratv: : : Edet alteratv, der blver ete: : vor er værde der tete for.. tettørrele blver eller : < > Lad være varae af e tkprøve af tørrele fra e ormalfordelg med vara, da er: ( χ, K χ, v - (tabel 5, P ( χ χα α 3. ammelgg med krtk værd Alteratv hypotee < > Afv Nul-hypotee hv χ < χ α χ > χ α χ < χ eller α - -

21 (tabel 5. χ > χ α ypoteetet af varaer ammelger varaer af tkprøver. o tkprøve :, X og o tkprøve :, X og F-fordelg Lad og være varaer af tkprøver af tørrelere og fra e ormalfordelg med vara, da er: F, v - og v - (tabel 6a og 6b, ypoteetet af varaer. Formulerg af hypoteer P ( F Fα α Nul hypotee tete mod alteratv hypotee: : : Ma vælger ete at acceptere eller at forkate. Todet alteratv: : : Edet alteratv, der blver ete: :. tettørrele blver eller : < > F, v - og v - (tabel 6a og 6b, P ( F Fα α 3. ammelgg med krtk værd Alteratv hypotee Afv Nul-hypotee hv < > F, F α ( F > Fα (, > - -

22 F ( M, F > α / m ( dte tlfælde gælder M > m (tabel 6a og 6b. Aft Etmato af adele få ved at obervere atal gage e hædele har dtruffet uf af forøg: p Kofdeterval for e adel åfremt der have tor tkprøve, få et (-α% kofdeterval for p: z α / ( ( < α / p < + z α (α Kofdeterval for to adele åfremt der have tor tkprøve, få et (-α% kofdeterval for p -p : Makmal fejl på etmat p p / ± α z α (α + α (α De makmale fejl, E, på et etmat med adylghed blver: p( p E z α /, hvor z α/ fde tabel 3. p Betemmele af tkprøvetørrele hvor p kede åfremt ma højt vl tllade e makmal fejl E med (-α% kofde, betemme de ødvedge tkprøvetørrele ved: p zα / ( p, hvor z α/ fde tabel 3. α (α E - -

23 Betemmele af tkprøvetørrele hvor p kke kede åfremt ma højt vl tllade e makmal fejl E med (-α% kofde, og p kke kede, betemme de ødvedge tkprøvetørrele ved: ypoteetet af adel. Formulerg af hypoteer α (α 4 z E α /, p/, hvor z α/ fde tabel 3. Nul hypotee tete mod alteratv hypotee: : p p : p p Ma vælger ete at acceptere eller at forkate. Todet alteratv: : p p Edet alteratv, der blver ete:. tettørrele blver : p p eller : p < p : p > p åfremt tkprøvetørrele er tltrækkelg tor få tettørrele: X p Z p p ( 3. ammelgg med krtk værd Alteratv Afv hypotee Nul-hypotee hv p < p Z < zα p > p Z > zα p p Z < zα eller Z > z α (tabel 3. ypoteetet af adel. Formulerg af hypoteer Nul hypotee tete mod alteratv hypotee: - 3 -

24 : p p Ma vælger ete at acceptere eller at forkate. Todet alteratv: : p p Edet alteratv, der blver ete:. tettørrele blver eller : p : p : p : p åfremt tkprøvetørrele er tltrækkelg tor få tettørrele: Z vor X pˆ( pˆ < > p p p p X pˆ( 3. ammelgg med krtk værd Alteratv Afv hypotee Nul-hypotee hv p < p Z < zα p > p Z > zα p p Z < zα eller Z > z α (tabel 3. ypoteetet af flere adel. Formulerg af hypoteer X I ogle tlfælde ka ma være tereeret at vurdere om to eller flere bomalfordelger har amme parameter p, dv. ma er tereeret at tete ul-hypotee: p p... pk p : Mod alteratv hypotee at de adele kke er e. + + X

25 Uder ul-hypotee får et etmat for p: p ˆ åfremt ul-hypotee gælder, vl v forvete at de j te gruppe har e j ucceer og e j fakoer, hvor j e j j pˆ j ( e j j ( pˆ. tettørrele blver Tettørrele blver χ k ( oj ej j vor o j er oberveret atal celle (,j og e j er forvetet atal celle (,j. e tabel AAA lægere ede for hvorda de berege. 3. ammelgg med krtk værd V har tettørrele χ e j k ( oj ej j vor o j er oberveret atal celle (,j og e j er forvetet atal celle (,j. e tabel AAA lægere ede for hvorda de berege Tettørrele ammelge med χ ( k åfremt χ > ( k forkate ul-hypotee. χ α Aalye af ataltabeller. Formulerg af hypoteer Følgede to tabeller er ekempler på ataltabeller: o Opgave ka lyde: Er temmefordelge e for følgede tabel: α e j - 5 -

26 AAA I alt 63 7 I alt 6 o Er der uafhægghed mellem ddelgkrterer: tre ekempler på hvorda o dee tabel ( o j e 87,67 6 ( o 84 og e j berege for e 7 6 (3 o e3 4,33 6 Optllg af ul-hypotee: p p p : 3. tettørrele blver I e ataltabel med r rækker og c øjler, få tettørrele: χ r c ( oj ej j vor o j er oberveret atal celle (,j og e j er forvetet atal celle (,j. e tabel AAA lægere oppe for hvorda de berege. 3. ammelgg med krtk værd V har tettørrele: e j r c ( oj ej χ j ej Tettørrele ammelge med: α (( r ( c åfremt > (( r ( c χ α χ tabel 5 de 588 χ det dte led er v. forkate ul-hypotee

27 Goode of ft (tet for fordelg Ofte vl ma gere tete om data (obervatoer følger e pecfk fordelg. Dette gøre ved at ammelge oberverede fraktler med tlvarede teoretke fraktler uder forudætg af e gve fordelg. erefter berege tettørrele ved χ r c ( oj ej j vor o j er oberveret atal celle (,j og e j er forvetet atal celle (,j. e tabel AAA lægere oppe for hvorda de berege. Tettørrele kal ammelge med krtk værd, der fde χ α ( k m, hvor k er atal ddelger (celler tabelle og m er atal etmerede parametre. Aft.-.4 g tet Ka bruge om alteratv for: ypoteetet for e mddelværd Parret t-tet Når ovetåede tet kke ka bruge pga. atagele om ormalfordelg.. Formulerg af hypoteer g tet ka bruge tl at tete hypotee om meda ~ µ ~ : µ D : ~ µ ~ µ vor ~ µ er de værd v øker at tete. D. tettørrele blver Beregg af tettørrele/p-værd: Atal af obervatoer tørre ed medae optælle, X +. Tetet p-værd ka u fde ved at berege adylghede for (edet tet P ( X X + 3. ammelgg med krtk værd åfremt p-værd er mdre ed gfkaveau, forkate. Rak-um tet Rak-um tet (ogå kaldet U-tet eller Wlcoo tet eller Ma-Whtey tet ka bruge om alteratv tl almdelg t-tet for uafhægge tkprøver, tlfælde af at ormalfordelgatagele kke holder.. Formulerg af hypoteer Rak-um tet ka altå bruge tl at ammelge medae for uafhægge tkprøver: D e j - 7 -

28 , y, y,...,,..., y. tettørrele blver Beregg af tettørrele: data ortere og ragere (eg: rak tgede rækkefælge. For hver af de to tkprøver ummere de tlhørede rak, her beævt W og W, å der ka berege: ( + U W ( + U W Det gælder u, at åfremt de to tkprøver kommer fra de amme fordelg, å have: µ U ( + + U Når og er tlpa tore (>8 ka v u avede: U µ Z U N(, tettørrele 3. ammelgg med krtk værd v populato er tørre ed populato : å afve, hv Z < -z α, da e llle værd af U gver e llle værd af W. v populato er tørre ed populato : å afve, hv Z > z α, da e tor værd af U gver e tor værd af W. Tet for tlfældghed U I mage uderøgeler er det vgtgt at afgøre om e tkprøve er fremkommet tlfældgt. v v har e ekve med af de ee type og af e ade type (og hverke eller er mdre ed, f.ek.: K K K P K K P P K P P K P K P Det totale atal kft, u, approkmere med e ormalfordelg med: µ u + og + u V ka u berege p-værde ved: ( + Z ( u µ ( + u det u Z N(, - 8 -

29 Aft.,.,.6 Regreoaalye Atag at Y er e tokatk varabel. V er tereeret at modellere Y afhægghed af e forklarede varabel. V uderøger e leær ammehæg mellem Y og, dv. ved e regreomodel på forme: Y α + β + ε Korrelato Korrelatokoeffcete r agver de leære ammehæg mellem varablere og y. Korrelatokoeffcete mellem varable og y etmere ved: y y r y Det atage her, at obervatoere (,y er ammehørede værder. Der gælder r [; ]. mpel leær regreomodel Y α + β + ε α + β er modelle ε er redual (tlfældge fejl, måle fejl eller afvgele Y afhægge varabel uafhægge varabel α kærg med Y-ake β hældg ε Mdte kvadrater metode Atag at v har obervatoere: Er det e ammehæg mellem og y? V forelår e model på forme yˆ a + b vorda etmere a og b? - 9 -

30 a og b betemme ved: ( eller yy ( y y eller y ( ( y yy b y a y b ( eller ( ( y y eller yy y ( y eller a og b er u de værder, der gver de regreole, der mmerer de kvadratke aftad mellem pukter og le. a er et etmat for α og b er et etmat for β. Iterfere regreomodel v atager at de oberverede data (Y, ka bekrve ved modelle: Y α + β + ε y vor det atage at ε er uafhægge ormalfordelte tokatke varable med mddelværd og kotat vara. Etmatet af blver (vara af redualere: ( / yy y e. Formulerg af hypotee om kærg med y-ake Atag at v vl tete e hypotee om kærg med y-ake: : a α : a α y y. tettørrele blver ( a α t e + ( 3. ammelgg med krtk værd Krtk værd fde t-fordelg: t α ( tabel 4 /. Formulerg af hypotee om hældge β Atag at v vl tete e hypotee om hældge β : b β : b β - 3 -

31 . tettørrele blver ( b β t e 3. ammelgg med krtk værd Krtk værd fde t-fordelg: t α ( tabel 4 Kofdetervaller for α og β Kofdeterval for α: Kofdeterval for β: a / ( + ± t α / e α / b t α (α ± α / e α / t tabel 4, v - t tabel 4, v - α (α Kofdetervaller for α+ β* Kofdeterval for α+ β* varer tl et kofdeterval for modelle puktet : ( a ( + b ± tα / e + α / α (α t tabel 4, v - Prædktoterval for α+ β* Prædktoterval for α+ β* vare tl et prædktoterval for modelle puktet : ( a ( + b ± tα / e + + α / α (α t tabel 4, v - Et prædktoterval blver altå tørre ed et kofdeterval for fatholdt α. Korrelato og regreo Korrelato og regreo: r yy b r b, hvor yy - 3 -

32 ( eller yy ( y y eller y ( ( y yy ( eller ( ( y y eller yy y ( y eller y y y Korrelatoe r udtrykker grade af leær ammehæg. Korrelatoe kvadreret r udtrykker forklarggrade : yy varato forklaret af le + uforklaret varato: Aft.-.3 yy Varaaalye (forkel mddel y + yy y Er der forkel ( mddel på gruppere A, B og C? Varaaalye (ANOVA ka avede tl aalye åfremt obervatoere hver gruppe ka atage at være ormalfordelte. E-det varaaalye V betragter modelle: X µ + α + ε hvor det atage e j N(, µ er geemt for alle målger. α agver veau af gruppe.. Formulerg af hypotee j v vl u ammelge (flere ed to mddelværder µ+α modelle: X µ + α + ε hvor det atage e j N(, j Dv. hypotee ka optlle: j j : α α : α α j j - 3 -

33 . tettørrele blver Varaaalyetabel De totale vara: T ( Tr + E Tet tørrele F: ( Tr /( k F E /( N k Måleukkerhede (redual vara: E error N k Behadlgvara: ( Tr treatmet k vor k er veauer atal lag prøver fortaget over e faktor, og N er atal obervatoer. Formler for kvadrat afvgele um: T 3. ammelgg med krtk værd k j y j C k T ( Tr C, hvor T. C, k T y j, T. N j T Tettørrele ammelge med e fraktl F fordelge: F ~ F ( k, N k α

34 Todet varaaalye V atager u, at v har modelle: X µ + α + β + ε hvor det atage ~ N(, j j j Dv. v har to ddelgkrterer, både α og β, hvor β ogå ka opfatte om e blok, hvorfor deget ogå kalde et radomeret blokforøg. e j De totale vara: T ( Tr + ( Bl + E Tet tørrele F: ( Tr /( a F eller E /(( a ( b ( Bl /( b F E /(( a ( b Måleukkerhede (redual vara: E error (( a ( b Behadlge vara: ( Tr treatmet a Blokkee vara: ( Bl block b Formler for kvadrat afvgele um: T a b j y j C

35 ( Tr a b T. C T. j j T.. ( Bl C, hvor C a ab Krtk værd for blokke: ( b,( a ( b Krtk værd for behadlg: F α F α b ( a,( a ( b Defto på parat t-tet v ma måler blodtryk på peroer og måler højde på de amme peroer er det et parat t- tet ma er på for at ammelge