Opstilling af differentialligningsmodel til beregning af provision ved salg af energianlæg.

Transkript

1 pstilling af differentialligningsmodel til eregning af provision ved salg af energianlæg. af John V. Petersen Vi skal finde en funktion, som eskriver provisionen y(x) ved salg af energianlæg til salgsprisen x. Der skal gælde, at provisonen skal stige i takt med at salgsprisen stiger. Men stigningen skal gradvis aftage sådan, at provisionen når en øvre grænse, hvor den stort set ikke stiger mere. Stigningens aftagen skal være eksponentielt aftagende. Prisen for disse anlæg er i størrelsesordenen 1 millioner til 1 millioner For at gøre tallene enklere at arejde med anvender vi enhederne: 1 7 som enhed for x. g 1 5 som enhed for y. dvs. 1 millioner = 1, $1 7, og 1 millioner = 1, $1 7, Nu skal vi opstille en differentialligningsmodel: Ved en lille ændring i salgspris (x), vil provisionen y(x) = y stige lidt. Men stigningen skal live mindre og mindre jo højere salgsprisen er. g provisionen skal nærme sig en højeste værdi (y = m), som grænseværdi for x / N. g der skal gælde, at y() =. Desuden er to ønskede værdisammenhænge for x og y x : x, y =, og x, y = 6, 3.6 Hvilket svarer til, at y $1 7 = $1 5 og y 6$1 7 = 3.6$1 5. model: dy dx = k$ek$x Her liver dy mindre og mindre, hvis e K! 1 : e K! 1 5 1! e 5. dy dx = k$ek$x 5 dy = k$e K$x dx Vi ruger t som integrationsvariael, for at gøre integrationen mere overskuelig. Vi integrerer: y går fra til y. g t går fra til x. int k e K t, t =..x ; dvs. y x = K k K1CeK x K k K1CeK x = k $ 1 K ek x (1) y x = k $ 1 K ek x Vi lader x/n: y x / k for x/n Funktion ved salg af energianlæg af John V. Petersen side 1 / 5

2 Vi sætter k = m. g vi enævner y x = f x. f x = m$ 1Ke K$x fdx/m$ 1Ke K$x ; f := x/m 1Ke K x () Vi skal nu finde konstanter m (maksimal etaling) og så funktionen opfylder: f = og f = og f 6 = 3.6 er uafhængige og afhængige variale for denne funktion. with RealDomain : solve m$ 1Ke K$ =, m$ 1Ke K$6. = 3.6, m, ; = , m = Den endelige funktion, som opfylder ovenstående: (3) f x = $ 1K e K $x with plots : fdx/ $ 1Ke K $x ; K1 $ x f := x/ Ke g d x/ ; g := x/ graf d plot f x, x =..3, view =..3,..5, thickness = : maxetalingdplot g x, x =..3, view =..3,..5, color = lue : punkter d pointplot,, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot,, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot.14953, , color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot 6, 3.6, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot, , color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18 : display graf, maxetaling, punkter ; (4) (5) Funktion ved salg af energianlæg af John V. Petersen side / 5

3 5 f(x) 4 * 1 5 max. etal.: f(x) = * x 3 x x 6 f x punkterdarray f, f, f.14953, f 6, f ; punkter := er den salgspris hvor f x = 1 $ m (6) Vi vil nu se på, hvordan provisionen nærmer sig m (den maksimale etaling). Hvor meget mindskes differensen mellem m og den aktuelle etaling ( f x ), for hver enhed (1 7. d x = mkf x = mk m$ 1Ke K$x = mkmcm$e K$x = m$e K$x d x = m$ e K x = m$a x, e K x = x = a x, a = d x = $ x. Funktion ved salg af energianlæg af John V. Petersen side 3 / 5

4 Vi ser, at differensen d x mindskes med % for hver enhed 1 7 af salgsprisen. a = 1Cr 5 r = a K 1 = K Hvis vi starter fra x = : afstanden er $1 5, som vi sætter til 1 % = 1. Det er netop funktionen d x = m$a x, hvor vi sætter m = 1. d x = a x er den salgspris hvor d x = 1 $ m = 1 $ $ 15. = ln = $ 1 7 = x d x i % a a 1 a a 6 a 1 a d x i % d x i % 1 % % 5. % % %.158 % Herunder plotter vi grafen for d x : restart; with plots : d d x/ x ; d := x/ x graf d plot d x, x =.., view =..5,..1., thickness = : punkter d pointplot, 1, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot 1, , color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot.14953,.5, color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot 6, , color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot 1, , color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot 15, , color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18, pointplot, , color = green, symol = solidcircle, symolsize = 18 : display graf, punkter ; (7) Funktion ved salg af energianlæg af John V. Petersen side 4 / 5

5 1, % 1 = 1 %,8 d x i %,6 d x tæt på, er provision tæt på max. etaling.,4, * X 5 x Funktion ved salg af energianlæg af John V. Petersen side 5 / 5