Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis"

Transkript

1 Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til?

2 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner Flere reduktioner Mængder Ligninger og uligheder Videnskabelig notation 0 Facitliste 1

3 1.0 Indledning Matematik er et sprog. I modsætning til dansk er det et sprog, som er godt til at udtrykke størrelser med. Når man skal lære et sprog, så er en af de første ting, man skal lære, grammatik. Du har sikkert allerede lært meget af matematikkens grammatik i folkeskolen; men for en sikkerheds skyld er der i dette hæfte nogle opgaver, du kan bruge til at genopfriske din viden. Kapitlerne 1,,, og 6 handler om tal, brøker, reduktioner, mængder, ligninger og uligheder. Dette ved du sikkert allerede; men læs det nu alligevel og regn nogle opgaver. Kapitel handler om nogle sværere reduktioner, som du nok ikke har hørt om før. I kapitel 7 indføres den videnskabelige talnotation, som bruges meget indenfor fag som fysik og kemi. Gennem hele hæftet er der vist, hvordan du kan bruge sin lommeregner. Vi har kun vist det for to typer lommeregnere, nemlig TI-0x og TI-68. Det viser sig nemlig, at de fleste andre lommeregnere virker på næsten samme måde som disse to. Bagerst i hæftet er der en facitliste til de fleste af opgaverne. God arbejdslyst!

4 1.1 Tal Du kender forhåbentligt reglerne for at regne med tal, så vi nøjes med at give de vigtigste regler: 1) Indmaden af funktioner, f.eks. kvadratrødder, udregnes før funktionen udregnes. ) Parenteser udregnes først. Pas på med minus-parenteser. ) Multiplikation og division udregnes før addition og subtraktion. ) Når to størrelser adderes eller subtraheres, så kaldes de led. Når to størrelser multipliceres, så kaldes de faktorer. Nogle eksempler er a) + = + 1 = 1 b) ( + ) = = 0 c) + 6 = + 18 = 0 d) = = e) = + = 7 Der findes typer lommeregnere på markedet. Dels er der den velkendte slags, som f.eks. TI-0x, dels er der maskiner som TI-68, hvor man indtaster formlerne, som de skrives, og dels er der maskiner, som anvender omvendt polsk notation, f.eks. HP-S. Den sidste type maskine vil ikke blive omtalt. De regnestykker ovenfor kan indtastes på de to maskiner som følger: TI-0x a) + x = b) ( + ) x = c) x + 6 x = d) ( ) x e) 9 x + 16 x = TI-68 a) + x =

5 b) ( + ) x = c) + 6 x = d) ( ) = e) = Opgaver 1. Beregn følgende tal uden brug af lommeregner: a) 1 + b) ( 1+ ) c) 8 ( ) d) 7 ( ) e) ( ( ( ))) f) ( ) g) ( 1+ ) + ( ) h) 1 ( 1) 1 ( 1 1 ( 1)) i) ( ( 1) 11) 1 j) ( 8 ) 8 k) 8 ( 8 ) l) + 1 ( + 1) m) n) ( ( )). Beregn ovenstående tal med brug af lommeregner.

6 1. Brøker En brøk kan enten skrives som et blandet tal, f.eks. 1 1 eller som en uægte brøk, f.eks.. Det viser sig at være lettest at regne med uægte brøker, så matematikere foretrækker næsten altid at bruge uægte brøker fremfor blandede tal. Omskrivning mellem brøker og blandede tal foregår som følger: Opgave 1a: = + = + = Opgave a: = + = + = + 1 = 1 For at finde ud af, at 1= + 1, kan man dividere 1 med og opdage, at divisionen giver med 1 som rest. Brøker kan forkortes ved at dividere både tæller og nævner med det samme tal, og de kan forlænges ved at gange både tæller og nævner med samme tal. Normalt foretrækker man at forkorte en brøk mest muligt. Opgave a: : 11 = = : 11 Opgave a: 9 = 9 = 18 7 Advarsel Man må kun forkorte ved at dividere, ikke ved at trække fra. F.eks. er følgende regnestykke forkert: = + 1+ = 1 = Her 'forkortede' man -tallet væk, og konsekvensen blev, at =1, faktisk blev til. Altså, forkert!

7 Når man skal addere eller subtrahere brøker, så skal de to brøker forlænges, således at de får den samme nævner - en fællesnævner. Som fællesnævner kan man enten bruge mindste fælles multiplum mellem de to nævnere, eller man kan være doven og bare bruge produktet mellem de to nævnere: Opgave a: = + = Her var vi heldige - brøkerne havde allerede den samme nævner. Opgave 6b: 1 1 = = = = 1 Her brugte vi fællesnævneren. Blandede tal bør omskrives til uægte brøker, før man går i gang: Opgave 7a: = = = = To brøker multipliceres ved at gange tællerne for sig og nævnerne for sig: Opgave 8a: 1 = = = = Opgave 8j: 1 1 = = 9 To brøker divideres ved 'at gange med den omvendte': Opgave 9a: : = : = = 1 1 Her blev brøken 1 vendt om til 1 Opgave 9u: 8 : = = =

8 Brøker og lommeregnere Nogle lommeregnere, f.eks. TI-0x, kan regne med brøker. Hertil bruges de tre knapper a b c, d/ c og F D. Knappen a b c bruges til indtastning at brøker (både ægte og uægte) og blandede tal: indtastes ved : a b c. Lommeregnerens display viser nu. 7 indtastes ved: a b c a b c 7. Lommeregnerens display viser nu _ 7 Knappen d/ c bruges til at skifte mellem blandet tal og uægte brøk, mens F D bruges til at skifte mellem blandet tal og decimalbrøk. TI-68 kan ikke regne med brøker. 7

9 Opgaver 1. Skriv nedenstående som uægte brøker: a) 1 1 b) 1 1 c) d) 1 7 e) 6 f) 8 g) 1 h) 1 7 i) j) 11 k) 6 l) 1 9 m) 6 10 n) 1 7 o) 9 p) q) 11 r) 6 7 s) 11 1 t) 6. Skriv nedenstående som blandede tal: 1 a) b) 7 c) 7 1 f) g) 17 h) k) p) 1 19 l) 11 q) 17 m) 7 19 r) 7 d) i) 1 n) 1 s) 6 e) 11 9 j) o) 8 7 t) 9. Forkort følgende brøker mest muligt: a) b) 8 c) f) k) p) 1 9 g) l) 16 q) 8 h) 16 m) r) 6 8 d) 9 7 i) n) 11 7 s) 1 e) j) o) t)

10 . Forlæng nedenstående brøker, så de får den nævner, der angives: a), nævner =7 b) 6 8, nævner = c) 1, nævner =66 d) 7, nævner =8 e) 9, nævner =6 f), nævner =8 16. a) e) i) 1 + b) c) d) f) + g) 10 h) j) + k) l) a) + b) c) 1 d) e) f) g) h) i) + j) k) l) m) n) o) 1 p) q) + r) s) + t) a) b) c) d) 7 11 e) 1 f) g) 1 + h) i) j) k) 1 1 l) a) 6 b) c) d) 7 1 e) 6 f) 8 9 g) h) i) 0 j) k) l) 7 19 m) 1 18 n) o) p) q) 7 6 r) s) 1 1 t)

11 u) v) w) 1 1 x) a) : b) 1 : c) : d) 1 : e) 7 : f) 9 : g) : 7 h) 9 : 6 i) 11 : j) : 1 k) : 1 l) : 1 m) : 1 n) 7: o) : p) 8: 1 q) 6 : r) : s) : t) : 6 u) : v) : w) 1 1 : x) 7 : y) 1 : z) 1 : 11 æ) 1 : 11 ø) : å) 1 : 11 ) 1 : ) 7 : 8 11 ) 7 :

12 1. Reduktioner Man regner med bogstaver ganske som med tal, dvs. at de samme regler gælder. Det er jo heller ikke så underligt, idet bogstavregning faktisk er regning med tal; vi kender bare ikke tallene, så derfor skriver vi x eller a i stedet for! Opgave 1a: a + b + a + b b = a + b Ved sammentrækning af lange udtryk som dette er det en god idé at understrege de led, man har brugt. På den måde glemmer man ikke noget. Plus-parenteser kan man uden videre hæve, mens man skal ændre alle fortegn i indmaden, når man hæver en minus-parentes: Opgave a: x + ( x + y) ( x + 7y) + y = x + x + y x 7y + y = x y Den første parentes er en plus-parentes, så den hæves uden videre. Den anden parentes er en minus-parentes, så der skal begge leddene have ændret fortegn. Er der flere parenteser inde i hinanden, så skal man starte med at hæve dem indenfra: Opgave a: 0x ( x + y ( y ( x y) y) + x + 16y) = 0x ( x + y ( y x + y y) + x + 16y) = 0x ( x + y + y + x y + y + x + 16y) = 0x x y y x + y y x 16y = 16x 18y Det er en god idé at skrive det samme led under hinanden (på ternet papir) - man kan så lettere se, hvad der sker, og finde eventuelle fortegnsfejl. Man ganger en flerleddet størrelse med et tal ved at gange tallet med hvert enkelt led. 11

13 Opgave a: 7( a ) = 7 a 7 = 8a 1 Man ganger to flerleddede størrelser med hinanden ved at gange hvert led i den første flerleddede størrelse med hvert led i den anden flerleddede størrelse. Opgave a: ( a + )( a ) = a a a + a = a a + 6a 6 = a + a 6 For kvadrater på toleddede størrelser gælder følgende regler: ( a + b) = a + b + ab ( a b) = a + b ab Opgave 6a: ( a + 1) = a a 1= a + 1+ a = a + a + 1 Den sidste omskrivning er egenligt ikke nødvendig; men man plejer at placere leddene efter faldende potens, dvs. a -leddet før a -leddet før a- leddet før tal-leddet. Man skal passe lidt på: Opgave 6m: ( a + 6) = ( a) a 6 = a a = a + 60a + 6 Bemærk, at det første led er a, og at hele dette led (også -tallet) skal sættes i anden potens. 1

14 Advarsel 'Reglen' ( a + b) = a + b gælder ikke. Man skal huske det dobbelte produkt, dvs. leddet ab. Den sidste regel i denne omgang er reglen om to tals sum gange de samme to tals differens: ( a + b)( a b) = a b Opgave 7a: ( x 1)( x + 1) = x 1 De tre sidste regler gælder også for tal: Opgave 8a: ( + 1)( 1) = ( ) 1 = 1= men det er ikke altid, man får et pænt tal: Opgave 8c: ( + ) = ( ) + ( ) + = = + 6 Opgaver Reducér nedenstående udtryk mest muligt: 1. a) a + b + a + b b b) x + y + 1 x + y 6 c) 6g h 10h + + g 6 d) x + + x 10 e) 7a + 6b 11+ b 8a b f) 6 8y 1x y g) 9t + u t + 1u h) 1a b b 0a i) 7p + 1 6q p + 8q j) 7a + b + a b k) x 6x + 10x 7x l) xy + 6xy xy 7xy m) a b + 8a b + 7a b 10a b n) x + x 6 6x + x 8x 1

15 . a) x + ( x + y) ( x + 7y) + y b) ( 9c + d) c + ( c d ) ( c 8d) c) ( a + b) + ( 6c a) ( c + a + b) d) 8a ( a + b) + a + ( a b) ( a 6b) e) ( 18a + 6b) ( b c) ( 17a + b) ( a b) f) ( 7 p ) + ( 1 6p) ( p ) g) 1x + 18y ( 6x + 9y ) + ( 1) h) ( 8s + t) ( + 8s + t) i) ( a) + ( 6 8a + 10b) ( + a 8b ) j) p ( 16 8p + q) ( q) + ( 6 p). a) 0x ( x + y ( y ( x y) y) + x + 16y) b) ( ( a b) ( a + b 6 a)) c) 7a ( ( a b) a + b ( b a)) d) x ( y + x z ( z + y) + y ( y + x) + 6x) e) x ( y + x ( x + y) ( x y)) f) x + y ( z ( x y + z)) g) ab ( c ( a + b) ( ab+ a) b) + ab. a) 7( a ) b) 8( a + b + ) c) ( x y + 6) d) a( b + c) e) 7x( y + ) f) ( b c ) g) 7( x y) h) ( a + b) ( a b) i) ( x + y) + ( y x ) j) 1( a + b) ( a b ) k) ( b c + d) l) n( a b c) m) x( + y z u) n) a( b c) + a( b + c) o) x( a b c) x( a + b + c) p) ( a + 7) + ( a 1) ( a ) q) 6( a + b ) ( a b) ( a ) r) a( x + y ) x( a + b) a( a 1 ) s) a( x + y) a( x y ) a( y + 1 ) t) y( a + b) + x( a + b) a( y x) b( y + x) u) x( x + ) v) x ( 1+ x) w) x( x + ) x ( x + ) + ( x + x) x 1

16 . a) ( a + )( a ) b) ( a + 6)( b ) c) ( + x)( x + ) d) ( p)( + p ) e) ( a )( a) f) ( c d )( c d ) g) ( a + b )( a b) h) ( 6p q + 1)( p q) i) ( x y + 8)( x y) j) ( 6 t + u)( 6 t ) k) ( + a)( + b ) l) ( a + )( b ) m) ( x 1)( y ) n) ( x y)( a) o) ( a + b)( x y) b( x y) p) ( a + b)( c + d) ( ad + bd) q) ( a b)( x 6y) 6a( x y) r) 7( a b) ( a + b) + ( a b) s) 1a( b + c) + b( 6c a) c( a + 8b) t) x( a b) y( a + b) a( x + y) b( x y) u) a( b c) ( 6a + b)( b c) v) ( a b + c) + 8( a + b c) w) x ( x x) ( x + 1)( x x) x + x x) 7x( x + x ) x ( x) 6. a) ( a + 1) b) ( a ) c) ( a + b) d) ( a ) e) ( a + b) f) ( 7c + d ) g) ( a b) h) ( 6a b) i) ( x y) j) ( a b) m) ( a + 6) n) ( ) p) ( a b) q) ( a bc) k) ( x + ) l) ( x + y) 1 b o) ( + x ) r) ( ab+ cd ) s) ( ab+ xy) t) ( xy a) u) ( ab xy) v) ( 6ax+ by) w) ( 6xy + y) x) ( a + a ) y) ( a + b) ( a b) z) ( x 1) + ( y + 1) ( x + y) æ) ( x + 1) ( x + 1) ø) ( q + ) + ( q ) 1

17 7. a) ( x 1)( x + 1 ) b) ( 7a + )( 7a ) c) ( i + j)( i j) d) ( x )( x + ) e) ( x + )( x + ) f) ( a + b)( a b) g) ( 7x + a)( 7x a) h) ( u q)( u + q ) i) ( 6y + x)( 6y + x ) j) ( n p)( n p ) k) ( 9p 6k)( 9 p + 6k) l) ( a + b)( a b) m) ( x 1)( x + 1) n) ( ax+ by)( ax by) o) ( ab+ xy)( ab xy) p) ( ab 6bz)( ab+ 6bz) q) ( abx+ bzv)( abx bzv) r) ( a b + xy )( a b xy ) s) ( x b + az )( x b az ) t) ( a + b)( a b) a b u) ( a + b) ( a + b ) v) ( x y) + ( x + y)( x y) w) ( 6a b) + ( a + b)( a b) x) ( a + b)( a + b c) ( a + b) 8. a) ( 1)( 1) + b) ( + )( ) + d) ( ) c) ( ) f) ( )( + ) e) ( 7 7) 16

18 1. Flere reduktioner I dette kapitel skal du lære om to slags specielle reduktioner: Faktoriseringer og reduktion af brøker. Faktorisering er nærmest det modsatte af de sædvanlige reduktioner. Hvor man normalt ganger ind i parenteser, skal man ved faktorisering sætte udenfor parenteser. Det er ikke så let som almindelig reduktion, og faktoriseringer kræver, at man tænker sig om og prøver sig frem. Opgave 1a: x + = ( x + ) Her er -tallet den eneste fælles faktor i de to led. Opgave a: a( x + y) b( x + y) = ( a b)( x + y) Her er faktoren ( x + y) fælles for de to led. Opgave k: 8xu 1yu + 10xv 1yv = ( 8x 1y) u + ( 10x 1y) v = ( x y) u + ( x y) v = ( u + v)( x y) Her er tricket at sætte u og v udenfor først og se, hvad de to faktorer 8x 1y og 10x 1y har til fælles. Opgave a: a b = ( a + b)( a b) To tals sum gange to tals differens. Ved reduktion af brøker gælder de samme regler som ved tal-brøker. Specielt: Når man forkorter en brøk, så skal det være faktorer, man forkorter væk. 17

19 Opgave a: a + b a b = ( a + b) a b = + ( a b) a b Det er en god idé af faktorisere tælleren og nævneren, før man fortsætter. Det er forkert at 'forkorte' et led væk: x + x + = hvilket jo nok giver et pænt resultat - men resultatet er forkert. Man må ikke forkorte leddet x væk. Man kan f.eks. se, at dette er forkert ved at sætte x=1: 1 = + 1+ = x + x + Når man adderer brøker, så skal man finde en fællesnævner: Opgave a: a 1 a a + + = + = Opgave c: 1 1 b a b a + = + = + a b ab ab ab Som hovedregel er det lettest at lade produktet af nævnerne være fællesnævneren. Faktorisér følgende udtryk: Opgaver 1. a) x + b) 6x + 1 c) 0+ x d) x x e) ab+ a f) b + ab g) x + x h) x + x i) 16x + x j) x k) 1x l) x m) 16y n) x x o) 8b ab p) x x q) x x r) 6 x 1x s) x + x + x t) 6b 1b + 18

20 . a) a( x + y) b( x + y) b) ax+ bx cx dx c) ax+ bx ay by d) ab ay+ bx yx e) by + ay+ bx + ax f) ab ay+ bx yx g) ab+ ay+ bx + yx h) x( a) y( a) i) ax+ nx ay ny j) ax bx ay+ by k) 8xu 1yu + 10xv 1yv l) 1a bc acx + aby xy. a) a b b) x y c) x y d) a + ab+ b e) x xy + y f) a ab+ b g) x + x + 1 h) x x +. Forkort følgende brøker mest muligt: a + b a) b) x y a b x y d) g) j) ax bx ay by x xy xy y 1ax + 1bx ax+ bx m) x y x y e) h) k) ax bx ax+ bx ax+ bx ax bx 1x 18y 1x 1y n) a + ab + b a b c) f) i) l) 6b 6c b c a + ab ab+ b 10ax+ 10ay 1bx + 1by a b a b o) x xy + y x y a 1. a) + b) a a + a c) d) + + e) a a f) a b c b c g) 6 a + b a b h) a b a b i) n n c c a + b a + b j) k) a + b a b l) a b a a m) a b a b x y + n) a b a b x + y x + o) 1 x a b ax a x x + y x y + x y a b a b a + b + a b 1 1 x x 6 19

21 1. Mængder og intervaller Mængder bruges meget indenfor matematikken, så vi giver her de vigtigste definitioner. Defintion 1 En mængde er en samling af objekter, som kaldes elementer. Nogle eksempler er l,, Odenseq x x er lige x 1 Z x er en pige Symbolet betyder er element i, og betyder er ikke element i. De to sidste mængder ovenfor anvender den såkaldte mængdebygger-notation, som generelt ser således ud: x G udsagn i x Denne mængde består da af alle de elementer i grundmængden G, som opfylder udsagnet efter den lodrette streg. Det er ikke altid, at man specificerer grundmængden - dette er kun tilladt, når det er helt klart for læseren, hvad grundmængden er. En prominent mængde er den tomme mængde, som forkortes med symbolet Ø. Andre, hyppigt anvendte mængder, er nedenstående talmængder: De naturlige tal N = 1,,,,,... De ikke-negative hele tal N 0 = 0, 1,,,,... De hele tal Z =...,,, 1, 0, 1,,,... R S T p De rationale tal Q = x x kan skrives som, hvor p, q Z, q 0 q De reele tal R Sammenhængen mellem alle disse mængder kan ses på nedenstående figur: U V W 0

22 ,1 Q Z N 0 N /7 R p Prikkerne, som der er ved elementerne, skal helt præcist angive, hvor på diagrammet elementet befinder sig. Mængder kan være indeholdt i hinanden, og det udtrykker vi med symbolerne: A B : A er en delmængde af B, dvs. alle elementerne i A er indeholdt i B, A B : A er en ægte delmængde af B, dvs. alle elementer i A er indeholdt i B, og A B. Vi bruger også symbolerne og, som betyder det modsatte af og. Sammenhængen mellem talmængderne kan da skrives som Ø N N0 Z Q R Bemærk, at alle mængderne er ægte delmængder af den næstfølgende; dette skyldes bl.a., at 1 N men 1 Ø 0 N 0 men 0 N Z men N 0 7 Q men 7 Z π R men π Q 1

23 Observér, at ingen af tallene π,,, 7 er rationale. Andre vigtige talmængder er de såkaldte intervaller: a; b = x R a x b a; b = x R a < x < b a; b = x R a < x b a; b = x R a x < b og de lidt mere lumske ;b = x R x b ;b = x R x < b a; = x R x a a; = x R x > a Intervaller kan bekvemt tegnes på tallinier. En fyldt bolle betyder, at tallet er med, en tom bolle betyder, at tallet ikke er med. [1;] [-1;[ ]0;1[ ]- ;[ [; [ ]- ; [

24 Intervaller (og andre talmængder) kan være åbne, lukkede eller halvåbne: Definition Åbne intervaller er intervaller af formen: a; b, ; b, a; Lukkede intervaller er a; b, ; b, a; Halvåbne intervaller er a; b, a; b Bemærk, at der ikke findes intervaller af formen ;b eller a; - faktisk er det noget sludder at opskrive sådanne ting, idet symbolet jo ikke er et tal. Endelig skal det nævnes, at man kan kombinere to mængder og få nye mængder. Vi illustrerer disse operationer vha. diagrammer som det nedenunder: G er en grundmængde, som normalt er underforstået. A og B er de to mængder, vi starter med. Det grå område er den mængde, vi vil beskrive vha. diagrammet. Som opvarmning viser vi, hvorledes mængderne A og B beskrives:

25 mængden A mængden B Fællesmængden er mængden af de elementer, som findes i begge mængder: Fællesmængden mellem A og B A B Foreningsmængden er mængden af de elementer, som findes i mindst én af de to mængder: Foreningsmængden mellem A og B A B Mængdedifferensen mellem to mængder består af de elementer, der findes i den ene, men ikke i den anden mængde: A \ B B \ A Komplementærmængden til en mængde A er A = G \ A:

26 A B Et par eksempler på kombinerede intervaller er: [1;] U ];] [-1;1[ U ]; [ ]0;[\{1} ]- ; [\{1}

27 Opgaver I opgaverne 1- anvendes følgende mængder: G = 1,,,,, 6, 7, 8, 9 A = 1,,,, 6, 8 B = 1,,, 6, 8, 9 C = x G x er lige D = x G x er ulige E = x G x er et primtal F = x G < x < 8 1. Opskriv mængderne C, D, E og F på listeform.. Tegn et mængde-diagram over mængderne G, A, B, C, D, E og F.. Hvilke af følgende udsagn (påstande) er sande: a) 1 A b) C c) 0 G d) 7 F e) 9 C f) B g) A C h) G A i) G A j) Ø D k) B B l) B B. Opskriv nedenstående mængder på listeform: a) A B b) A B c) G D d) A D e) B E f) E E g) C D h) F Ø i) F Ø j) A \ B k) B \ A l) G \ C m) C \ G n) E \ Ø o) Ø \ E p) C q) G r) Ø s) ( A E) ( D \ C) (( G B) \ D). Indtegn nedenstående mængder på en tallinie: a) ; 6 b) ; 7 c) 1 ; 9 d) 1; ; 6 e) 1;, ; 6 f) ; ; 6 g) R \ ; h) 0; 1 ; i) 1; Z 6

28 1.6 Ligninger og uligheder Reglerne for ligningsløsning er 1. Man må lægge det samme til på begge sider af lighedstegnet.. Man må trække det samme fra på begge sider af lighedstegnet.. Man må gange med det samme på begge sider af lighedstegnet, forudsat, at det, man ganger med, ikke er 0.. Man må dividere med det samme på begge sider af lighedstegnet, forudsat, at det, man dividerer med, ikke er nul. Reglerne for løsning af uligheder er næsten ens: 1. Man må lægge det samme til på begge sider af ulighedstegnet.. Man må trække det samme fra på begge sider af ulighedstegnet.. Man må gange eller dividere med det samme på begge sider af ulighedstegnet, forudsat, at det, man ganger eller dividerer med, er positivt.. Man må gange eller dividere med det samme på begge sider af ulighedstegnet, forudsat, at det, man ganger eller dividerer med, er negativt, og at man husker at vende ulighedstegnet. Når man løser ligninger er det generelt en god idé at reducere venstre- og højresiden mest muligt og derefter same alle leddene indeholdende x på venstresiden, og alle de andre led på højresiden. Opgave 1m: 11x 9 = 6x x 9 6x = 6x x (regel, 6x fratrækkes) x 9 = 16 (reduktion) x = (regel 1, 6 lægges til) x = (reduktion) x = (regel, : ) 7

29 x = Ligningen er løst! Nu kan man enten vælge at sige, at løsningen til ligningen er, eller at løsningen er x=, eller at løsningsmængden er L = kp Opgave e: x 9 x x 9 (reduktion) x (regel 1, +9) x (reduktion) x x Løsningsmængden er L = ;. (regel, : (-) ) Opgaver Løs nedenstående ligninger og uligheder: 1. a) x + = 7 b) 7 + x = c) x 18= 11 d) 9+ x = 6 e) 8+ x = f) x + 7 = 6 g) x = 0 h) x = 6 i) x = j) x = 0 k) x 6 = x + 1 l) x = 7 x m) 11x 9 = 6x + 16 n) 0 x = 6 9x o) x x = x + 1 p) 1 x = 17 x q) x + 9 = x 1 r) 8x = 6x s) 1 9x = x 9 t) 6x + = x 7 u) x + = x v) x = x w) 11x + 1= 19x 9 x) x + 19 = x. a) x + > b) 7 + x 9 c) x

30 d) x 6 < x 1 e) x 9 x f) x + > x + g) x x + h) 6x + > 19 x i) x + > x 8 j) x 9 7x k) 8x 6 x 1 l) x 9 < x + 7 9

31 . Reducér først venstre- og højresiden: a) x( x + 1) x( x ) = b) ( x 1)( x ) = x 7 c) ( x + )( x ) = x( x 1 ) d) ( x)( x + 7) = ( x)( x 6) 9 e) ( x + ) = ( x + )( x ) f) ( x ) = ( x + )( x ) g) ( ( x ) ) = ( x 6) h) ( + x)( x) = ( x + )( 6 x ) i) ( x + 1)( x ) = ( x + )( x + ) j) ( x + )( x) = ( + x)( 7 x) + ( x + 9 ) k) ( x 7) ( x ) = ( x ) + 11 ( x + ) l) ( x + ) ( x + 7) = ( 8x 7) ( 7x ) m) ( x ) ( x ) = ( x + 1) 8. Isolér x i følgende udtryk: a) x + a = x a b) x + a b = a + b c) 8x a b = x + a + b d) a b x = b + a 6x e) x a + 6b = x + 8a x 6b f) 6a x + b = 18a + 9b 9x g) a( x b) a( x b) = 0 h) x( a b) a( a + b) = a 7b i) a( x b) b( x a) = a b ab j) a( x b) a = b( x + a) 19ab k) x( a b) 1= x( a b) + 7 l) x( a b) 6a = x( a b) b + x. a) = 10 b) x 1x = c) = 7 d) 11 x x 8 9 x + = + e) x 8 0 x = + f) = x x 6 g) x = h) x x = + 1 x x x i) = x x x j) 7 + = + 7 k) x + x x > l) x 6 6 0

32 1.7 Videnskabelig notation Den videnskabelige notation (eng. scientific notation) er en måde, hvorpå man kan håndtere meget store eller meget små tal. Sådanne tal optræder meget indenfor fysik og kemi. Lad os tage et par kemiske eksempler: Kemikerne er meget glade for at snakke om måleenheden mol. Der er 1 mol kulatomer i 1 g kulstof. Man kan nu tælle, hvor mange atomer dette er - man får, at der er ca atomer i 1 g kulstof. Ud fra dette kan man finde ud af, at ét kulatom vejer ca. 0, kg Sådanne tal er jo umulige at arbejde med - det er meget nemt at komme til at glemme et par nuller eller. Bruger man den videnskabelige notation, så skriver man for det første tal, og for det andet. 6, , Den videnskabelige notation betyder det, der står: , betyder, at man skal gange tallet 6,017 med titalspotensen 10 6, som er et 1-tal med 6 nuller bagefter. Og 1, betyder, at man skal gange tallet 1,9968 med titalspotensen 10 6, som er 0,00( nuller i alt)001, eller rettere 110 : 6. Nu kan man spørge sig selv, om man virkeligt er i stand til at tælle antallet af atomer i 1 g kulstof så præcist, at man kan får tallet ovenfor. Kunne man ikke have talt forkert, således at der faktisk var atomer i stedet. Jo, der er også derfor, at man skriver og ikke 6,

33 6, man siger, at tallet , er angivet med 7 betydende cifre. Alle nullerne, som kommer efter, er faktisk ikke særligt præcise, og bruges kun som fyld, hvis man da ikke bruger den videnskabelige notation. En tommelfingerregel, når man anvender den videnskabelige notation er, at man ikke må have flere betydende cifre, end der er i de oplysninger, man starter regnerierne ud fra. På lommeregneren indtastes sådanne tal på følgende måde: TI-0x: TI-68: og og EE 6 1,9968 EE 6 + / EE 6 1,9968 EE ( ) 6 De fleste lommeregnere har nogel knapper, mærket FIX, SCI, ENG, FLO eller lignende, som kan bruges til bl.a. at styre, hvor mange betydende cifre et resultat vises med på displayet. Studér din brugsanvisning. Opgaver 1. Udregn 11 6 a), :, 10 b) 8, , 10 8 c), 10 : 10 d) 1, En elektron vejer 9, kg. Jorden vejer, kg. Hvor mange elektroner svarer dette til?. Et eksempel på, hvor grueligt galt, det kan gå, hvis man afrunder for tidligt, er følgende udregninger: Jørgen vil beregne tallet 1

34 1001 1, 6 Han tager først sin lommeregner og opdager, at , 6 Han beregner derefter brøkens nævner: , 6 1, 6 1, 6 = 0, 01 Og hele regnestykket giver = = , 6 0, 01 a) Beregn Jørgens tal på lommeregneren og opdag, at resultatet faktisk er,87... b) Hvorfor fik Jørgen så stor en fejl i sin udregning?

35 Facitter Kapitel 1: 1. a) 17 b) c) 11 d) -1 e) f) g) 1 h) - i) 9 j) 6 k) - l) - m) n) 10 Kapitel : 1. a) h) o) 9 b) 1 i) 11 p) c) 8 j) 11 q) 8 d) 1 7 k) 60 r) e) 17 6 l) 11 9 s) f) 8 m) 1 t) g) 1 n) 7. a) 1 b) 1 c) 1 d) 7 h) 1 i) 9 1 j) 11 k) 111 o) p) q) 9 17 r) 7 e) 1 9 l) s) 7 1 f) 1 11 m) 6 t) - g) 1 1 n). a) h) o) 19 1 b) c) 7 1 i) j) p) q) 7 d) 8 k) 1 r) e) 11 f) l) 7 s) 6 m) 1 11 t) g) n) 1. a). a) h) 9 6. a) 6 h) 7 6 b) 18 b) 1 17 i) b) 1 i) 8 o) 7 1 p) 1 c) 66 c) 1 7 j) c) 1 j) 1 6 q) 1 6 d) 0 8 d) 11 e) 16 6 e) k) 1 l) d) 17 e) 1 1 k) 6 l) 1 18 r) 7 8 s) 9 f) f) f) m) 9 t) 7 8 g) 1 g) n) a) 11 b) c) 9 d) 6 1 e) 1 8 f) 17 8 g) 1 1

36 h) i) 19 8 j) 6 k) 1 l) a) h) 1 o) 8 1 v) a) h) 6 o) 0 v) 7 å) 11 b) c) d) 7 e) 8 f) g) i) j) k) l) m) l) p) q) r) s) t) u) w) 9 x) 91 1 b) 1 c) 1 d) e) 1 f) g) i) j) k) 6 l) 8 m) 1 n) p) q) 9 r) s) t) u) 1 w) x) 1 y) z) 1 æ) 10 ø) ) 1 ) 1 )

37 Kapitel : 1. a) a + b b) x + y + 9 c) 10g 1h d) x 6 e) a + b 11 f) 1x y + 10 g) 0t + 18u + 8 h) 16a b + i) p + q + 1 j) a b k) x l) xy m) 8a b n) 8x x + 7x 6. a) x y b) c + 10d c) a + b + c d) 7a b e) a + b + c f) 8p + 18 g) 7x + 9y + 10 h) i) 8a + 18b + j) 8p + q 10. a) 16x 18y b) 6a c) 6a 7b d) x + 6z e) 0 f) x g) 7ab a + b c. a) 8a 1 b) a + 8b + c) x 1y + 0 d) 8ab+ ac e) 8xy + 1x f) 1b + c g) 8x 7y h) a + 10b i) x + y j) 7a k) b c + d l) na nb nc m) x + xy xz ux n) ab+ ac o) 7ax bx cx p) a q) 1a + 9ab 6 r) a + ay a bx s) ax+ a t) ax u) x + x v) x + x w) x + x + x. a) a + a 6 b) 6ab 1a + 1b c) 16x d) 6p + 19 p 10 e) 8a + 16a 6 f) 6c + 1d 17cd g) 10a 9b 9ab a + 6b h) 6p 7 pq + q + p q i) 10x + y xy x 1y + j) 0t 8tu t + 1u + 6 k) ab+ a + b + 8 l) ab a + b 6 m) xy 10x y + n) ax+ ay+ x y o) ax ay p) 6ac+ 1bc q) 6bx + 1by r) 18a 8b s) 6ab t) 0 u) 7ab+ ac+ bc b v) 18a + 19b c w) x x + x x + x x) x + x

38 6. a) a + a + 1 b) a 8a + 16 c) a + 9b + 0ab d) a + a + e) 9a + b + 1ab f) 9c + 9d + cd g) 16a + 9b ab h) 6a + b 60ab i) 16x + y 0xy j) a + b ab k) x x + l) 1 x + y + xy m) a + 60a + 6 n) 9b 0b+ o) x 16x + 16 p) a + b + ab q) a + b c abc r) a b + c d + abcd s) a b + x y + abxy t) x y + a axy u) 9a b + x y 6abxy v) 6a x + 16b y + 8abxy w) 6x y + 9 y + 6xy x) a + 1a + 9a y) 8ab z) x y xy + æ) x + 1 ø) 9q a) x 1 b) 9a c) i j d) x 16 e) 9x + f) a b g) 9x a h) u 9q i) 6y + 16x j) 9n + 16p k) 81p 6k l) 9a 9b m) x 1 n) a x b y o) a b x y p) 16a b 6b z q) a b x b z v r) a b x y s) 9x b a z t) b u) ab v) x 6xy w) 7a ab x) ac bc 8. a) b) c) + 6 d) 1 10 e) f) 6 1 Kapitel : 1. a) ( x + ) b) 6( x + ) c) ( x + ) d) x( x +1 ) e) a( b +1 ) f) b( a +1 ) g) x( + x ) h) x( x + ) i) x ( x + 16) j) ( x 1) k) ( x 1) l) ( x 1) m) ( 1 y ) n) x( 1 x) o) b( 8 a) p) x( x ) q) x( 1 x) r) ( x x ) s) x( x + x + 1) t) 6b( b ) 6

39 . a) ( a b)( x + y) b) x( a + b c d) c) ( a + b)( x y) d) ( a + b)( x y) e) ( a + b)( x + y) f) ( a + x)( b y) g) ( a + b)( x + y) h) ( x y)( a) i) ( a + n)( x y) j) ( a b)( x y) k) ( x y)( u v) l) ( ac+ y)( ab x). a) ( a + b)( a b) b) ( x + y)( x y) c) ( x y)( x + y) d) ( a + b) e) ( x y) g) ( x + 1) h) ( x ) f) ( a b) a + b. a) a b a f) b k) 6 7 x y x + y b) x g) y l) a + b m) x y x c) d) y h) a + b a i) a b b + n) a + b a b e) a b a + b j) 1x o) a +. a) 1 ac ab e) bc h) a + b 6c ab l) a b b) 11 a 0 ax+ x + a f) a x x + y i) xy m) ay bx x y c) a + b ab j) n) b a ab b x 1 ab+ bc+ ac d) abc g) 11 a + b n k) b a o) x 8x + 1 Kapitel : 1. C =,, 6, 8 D = 1,,, 7, 9 E =,,, 7 F =,, 6, 7. Udsagnene a,f,i,j,l er sande, resten falske. 7

40 . a) {1,,6,8} b) {1,,,,,6,8,9} c) {1,,,,,6,7,8,9} d) {1,} e) {1,,,,6,8,9} f) {,,,7} g) {} (=Ø) h) {} (=Ø) i) {,,6,7} j) {,} k) {,9} l) {1,,,7,9} m) {} (=Ø) n) {,,,7} o) {} p) {1,,,7,9} q) {} r) {1,,,,,6,7,8,9} s) {} Kapitel 6: 1. a) b) -10 c) 9 d) -1 e) - f) -1 g) 6 h) - i) 1 j) 0 k) 7 l) m) n) o) 6 p) q) - r) 1 s) t) -0 u) -9 v) - w) x) 6/. a) x > b) x c) x d) x > e) x f) x > 1 g) x 1 h) x > i) x < 6 j) x k) x 1 l) x >. a) b) c) d) e) - f) g) 1/ h) - i) -1 j) -9 k) - l) 1 n). a) x = a b) x = a + b c) x = a + b d) x = a e) x = a b f) x = a + b g) x = b a + ab+ a 7b h) x = i) x = 1 j) x = a a b b k) x = l) x = a b 6a b. a) 1 b) c) / d) e) 7 f) -1/11 g) h) 66 i) j) k) x < l) x Kapitel 7: 1. a) 1, 7 10 b) 7, c), 10 1 d) 1, , elektroner. 8

Naturfag - naturligvis. 1. Introduktion

Naturfag - naturligvis. 1. Introduktion Naturfag - naturligvis af Kenneth Hansen 1. Introduktion Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Introduktion Indhold 1. Rapportens svingningstid. Den naturvidenskabelige metode

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt matematik grundbog trin preben bernitt matematik grundbog -udgave 00 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. . Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point: Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Brøker og forholdstal

Brøker og forholdstal Brøker og forholdstal Hvad er brøker - nogle eksempler... 6 Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... 0 Regning med brøker - plus og minus... Regning

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x)) A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point:

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium De 4 regnearter (aritmetik) Aritmetik: kommer af græsk: arithmetike = regnekunst arithmos = tal Aritmetik er læren om tal og operationer på tal som de 4 regnearter.

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke addition bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke - decimaltal bunker osv. Det kan desuden vise decimaler og dermed give eleven visuel støtte

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Abacus Dette program er en elektronisk udgave af en kugleramme. Man kan flytte en kugle eller en gruppe af kugler ved at klikke på en af kuglerne. Hvis man klikker på Nulstil, vender alle kuglerne tilbage

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Matematik på 9. og 10. klassetrin

Matematik på 9. og 10. klassetrin Matematik på 9. og 10. klassetrin Hayati Balo, AAMS, Forår 2013 Baseret på 9. klasse og 10. klasse udvidet kursus (Sigma), 1. udg. 8. oplæg 1986 og 1. udg. 6. oplæg 1986, af Henry Schultz, Johan Jacobsen,

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere