Grundlæggende matematik
|
|
- Victoria Marcussen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt forstå) mere kompleks matematik. Opgave til noterne kan hentes her. PDF Facit til opgaverne kan hentes her. PDF Version 4.0
2 Indhold Tallenes udvikling... 1 De naturlige tal... 1 De hele tal... 1 De rationale tal... 2 De reelle tal... 2 De komplekse tal... 2 Negative tal... 3 Grundlæggende regneregler... 3 Regnearternes hierarki... 3 Parenteser... 4 Hæve parenteser... 4 Gange ind i parenteser... 5 Flytte udenfor parentes (faktorisere)... 6 Potenser og rødder... 6 Potens... 6 Rødder... 7 Gange og dividere... 8 Lægge til og trække fra... 9 Vigtige regneregler Brøkregneregler Sætning: Sætte på fælles brøkstreg Sætning: Gange en brøk med et tal Sætning: Gange to brøker Sætning: Dividere en flerledet størrelse med et tal Sætning: Dividere en brøk med et tal Sætning: Dividere med en brøk Potensregneregler... 12
3 Sætning: Potensregneregler (potenser) Regneregler for rødder Sætning: Regneregel for rødder Kvadratsætninger Sætning: Kvadratsætning Sætning: Kvadratsætning Ligningsløsning Formelmæssig løsning Grundregel: Løsning af ligninger Uligheder Grundregel: Løsning af uligheder Grafisk løsning... 18
4 Tallenes udvikling Lige siden hulemanden hentede mad til familien har tallene spillet en rolle, i den måde vi har eksisteret på. Det har været vigtigt at holde styr på gårdens dyr, lave budgetter, handle og ikke mindst at forstå verden og naturen omkring os. For de gamle filosoffer, som Pythagoras, har tallene, og den magi som omsluttede dem, altid været et mysterium, som skulle udforskes. Pythagoras sagde engang Tallene er alle tings væsen. Hans store pointe må være, at uanset hvor vi vender os hen, så er tal på en eller anden måde indblandet. Vi skal nu tage en kort og meget forsimplet rejse igennem tallenes udvikling. Jeg skal prøve at koble en lille historie på undervejs. De naturlige tal Den første primitive landmand/hulemand, der skal holde styr på sit dyrehold, har haft brug for at tælle hele dyr 1 ged, 2 geder osv. Disse tal kaldes de naturlige tal og er den mest primitive af de vores talmængder. N = {1, 2, 3,...}. Efterhånden som samfundet udviklede sig, begyndte man at handle/bytte varer. En ko var måske to geder værd, men hvad nu hvis bonden kun havde én ged men alligevel købte en ko, hvor mange geder skyldte han så væk? For matematikeren var problemet at 10 + x = 8 ikke kunne løses ved brug af de naturlige tal. De hele tal For at kunne løse alle ligninger af formen a + x = b, hvor a og b tilhører de naturlige tal (a, b N) er det nødvendigt at udvide de naturlige tal til også at omfatte nul og de negative hele tal. Dermed har vi mængden af alle de hele tal: Z = {..., - 3, - 2, -1, 0,1, 2, 3,...}. Først i 1600-tallet begyndte negative tal at blive regnet for egentlig tal, og helt frem til starten af 1800-tallet blev det blandt europæiske akademikere diskuteret, hvorvidt negative tal og nul skulle tillades i matematikken. Nu kunne bonden handle med hele dyr, men hvad nu hvis ham og naboen skulle dele en ko, hvor meget fik de så hver? For matematikeren var problemet, at 4 x = 2 ikke kunne løses ved at benytte tallene fra Z. 1
5 De rationale tal Man kan kun løse alle ligninger af typen a x = b med a 0, såfremt man udvider talmængden til også at omfatte alle brøker hvor tæller og nævner er et tal fra Z. Denne mængde kaldes de rationale tal: Q = { a a Z b Z b 0}, og læses som Q er mængde af de tal som kan skrives som en brøk b a b hvor om der gælder at a tilhører de hele tal og b tilhører de hele tal og b skal være forskellig fra 0. De rationale tal indeholder ligeledes alle hele tal, da eks. 4 = 4. Næsten alle praktiske regneopgaver 1 kan løses uden at forlade de rationale tal, så nu havde den almindelige borger ikke længere så mange problemer i deres indbyrdes ageren. For matematikeren var der dog stadig problemer. Eks. at 2 = x 2 ikke havde nogen løsning i de rationaletal, da 2 ikke kan skrives som en brøk. Ej heller kan det meget kendte π. Så der var altså stadig huller i talrækken. De reelle tal Indførelsen af de irrationale tal medførte en om sig gribende indflydelse på måden at anskue verden på. Indtil da var man overbevist om, at alt omkring i naturen kunne udtrykkes ved hjælp af simple rationale tal. Et eksempel på hvor stor en omvæltning denne indførelse var, er historien om Hippasus. Han var en del af den Pythagoræiske skole, og her var verden beskrevet ved de ratinale tal. Da han opdagede de irrationale tal, fortæller historien at han kort tid efter omkom til havs. Med udvidelsen af de irrationale tal har vi nu de reelle tal R. Vores talrække er fuldstændig. MEN desværre var der stadig problemer for matematikerne, for x 2 = 1 kunne ikke lade sig gøre. De komplekse tal Det ville lette mange beregninger, hvis det var tilladt at uddrage kvadratroden af -1. Der er jo ikke mere plads i vores tallinje, så en udvidelse af de reelle tal må tænkes anderledes. Derfor udvides samtlige reelletal med en imaginær del. Et komplekst tal eks. z = 2 4i består af det reelletal 2 (realdelen) og den imaginære del -4. På denne måde anskues talmængden ikke længere på en tallinje, men i et koordinatsystem. De komplekse tal betegnes C 2
6 Negative tal Negative tal, er tal mindre end 0. Vi så de blev indført med de hele tal. Matematisk tjener indførelsen af negative tal til, at subtraktion altid er mulig, fx 2 5 = 3, samtidig med at gængse regneregler bevares. Negative tal blev brugt i indisk matematik omkring 600. I Europa dukkede de op i 1500-t. som absurde eller fiktive tal, og først ca kunne bogstavkoefficienter stå for negative tal. Hvis vi ganger eller dividere vil der med sikkerhed gælde følgende for tal forskellige fra = = = + På grund af ovenstående er det meget vigtigt at holde styr på de negative tal. Det kan lettest gøres ved at sætte en parentes omkring negative tal, som skal ganges på et eller flere tal. Eksempelvis: 3 ( 2) = 6 ( 2) 5 ( 3) = 10 ( 3) = 30 Grundlæggende regneregler Grundlæggende regneregler er fundamentet for al matematik. De mest endte er nok at lægge sammen, at trække fra, at gange og dividere. Tilføjer man potenser og rødder, samt brugen af parenteser, så har vi de helt basale regneoperationer. Når vi kombinerer de forskellige regneoperationer i samme udregning kaldes det for aritmetik. Et aritmetisk udtryk kunne være Når vi skal udregne et sådan udtryk får vi brug for regnearternes hierarki, som gennemgås om lidt. Inden da skal vi lige have indført begrebet led. Et led er enten et tal, en parentes, et produkt eller en brøk kun adskilt af + eller -. I det aritmetiske eksempel ovenfor er der tale om 3 led. 3
7 Regnearternes hierarki Det er utrolig vigtigt at have fuldstændig styr på regnearternes hierarki og selvfølgelig brugen af dette. Vi opstiller nu vores grundlæggende regneoperationer i stærkeste rækkefølge. (video) 1. Parenteser 2. Potenser og rødder 3. Gange og dividere 4. Lægge til og trække fra Et lille eksempel kunne være hvilket betyder eller blot = = 17 Følger vi ikke reglementet kunne vi få et forkert svar som = 7 3 = 21 I punkt 2-4 siges det at regneoperationerne er hinandens modsatrettede regneoperationer. Altså det modsatte af at gange er at dividere osv Du kan teste dine evner her Parenteser Parenteser er med til at holde styr på vores enheder. De fortæller hvad, der ultimativt hører sammen. Et eksempel kunne være: En bonde siger til den anden jeg har 3 gange så mange dyr som du har. Den anden bonde har 2 geder, 3 køer og 5 høns. Hvor mange dyr har den første bonde? Kan skrives således 3 ( ) = 3 10 = 30. Kunne også opfattes som 3 ( ) = = = 30 Vi vil nu kigge lidt på regning med parenteser. Hæve parenteser Man kan sige at parenteser optræder som et tal, som skal behandles efter regnearternes hierarki. Vi kan altså både have positive og negative parenteser, og vi kan gange parenteser sammen og. 4
8 Sætning: Minus parentes Man kan hæve en minusparentes ved at skifte fortegn på alle led i parentesen. Eksempel: (2x 7) = 2x + 7 Kan også opfattes som 1 (2x 7) = 2x ( 1) 7 ( 1) = 2x + 7 Sætning: Plus parentes Man kan hæve en plusparentes uden videre. Eksempel: (3 + 5y) = 3 + 5y Kan også opfattes som 1 (3 + 5y) = y 1 = 3 + 5y Gange ind i parenteser Vi så lige i eksemplet med bønderne at antallet af dyr kunne skrives som 3 ( ) = 30 Men vi kan også finde antallet ved at kigge på hver dyreart for sig = = 30 Vi gangede blot ind i parentesen. Sætning: Gange en parentes med et tal Man ganger et tal på en parentes ved at gange tallet ind på hvert led a(b + c) = ab + ac Derfor kan vi skrive 3 ( ) = = = 30 Det er altså lige meget om vi først regner parentesen ud eller ganger tallet ind i parentesen 5
9 Sætning: Gange to parenteser Man kan ganger to parenteser ved at gange hvert led i den første med hvert led i den sidste. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Eksempelvis: (x + 2)(3 t) = 3x xt + 6 2t Flytte udenfor parentes (faktorisere) Reglen om at gange ind i en parentes kan selvfølgelig også bruges den anden vej så ab + ac = a(b + c). Dette bruges ofte til at forkorte et aritmetisk udtryk. Eksempelvis 4x + 8 = 4 x = 4(x + 2) I skrivende praksis springes den midterste udregning oftest over. Potenser og rødder Kun slået af parenteser har vi potenser og rødder. Potens En potens består af en rod en eksponent (eksponenten er den opløftede). Eks. 2 4, her er 2 roden og 4 eksponenten. Eksemplet kan også skrives som 2 4 = Generelt vil der gælde, at hvis vi tager n-antal xér og multiplicere dem får vi x x x x x = x n Vi skal senere kigge nærmere på konkrete potensregneregler. 6
10 Eksponentielnotation Et konkret sted hvor potenser bruges til at gøre tal lettere at kigge på er i forbindelse med eksponentielnotation. Hvis vi eksempelvis kigger på lidt info om jorden så er dens masse gram (sådan i runde tal). For at skrive dette lidt kortere så kan det skrives som 5, gram For at omskrive et tal til eksponentielnotation, skal man først finde det første tal i rækken som ikke er nul, herefter sætte et komma, og så tælle enten antal tal indtil kommaet. Hvis tallet er større end 0 så er eksponenten positiv, hvis tallet er mindre end 0, så er eksponenten negativ. Et andet eksempel kunne være enheden nanometer som er givet som 0, meter. I eksponentielnotation skrevet som 1, meter Rødder En rod består af en rodeksponent og en radikand. Radikanden er tallet inde under rodtegnet. 3 Eks. 8, her er 3 rodeksponenten og 8 er radikanden. I har sikkert lært at 4, læses som kvadratroden af 4, men man kan også sige den anden rod af 4. 2 Faktisk står der et skjult 2-tal. 4 = 4. Dette betyder, det tal, som ganget med sig selv 2 gange, giver betyder det tal som ganget med sig selv 3 gange giver 8. Man kan ikke tage kvadratet af et negativt tal, da der ikke eksisterer nogle tal, som ganget med sig selv giver et negativt tal. Man har én gang for alle bestemt at kvadratrødder er positive. Så eks. 4 = 2 selv om ( 2)( 2) = 4 7
11 Har man en lige rodeksponent, så kan radikanden ikke være negativ jf. ovenstående. Har man en negativ rodeksponent, så kan radikanden godt være negativ jf. ovenstående. Denne viden om rødder kan eks. bruges til at løse følgende x 3 = 27 3 x = 27 = 3 Alle rødder kan skrives som potenser, hvilket vi ser nærmere på under potensregneregler. Eksempelvis kan vi skrive 4 = Gange og dividere Ikke et område vi gør noget større ud af, da det her anses som en grundlæggende færdighed alle kan. Det skal dog nævnes at to tal som bliver ganget sammen kaldes for faktorer og resultatet for et produkt. Disse betegnelser bruges ofte og er derfor nødvendige at kunne. I forbindelse med division vil vi oftest opstille det på en brøk med tæller (top) og nævner (nederst). Det anses som grundlæggende viden at man kan forkorte eller forlænge en brøk ved at gange/dividere et tal med BÅDE tæller og nævner. VIGTIGT: Man må ikke dividere med 0. Vigtige brøkregneregler vil blive nævn under vigtige regneregler senere. 8
12 Lægge til og trække fra GAAAAAABBBBBBBBBBB Skal vi skrive noget interessant så kaldes det ikke at plusse men at lægge sammen. Dette hedder addition. Det kaldes heller ikke at minusse men at trække fra og dette hedder substitution. 9
13 Vigtige regneregler Nu vil vi opliste nogle af de vigtigste regneregler som bare SKAL kunne huskes udenad. Næsten halvdelen af det arbejdet I skal lave senere med beviser benytter disse regler. Det er fundamentet i vores Matematik -hus. Brøkregneregler Undtagen nogle få, så kan alle tal opskrives som brøker. Det er derfor en stor fordel at have helt styr på de næste brøkregneregler. I folkeskolen har mange været vant til at benytte blandede tal, dvs. omskrive eksempelvis 5 til 2 1. Det viser sig dog i mange henseender at være problematisk, så 2 2 mit råd er Hold jer til brøker og glem alt om blandede tal, og blot forkort brøken mest mulig.. Sætning: Sætte på fælles brøkstreg Man adderer eller subtraherer brøker med fælles nævner ved at adderer eller subtraherer tællerne og beholde nævneren Eksempel = = 6 3 = 2 a c + b a + b = c c Sætning: Gange en brøk med et tal Man ganger en brøk med et tal ved at gange tallet op i tælleren og beholde nævneren Eksempel = 12 5 a ac c = b b 10
14 Sætning: Gange to brøker Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner Eksempelvis 2 7 = 2 7 = a b c d = ac bd Sætning: Dividere en flerledet størrelse med et tal Man dividerer en flerledet størrelse med et tal ved at dividere hvert led i tælleren med tallet Eksempelvis = a + b c = a c + b c Sætning: Dividere en brøk med et tal Man dividerer en brøk med et tal ved at gange tallet i nævneren og beholde tælleren Eksempelvis 7 5 : 3 = = 7 15 a b : c = a bc 11
15 Sætning: Dividere med en brøk Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte a: b c = a c b = ac b Eksempelvis 4: 3 2 = = 8 3 Potensregneregler Her følger en samling af udvidet potensbegreber, som er nyttige som redskab til at gøre eksempelvis et aritmetisk udtryk pænere og mere overskueligt. Sætning: Potensregneregler (potenser) 1. a p a q = a p+q 2. a p = ap q aq 3. a 0 = 1 4. a p = 1 a p 5. (a p ) q = a p q 6. a p b p = (a b )p 7. a p b p = (a b) p q 8. a p p = aq Bevis: Laves på klassen. Hermed bevist 12
16 Eksempler = = 3(4 2) = = = (5 2 ) 3 = = = (4 5 ) = (2 5) 4 = = Regneregler for rødder Vi har tidligere hørt at rødder kan omskrives og derefter kan vi benytte ovenstående potensregneregler på disse. Men Vi kan også omskrive rødder på anden vis. Sætning: Regneregel for rødder 1. a b = a b 2. a b = a b 3. a 2 = a Bevis: I de næste beviser benyttes flere at sætningerne for potensregneregler. 1. a b = (a b) 1 2 = a 1 2 b 1 2 = a b Hermed bevist 13
17 a = b (a) 2 = a 2 b Hermed bevist 1 b2 = a b 3. Til at vise punkt 3 laver vi to omskrivninger. 1. a 2 = a a = a a = a 1 2 a 1 2 = a ( ) = a 1 = a 2. a 2 = (a 2 ) 1 2 = a 1 = a I nummer 1 gælder at a>0 og i 2 gælder at a R. Derfor har man bestemt at a 2 = a Hermed bevist Sætningens punkt 1 og 2 gælder for alle rødder uanset rodeksponent. Punkt 3 gælder for alle rødder med lige rodeksponent og ved ulige rodeksponent fås blot a. Eksempler: 1. 8 = 4 2 = 4 2 = = 16 9 = ( 4) 2 = 16 = 4 14
18 Kvadratsætninger Kan man gange to parenteser med hinanden, så er kvadratsætningerne egentlig overflødige, men de giver nu en god regel, som gør det hele lidt nemmere. I stedet for at have 3 sætninger, så vælger jeg her kun at have 2, da de kan det samme. Sætning: Kvadratsætning 1 Kvadratet på en toleddet størrelse er givet ved kvadrat på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt. (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab Eller så den er nemmere at bruge uanset fortegn (±a ± b) 2 = (±a) 2 + (±b) 2 + 2(±a)(±b) Bevis: Ved at benytte sætningen om at gange et tal på en parentes, og huske på at en parentes kan opfattes som et tal, så kan vi gøre følgende: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + b 2 + 2ab Hermed bevist. Eksempel: (a + 2b) 2 = a 2 + 4b 2 + 4ab Eller et lidt svære stykke ( 2a + 3b) 2 = ( 2a) 2 + (3b) 2 + 2( 2a)(3b) = 4a 2 + 9b 2 12ab 15
19 Sætning: Kvadratsætning 2 To tals sum ganget med to tals differens givet kvadratet på første led minus kvadratet på andet led (a + b)(a b) = a 2 b 2 Bevis: Laves af eleverne selv. Hermed bevist. Eksempelvis ( 2 + b)( 2 b) = ( 2) 2 (b) 2 = 4 b 2 Ligningsløsning Når to udtryk sættes lig med hinanden har man en ligning. En matematisk ligning er dermed et udtryk, som fastslår at to udtryk (ofte kaldet hhv. venstre og højre side af ligningen) er lige store, skrevet op på formen: (Det ene udtryk) = (det andet udtryk). Almindeligvis indgår én eller flere ubekendte talstørrelser, repræsenteret ved et eller flere bogstaver (ofte x). Formelmæssig løsning Grundregel: Løsning af ligninger Man må foretage hvilken som helst regneoperation på ligningen, så længe man gør det samme på begge sider af lighedstegnet. DOG må man ikke gange eller dividere med 0. Eksempel: Dette er en MEGET udførlig version. 2x + 5 = 4x + 1 2x = 4x x = 4x 4 2x 4x = 4x 4 4x 2x = 4 2x 2 = 4 2 x = 2 16
20 Uligheder En ulighed er et matematisk begreb for et udtryk, der fastslår at ét regneudtryk er større end eller evt. lig med, et andet regneudtryk. Ligesom med ligninger indgår der en eller evt. flere ubekendte størrelser (et tal repræsenteret ved f.eks. bogstavet x) i ét eller begge regneudtryk. De regneregler der gælder for ligninger kan også bruges til at løse uligheder, men hvor ligninger typisk tilfredsstilles af ét eller nogle få bestemte tal, er løsningsmængden for en ulighed oftest et interval, eller evt. en foreningsmængde af flere intervaller af værdier der tilfredsstiller den oprindelige ulighed. < som læses "er mindre end" som læses "er mindre end eller lig med" > som læses "er større end" som læses "er større end eller lig med" Grundregel: Løsning af uligheder Man må foretage hvilken som helst regneoperation på ligningen, så længe man gør det samme på begge sider af lighedstegnet. DOG må man ikke gange eller dividere med 0. Men hvis der ganges eller divideres med et negativt tal, så vendes ulighedstegnet Et tip: Saml den ubekendte på den side af ulighedstegnet hvor den vil være positiv, så slipper man for at huske på reglen om at vende uligheden, og blot løse det som en almindelig ligning. Eksempel: 2x + 5 > 4x + 1 2x > 4 x < 2 Her med er løsningen altså intervallet ] ; 2[. Hvis vi bruger tippet. 2x + 5 > 4x
21 4 > 2x 2 > x Fås det samme resultat, men vi slipper for problemet med at vende uligheden. Smart. HVIS vi har TI Nspire til hjælp kan det løses ved solve(2x + 3 = 3x 11, x) x = 14 Grafisk løsning Ligningerne kan også betragtes grafisk, da hver side af lighedstegnet kan opfattes som en funktion (nærmere om dette senere). Alle funktioner kan tegnes ind i et koordinatsystem, og dermed kan løsningen findes visuelt (eller med computeren) Eksemplet med 2x + 5 = 4x + 1 kunne højre og venstresiden repræsenteres som rette linjer. Disse linjer vil skærer hinanden (da der eksisterer en løsning). y 4x+1 2x+5 y 12 4x+1 2x (2., 9.) 8 6 (2., 9.) x x Ligning 1: 2x+5=4x+1 Ligning 2: 2x+5>4x+1 18
22 I TI Nspire: (video) Indsæt en graf. Graftype skal være funktioner. Indskriv nu de ønskede funktioner. Vælg undersøg grafer og derefter skæringspunkt. Nu vælges det område som indeholder skæringspunktet. 19
Grundlæggende matematik
Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel
Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes
Læs mereAlgebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Læs mereElementær Matematik. Tal og Algebra
Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul
Læs mereSCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan findes her. PDF. Henrik S. Hansen, version 3.
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Opgaver til noterne kan findes her. PDF Facit til opgaverne kan findes her. PDF Henrik S. Hansen, version 3.1 0 Indhold Tallenes udvikling... 1 Tallenes udvikling...
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul
Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereMat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser
Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,
Læs mereMatematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2
Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis
Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereÆstetik og reduktioner Matematisk takt og tone. Mikkel Findinge
Æstetik og reduktioner Matematisk takt og tone Mikkel Findinge Indhold Indledning. Hvad er god matematisk skik?...................... Starttips før ulvehyl 4. Primtalsfaktorisering...........................
Læs mereLektion 3 Sammensætning af regnearterne
Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs meredynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.
Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:
Læs mereOmskrivningsgymnastik
Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mereSymbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med
Læs mereRegneoperationerne plus og minus er hinandens omvendte regneoperation og at gange og dividere er hinandens omvendte regneoperation.
Ligninger Eksempel 1. Et eksempel på en ligning er 2x 4 = 10 En ligning er et matematisk udtryk hvor der indgår et lighedstegn. I en ligning indgår der et bogstav, en ukendt størrelse/variabel. Dette bogstav
Læs mereIndhold. Kontrol af resultater, skrivemåder osv.
Indhold Kontrol af resultater, skrivemåder osv.... 1 Om materialer:... 2 Om opgaverne... 2 1.0 Om regningsarternes hierarki og talforståelse... Opgave 1.1... 4 Opgave 1.2... 4 Opgave 1.... 4 R1 Kortfattet
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereBasal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:
Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med
Læs mereMini-formelsamling. Matematik 1
Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...
Læs mereFAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007
FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereBEVISER TIL KAPITEL 3
BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper
Læs mereFlexMatematik B. Introduktion
Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereProjekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Læs mereSammensætning af regnearterne
Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereFormler & algebra - Fase 2 Omskriv & beregn med variable
Navn: Klasse: Formler algebra - Fase Omskriv beregn med variable Vurdering fra til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring. Jeg kan opstille en linjes ligning, når jeg
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereOmskrivningsgymnastik
Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra
Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus
Læs mereTal og Regneoperationer
Tal og Regneoperationer Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereTal og Regneoperationer
Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereFortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P
Fortløbende summer NMCC 2018 Danmark Muldbjergskolen 8.P 1 Indholdsfortegnelse: S. 3 Vores første observationer S. 4 Ulige antal af fortløbende tal S. 6 Lige antal af fortløbende tal S. 8 Udvikling af
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder
3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereOversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08
Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående
Læs mereDe 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point:
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium De 4 regnearter (aritmetik) Aritmetik: kommer af græsk: arithmetike = regnekunst arithmos = tal Aritmetik er læren om tal og operationer på tal som de 4 regnearter.
Læs mereAPPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE
APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer
Læs mereAlgebra og lineære funktioner
Matematik i grundforløbet Algebra og lineære funktioner - Ingenting er bedre end evig lykke; en pizza er bedre end ingenting - ergo er en pizza bedre end evig lykke. Gefion Gymnasium 2017 Navn : Klasse
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereFærdigheds- og vidensområder
Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs merei tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereLærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard
Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs merematematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt
matematik grundbog trin preben bernitt matematik grundbog -udgave 00 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette
Læs mereOversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08
Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereGrundlæggende færdigheder
Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereSCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mere