matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt

Transkript

1 matematik grundbog trin preben bernitt

2 matematik grundbog -udgave 00 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette på eller ved at kontakte: bernitt-matematik.dk Fjordvej 6 00 Holbæk grundbog trin by bernitt-matematik.dk

3 Indhold FORORD 5. TALBEHANDLING 7 Decimaltals opbygning 8 Benævnte tal 0 De fire regnearter Positive og negative tal Sammensætning af regnearterne Regnerækkefølge og parenteser Brøkstreger 5 Potenstal 6 Positiv eksponent 6 Negativ eksponent 7 Decimaltal skrives som titalspotenser 8 Regning med potenstal 9 Kvadratrod og kubikrod Kvadratrod og kubikrod som potenstal Regning med kvadratrødder Brøktal Forlængning og forkortning 5 De fire regnearter med brøker 6 Procenttal og promilletal 8 Facitark til Kapitel 9. REGNEMETODER 9 Delingsregning 50 Beregning af en del af en størrelse 50 Forholdsdeling 5 Forskelsdeling 5 Beregning af helheden ud fra delen 5 En størrelse som en del af en anden 5 Blandingsregning 55 Forhøjelser og formindskelser 57 Procentvise ændringer 57 Beregning af den ændrede størrelse 58 Beregning af den oprindelige størrelse 59 Flere ændringer 60 Flere ændringer med samme procentsats 6 Den oprindelige størrelse efter flere ændringer 6 Væksttabel 6 Facitark til Kapitel 69. FORMLER OG REDUKTION Anvendelse af formler Konstanter og variabler 5 Proportionalitet 6 Reduktion 8 De fire regnearter 8 Produktet af to to-ledede størrelser 0 Kvadratet af en to-leddet størrelse Brøker Potensregning Roduddragning x 0, x -n og x ½ 5 Facitark til Kapitel 7. LIGNINGER OG ULIGHEDER 7 Løsning af ligninger 7. grads ligninger med en ubekendt 7 Ensbetydende forenklinger 7 Ligninger uden løsning og ligninger med alle tal som løsning 76 Ikke tilladt løsning 77. grads uligheder 78. grads ligninger med to ubekendte 80 Ligninger som metode i regning 8. grads ligninger 87 Antal løsninger til en. grads ligning 90 Facitark til Kapitel 9 grundbog trin by bernitt-matematik.dk

4 5. FUNKTIONER 95 Længder grads funktioner 96 Længde- og afstands måling 50 Funktionsforskriften 96 Beregning af længde- og Definitions- og værdimængde 98 afstandsmål 5.grads funktioners grafiske billede 00 Længdeforhold og målestoksforhold 5 Grafens skæringspunkt med. aksen 0 Areal Arealforhold 58 6 Grafernes stigningstal 05 Rumfang 6. grads funktioner 0 Rumfangsforhold 69 Funktionsforskriften 0 Massefylde 7. grads funktioners grafer Facitark til Kapitel 7 77 Parabelbenenes retning ag skæring med. aksen 8. STATISTIK 79 Parablens skæring med. aksen Deskriptorer Ikke grupperede fordelinger 80 8 Parablens toppunkt og symmetriaksen 5 Pindediagram, cirkeldiagram og procentsøjle 8 Hyperbler 7 Trappediagram histogram 86 Vækst- og andre funktioner 9 Fraktiler 87 Grafisk løsning af ligninger og uligheder Facitark til Kapitel FORBRUG, LØN, SKAT, RENTE, VÆRDIPAIRER OG VALUTA 7 Forbrug 8 Prissammenligning 8 Prisberegning 9 Løn Lønformer AM-bidrag og kildeskat Rentesregning 5 Simpel rente 5 Sammensat rente 7 Annuiteter 9 Værdipapirer Investering Obligationslån Valuta Facitark til Kapitel LÆNGDE, AREAL, RUMFANG OG MASSE 9 Grupperede fordelinger 89 Middelværdiberegning ud fra intervalmidtpunkt 9 Søjlediagram og sumkurve 9 Indekstal 9 Facitark til Kapitel SANDSYNLIGHEDS REGNING 99 Sandsynlighedsregning og statistik 00 Beregning af sandsynlighed 0 Sammensatte hændelser 05 Facitark til Kapitel KOMBINATORIK Kombination af to hændelser Kombination af mere end to hændelser Udtagelse af stikprøver 6 Facitark til Kapitel 0 9 Symboler, omsætning, formler grundbog trin by bernitt-matematik.dk

5 Forord Bogen er inddelt i 0 kapitler, der indledes med en kort præsentation af indholdet og nogle væsentlige fagudtryk og afsluttes med facit-ark til opgaverne. Bernitt-matematik.dk tager forbehold for fejl i facitarkene og modtager med tak forslag til rettelser. Kapitlerne kan anvendes uafhængigt af hinanden. Det anbefales dog at man har kend skab til regnemetoderne i kapitel før man går i gang med de øvrige kapitler. I forbindelse med samtlige emner arbejdes indledningsvis med regnemetoder, der også indgår på Trin. Bogen er opbygget med henblik på at opnå den størst mulige sikkerhed i anvendelse af regnemetoder. Opgavemængden er derfor gjort så stor som mulig og anvisning af regnemetoder gives ved kortfattede tekster og gennemregnede opgaveeksempler. Dette bør suppleres med anvendelse af metoderne på dagligdags situationer ved anvendelse af autentiske materialer indsamlet af kursister og lærer. Opgaverne i denne bog er udvalgt med henblik på så sikkert og ukompliceret som muligt at indlære de pågældende regnemetoder. For nogle kursister og i nogle undervsningsmæssige sammenhænge vil opgavemængden være for stor, således at et vist udvalg vil være rimeligt. Som hjælpemidler til arbejdet med denne bog anbefales: En lommeregner med minimum følgende funktioner: eksponentiel notation, x y og x y En opslagsbog med regneanvisninger som f.eks.: Slå det dog op!, bernitt-matematik.dk Denne opslagsbog indeholder i et simpelt sprog forklaringer og regneanvisninger på mere end 500 opslagsord, blandt meget andet også alle de regnemetoder, der indlæres i denne bog. Bogen afsluttes med oversigter om måleenheder og en formel og tabelsamling vedr. areal, rumfang, rentesregning, trigometriske funktioner m.v. grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk 5

6 grundbog trin by bernitt-matematik.dk 6

7 . Talbehandling I dette kapitel arbejdes der med talsystemets opbygning og regning med tal herunder benævnte tal, positive og negative tal, potenstal, roduddragning, brøktal- og procent- og promilletal. Hensigten med kapitlet er dels, at opnå en rimelig talfærdighed indenfor det almindeligt anvendte talområde samt, at opnå kendskab til væsentligste regneregler indenfor potensregning. Endvidere præsenteres en række matematiske fagudtryk og symboler, der bruges i denne og andre bøger, der bruger matematik til beskrivelse af hverdags-spørgsmål. grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk 7

8 Decimaltals opbygning Vores talsystem kaldes ti-talssystemer, fordi der er ti forskellige tegn (cifre) til rådighed og fordi disse tegns værdi gøres ti gange større, for hver plads man rykker tegnet mod venstre i et tal. Milliarder (Mia) , 0 5 Millioner (Mio.) Hundred tusinder Ti tusinder Tusinder Hundrede Tiere Enere Tiende-dele Hundrede-dele Tusinde-dele Følgende udtryk anvendes til at beskrive tal: Cifre: et tal siges at være 5 cifret, når der er 5 tal foran kommaet. Decimaler: Et tal siges at have to decimaler, når der er to tal bag kommaet. Flytter man kommaet i et tal gøres tallet større eller mindre. Flyttes kommaet f.eks.. to pladser mod højre, gøres tallet 00 gange større, og flyttes kommaet f.eks.. pladser mod venstre gøres tallet 00 gange mindre. Tal afrundes ofte til det antal decimaler, der er praktisk anvendeligt. F.eks.. afrundes krone-beløb som regel til decimaler. Afrunding finder sted sådan, at den afrundede værdi ligger nærmest muligt den oprindelige værdi. Eksempel: Afrund,77 og 0,0 og 0,5 til decimaler Løsning:,77 afrundes til,7 0,0 afrundes til 0,0 0,5 afrundes til 0,. Hvorledes skal man flytte kommaet i et tal for at tallet bliver: 0 gange større 00 gange mindre 000 gange større mio. gange mindre grundbog trin by bernitt-matematik.dk 8

9 . Gør 5,08 0 gange så stort Gør, tusinde gange så stort. Gør mio..000 gange mindre.. Hvor mange gange større er.500 end 5? Hvor mange gange større er end 0,000? Hvor mange gange mindre er 0, end.000?. Hvordan ændres et tals værdi når man: flytter kommaet pladser mod højre flytter kommaet pladser mod venstre 5. Afrund følgende tal til nærmeste hele tal:,8 60,08 80,5 5,8 0,0 99,6 6. Afrund følgende tal til decimaler:,608,008 0,05 0,0,999,5 7. Afrund følgende tal til nærmeste hele million: Omskriv følgende tal til millioner med decimal: Afrund følgende tal til nærmeste hele antal tusind: , Stil følgende tal i rækkefølge med det mindste tal først: 0, ,80 8,00,080,800. Afrund følgende tal til decimal:,79 0,5,8,06,995 grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk 9

10 Benævnte tal Et tal kaldes et benævnt tal, hvis der efter tallet nævnes, hvad det er tallet angiver antallet af. Skemaet herunder viser benævnelser, der anvendes i forbindelse med længdemål, vægtmål, indholdsmål og tidsmål. Skemaet er også optrykt på formel og symbol arket på side. Kilo Hekto Deca Enheden Deci Centi Milli (Tusind) (Hundrede) (Ti) (Ener) (Tiendedel) (Hundrededel) (Tusindedel) km =.000 m kg =.000 g hl = 00 l Meter Gram Liter m = 0 dm l = 0 dl m = 00 cm l = 00 cl m =.000 mm g =.000 mg l =.000 ml I øvrigt gælder at ton =.000 kg, time = 60 minutter og min. = 60 sekunder. Eksempel: Omsæt 5 dm til mm Omsæt kg 5 g til kg. Omsæt min. til timer Løsning: Af skemaet ses at der skal ganges med 00 ved overgang fra dm til mm. 5 dm =.500 mm Af skemaet ses at der skal deles med 000 ved overgang fra g til kg. kg 5 g = kg 0,05 kg =,05 kg. Omsæt følgende til meter: 500 cm 5 cm.00 mm 5 km cm 8 mm 5 dm 0,8 km 50 cm 0,5 dm m 0 cm dm cm m dm 50 cm 5 mm 55 mm. Omsæt følgende til gram: kg 500 mg 50 kg 50 mg, kg 5 kg 050 mg 0,8 kg 500 kg,008 kg kg 0 g 5 g 00 mg 5 mg 0,008 kg 5 kg 0 g grundbog trin by bernitt-matematik.dk 0

11 . Omsæt følgende til liter: 8 hl 05 cl ml 5 hl 500 ml dl 5 cl 7,5 dl dl cl 05 ml 5 l 0 ml. Omsæt følgende til cm: 5 dm 5 m 55 mm km 0,8 dm m 0 cm dm cm m dm 50 cm 5 mm km 5. Omsæt følgende til ton: 500 kg ton 00 kg 5,5 kg ton 50 kg 00 kg 0 kg ton 5 kg.500 g kg 00 kg 6. Omsæt følgende til dl: 5 l 0 cl 00 ml l dl 0 cl 0 cl dl 5 cl 0 ml 5 l 9 dl 500 l 7. Omsæt følgende til timer med decimaler: 0 min. min. min. 8 min. t min. 0 t 5 min. 50 min. 0 min. 8. Omsæt følgende til minutter: timer døgn 80 sek.,5 timer 9. Find antallet af timer (facit med decimaler), der er mellem følgende: fra kl. 5 0 til 7 00 fra 0 5 til 6 0 dagen efter 0. Omsæt følgende til sekunder: min. time 0,5 min. 0,05 time. Omsæt følgende til timer med decimal: 0,5 min. min. 5 min. t. 5 min. 6 sek. grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk

12 De fire regningsarter De fire regningsarter kaldes addition (sammenlægning), subtraktion (fratrækning), multiplikation (gangning) 0g division (deling). Følgende udtryk anvendes til beskrivelse af de tal, der indgår i et regnestykke: Tal der adderes eller subtraheres kaldes led. Facit på addition kaldes sum. Facit på subtraktion kaldes differens. Tal der multipliceres kaldes faktorer og facil kaldes produkt. Tal der divideres kaldes dividend og divisor, og facit kaldes kvotient. Eksempel: Find summen af,05 og 0, Find differencen mellem 0, og 6,8 Find produktet af 0, og, Find kvotienten af,8 og 0,0 Løsning:,05 +0,0,5 0, 6,8,5 0,, ,8 : 0,0 = 80 : = Addition, subtraktion og multiplikation kan udføres med alle tal. Division kan udføres med alle tal undtagen 0. Udregn:,, 8, 0,98 0,5 + 5,68 : 0,6 5,5 : 5 8,0,,08 : 0,0,80 5,,75,55 : 0,008, 0,06, 0,085 99,98 +,5,8 + 5,5, ,85. Udregn følgende og angiv facit med decimal: 7,0 8, 6, : 5, 7,06 +,75 80, 5,8 5, 0,0,08,99 5 :,,9 grundbog trin by bernitt-matematik.dk

13 Positive og negative tal Ved hjælp af et fortegn kan man vise, om et tal angiver et overskud eller et underskud. Overskudstal (posotive tal) markeres med et plus, og underskudstal (negative tal) markeres med et minus. Ofte udelades plusset foran positive tal sådan at tal uden fortegn er positive. Før at gøre tallene lettere at læse, sætter man ofte en rund parantes omkring tallet og dets fortegn. Denne parentes har ingen regnemæssig betydning. Regneregler for regning med postitive og negative tal fremgår af følgende. Eksempel: Addition: (+) + (+) = + 5 (-) + (-) = - 5 (-) + (+) = - Subtraktion: (+ (+) = + (-) (-) = - (-) (+) = - 7 Multiplikation og division: Har to tal der ganges eller divideres samme fortegn, bliver facit positivt, har de forskelligt fortegn bliver facit negativt. F.eks. er (-) (-) = + 8. Udregn: ,0 8, ,8 5,65. Udregn: (-5) 5 (-8) (-) + (-9) (+) (+) -8 0 (-) (-6) (+) + (-) 5 (-) + (-5). Udregn: -6 : 0 (-5) (-5) (-) (-) 6 (-56) : (-8) (-) (-) 0 (-6) 5 (-7) - (-) (+6) (+). Find det dobbelte af et underskud på kr. Læg et underskud på.000 kr. sammen med et underskud på.000 kr. Find forskellen på et overskud på 000 kr. og et underskud på.000 kr. grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk

14 Sammensætning af regnearterne Regnerækkefølge og parenteser Hvis et regnestykke er sammensat af flere regningsarter anvendes følgende fremgangsmåde: Først udregnes multiplikation og division, og derefter addition og subtraktion. Ønsker man at angive en anden rækkefølge end denne, kan man sætte en rund parantes, der omslutter den del af tykket, der ønskes regnet først. Eksempel: Udregn : 5 og (5 6) 6 0 : 5 Løsning: : 5 = 0 6 = (5 6) 6 0 : 5 = (-) 6 0 : 5 = (-) = (-6). Udregn: : (-) 6,5 5,08 +,0, :. Udregn: ( + ) 5 ( 5) ( + 6) ( 5) ( 8) (6 8) : ( 5) ( 6) ( 8) (0 ) (8 6) : ( ). Et gangetegn placeret foran en parentes udelades ofte. Ofte skriver man f.eks.. ( 5) og mener: ( 5) Udregn: 5( 8) 6 ( 6)( + ) ( 5)(5 6) + 5(6 8) : ( ) ( ) ( )(5 6) : 5. Udregn: - (-) ( 5) 5 ( 8) (-) ( 5 6) 5 8 (-) : (-) ( )( ) + (6 5) : 0 grundbog trin by bernitt-matematik.dk

15 Brøkstreger 0 En brøkstreg kan erstatte et divisionstegn. F.eks. betyder det samme 8 som 0 : 8 Tallet over brøkstregen kaldes tælleren og tallet under brøkstregen nævneren. Er tælleren eller nævneren et regnestykke, er der underforstået en parentes omkring disse. Denne angiver, at tæller og nævner skal udregnes først. Derefter udføres den division som brøkstregen angiver. Dette har dog kun praktisk betydning, hvis der optræder addition eller subtraktion i tæller eller nævner. Eksempel: Udregn og Løsning: 5 8 = =, = Omskriv følgende regneudtryk ved at bruge brøkstreger. : 5 : 5 6 : 5 : 8 : 5 5 : : 5 5 : :. Udregn: = Udregn: 5 5 ( 5) ( 5) 0 ( ).000 (0 5). Skriv regnestykkerne så mest muligt står på en brøkstreg 5 : 5 0 : (0 5) : 5 ( ) : 5 ( ) : ( ) + ( 5) : 5 grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk 5

16 Potenstal Positiv eksponent Består et regnestykke af et antal ens faktorer, kan man anvende en kortere skrivemåde, kaldet et potenstal. F.eks.. kan skrives som 5 Det nederste tal (her 5 tallet) kaldes roden, og det øverste lille tal (her tallet) kaldes eksponenten. 5 læses sådan: 5 opløftet i fjerde potens eller blot: 5 i fjerde Eksempel: Udregn 0 0 Løsning: 0 0 = = =.800. Omskriv følgende til potenstal Udregn følgende: Udregn følgende: : 0. Hvilket af følgende tal er størst? 5. Besvar følgende: Skriv det potenstal, der har roden 6 og eksponenten. Hvor mange gange større er 0 end 0? I hvilken potens skal man løfte for at få tallet 7? Omskriv.000 til en potens af tallet 0. Omskriv til en potens af tallet 0. I hvilken potens skal 0 opløftes for at få en million? I hvilken potens skal 0 opløftes for at få en milliard? grundbog trin by bernitt-matematik.dk 6

17 Negativ eksponent Består et regnestykke af et antal ens tal, der alle skal deles med kan man også anvende potenstal. F.eks. kan : 0 : 0 : 0 : 0 skrives som: : 0 - eller blot: 0 - En negativ eksponent i et potenstal angiver altså, at der skaldles med roden det antal gange eksponenten angiver. Eksempel: Udregn Løsning: : 0 : 0 : 0 + : 0 : 0 = 0,00 + 0,0 = 0,0. Omskriv følgende til potenstal med negativ eksponent: : 5 : 5 : 5 : 0 : : 0 : 0 : 0 0. Udregn følgende: Udregn følgende: ( 0 - ) ( 0 - ) ( 0 - ) : ( 0 - ). Udregn følgende: ( 0 ) ( 0 - ) 5. Skriv det potenstal, der har roden 5 og eksponenten Skriv det potenstal, der har eksponenten og roden. Hvor mange gange større er 0 - end 0 -? 6. Udregn følgende: grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk 7

18 Decimaltal skrives som titals-potenser Meget store og meget små tal skrives på en kortere form ved at omskrive dem til et produkt af et etcifret tal og en potens af tallet ti. F.eks. kan skrives som,5 0 6 og 0,00056 kan skrives som 5, Eksempel: Skriv følgende tal til et produkt bestående af et etcifret tal og en potens af 0. Løsning: =, =, 0 5 0,0005 =,5 : 0 : 0 : 0 : 0 =, Skriv følgende tal fuldt ud: 0, 0, 0 -, Omskriv følgende tal til et produkt af et etcifret tal og en potens af 0: ,000 0, mio. mia. 0, Afstanden til solen er, km. Hvor mange km er der til solen? (Facit som helt antal mio. km). Man har beregnet at Jordens alder er ca.,5 0 9 år. Hvor mange milliarder år er jorden (Facit som helt antal mio. år). 5. En bakterie har en længde på ca.,5 0 - cm Angiv bakteriens længde som decimaltal. 6. Omsæt følgende til km (omsæt først potenstallet til decimaltal, dernæst til km og til slut til et produkt af et etcifret tal og en titalspotens): 0 5 m,5 0 0 m 0-5 m,5 0 6 m 0 - m grundbog trin by bernitt-matematik.dk 8

19 Regning med potenstal Et regnestykke hvori der indgår potenstal kan altid regnes ved at omskrive potenstallet til et produkt af éns faktorer og dernæst udregne dette. Denne fremgangsmåde vil dog være vanskelig, hvis eksponenten er meget stor eller meget lille. I sådanne tilfælde vil det være nødvendigt at kende nogle regler for regning med potenstal, som er vist med følgende eksempler: 0 0 = = 0 5 Regel: To potenstal med samme rod kan multipliceres ved at sammenlægge eksponenterne og beholde roden. 0 : 0 = : 0 : 0 = 0 = 0 Regel: Potenstal med samme rod kan divideres ved at trække eksponenterne fra hinanden og beholde roden. (0 ) = 0 0 = 0 = 0 6 Regel: Et potenstal kan opløftes med en potens ved at gange eksponenterne med hinanden og beholde roden = = 500 = 5 0 Regel: Led, der består af et produkt af et tal og et potenstal kan sammenregnes, hvis potenstallene er ens ved at sammenlægge tallene og beholde potenstallet. Potenstallene kan i denne forbindelse betragtes som en art benævnelse. Eksempel: Udregn 0 0 og, 0, 0 Løsning: 0 0 = 0 0 = 6 0 5, 0, 0 = (,,) 0 = -0,7 0. Hvilke af følgende udsagn er sande? a) 0 0 = 0 8 c) 0 0 = 0 e) 0 : 0 = 0 b) = 0 5 d) (0 ) = 0 7 f ) (0 ) = 0. Udregn følgende: : (0 ) ( ) grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk 9

20 . Hvilke af følgende påstande er sande? a) b) 0 0 =. Regn følgende. Skriv facit som et produkt af et etcifret tal og en titalspotens , Udregn følgende: ( ) + + ( : )( : ) 6. Omskriv følgende tal til et produkt af et etcifret tal og en titalspotens og udregn dernæst opgave. 0,00 + 0, , ,00 mio. + mia. 7. Udregn følgende: ( ) 5 : ( ) : : 5 6 ( ) : 8. Hvilke af følgende påstande er sande? a) = 6 c) = 6 e) : = b) + = 6 d) + = f) : = 9. Udregn følgende: 0 m + 0 m,5 0 5 m + km,5 0-6 m km 5,5 0 6 km, m 0-0. Omskriv følgende tal til et produkt af et etcifret tal og en titalspotens og udregn dernæst opgaven ,0068 0, , km : grundbog trin by bernitt-matematik.dk 0

21 Kvadratrod og kubikrod At finde kvadratroden (uddrage kvdratroden) af et tal vil sige, at finde det positive tal, der opløsftet i anden potens giver det oprindelige tal. F.eks. er 5 = 5 fordi 5 = 5 At finde kubikroden af et tal (at uddrage kubikroden) vil sige, at finde det tal, der opløftet i tredje potens giver det oprindelige tal. F.eks. er 6 = fordi = 6 At finde den n-rod (uddrage den n-rod) af et tal vil sige, at finde det tal, der opløftet i n-potens giver det oprindelige tal. F.eks. er 5 = fordi 5 =. Uddrag følgende rødder ved at gætte og kontrollere facit Udregn Kvadratrod og kubikrod kan findes ved at gætte og derefter kontrollere sit gæt, eller ved anvendelse af lommeregner eller en tabel. 00 0, 9 6. Hvilke af følgende påstande er sande? a) = - b) Kvadratroden af et tal er altid positivt c) = - d) = e) Man kan ikke uddrage kvadratroden af et negativt tal. f) 8 = - g) Man kan ikke uddrage kubikroden af et negativt tal h) Kubikroden af et tal kan aldrig være negativ.. Uddrag følgende rødder: grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk

22 Kvadratrod og kubikrod af potenstal Skal man uddrage kvadratroden eller kubikroden af et potenstal, kan man anvende følgende fremgangsmåde: Kvadratroden af et potenstal er et potenstal med samme rod og med den halve eksponent. Kubikroden er et potenstal med samme rod og en eksponent, der er en tredjedel. Den n-rod af et potenstal er et potenstal med samme rod og en eksponent man finder ved at dele med n.. Udregn følgende: 0 6 8, 0 6 Eksempel: Find og 0 8 Løsning: = : = 8 0 = 0 8: = 0. Udregn følgende og angiv facit som decimaltal., , Udregn følgende og angiv facit som decimaltal med decimal , 5 0,, 5 0. Undersøg om følgende påstande er sande: a) = b) = 5. Udregn følgende: grundbog trin by bernitt-matematik.dk

23 Regning med kvadratrødder Sammensatte regnestykker, hvori der indgår kvdratrodsuddragning, løses ved først at uddrage kvadratroden og derfeter udføre de øvrige regnearter. Er det tal, hvoraf kvadratroden skal uddrages, sammensat af summer eller differencer, udregnes disse først, hvorefter kvadratroden uddrages. Er det tal, hvoraf kvadratroden uddrages, et produkt eller en kvotient, kan kvadratroden uddrages af hver faktor eller divisor før sammenregning finder sted. Eksempel: Udregn - og 6 : 5 Løsning: = = = 6 : 5 = 6 : 5 = : 5 =,6. Udregn følgende: Udregn følgende: , 0,0 0, 08. Udregn følgende. Facit med decimal Udregn følgende: Hvilke af følgende påstande er sande? a) 9 = 9 d) : 9 = : 9 b) 9 = 9 e) + = c) + 9 = 9 f) = 9 grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk

24 Brøktal kaldes et brøktal 0g angiver resultatet af divisionen : 5. 5 Man skelner mellem tre slags brøktal: Ægte brøktal, uægte brøktal og blandede brøktal. Et ægte brøktal er et tal, der udtrykker et tal, der er en del af en hel. F.eks. er 5 et ægte brøktal. Et uægte brøktal er et tal, der udtrykker et tal, der er mere end en hel. F.eks. er en uægte brøk. 5 5 kaldes et blandet tal, fordi det er sammensat af et helt tal og en brøk. Eksempel: Omsæt, til uægte brøk og 5 til decimaltal. Løsning:, = hele og tiendele = 0 = 5 = : 5 = 0, 5. Udregn følgende og angiv facit som blandet tal. 0 : 6 :.080 : 9 7 : 5 57 :. Omsæt følgende til brøktal: 0, 0,007, 0,5,0. Omsæt følgende til decimaltal: Udregn følgende ved først om omsætte brøktallene til decimaltal grundbog trin by bernitt-matematik.dk

25 Forlængning og forkortning Et brøktal kan forlænges eller forkortes, uden at man derved ændrer på det antal, som brøktallet angiver. Forlængning af en brøk foretages ved at gange tæller og nævner med det samme tal. Forkortning af en brøk finder sted ved at dele tæller og nævner med det samme tal. Eksempel: Forlæng eller forkort og 0 00 Løsning: 5 5 = = : = = : 50. Forlæng følgende sådan at der dannes brøker med nævneren Forlæng følgende brøker sådan at de opstår samme nævner: Forkort følgende brøker mest muligt Forlæng følgende brøker sådan, at de alle opnår samme nævner Forkort følgende brøker mest muligt grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk 5

26 De fire regningsarter med brøker Ved addition og subtraktion af brøktal skal brøktallene have samme nævner (fællesnævner). Har de det, kan man addere eller subtrahere tællerne. Ved multiplikation af brøktal multipliceres tæller med tæller og nævner med nævner. Ved division vendes den bagerste brøk som og derefter ganges tæller med tæller og nævner med nævner. Optræder der blandede tal omdannes de først til uægte brøker. Eksempel: Udregn +, og : Løsning: : = + = + = = = Udregn følgende og angiv facit som uforkortelig brøk eller blandet tal Udregn følgende: : = = = Udregn følgende og angiv facit som uforkortelig brøk eller blandet tal. 5 0 : : : : : : : : : : grundbog trin by bernitt-matematik.dk 6

27 . Udregn følgende ved først at omsætte brøktallene til decimaltal. Angiv facit med to decimaler. : 5 :, : Udregn: Omsæt følgende brøktal til decimaltal Udregn følgende: : 6 5 : Omsæt følgende decimaltal til brøktal:, 0,06 0,5,90 00,0,0,5 9. Stil følgende tal i rækkefølge ned det mindste tal først: 7 7,07 7, Omsæt følgende til cm: m dm 0,8m 5 mm km Udregn følgende. Angiv facit som decimaltal med en decimal. 5 + : grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk 7

28 Procenttal og promilletal Et antal, der er en del af én hel, kan udtrykkes som decimaltal, brøktal, procenttal eller promilletal. F.eks. kan tallet hundrededele skrives som 0,0,, % eller %0 idet 00 % (procent) betyder hundredele og % 0 (promille) betyder tusindedele. Eksempel: Omsæt 0, og 5 til procenttal og promilletal. Omsæt 5% og % 0 til brøktal og decimaltal. Løsning: 0, = 0,0 = 0% = 00% 0 00 = = 60% = 600% % = 0,05 = = 00 0 % 0 = 0,0 =.000 = 85. Omsæt til decimaltal og brøktal. 0% 5%,5% 6% %,5%.000% % 5%0 0% 0,5% 0. Omsæt til procenttal med decimal 0, 0,8 0, , Udregn følgende. Angiv facit som decimaltal. 50% 5% 8 0% 0% 5 0 0% 5,5 0% 8,5% 6,80 : 5 0% : 0% 5% + 0% 0% 0%,08,5 (% + 5%) 50% + grundbog trin by bernitt-matematik.dk 8

29 . Formler og reduktion Formler bruges til at vise regnemæssige sammenhænge som kan være svære at forklare med almindelige ord. I formler bruges i stedet bogstavsforkortelser og matematiske symboler. Formlen herunder er et eksempel på hvordan man indenfor bank-regning kan vise sammenhængen mellem den formue F, der opnås ved igennem a år at indbetale y kr. når banken giver r % i rente. F = y ( a r) r Har man kendskab til anvendelse af sådanne formler, gør de én i stand til at løse regnemæssige problemer, man ellers ville have svært ved at tænke sig til løsningen af. Formlen herover kan også kaldes en ligning. Denne formel siges at være en ligning med fire ubekendte (Formue, Ydelse, Rente og Antal år). Kender man den tal-mæssige størrelse af tre af disse, kan man beregne den u-bekendtes størrelse. For at kunne forstå formler og selv lave formler er det nødvendigt at kende til visse regler for regning med regneudtryk, hvori der er bogstaver. I dette kapitel arbejdes der dels med regler for anvendelse af formler og regler for arbejde med bogstav-udtryk generelt. Både ved anvendelse af formler og arbejde med bogstavudtryk er det nødvendigt at kende til de regneregler, der er gennemgået i kapitel. grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk 9

30 Anvendelse af formler I formler anvendes bogstavsforkortelser, regnetegn og parenteser til at vise regnemetoden. Gangetegn udelades mellem bogstaver og mellem bogstaver og parenteser. Eksempel: Formlen herunder viser sammenhængen mellem P, k og T k(t k ) P = 5 Find P når k = og T =,5 Løsning: Når k = og T =,5 gælder: k(t k ) P = 5 <=> denne pil betyder medfører at P = (,5 ) 5 <=> P =,5 5 <=> P =,8. Følgende formel viser sammenhængen mellem A, л og r A = лr Find A når л =, og r =. Følgende formel udtrykker sammenhængen mellem x, a og b x = - a + ( a) b Find x når a = 6 og b = 5 Find x når a = og b = -. Find P når P = k + og k = Find V når V = hл(r + r + Rr) når h =, л =,, R = 5 og r =,5 Find H når H = (r t)(r + t) og r = - og t = Find G når G = t 0 (t t 0 ) t og t 0 = 0,05 og t = 0, grundbog trin by bernitt-matematik.dk 0

31 . Følgende sammenhæng gælder mellem H og T: H = T 5 Tegn og udfyld et skema som nedenstående der viser, hvad H bliver når T har de viste værdier. T 0 ½ - H 5. Følgende formel viser sammenhængen mellem x og y y = x x Tegn og udfyld de tomme pladser i skemaet: x y 6. Følgende sammenhæng gælder mellem U og t: U = t + t Tegn og udfyld skemaet: x y 7. Følgende sammenhæng gælder mellem V, h, G og g: V = h(g + g + Gg ) Find V når h =, G = 9 og g = 8. Find P når P = V (n + m) og V = -, n = og m = Find H når H = a b og a = - og b = - 9. Følgende formel viser sammenhængen mellem V og r: V = r Tegn og udfyld følgende skema: r 6,,5 v grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk

32 Lighedstegnet i en formel kan erstattes af et ulighedstegn. Formlen kaldes da en ulighed. Følgende ulighedstegn findes: betyder: forskellig fra. Feks kan man skrive: betyder: omtrent lig med eller afrundet til. Feks kan man skrive:, < betyder: mindre end. Feks kan man skrive < end > betyder: større end. Feks kan man skrive > betyder: mindre end eller lig med. Feks kan man skrive: betyder: større end eller lig med. Feks kan man skrive: Eksempel: Formlen udtrykker sammenhængen mellem P og t F > KP Find F når K = o,5 og P = 8 og vis løsningen på en tallinie. Løsning: F > KP og K = 0,5 og P = 8 <=> F > 0,5 8 <=> F > (F er større end ) Formlen udtrykker sammenhængen mellem P og t: P > t Find P når t = - o g vis løsningen på en tallinie.. Formlen udtrykker sammenhængen mellem H, t og K: H K t Find H når K = - og t = - og vis løsningen på en tallinie.. Formlen udtrykker sammenhængen mellem F, G og L. F G L Find F når G = - og L = -6 og vis løsningen på en tallinie.. Formlen udtrykker sammmenhængen mellem T, K og n T n K hvor T skal være afrundet til decimaler. Find T når K = 0 og n = 6 grundbog trin by bernitt-matematik.dk

33 Konstanter og variabler I formlen K = p n kaldes K, p og n for variable og -tallet en konstant, fordi K, p og n variere i størrelse men tallet konstant er. I visse tilfælde betegnes konstanter også med bogstavsforkortelser, feks. i tilfælde hvor de pågældende tal er svært at skrive. Dette gælder feks i formler til beregninger om cirkler, hvor konstanten л (phi) som regel skrives som et bogstav. Eksempel: Formlen herunder viser sammenhængen mellem A og r A = л r, hvor л er en konstant. Når r = er A =. Find konstanten л Løsning: A = л r og A = 7 og r = <=> 7 = л 9 Det ses heraf at konstanten л er 6. Formlen viser sammenhængen mellem P og H: P = H + k hvor k er en konstant. Når H = bliver P = 0 Find konstanten k. Formlen viser sammenhængen mellem T og K: T = ak hvor a er en konstant. Når K = bliver T = 0 Find konstanten a Find derefter T når K = 5. Formlen viser sammenhængen mellem D og G: D = ag bg hvor a og b er konstanter (a = og b = ) Find D når G = - Find D når G = - grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk

34 Proportionalitet Variablerne i en formel kan forholde sig ligefremt eller omvendt proportionalt til hinanden. Ligefrem proportionalt: En forhøjelse af den ene størrelse vil medføre en tilsvarende forhøjelse af den anden (Feks: jo mere man køber, jo mere koster det). Omvendt proportionalt: En forhøjelse af den ene størrelse medfører en tilsvarende formindskelse af den anden (Feks: jo hurtigere man kører, jo kortere tid tager det at nå frem). Følgende formler er eksempler: P = K P = K K 0 K P 6 0 P 0,5 Ligefrem proportionalitet: Omvendt proportionalitet: Når K fordobles, fordobles P også Når K fordobles halveres P Generelt gælder: Formler af formen: y = ax + b hvor a og b er konstanter er en ligefrem proportionalitet mellem x og y Formler af formen: y = a b hvor a og b er konstanter, er en ligefrem x proportionalitet mellem x og y. Eksempel: I skemaet er vist sammenhørende værdi til x og y. x 0 0 y Hvilken type proportionalitet er det? Skriv en formel, der viser sammenhængen mellem x og y. Løsning: Når x bliver større, bliver y tilsvarende større altså: ligefrem proportionalitet. Man skal gange x med for at finde y. Formlen er: y = x. Skemaet viser nogle eksempler på sammenhængen mellem T og P. T 0 5 P Er T og P ligefremt eller omvendt proportionale størrelser? Skriv en formel der viser sammenhængen mellem T og P grundbog trin by bernitt-matematik.dk

35 . Skemaet viser nogle eksempler på sammenhængen mellem x og y. x y Er x og y ligefremt eller omvendt proportionale størrelser? Skriv en formel der viser sammenhængen mellem x og y. Skemaet viser nogle eksempler på sammenhængen mellem x og y. x 8 y ½ Er x og y ligefremt eller omvendt proportionale størrelser? Skriv en formel der viser sammenhængen mellem x og y. Skemaet viser nogle eksempler på sammenhængen mellem T og P. x 8 y 0,5 0, Er x og y ligefremt eller omvendt proportionale størrelser? Skriv en formel der viser sammenhængen mellem x og y. 5. I skemaet herunder kan man se, hvad man skulle betale for kartofler. Kartofler - kg 5 5 Pris kr. 8,65 7,0,5 6,5 Afgør hvilken form for proportionalitet, der er tale om, op skriv en formel, der viser sammenhængen mellem antal kg (A) og prisen (P). 6. I skemaet herunder kan man se, hvor lang tid det tager at køre 00 km, når man kører med forskellige hastigheder. Hastighed km/t Køretid for 00 km - timer 0 5,5 Afgør hvilken form for proportionalitet, der er tale om og skriv en formel der viser sammenhængen mellem hastighed og køretid for 00 km. grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk 5

36 Reduktion De fire regningsarter Når man har skrevet en formel, der viser sammenhængen mellem to eller flere ubekendte, kan man ofte forenkle formlen og dermed gøre den nemmere at anvende. Feks er formlen på side 9 en forenkling af en formel, der oprindeligt består af et uendeligt antal led. At forenkle en formel kaldes for at reducere den, og kræver kendskab til regning med bogstavs-udtryk. Du kan herunder se eksempler på reduktion: Addition: a + a = a x + x = x a + b kan ikke reduceres Subtraktion: a a = a x x = -x a b kan ikke reduceres Multiplikation: a a = a a a = 6a a b = 6ab Divison: a : a = 6a : a = a a : b kan ikke reduceres Eksempel: Reducer følgende formel mest muligt: P = k p + p + k 5 Løsning: P = k p + p + k 5 <=> P = 5k p 5. Reducer følgende formler mest muligt: P = K K K + K l = p 5p + p K = r + r r. Reducer T = a b + a + b K = a +ab ab H = a b ab P = -b t t + b S = x : x y I = x xy + x x. Reducer følgende formler mest muligt og derefter U i hvert udtryk, når a = og b = - U = a b b+b U = a : a a U = a b+ab a b U = 6a (-a) + a U = ab a b U = a a+b b. Reducer følgende formler mest muligt: F = t t H = r : r r r T = r r r r r r r grundbog trin by bernitt-matematik.dk 6

37 Optræder der parenteser i et bogstavudtryk skal man fjerne (ophæve) parentesen inden man kan reducere formlen. Følgende eksempler viser hvad der sker med et regneudtryk, der står i en parentes når man hæver parentesen. a + (b + c) = a + b + c a + ( b c) = a b c + ( hæves og at leddene i parentesen ændres ikke a (b + c) = a b c a ( b c) = a + b + c ( hæves og ledene i parentesen ændrer fortegn a (b + c) = ab + ac ( hæves og leddene i parentesen multipliceres med tallet foran -tegnet (b + c) : a = b : a + c : a ) : hæves og ledene divideres med tallet efter : -tegnet Eksempel: Reducer: Y = (t p) (t + p) (t + P) Løsning: Y = (t p) (t + p) (t + P) <=> Y = t p t 6 p t p t p <=> Y = -t 8p. Reducer følgende formler mest muligt. T = a (a+b) U = x+b (b+x) K = a b (a b) L = a b (-a+b) M = (a b) (a+b) N = a (a +ab)+ab. Reducer følgende udtryk mest muligt. -a 5(a b) + a + b (6a 6) : + (a + 9b) (x 5y) + (x y) 5x (a + ) + (a. Reducer følgende udtryk mest muligt: a(5a + b) a(a b) x(x + 5y) x(x + y) + xy (a + ) (a 5) + (a ) b(b a) a(a b). Reducer følgende formler mest muligt. T = + (-a + 0) : 5 U = x x(x ) G = (a b) : a H = z(x ) xz z grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk 7

38 Produktet af to to-ledede størrelser Indeholder et bogstavudtryk to parenteser, der skal ganges med hinanden, anvendes følgende fremgangsmåde: (a + b) (c + d) = a (c + d) + b ( c + d) = ac + ad + bc + bd Eksempel: Reducer formlen: H = (k )(k ) (k 6) Løsning: H = (k )(k ) <=> H = k k k k (-) <=> H = k k k + 6 <=> H = k 7k + 6. Reducer følgende udtryk. (a + )( + a) (a b)(a + b) (a + b)(a + b) (a b)(a b) (a b)(a + b) (a )(a ) (a )(a ) (x y)(x + y). Reducer følgende udtryk. x (x y ) + (x + y)(x y). Reducer følgende udtryk. T = a (ab + b ) + (a b)(a b) T = (a )(a + ) + (b )(b + ) a b T = 6a(a ) b(b ) + (a +b) a. Reducer følgende udtryk. ( b)(b + ) a + (a )(a + ) 6a (a ) + (a + )(a ) (a + )(a + ) a 5. Reducer følgende udtryk. (a )(a + ) + (x y)(x + y) (a + b)(a + b) 6(a b)(b a) grundbog trin by bernitt-matematik.dk 8

39 Kvadratet af en to-leddet størrelser (a + b) kaldes kvadratet på en toleddet størrelse. En sådan størrelse kan udregnes ved at anvende følgende fremgangsmåde: (a + b) = (a + b)(a + b) = a + ab + ab + b = a + ab + b Eksempel: Reducer følgende formel: P = (x ) Løsning: P = (x ) P = (x )(x ) P = x x + x (-) x (-) P = x 6x 6x + 9 P = x x + 9. Reducer følgende udtryk: (a + b) ( b) + (b ) (a b) (a b) (a + b) a (a ). Reducer følgende formel og find derefter P når x = og y = - P = xy + (x + y) (x + y). Reducer følgende udtryk: (x )(x + ) + (x ) (x ) + (x )(x + ) (v u) + v u (k t) k(t k). Reducer følgende udtryk: (x ) (x ) (x ) + x(x ) 5. Reducer følgende formel og find derefter L når t = - og k = L = (t k)(t + k) + (t k) grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk 9

40 Brøker Optræder brøker i et bogstavsudtryk, anvendes brøktalsreglerne: a c ad bc b d bd a c a b b d b d a c ad bc b d bd a c a d a d : b d b c b c Eksempel: Reducer formlen: T = k k p p k k Løsning: T = p p (k ) k T = p k k T = p k T = p <=> <=> <=>. Reducer følgende udtryk. a a a a a a a a a : a a a b ab 5a a : a a 6a b c 6 5. Reducer følgende udtryk: b b x y ab a ac c a b a 5 b x a a 6ab a b b 6x. Reducer følgende udtryk k - k a - b a ab x 5 k a x 5 b 5 b b a a - : 5a a + : b a a 5 grundbog trin by bernitt-matematik.dk 0

41 Potensregning Indeholder en formel potenstal, bruges definitionen på potenstal og regnereglerne (se side 6 og 9) til at reducere formlerne. Se eksemplerne herunder: Multiplikation: Eksempel: a a = a a a a a = a + = a 5 Regel: a n a m = a n+m Opløste potens-tal: Eksempel: (a ) = a a a = a = a 6 Regel: (a n ) m = a n m Division: Eksempel: a : a = a a a : a : a = a - = a Regel: a n : a m = a n-m a n + a m og a n b m kan ikke reduceres. Reducer følgende udtryk. x x x x xy : y a 5 (a + a ) (x y ). Reducer følgende formler mest muligt: T = x (x y) + (x 5 + xy) x H = + (x ) + (x ). Udregn følgende: ( 0 ),5 0,5 0 (8 0 5 ) : ( 0 ). Reducer følgende formler mest muligt: H = a n a m a n (a m + ) T = a n a m n a + m a 5. Omdan følgende tal til produkter af etcifrede tal og titalspotenser. Udregn derefter mio : mia : 5 mio. 5 mio grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk

42 Roduddragning Indeholder en formel rod-uddragning, kan følgende regler anvendes. Reglerne gælder for både kvadratrod, kubikrod og andre røder. Her vises de kun for kvadratrod. a a a og a a a a b a b og a b a b a a : b a : b og a : b b a a kan ikke reduceres Eksempel: Reducer følgende formel: F = a Løsning: F = a a a <=> F = F = ½ a a a a <=> a a a <=> a a a a F = ½ a a. Reducer følgende udtryk. a a a a a : a a a. Reducer følgende udtryk: a( a b) 5a a( 5 a b) a( a b). Reducer følgende formel og find derefter G når a = G = (a + a)(a a) (a a) (a a) grundbog trin by bernitt-matematik.dk

43 x 0, x -n og x ½ Af regnereglerne om regning med potenstal følger: x n : x n = x n n = x 0 = : x n = x 0 : x n = x 0 n = x -n x n n n n n: x x n x n: x x a n x n:a x x a Eksempel: Reducer: x 0 x 5 x - + x ½ Løsning: x 0 x 5 x - + x ½ = x (-) + x x ½ =. Udregn følgende: ,5 00. Udregn: x + x x ,8 0 0 :,*0, 0 +, 0. Reducer følgende formel: P = x x : x. Formlen viser hvordan man kan beregne den ydelse (y), der skal betales for at afdrage en gæld (G) ved n lige store betalinger når renten er r pr. gang. r y = G n ( r) Find y når G = , r =,5% og n = 0 Find y når G = mio., r = % og n = 0 5. Reducer følgende og find derefter P når x = 9: P = ( x - x) x grundbog trin - 00 by bernitt-matematik.dk

44 006 bernitt-matematik.dk grundbog trin by bernitt-matematik.dk