Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering"

Transkript

1 Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

2 Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler Tal Regning Potenser Regnearterneshiraki Bogstavregning Parenteser Logik Argumenter Hvad er et bevis? Kvadratsætningerne 16 7 Brøkregning 19 8 Potensregneregler 22 9 Ligninger Ligningsløsning To ligninger med to ubekendte Andengradsligninger Komplekse tal Regning med komplekse tal Geometrisk repræsentation af komplekse tal

3 Svar til opgaverne 41 3

4 1 Forord Faglige mål og kernestof - Regningsarternes hierarki, det udvidede potensbegreb, rationale og irrationale tal, ligningsløsning med analytiske metoder. - Gennemføre simple matematiske ræsonnementer og beviser Supplerende stof - Kompleksetal med vægt på ræsonnement og bevisførelse. 4

5 2 Indledning Algebra er regning med symboler og bogstaver. Grundet til at regne med bogstaver, er for at komme frem til nogle generelle regler, som er rigtige for alle tal. På denne måde kan en masse udregninger undgås. Det vigtigste man bruger algebra til er beregninger på en computer. Da ønskes at det skal gå så hurtigt som muligt, derfor er det vigtigt at reducere udtryk så de bliver nemmere for computeren at udregne. F.eks. skal computerne udregne kan dette reduceres til 3 (a + b) 2 6 a b 3 b 2 3 a 2 Hvis der indsættes tal i stedet for a og b f.eks. 5 ind i stedet for a og 2 ind i stedet for b bliver det første udtryk til 3 (5 + 2) = og det andet udtryk bliver til = = = = 3 25 = 75 Det er hurtigere for computerne og bruge det andet udtryk, og det er derfor det er vigtigt at reducerer så antallet af beregninger nedsættes. Computeren laver rigtigt mange udregninger hele tiden, derfor vil alt gå langsommere på computerne hvis regneudtrykkene ikke var reduceret. Der er en hel række af regler og love som skal overholdes, hvis ikke bliver reduceringen forkert. Her er et eksempel på en forkert reducering. 3 (a + b) = 3 a + b 5

6 og computerne skal udregne dette med a lig 5 og b lig 2, bliver det første til 3 (5 + 2) = 3 7 = 21 og det andet bliver = = 17 og det er bestem ikke sådan at 21 og 17 er det samme tal. Metode med at sætte tal ind kan også bruges når for at undersøge om reduceringen er rigtigt. Metoden er ikke helt sikker for det er ikke sikkert at hvis det er rigtigt med nogle tal så er der rigtigt for alle tal, men ofte vil det være tilfældet især hvis der bruges forskellige tal og gerne primtal dvs. (2,3,5,7,11) 6

7 3 De grundlæggende regler Der er 10 grundlæggende regler for regning med symboler. Definition 3.1 Regler for addition, subtraktion, multiplikation, division og paraenteser.[3, s. 9-10] 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Ved at tage udgangspunkt i disse grundlæggende regler kan udledes en hel masse generelle regler, som gælder for alle tal. 3.1 Tal Hvad er et tal? Der findes mange tal f.eks. 4, 5, 9378, I, III, IV, DC, 10110, Fældes for alle disse tal er, at de repræsenterer en 7

8 værdi. Symbolet "4"repræsentere værdien 4, men det gør symbolet "IV"og "100"også. Dvs. Et tal er et symbol, som repræsenterer en værdi. Ofte vil symbolet være efterfulgt af en betegnelse for den værdi som det repræsenterer f.eks. 4 kr eller 4 kg. I matematik undlade denne betegnelse ofte. Tal inddeles i typer. En type af tal er tallene 0,1,2,3,4,..., disse tal kaldes for de naturlige tal og symbolet for disse tal er N. Ud fra de naturlige tal kan f.eks. 11 og 5 konstrueres ved at sætte (minus) foran tallet. På denne måde fås tallene..., 2, 1,0,1,2,... Disse tal kaldes for de hele tal og symbolet for disse tal er Z. Ud fra de hele tal kan f.eks. 3 6 og 7 konstrueres. Tal af denne type hedder brøker 11 og disse tal kaldes for de rationelle tal og symbolet for disse tal er Q. Ud fra de rationelle tal kan de reelle tal konstrueres. Det er de tal som f.eks. 2 og π. Symbolet for de reelle tal er R. Ud fra de reelle tal kan de kompleks tal konstrueres. Det er tal som 2 + 1i. Symbolet for de kompleks tal er C. 3 N 5 Z 3 5 Q 2 R 2i 3 C 8

9 3.2 Regning Det er muligt at lave forskellige operationer med tallene. Én operation er at lægge to tal samme, denne operation kaldes addition. Symbolet for en addition er + (plus). F.eks De to tal som adderes kaldes led, symbolet kaldes en operator. F.eks. plus operator {}}{}{{} 4 led + 2 }{{} led Ved en addition fås et resultat der kaldes en sum, for at vise at der er tale om et resultat skrives = (ligmed) foran. F.eks. plus operator {}}{}{{} 4 led + 2 }{{} led = 6 }{{} sum En anden operation er multiplikation eller at gange som det også kaldes. Ved en multiplikation af to tal eller bogstaver skrives mellem de to tal eller bogstaver, som multipliceres. F.eks. 4 3 betyder 4 gange 3 og 4 og 3 kaldes for faktorer. Resultatet af en multiplikation kaldes et produkt. F.eks. gange operator {}}{}{{} 4 faktor 3 }{{} faktor = produkt {}}{ 12 Addition og multiplikation kan også kombineres. a }{{} led plus operator {}}{ + led {}}{ 4 }{{} faktor gange operator {}}{ b }{{} faktor = sum {}}{ a + 4b Der er 3 faktorer og 2 led i dette udtryk 3 e y + 6 9

10 De tre faktorer er 3, e og y og de to led er 3 e y og 6. Ofte undlades hvis det er tydeligt at der skal være. F.eks. Vil der istedet for at skrive 3 e y bare skrive 3ey, mens hvis der stod 3 4 kan der ikke skrives 34 fordi det ville betyde fireogtredive og ikke tre gange fire. 3.3 Potenser Udregninger skal skrives på den mest simple måde og derfor indføres en måde som beskriver det samme tal ganget med sig selv f.eks = 3 4 og det udtales tre i fjerde eller tre opløftet i fjerde. 5 3 = Mens ( 5) 3 = Regnearterneshiraki Når man skal udregne et udtryk med flere en to tal er det vigtigt at være opmærksom på i hvilken rækkefølge udregningen skal foretages. Eksempel 4.1 I udtrykket skal 3 5 udregnes først fordi (gange eller multiplikation) skal udregnes inden + (plus eller addition). Udregningen kommer til at se således ud: = = 17 10

11 Definition 4.2 Regnearterneshiraki er 1. Parenteser 2. Eksponenter 3. Potenser 4. Multiplikationer og divisioner 5. Additioner og subtraktioner Eksempel 4.3 I udtrykket skal eksponenten 2+3 = 5 udregnes først og derefter skal potensen 2 5 = 32 og til sidst skal multiplikationen 32 4 = 128 udregnes. Udregningen kommer til at se således ud: = = 32 4 = 128 Opgave 4.4 Regn følgende udtryk ud. (3 + 3) (2 5) (2 3) 2 (2 5) (2 + 3) Bogstavregning Der kan også regnes med bogstaver, her er nogle enkle eksempler som alle følger af matematikkens grundlæggende love. a + a = 2a a a = 0 a a = a 2 a a = 1 Her er nogle flere, de er lidt mere komplicerede a + b + a = 2a + b a b + 2b = a + b a b a = a 2 b 11

12 Her kombineres plus og gange a+(b c) = a+bc a (b+c) = ab+ac b (a+b+c) = ab+b 2 +bc Her kombineres alle regnearterne a (b + c) a = b + c ac + bc b = ac b + c ac + bc c = a + b Opgave 4.5 Regn følgende udtryk ud. 1. a + a + a 5. a a 2 2. ab a b + a ab ac + ad 6. + c a 3. a2 7. a (a + a) a 4. a (b + c) ab 8. (a + b) c (c + b) a 4.2 Parenteser Meget ofte er det praktisk at regne med parenteser, der er to ting operationer, det ene er at gange ind i parenteser det andet er at sætte udenfor parentes. Et typisk eksempel er, hvis der er 15% rabat på en vare, da kan prisen udregnes på følgende måde: og det udregnes som f.eks før prisen 15% af før prisen = prisen 60 kr. 15% 60 kr. = 51 kr. fordi 15% = 0,15 og 0,15 60 = 9. Dette kan også udregnes som 60 85% fordi 60 0,15 60 = 60 (1 0,15) = 60 0,85 12

13 Hvis et tal eller bogstav skal ganges ind i en parentes, skal tallet eller bogstavet ganges med hvert led i parentesen f.eks. 5 (3 + c a) = c 5 a dette kan reduceres til c 5a Er der to parenteser, som skal ganges ind i hinanden (parenteserne ganges ud) skal hvert led i den ene ganges med hvert led i den anden f.eks. (x + y + z) (a + b + c) = (x + y + z) a + (x + y + z) b + (x + y + z) c = xa + ya + za + xb + yb + zb + xc + yc + zc Der kommer 9 led ud af at gange parenteserne ud, der er fordi der er 3 led i hver af parenteserne og 3 3 = 9. Hvor mange led kommer der ud af at gange disse to parenteser ud (a + b)(x + y)? Her er en liste over de mest typiske udregninger. Regel Eksempel a + ba = (b + 1)a a + 4a = (1 + 4)a ca + ba = (b + c)a 2a 4a = (2 4)a a b b = a = 4 a(b + c) = ab + ac 3(b + c) = 3b + 3c Eksempel 4.6 Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + 4) (3y + z). (2x+4) (3y+z) = (2x+4) 3y+(2x+4) z = 2x 3y+4 3y+2x z+4 z 13

14 Eksempel 4.7 Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + y) 2 (5 + z). Først omskrives (2x + y) 2 til (4x 2 + y 2 + 4xy), nu ses at der er to parenteser og ingen potenser nu kan det ganges ud. (4x 2 + y 2 + 4xy) (5 + z) (4x 2 + y 2 + 4xy) (5 + z) = (4x 2 + y 2 + 4xy) 5 + (4x 2 + y 2 + 4xy) z = 4x y xy 5 + 4x 2 z + y 2 z + 4xy z = 20x 2 + 5y xy + 4x 2 z + y 2 z + 4xyz Opgave 4.8 Gang følgende parenteser ud. 1. (x + y) (x + y) 5. (x y) (x + y) 2. (x + y) (2x + y) 6. (x 3y) (x + y) 3. (x + 2) (2 + y) 7. (x y) (x + y) (z + 5) 4. (5x + 4y) (2x + 3y) 8. (3x + 5y + 3) (2x + 4) At skal sætte udenfor parentes, betyder at det som to eller flere led har tilfældes kan placeres udenfor en parentes. Eksempel 4.9 Sæt udenfor parentes i følgende udtryk. 2x + 5xy begge led indeholder x derfor kan det sættes udenfor parentes 2x + 5xy = x (2 + 5y) bemærk at x er fjernet fra begge led. 14

15 Opgave 4.10 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. 1. 3x + 4xy 5. 3a + 6ba x + 6xy 6. 2x + 6xy 3. 3x 2 + 6xy 7. 3xy 2 9xy 4. 4a + 6b + 8c 8. 14x 4 y 3 21x 3 y 4 5 Logik Logik er en metode til at bestemme om et udsagn er rigtigt / sandt / logisk. 5.1 Argumenter Et argument er sammensat af to ting: Et eller flere udsagn og en konklusion. Et udsagn kan f.eks. være "alle mennesker er fejlbarlige"eller "du er et menneske"eller "månen lavet af ost". Ved at sammensætte udsagnene er det muligt at drage / udlede en konklusion. F.eks. Fordi alle mennesker er fejlbarlige og fordi du er et menneske så er du fejlbarlig. Her er udsagnene fremhævet. Foran udsagnene står fordi, dette kaldes en udsagnsmarkør dvs. et ord som markerer at nu kommer der et udsagn. Der findes mange udsagnsmarkører f.eks."eftersom, fordi, for, idet, følger af, hvis, som vist ved, som antydet, grunden er, med den begrundelse, som kan sluttes fra, afledes fra, deduceres fra, i lyset af den kendsgerning"[2, s ]. De markører som oftest bruges i en videnskabelig sammenhæng er i kursiv. 15

16 5.2 Hvad er et bevis? Et bevis er en serie af argumenter, som tilsammen giver anledning til den ønskede konklusion - det der skulle bevises. F.eks. hvis man vil bevise at (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab bruges følgende argumenter: 1. Der følger af den distributive lov, at (a + b) (a + b) = (a + b) a + (a + b) b 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (a + b) a + (a + b) b = a 2 + ab + ab + b 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (a + b) (a + b) = a 2 + 2ab + b 2 Det er meget vigtigt at forstå hvad der sker i hver eneste argument, derfor skal man være meget omhyggelig og læse et argument af gangen og være helt sikker på at man forstå det. Et sådan resultat formuleres i en sætning - der er en matematikers betegnelse for en betydningsfuld konklusion, meget ofte vil der være tale om en formel med visse betingelser. 6 Kvadratsætningerne Der findes tre varianter af kvadratsætningerne, alle tre varianter vil senere vise sig at være nyttige, fordi de forekommer så ofte i andre udregninger. 16

17 Sætning 6.1 Hvis a og b R så vil (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab Sætning 6.2 Hvis a og b R så vil (a b) 2 = (a b) (a b) = a 2 + b 2 2ab Sætning 6.3 Hvis a og b R så vil (a + b) (a b) = a 2 b 2 Disse tre sætninger kaldes for de tre kvadratsætninger. Opgave 6.4 Bevis at 1. Hvis a og b R så vil (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab 3. Hvis a og b R så vil (a + b) (a b) = a 2 b 2 2. Hvis a og b R så vil (a b) (a b) = a 2 +b 2 2ab 4. Hvis a og b R så vil (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 Eksempel 6.5 Udregn følgende: (2 + 3) (2 + 3), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (5 + 3) (5 + 3) = = = 64 Meget ofte vil regnens ikke med tal, men med bogstaver. Derfor kommer der her et eksempel med bogstaver. Eksempel 6.6 Udregn følgende: (x + y) (x + y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står 17

18 + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (x + y) (x + y) = x 2 + y x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere. Eksempel 6.7 Udregn følgende: (2x + y) (2x + y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (2x + y) (2x + y) = (2x) 2 + y (2x) y = 4x 2 + y x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere. Opgave 6.8 Regn følgende opgaver ved brug af kvadratsætningerne 1. (3 5) (3 5) 5. (x r) (x r) 2. (3 5) (3 + 5) 6. (2x r) (2x r) 3. (t + r) (t + r) 7. (3x + 4y) (3x + 4y) 4. (t r) (t + r) 8. (2x 3y) (2x + 3y) Opgave 6.9 Regn følgende opgaver ved brug af kvadratsætningerne 1. (3x 5y) (3x 5y) 5. (3x 3r) (3x 3r) 2. (3x 5y) (3x + 5y) 6. (2x r 2 ) (2x r 2 ) 3. (3t + r) (3t + r) 7. (3x 2 + 4y) (3x 2 + 4y) 4. (t 4r) (t + 4r) 8. (2x 3 3y 2 ) (2x 3 + 3y 2 ) Nu har vi set på hvad et bevis er og hvad man kan bruge en sætning til, nu skal vi arbejde videre med nogle flere grundlæggende sætninger og deres anvendelser. 18

19 7 Brøkregning En brøk består af to dele en tæller og en nævner, meget ofte skrives det således tæller nævner Der skrives altså tælleren i toppen og nævneren nederst. F.eks. 12a 3ab Her er 12a tælleren og 3ab er nævneren. En brøk kan forkortes, hvilket betyder at tæller og nævner divideres med samme tal eller bogstav. F.eks. kan følgende brøk forkortes med a 12a 3ab = 12 3b En brøk kan forlænges med et tal eller et bogstav, dette betyder at både tæller og nævner ganges med tallet eller bogstavet. F.eks. her forlænges med 4: 12a 3ab = 4 12a 4 3ab Definition 7.1 Regneregler for brøker. a b c = a b a c b c d = a c b d a b c = b a c b : c d = a d b c a b c = a c a b b : c = a b c c : a b = c b a a b + c b = a + c b a b + c d = a d + b c b d 19

20 Opgave 7.2 Regn følgende opgaver ved brug af regneregler for brøker x 2 y 3. a 3 a x 2 3 y 6. b c + x c 7. b c : x a 8. b c + x a Eksempel 7.3 Opgaven er at skrive følgende udtryk om til et udtryk med 2 parenteser (faktorisering) 9x 2 + y 2 + 6xy Det første man ser efter er det dobbelte produkt dvs. 2vw, hvis der står plus foran så er det 1. kvadratsætning, hvis der står minus så er det 2. kvadratsætning og hvis der ikke er noget dobbelte produkt så er det 3. kvadratsætning. I dette tilfælde står der plus (+6xy), der er altså 1. kvadratsætning der skal bruges. (v + w)(v + w) = v 2 + w 2 + 2vw Eftersom der står 9 foran x 2 må det betyde at v = 3x efter som v 2 = (3x) 2 = 9x 2, da der ikke står noget foran y må det betyde at w = y efter som w 2 = (y) 2 = y 2. Nu kan udtrykket 9x 2 + y 2 + 6xy faktoriseres 9x 2 + y 2 + 6xy = (3x + y)(3x + y) 20

21 Opgave 7.4 Faktoriser følgende udtryk. 1. x 2 + 8xy + 16y x 2 12xy + 4y x 2 + 4xy + y 2 6. x 4 4x 2 y + 4y x 2 12xy + 9y x 2 9y x xy + 16y x2 9y 2 Opgave 7.5 Forkort følgende brøker. 1. x2 + 8xy + 16y 2 x + 4y 2. 4x2 12xy + 9y 2 2x 3y 3. 4x4 + 12x 2 y + 9y 2 2x 2 + 3y 4. 16x2 9y 2 4x 3y 5. x 2 5y x 4 25y x3 2ax 2 9x 6a 7. 3x4 y xy 3 12x 3 4y x2 + y 2 + 6xy 9x + 3y Opgave 7.6 Reducer følgende to udtryk. x 2 x y y2 x y x y y x 21 1 (x + y)(x y)

22 8 Potensregneregler Definition 8.1 Regneregler for potenser. Hvor x og y er forskellige fra 0. x s x t = x s+t x s = x s t (x s ) t = x s t (x y) s = x s y s s x = xs y y s x 0 = 1 x s = 1 x s s x = x 1 s, hvor x > 0 s x t = x t s, hvor x > 0 Eksempel 8.2 Følgende udtryk x 3 x 6, kan reduceres ved at anvende reglen x s x t = x s+t, så fås at x 3 x 6 = x 3+6 = x 9. Eksempel 8.3 Følgende udtryk ( x 3) 6, kan reduceres ved at anvende reglen (x s ) t = x s t, så fås at ( x 3) 6 = x 3 6 = x 18. Eksempel 8.4 Følgende udtryk x3 x6, kan reduceres ved at anvende reglen xs x t = x s t, så fås at x3 x 6 = x3 6 = x 3. Som ifølge reglen x s = 1 x er lig x 3 = 1 x 3. Ofte forventes det at mere komplicerede udtryk kan overskues. Eksempel 8.5 Følgende udtryk x 6 y 4 x 3 y kan reduceres ved at anvende reglen xs x t = xs t to gange, først på x og derefter på y. Når regelen anvendes på x fås at x6 x 3 = x6 3 = x 3 22 x t

23 og når den anvendes på y fås at y4 y = y4 1 = y 3 - Bemærk at y = y 1. Og disse to resultater kan så sættes sammen. x 6 y 4 x 3 y = x3 y 3 Dette kan reduceres yderligere ved brug af reglen (x y) s = x s y s. Eksempel 8.6 Følgende udtryk x 3 y 3 = (x y) 3 x 5 8 x2 x 3 kan reduceres ved at anvende reglen s xt = x t s 8 x2 = x 2 8 det betyder at x 5 8 x2 x 3 = x 5 x 2 8 x 3 på 8 x2, så fås at reglen x s x t = x s+t anvendes på alle tre faktorer så x 5 x 2 8 x 3 = x ( 3) Og da ( 3) = = = 18 8 = 9, så fås at 4 x ( 3) = x 9 4 Opgave 8.7 Reducer følgende udtryk. Antag at x, y og a ikke er x4 x 2 5. x 3 5 x 10, hvor x > 0 2. x2 x 4 6. a 2 3 x6 a 5, hvor x > 0 3. x2 y 4 x 2 y x 3 4 x2 5a 3 10a 2 x 4 4 x 6, hvor x > 4. x2 x y 2 x 3 y x4 y 3 21x 3 y 4 7x 3 y 3 23

24 9 Ligninger I dette kapitel omhandler ligninger. En ligning er et udtryk som indeholder et =. Tidligere er = anvendt i forbindelse med udregninger f.eks. 4(x + 2y) 2x + 4 = 4x + 8y 2x + 4 = 2x + 8y + 4 Men dette lighedstegn er i selve udtrykke det ser f.eks. således ud 2x = 8y + 4 Her er = i udtrykke fra starten af. En sådan ligning siges at have løsninger, det betyder at der findes x er og y er som gør at 2x faktisk er lig 8y + 4. Det kunne f.eks. være hvis x = 12 og y = 2. Meget ofte vil man kende f.eks. y, og ønske at finde x. Som med algebra ønsker man at reducerer udtrykket, så meget som muligt, for at det bliver letter at foretage udregningerne. Men når man arbejder med ligninger vil man ikke bare reducerer, man vil finde en bestemt ubekendt som f.eks. x, dette kalder man at isolerer. Isoleres x i ligningen 2x = 8y+4 betyder det at x kommer til at stå alene, i dette tilfælde divideres med 2 på begge sider af lighedstegnet. 2x = 8y + 4 x = 4y + 2 Tegnet betyder at de to ligninger på hver side har de samme løsninger. 9.1 Ligningsløsning Med ligningsløsning menes at ved hjælp af en eller flere udregninger findes den ubekendte. F.eks. at finde x i ligningen 5x = 15 24

25 betyder at finde den værdi af x som gør udtrykke sandt. Først divideres begge sider med 5. og ved udregning ses at 5x 5 = 15 5 x = 3 Eksempel 9.1 Løs ligningen 2x + 4 = 8. 2x + 4 = 8 Først trækkes 4 fra på begge sider. 2x = 8 4 Det kan reduceres til. 2x = 4 Så divideres med 2 på begge sider. 2x 2 = 4 2 Dette kan reduceres. x = 2 Løsningen er L = {2} Løsningen kan kontrolleres ved at sætte den ind i ligningen, som man skulle løse. Her sættes x = 2 og så fås = 8 Og det betyder at løsningen er rigtigt. Eksempel 9.2 Løs ligningen 2 3 x + 4 = 3. 25

26 2 x + 4 = 3 Først trækkes 4 fra på 3 begge sider. 2 x = 3 4 Derefter ganges med 3 3 på begge sider. 3 2 x = 1 3 Dette kan reduceres. 3 2x = 3 Så divideres med 2 på begge sider. x = 3 2 Løsningen er L = { 3 2 } Opgave 9.3 Løs ligningerne. 1. 6x = x + 4 = 5x 2. 3x + 4 = 5 6. x 2 = 2x x + 4 = x 4 = 2x x + 4 = 5x 8. 7x + 3 = x 5 2 Ofte vil der være mere end en ubekendt i en ligning, hvis der er det kan ligningen ikke løses. Istedet kan en af de ubekendte isoleres, f.eks. kan x isoleres i ligningen 3y = 5x + 7 dvs. få x til at stå alene på den ene side at lighedstegnet. 3y 7 = 5x Først trækkes 7 fra på begge sider. 3y 7 = 5x 3y 7 5 3y 7 5 = 5x 5 Derefter dividerer med 5. Dette reduceres. = x Nu er x isoleret. 26

27 Opgave 9.4 Isoler x i ligningerne. 1. 3x = 6y 5. 3 ax = 4x 2. b = 2 x 6. ax = 4x c 3. 2q = 3x a = 2c x d 4. 8x = 4x 7 8. y = 3x + 5 Opgave 9.5 Løs ligningerne. 1. 2x 3 = x x = x + 3 = 4(x + 2) x = (14 + x) = (1 + x) = x = (x 1)(x + 2) = 0 2 En anden type af ligninger er dem som er bygget op af faktorer og som er lig 0 f.eks. (x + 3)(x 5) = 0 her er løsningen nem at finde ved at bruge nulreglen. Sætning 9.6 Et produkt er 0 hvis og kun hvis mindst en af faktorerne er 0. x y = 0 x = 0 y = 0 Eksempel 9.7 Ligningen (x + 3)(x 5) = 0 kan løses ved brug af nulreglen. (x + 3)(x 5) = 0 x + 3 = 0 x 5 = 0 x = 3 x = 5 Eksempel 9.8 Ligningen 3 (x 2)(8 + x) = 0 kan løses ved brug 27

28 af nulreglen. 3 (x 2)(8 + x) = 0 x 2 = x = 0 x = 2 x = 8 Eksempel 9.9 Ligningen (x 2 + 3)(x 4) = 0 kan løses ved brug af nulreglen. (x 2 + 3)(x 4) = 0 x = 0 x 4 = 0 x 2 = 3 x = 4 x = 4 Da x 2 aldrig kan være negativ så har ligningen kun denne ene løsning. Eksempel 9.10 Ligningen x (x 2 7)(x+4) = 0 kan løses ved brug af nulreglen. x (x 2 7)(x + 4) = 0 x = 0 x 2 7 = 0 x + 4 = 0 x = 0 x 2 = 7 x = 4 x = 0 x = 7 x = 7 x = 4 Da både 7 og 7 løser ligningen x 2 = 7, har ligningen fire løsninger. Opgave 9.11 Løs ligningerne. 1. (x 2)(x + 1) = 0 5. (x 2 9)(x + 2) = 0 2. (x + 5)(x 9) = 0 6. (x + 5)(x 7)(x + 1) = (x 3)(x + 1) = 0 7. (x 2 + 2)(x 2 + 3) = 0 4. x(x + 2)(x 5) = 0 8. x(x+2)(x 2 +2)(x 3 1) = 0 28

29 9.2 To ligninger med to ubekendte En anden type ligningsløsning er to ligninger og to ubekendte, hvor både x og y skal findes i disse to ligninger: x + 1 y = 3 2x 3y = 2 2 Sådanne to (eller flere) ligninger kaldes for et ligningssystem. Der er flere måde at løse sådanne et problem, her bruges den metode hvor man udnytter de samme metoder som man brugte ved ligningsløsning. Metoden til at løse sådanne problemer er på 4 trin. 1. x eller y isoleres i den ene af de to ligninger. 2. Den isolerede variabel indsættes i den anden ligning og værdien af den ubekendte udregnes. Eksempel 9.12 Løs følgende ligningssystem x + 1 y = 3 2x + 3y = Den fundene værdi indsættes i den første ligning og den anden ubekendte beregnes. 4. Resultatet opskrives på formen (x,y) =(x-værdien,yværdien) Trin 1 x isoleres i den første ligning. x y = 3 x = y Trin 2 29

30 x substitueres i den anden ligning og y-værdien udregnes y + 3y = 2 6 y + 3y = 2 2y = 8 y = 4 Trin 3 Den fundne y værdi indsættes i den første ligning x = ( 4) = = 5 Trin 4 Løsning på ligningssystemet er (x,y) = (5, 4). Opgave 9.13 Løs ligningssystemerne. 1. y = 3x 3 y = 2x 1 5. y 13 = 2x y + x = 4 2. y = x + 1 y = 2x 2 6. y + 2x + 5 = 0 y = 3x 3. y = 4x 6 y = 4x y 2x = 8 y = 2x 3 4. y = 2x + 13 y = x y = 4x y = 5x 30

31 9.3 Andengradsligninger Andengradsligningen er en ligning på formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a,b og c er reelle tal og hvor a 0. Et eksempel kunne være 2x 2 2x 4 = 0, her er a = 2 og b = 2 og c = 4. Det er interessant at kunne løse sådanne ligninger fordi mange problemer kan reduceres til sådanne ligninger f.eks. at finde mængden af et bestemt stof i en opløsning, eller at bygge en bro eller at bestemme hvor en bombe vil lande osv. Da der er så mange forskellige problemstillinger så vil vi løse problemet en gang for alle, og det gør vi ved at bevis at løsningen hvis der er en kan findes ved formlen x = b ± b 2 4ac 2a Dette er formuleret i denne sætning. Sætning 9.14 Hvis a,b,c,x R og a 0 så vil andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 med diskriminanten d = b 2 4ac have løsningerne x = b ± d 2a hvis d 0 og ligningen vil ikke have nogen løsninger hvis d < 0. Bevis. Beviset tager udgangspunkt i andengradsligningen, og ønsker så at isolere x. ax 2 + bx + c = 0 Først ganges med 4a på alle led. ax 2 4a + bx 4a + c 4a = 0 4a Derefter lægges b 2 4ac til på begge sider, bemærk at b 2 4ac er 31

32 diskriminanten d. Så reduceres 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac + b 2 4ac = 0 + b 2 4ac 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = d Venstre side omskrives ved brug af kvadratsætningen (p + q) 2 = p 2 + q 2 + 2pq. I dette tilfælde er b = q og 2ax = p. (2ax + b) 2 = d Antag at d < 0. Da vil ligningen (2ax + b) 2 = d ikke have nogle løsninger, fordi der er ikke noget reelt tal som i anden bliver negativt. Antag derfor at d 0. Kvadratroden kan derfor tages af begge sider. (2ax + b)2 = d Da gælder at p 2 = ±p 2ax + b = ± d Nu kan x isoleres. Først trækkes b fra. Derefter divideres med 2a. 2ax = b ± d x = b ± d 2a Eksempel 9.15 Løs ligningen 2x 2 2x 4 = 0. Først identificeres hvad a,b og c er: Så udregnes d: d = b 2 4ac a = 2 b = 2 c = 4 = ( 2) 2 (4 2 4) = 4 ( 32) = Q.E.D.

33 Da d > 0 er der to løsninger: b + d = ( 2) + 36 x = 2a 2 2 b d = ( 2) 36 2a 2 2 Så løsningen er L = { 1,2}. = = = 2 = 1 Eksempel 9.16 Løs ligningen 3x x + 12 = 0. Først identificeres hvad a,b og c er: Så udregnes d: d = b 2 4ac Da d = 0 er der en løsning: a = 3 b = 12 c = 12 = (12) 2 (4 3 12) = 144 (144) = 0 x = b 2a = = 2 Så løsningen er L = { 2}. Eksempel 9.17 Løs ligningen x 2 3x = 0. Først identificeres hvad a,b og c er: Så udregnes d: a = 1 b = 3 c = 0 d = b 2 4ac Da d > 0 er der to løsninger: b + d x = 2a b d 2a Så løsningen er L = {0,3}. = ( 3) 2 (4 1 0) = 9 (0) = 9 = ( 3) = ( 3) = = = 3 = 0

34 Eksempel 9.18 Løs ligningen x 2 3x + 4 = 0. Først identificeres hvad a,b og c er: Så udregnes d: d = b 2 4ac a = 1 b = 3 c = 4 = ( 3) 2 (4 1 4) = 9 (36) = 27 Da d < 0 er der ingen løsninger. Så løsningen er L =. Opgave 9.19 Løs ligningerne. 1. x 2 + x 6 = 0 5. x 2 + 6x + 8 = 0 2. x 2 4 = 0 6. x 2 2x 15 = 0 3. x 2 5x + 6 = 0 7. x 2 + 4x + 4 = 0 4. x 2 6x + 8 = 0 8. x 2 + x + 7 = 0 Opgave 9.20 Løs følgende ligninger. 1. 2x + 8 = 3x 8 5. y = 3x + 4 y = 2x x + 5 = 3x y = 3x + 4 y = 2x x 2 + 4x 15 = x 2 5x 2 = 0 4. x 2 + 2x 15 = y 5x = y = x 7 34

35 10 Komplekse tal Da man fik formaliseret løsningerne til anden- og trejdegradsligningerne i miden af 1500-tallet, var en del af løsningerne på formen a + b 1, hvor a og b var reelle tal.[1, s. 1] Det drejer sig f.eks. om løsningen på andengradsligningen Diskriminanten beregnes x 2 + 2x + 5 = 0 D = b 2 4ac D = = 4 20 = 16 Normalt ville udregningen stoppe her fordi hvis diskriminanten er negativ, så er der ingen løsningen til ligningen. Dette er i midlertidig ikke helt rigtigt, den korrekte formulering er at der ikke er nogle reel løsning til ligningen. Hvis beregningen forsættes... x = b + D 2a x = = 2 = x = b D 2a x = = 2 = Men hvad er 1? Kvadratroden af et negativt tal er ikke noget hvor der findes en løsning. Men prøv at sammenligne det med løsningen til denne ligning x 2 + 2x 7 = 0 35

36 Diskriminanten beregnes D = b 2 4ac D = ( 7) = = 32 Derefter beregnes x. x = b + D 2a x = = = 2 = x = b D 2a x = = = 2 = Da hverken 1 eller 2 kan omskrives til et rationelt tal, er der ikke den store forskel på de to typer af løsning. Det er først hvis man ønsker at omregne 2 eller 1, at der opstår problemer. Det var først med Descartes og Euler i miden af 1800-tallet at man lavede opdelingen af tal i reelle og imaginære.[1, s. 1] De imaginære tal var nogle tal som kun eksisterede i tankerne mens de reelle tal var i virkeligheden. Dette er naturligvis noget vrøvl, tal er kun noget der er i tankerne. Ingen tal eksistere på samme måde som f.eks. fugle. Da Euler delte de komplekse tal op i en real del og en imaginær del gav han samtidig 1 symbolet i. Så blev til 1 2i. Det var Gauss der fik det matematiske samfund til igen at acceptere de komplekse tal ved at give dem en geometrisk repræsentation. Dette gjorde han ved at associere det komplekse tal a+bi med punktet (a,b) 36

37 hvor han kalde y-aksen for imaginær aksen og x-aksen for real aksen Regning med komplekse tal Det vil være bedst om der gælder de samme regler for regning med komplekse tal som med reelle tal. Reglerne for de reelle tal er følgende. Definition 10.1 Hvis v, w, r, s R så gælder følgende regler. 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + s = v + (w + s) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Hvis der skal gælde de samme regler så betyder det f.eks. at (2 + 3i) + ( 1 + 5i) = ( 1 + 5i) + (2 + 3i) Eller sagt på en anden måde skal addition og multiplikation med kompleksetal defineres så regel 1 til 10 er opfyldt. 37

38 Definition 10.2 Hvis a,b,c,d R så er addition og multiplikation defineret ved følgende ligninger. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (1) (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i (2) Eksempel 10.3 (2 + 3i) + ( 1 + 5i) = (2 1) + (3 + 5)i = 1 + 8i Eksempel 10.4 (2 + 3i) ( 1 + 5i) = (2 ( 1) 3 5) + ( ( 1))i = i Opgave 10.5 Udregn følgende komplekse tal. 1. (1 + 4i) + (8 3i) 5. (2 + 1i) + ( 2 + 1i) 2. (8 3i) + (1 + 4i) 6. (5 + 2i) (3 + 2i) 3. (7 3i) + (4 1i) 7. (2 + 1i) (3 4i) 4. (4 1i) + (7 3i) 8. (3 + i) (1 + 3i) Nu vises at regel 1 gælder for komplekse tal. Sætning 10.6 Hvis a,b,c,d R er addition kommutativ for de komplekse tal v = (a + bi) og w = (c + di). Det vil sige, at Bevis. Først udregnes venstreside (a + bi) + (c + di) = (c + di) + (a + bi) (3) Dernæst udregnes højreside (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (c + di) + (a + bi) = (c + a) + (d + b)i 38

39 Da a og c er reelle tal gælder regel 1 for dem, og derfor er a+c = c+a og tilsvarende for b og d, derfor er (a + c) + (b + d)i = (c + a) + (d + b)i og hermed er regel 1 vist for komplekse tal. Q.E.D. Opgave 10.7 Vis at reglerne 2,7,8,5 og 6 fra definition 10.1 også gælder for komplekse tal. Definition 10.8 Den additive identitet (nul) for de komplekse tal er 0 + 0i Opgave 10.9 Vis at regel 3 fra definition 10.1 også gælder for komplekse tal. Opgave Bestem den additive inverse for komplekse tal (regel 4). Definition Den multiplikative identitet (én) for de komplekse tal er 1 + 0i Opgave Vis at regel 9 fra definition 10.1 også gælder for komplekse tal. Opgave Bestem den multiplikative inverse (regel 10). 39

40 10.2 Geometrisk repræsentation af komplekse tal De komplekse tals geometriske repræsentation[1, s. 4] åbner op for en række forskellige begreber. Definition Den absolutte værdi af det komplekse tal a + bi hvor a, b R er a + bi = a 2 + b 2 Definition Den konjugerede værdi af det komplekse tal a + bi hvor a, b R er a + bi = a bi Definition Argumentet af det komplekse tal a + bi hvor a, b R er vinklen, v, mel lem x-aksen og den rette linie mellem punkterne (0,0) og (a,b). v er så defineret som det tal hvorom der gælder, at cos(v) = a b og sin(v) = a2 + b2 a2 + b 2 40

41 Svar til opgaverne Opgave , 2. 6, 3. 0, 4. 3, 5. 2, 6. 52, 7. 7, Opgave a, 2. a, 3. a, 4. ac, 5. 1 a, 6. b + d, 7. 2a2, 8. bc ab. Opgave x 2 + 2xy + y 2, 2. 2x 2 + 3xy + y 2, 3. 2x + 2y + xy + 4, 4. 10x xy + 12y 2, 5. x 2 y 2, 6. x 2 2xy 3y 2, 7. x 2 z y 2 z + 5x 2 5y 2, 8. 6x xy + 18x + 20y Opgave x(3 + 4y), 2. 2x(1 + 3y), 3. 3x(x + 2y), 4. 2(2a + 3b + 4c), 5. 3a(1 + 2ba), 6. 2x(1 + 3y), 7. 3xy(y 3), 8. 7x 3 y 3 (2x 3y). Opgave , 2. 16, 3. t 2 + r 2 + 2tr, 4. t 2 r 2, 5. x 2 + r 2 2xr, 6. 4x 2 + r 2 4xr, 7. 9x y xy, 8. 4x 2 9y 2. Opgave x y 2 30xy, 2. 9x 2 25y 2, 3. 9t 2 + r 2 + 6tr, 4. t 2 16r 2, 5. 9x 2 + 9r 2 18xr, 6. 4x 2 + r 4 4xr 2, 7. 9x y x 2 y, 8. 4x 6 9y 4. Opgave , 2. x y, , x, y, 6. b + x, 7. b a c x c, 8. b a + c x. a c 41

42 Opgave (x + 4y)(x + 4y), 2. (2x + y)(2x + y), 3. (2x 3y)(2x 3y), 4. (3x + 4y)(3x + 4y), 5. (3x 2y)(3x 2y), 6. (x 2 2y)(x 2 2y), 7. (2x + 3y)(2x 3y), 8. ( 1 2 x + 3y)(1 2 x 3y). Opgave x + 4y, 2. 2x 3y, 3. 2x 2 + 3y, 4. 4x + 3y, , 6., 7., x 2 + 5y Opgave x 2, 2. x 2, 3. y 2, 4. 1 y, 5. x5, 6. a 3 x 2, 7. x 6 a, 8. 2x 3y. Opgave x = 1 2, 2. x = 1 3, 3. x = 2 3, 4. x = 8, 5. x = 1, 6. x = 7, 9 7. x = 3, 8. x = 4 3. Opgave x = 2y, 2. x = 2 b, 3. x = 2q 7, 4. x = 7 3 4, 5. x = a, 6. x = c 2c + ad, 7. x =, 8. x = y 5. a 4 a 3 Opgave L = { 1,2}, 2. L = { 5,9}, 3. L = { 1,3}, 4. L = { 2,0,5}, 5. L = { 3, 2,3}, 6. L = { 5, 1,7}, 7. L =, 8. L = { 2,0,1}. Opgave (2,3), 2. (3,4), 3. (1, 2), 4. ( 3,7), 5. ( 3,7), 6. ( 1, 3), 7. Ingen løsning, 8. (0,0). 42

43 Opgave L = { 3; 2}, 2. L = { 2; 2}, 3. L = {2; 3}, 4. L = {2; 4}, 5. L = { 4; 2}, 6. L = { 3; 5}, 7. L = { 2}, 8. L =. Opgave x = 16, 2. x = 6, (x,y) = ( 1, 2), 7. 3, 5, 4. ( 5,3), 5. (x,y) = ( 6, 14), 3 1 3,2, 8. (x,y) = ( 24, 62). Opgave i, 2. 9+i, i, i, 5. 2i, 6. 2, i, 8. 10i. 43

44 44

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt matematik grundbog trin preben bernitt matematik grundbog -udgave 00 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x)) A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k

Læs mere

Formelsamling C-niveau

Formelsamling C-niveau Formelsamling C-niveau Maj 2017 Indhold C-niveau 1 Tal og Regnearter 3 1.1 Regnearternes hierarki................................... 3 1.1.1 Regneregler..................................... 3 1.2 Parenteser..........................................

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere