29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik."

Transkript

1 Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer estimatio sikkerhedsiterval statistisk test 1 Lugefuktios data fra tirsdags PEFR () vider (=14) PEFR æd (=16) Beskrivelse af data ved geemsit og spredig vider: geemsit = 485.6, spredig = 46.6 æd: geemsit = 55.9, spredig = Geemsit og spredig bereget i stikprøve beskriver (estimerer) de tilsvarede størrelser i populatioe de sade værdier. µ = middelværdi = geemsittet for hele populatioe σ = spredig = sd udreget for hele populatioe Hvis data ka beskrives med e ormalfordelig er det tilstrækkeligt at kede disse to parametre. Estimatio: vider: µ = geemsit = ˆ ˆ σ = sd = 46.6 æd : ˆ µ = geemsit = 55.9 ˆ σ = sd = Hvor godt passer de observerede geemsit med de sade værdier? Hvis vi havde taget 16 adre mæd og målt deres PEFR ville vi ikke få et geemsit på 55.9 Sidste gag idførtes stadard error of the mea (sem) til at beskrive usikkerhede på et geemsit. sd se( ˆ µ ) = se( x) = sem = Alterativ: For at beskrive usikkerhede på et estimat agives ofte et sikkerhedsiterval omkrig estimatet. Sikkerhedsitervallet er de parameter-værdier der er foreelige (i e eller ade forstad) med data. Sikkerhedsiterval For et givet estimat (f.eks. geemsittet) ka ma berege e tilhørede usikkerhed (se). Hvis atallet af observatioer,, er stor da vil itervallet 5 Fortolkige af et 95% sikkerhedsiterval: Hvis vi udtager mage stikprøver og bereger et sikkerhedsiterval for hver stikprøve da vil de sade værdi ligge i 95% af disse itervaller. 6 Estimat ± 1.96 se(estimat) være (approximativt) et 95% sikkerhedsiterval for estimatet. Sagt på e ade måde: Sikkerhedsitervallet ideholder de sade værdi med 95% sadsylighed. Sikkerhedsitervaller kaldes også kofidesitervaller 1

2 Eksempel beregig af sikkerhedsiterval vider: = 14, ˆ µ = 485.6, ˆ σ = se ( ˆ µ ) = = CI( µ ) : ± d vs. ( 461.; 510.0) CI: Cofidece Iterval 7 De estimerede differes mellem mæd og kvider: ˆ µ ˆ = = Usikkerhede på differese i geemsittee: se( ˆ µ ˆ µ ) = se( ˆ µ ) + se( ˆ µ ) = = 18.5 Sikkerhedsitervallet for differese bliver Estimat ± 1.96 se(estimat) 8 æd: se( ˆ µ ) = 13.7 CI( µ ) = ( 56.0; 579.9) l/m i CI( µ ) : 67.4 ± dvs. ( 31.0; 103.7) Der er altså statistisk sigifikat forskel i PEFR mellem mæd og kvider! (0 er ikke ideholdt i CI) Eksempel - resultater PEFR iveau: Variatio i PEFR: vider: ˆ µ = geemsit = 486 CI( µ ) = ( 461; 510) æd : ˆ µ = geemsit = 553 Forskel i PEFR iveau: CI( µ ) = ( 56; 580) vider: ˆ σ = sd = 47 æd : ˆ σ = sd = 55 Forskel = ˆ µ ˆ µ = 67 CI( µ ) = ( 31; 104) 9 oklusio: æd har (statistisk sigifikat) højere PEFR iveau ed kvider! Forskelle i PEFR er mellem 31 og 104 *. Vores bedste bud på forskelle er 67. Bemærk: oklusioe vedrører hele populatioe, og ikke ku de stikprøve vi har udersøgt. Vi har her valgt at beskrive forskelle ved differese. E ade mulighed er at beskrive forskelle ved forholdet. * med 95% sikkerhed Sammeligig af to grupper med kotiuerte data geerelt Statistisk model: Atag at variatioe i hver gruppe er symmetrisk (data er ormalfordelt) observatioere idefor hver gruppe er uafhægige (ige søskede idefor gruppere) de to sæt af observatioer er uafhægige (ige søskede, ikke par af måliger i de to grupper) Estimatio: ˆ µ = geemsit (beskriver iveauet i gruppe) i ˆ σ = sd i (beskriver variatioe i gruppe) ( i = 1, svarede til gruppeummer) Sikkerhedsiterval for middelværdie: ˆ σ i se( ˆi µ ) = CI ( µ ) : ˆ µ ± se( ˆ µ ) i i i Sikkerhedsiterval på differese: i se( ˆ µ ˆ µ ) = se( ˆ µ ) + se( ˆ µ ) CI ( µ ) : ˆ µ ˆ µ ± se( ˆ µ ˆ µ ) Bemærk: Formle for se af e differes gælder geerelt for alle parametre forudsat de to grupper er uafhægige. 1

3 Et yt, større studie 13 Statistisk test 14 Et større studie fra de samme populatio gav følgede resultat: vider æd Forskel Geemsit CI (459;489) (55;584) (7;116) E ade måde at udersøge om der er forskel i PEFR mellem mæd og kvider er v.h.a. et statistisk test. Vi veder tilbage til de opridelige data. Forskelle på mæd og kviders geemsitlige PERF er Til sammeligig fik vi tidligere: vider æd Forskel Geemsit Sikkerhedsitervallere bliver sævrere jo større studiet er! (Vi bliver klogere jo mere data vi samler id...) 67 CI (461;510) (56;580) (31;104) Hvis fordelige af PEFR hos mæd og kvider er es, ville vi forvete at forskelle var 0. Afviger de aktuelle data væsetligt fra vores forvetiger? Hvis fordelige af PEFR hos mæd og kvider er es, må forskelle kue forklares ved tilfældig variatio. a de det? Hvad ved vi? Vi keder ikke forskelle de to middelværdier µ e vi har et estimat ˆ µ ˆ = og usikkerhede på estimatet er se( ˆ µ ˆ ) = Spørgsmål: Er disse data foreelige med at µ = 0? Dvs. samme middelværdi af PERF for mæd og kvider? Hvis data er ormalfordelte vil de tilfældige variatio af e forskel mellem de to geemsit følge e ormalfordelig med middelværdi µ og e usikkerhed som er estimeret til Statistisk formulerig: Er data foreelige med hypotese µ = 0? 15 Hvis hypotese er rigtig må afvigelse fra de forvetede værdi skyldes tilfældigheder Hvor sadsyligt er det? Normalfordelig med middelværdi 0 og spredig 18.5 Vi har fået e værdi på 67.4 Stadardiseret afvigelse: = areal til højre = dvs at afvigelse fra de observeret forskel = 67.4 forvetede værdi er lig 3.63 se( ˆ µ ˆ ) = Hvor sadsyligt er det? 16 Tabel : Sadsylighede for e afvigelse som er større ed 3.63 spredigseheder fra de forvetede værdi er ! Sædvaligvis ser ma på afvigelser i begge retiger. Så hvis hypotese er sad vil sadsylighede for at få et resultat som er midst lige så ekstremt som det aktuelle være Dee sadsylighed kaldes p-værdie. Vi har ete været meget uheldige eller også er beregige forudsætig, µ = 0, urimelig. Sædvaligvis vælger ma at forkaste hypotese, hvis p-værdie er midre ed 5%. Sigifikasiveauet. oklusio: Vi vil afvise at middelværdie af PERF er de samme for mæd og kvider. 17 Er data er foreelige med e hypotese om at mæd i geemsit har e PERF værdi der er 50 højere ed kviders? Vi bereger ige de stadardiserede afvigelse fra hypoteses værdi = Tabel : p-værdi = = % Vores data giver ikke aledig til at afvise dee hypotese. Relatio til sikkerhedsiterval: Et 95% sikkerhedsiterval omfatter de værdier som vi ikke ka afvise, hvis vi tester med et sigifikasiveau på 5% Sikkerhedsiterval: fra 31 til 104. Ideholder 50, me ikke

4 ategoriske data Hvorda skal vi beskrive og aalysere kategoriske data? Ofte to kategorier dikotome eller biære data: Syg eller rask. Positivt eller egativt fud. Epidemiologiske eksempler: Beregig af prævales eller kumuleret icides. Sammeligig af prævaleser Sammeligig af kumulerede icideser 19 Eksempel:Brokitis og hoste Har brokitis i de tidlige bardom betydig seere i livet? Observeret! Brokitis som 5-årig ( + B) ( B) Hoster om atte som 14-årig Lad os først se på de, der ikke har haft brokitis: π B = Estimat: Sadsylighed for at hoste om atte givet ma ikke har haft brokitis 44 ˆ π B = = Total Ukedt! Bedste bud: 4.% af de, der ikke har haft brokitis, hoster om atte. 0 Hoster om atte som 14-årig Brokitis Total Hvad er usikkerhede, se, på estimatet? se( ˆ π ) = ˆ π ( 1 ˆ π ) B B B B = ( ) 1046 = CI( π B ) = ˆ π B ± 1.96 se( ˆ π B ) = ± = ( ; ) = ( 3.0 ; 5.4 )% 1 ˆ π = B Tilsvarede beregig for de ade gruppe: Brokitis Estimate Risiko for hoste om atte se oklusio (På basis af disse data ): CI 0.060; ; Risiko for at et bar, der ikke har haft brokitis, hoster ligger et sted mellem 3.0% og 5.4% - bedste bud er 4.%. Risiko for at et bar, der har haft brokitis hoster, ligger et sted mellem 6.0% og 13.0% - bedste bud er 9.5%. Noget tyder på større risiko for at hoste om atte, år ma har haft brokitis. Brokitis Risiko for hoste om atte Estimate se CI ; ; Brokitis Risiko Differes Risiko for hoste om atte Estimate se CI ; ; ; Risikodifferes: RD = π + B π B RD = ˆ π ˆ π = = B B se( RD) = se( ˆ π + B ) + se( ˆ π B ) = = CI( RD ) = ± = ( 0.016; ) oklusio: Risikoe for hoste om atte er et sted mellem 1.6 og 9.0 procetpoit højere, hvis ma har haft brokitis som 5-årig. Bemærk se er midst for gruppe, da der er lagt flere bør i dee gruppe. Usikkerhede på differese er større ed de største usikkerhed for de to grupper. 4

5 Hvilke atagelser ligger bag beregigere? Atagelse 1: Atagelse : Uafhægighed mellem grupper Data i hver gruppe er biomial-fordelt Vedr. 1: Uafhægighed mellem grupper: Dee atagelse er ødvedig for at ma ka bruge formle: se RD = se ˆ π + se ˆ π ( ) ( + B ) ( B ) Er de rimelig i brokitis eksemplet?, data stammer for to forskellige grupper bør. Et muligt problem kue være hvis der var to søskede i hver si gruppe. Så vil der pga. arv/miljø være e sammehæg mellem hvorvidt de to bør hoster. 5 Vedr. : Data i hver af gruppere er biomial-fordelt: Dee atagelse er ødvedig for, at ma ka bruge formle: se( ˆ π ) = ˆ π ( 1 ˆ π ) Data er biomialfordelt hvis: 1 Uafhægige delforsøg. Præcist to mulige udfald (hoster/ikke hoster, død/levede). 3 Sadsylighede for succes, π, er de samme for alle delforsøg. 4 Atal,, delforsøg ma betragter afhæger ikke af udfaldee. Opfyldt? Ige søskede i samme gruppe. lar defiitio af hoste. Gruppere ka betragtes som homogee. Der er ikke sydt uder data idsamlige. 6 Risikodifferese for hoste bladt bør, der har/ikke har haft brokitis. Risikodifferese, RD, er ukedt! e vi har et estimat : RD = se RD = ( ) Spørgsmål: Er disse data foreelige med at RD=0.0? (Hypotese) Dvs. ige sammehæg med brokitis. med spredig=se= middelværdi RD Uder hypotese er RD =0 Statistisk test Der gælder at estimatet, RD, er (æste) ormalfordelt 7 Normalfordelig med:middelværdi 0 spredig=se= Vi har observeret 0.053! Det afviger (oget) fra det forvetede! Hvor stor er sadsylighede for at observere e lige så stor eller større afvigelse? 0.3%!! Vi har godt ok været uheldige! Det tror jeg ikke vi har! = Så må hypotese være forkert! Vi forkaster hypotese : Risikodifferese er 0 Hypotese!.5% 0.3% Hvad var u det? Vi sammeligede vores estimat (0.053) med hypotese 0. Som målestok brugte vi usikkerhede på estimatet: se= Estimat Hypotese RD RD = =.83 se RD ( ) Usikkerhede på estimatet Dvs. estimatet ligger.83 se er fra det forvetede! Hvor ofte vil dette ske? Svar : Tabelopslag giver 0.6% = % Fra forrige side Estimat: RD = Hypotese: RD=0 Teststørelse: z =.83 P-værdi: 0.6% oklusio: Hvis hypotese er sad, så er der ku 0.6% chace for at få et estimat, der ligger så lige så lagt eller lægere væk fra hypotese ed det vi har observeret. Det er med adre ord æste usadsyligt at observere det vi har set hvis hypotese er sad. e vi har jo observeret det vi har observeret ergo må hypotese være falsk. Husk CI: (0.016;0.090) 0 ligger ikke i itervallet! Overesstemmelse mellem test og sikkerhedsiterval! 30 5

6 Estimat: RD = Hypotese: RD=0.05 Teststørelse: z = P-værdi: 86% = 43% oklusio: z = ( ) = Hvis hypotese var sad, så er der 86% chace for at få estimatet, der ligger så lige så lagt eller lægere væk fra hypotese ed det vi har observeret. Data strider således ikke mod hypotese. Hypotese ka akcepteres. På basis af disse data ka vi ikke afvise at risikoe for hoste er 5% højere for bør, der har haft brokitis! Husk CI: (0.016;0.090) 0.05 ligger i itervallet! Overesstemmelse mellem test og sikkerhedsiterval! 31 Lad θ betege de ukedte størrelse ma øsker at kede. De relevate statistiske aalyse bør bestå af beregig af to tal : ˆ θ og se ˆ θ : se( ˆ θ ): Geerelt ( ˆ θ ) Et estimat af (gæt på) θ Et estimat af (gæt på) usikkerhede af estimatet Et approksimativt 95% sikkerhedsiterval : ˆ θ ± 1.96 se ( ˆ θ ) Formlere for estimatet og se afhæger af de statistiske model og ka være meget komplicerede. I lagt de fleste tilfælde bruges computer programmer. 3 Geerelt Hvis ma er iteresseret i differese mellem to parametre: δ = θ1 θ så er estimatet: ˆ δ = ˆ θ ˆ 1 θ Hvis to estimater ˆ θ og ˆ θ er uafhægige så er: ( ˆ δ ) = ( ˆ θ1 ) + e( θ ) se se s ˆ 33 Associatiosmål relativ risiko B = ˆ B RR π + B ˆ π B RR π π + Hoster om atte Brokitis Total = = =.6385 l ( RR ) = l (.6385) = se( l ( RR )) = + = HUS! Relative størrelser som Odds Ratio, Relative Risiko og Ratio skal aalyseres på log-skala (LN). 95% CI(l ( RR )): ± = ( ; 1.834) 95% CI( RR ): ( exp ( ) ;exp( 1.834) ) = ( 1.4; 3. 61) Formlere ka fides på de sidste sider. Geerelt: Et statistisk test Data/estimat: ˆ θ med se ˆ θ Hypotese: ˆ θ θ Bereg: z = se ( ˆ 0 θ ) ( z ) θ = θ 0 ( ) p-værdi = P Z < i stadard ormalfordelig Approksimativ oklusio: Hvis p-værdie er lille er data ikke foreelig med hypotese og hypotese må forkastes. Oftes sættes græse til 5% Bemærk: a ka bruge e ade se, år ma tester, ed de ma bruger til beregig af CI (se boges afsit 16.3). Dette vil vi ikke gøre i dette kursus. 35 Få data dårlige approksimatioer Eksempel, Blødigskomplikatioer, boge side 169 Gruppe A: Der er 13 persoer hvoraf 1 får komplikatioer Data ka atages at være biomial-fordelt. 1 Risiko : ˆ π = = , se( ˆ π ) = ( ) 13 = Approks. 95% CI: ± = ( 0.068, 0.) Dårlig approksimatio! Ups! Eksakt/korrekt 95% CI (fides vha. af tabel eller computer) ( 0.00, 0.360) orale: Hvis der er få eller mage hædelser, så er approksimatioere ikke gode! e: For ogle modeller fides der eksakte metoder. 36 6

7 Sikkerhedsitervaller og test. 1 95%-sikkerhedsitervallet ideholder hypotese hvis og ku hvis p-værdie er større ed 5%. Ved sammeligig af to parametre baseret på to uafhægige data sæt, tre situatioer: A: Itet overlap: B: Et estimat i det adet CI: Hverke A eller B: så p-værdi < 5% så: p-værdi =? 37 så p-værdi >5% 38 Risiko for hoste om atte Brokitis Estimate se CI ; ; Risiko Differes ; Sammeligig af de to grupper: 0 ikke med i CI p= 0.6% < 5% 0.05 med i CI p= 86% > 5% De to sikkerhedsitervaller overlapper ikke p= 0.6% < 5% De to sikkerhedsitervaller overlapper ikke p= 0.6% < 5% 39 Associatiosmål i tabeller: Risiko differeser Status Populatio 1 0 Sadsylighed Eksempel Hoster som 14 årig Brokitis som 5 årig Total Obs. Risk a b 1 π Risiko Differes: c d π ˆ π a c 1 = ˆ se( ˆi ) ˆi ( 1 ˆi ) / i π = π = π π RD = π1 π a c = = RD ˆ π 1 ˆ π a b c d se( RD) = se( ˆ π1) + se( ˆ π ) = &S pp & Juul s 6 RD = = se( ˆ π ) = ( ) / 73 = se( ˆ π ) = ( ) /1046 = se RD = = ( ) = + = % CI( RD ): ± = ( ; ) Associatiosmål i tabeller: Relativ risiko Status Populatio 1 0 Sadsylighed 41 Eksempel Hoster som 14 årig Brokitis som 5 årig Total Obs. Risk a b 1 π c d π Relativ Risiko: 1 RR = π π ˆ π1 a RR = = ˆ π c 1 se( l ( RR) ) = + a c &S pp & Juul s 6 RR = =.6385 l ( RR) = l (.6385) = se( l ( RR )) = + = % CI(l ( RR )): ± = ( ;1.834) 95% CI( RR ): ( exp ( );exp( 1.834) ) = ( 1.4;3.61) 7

8 Associatiosmål i tabeller: Odds ratio Status Populatio 1 0 Sadsylighed 43 Eksempel Hoster som 14 årig Brokitis som 5 årig Total Odds a b 1 π c d π Odds Ratio: π1 π π1 ( 1 π ) OR = = 1 π 1 π ( 1 π ) π ˆ π1 ˆ π a d OR = = 1 ˆ π 1 ˆ π b c se( l ( OR) ) = a b c d &S p & Juul s OR = = l OR = l = ( ) ( ) se( l ( OR )) = = % CI(l ( OR )): ± = ( ; ) 95% CI( OR ): ( exp( );exp ( ) ) = ( 1.45;3.97) Sikkerhedsiterval for e ekelt rate Eksempel (Juul side 64): Evets Risikotid Y T IR IR = Y T 1 se( l ( IR) ) = Y Atal ye Risikotid Rygevaer tilfælde (år) (atal per 1000 år) 15 g/dag IR = = / 1000år 9974år l ( IR ) = l ( ) = se( l ( IR )) = = &S pp 37-8 Juul s 30 95% CI(l ( IR )): ± = ( ;0.4981) 95% CI( IR ): ( exp( );exp( ) ) = ( 1.180;1.646 ) / 1000år Sammeligig af to rater: ratio Populatio Evets Risikotid Icidece Ratio 1 Y 1 T 1 IR 1 Y T IR IR1 IRR = IR IR 1 Y1 T IRR = = IR T Y 1 1 se( l ( IRR) ) = Y + Y 47 &S pp Juul s 64 Eksempel (Juul side 64) Atal ye Risikotid Rygevaer tilfælde (år) (atal per 1000 år) 15 g/dag Aldrig røget IRR = = = l IRR = l = ( ) ( ) ( ( )) 1 1 se l IRR = + = % CI(l ( IRR )): ± = ( 0.146;0.9138) 95% CI( IRR ): ( exp ( );exp (.59630) ) = ( 1.65;13.41) 48 8

9 Sammeligig af to rater: differes Populatio Evets Risikotid Icides Differes 1 Y 1 T 1 IR 1 Y T IR IRD = IR1 IR Y1 Y IRD = IR1 IR = T T Y1 Y se( IRD) = + T T 49 Juul s 64 Eksempel (Juul side 64) Atal ye Risikotid Rygevaer tilfælde (år) (atal per 1000 år) 15 g/dag Aldrig røget år 1000år IRD = ( ) / = / se( IRD ) = år 36181år = + / = 0.191/ 1000år 1000år 95% CI( IRD ): ± = ( 0.188;0.941 ) / 1000år 50 9

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

1. februar Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min

1. februar Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 3. februar 005 Morten Frydenberg, Afdeling for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (ud

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Morten Frydenberg version dato:

Morten Frydenberg version dato: Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:

Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test: Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se

Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller

Læs mere

Opsamling. Lidt om det hele..!

Opsamling. Lidt om det hele..! Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik.

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Epdemolog og bostatstk. Uge, trsdag. Erk Parer, Isttut for Bostatstk. Geerelt om statstk Dataaalyse - Deskrptv statstk - Statstsk feres Sammelgg af to grupper med kotuerte data - Geemst og spredg - Parametre

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003 Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Introduktion til Statistik

Introduktion til Statistik Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik.

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Uge, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Generelt om statistik Dataanalysen - Deskriptiv statistik - Statistisk inferens Sammenligning af to grupper med kontinuerte

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 17. udgave 016 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 14 udgave 014 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering

Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering Uge 47 I Teoretisk Statistik, 8. oveber 003 Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi he? Proportioal allokerig Optial allokerig Heruder: Saeligig af variaser og ødvedige stikprøvestørrelser for de forskellige

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Asymptotisk estimationsteori

Asymptotisk estimationsteori Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet

Læs mere

Skitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra

Skitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme

Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme Itroduktio til Statistik Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009 Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Statistik Lektion 8. Test for ens varians

Statistik Lektion 8. Test for ens varians Statitik Lektio 8 Tet for e varia ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ Tet af Variae

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Kursus i Epidemiologi og Biostatistik. Epidemiologiske mål. Studiedesign. Svend Juul

Kursus i Epidemiologi og Biostatistik. Epidemiologiske mål. Studiedesign. Svend Juul Kursus i Epidemiologi og Biostatistik Epidemiologiske mål Studiedesign Svend Juul 1 Pludselig uventet spædbarnsdød (vuggedød, Sudden Infant Death Syndrome, SIDS) Uventet dødsfald hos et rask spædbarn (8

Læs mere

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:

Læs mere

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser Uge 37 I Teoretsk Statstk, 9.sept. 003. Fordelger kyttet tl N-ford. Gvet: uafhægge observatoer af samme N(µ,σ )-fordelte stokastske varabel. Formelt: X,X,,X uafhægge, alle N(µ,σ )-fordelt. Mddelværd µ

Læs mere

Eks. 1: Kontinuert variabel som i princippet kan måles med uendelig præcision. tid, vægt,

Eks. 1: Kontinuert variabel som i princippet kan måles med uendelig præcision. tid, vægt, Statistik noter Indhold Datatyper... 2 Middelværdi og standardafvigelse... 2 Normalfordelingen og en stikprøve... 2 prædiktionsinteval... 3 Beregne andel mellem 2 værdier, eller over og unden en værdi

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Bestemmelse af vandføring i Østerå

Bestemmelse af vandføring i Østerå Bestemmelse af vadførig i Østerå Geerelt varierer vadstade og vadførige i daske vadløb over året. Normalt er vadførige lille om sommere for derpå at øge om efteråret. Om vitere ses ormalt de højeste vadføriger

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere