Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2"

Transkript

1 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach

2 Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes til ikkekommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet LATEX, se og De anvendte skrifttyper er Utopia Regular og Paratype Sans Narrow. Figurer og diagrammer er fremstillet i pgf/tikz, se Disse og andre noter kan downloades fra cbna

3 Forord Disse noter er skrevet til undervisning i et forkortet stx-grundforløb på ca. 2½ måned (ét af undervisningsministeriets rammeforsøg) på Tornbjerg Gymnasium, efteråret Indholdet dækker grundlæggende matematiske redskaber (brøkregning, ligningsløsning, etc.) samt lineære funktioner. Det har ikke været tanken, at noterne skal læses kronologisk; man kan evt. begynde med kapitel 7 om lineære funktioner, og inddrage de andre kapitler, når det bliver relevant. Noterne er opbygget således, at i. definitioner og sætninger er fremhævet i grå kasser, ii. blå tekst er (klikbare) henvisninger, iii. afslutningen på et bevis er markeret med, og iv. afslutningen på et eksempel er markeret med. Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium 3

4

5 Indhold 1 Tal og regningsarter Addition Subtraktion og negative tal Multiplikation Division Potenser og rødder Regningsarternes hierarki Brøkregning At forkorte og forlænge Addition og subtraktion Multiplikation og division Hele tal og brøker Lidt om fortegn Potenser og rødder Heltallige eksponenter Det udvidede potensbegreb Algebra Ensbenævnte størrelser Parenteser Toleddede størrelser Ligninger Ligningsløsning Nulreglen Eksponentielle ligninger To ligninger med to ubekendte Grafer og funktioner Variable og sammenhænge Proportionalitet Grafisk afbildning Funktioner Skæringspunkter Grafisk løsning af ligninger Lineære funktioner Hældning og skæring med akserne Beregning af forskriften Lineær vækst Lineær regression Bibliografi 53 Indeks 54 Formeloversigt 56 5

6

7 1 Tal og regningsarter En af grundstenene i matematikken er tallene. Tal bruges til mange forskellige formål: til at tælle med, til at måle størrelser, til at opregne overskud og gæld. I de næste par afsnit ses på forskellige typer af tal samt de fire regningsarter: addition (at lægge sammen), subtraktion (at trække fra), multiplikation (at gange) og division (at dele/dividere). De første tal, man lærer at kende, er de tal, man kalder de naturlige tal. Det er de tal man bruger til at tælle med, dvs. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,... Hvis man vha. et tal skal udtrykke, at der intet er, bruger man tallet 0, som dog ikke regnes med til de naturlige tal. 1.1 Addition Den simpleste af de fire regningsarter er addition, at lægge sammen. Denne regneoperation udtrykker på sin vis det samme, som man kan sige med ordet»og«. 1 Har man f.eks. en bunke med 7 stk. og en bunke med 11 stk. har man i alt»7 stk. og 11 stk.«, dvs. 18 stk. I matematikken skrives dette 1 Selve symbolet + kommer med al sandsynlighed fra ordet et, som betyder»og«på latin.[1] = 18. De to tal 7 og 11 kaldes led og resultatet 18 kaldes en sum. Da tegnet + udtrykker, at man lægger to værdier oven i hinanden, må det forventes, at rækkefølgen er ligegyldig, altså at Dette er også tilfældet = Subtraktion og negative tal Én ting, man ikke kan udtrykke vha. af de naturlige tal, er ideen om mangel eller gæld. Hertil kan man bruge de negative tal. 2 I første omgang kan 7 2 De negative tal er en forholdsvis ny opfindelse inden for matematikken. Helt op i det 18. århundrede, var der matematikere, der mente, at de negative tal ikke eksisterede.[3]

8 8 1 Tal og regningsarter man nøjes med at se på de negative hele tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 3 I regnestykket er der sat parentes om 3. Det gør man for at vise, at er et fortegn, dvs. det hører til tallet 3; en anden god grund er, at når man sætter parentesen, er det nemmere at se, at der både står et + og et. Helt generelt må man ikke skrive et fortegn lige efter et regnetegn uden at sætte en parentes. Man kan på sin vis sige, at ethvert negativt tal er et»modsat tal«til et positivt tal. Lægger man sammen får man f.eks ( 3) = 0 og ( 3) + 3 = 0. Man kan argumentere for, at ( 3) er det modsatte tal til 3, og at der derfor må gælde, at ( 3) + ( 3) = 0. Men fordi 3 + ( 3) = 0, må man have, at ( 3) = 3. Dette må gælde for alle tal (og ikke kun tallet 3). Vha. de negative tal kan man definere subtraktion som addition med det modsatte tal. Et eksempel kunne være 8 2 = 8 + ( 2). Dette kan også forklare hvorfor man ikke bare kan bytte rundt på tallene. 2 8 er ikke det samme som 8 2, da tegnet faktisk hører til 2-tallet. Når man lægger sammen er rækkefølgen til gengæld ligegyldig, så man kan gøre følgende 8 2 = 8 + ( 2) = Som man kan se, bliver tegnet ved med at stå foran 2-tallet. De to tal 8 og 2 i regnestykket kaldes ligesom ved addition for led, mens resultatet (6) kaldes en differens. 1.3 Multiplikation At gange to tal (multiplicere dem) er faktisk en udvidelse af at lægge sammen, idet f.eks. 7 gange { }} { 7 4 = = 28. Heraf ser man også, hvorfor tegnet» «kaldes»gange« Hvor man ved addition nemt kan argumentere for, at rækkefølgen er ligegyldig, er det måske lidt sværere umiddelbart at se, hvorfor 7 4 = 4 7, men det skyldes at tallet 4 7 kan betragtes som arealet af et rektangel, der er 4 på den ene led og 7 på den anden. Figur 1.1 giver et billede af denne ide. Figur 1.1: Man kan ud fra billedet argumentere for, at 7 4 = 4 7. Tallene, der ganges sammen (her 7 og 4) kaldes faktorer, og resultatet (28) kaldes produktet af de to tal.

9 1.4 Division 9 Fortegn Det er simpelt at argumentere for, hvordan man ganger positive tal sammen; men hvad sker der, når man blander negative tal ind i regnestykkerne? Hvis man ser på de negative tal som gæld, er det naturligt at fortolke et regnestykke som 6 3 på den måde, at man gør en gæld på 6 stk. 3 gange så stor, hvilket giver en gæld på 18. Dvs. 6 3 = 18. Da rækkefølgen, man ganger i, er ligegyldig, gælder der så også, at 4 3 ( 6) = 18. Hvis man ganger et positivt tal med et negativt (eller omvendt) bliver resultatet altså negativt. 4 Bemærk parentesen om 6; den sætter man for at vise at fortegnet hører til 6- tallet (og den er ikke valgfri). For at finde ud af, hvad der sker, når man ganger to negative tal med hinanden, kan man bruge følgende argument: 2 ( 4) må være det modsatte tal til 2 ( 4). Og da 2 ( 4) = 8, må 2 ( 4) = ( 8) = 8. Når man ganger to negative tal med hinanden, bliver resultatet altså positivt. Fortegnsreglerne for multiplikation kan ses samlet i tabel Division Hvis 2 venner skal dele 6 colaer får de 3 hver. Regnestykket man udfører, er en division: 6 2 = 3. Tallet, som bliver delt (her 6), kaldes en dividend, mens tallet der deles med (2) kaldes en divisor. Resultatet af divisionen kaldes en kvotient. At dividere (eller dele) er det modsatte af at gange. Det, man finder svaret på, er i virkeligheden spørgsmålet: Hvilket tal skal man gange med 2 for at få 6? 5 Division resulterer ikke altid i et helt tal. Det er derfor nødvendigt at indføre nogle flere tal, nemlig brøkerne, dvs. tal som f.eks. 1 2, 5 3 og Brøker er ikke helt så nemme at arbejde med som hele tal; hvordan lægger man f.eks. 1 2 og 2 3 sammen? De metoder, man anvender til det, kan faktisk udledes af alt det ovenstående. Da der er en del at argumentere for, følger det dog først i et senere afsnit. Tabel 1.1: Fortegnsregler for multiplikation. Regler Eksempler (+) (+) = (+) 2 3 = 6 (+) ( ) = ( ) 2 ( 4) = 8 ( ) (+) = ( ) ( 3) 5 = 15 ( ) ( ) = (+) ( 5) ( 2) = 10 5 Det forklarer også, hvorfor man ikke kan dividere med 0. Resultatet af regnestykket 4 0 er svaret på spørgsmålet: Hvad skal jeg gange med 0 for at få 4? Men da et tal ganget med 0 altid giver 0, kan et tal ganget med 0 aldrig give 4. Det giver derfor slet ikke mening at dividere med 0. Fortegn Man kan se division som en skjult multiplikation. Regnestykket 6 2 = 3 kan også skrives på følgende måde = 3.

10 10 1 Tal og regningsarter Men hvis division kan laves om til multiplikation, så må der gælde de samme fortegnsregler ved division som ved multiplikation. Tabel 1.2: Fortegnsregler for division Regler (+) Eksempler (+) = (+) 6 2 = 3 (+) ( ) = ( ) 10 5 = 2 ( ) (+) = ( ) 14 2 = 7 ( ) ( ) = (+) 18 3 = 6 Altså må f.eks = 4, 14 2 = 7 og 18 6 = 3. Fortegnsreglerne for division kan ses samlet i tabel 1.2. Decimaltal Ofte bliver tal, som ikke er hele, skrevet som decimaltal i stedet for som brøker. Et eksempel på et decimaltal kunne være 1,472. Dette tal kunne f.eks. være længden af et bord målt i meter. I princippet er et decimaltal en slags sum af brøker, idet 1,472 = Dette behøver man dog ikke tænke på, hver gang man anvender decimaltal. 6 Dette gælder også f.eks. for 1 2. Selv om dette kan skrives som 0,5 er det mere præcist at skrive 1 2. Skriver man 0,5 kan læseren ikke se, om tallet rent faktisk har uendeligt mange 0 er efter 5-tallet, eller man har rundet af fra f.eks. 0,496. I praksis kan ethvert tal skrives som decimaltal, f.eks. er 1 2 = 0,5 1 3 = 0, = 1, Som man kan se af de nederste to tal i eksemplet, har man dog nogle gange brug for at skrive uendeligt mange decimaler for at skrive tallet præcist som decimaltal. En brøk kan altså regnes for at være mere præcist end et decimaltal. 6 En anden ting, man kan se af eksemplet, er, at selvom f.eks ikke kan skrives præcist som decimaltal, så er der dog et mønster i decimalerne. Det er den samme række af tal, der bliver gentaget. Det gælder for alle tal, der kan skrives som en brøk, at når man skriver dem som decimaltal, vil de enten have et endeligt antal decimaler eller de vil gentage det samme mønster i det uendelige. Sådanne tal kaldes rationale tal. Irrationelle tal Hvis man skriver en brøk om til et decimaltal, så får man enten et endeligt antal decimaler, eller et uendeligt antal decimaler med et gentagende mønster. Heraf følger, at hvis man har et decimaltal med et uendeligt antal decimaler, som ikke har et mønster i decimalerne, så kan det pågældende tal ikke skrives som en brøk. Men kan man overhovedet forestille sig, at der findes tal, som ikke kan skrives som en brøk? Det viser sig, at der faktisk findes uendeligt mange af sådanne tal.

11 1.5 Potenser og rødder 11 Et meget kendt eksempel er tallet π, der er forholdet mellem diameteren og omkredsen i en cirkel. 7 Med 20 decimaler er π = 3, Her ses intet mønster i decimalerne, og det kommer der heller ikke, uanset hvor mange decimaler, man regner ud. 7 Det er en udbredt misforståelse, at tallet π er lig Men 22 7 er blot en tilnærmelse; faktisk er π og 22 7 forskellige allerede efter 3. decimal. De tal, som ikke kan skrives som brøker, kaldes for de irrationale tal. De rationale og de irrationale tal udgør tilsammen de tal, man kalder de reelle tal. Hvis man forestiller sig tallene som punkter på en tallinje, så udgår de reelle tal alle tallene på linjen. Ud fra ovenstående gennemgang kan man nu inddele tallene i forskellige grupper: De naturlige tal tælletallene, 1, 2, 3, 4,... De hele tal som også inkluderer de negative:..., 3, 2, 1,0,1,2,... De rationale tal alle de tal, der kan skrives som brøker også negative. 8 De reelle tal alle tal. 8 De hele tal er også rationale, idet ethvert helt tal kan skrives som en brøk; f.eks. er 4 = og 5 = Potenser og rødder Ligesom 4 3 kan ses som en kort måde at skrive på, har man en måde at skrive f.eks på. Da der er fire 5-taller, der ganges sammen, skriver man i stedet 5 4. Altså 9 4 gange { }} { 5 4 = Tallet 5 kaldes her grundtallet og 4 kaldes eksponenten. 5 4 kaldes»5 i fjerde«eller»den 4. potens af 5«. Den modsatte regneoperation kaldes roduddragning. Man kan f.eks. beregne den fjerde rod af 81, den tredje rod af 125, 10 Bemærk, at det ikke hedder den anden rod men kvadratroden, og at man her ikke skriver 2-tallet. Man skriver altså 49 og ikke den femte rod af 32, 49 kvadratroden af 49. Resultatet af regnestykkerne er 4 81 = 3 fordi 3 4 = = 5 fordi 5 3 = = 2 fordi 2 5 = = 7 fordi 7 2 = 49. Der er en masse regneregler, man kan bruge, når man regner med potenser og rødder; disse gemmes til et senere afsnit.

12 12 1 Tal og regningsarter 1.6 Regningsarternes hierarki Når man skal udføre et regnestykke som f.eks , bliver man nødt til at vide i hvilken rækkefølge, man skal udføre de forskellige trin. Skal man f.eks. lægge 7 og 5 sammen først, eller skal man udregne 3 2 først? 11 Rækkefølgen af regneoperationer følger af, at udregninger skal give logisk mening. At man skal gange, før man lægger sammen, kan man f.eks. se ved at huske, at 4 3 = Derfor må = , og derfor bliver man nødt til at gange sammen først (med mindre man vil skrive alle gangestykkerne om til plusstykker). Derfor har man nogle regler for, hvilken rækkefølge man skal regne i, sådan at man kan sikre sig, at alle får samme (og rigtige) resultat ud af et regnestykke. 11 Sætning 1.1 (Regningsarternes hierarki) Når man skal udføre et regnestykke, skal udregningerne foregå i denne rækkefølge: 1) Først udføres potensopløftning og roduddragning. 2) Dernæst udføres multiplikation (gange) og division. 3) Til sidst lægger man sammen og trækker fra. Denne rækkefølge kan kun ændres ved brug af parenteser. Står en del af en udregning i parentes, skal den betragtes som et lille regnestykke for sig selv, som altid skal udregnes først. Et par eksempler på udregninger kunne være, Eksempel 1.2 Et eksempel på anvendelse af regningsarternes hierarki: = Først beregnes potensopløfning. = Så ganges der. = 2 Til sidst trækkes der fra. Eksempel 1.3 Et eksempel, hvor der indgår parenteser: (6 + 2) = Parentesen udregnes først. = Så uddrages rødder. = Dernæst ganger man. = 52 Til sidst lægger man sammen. Man kan altså komme igennem et regnestykke ved at følge hierarkiet fra øverst til nederst og tage hensyn til eventuelle parenteser. Skjulte parenteser Når der i foregående afsnit tales om parenteser, gælder det også i de tilfælde, hvor man måske ikke umiddelbart tænker over, at der faktisk står en parentes.

13 1.6 Regningsarternes hierarki 13 I et regnestykke som er det givet, at man skal udregne først. Når en division er skrevet vha. en brøkstreg bliver der altså på sin vis introduceret parenteser, som man skal tage hensyn til, når man gennemfører udregningen. Det samme står man overfor, når man uddrager rødder. F.eks. skal man i regnestykket 17 8 beregne 17 8, før man tager kvadratroden. Eksempel 1.4 I de følgende fire regnestykker er det vist eksplicit, hvor man skal sætte de parenteser, som er underforståede: (3 + 9) = = 50 (7 2) = 7 (2+1) = (7 + 9) = (5 2) 8 Det er vigtigt at huske disse parenteser, når man regner; især hvis man taster regnestykket ind på en lommeregner. Eksemplet er ikke udtømmende, der kan sagtens findes andre typer af regnestykker, hvor der er en underforstået parentes. Som hovedregel gælder, at hvis noget ligner en afgrænset del af en udregning, så er det det nok også.

14

15 2 Brøkregning En brøk er et tal, der betegner et antal dele af en enhed. En brøk skrives som to hele tal med en vandret streg imellem: 2 3, 7 4, Den vandrette streg kaldes en brøkstreg, det øverste tal kaldes tælleren, og tallet under brøkstregen kaldes nævneren. 1 Brøken 2 3 er den størrelse, man får, når man deler 1 hel i 3 dele, og tager 2 af dem. En brøk kan også fortolkes som det præcise resultat, man får, når man dividerer tælleren med nævneren. Hvis man skal visualisere størrelsen af en brøk i forhold til de hele tal, kan det gøres vha. tallinjen (se figur 2.1). 2.1 At forkorte og forlænge Hvis en brøk kan fortolkes som det resultat, man får, når man dividerer tæller med nævner, så kan man jo forestille sig, at regnestykket går op, dvs. resultatet bliver et helt tal. Nogle brøker kan altså skrives om til hele tal, f.eks = 2, 36 9 = 4, 27 3 = 9. Selvom regnestykket ikke går op, så er det nogle gange muligt at gøre tæller og nævner mindre; det kalder man at forkorte brøken. Det kan man, når der findes et tal, som går op i både brøkens tæller og nævner. 1 Tæller og nævner kan være hvilke som helst hele tal, også negative; dog må nævneren ikke være Figur 2.1: De to tal 2 3 og 2 5 placeret på tallinjen. 2 Omvendt kan de hele tal forstås som de brøker, der har den underforståede nævner 1, f.eks 8 = 8 1. Situationen er illustreret på figur 2.2. Her kan man se, at 4 6 = 2 3. Det kan man også regne sig frem til, hvis man opdager, at tallet 2 går op i både tæller og nævner i brøken 4 6. Da en brøk er et udtryk for forholdet mellem tæller og nævner, ændrer den ikke størrelse, hvis tæller og nævner deles 4 med samme tal. Altså er = 4 / 2 6 / 2 = Man ændrer ikke brøkens værdi ved at forkorte. Tallet har præcis samme størrelse som før, man har blot gjort det mere læsevenligt og nemmere at regne med, idet tæller og nævner er blevet mindre. 0 1 Figur 2.2: Man kan se ud af de to tallinjer, at 4 6 =

16 16 2 Brøkregning Eksempel 2.1 Et par yderligere eksempler på, hvordan man forkorter brøker: = 15 / 3 36 / 3 = 5 12, = 24 / 8 56 / 8 = 3 7, = 27 / 9 18 / 9 = Det er vigtigt at huske, at man skal dividere eller gange med samme tal i både tæller og nævner. Ellers ændrer man brøkens værdi. Når man kan dividere med samme tal i tæller og nævner uden at ændre brøkens værdi, så kan man også gange. 3 Herved bliver både tæller og nævner større, og det virker ikke umiddelbart smart; men det viser sig at være brugbart, når man skal lægge brøker sammen mere om det i næste afsnit. Her vises blot et par eksempler på, hvordan man forlænger en brøk. Eksempel 2.2 Hvis man forlænger 3 4 med 5, får man Forlænger man 8 5 med 3, får man 3 4 = = = = Addition og subtraktion Figur 2.3: Regnestykket = 6 5 illustreret på tallinjen Det viser sig, at man kun kan lægge brøker sammen, hvis de har samme nævner. Hvis det er tilfældet, lægger man blot tællerne sammen. F.eks. er = = Dette regnestykke er illustreret på figur 2.3. Uanset hvor meget man gerne vil, kan man ikke lægge brøker sammen, der har forskellige nævnere. Ikke desto mindre ville det være rart at kunne beregne f.eks Hvis man kun kan lægge brøker sammen, der har samme nævner, må man derfor på en eller anden måde sørge for, at de to brøker får samme nævner. kan man for- Dette gør man ved at forlænge brøkerne. I tilfældet længe 1 4 med 3 og 2 3 med 4; så får man = = = Når man forlænger på denne måde, får begge brøkerne nævneren 12, og man kan så lægge dem sammen. 4 Men det er ikke altid nødvendigt. Nogle gange kan man nøjes med at forlænge med to mindre tal og stadig få samme nævner på de to brøker. I regnestykket ser man, at man forlænger den ene brøk med den andens nævner (og omvendt). Denne teknik virker altid. 4

17 2.3 Multiplikation og division 17 Eksempel 2.3 Et par eksempler på, hvordan man lægger brøker sammen: = = = 5 6, = = = 85 44, = = = I den sidste udregning ses, at det ikke altid er nødvendigt at forlænge begge brøker for at få fælles nævner. 5 Hvis man skal trække brøker fra hinanden, så fungerer det på samme måde, som når man lægger sammen. Man kan kun trække en brøk fra en anden brøk, hvis de har samme nævner. F.eks = = Det er ofte en fordel at forlænge med så små tal, som overhovedet muligt, fordi små tal simpelthen er nemmere at regne med. Har de to brøker ikke samme nævner, så må man forlænge, sådan at de får den samme nævner. Eksempel 2.4 Her er tre eksempler på, hvordan man trækker brøker fra hinanden = = = 14 15, = = = 3 8, = = = Det er i øvrigt god stil at forkorte resultatet så meget som muligt (hvis det kan forkortes). 2.3 Multiplikation og division En af de måder, man kan finde ud af, hvordan man ganger tal sammen på, er ved at betragte produktet som et areal. Man finder som bekendt arealet af et rektangel ved at gange længden med bredden. Resultatet af et regnestykke som vil altså være arealet af et rektangel, som er 4 5 langt og 2 3 bredt. På figur 2.4 kan man se resultatet af regnestykket illustreret. Her ses, at = Hvis man ser nærmere på figuren, kan man se, at antallet af fyldte rektangler (resultatets tæller) fås ved at gange de to tællere (4 og 2) sammen. Antallet af små rektangler som 1 hel deles op i finder man ved at gange de to nævnere (5 og 3). Samlet set er altså = = Figur 2.4: Illustration af =

18 18 2 Brøkregning Brøker bliver altså ganget sammen, ved at man ganger tæller med tæller og nævner med nævner. Eksempel 2.5 Et par eksempler på gangestykker: = = 15 14, = = 28 99, = = Den sidste type regnestykke, der gennemgås i dette kapitel er division. Som eksempel kan man se på regnestykket 6 Dette regnestykke er udtryk for en generel regel: Når man ganger en brøk med dens omvendte, bliver resultatet 1. 4 / For at finde ud af, hvad dette giver er det nødvendigt først at konstatere, at = = = 1. Hvis man tager det oprindelige regnestykke 4 2 7/ 5 og ganger det med 1, så ændrer man ikke noget ved resultatet, dvs. man kunne lige så godt have skrevet 4 / Men når man ved, at = 1, så kan man også skrive det som 4 / ( ). 2 Rækkefølgen, man ganger og dividerer i, er uden betydning. Så man kan uden videre flytte parentesen, så der i stedet står ( 4 / ) Nu står der inde i parentesen, at 4 7 skal divideres med 2 5, hvorefter man skal gange med 2 5. Da division og multiplikation virker modsat hinanden, gør det i virkeligheden intet ved tallet 4 7. Man kan derfor i virkeligheden fjerne det, og nøjes med at skrive ( ) , som er det samme som Hele vejen igennem er der regnet på det samme regnestykke. Derfor må man kunne konkludere, at 4 7 / 2 5 = Man dividerer altså med en brøk ved at gange med den omvendte brøk.

19 2.4 Hele tal og brøker 19 Eksempel 2.6 Et par eksempler: 3 / = = 15 56, 1 / 11 5 = = 5 22, / 3 13 = = Hele tal og brøker Hvis der indgår hele tal i en udregning med brøker, så er den nemmeste måde at regne videre på simpelthen at lave de hele tal om til brøker. Dette kan man gøre ved at give dem nævneren 1. F.eks. er 8 = 8 1, 12 = 12 1 og 3 = 3 1. Herefter bliver regnestykkerne nemmere, idet man jo nu kun har brøker. Eksempel 2.7 Som eksempel kan man se på regnestykket Laver man 2-tallet om til en brøk, får man For at man kan lægge de to brøker sammen, skal de have fælles nævner. Det kan man få ved at forlænge 2 1 med 4: Resultatet er altså Eksempel 2.8 Hvis man skal udføre divisionen 4 3 er Lidt om fortegn = = = / 5, så laves 5-tallet om til brøken 5 1. Så / 5 1 = = Hvis man skal regne med fortegn i brøkregnestykker, foregår det på nøjagtigt samme måde, som når man dividerer, idet en brøk kan fortolkes som en division. Når man dividerer et positivt tal med et negativt eller et negativt med et positivt, er resultatet negativt. Derfor er f.eks = Man skriver derfor som regel fortegnet uden for brøken, dvs. 6 11

20 20 2 Brøkregning Når der står et minus uden for brøken, betyder det altså blot, at resultatet er negativt; og da man får samme resultat, hvad enten minusset sættes på tælleren eller nævneren, er det i princippet ligegyldigt, hvor minusset står, så længe der kun er ét. Er der placeret et minus på både tæller og nævner, dividerer man to negative tal med hinanden, og så bliver resultatet positivt. Altså 13 7 = Hvis man har et længere gange- og divisionsstykke, kan man afgøre fortegnet for resultatet ved at huske, at alle par af minusser»forsvinder«. Hvis der er et lige antal minusser i regnestykket, bliver resultatet positivt, er antallet af minusser ulige, bliver resultatet negativt.

21 3 Potenser og rødder I dette kapitel beskrives nogle af de regneregler, der gælder for potenser og rødder. Først gennemgås potenser med heltallig eksponent, derefter ses på, hvordan dette kan udvides til også at omfatte eksponenter, som er brøker eller negative tal. 3.1 Heltallige eksponenter Potensopløftning virker som bekendt på følgende måde: 1 5 gange { }} { 3 5 = I regnestykket 3 5 kaldes 3 for grundtallet og 5 kaldes eksponenten. Roduddragning er den modsatte regneoperation, så f.eks. er 4 16 = 2, fordi 2 4 = 16. Hvis man ganger to potenser med samme grundtal, kan man f.eks. gøre følgende: = 6 gange { }} { = }{{} } 7 {{ 7 7 } = gange 4 gange Dividerer man to potenser med samme grundtal, kan man lave en udregning som denne: dvs = = 4 4 = 4 2, = Har man to potensopløftninger efter hinanden, får man: 3 gange à 4 { }} { (2 4 ) 3 = (2 } 2 {{ 2 2 } ) (2 } 2 {{ 2 2 } ) (2 } 2 {{ 2 2 } ) = = gange 4 gange 4 gange Når man har set på, hvad der sker, når man regner på to potenser med samme grundtal, er det næste, man kan se på, hvad der sker, når man har to potenser med samme eksponent. 21

22 22 3 Potenser og rødder Ganger man to potenser med samme eksponent, kan man f.eks. få følgende: = = = (5 2) (5 2) (5 2) = (5 2) 3. Ved division, sker dette: = = ( ) =. 3 Alle disse udregninger kan generaliseres til 5 regneregler for potenser. Sætning 3.1 Hvis m og n er to naturlige tal og a og b er to vilkårlige tal, gælder følgende 1) a m a n = a m+n. 2) Hvis a er forskellig fra 0 og m > n er am a n = a m n. 3) (a m ) n = a m n. 4) a n b n = (a b) n. 5) Hvis b er forskellig fra 0 er an b = ( ) a n. n b 3.2 Det udvidede potensbegreb I dette afsnit udvides potensbegrebet til også at omfatte eksponenter, som ikke er hele, positive tal. Her opstår der et interessant spørgsmål: Hvad der menes med 5 4 er til at forstå; men hvordan skal man fortolke f.eks. 2 7 eller 3 1 4? Det, man gør i praksis for at definere, hvordan disse»skæve«eksponenter skal forstås, er at kræve, at regnereglerne i sætning 3.1 skal gælde, uanset hvilke værdier eksponenterne har. Ud fra dette finder man, at potensopløftning, hvor eksponenten er et negativt tal eller en brøk, kun kan fortolkes på én måde. Regner man f.eks. på 5 0, finder man vha. regel 2 i sætning 3.1, at 2 Bortset fra 0, da man ikke må dividere med 0. 3 Her udnytter man, at det lige er vist, at 5 0 = 1, 6 0 = 1, 43 0 = 1, osv. 5 0 = = = 1. Man kunne her lige så godt have set på et andet grundtal end 5; vha. samme type udregning kan man f.eks. vise, at 7 0 = 1. Udregningen vil altså kunne generaliseres til alle tal. 2 Har man en potensopløftning med en negativ eksponent, kan man igen udnytte samme regneregel og få = = = Dette regnestykke kan også gennemføres med andre tal, så man f.eks. finder, at 13 7 = Argumentet går godt for alle grundtal bortset fra 0.

23 3.2 Det udvidede potensbegreb 23 For at man kan sige noget om potensopløftning med brøker som eksponent, kan man bruge regel 3 i sætning 3.1, til at beregne f.eks. (8 1 3 ) 3. Det giver Men der gælder også, at 4 Derfor må (8 1 3 ) 3 = = 8 1 = 8. ( 3 8) 3 = = 3 8. Dette kan forklare, hvordan man skal fortolke situationen, hvis eksponenten er 1 2, 1 7 eller 1 73 ; men det siger intet om, hvad der sker, hvis eksponenten er en brøk, hvor tælleren ikke er 1. 4 Fordi roduddragning er det modsatte af potensopløftning. Her kan man i stedet se på følgende udregning = = (4 5 ) 1 7 = Hvis potensregnereglerne skal gælde for alle tal, har man derfor følgende definition. Definition 3.2 Der gælder følgende definitioner. 1) a 0 = 1 (hvis a 0). 2) a n = 1 a n (hvis a 0). 3) a p q = q a p. For de udvidede potenser gælder i øvrigt samme regneregler, som for de heltallige potenser, 5 så man har følgende sætning. Sætning 3.3 Der gælder følgende regneregler 5 Det var netop dette krav, der førte til definition ) a x a y = a x+y. 2) (a x ) y = a x y. 3) ax a y = ax y. 4) a x b x = (a b) x. 5) ax ( a ) x. b x = b Da roduddragning i virkeligheden er et specialtilfælde af potensopløftning, kan man også udlede følgende sætning. 6 6 De to regneregler følger af, at f.eks. Sætning 3.4 Hvis a > 0 og b > 0, gælder der 1) x a x b = x a b. 2) x a x b = x a b = = (5 2) 1 3 = = ( ) = =

24 24 3 Potenser og rødder I sætning 3.4 er der ingen regneregel for de to udtryk x a y a og x a y a. Det skyldes, at det i dette tilfælde altid er nemmest at omskrive til potensopløftning, før man reducerer. Hvis man vil, er det dog muligt at reducere de to udtryk og udlede en formel. Dette overlades som en øvelse til læseren.

25 4 Algebra Algebra er en samlet betegnelse for de regler, der gælder, når man regner med tal. I matematikken har man nogle gange brug for at regne med tal, hvis værdi man ikke kender. Sådanne tal kaldes»ubekendte«. I stedet for det ukendte tal skriver man et bogstav, f.eks. x, y, a eller A. 1 Hvis man har et regnestykke, hvori der indgår tal, man ikke kender, kan man af gode grunde ikke beregne et endeligt resultat. Men man kan nogle gange forsimple regnestykket, så man ikke skal regne nær så meget, når man endelig får det ukendte tals værdi at vide. 1 I matematikken skelner man mellem store og små bogstaver a og A er altså ikke det samme tal. Idet f.eks. ved man, at = 3 5, x + x + x = 3 x, uanset hvilken værdi, x har. Ud fra samme betragtning giver f.eks = 8 4, at x x x x = x 4. Så det, man anvender de algebraiske regler til, er at forsimple regneudtryk og formler, sådan at de bliver nemmere at arbejde med. De regneregler, man anvender, er som sagt de sædvanlige regneregler for, hvordan man regner med tal. Dette skyldes, at bogstaverne jo netop også er tal. Der er dog en enkelt lille detalje i notationen, som er vigtig at vide: I algebraiske udtryk er det normalt, at man ikke skriver gangetegn mellem størrelser, hvis man kan undlade dem og stadig forstå regnestykket. 2 Derfor er 4p = 4 p 3x y = 3 x y 5w 2 = 5 w 2 2y 3 z = 2 y 3 z 7ab 2 = 7 a b 2 2(x + y) = 2 (x + y) (5 x)(2 x) = (5 x) (2 x) 2 Når man regner med tal, er det nødvendigt at skrive gangetegnene, sådan at man kan skelne 73 fra 7 3. Dette er ikke nødvendigt med f.eks. 7x. 25

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1m 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt matematik grundbog trin preben bernitt matematik grundbog -udgave 00 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM) Silkeborg 0-05-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM) Udarbejdet af matematiklærere fra HF, HHX, HTX & Det Almene Gymnasium.

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. af Rasmus Axelsen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. af Rasmus Axelsen Matema10k Matema10k Matematik for hhx C-niveau af Rasmus Axelsen Matema10k. Matematik for hhx C-niveau 1. udgave, 1. oplag, 2013 Forfatteren og Bogforlaget Frydenlund ISBN 978-87-7118-253-8 Redaktion:

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere