Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar matx.dk

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk"

Transkript

1 matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

2 Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler Tal Regning Potenser Regnearterneshiraki Bogstavregning Parenteser Logik Argumenter Hvad er et bevis? Kvadratsætningerne 16 7 Brøkregning 19 8 Potensregneregler 22 9 Ligninger Ligningsløsning To ligninger med to ubekendte Andengradsligninger Komplekse tal Regning med komplekse tal Geometrisk repræsentation af komplekse tal

3 Svar til opgaverne 41 Litteratur 44 3

4 1 Forord Faglige mål og kernestof - Regningsarternes hierarki, det udvidede potensbegreb, rationale og irrationale tal, ligningsløsning med analytiske metoder. - Gennemføre simple matematiske ræsonnementer og beviser Supplerende stof - Kompleksetal med vægt på ræsonnement og bevisførelse. 4

5 2 Indledning Algebra er regning med symboler og bogstaver. Grundet til at regne med bogstaver, er for at komme frem til nogle generelle regler, som er rigtige for alle tal. På denne måde kan en masse udregninger undgås. Det vigtigste man bruger algebra til er beregninger på en computer. Da ønskes at det skal gå så hurtigt som muligt, derfor er det vigtigt at reducere udtryk så de bliver nemmere for computeren at udregne. F.eks. skal computerne udregne kan dette reduceres til 3 (a + b) 2 6 a b 3 b 2 3 a 2 Hvis der indsættes tal i stedet for a og b f.eks. 5 ind i stedet for a og 2 ind i stedet for b bliver det første udtryk til 3 (5 + 2) = og det andet udtryk bliver til = = = = 3 25 = 75 Det er hurtigere for computerne og bruge det andet udtryk, og det er derfor det er vigtigt at reducerer så antallet af beregninger nedsættes. Computeren laver rigtigt mange udregninger hele tiden, derfor vil alt gå langsommere på computerne hvis regneudtrykkene ikke var reduceret. Der er en hel række af regler og love som skal overholdes, hvis ikke bliver reduceringen forkert. Her er et eksempel på en forkert reducering. 3 (a + b) = 3 a + b 5

6 og computerne skal udregne dette med a lig 5 og b lig 2, bliver det første til 3 (5 + 2) = 3 7 = 21 og det andet bliver = = 17 og det er bestem ikke sådan at 21 og 17 er det samme tal. Metode med at sætte tal ind kan også bruges når for at undersøge om reduceringen er rigtigt. Metoden er ikke helt sikker for det er ikke sikkert at hvis det er rigtigt med nogle tal så er der rigtigt for alle tal, men ofte vil det være tilfældet især hvis der bruges forskellige tal og gerne primtal dvs. (2,3,5,7,11) 6

7 3 De grundlæggende regler Der er 10 grundlæggende regler for regning med symboler. Definition 3.1 Regler for addition, subtraktion, multiplikation, division og paraenteser.[3, s. 9-10] 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + x = v + (w + x) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Ved at tage udgangspunkt i disse grundlæggende regler kan udledes en hel masse generelle regler, som gælder for alle tal. 3.1 Tal Hvad er et tal? Der findes mange tal f.eks. 4, 5, 9378, I, III, IV, DC, 10110, Fældes for alle disse tal er, at de repræsenterer en 7

8 værdi. Symbolet "4"repræsentere værdien 4, men det gør symbolet "IV"og "100"også. Dvs. Et tal er et symbol, som repræsenterer en værdi. Ofte vil symbolet være efterfulgt af en betegnelse for den værdi som det repræsenterer f.eks. 4 kr eller 4 kg. I matematik undlade denne betegnelse ofte. Tal inddeles i typer. En type af tal er tallene 0,1,2,3,4,..., disse tal kaldes for de naturlige tal og symbolet for disse tal er N. Ud fra de naturlige tal kan f.eks. 11 og 5 konstrueres ved at sætte (minus) foran tallet. På denne måde fås tallene..., 2, 1,0,1,2,... Disse tal kaldes for de hele tal og symbolet for disse tal er Z. Ud fra de hele tal kan f.eks. 3 6 og 7 konstrueres. Tal af denne type hedder brøker 11 og disse tal kaldes for de rationelle tal og symbolet for disse tal er Q. Ud fra de rationelle tal kan de reelle tal konstrueres. Det er de tal som f.eks. 2 og π. Symbolet for de reelle tal er R. Ud fra de reelle tal kan de kompleks tal konstrueres. Det er tal som 2 + 1i. Symbolet for de kompleks tal er C. 3 N 5 Z 3 5 Q 2 R 2i 3 C 8

9 3.2 Regning Det er muligt at lave forskellige operationer med tallene. Én operation er at lægge to tal samme, denne operation kaldes addition. Symbolet for en addition er + (plus). F.eks De to tal som adderes kaldes led, symbolet kaldes en operator. F.eks. plus operator {}}{ }{{} 4 led + 2 }{{} led Ved en addition fås et resultat der kaldes en sum, for at vise at der er tale om et resultat skrives = (ligmed) foran. F.eks. plus operator {}}{ }{{} 4 led + 2 }{{} led = 6 }{{} sum En anden operation er multiplikation eller at gange som det også kaldes. Ved en multiplikation af to tal eller bogstaver skrives mellem de to tal eller bogstaver, som multipliceres. F.eks. 4 3 betyder 4 gange 3 og 4 og 3 kaldes for faktorer. Resultatet af en multiplikation kaldes et produkt. F.eks. gange operator {}}{ }{{} 4 faktor 3 }{{} faktor = produkt {}}{ 12 Addition og multiplikation kan også kombineres. a }{{} led plus operator {}}{ + led { }} { 4 }{{} faktor gange operator {}}{ b }{{} faktor = sum { }} { a + 4b Der er 3 faktorer og 2 led i dette udtryk 3 e y + 6 9

10 De tre faktorer er 3, e og y og de to led er 3 e y og 6. Ofte undlades hvis det er tydeligt at der skal være. F.eks. Vil der istedet for at skrive 3 e y bare skrive 3ey, mens hvis der stod 3 4 kan der ikke skrives 34 fordi det ville betyde fireogtredive og ikke tre gange fire. 3.3 Potenser Udregninger skal skrives på den mest simple måde og derfor indføres en måde som beskriver det samme tal ganget med sig selv f.eks = 3 4 og det udtales tre i fjerde eller tre opløftet i fjerde. 5 3 = Mens ( 5) 3 = Regnearterneshiraki Når man skal udregne et udtryk med flere en to tal er det vigtigt at være opmærksom på i hvilken rækkefølge udregningen skal foretages. Eksempel 4.1 I udtrykket skal 3 5 udregnes først fordi (gange eller multiplikation) skal udregnes inden + (plus eller addition). Udregningen kommer til at se således ud: = = 17 10

11 Definition 4.2 Regnearterneshiraki er 1. Parenteser 2. Eksponenter 3. Potenser 4. Multiplikationer og divisioner 5. Additioner og subtraktioner Eksempel 4.3 I udtrykket skal eksponenten 2+3 = 5 udregnes først og derefter skal potensen 2 5 = 32 og til sidst skal multiplikationen 32 4 = 128 udregnes. Udregningen kommer til at se således ud: = = 32 4 = 128 Opgave 4.4 Regn følgende udtryk ud. (3 + 3) (2 5) (2 3) 2 (2 5) (2 + 3) Bogstavregning Der kan også regnes med bogstaver, her er nogle enkle eksempler som alle følger af matematikkens grundlæggende love. a + a = 2a a a = 0 a a = a 2 a a = 1 Her er nogle flere, de er lidt mere komplicerede a + b + a = 2a + b a b + 2b = a + b a b a = a 2 b 11

12 Her kombineres plus og gange a+(b c) = a+bc a (b+c) = ab+ac b (a+b+c) = ab+b 2 +bc Her kombineres alle regnearterne a (b + c) a = b + c ac + bc b = ac b + c ac + bc c = a + b Opgave 4.5 Regn følgende udtryk ud. 1. a + a + a 5. a a 2 2. ab a b + a ab ac + ad 6. + c a 3. a2 7. a (a + a) a 4. a (b + c) ab 8. (a + b) c (c + b) a 4.2 Parenteser Meget ofte er det praktisk at regne med parenteser, der er to ting operationer, det ene er at gange ind i parenteser det andet er at sætte udenfor parentes. Et typisk eksempel er, hvis der er 15% rabat på en vare, da kan prisen udregnes på følgende måde: og det udregnes som f.eks før prisen 15% af før prisen = prisen 60 kr. 15% 60 kr. = 51 kr. fordi 15% = 0,15 og 0,15 60 = 9. Dette kan også udregnes som 60 85% fordi 60 0,15 60 = 60 (1 0,15) = 60 0,85 12

13 Hvis et tal eller bogstav skal ganges ind i en parentes, skal tallet eller bogstavet ganges med hvert led i parentesen f.eks. 5 (3 + c a) = c 5 a dette kan reduceres til c 5a Er der to parenteser, som skal ganges ind i hinanden (parenteserne ganges ud) skal hvert led i den ene ganges med hvert led i den anden f.eks. (x + y + z) (a + b + c) = (x + y + z) a + (x + y + z) b + (x + y + z) c = xa + ya + za + xb + yb + zb + xc + yc + zc Der kommer 9 led ud af at gange parenteserne ud, der er fordi der er 3 led i hver af parenteserne og 3 3 = 9. Hvor mange led kommer der ud af at gange disse to parenteser ud (a + b)(x + y)? Her er en liste over de mest typiske udregninger. Regel Eksempel a + ba = (b + 1)a a + 4a = (1 + 4)a ca + ba = (b + c)a 2a 4a = (2 4)a a b b = a = 4 a(b + c) = ab + ac 3(b + c) = 3b + 3c Eksempel 4.6 Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + 4) (3y + z). (2x+4) (3y+z) = (2x+4) 3y+(2x+4) z = 2x 3y+4 3y+2x z+4 z 13

14 Eksempel 4.7 Gang følgende parenteser ud (dvs. gang dem ind i hinanden) (2x + y) 2 (5 + z). Først omskrives (2x + y) 2 til (4x 2 + y 2 + 4xy), nu ses at der er to parenteser og ingen potenser nu kan det ganges ud. (4x 2 + y 2 + 4xy) (5 + z) (4x 2 + y 2 + 4xy) (5 + z) = (4x 2 + y 2 + 4xy) 5 + (4x 2 + y 2 + 4xy) z = 4x y xy 5 + 4x 2 z + y 2 z + 4xy z = 20x 2 + 5y xy + 4x 2 z + y 2 z + 4xyz Opgave 4.8 Gang følgende parenteser ud. 1. (x + y) (x + y) 5. (x y) (x + y) 2. (x + y) (2x + y) 6. (x 3y) (x + y) 3. (x + 2) (2 + y) 7. (x y) (x + y) (z + 5) 4. (5x + 4y) (2x + 3y) 8. (3x + 5y + 3) (2x + 4) At skal sætte udenfor parentes, betyder at det som to eller flere led har tilfældes kan placeres udenfor en parentes. Eksempel 4.9 Sæt udenfor parentes i følgende udtryk. 2x + 5xy begge led indeholder x derfor kan det sættes udenfor parentes 2x + 5xy = x (2 + 5y) bemærk at x er fjernet fra begge led. 14

15 Opgave 4.10 Sæt så meget som muligt udenfor parantes. 1. 3x + 4xy 5. 3a + 6ba x + 6xy 6. 2x + 6xy 3. 3x 2 + 6xy 7. 3xy 2 9xy 4. 4a + 6b + 8c 8. 14x 4 y 3 21x 3 y 4 5 Logik Logik er en metode til at bestemme om et udsagn er rigtigt / sandt / logisk. 5.1 Argumenter Et argument er sammensat af to ting: Et eller flere udsagn og en konklusion. Et udsagn kan f.eks. være "alle mennesker er fejlbarlige"eller "du er et menneske"eller "månen lavet af ost". Ved at sammensætte udsagnene er det muligt at drage / udlede en konklusion. F.eks. Fordi alle mennesker er fejlbarlige og fordi du er et menneske så er du fejlbarlig. Her er udsagnene fremhævet. Foran udsagnene står fordi, dette kaldes en udsagnsmarkør dvs. et ord som markerer at nu kommer der et udsagn. Der findes mange udsagnsmarkører f.eks."eftersom, fordi, for, idet, følger af, hvis, som vist ved, som antydet, grunden er, med den begrundelse, som kan sluttes fra, afledes fra, deduceres fra, i lyset af den kendsgerning"[2, s ]. De markører som oftest bruges i en videnskabelig sammenhæng er i kursiv. 15

16 5.2 Hvad er et bevis? Et bevis er en serie af argumenter, som tilsammen giver anledning til den ønskede konklusion - det der skulle bevises. F.eks. hvis man vil bevise at (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab bruges følgende argumenter: 1. Der følger af den distributive lov, at (a + b) (a + b) = (a + b) a + (a + b) b 2. Ved at bruge den distributive lov på ovenstående resultat følger der, at (a + b) a + (a + b) b = a 2 + ab + ab + b 2 3. Ved at reducer på ovenstående fås, at a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 4. Nu fås den ønskede konklusion ved at sammenholde alle argumenterende: (a + b) (a + b) = a 2 + 2ab + b 2 Det er meget vigtigt at forstå hvad der sker i hver eneste argument, derfor skal man være meget omhyggelig og læse et argument af gangen og være helt sikker på at man forstå det. Et sådan resultat formuleres i en sætning - der er en matematikers betegnelse for en betydningsfuld konklusion, meget ofte vil der være tale om en formel med visse betingelser. 6 Kvadratsætningerne Der findes tre varianter af kvadratsætningerne, alle tre varianter vil senere vise sig at være nyttige, fordi de forekommer så ofte i andre udregninger. 16

17 Sætning 6.1 Hvis a og b R så vil (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab Sætning 6.2 Hvis a og b R så vil (a b) 2 = (a b) (a b) = a 2 + b 2 2ab Sætning 6.3 Hvis a og b R så vil (a + b) (a b) = a 2 b 2 Disse tre sætninger kaldes for de tre kvadratsætninger. Opgave 6.4 Bevis at 1. Hvis a og b R så vil (a + b) (a + b) = a 2 + b 2 + 2ab 3. Hvis a og b R så vil (a + b) (a b) = a 2 b 2 2. Hvis a og b R så vil (a b) (a b) = a 2 +b 2 2ab 4. Hvis a og b R så vil (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 Eksempel 6.5 Udregn følgende: (2 + 3) (2 + 3), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (5 + 3) (5 + 3) = = = 64 Meget ofte vil regnens ikke med tal, men med bogstaver. Derfor kommer der her et eksempel med bogstaver. Eksempel 6.6 Udregn følgende: (x + y) (x + y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står 17

18 + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (x + y) (x + y) = x 2 + y x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere. Eksempel 6.7 Udregn følgende: (2x + y) (2x + y), først finder vi ud af hvilken en af de tre kvadrat sætninger vi skal bruge. Da der står + i begge paranteser er det den første kvadrat sætning. Sætningen siger så at (2x + y) (2x + y) = (2x) 2 + y (2x) y = 4x 2 + y x y Nu er opgaven løst fordi det ikke er mulige at reducerer yderligere. Opgave 6.8 Regn følgende opgaver ved brug af kvadratsætningerne 1. (3 5) (3 5) 5. (x r) (x r) 2. (3 5) (3 + 5) 6. (2x r) (2x r) 3. (t + r) (t + r) 7. (3x + 4y) (3x + 4y) 4. (t r) (t + r) 8. (2x 3y) (2x + 3y) Opgave 6.9 Regn følgende opgaver ved brug af kvadratsætningerne 1. (3x 5y) (3x 5y) 5. (3x 3r) (3x 3r) 2. (3x 5y) (3x + 5y) 6. (2x r 2 ) (2x r 2 ) 3. (3t + r) (3t + r) 7. (3x 2 + 4y) (3x 2 + 4y) 4. (t 4r) (t + 4r) 8. (2x 3 3y 2 ) (2x 3 + 3y 2 ) Nu har vi set på hvad et bevis er og hvad man kan bruge en sætning til, nu skal vi arbejde videre med nogle flere grundlæggende sætninger og deres anvendelser. 18

19 7 Brøkregning En brøk består af to dele en tæller og en nævner, meget ofte skrives det således tæller nævner Der skrives altså tælleren i toppen og nævneren nederst. F.eks. 12a 3ab Her er 12a tælleren og 3ab er nævneren. En brøk kan forkortes, hvilket betyder at tæller og nævner divideres med samme tal eller bogstav. F.eks. kan følgende brøk forkortes med a 12a 3ab = 12 3b En brøk kan forlænges med et tal eller et bogstav, dette betyder at både tæller og nævner ganges med tallet eller bogstavet. F.eks. her forlænges med 4: 12a 3ab = 4 12a 4 3ab Definition 7.1 Regneregler for brøker. a b c = a b a c b c d = a c b d a b c = b a c b : c d = a d b c a b c = a c a b b : c = a b c c : a b = c b a a b + c b = a + c b a b + c d = a d + b c b d 19

20 Opgave 7.2 Regn følgende opgaver ved brug af regneregler for brøker x 2 y 3. a 3 a x 2 3 y 6. b c + x c 7. b c : x a 8. b c + x a Eksempel 7.3 Opgaven er at skrive følgende udtryk om til et udtryk med 2 parenteser (faktorisering) 9x 2 + y 2 + 6xy Det første man ser efter er det dobbelte produkt dvs. 2vw, hvis der står plus foran så er det 1. kvadratsætning, hvis der står minus så er det 2. kvadratsætning og hvis der ikke er noget dobbelte produkt så er det 3. kvadratsætning. I dette tilfælde står der plus (+6xy), der er altså 1. kvadratsætning der skal bruges. (v + w)(v + w) = v 2 + w 2 + 2vw Eftersom der står 9 foran x 2 må det betyde at v = 3x efter som v 2 = (3x) 2 = 9x 2, da der ikke står noget foran y må det betyde at w = y efter som w 2 = (y) 2 = y 2. Nu kan udtrykket 9x 2 + y 2 + 6xy faktoriseres 9x 2 + y 2 + 6xy = (3x + y)(3x + y) 20

21 Opgave 7.4 Faktoriser følgende udtryk. 1. x 2 + 8xy + 16y x 2 12xy + 4y x 2 + 4xy + y 2 6. x 4 4x 2 y + 4y x 2 12xy + 9y x 2 9y x xy + 16y x2 9y 2 Opgave 7.5 Forkort følgende brøker. 1. x2 + 8xy + 16y 2 x + 4y 2. 4x2 12xy + 9y 2 2x 3y 3. 4x4 + 12x 2 y + 9y 2 2x 2 + 3y 4. 16x2 9y 2 4x 3y 5. x 2 5y x 4 25y x3 2ax 2 9x 6a 7. 3x4 y xy 3 12x 3 4y x2 + y 2 + 6xy 9x + 3y Opgave 7.6 Reducer følgende to udtryk. x 2 x y y2 x y x y y x 21 1 (x + y)(x y)

22 8 Potensregneregler Definition 8.1 Regneregler for potenser. Hvor x og y er forskellige fra 0. x s x t = x s+t x s = x s t (x s ) t = x s t (x y) s = x s y s s x = xs y y s x 0 = 1 x s = 1 x s s x = x 1 s, hvor x > 0 s x t = x t s, hvor x > 0 Eksempel 8.2 Følgende udtryk x 3 x 6, kan reduceres ved at anvende reglen x s x t = x s+t, så fås at x 3 x 6 = x 3+6 = x 9. Eksempel 8.3 Følgende udtryk ( x 3) 6, kan reduceres ved at anvende reglen (x s ) t = x s t, så fås at ( x 3) 6 = x 3 6 = x 18. Eksempel 8.4 Følgende udtryk x3 x6, kan reduceres ved at anvende reglen xs x t = x s t, så fås at x3 x 6 = x3 6 = x 3. Som ifølge reglen x s = 1 x er lig x 3 = 1 x 3. Ofte forventes det at mere komplicerede udtryk kan overskues. Eksempel 8.5 Følgende udtryk x 6 y 4 x 3 y kan reduceres ved at anvende reglen xs x t = xs t to gange, først på x og derefter på y. Når regelen anvendes på x fås at x6 x 3 = x6 3 = x 3 22 x t

23 og når den anvendes på y fås at y4 y = y4 1 = y 3 - Bemærk at y = y 1. Og disse to resultater kan så sættes sammen. x 6 y 4 x 3 y = x3 y 3 Dette kan reduceres yderligere ved brug af reglen (x y) s = x s y s. Eksempel 8.6 Følgende udtryk x 3 y 3 = (x y) 3 x 5 8 x2 x 3 kan reduceres ved at anvende reglen s xt = x t s 8 x2 = x 2 8 det betyder at x 5 8 x2 x 3 = x 5 x 2 8 x 3 på 8 x2, så fås at reglen x s x t = x s+t anvendes på alle tre faktorer så x 5 x 2 8 x 3 = x ( 3) Og da ( 3) = = = 18 8 = 9, så fås at 4 x ( 3) = x 9 4 Opgave 8.7 Reducer følgende udtryk. Antag at x, y og a ikke er x4 x 2 5. x 3 5 x 10, hvor x > 0 2. x2 x 4 6. a 2 3 x6 a 5, hvor x > 0 3. x2 y 4 x 2 y x 3 4 x2 5a 3 10a 2 x 4 4 x 6, hvor x > 4. x2 x y 2 x 3 y x4 y 3 21x 3 y 4 7x 3 y 3 23

24 9 Ligninger I dette kapitel omhandler ligninger. En ligning er et udtryk som indeholder et =. Tidligere er = anvendt i forbindelse med udregninger f.eks. 4(x + 2y) 2x + 4 = 4x + 8y 2x + 4 = 2x + 8y + 4 Men dette lighedstegn er i selve udtrykke det ser f.eks. således ud 2x = 8y + 4 Her er = i udtrykke fra starten af. En sådan ligning siges at have løsninger, det betyder at der findes x er og y er som gør at 2x faktisk er lig 8y + 4. Det kunne f.eks. være hvis x = 12 og y = 2. Meget ofte vil man kende f.eks. y, og ønske at finde x. Som med algebra ønsker man at reducerer udtrykket, så meget som muligt, for at det bliver letter at foretage udregningerne. Men når man arbejder med ligninger vil man ikke bare reducerer, man vil finde en bestemt ubekendt som f.eks. x, dette kalder man at isolerer. Isoleres x i ligningen 2x = 8y+4 betyder det at x kommer til at stå alene, i dette tilfælde divideres med 2 på begge sider af lighedstegnet. 2x = 8y + 4 x = 4y + 2 Tegnet betyder at de to ligninger på hver side har de samme løsninger. 9.1 Ligningsløsning Med ligningsløsning menes at ved hjælp af en eller flere udregninger findes den ubekendte. F.eks. at finde x i ligningen 5x = 15 24

25 betyder at finde den værdi af x som gør udtrykke sandt. Først divideres begge sider med 5. og ved udregning ses at 5x 5 = 15 5 x = 3 Eksempel 9.1 Løs ligningen 2x + 4 = 8. 2x + 4 = 8 Først trækkes 4 fra på begge sider. 2x = 8 4 Det kan reduceres til. 2x = 4 Så divideres med 2 på begge sider. 2x 2 = 4 2 Dette kan reduceres. x = 2 Løsningen er L = {2} Løsningen kan kontrolleres ved at sætte den ind i ligningen, som man skulle løse. Her sættes x = 2 og så fås = 8 Og det betyder at løsningen er rigtigt. Eksempel 9.2 Løs ligningen 2 3 x + 4 = 3. 25

26 2 x + 4 = 3 Først trækkes 4 fra på 3 begge sider. 2 x = 3 4 Derefter ganges med 3 3 på begge sider. 3 2 x = 1 3 Dette kan reduceres. 3 2x = 3 Så divideres med 2 på begge sider. x = 3 2 Løsningen er L = { 3 2 } Opgave 9.3 Løs ligningerne. 1. 6x = x + 4 = 5x 2. 3x + 4 = 5 6. x 2 = 2x x + 4 = x 4 = 2x x + 4 = 5x 8. 7x + 3 = x 5 2 Ofte vil der være mere end en ubekendt i en ligning, hvis der er det kan ligningen ikke løses. Istedet kan en af de ubekendte isoleres, f.eks. kan x isoleres i ligningen 3y = 5x + 7 dvs. få x til at stå alene på den ene side at lighedstegnet. 3y 7 = 5x Først trækkes 7 fra på begge sider. 3y 7 = 5x 3y 7 5 3y 7 5 = 5x 5 Derefter dividerer med 5. Dette reduceres. = x Nu er x isoleret. 26

27 Opgave 9.4 Isoler x i ligningerne. 1. 3x = 6y 5. 3 ax = 4x 2. b = 2 x 6. ax = 4x c 3. 2q = 3x a = 2c x d 4. 8x = 4x 7 8. y = 3x + 5 Opgave 9.5 Løs ligningerne. 1. 2x 3 = x x = x + 3 = 4(x + 2) x = (14 + x) = (1 + x) = x = (x 1)(x + 2) = 0 2 En anden type af ligninger er dem som er bygget op af faktorer og som er lig 0 f.eks. (x + 3)(x 5) = 0 her er løsningen nem at finde ved at bruge nulreglen. Sætning 9.6 Et produkt er 0 hvis og kun hvis mindst en af faktorerne er 0. x y = 0 x = 0 y = 0 Eksempel 9.7 Ligningen (x + 3)(x 5) = 0 kan løses ved brug af nulreglen. (x + 3)(x 5) = 0 x + 3 = 0 x 5 = 0 x = 3 x = 5 Eksempel 9.8 Ligningen 3 (x 2)(8 + x) = 0 kan løses ved brug 27

28 af nulreglen. 3 (x 2)(8 + x) = 0 x 2 = x = 0 x = 2 x = 8 Eksempel 9.9 Ligningen (x 2 + 3)(x 4) = 0 kan løses ved brug af nulreglen. (x 2 + 3)(x 4) = 0 x = 0 x 4 = 0 x 2 = 3 x = 4 x = 4 Da x 2 aldrig kan være negativ så har ligningen kun denne ene løsning. Eksempel 9.10 Ligningen x (x 2 7)(x+4) = 0 kan løses ved brug af nulreglen. x (x 2 7)(x + 4) = 0 x = 0 x 2 7 = 0 x + 4 = 0 x = 0 x 2 = 7 x = 4 x = 0 x = 7 x = 7 x = 4 Da både 7 og 7 løser ligningen x 2 = 7, har ligningen fire løsninger. Opgave 9.11 Løs ligningerne. 1. (x 2)(x + 1) = 0 5. (x 2 9)(x + 2) = 0 2. (x + 5)(x 9) = 0 6. (x + 5)(x 7)(x + 1) = (x 3)(x + 1) = 0 7. (x 2 + 2)(x 2 + 3) = 0 4. x(x + 2)(x 5) = 0 8. x(x+2)(x 2 +2)(x 3 1) = 0 28

29 9.2 To ligninger med to ubekendte En anden type ligningsløsning er to ligninger og to ubekendte, hvor både x og y skal findes i disse to ligninger: x + 1 y = 3 2x 3y = 2 2 Sådanne to (eller flere) ligninger kaldes for et ligningssystem. Der er flere måde at løse sådanne et problem, her bruges den metode hvor man udnytter de samme metoder som man brugte ved ligningsløsning. Metoden til at løse sådanne problemer er på 4 trin. 1. x eller y isoleres i den ene af de to ligninger. 2. Den isolerede variabel indsættes i den anden ligning og værdien af den ubekendte udregnes. Eksempel 9.12 Løs følgende ligningssystem x + 1 y = 3 2x + 3y = Den fundene værdi indsættes i den første ligning og den anden ubekendte beregnes. 4. Resultatet opskrives på formen (x,y) =(x-værdien,yværdien) Trin 1 x isoleres i den første ligning. x y = 3 x = y Trin 2 29

30 x substitueres i den anden ligning og y-værdien udregnes y + 3y = 2 6 y + 3y = 2 2y = 8 y = 4 Trin 3 Den fundne y værdi indsættes i den første ligning x = ( 4) = = 5 Trin 4 Løsning på ligningssystemet er (x,y) = (5, 4). Opgave 9.13 Løs ligningssystemerne. 1. y = 3x 3 y = 2x 1 5. y 13 = 2x y + x = 4 2. y = x + 1 y = 2x 2 6. y + 2x + 5 = 0 y = 3x 3. y = 4x 6 y = 4x y 2x = 8 y = 2x 3 4. y = 2x + 13 y = x y = 4x y = 5x 30

31 9.3 Andengradsligninger Andengradsligningen er en ligning på formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a,b og c er reelle tal og hvor a 0. Et eksempel kunne være 2x 2 2x 4 = 0, her er a = 2 og b = 2 og c = 4. Det er interessant at kunne løse sådanne ligninger fordi mange problemer kan reduceres til sådanne ligninger f.eks. at finde mængden af et bestemt stof i en opløsning, eller at bygge en bro eller at bestemme hvor en bombe vil lande osv. Da der er så mange forskellige problemstillinger så vil vi løse problemet en gang for alle, og det gør vi ved at bevis at løsningen hvis der er en kan findes ved formlen x = b ± b 2 4ac 2a Dette er formuleret i denne sætning. Sætning 9.14 Hvis a,b,c,x R og a 0 så vil andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 med diskriminanten d = b 2 4ac have løsningerne x = b ± d 2a hvis d 0 og ligningen vil ikke have nogen løsninger hvis d < 0. Bevis. Beviset tager udgangspunkt i andengradsligningen, og ønsker så at isolere x. ax 2 + bx + c = 0 Først ganges med 4a på alle led. ax 2 4a + bx 4a + c 4a = 0 4a Derefter lægges b 2 4ac til på begge sider, bemærk at b 2 4ac er 31

32 diskriminanten d. Så reduceres 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac + b 2 4ac = 0 + b 2 4ac 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = d Venstre side omskrives ved brug af kvadratsætningen (p + q) 2 = p 2 + q 2 + 2pq. I dette tilfælde er b = q og 2ax = p. (2ax + b) 2 = d Antag at d < 0. Da vil ligningen (2ax + b) 2 = d ikke have nogle løsninger, fordi der er ikke noget reelt tal som i anden bliver negativt. Antag derfor at d 0. Kvadratroden kan derfor tages af begge sider. (2ax + b)2 = d Da gælder at p 2 = ±p 2ax + b = ± d Nu kan x isoleres. Først trækkes b fra. Derefter divideres med 2a. 2ax = b ± d x = b ± d 2a Eksempel 9.15 Løs ligningen 2x 2 2x 4 = 0. Først identificeres hvad a,b og c er: Så udregnes d: d = b 2 4ac a = 2 b = 2 c = 4 = ( 2) 2 (4 2 4) = 4 ( 32) = Q.E.D.

33 Da d > 0 er der to løsninger: b + d = ( 2) + 36 x = 2a 2 2 b d = ( 2) 36 2a 2 2 Så løsningen er L = { 1,2}. = = = 2 = 1 Eksempel 9.16 Løs ligningen 3x x + 12 = 0. Først identificeres hvad a,b og c er: Så udregnes d: d = b 2 4ac Da d = 0 er der en løsning: a = 3 b = 12 c = 12 = (12) 2 (4 3 12) = 144 (144) = 0 x = b 2a = = 2 Så løsningen er L = { 2}. Eksempel 9.17 Løs ligningen x 2 3x = 0. Først identificeres hvad a,b og c er: Så udregnes d: a = 1 b = 3 c = 0 d = b 2 4ac Da d > 0 er der to løsninger: b + d x = 2a b d 2a Så løsningen er L = {0,3}. = ( 3) 2 (4 1 0) = 9 (0) = 9 = ( 3) = ( 3) = = = 3 = 0

34 Eksempel 9.18 Løs ligningen x 2 3x + 4 = 0. Først identificeres hvad a,b og c er: Så udregnes d: d = b 2 4ac a = 1 b = 3 c = 4 = ( 3) 2 (4 1 4) = 9 (36) = 27 Da d < 0 er der ingen løsninger. Så løsningen er L =. Opgave 9.19 Løs ligningerne. 1. x 2 + x 6 = 0 5. x 2 + 6x + 8 = 0 2. x 2 4 = 0 6. x 2 2x 15 = 0 3. x 2 5x + 6 = 0 7. x 2 + 4x + 4 = 0 4. x 2 6x + 8 = 0 8. x 2 + x + 7 = 0 Opgave 9.20 Løs følgende ligninger. 1. 2x + 8 = 3x 8 5. y = 3x + 4 y = 2x x + 5 = 3x y = 3x + 4 y = 2x x 2 + 4x 15 = x 2 5x 2 = 0 4. x 2 + 2x 15 = y 5x = y = x 7 34

35 10 Komplekse tal Da man fik formaliseret løsningerne til anden- og trejdegradsligningerne i miden af 1500-tallet, var en del af løsningerne på formen a + b 1, hvor a og b var reelle tal.[1, s. 1] Det drejer sig f.eks. om løsningen på andengradsligningen Diskriminanten beregnes x 2 + 2x + 5 = 0 D = b 2 4ac D = = 4 20 = 16 Normalt ville udregningen stoppe her fordi hvis diskriminanten er negativ, så er der ingen løsningen til ligningen. Dette er i midlertidig ikke helt rigtigt, den korrekte formulering er at der ikke er nogle reel løsning til ligningen. Hvis beregningen forsættes... x = b + D 2a x = = 2 = x = b D 2a x = = 2 = Men hvad er 1? Kvadratroden af et negativt tal er ikke noget hvor der findes en løsning. Men prøv at sammenligne det med løsningen til denne ligning x 2 + 2x 7 = 0 35

36 Diskriminanten beregnes D = b 2 4ac D = ( 7) = = 32 Derefter beregnes x. x = b + D 2a x = = = 2 = x = b D 2a x = = = 2 = Da hverken 1 eller 2 kan omskrives til et rationelt tal, er der ikke den store forskel på de to typer af løsning. Det er først hvis man ønsker at omregne 2 eller 1, at der opstår problemer. Det var først med Descartes og Euler i miden af 1800-tallet at man lavede opdelingen af tal i reelle og imaginære.[1, s. 1] De imaginære tal var nogle tal som kun eksisterede i tankerne mens de reelle tal var i virkeligheden. Dette er naturligvis noget vrøvl, tal er kun noget der er i tankerne. Ingen tal eksistere på samme måde som f.eks. fugle. Da Euler delte de komplekse tal op i en real del og en imaginær del gav han samtidig 1 symbolet i. Så blev til 1 2i. Det var Gauss der fik det matematiske samfund til igen at acceptere de komplekse tal ved at give dem en geometrisk repræsentation. Dette gjorde han ved at associere det komplekse tal a+bi med punktet (a,b) 36

37 hvor han kalde y-aksen for imaginær aksen og x-aksen for real aksen Regning med komplekse tal Det vil være bedst om der gælder de samme regler for regning med komplekse tal som med reelle tal. Reglerne for de reelle tal er følgende. Definition 10.1 Hvis v, w, r, s R så gælder følgende regler. 1. v + w = w + v Den kommutative lov for addition 2. (v + w) + s = v + (w + s) Den associative lov for addition 3. v + 0 = v Den additive identitet 4. v + ( v) = 0 Den additive inverse 5. r(v + w) = rv + rw Den distributive lov 6. (r + s)v = rv + sv Den distributive lov 7. v w = w v Den kommutative lov for multiplikation 8. r(sv) = (rs)v Den associative lov for multiplikation 9. 1 v = v Den multiplikative identitet 10. v v 1 = 1 Den multiplikative inverse Hvis der skal gælde de samme regler så betyder det f.eks. at (2 + 3i) + ( 1 + 5i) = ( 1 + 5i) + (2 + 3i) Eller sagt på en anden måde skal addition og multiplikation med kompleksetal defineres så regel 1 til 10 er opfyldt. 37

38 Definition 10.2 Hvis a,b,c,d R så er addition og multiplikation defineret ved følgende ligninger. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (1) (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i (2) Eksempel 10.3 (2 + 3i) + ( 1 + 5i) = (2 1) + (3 + 5)i = 1 + 8i Eksempel 10.4 (2 + 3i) ( 1 + 5i) = (2 ( 1) 3 5) + ( ( 1))i = i Opgave 10.5 Udregn følgende komplekse tal. 1. (1 + 4i) + (8 3i) 5. (2 + 1i) + ( 2 + 1i) 2. (8 3i) + (1 + 4i) 6. (5 + 2i) (3 + 2i) 3. (7 3i) + (4 1i) 7. (2 + 1i) (3 4i) 4. (4 1i) + (7 3i) 8. (3 + i) (1 + 3i) Nu vises at regel 1 gælder for komplekse tal. Sætning 10.6 Hvis a,b,c,d R er addition kommutativ for de komplekse tal v = (a + bi) og w = (c + di). Det vil sige, at Bevis. Først udregnes venstreside (a + bi) + (c + di) = (c + di) + (a + bi) (3) Dernæst udregnes højreside (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (c + di) + (a + bi) = (c + a) + (d + b)i 38

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU

Årsplan for matematik 10. klassetrin. 2012 2013 v. CJU Årsplan for matematik 10. klassetrin 2012 2013 v. CJU Når dette skoleår er omme, så er det målet, at undervisningen har bidraget til, at formålet for faget er opfyldt: Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen:

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen: Matematik Årgang: Lærer: 9. årgang Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for : Formålet med er, at udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3.

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. Den tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. klasse 4. klasse 5. klasse 6. klasse 7. klasse 8. klasse 9. klasse 1.klasse

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 12/13 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik C Ann Risvang

Læs mere