Opgave 1.1 Gennem en måned i 2007 var de daglige benzinpriser (kr/liter) i Aalborg givet ved tallene i tabel 1.1.

Transkript

1 Kapitel 1 Deskriptiv statistik I Opgave 1.1 Gennem en måned i 2007 var de daglige benzinpriser (kr/liter) i Aalborg givet ved tallene i tabel 1.1. Tabel 1.1: Daglige benzinpriser i Aalborg gennem en måned i ,07 10,31 10,18 10,23 9,98 9,87 9,86 9,95 9,73 9,60 9,52 9,49 9,38 9,78 9,45 9,23 9,11 8,99 9,12 9,15 9,21 9,78 10,21 10,34 10,40 10,56 10,78 11,02 11,07 11,12 a) Gruppér disse data efter nedenstående intervaller: 8,75-9,00; 9,00-9,25; 9,25-9,50; 9,50-9,75; 9,75-10,00; 10,00-10,25; 10,25-10,50; 10,50-10,75; 10,75-11,00; 11,00-11,25 b) Beregn frekvenserne og tegn pindediagrammet. c) Beregn middelværdien, variansen og standardafvigelsen. Opgave 1.2 Serviceafdelingen i mobiltelefoni-selskabet Talk2Talk modtager telefonopkald fra kunderne. Afdelingens leder har opsamlet data omkring den enkelte kundes ventetid, dvs. tiden fra kunden blev omstillet fra det centrale omstillingsbord indtil kunden blev betjent af en medarbejder. Resultaterne var som i tabel 1.2. a) Beregn de relative frekvenser for hvert interval. b) Tegn histogrammet for observationerne. c) Bestem middelværdien, variansen og spredningen. Opgave 1.3 Virksomheden BikeCourier tilbyder bl.a. budservice ved hjælp af cykelbude, som opererer inden for Århus. En væsentlig konkurrenceparameter er transporttiden, dvs. den tid der går, fra en forsendelse afhentes hos afsender, til den leveres hos modtageren.

2 1. Deskriptiv statistik I 2 Tabel 1.2: Ventetider og antal kunder hos mobilselskabet Talk2Talk Ventetid Antal kunder Mindre end 15 sekunder sekunder sekunder sekunder sekunder sekunder sekunder sekunder sekunder sekunder sekunder sekunder eller mere 153 For at få et bedre overblik over transporttiden har BikeCourier registreret denne for 1000 tilfældigt valgte forsendelser. Man har ved registreringen optalt hvor mange forsendelser som nåede frem inden for 1 time, mellem 1 og 2 timer, osv. Talmaterialet er i tabel 1.3. Tabel 1.3: Transporttider for 1000 forsendelser hos BikeCourier Transporttid (timer) Antal forsendelser a) Beregn den gennemsnitlige transporttid samt standardafvigelsen af transporttiden. b) Tegn histogrammet for observationerne. Opgave 1.4 På et aftenskolehold i Finere Madlavning for Mænd var aldersfordelingen som i tabel 1.4. Tabel 1.4: Aldersfordelingen på et aftenskolehold

3 1. Deskriptiv statistik I 3 a) Beregn den gennemsnitlige alder og spredningen på alderen på aftenskoleholdet. b) Gruppér data efter inddelingen 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60, 60-70, år, hvor en person på eksempelvis 20 år kommer med i kategorien og ikke år. c) Tegn et histogram, som viser frekvensfordelingen på aftenskoleholdet. d) Beregn den gennemsnitlige alder og spredningen på alderen på aftenskoleholdet ud fra de grupperede data opnået i delopgave b). e) Hvorfor får man ikke de samme resultater i delopgave a) og d)? Hvilken opgørelsesmåde er den mest korrekte? Opgave 1.5 Ved den skriftlige eksamen i statistik, juni 2007, fordelte karaktererne for hele landet sig som i tabel 1.5. Tabel 1.5: Karakterfordelingen i statistik, juni 2007 Karakter Antal a) Tegn pindediagrammet og sumkurven for disse data. b) Bestem middelværdien og standardafvigelsen for karakterfordelingen. c) For at bestå skal eleverne opnå karakteren 6 eller derover. Bestem andelen af studerende, som bestod eksamen. Opgave 1.6 I en markedsundersøgelse har supermarkedet Æblekøbing Megakøb blandt andet spurgt 300 kunder om deres generelle tilfredshed. Svarene er angivet på en skala, hvor 1 er det dårligste og 5 er det bedste. Resultatet fremgår af tabel 1.6. Tabel 1.6: 300 kunders generelle tilfredshed med Æblekøbing Megakøb Tilfredshedsgrad Antal a) Beregn den gennemsnitlige tilfredshedgrad og standardafvigelsen herpå. c) Tegn pindediagrammet.

4 1. Deskriptiv statistik I 4 Opgave 1.7 I en markedsundersøgelse har supermarkedet Æblekøbing Megakøb blandt andet spurgt 300 kunder om dels deres alder, dels hvor lang tid, de om ugen bruger på indkøb af dagligvarer i supermarkeder mv. Resultatet er vist i tabel 1.7. Tabel 1.7: Tid brugt på indkøb pr. uge, fordelt på aldersgrupper Alder 0 - ½time ½time 1 time Over 1 time I alt Under 25 år år 60 år Over 60 år I alt a) Bestem andelen af kunder, som bruger mere end 1 time ugentligt på indkøb af dagligvarer. b) Bestem andelen af kunder med en alder mellem 25 og 60 år, som bruger under en halv time om ugen på indkøb af dagligvarer. c) Bestem andelen af kunder med et ugentligt forbrug på indkøb af dagligvarer på under en halv time, som har en alder mellem 25 og 60 år. Opgave 1.8 I forbindelse med en valg af en ny underleverandør af komponenter til computere har en computerfabrikant undersøgt to mulige underleverandører. Fabrikanten har undersøgt 87 komponenter fra den ene leverandør og 113 fra den anden og opdelt komponenterne i følgende tre kategorier: Fejlfrie, ubetydelige fejl og alvorlige fejl. Resultatet fremgår af tabellen 1.8. Tabel 1.8: Leverandører og fejltyper Graden af fejl Alvorlige fejl Ubetydelige fejl Fejlfrie Leverandør Leverandør a) Beregn andelen af komponenter med ubetydelige fejl. b) Beregn andelen af komponenter fra Leverandør 1 med ubetydelige fejl. c) Beregn andelen af komponenter med ubetydelige fejl, som leveres fra Leverandør 1.

5 Kapitel 2 Deskriptiv statistik II Opgave 2.1 Det årlige antal af pantere født i fangenskab i Europa var i perioden givet ved: a) Beregn hyppighederne, frekvenserne og de kumulerede frekvenser af disse observationer og illustrer resultaterne grafisk. b) Beregn kvartilsættet. c) Beregn middeltallet, medianen og modaltallet. d) Beregn variansen og spredningen. e) Beregn variationsbredden og interkvartilbredden. f) Indeholder observationssættet nogle outliers? Opgave 2.2 Firmaet MegaSoft producerer computerprogrammer af en høj kvalitet. I sommeren 2008 gennemførte firmaet en kampagne, hvor man udsendte et særligt tilbud til en række privatpersoner, hvor de blev tilbudt nogle af MegaSofts programmer til en særligt lav pris. MegaSoft var naturligvis interesserede i en hurtig respons, og man målte derfor kundernes ventetid, inden de svarede på tilbuddet. Responsen fordelte sig som angivet i tabel 2.1. a) Beregn den forventede ventetid før en kunde reagerer på kampagnetilbuddet. Beregn desuden varians og standardafvigelse af ventetiden. b) Bestem medianen og kvartilsættet for observationssættet. Bestem endvidere interkvartilbredden. c) Tegn pindediagrammet og trappediagrammet for observationerne.

6 2. Deskriptiv statistik II 6 Tabel 2.1: Ventetider og antal kunder for MegaSofts tilbud Ventetid i dage Antal kunder, som reagerede

7 Kapitel 3 Sandsynlighedsteori Opgave 3.1 Antag, at vi kaster to terninger og at alle 36 mulige udfald er lige sandsynlige. a) Find sandsynligheden for at summen af øjnene er 7. Opgave 3.2 Antag at vi kaster to mønter, og at hver mønt kan vise enten plat eller krone med lige stor sandsynlighed. a) Hvad er udfaldsrummet? b) Hvad er sandsynlighedsfordelingen? c) Hvad er sandsynligheden for at få mindst én plat? Opgave 3.3 Antag at vi har hændelser A og B, således at P(A) = 0,3, P(B) = 0,4 og P(A B) = 0,6. a) Find P(A B) og P(Ā). Opgave 3.4 Hvis P (A) = 0,35, P (A B) = 0,25 og P (A B) = 0,75, bestem P(B). Opgave 3.5 Ved en stor spørgeskemaundersøgelse spurgte man 1000 personer, som for et år siden havde afsluttet en kortere videregående uddannelse. Man spurgte bl.a. om personens uddannelse og om, hvorvidt personen havde arbejde. Resultatet var som i tabel 3.1. Tabel 3.1: Uddannelse og arbejdssituation for 1000 personer Uddannelse Finansøkonom Markedsføringsøkonom Datamatiker Sum I arbejde Ikke i arbejde Sum Bestem sandsynligheden for, at en vilkårligt udvalgt person blandt de 1000

8 3. Sandsynlighedsteori 8 a) er finansøkonom b) er arbejdsløs datamatiker c) i arbejde, når det vides, at han er markedsføringsøkonom d) er arbejdsløs, når det vides, at han er datamatiker e) er datamatiker, når det vides, at han er arbejdsløs Opgave 3.6 En grillbar har fundet ud af, at chancen for at en kunde bestiller en sodavand er 0,90. Chancen for at han bestiller en hamburgermenu er 0,70. Chancen for at han bestiller dessert er 0,60. a) Hvad er sandsynligheden for, at en kunde bestiller en sodavand, men ingen dessert, når det oplyses, at disse to hændelser er uafhængige? b) Grillbaren ved også, at hvis en kunde bestiller en hamburger-menu, så er sandsynligheden for, at han bestiller dessert på 0,80. Bestem sandsynligheden for at han bestiller både en hamburger-menu og en dessert Opgave 3.7 En fabrik har to maskiner, A og B, som producerer hver især 40% og 60% af den samplede produktion. 7% af maskine A s produktion er defekt, mens maskine B producerer 4% defekte enheder. a) Find sandsynligheden for at en enhed er defekt. b) Find sandsynligheden for at en defekt enhed blev produceret på maskine B. Opgave 3.8 En studerende er ved at tage en multiple choice prøve i hvilken ethvert spørgsmål har 5 mulige svar, af hvilket kun et er korrekt. Hvis den studerende kender svaret, så svarer han korrekt. Hvis ikke, så vælger han et tilfældigt svar. Antag at han kender svaret på 70% af spørgsmålene. a) Hvad er sandsynligheden for at han svarer korrekt på et spørgsmål? b) Hvis han svarer korrekt på et spørgsmål, hvad er sandsynligheden for at han kender svaret? Opgave 3.9 Ved produktion af mobiltelefoner er det meget vigtigt, at kvaliteten er i top og fejlprocenten i bund. Man kontrollerer derfor de færdige mobiltelefoner to gange hos to forskellige kvalitetskontrollører inden mobiltelefonerne sendes videre. Kvalitetskontrollørerne er ikke ufejlbarlige, så sandsynligheden for at en defekt mobiltelefon faktisk opdages af en kvalitetskontrollør er på 75%. Til gengæld kasserer de aldrig ikke-defekte mobiltelefoner. Det antages, at de to kvalitetskontrollører arbejder uafhængigt af hinanden. a) Er det en rimelig antagelse, at de to kvalitetskontrollører arbejder uafhængigt af hinanden? Hvordan kan man opnå dette i praksis?

9 3. Sandsynlighedsteori 9 b) Hvad er sandsynligheden for, at ingen af kontrollørerne klassificerer en defekt mobiltelefon som defekt? c) Hvad er sandsynligheden for, at mindst 1 kontrollør klassificerer en defekt mobiltelefon som defekt? Opgave 3.10 På en rute skal en trafikant passere to trafiklys, der viser rødt lys henholdsvis 60% og 50% af tiden. De to trafiklys fungerer uafhængigt af hinanden. a) Bestem sandsynligheden for, at trafikanten kommer ud for, at mindst et af trafiklysene viser rødt.

10 Kapitel 4 Kombinatorik Opgave 4.1 På en burgerbar kan man bestille menuer, som består af en hovedret, en sideret og en drik. Som hovedret kan man vælge mellem burger, pita, kylling eller pizza, som sideret kan man vælge mellem fritter eller salat og som drik kan man vælge mellem enten cola, appelsin, lemon eller kildevand. a) Hvor mange forskellige menuer findes der? Opgave 4.2 Burgerbaren fra opgave 1 udvider nu sortimentet med store menuer. En stor menu er en menu som ovenfor, men med yderligere en dessert, som kan være enten is eller sandkage. a) Hvor mange store menuer findes der? b) Hvor mange menuer findes der i alt? Opgave 4.3 Den lokale kinesiske restaurant føler sig truet på det konkurrencemæssige område af den nærliggende burgerbar og ændrer sit menukort. Efter ændringen kan man nu bestille en menu, som består af enten en forret og en hovedret, eller en hovedret og en dessert, eller en forret, en hovedret og en dessert. Forretterne er enten suppe, forårsrulle eller indbagte rejer. Hovedretterne er enten oksekød i sur/sød sauce, svinekød i karrysauce, peking-and eller wok-stegt kylling. Desserterne er enten is eller frugt-anretning. a) Hvor mange menuer har den lokale kinesiske restaurant i alt? Opgave 4.4 Et større jysk erhvervsakademi har ansat 50 undervisere. Ledelsen beslutter at belønne den bedste af underviserne med en ferie på Hawaii, mens den næstbedste får en tur til Mallorca. De resterende 48 undervisere bliver sendt på pædagogikkursus i Brønderslev. a) Hvor mange forskellige udfald kan denne situation få? b) Hvad ville svaret være, hvis begge de to bedste undervisere kom til Hawaii?

11 4. Kombinatorik 11 Opgave 4.5 På en hyttetur, hvor der deltager 20 studerende, skal der udtages 5 til at lave mad og 5 til at vaske op. De resterende 10 studerende skal gøre rent. a) På hvor mange forskellige måder kan de studerende tildeles de forskellige opgaver? Opgave 4.6 Det lokale pizzeria tilbyder en ny slags pizza, Selv-Valgs-Pizzaen. Her angiver man selv 5 slags fyld ud af 20 forskellige muligheder, som skal på pizzaen. a) Hvor mange forskellige slags Selv-Valgs-Pizzaer kan man lave? Opgave 4.7 Det lokale pizzeria tilbyder endvidere en udvidet slags pizza, Luksus-Selv-Valgs- Pizzaen. Her angiver man selv 5 slags fyld ud af 25 forskellige muligheder, som skal på pizzaen. Derudover skal man angive, om man ønsker pizzaen indbagt eller ej og endvidere, om der skal gorgonzola-, cheddar- eller gouda-ost på. a) Hvor mange forskellige slags Luksus-Selv-Valgs-Pizzaer kan man lave? Opgave 4.8 Den lokale restauratørforening består af 20 personer. Der skal blandt disse 20 vælges en bestyrelse på 5 personer, hvoraf en person er formand, en person er kasserer og de resterende tre er menige bestyrelsesmedlemmer. a) Hvor mange forskellige bestyrelser kan der sammensættes? Opgave 4.9 I den lokale restauratørforening, som består af 20 personer, skal der nedsættes to forskellige udvalg, som består af henholdsvis 4 og 6 medlemmer. Der skal være netop ét fælles medlem, som skal fungere som formand for begge udvalg, og der må derudover ikke være fælles medlemmer i de to udvalg. a) På hvor mange måder kan de to udvalg nedsættes?

12 Kapitel 5 Diskrete stokastiske variable Opgave 5.1 På en virksomhed har man 4 maskiner. Fra historiske data vides, at antallet af maskiner, som ikke fungerer på en vilkårlig dag, er givet ved tabel 5.1. Tabel 5.1: Sandsynlighedsfordelingen for ikke-fungerende maskiner antal sandsynlighed 0,5 0,3 0,1 0,05 0,05 a) Bestem sandsynligheden for at tre eller flere maskiner ikke virker. b) Bestem sandsynligheden for at mindre end en maskine er nede. c) Find det forventede antal af ikke-fungerende maskiner. d) Find variansen og spredningen af antallet af maskiner, der er nede. Opgave 5.2 På samme virksomhed som i opgave 1 har man undersøgt antallet af arbejdsskader pr. måned. Hvis den stokastiske variabel X angiver antal arbejdsskader pr. måned, så er fordelingsfunktionen for X givet ved tabel 5.3. Tabel 5.2: Fordelingsfunktionen for antal arbejdsskader pr. måned x F X (x) 0,716 0,896 0,956 0,976 0,986 0,996 0,998 0,998 1,000 a) Bestem sandsynligheden for at der sker færre end 2 arbejdsskader pr. måned. b) Bestem sandsynligheden for at der sker mellem 2 og 6 arbejdsskader på en måned. c) Bestem sandsynligheden for at der sker flere end 4 arbejdsskader pr. måned. d) Bestem sandsynligheden for at der sker mindst 4 arbejdsskader pr. måned. e) Bestem middelværdien af antallet af arbejdsskader.

13 5. Diskrete stokastiske variable 13 f) Bestem variansen og spredningen af antallet af arbejdsskader. Opgave 5.3 Til et eksperiment er knyttet en stokastisk variabel X, der har nedenstående sandsynlighedsfordeling: Tabel 5.3: Udfaldene i et stokastisk eksperiment t P(X = t) 0,3 0,5 0,2 a) Beregn middelværdi og spredning for X. Eksperimentet udføres to gange og resultaterne er indbyrdes uafhængige. Den stokastiske variabel Y angiver den mindste af de værdier, som X antager ved de to udførelser af eksperimentet. b) Bestem sandsynlighedsfordelingen for Y. c) Beregn middelværdien for Y. Opgave 5.4 For to aktiers vedkommende, Ding Energy og Vistas la Hastas, har man analyseret sig frem til nedenstående: Man arbejder med tre scenarier, I (recession), som vil optræde med 35% sandsynlighed, II (uændret vækst), som vil optræde med 50% sandsynlighed, og III (boom i økonomien), som vil optræde med 15%. Afkastene for de to aktiers vedkommende vil være som i tabel 5.4 for hvert af de tre scenarier. Tabel 5.4: Aktieafkast i tre forskellige scenarier Scenario Sandsynlighed Ding Energy Vistas la Hastas I 35% 20% 7% II 50% 10% 10% III 15% 5% 20% a) Beregn middelværdierne og spredningerne i afkastet for hver af de to aktier. b) Beregn covariansen og korrelationen mellem de to aktiers afkast. En investor vil gerne investere et beløb i aktier til det størst mulige afkast, men med en lille risiko (målt på spredningen) på maksimalt 5%. Man kan vælge mellem følgende 3 porteføljer: A 100% Ding Energy B 100% Vista la Hasta C 50% af hver af de to aktier.

14 5. Diskrete stokastiske variable 14 c) Hvilken af de tre porteføljer er at foretrække? Opgave 5.5 I Blåbær Kommune er den forventede årsindkomst for mænd i alderen år på med en spredning på , mens den forventede årsindkomst for kvinder i alderen år er på med en spredning på Antag, at der er uafhængighed mellem mandens og konens indkomst i et ægteskab. a) Antag, at der er uafhængighed mellem mandens og konens indkomst i et ægteskab. I praksis viser det sig, at de to ægtefællers indkomst er korrelerede med en korrelationskoefficient på 0,7. b) Er det rimeligt at antage, at ægtefællers indkomster er korrelerede? c) Bestem middelværdien og spredningen af indkomsten for et ægtepar. Opgave 5.6 En konditor fremstiller chokolader i poser. Antal chokolader i en pose varierer som vist i nedenstående tabel 5.5. Omkostningerne ved at producere en pose chokolader er 0,5 kr. pr. chokolade, plus et samlet beløb på 2 kr. for posen. Prisen for en pose med chokolader er 20 kr. Overskuddet defineres som forskellen mellem pris og omkostninger. Poserne pakkes i kasser à 100 poser og sælges til en grossist. Tabel 5.5: Antal chokolader i en pose Antal chokolader Andel af poser 0,10 0,30 0,40 0,20% a) Find den forventede værdi og standardafvigelsen på antal chokolader pr. pose. b) Beregn forventet værdi og standardafvigelse på omkostningerne pr. pose. c) Beregn forventet værdi og standardafvigelse på overskuddet pr. pose. d) Beregn forventet værdi og standardafvigelse på det samlede overskud for kassen.

15 Kapitel 6 Diskrete fordelinger Opgave 6.1 Antag, at den stokastiske variable X opfylder X bin(10;0,2). a) Bestem følgende sandsynligheder: P(X = 0) P(X = 2) P(X = 7) P(X 0) P(X 2) P(X 7) P(X 0) P(X 2) P(X 7) P(X > 0) P(X > 2) P(X > 7) P(2 < X < 7) P(2 X < 7) P(2 X 7) b) Find middelværdien, variansen og spredningen af X. Opgave 6.2 Antag at man har historiske erfaringer for, at sandsynligheden for, at en ny computer skal repareres inden for garanti-perioden, er på 5%. Man udvælger 7 computere. a) Hvilken fordeling har den stokastiske variabel, som angiver antallet af computere blandt de 7, som skal repareres inden for garanti-perioden? b) Hvad er sandsynligheden for, at ingen af de 7 computere skal repareres inden for garantiperioden? c) Hvad er sandsynligheden for, at mindst 1 af de 7 computere skal repareres inden for garantiperioden? d) Hvad er sandsynligheden for, at mere end 2 af de 7 computere skal repareres inden for garantiperioden? Opgave 6.3 I den engelske flåde og visse tidligere engelske kolonier nyder spillet Crown and Anchor en vis udbredelse. Spillet anvender tre terninger, som er specielt markerede med ét af symbolerne hjerter, ruder, spar, klør, anker eller krone på hver side. Spillet går ud på, at man satser et beløb på et af symbolerne, eksempelvis 1 på ruder. De tre terninger kastes, og viser ingen af terningerne det valgte symbol, så er indsatsen tabt. Viser netop en af terningerne det valgte symbol, får spilleren sin indsats og yderligere 1 tilbage, viser to af terningerne det valgte symbol, så får

16 6. Diskrete fordelinger 16 spilleren indsatsen og yderligere 2 tilbage, og viser alle tre terninger det udvalgte symbol, så får spilleren indsatsen og 3 tilbage. Lad X betegne den stokastiske variabel, som angiver antallet af terninger, som viser det udvalgte symbol. a) Hvilken fordeling følger X? b) Bestem sandsynlighedsfordelingen af X. c) Bestem middelværdi og spredning af X Lad Y betegne den stokastiske variabel, som angiver spillerens gevinst. d) Bestem sandsynlighedsfordelingen af Y. e) Bestem middelværdi og spredning af Y. Opgave 6.4 Producenten af vaskepulveret Adios, snavsos planlægger næste år reklamekampagner. I den forbindelse har man skaffet oplysninger om sendingen af reklamespots i tv i målgruppen for produktet (husmødre i alderen år). Sendingen afhænger af reklamespottets tidsmæssige placering på dagen og ugen. Som en tommelfingerregel antager man, at sandsynligheden for, at en tilfældig person i målgruppen ser (dvs. bliver eksponeret for) et 30 sekunders spot på tv-kanalen Kanal Kedelig, er 20%. På tilsvarende måde anslås det, at sandsynligheden for, at en tilfældig person i målgruppen ser et 30 sekunders spot i tv-kanalen TV Plat, er 10%. Budgettet for reklamekampagnen er på kr. for det kommende halvår. Kun de to medier Kanal Kedelig og TV Plat kan komme i betragtning i forbindelse med kampagnen. Antag, at et 30 sekunders spot på Kanal Kedelig koster kr., mens et tilsvarende spot på TV Plat koster kr. a) Beregn det forventede antal gange, en tilfældig person i målgruppen bliver eksponeret for reklamespottet, hvis I) hele budgettet anvendes på Kanal Kedelig. II) hele budgettet anvendes på TV Plat b) Beregn kampagnens dækning, dvs. den andel af målgruppen, som ser reklamespottet mindst en gang, hvis I) hele budgettet anvendes på Kanal Kedelig. II) hele budgettet anvendes på TV Plat c) Beregn kampagnens frekvens, dvs. det gennemsnitlige antal gange, en person eksponeres, givet at vedkommende er eksponeret mindst en gang, hvis I) hele budgettet anvendes på Kanal Kedelig. II) hele budgettet anvendes på TV Plat (vink: udnyt, at det forventede antal eksponeringer = dækning gange frekvens).

17 6. Diskrete fordelinger 17 d) Beregn kampagnens effektive frekvens, defineret som sandsynligheden for, at en person eksponeres for budskabet mellem 3 og 8 gange (begge inklusive), hvis I) hele budgettet anvendes på Kanal Kedelig. II) hele budgettet anvendes på TV Plat e) Diskuter kritisk forudsætningerne for de anvendte modeller og de foretagne beregninger. Opgave 6.5 En fabrikant af elektriske pærer garanterer, at mindst 80% af produktionen har en levetid på mere end 2000 timer. I det følgende antages derfor, at sandsynligheden er 0,80 for, at en elektrisk pære kan brænde mere end 2000 timer. En kunde køber 50 pærer. a) Bestem sandsynligheden for, at højst 35 pærer kan brænde efter 2000 timers brug. b) Bestem sandsynligheden for, at netop 40 pærer kan brænde efter 2000 timers brug. c) Bestem sandsynligheden for, at mindst 40 pærer kan brænde efter 2000 timers brug. Kunden ønsker imidlertid, at der er 99% sandsynlighed for, at mindst 40 pærer kan brænde efter 2000 timers brug. d) Hvilken garanti må fabrikanten da give for at kunne leve op til kundens ønske? Opgave 6.6 En pose indeholder 20 kugler; 15 røde og 5 blå. Der udtrækkes tilfældigt, og uden tilbagelægning, 6 kugler. a) Bestem sandsynligheden for, at der udtrækkes netop 6 røde kugler. b) Bestem sandsynligheden for, at der udtrækkes 3 røde og 3 blå kugler. c) Bestem sandsynligheden for, at der udtrækkes mindst 2 kugler af hver farve. d) Bestem det forventede antal røde kugler blandt de udtrukne. Opgave 6.7 En komponent til computere forsendes i partier bestående af 12 komponenter. 4 komponenter udvælges fra partiet, og dette godkendes, hvis ingen af de udvalgte komponenter er defekte. a) Partiet indeholder 4 defekte komponenter. Hvad er sandsynligheden for, at partiet accepteres? Opgave 6.8 En bakke med æg indeholder 20 æg, hvoraf 7 er rådne. Der udtages en stikprøve på 3 æg.

18 6. Diskrete fordelinger 18 a) Hvad er sandsynligheden for at få 2 rådne æg i stikprøven? b) Hvad er det forventede antal rådne æg i stikprøven? Opgave 6.9 Kunder ankommer til en døgnkiosk efter en Poisson-proces med intensiteten 24 kunder i timen. a) Hvad er sandsynligheden for netop 1 ankomst i løbet af et minut? b) Hvad er sandsynligheden for mindst 2 ankomster i løbet af et minut? c) Hvad er sandsynligheden for, der ingen kunder kommer i løbet af 5 minutter? Opgave 6.10 I Blåbær kommune vides erfaringsmæssigt, at antallet af børnefødsler er Poissonfordelt med intensiteten 2 børn i døgnet. a) Bestem sandsynligheden for, at der fødes mindst 3 børn i løbet af et døgn. b) Bestem sandsynligheden for, at der fødes mindst 21 børn i løbet af en uge. c) Hvor stort skal antallet af jordemødre i Blåbær kommune være, hvis sandsynligheden for, at antallet af fødsler pr. døgn overstiger antallet af jordemødre, højst må være på 0,5% Opgave 6.11 I Blåbær kommune er erfaringsmæssigt antallet af blindtarmsbetændelser, som kræver operationer, Poisson-fordelt med intensiteten 2 tilfælde pr. døgn. Det lille Blåbær sygehus kan kun håndtere 3 blindtarmsoperationer pr. døgn, og optræder der flere tilfælde end 3, så sendes de resterende patienter videre til et andet sygehus. a) Hvad er sandsynligheden for at måtte sende patienter videre til et andet sygehus? b) Hvor meget skal sygehusets kapacitet forøges, hvis man ønsker, at sandsynligheden for at sende patienter videre på en given dag højst må være 5%? c) Samme spørgsmål som i b), men med sandsynligheden 1%? d) Hvad er det forventede antal patienter pr. dag? e) Hvad er det mest sandsynlige antal patienter pr. dag? f) Hvad er det forventede antal patienter, der bliver opereret dagligt? g) Hvad er det forventede antal patienter, der bliver sendt videre pr. dag? Opgave 6.12 Bestem for nedenstående problemstillinger, hvilke stokastisk variabel, der er tale om, og angiv i videst muligt omfang dens fordeling. Det er ikke nødvendigt at løse selve opgaven. (Alle eksemplerne stammer fra gamle eksamensopgaver på markedsøkonom-uddannelsen)

19 6. Diskrete fordelinger 19 a) For at afprøve skemaet udvalgte man tilfældigt 100 elever. Man bad den udfylde og returnere skemaet inden 10 dage. Efter 10 dage havde man modtaget 62 skemaer. Gør rede for, hvilken fordeling, der vil kunne anvendes til beskrivelse af antal returnerede skemaer blandt de 2400 udvalgte. b) Der udtages en stikprøve på 1000 komponenter i leverancen. Det viser sig, at der er 15 defekte i stikprøven. Giv et begrundet forslag til en stokastisk model, der kan beskrive antal defekte i stikprøven. c) Bestyrelsens vurdering bygger på en undersøgelse af 200 tilfældigt udvalgte besøgende. Undersøgelsen viste, at 12 endte med at købe bil hos McCar A/S. Giv en forslag til en stokastisk model, der kan anvendes til at beskrive antal besøgende, der endte med at købe bil hos McCar A/S. d) Find en fordeling, som beskriver antal passagerer pr. busafgang. e) En af kunderne hos Elrabbit er bagermester Børge Crusty. Børge køber 4 scootere inden produktionen bliver lagt om. Bestem sandsynligheden for, at mindst 2 ud af de fire scootere kan køre mere end 50 km/t. f) Hvis andelen af seje lammekoteletter på 2% overholdes, vil Danoflix bruge Økolam som leverandør. Man afgiver derfor en mindre ordre på 1500 lammekotelletter for at teste kødet. Giv et begrundet forslag til en stokastiske fordeling, der kan beskrive antallet af seje lammekotelletter i ordren.

20 Kapitel 7 Kontinuerte stokastiske variable Opgave 7.1 Den stokastiske variabel X er normalfordelt med middelværdi 200 og spredning 20. Bestem følgende sandsynligheder: a) P(X < 180) b) P(X < 220) c) P(X > 200) d) P(X = 230) e) P(X 180) f) P(180 < X < 210) Opgave 7.2 Den stokastiske variabel X er normalfordelt med middelværdi 50 og spredning 10. Bestem følgende sandsynligheder: a) P(X > 50) b) P(40 < X < 60) c) P(X < 60) d) P(X > 40) e) P(X < 40) f) P(43 < X < 47) Opgave 7.3 På et sygehus i Jylland har man historiske erfaringer for, at antallet af operationer, som det er nødvendigt at gennemføre i løbet af et år, er normalfordelt med middelværdien 4300 og spredningen 650. a) Beregn sandsynligheden for, at der skal gennemføres mere end 5000 operationer i løbet af et år. b) Beregn sandsynligheden for, at der gennemføres mindre end 4000 operationer i løbet af et år. c) Hvad er sandsynligheden for, at der gennemføres i mellem 2400 og 4300 operationer i løbet af et år? Opgave 7.4 En maskine fylder et produkt i pakker, så pakkernes vægt har middelværdien 250 g og en standardafvigelse på 3 g. Vægten forudsættes normalfordelt. a) Hvad er sandsynligheden for, at en tilfældig pakke har en vægt uden for intervallet g? b) Hvad er sandsynligheden for, at netop 12 ud af 50 tilfældigt udvalgte pakker har en vægt uden for intervallet g?

21 7. Kontinuerte stokastiske variable 21 Opgave 7.5 En virksomhed fremstiller stålplader. I forbindelse med produktionen kontrolleres pladetykkelsen. Måling af mange plader har vist, at pladetykkelsen er normalfordelt med middelværdien 25,0 mm og spredningen 1,3 mm. Bestem sandsynligheden for, at en stålplade har en tykkelse på under 24,2 mm. a) b) Der udtages 12 tilfældige stålplader. Bestem sandsynligheden for, at den gennemsnitlige tykkelse af disse 12 stålplader er under 24,2 mm. c) Hvorfor er sandsynligheden i b) meget mindre end i c)? Opgave 7.6 Et mejeri har anskaffet en ny maskine, der skal fylde mælk på literkartoner. Maskinen er indstillet således at den mælkemængde, der fyldes i en karton, er normalfordelt med middelværdi 1005 ml og spredning 5 ml. a) Undersøg om den pågældende maskine kan leve op til mejeriets krav om, at mindst 95% af kartonerne skal indeholde mindst 1000 ml mælk. På mejeriet indstilles maskinen nu, så netop 95% af de påfyldte kartoner indeholder mindst 1000 ml sødmælk. b) Hvilken middelværdi er maskinen da blevet indstillet til, når spredningen stadigvæk er 5 ml? Af en dags produktion udtages tilfældigt 20 kartoner. c) Bestem sandsynligheden for, at mindst to af disse kartoner indeholder mindre end 1000 ml mælk. Opgave 7.7 Ved sortering af en ærtehøst inddeler man ærterne efter størrelse i tre kategorier: fine, mellemfine og store. Diameteren af en ært kan beskrives ved en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi 9,3 mm og spredning 1,4 mm. a) Bestem hvor mange procent af ærterne, der har en diameter mindre end 7,0 mm. Man foretager inddelingen i de tre kategorier, så man får 30% fine og 45% mellemfine ærter. b) Mellem hvilke grænser ligger diameterstørrelsen på de mellemfine ærter? Opgave 7.8 Afgør for hvert af observationssættene i tabel 7.1, om de er normalfordelte.

22 7. Kontinuerte stokastiske variable 22 Tabel 7.1: 6 observationssæt Observationssæt 1 Observationssæt Observationssæt 3 Observationssæt Observationssæt 5 Observationssæt

23 Kapitel 8 Punkt- og intervalestimation Opgave 8.1 Krone Taxa har en vognpark på i alt biler i Danmark. Man er interesseret i at undersøge, hvor langt en typisk taxi har kørt i løbet af juleaften Man udtager derfor en stikprøve på 200 biler og finder, at gennemsnittet af den kørte afstand juleaften var på 254,4 km og at spredningen herpå var 32,7 km. a) Opstil et 95%-konfidensinterval for middelværdien af det kørte antal kilometer for en taxa. b) Opstil et 95%-konfidensinterval for det samlede antal kørte kilometer juleaften c) Man ønsker at gennemføre en mere præcis undersøgelse med en fejlmargin på 1,5 km. Hvor stor skal stikprøven være? Opgave 8.2 Øre Banken er ved at undersøge, hvor mange gange om måneden en typisk kunde anvender sit Dankort. Man udtager derfor et stikprøve på 20 kunder og finder en stikprøvespredning på 11,2 og et stikprøvegennemsnit på 34,3 gange. a) Er det rimeligt at antage, at det antal gange, en kunde bruger sit Dankort i løbet af en måned, er normalfordelt? b) Bestem et 95%-konfidensinterval for spredningen på antal gange, en kunde bruger sit Dankort. c) Bestem et 95%-konfidensinterval for middelværdien af antal gange, en kunde brugte sit Dankort. d) Uden at beregne skal du svare på følgende: Er et 90%-konfidensinterval større end eller mindre end ovennævnte 95%-konfidensinterval? Opgave 8.3 På den britiske ø Sodor er der husstande. For at undersøge forbruget af pasta gennemførtes i 2007 en markedsundersøgelse på Sodor. Her udvalgte man tilfældigt 200 husstande og konstaterede, at det gennemsnitlige forbrug af pasta pr. husstand i denne stikprøve var på 10,4 kg om året med en standardafvigelse på 2,8 kg.

24 8. Punkt- og intervalestimation 24 a) Opstil et 95% konfidensinterval for det gennemsnitlige årlige forbrug af pasta for en husstand på Sodor. b) Opstil et 95% konfidensinterval for det årlige totale pastaforbug på Sodor. c) Hvor stor skulle stikprøven være, hvis fejlmargin for konfidensintervallet i a) skulle være på 0,2 kg. Ved samme lejlighed adspurgte man de 200 husstande, om de nogen sinde købte eller spiste pasta. Hertil svarede 28 ud af de 200 husstande bekræftende. d) Opstil et 95% konfidensinterval for andelen af husstande, som aldrig køber eller spiser pasta. e) Hvor stor skulle denne stikprøve være, hvis man ønskede en fejlmargin på 0,01? Opgave 8.4 I forbindelse med en folkeafstemning foretages der en vælgerundersøgelse. Der udtages en stikprøve på 100 personer, hvoraf 53 ville stemme ja. a) Angiv et 95% konfidensinterval for andelen af personer, der vil stemme ja. b) Kan dette resultat bruges til noget? c) Bestem stikprøvestørrelsen, således at fejlmargin bliver på under 3%. Opgave 8.5 Producenten af morgenmadsproduktet Guff-flakes gennemførte i efteråret 2006 en kampagne med det formål at forøge salget med mindst 90 pakker Guff-flakes om ugen pr. butik. For at undersøge resultatet af denne kampagne spurgte man 20 vilkårligt udvalgte butikker om deres salg af Guff-flakes i ugen før kampagnen begyndte og i ugen efter den sluttede. Se tabel 8.1. a) Undersøg om det normale salg af Guff-flakes kan beskrives ved en normalfordeling. b) Opstil et 95% konfidensinterval for middelværdien af det normale salg af Guff-flakes. c) Har kampagnen nået det ønskede salgsmål? (Spørgsmålet ønskes besvaret vha. et konfidensinterval) Opgave 8.6 På Blåbær Posthus har man erfaring for, at kunderne om formiddagen ankommer efter en Poisson-proces. I løbet af en måned, dvs. 21 formiddage à 2 timer, har man optalt i alt 215 kunder. a) Bestem et 95% konfidensinterval for intensiteten af kunder pr. time om formiddagen. Om eftermiddagen har man tilsvarende, i løbet af 21 eftermiddage à 3 timer, optalt 345 kunder.

25 8. Punkt- og intervalestimation 25 Tabel 8.1: Salget af Guff-flakes før og efter kampagnen (i pakker pr. uge) Butik nr. Normalt salg Salg efter kampagnen b) Afgør vha. et 95% konfidensinterval, om intensiteten om eftermiddagen er større end om formiddagen. Opgave 8.7 I en markedsundersøgelse for et nyt ugeblad spurgte man 437 personer, om de var interesserede i at købe dette. Det oplyses, at af de i alt 437 personer var de 213 mænd og de 224 kvinder. Blandt mændene tilkendegav i alt 47, at de var interesserede i det nye ugeblad, mens det tilsvarende tal blandt kvinderne var 54. a) Bestem et 90% konfidensinterval for andelen af interesserede personer. b) Undersøg vha. et 90% konfidensinterval om andelen af kvinder, som er interesserede i det nye ugeblad, kan antages at være lig den tilsvarende andel blandt mændene. Opgave 8.8 Pærekøbing Telemarketing, der har over 150 sælgere ansat, har af Pærekøbing Erhvervsakademi fået tilbudt et sælgertræningsprogram. Pærekøbing Telemarketing er interesseret i at lade alle sælgerne deltage i programmet, hvis det fører til forbedret salg, men de vil først undersøge programmets virkning. Til dette formål udtages tilfældigt 8 sælgere, som sendes på kurset. I tabel 7.2 nedenfor ses disse 8 sælgeres salg i ugen før og ugen efter, at de deltog i kurset. a) Afgør ved hjælp af et 95% konfidensinterval, om kurset faktisk forbedrer salget.

26 8. Punkt- og intervalestimation 26 Tabel 8.2: 8 sælgeres salg før og efter kursusdeltagelse Sælger Bruttosalg før kurset Bruttosalg efter kurset Andres Andersen Bent Blom Camilla Christensen Dan Derning Esther Eskildsen Frede Frederiksen Gudrun Gohrm Hans Hansen 75 81

27 Kapitel 9 Introduktion til hypotesetest Opgave 9.1 En supermarkedskæde har fastlast en procedure for leverancer af frugt. Frugten leveres i kasser af 100 stk., og ved modtagelsen udvælges tilfældigt tre kasser, hvorefter al frugten i kasserne undersøges. Hvis der blandt de 300 stykker frugt er flere end 10, som er dårlige, returneres varerne til leverandøren, ellers accepteres leverancen. Formulerer vi dette som en hypotesetest, så er nulhypotesen, at forsendelsen af frugt er i orden, mens alternativhypotesen er, at forsendelsen ikke er i orden. a) Beskriv med ord, hvad type I og type II fejl er i denne situation. Opgave 9.2 En virksomhed producerer batterier med en levetid på 200 timer i gennemsnit. Man overvejer nu at ændre produktionsmåden, hvorved man forventer at levetiden forøges med 10% til 220 timer i gennemsnit. For at undersøge om man skal omstille produktionen, producerer man et lille parti af den nye type batteri og undersøger den gennemsnitlige levetid. Hvis denne er større end 220 timer, så omstilles produktionen, ellers ikke. Formuleres dette som en hypotesetest, så er nulhypotesen, at levetiden er uændret under den nye produktionsform og at produktionen derfor ikke skal omstilles, mens alternativhypotesen er, at den nye batteritype faktisk har en længere levetid og at produktionen derfor skal omstilles. a) Beskriv med ord, hvad type I og type II fejl betyder i denne situation.

28 Kapitel 10 Hypotesetests for populationsparametre Opgave 10.1 Nedenstående delopgaver er uddrag fra udvalgte eksamensopgaver i statistik fra akademiuddannelsen fra perioden og fra markedsøkonomuddannelsen For hvert uddrag bedes du dels afgøre hvilken af nedenstående testtyper, der skal anvendes, dels om testen er ensidet eller tosidet. (Bemærk, der gives kun nok oplysninger til at kunne finde den relevante testtype, ikke altid til faktisk at kunne gennemføre testen!) De mulige testtyper er: test for en middelværdi test for en spredning/varians test for en andel test for to middelværdier test for to spredninger/varianser test for to andele a) Test på 5% niveauet om standardafvigelsen på alder er under 15 år. b) Test på 10% niveauet om den gennemsnitlige alder er under 42 år. c) Regionen har hidtil vurderet, at andelen af utilfredse borgere højst er 50%. Test på 5% niveauet om regionens vurdering bliver underbygget af pilotundersøgelsen. d) Test på 1% niveauet om andelen af utilfredse borgere med en indkomst under kr. er større end andelen af utilfredse borgere med en indkomst over eller lig med kr. e) Test på 5% niveauet om variansen på Ekspert 1 s vurdering er 4. f) Test på 5% niveauet om den gennemsnitlige vurdering fra Ekspert 1 er under 7,7. g) Test på 5% niveauet om den gennemsnitlige vurdering af printere for Ekspert 1 er mindre end den tilsvarende vurdering for Ekspert 2. h) Test på 5% niveauet om andelen af printere med dårlig brugervenlighed af mærket Printer 1 er over 25%. i) Test på 5% niveauet om andelen af printere af mærket Printer 1, der blev vurderet til dårlig brugervenlighed af fynske slutbrugere, er lavere end den tilsvarende andel af sjællandske slutbrugere.

29 10. Hypotesetests for populationsparametre 29 j) Test på 5% niveauet om den gennemsnitlige mængde påfyldt sæbe er over 500 ml. k) Test på 5% niveauet om variansen på mængden af påfyldt sæbe kan antages at være 36. l) Test på 5% niveauet om middelværdien for træernes diametre kan antages at være under 3 cm. m) Test på 5% niveauet om standardafvigelsen på træernes diametre kan antages at være over 1,14 cm. n) Test på 5% niveauet om det gennemsnitlige antal genstande pr. uge efter afgiftsnedsættelsen er over 10. o) Undersøg om den andel af personer mellem år, der altid bruger cykelhjelm, kan antages at være over 2%. p) Undersøg om andelen af personer, der aldrig bruger cykelhjelm, kan antages at være større for aldersgruppen 3040 årige end for aldersgruppen 4050 årige. q) Test på 5% niveauet om variationen på de to arter piletræer kan antages at være ens. r) Test på 5% niveauet om middelværdien for diametrene på arten PD23 kan antages at være større end middelværdien for diametrene på arten P44. s) Test på 5% niveauet om andelen af piletræer med en diameter over 3 cm er større for arten PD23 end for arten P44. t) Test på 5% niveauet om andelen af køreskinner, der skal have en ekstra behandling for at opfylde kravet til saltvandsbestandighed, er over 40%. u) Test på 5% niveauet om det gennemsnitlige indeks for saltvandsbestandigheden er mindst 86. v) v) Undersøg om brudstyrken efter den nye metode har samme standardafvigelse som brudstyrken ved den hidtil brugte metode. Opgave 10.2 I nedenstående uddrag fra en række gamle eksamensopgaver i statistik fra akademiuddannelsen fra perioden og fra markedsøkonomuddannelsen bedes du opstille de relevante hypoteser, der skal testes. Alle relevante oplysninger (og måske nogle irrelevante) angives i parentesen. a) Test på 5% niveauet om den gennemsnitlige diameter er over 590 micron. (Stikprøvegennemsnittet er 595,87) b) Test på 5% niveauet om standardafvigelsen for diameteren er under 19 micron. (Stikprøvespredningen er 12,141) c) Test på 5% niveauet om middelværdien for diametrene på arten PD23 kan antages at være større end middelværdien for diametrene på arten P44. (Stikprøvegennemsnit 2,517 for P44 og 3,129 for PD23)

30 10. Hypotesetests for populationsparametre 30 d) Test på 5% niveauet om andelen af køreskinner, der skal have en ekstra behandling, er på over 40%. (Den estimerede andel i stikprøven er på 25%) e) Test på 5% niveauet om det gennemsnitlige indeks for saltvandsbestandigheden er under 85. (Stikprøvegennemsnit 88,3, stikprøvespredning 4,293) Opgave 10.3 Mikrobryggeriet Blueberry Brew producerer forskellige former for specialøl, som sælges i lokalområdet. I forbindelse med en kvalitetskontrol af en aftapningsmaskine har bryggeriet udtaget en stikprøve på 20 halvliters flasker med øl og nøje målt indholdet af øl i milliliter. Resultatet er vist i tabellen Tabel 10.1: Indholdet i 20 flasker Blueberry Brew a) Undersøg om indholdet i en halvliters ølflaske kan beskrives ved en normalfordeling. b) Test på 5% niveauet om det gennemsnitlige ølindhold er på over 500 ml. c) Test på 5% niveauet om spredningen på ølindholdet kan antages at være på 20 ml. For at vurdere hvor store gennemsnittene og spredningerne er i forhold til Blueberry Brews nærmeste konkurrent, Redberry Beers øl, har man indkøbt 20 halvliters ølflasker af dette fabrikat. Resultatet er vist i tabellen Tabel 10.2: Indholdet i 20 flasker Redberry Beer d) Test på 5% niveauet om varianserne for de to stikprøver kan være ens. e) Test på 5% niveauet om det gennemsnitlige indhold i en Redberry Beer er større end i en Blueberry Brew. Opgave 10.4 Mikrobryggeriet Blueberry Brew producerer forskellige former for specialøl, som sælges i lokalområdet. I forbindelse med produktudviklingen af en ny type øl, Blueberry Brew Light Ale, har man gennemført en markedsundersøgelse, hvor man har spurgt 200 tilfældige personer i lokalområdet, om de ville være interesserede i at købe denne nye slags øl. Man har endvidere spurgt om deres alder. Resultatet er vist i tabellen 10.3.

31 10. Hypotesetests for populationsparametre 31 Tabel 10.3: Alder og interesse for Blueberry Brew Light Ale Interesse Ja Nej Måske Under Over a) Test på 5% niveuaet om andelen der gerne vil købe den nye øltype, er på over 25%. b) Test på 5% niveauet om andelen blandt de årige, som gerne vil købe den nye øltype, er større end den tilsvarende andel blandt de personer, som er over 40 år gamle. Opgave 10.5 I Pærekøbing var der i foråret 2008 en del diskussion om, hvilke børn der skulle placeres i hvilke af byens kommunale skoler. En del af forældregruppen til børnene i skolen Pærekøbing Skole Vest var utilfredse med, at børnene havde en for lang skolevej. For at afklare dette udvalgte man tilfældigt 20 elever i skolen Pærekøbing Skole Vest og målte længden af deres skolevej. Resultatet er vist i tabellen Tabel 10.4: Vejlængder for 20 tilfældige elever på Pærekøbing Skole Vest 2,69 1,92 1,15 4,37 0,83 1,72 2,30 0,88 2,43 2,77 3,24 4,27 4,21 2,59 4,09 1,30 0,98 2,03 2,24 3,52 a) Undersøg, om længderne af skolevejen til Pærekøbing Skole Vest kan antages at være normalfordelt. b) Test på 5% niveauet om den gennemsnitlige skolevejlængde til Pærekøbing Skole Vest er på under 2 km. c) Test på 5% niveauet om spredningen på skolevejlængden til Pærekøbing Skole Vest er på 1 km. Til sammenligning undersøgte man tillige vejlængden for 20 tilfældigt udvalgte elever på Pærekøbing Skole Sydøst. Resultaterne er vist i tabellen Tabel 10.5: Vejlængder for 20 tilfældige elever på Pærekøbing Skole Sydøst 2,66 2,50 4,97 3,12 2,62 3,67 2,33 1,94 1,78 2,85 4,08 3,18 2,81 0,79 3,87 2,94 2,13 2,09 4,86 1,85

32 10. Hypotesetests for populationsparametre 32 d) Test på 5% niveauet om varianserne for skolevejlængderne for de to skoler kan være ens. e) Test på 5% niveauet om den gennemsnitlige vejlængde er ens for de to skoler. Opgave 10.6 Månedsmagasinet K!, som især henvender sig til kvinder, har gennemført en markedsundersøgelse for at kortlægge læserskaren. Man har udvalgt 200 tilfældige personer over 18 år og bl.a. spurgt dem om deres køn og deres læsevaner af K!. Resultatet var som i tabel Tabel 10.6: Køn og læsevaner af K! Læser aldrig Læser engang imellem Læser ofte Læser altid Kvinder Mænd a) Test på 5% niveauet om andelen af hyppige læsere, dvs. personer, som læser K! ofte eller altid, udgør mindst 30%. b) Test på 5% niveauet om andelen af kvinder, der er hyppige læsere, er på mindst 40%. c) Test på 5% niveauet om andelen af mænd, som aldrig læser K!, er større end den tilsvarende andel af kvinder. Opgave 10.7 Et dansk computerspilfirma har netop lanceret sin nye titel, HitWoman III. Spillet er sendt til salg i landets butikker med en vejledende udsalgspris på 200 kr. Man er nu interesseret i at undersøge prispolitikken hos sælgerne, og man har derfor indsamlet priser hos 25 tilfældigt udvalgte butikker. Resultatet er vist i tabel Tabel 10.7: Priser for HitWoman III hos 25 butikker a) Undersøg om priserne i tabel 9.7 følger en normalfordeling. b) Test på 5% niveauet om den gennemsnitlige salgspris er mindre end 200.kr c) Test på 5% niveauet om variansen for salgspriserne er under 100 kr 2 Man har ligeledes indsamlet priser hos 25 andre forhandlere for en add-on pakke til HitWoman III kaldet HitWoman III - Shoot em to Hell and Back. Den vejledende udsalgspris er ligeledes 200 kr. Resultatet er vist i tabel 10.8 nedenfor.

33 10. Hypotesetests for populationsparametre 33 Tabel 10.8: Priser for HitWoman III - Shoot em to Hell and Back - hos 25 butikker d) Test på 5% niveauet om varianserne for priserne på HitWoman III og add-on pakken er forskellige. e) Test på 5% niveauet om gennemsnitsprisen for HitWoman er større end for add-on pakken. Spiludvikleren er især bekymret over, at nogle forhandlere tager mere end den vejledende udsalgspris på 200 kr. for spillet. f) Estimér andelen af forhandlere, som tager mere end 200 kr. for selve spillet. g) Test på 5% niveauet om denne andel er mindre end 20%. h) Test på 5% niveauet om andelen af forhandlere, som tager mere end 200 kr. for selve spillet, er forskellig fra andelen af forhandlere, som tager mere end 200 kr. for add-on pakken. Opgave 10.8 Firmaet Mums producerer bl.a. færdige saucer til konsummarkedet. Mums har netop udviklet en ny type sauce, som essentielt er bearnaise-sauce med hvidløg. Inden produktet sendes på markedet, skal det testes blandt et smagspanel bestående af 20 smagsdommere. Disse bedømmer den nye sauce ud fra 10 forskellige kvalitetskriterier, hver på en skala fra 1 til 10, hvorefter resultaterne summeres sammen til et totalindeks. Mums vil kun sende den nye sauce på markedet, hvis det gennemsnitlige indeks er mindst 85 med en standardafvigelse på under 10. De 20 smagsdommeres afgørelse kan ses i tabel Tabel 10.9: 20 smagsdommeres opfattelse af Mums nye sauce a) Test på 5% niveauet om firmaets to krav er opfyldt. Opgave 10.9 En døgnkiosk beliggende i et boligkvarter i Pærekøbing blev af Pærekøbing kommune adviseret om, at der på den vej, hvor kiosken var beliggende, ville blive udført

34 10. Hypotesetests for populationsparametre 34 et omfattende vejarbejde i hele efteråret Kioskens ejer var utilfreds med dette, da han mente, at dette vejarbejde ville besværliggøre adgangen til hans kiosk, og han overvejede derfor at lægge sag an mod kommunen. For at kunne bevise et fald i omsætningen undersøgte han i 20 dage før vejarbejdet begyndte det daglige antal kunder, han havde, og i løbet af 20 dage under vejarbejdet undersøgte han ligeledes det daglige antal kunder. Resultatet af hans undersøgelser er vist i tabel Tabel 10.10: Dagligt antal kunder før og under vejarbejdet Før vejarbejde Under vejarbejde a) Undersøg, om det daglige antal kunder før vejarbejdet kan beskrives ved en normalfordeling. Gennemfør en tilsvarende undersøgelse for antal kunder efter vejarbejdets begyndelse. b) Test på 5% niveauet om spredningen på det daglige antal kunder i de to stikprøver kan være forskelligt. c) Test på 5% niveauet om vejarbejdets igangsættelse har sænket det gennemsnitlige antal daglige kunder. Kioskejeren får af sin advokat at vide, at der kun er mulighed for erstatning, hvis han kan dokumentere et nedgang i det daglige antal kunder på mindst 25 kunder i gennemsnit. d) Test på 5% niveauet om kioskejeren har mulighed for at få erstatning. Opgave En producent af økologisk salt synes, at salget går for trægt. Man har derfor iværksat en reklamekampagne for at øge salget. For at undersøge om kampagnen har haft nogen virkning, har man udvalgt 20 tilfældige butikker og undersøgt deres salg (målt i antal pakker salt om ugen) før og efter kampagnen. Resultatet er vist i nedenstående tabel a) Test på 5% niveauet om kampagnen har forøget salget. Du bedes gøre rede for og teste samtlige forudsætninger.