Om lige og krumme kvadrater; BM 15285

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Om lige og krumme kvadrater; BM 15285"

Transkript

1 Om lige og krumme kvadrater; BM af Lis Brack-Bernsen Kære Marinus. Hjertelig tillykke med de I << MU (= 1,20 år). Du kender sikkert det babylonske sexagesimal system, og det er det passende for dette bidrag. 1 Det skal handle om en gammel babylonsk matematisk tekst, der stammer fra en lertavle, BM 15285, som befinder sig i British museum. Eleanor Robson har behandlet den indgående i sin bog Mesopotamian Mathematics, BC (Clarendon Press, Oxford 1999), og hun har været så venlig at overlade mig sine fine og præcise tegninger af teksten sammen med følgende hilsen til dig: Happy birthday Marinus! With my very best wishes, Eleanor BM forsiden 1. Det Babylonske sexagesimalsystem er et positions talsystem med basis 60. Vi kan finde reminiscens deraf i vor tidsmåling: 1 time = 60 minutter og 1 minut = 60 sekunder. Vi gengiver kileskrifttal ved hjælp af vore arabiske tal: 12; 22,8 betyder x x 60-2 mens vores tal 365 bliver skrevet som 6, 5 = 6x AIGIS Supplementum III Marinus 80 1

2 Her ser du en masse opgaver, der alle har ét tilfælles: der er tegnet et kvadrat som er inddelt i mindre dele og teksten til hver af disse opgaver begynder med at fastslå, at siden af det store kvadrat har længden 1 UŠ og nu skal man finde arealet af delene. Spørgsmålet er hvordan eleverne mon kunne finde arealerne dengang opgaverne blev stillet altså i oldbabylonsk tid (~1800 år før Kristi fødsel)? BM bagsiden Ovenstående tegninger og teksterne til opgaverne, som jeg gengiver nedenfor i Eleanor Robsons oversættelse stammer fra Appendix 2: BM 15285, side i Mesopotamian Mathematics, BC. Her findes henvisning til andre publikationer, der har behandlet denne tekst hver eneste gang ved benyttelse af formler for arealer af geometriske figurer. Jeg vil nu betragte og behandle opgaverne på en helt anden måde; men føst gengive nogle af opgaverne. AIGIS Supplementum III Marinus 80 2

3 Eleanor Robson præsenterer de geometriske figurer og dermed opgaverne i overensstemmelse med tekstens kolonner. Jeg har overtaget hendes nummerering af opgaverne og gengiver nedenfor kun den engelske oversættelse, men ikke hendes translitteration af kileskriften til akkadisk: Kolonne I (i) [The side of the square is 1 UŠ. I made a border each side and I drew a second square. What is its area?] (ii) The side of the square is 1 UŠ. I made a border each side and I drew a second square. Inside the square I drew a circle. (iii) The side of the square is 1 UŠ. I made a border each side and I drew a second square. Inside the square I drew a circle. What is its area? (iv) The side of the square is 1 UŠ. Inside it I drew a square and a circle: The circle that I drew touched the square. AIGIS Supplementum III Marinus 80 3

4 Fra Kolonne II gengiver jeg nedenfor et par af opgaverne: (v) [The side of the square is 1 UŠ.] < I drew> a second [square. Inside the second square I drew ] 4 triangles and 1 circle. Bemærk at de ligesidede trekanter, der tales om her har krumme, konkave grundlinier. (vi) [ The side of the square is 1 UŠ. <I drew> a second square. Inside the second square I drew 4 squares and 1 circle.] (vii) The side of the square is 1 UŠ Inside it I drew a second square. The squares that I drew touched the outer square. What is its areas? Udvalgte opgaver fra Kolonne III (x) The side of the square is 1 UŠ. Inside it I drew 8 triangles. What are their [areas]? (xii) The side of the square is 1 UŠ. Inside it [I drew] 16 triangles. What are their areas AIGIS Supplementum III Marinus 80 4

5 Fra Kolonne VI gengiver jeg kun 2 opgaver: (xxiii) The side of the square is 1 UŠ. Inside it are 4 squares, 4 rectangles and 4 triangles. (xxiv) The side of the square is 1 UŠ. Inside it I drew 16 squares. Senest her, ved betragtning af denne figur må man da komme på en ret nærliggende løsning: Det store kvadrat K er i opgave (xxiv) delt i 16 lige store dele. Andre kvadrater er ligeledes delt i lige store dele. Det er tilfældet for kvadratet i opgave (x), det er delt i 8 ligestore dele, og for opgave (xii) der deler kvadratet i 16 kongruente trekanter. Kender man figuren (xxiv) kan man i tankerne tilføje hjælpelinier til figur (i) og derved straks erkende at det lille kvadratet i midten er lig ¼ af det store kvadrat. Det samme kan man umiddelbart se af figur (xxiii). I hver eneste opgave hvor det store kvadrat er delt ved rette linier kan man (eventuelt ved hjælp af et par ekstra delelinier) hurtigt overse, hvor mange 16-dele de forskellige delfigurer er sammensat af. Det vil sige, at man meget let kan finde arealerne af delene: blot ved at tælle delene og dividere det store areal med antallet af delene. I opgave (xxiii) skal man for eksempel blot bemærke at rektanglerne er dobbelt så store som trekanterne og de små kvadrater. I Mesopotamien målte man som regel horisontale afstande in enheder af NINDA = ca. 6 meter. En UŠ er lig med 60 NINDA, hvilket ifølge Neugebauers konvention bliver gengivet som 1, 0 NINDA. Vort kvadrat, K, har sidelængden 1, 0 NINDA ( = 60 NINDA ~ 360 meter) og et areal på 1, 0, 0 SAR ( = 1,0,0 NINDA² ~ m²). ⅟₁₆ heraf er 3,45 SAR (=225 SAR). Vi har hermed fundet løsnigen til opgave (xii) og (xxiv). AIGIS Supplementum III Marinus 80 5

6 Jeg formoder at længden 1 UŠ er valgt således at division med 8, 16 og andre potenser af 2 er lette at udføre (se også appendix). Vi kan umiddelbart blot ved at betragte figurene finde størrelsen af de arealer, der bliver spurgt om i opgave (i), (vii), (xxiv) og (x): Kvadratet i figur (i) er lig ¼ af K = 15, 0 SAR. Det indre kvadrat i figur (vii) er lig ½ K = 30, 0; og hvert at de små kvadrater i (xxiv) er lig med ⅟₁₆ K = 3,45. I figur (x) er K delt i 8 lige store trekanter, således at hver af dem er lig med ⅛ K = 7,30. Bemærk, at man ikke behøver at vide, at arealet af en trekant er lig grundlinien l gange ½ h for at løse opgaverne. Arealet af alle geometriske delfigurer, der er fremkommet ved deling af K ved rette linier kan findes ved at betragte figuren og derefter dividere K med den passende potens af 2. Vi går nu over til at betragte opgaverne på bagsiden af BM Spørgsmålet er nu hvordan kan man finde arealerne i de tilfælder hvor cirkelbuer deler kvadratet K i mindre dele. (xxxvi) Af opgave (xxxvi) er det kun figuren; men ikke teksten der er bevaret. I analogi til de øvrige opgaver kan vi formode, at man også her skulle finde arealerne - af cirklerne, og måske også af trekanterne med delvis krumme sider. Den konkave firkant i midten af K blev kaldt et apsamikkum. Babylonerne kendte konstanter og formler for at beregne denne figur samt andre delfigurer med krummer sider (Se Eleanor Robson 3. Geometrical Coefficients S ). Kan disse opgaver mon også løses umiddelbart og ved betragtning af figurene, som de ovenstående opgaver? Det vil jeg argumentere for. Betragter vi nu opgave (xl), der har 5 konkave kvadrater, som er kaldt apsamikkum i andre tekster. AIGIS Supplementum III Marinus 80 6

7 (xl) The side of the square is 1 UŠ. <Inside it are< 4 triangles, 16 barges, 5 concave squares. I denne gengivelse af figuren ser man ikke de hjælpelinier, der er ret tydelige i Eleanor Robsons tegning af teksten. Jens Høyrup har argumenteret overbevisende for at der blev benyttet geometriske skitser til at vise eleverne hvordan de kunne udføre forskellige beregninger. (Se hans Algebra på lertavler 1998). Disse skitser var grove og ikke helt præcise; men de gengav ideen og løsningsvejen fint. Jeg er overbevist om at han har ret, og at de synlige delelinier på tavlen BM også er vigtige. Derfor gengiver jeg figuren til opgave (xl) på ny, idet jeg tilføjer de synlige delelinier til figuren. (xl) De indtegnede hjælpelinier gør det tydeligere, at hvert apsamikkum er sammensat af 4 kongruente trekanter med krum grundlinie. Nogle sådan blev der spurgt om i opgave (v), så nu vil jeg betragte dem noget nærmere, og tillader mig at opfinde endnu en opgave. Man kan gennemføre alle argumenterne på denne figur, men det er overskueligere på min hjælpefigur (ø): AIGIS Supplementum III Marinus 80 7

8 (ø) Siden af kvadratet er 1 UŠ. Indeni er der et konkavt kvadrat (apsamikkum), 4 små skibe og 4 trekanter med konkav grundlinie. Hvor store er deres arealer? (øø) Jeg tilføjer nogle hjælpelinier dog udelukkende sådanne, som man kan finde indtegnet i figurene på vor tavle BM og påstår, at min figur nu er inddelt i 16 lige store dele. Ud fra denne antagelse er det meget nemt at løse opgaven og finde arealet af enhver delfigur: Hver af de konkave trekanter har arealet = ⅟₁₆ af K, og de er lige så store som hvert af de 8 cirkelafsnit over de skrå korder. Cirkelafsnittene taget parvis giver os 4 linseformede flader med areal lig ⅛ K. Sådanne linseformede figurer er i andre matematiske kileskrifter kaldt lille skib. Det konkave kvadrat, apsammikkum, har arealet ¼ K; mens cirklens areal er lig med 12 x ⅟₁₆ K = ¾ K. Arealet af en cirkel, der er indskrevet i et kvadrat, er efter denne min påstand lig med ¾ af det omsluttende kvadrat. Med denne viden kan vi umiddelbart også løse opgaverne (ii), (iii), (iv) og (v) blot ved i tankerne at tilføje nogle hjælpelinier eller ved at have denne figur (øø) i tankerne. At en cirkelflade er lig med ¾ af dens omskrevne kvadrat svarer til at vores π blev regnet som 3 af de gamle babylonere. Værdien 3 for π kan findes mere eller mindre indirekte i mange matematiske kileskrifttekster. Koefficienten for en cirkel er 0;05. Det betyder at enhedscirklen med omkreds 1 har arealet 0;05, og det medfører, at arealet af en cirkel med omkreds O blev udregnet som O 2 x 0;05 = O 2 /12. En anden koefficient angiver diameteren i enhedscirklen til at være 0;20 altså lig ⅓ af omkredsen. Eleanor Robson (1999. S ) viser i afsnittet The concave square and related figures hvordan arealerne af alle de omtalte delfigurer (konkav trekant, lille skib, apsamikkum) kan udregnes ved hjælp af geome- AIGIS Supplementum III Marinus 80 8

9 triske koefficienter, der blev ført i lange lister. Bortset fra at Robson fejlagtigt 2 gik ud fra et kvadrat med siden 1, stemmer de resultater hun kom frem til helt overens med hvad vi kan aflæse direkte af vor opfundne figur (øø). Det samme kan også aflæses af de figurer, der er tegnet på BM 15285: Et lille skib er dobbelt så stor som en konkav trekant; og det konkave kvadrat er dobbelt så stort som et lille skib, og halvt så stort som det stiplede kvadratet der står på spidsen. Cirklen er 6 gange så stor som et lille skib og lig ¾ af det omskrevne kvadrat. Jeg vil hermed ikke påstå, at de babylonske geometriske koefficienter er afledt af vor figure i forbindelse med min påstand (selv om det er muligt), men blot henvise til, at det er indbydende og let at aflæse meget mere af (babylonske) figurer, end vi hidtil har gjort. Det er nærliggende at gøre det, og jeg overbevist om at teksten BM af babylonerne selv også blev brugt til af aflæse størrelsene af de indtegnede arealer. Jeg mener også at have gode argumenter herfor: Lad os for eksempel betragte opgave (xxv), som er reproduceret nedenfor: (xxv) The is 1 UŠ. the width. Hvis man betragter denne opgave alene, kan man hverken forstå eller rekonstruere den og da slet ikke finde arealet af den indtegnede figur. Mere indsigt giver det, hvis vi kombinerer opgaven med opgave (xxxi), så det vil vi gøre: (xxxi) The side of the square is 1 UŠ. Inside it are 2 semi-circles, 2 triangles, 1 Cone?, 1 rectangle and 4 squares. 2. Fejlen er elimineret i Robsons (2008) The long Career of a Favorite Figure Festschrift Slotsky, s: , hvor Robson gengiver tekster, der regner med apsammikum under anvendelse af de relevante koefficienter. AIGIS Supplementum III Marinus 80 9

10 I figur (xxxi) har jeg, med stiplede linier, indtegnet de to hjælpelinier, der tydeligt kan erkendes på Eleanor Robsons tegning (der blev gengivet i begyndelsen af denne artikel). Betrager vi denne figur med kyndige øjne, ser vi omgående, at halvkredsen er lig med ¾ af det omskrevne rektangel og at det lille indre kvadrat, k, er delt i trekanter, hvis arealer vi kan aflæse af figuren: k er delt i 2 retvinklede trekanter, der hver er lig ¼ k samt en ligesidet trekant, der er lig ½ k. Vi ved også at k = ¼ K og at rektanglet er lig ½ k, og hermed kan alle arealer let udregnes. Lad os blot udregne arealet af delfiguren Cone?, der ser ud som en kugle is i et gammeldage kræmmerhus, og som også er tegnet i figur (xxv): Den ligesidede trekant er lig ½ k = ½ x ¼ K = 7,30 SAR, og iskuglen = 1 semi-circle = ⅓ x ½ k = 2,30 SAR. Kære Marinus, Du har selv i din instruktive COLOURED QUADRANGLES henvist til hvor vigtige og hjælpsomme matematiske figurer kan være. Derfor håber jeg, at Du har haft lidt fornøjelse af at betragte mine babylonske figurer. (Marinus) Jeg har nu rammet en af figurene ind i festligt rødt. Dette røde kvadrat har siden 16, så nu er din opgave at finde (eller udregne) Din alder. Den er lig summen af de 5 apsamikkum, der er indtegnet i dit røde Kvadrat. Hjertelig tillykke med den runde fødselsdag. Med de bedste ønsker for endnu mange sunde, glade og aktive år sender jeg mine kærligste hilsener, Lis Brack-Bernsen. AIGIS Supplementum III Marinus 80 10

11 Litteratur: Jens Høyrup, Algebra på lertavler, Jysk Centraltrykkeri, Eleanor Robson, Mesopotamian Mathematics, BC, Clarendon Press, Oxford The long Career of a Favorite Figure i From the Banks of the Euphrates, studies in honor of Alice Louise Slotsky, Ed. Micah Ross Eisenbrauns, 2008 Appendix: Nedenfor gengiver jeg Jens Høyrups argumentation for at kvadratet K, der bliver omtalt i opgaverne på BM 15285, har siden 1 UŠ = 1,0 NINDA. Indtil da havde alle forskere læst teksten anderledes og regnet med en sidelængde på 1. Jeg takker Jens for denne henvisning. Argumentationen stammer fra side 157 i Oelsners festskrift: Assyriologica of Semitica: Festschrift für Joachim Oelsner anlässlich seines 65. Geburtstages am 18. Februar 1997 von Joachim Marzahn, Hans Neumann und Andreas Fuchs (Januar 2001) BM is less easily categorized. The text is a catalogue of problems about the inscription of geometrical figures in a square. Problems start 1 uš mi-it-a-ar-tum (at times written 1 uš íb.si8). Normally uš is read uš, length, and translated 1 (ist) die Länge. Ein Quadrat [MKT I, 138], Un carré: le flanc est 1 [TMB, 53], or The length of the square is 1 [Robson 1995: 248]. The reference to the length of a square is used in the Tell Harmal Compendium (group 7B) and TMS V+VI (group 8B), perhaps also in TMS VIII (group 8A); if the interpretation is correct the expression hence suggests the northern orbit. But it hardly is. Robson's translation does not fit the nominative of mitartum;[ 3 ] Neugebauer and Thureau-Dangin instead read mitartum/ íb.si8 as an indication of the object, which is then in a most unusual second position (which 3. If we try instead (no obvious choice!) to read mithartum as a Gt-verbal adjective (and the whose expression thus as a stative variant of the imtahhar-construction), the singular feminine form of mithartum does not fit an interpretation of uš neither as a singular (whence masculine), nor as a feminine (whence plural). AIGIS Supplementum III Marinus 80 11

12 Thureau-Dangin corrects in his translation).[ 4 ] A reading of uš as the unit 60 nindan, and the whole phrase as 1 uš [= 1` nindan] is the equalside seems a more likely alternative. This reading, however, has no implications as to the origin of the tablet.) 4. In YBC , it is true, the object (the ki.lá) was sometimes told after the wage to be paid. But the dimensions of the object still follow its presentation. AIGIS Supplementum III Marinus 80 12

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10 Navn: Emil Kirkegaard Årskortnr. 20103300 Hold nr. 10 Det stillede spørgsmål 1. Redegør for forholdet mellem det vellykkede liv (eudaimonia) og menneskelig dyd eller livsduelighed (areté) i bog 1 og bog

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Interaktiv Whiteboard og geometri

Interaktiv Whiteboard og geometri Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 2 ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold Indhold Arealberegning... 2 Kvadrat/rektangulær... 2 Rektangel... 2 Kvadrat... 2 Cirkel... 2 Omkredsberegning... 3 Kvadrat/rektangulær... 3 Rektangel... 3 Kvadrat... 3 Cirkel... 3 Rumfangsberegning...

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer Me and my pet My dogs SVTV2, 2011, 5 min. Tekstet på engelsk Me and my pet er en svenskproduceret undervisningsserie til engelsk for børn i 4. klasse, som foregår på engelsk, i engelsktalende lande og

Læs mere

fsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler

fsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning Maj 2012 Et svarark er vedlagt som bilag til dette opgavesæt 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der

Læs mere

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning I Matematik for 4.-6. klasse sendes eleverne gruppevis ud i for at løse matematikopgaver med direkte afsæt i både natur og menneskeskabte

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingerne til 2013 I dag nåede vi op på 85 tilmeldte både. Det er stadig lidt lavere end samme tidspunkt sidste år. Tilmeldingen er åben

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11 Opgavens art: Opgaveformulering: Fagområde: Opgavens varighed: Teoretisk Gennemgang af lommeregner Sprøjtestøbning 4 lektioner Niveau, sammenlignet med uddannelsen: Henvisning til hjælpemidler: Grunduddannelse

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Naturen i byen Overlade Skole. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse. For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik.

Naturen i byen Overlade Skole. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse. For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik. Et MEGA godt emne det har været sjovt! Patrick Stistrup 6. klasse Indhold - Hvad har vi

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

BILAG 8.1.B TIL VEDTÆGTER FOR EXHIBIT 8.1.B TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR

BILAG 8.1.B TIL VEDTÆGTER FOR EXHIBIT 8.1.B TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR BILAG 8.1.B TIL VEDTÆGTER FOR ZEALAND PHARMA A/S EXHIBIT 8.1.B TO THE ARTICLES OF ASSOCIATION FOR ZEALAND PHARMA A/S INDHOLDSFORTEGNELSE/TABLE OF CONTENTS 1 FORMÅL... 3 1 PURPOSE... 3 2 TILDELING AF WARRANTS...

Læs mere

fs10 1 På rejse til VM i fodbold 2 VM-fodbolden Brazuca 3 Brasilien og Danmark 4 Fodboldkampe og odds 5 Korde i en cirkel Matematik 10.

fs10 1 På rejse til VM i fodbold 2 VM-fodbolden Brazuca 3 Brasilien og Danmark 4 Fodboldkampe og odds 5 Korde i en cirkel Matematik 10. fs10 10.-klasseprøven Matematik Maj 2014 1 På rejse til VM i fodbold 2 VM-fodbolden Brazuca 3 Brasilien og Danmark 4 Fodboldkampe og odds 5 Korde i en cirkel 1 På rejse til VM i fodbold Ane og Bjarne planlægger

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? 2. december Hvilket matematisk tegn kan anbringes mellem 2 og 3, således at

Læs mere

Sproginddragelse i matematikundervisningen. Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev

Sproginddragelse i matematikundervisningen. Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev Sproginddragelse i matematikundervisningen Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev Mål og fokusområder der skal indgå i planlægning og gennemførelse

Læs mere

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014 Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Sproglig bevidsthed i matematik undervisningen Sum er noget bierne gør, når de flyver i haven Negativ

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

Application form - au pair (please use block capial letters when filling in the form)

Application form - au pair (please use block capial letters when filling in the form) Application form - au pair (please use block capial letters when filling in the form) Au Pairs International Sixtusvej 15, DK-2300 Copenhagen S Tel: +45 3284 1002, Fax: +45 3284 3102 www.aupairsinternational.com,

Læs mere

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål 5. klasse Årsplan Kapitel 1: Tal Eleven Talsystem Regnestrategier Fase 1: Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

EU vedtager et nyt program, som med 55 millioner EUR skal give børn større sikkerhed på internettet

EU vedtager et nyt program, som med 55 millioner EUR skal give børn større sikkerhed på internettet IP/8/899 Bruxelles, den 9 december 8 EU vedtager et nyt program, som med millioner EUR skal give børn større sikkerhed på internettet EU får et nyt program for forbedring af sikkerheden på internettet

Læs mere

Lærervejledning. - til computerprogrammet Google Sketchup og Mathcad

Lærervejledning. - til computerprogrammet Google Sketchup og Mathcad Lærervejledning - til computerprogrammet Google Sketchup og Mathcad Klassetrin/niveau: 4.-6. klasse/ mellemtrinet. Opgaverne kan dog med fordel anvendes i indskolingen og udskolingen. Introduktion: Google

Læs mere

Årsplan for matematik i 3. klasse

Årsplan for matematik i 3. klasse www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk Årsplan for matematik i 3. klasse Mål Eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik

Læs mere

ROSE AND CROWN. Malene Djursaa Charlotte Werther. Ideas and Identities in British Politics and Society. Third Edition HANDELSHØJSKOLENS FORLAG

ROSE AND CROWN. Malene Djursaa Charlotte Werther. Ideas and Identities in British Politics and Society. Third Edition HANDELSHØJSKOLENS FORLAG ROSE AND CROWN Ideas and Identities in British Politics and Society Malene Djursaa Charlotte Werther Third Edition HANDELSHØJSKOLENS FORLAG Malene Djursaa and Charlotte Werther Rose and Crown Ideas and

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

MATEMATIK SÅNING I SKOLEHAVEN SIDE 1 MATEMATIK. Såning i skolehaven

MATEMATIK SÅNING I SKOLEHAVEN SIDE 1 MATEMATIK. Såning i skolehaven SIDE 1 MATEMATIK SÅNING I SKOLEHAVEN MATEMATIK Såning i skolehaven SIDE 2 MATEMATIK SÅNING I SKOLEHAVEN MATEMATIK SÅNING I SKOLEHAVEN SIDE 3 MATEMATIK Såning i skolehaven INTRODUKTION I dette forløb skal

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Terese B. Thomsen 1.semester Formidling, projektarbejde og webdesign ITU DMD d. 02/11-2012

Terese B. Thomsen 1.semester Formidling, projektarbejde og webdesign ITU DMD d. 02/11-2012 Server side Programming Wedesign Forelæsning #8 Recap PHP 1. Development Concept Design Coding Testing 2. Social Media Sharing, Images, Videos, Location etc Integrates with your websites 3. Widgets extend

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingerne til 2013 I dag nåede vi op på 77 tilmeldte både. Det er lidt lavere end samme tidspunkt sidste år. Til gengæld er det glædeligt,

Læs mere

Mobile Hospitals. A world on wheels

Mobile Hospitals. A world on wheels Mobile Hospitals A world on wheels 01 HMK bilcon presentation history, products, facts 02 Mobile Blood Donation Units 3D film Examples Standard specifications Fully custom made solutions Film preparing

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale SMARTBOARD Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale Materialet må ikke kopieres eller på anden måde videredistribueres Opgave 1 Det grundlæggende a) Skriv med håndskrift på tavlen følgende brug pen eller

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Matematik i anvendelse Undervisningen giver eleverne mulighed for at handle med fagligt overblik og dømmekraft i komplekse situationer med matematik

Matematik i anvendelse Undervisningen giver eleverne mulighed for at handle med fagligt overblik og dømmekraft i komplekse situationer med matematik MATEMATIK Matematik og regning er et af de meget fundamentale fag, som ligger til grund for så megen anden forståelse af den verden, vi befinder os i, dens lovmæssigheder, mønstre, sammenhænge og udvikling.

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning

Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning Lykken er så lunefuld Om måling af lykke og tilfredshed med livet, med fokus på sprogets betydning Jørgen Goul Andersen (email: goul@ps.au.dk) & Henrik Lolle (email: lolle@dps.aau.dk) Måling af lykke eksploderer!

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Bilag. Resume. Side 1 af 12

Bilag. Resume. Side 1 af 12 Bilag Resume I denne opgave, lægges der fokus på unge og ensomhed gennem sociale medier. Vi har i denne opgave valgt at benytte Facebook som det sociale medie vi ligger fokus på, da det er det største

Læs mere

Danske elevers udfordringer i matematik. Uffe Thomas Jankvist AU (DPU) & RUC

Danske elevers udfordringer i matematik. Uffe Thomas Jankvist AU (DPU) & RUC Danske elevers udfordringer i matematik Uffe Thomas Jankvist AU (DPU) & RUC Disposition for de næste 30 min. Matematikspecifikke udfordringer matematikvanskeligheder Hvad ved vi fra PISA set fra et fagdidaktisk

Læs mere

AVU trin 2 prøver i matematik Facitforslag Dec. 2005. ISBN: 87-90652-65-7 ISSN: 1603-9432 EH-Mat 2006

AVU trin 2 prøver i matematik Facitforslag Dec. 2005. ISBN: 87-90652-65-7 ISSN: 1603-9432 EH-Mat 2006 Denne udgave på internettet er ment som en gennemsynsudgave. Ønsker du at anvende materialet, kan du købe materialet i en trykt version. Et VUC eller en anden undervisningsinstitution kan købe en digital

Læs mere

Cookie-reglerne set fra myndighedsside Dansk Forum for IT-ret 5. november 2012

Cookie-reglerne set fra myndighedsside Dansk Forum for IT-ret 5. november 2012 Cookie-reglerne set fra myndighedsside Dansk Forum for IT-ret 5. november 2012 Af Kontorchef Brian Wessel Program Status på gennemførelsen af reglerne i DK Udfordringerne og svar herpå Erhvervsstyrelsens

Læs mere

Trolling Master Bornholm 2013

Trolling Master Bornholm 2013 Trolling Master Bornholm 2013 (English version further down) Tilmeldingen åbner om to uger Mandag den 3. december kl. 8.00 åbner tilmeldingen til Trolling Master Bornholm 2013. Vi har flere tilmeldinger

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

RentCalC V2.0. 2012 Soft-Solutions

RentCalC V2.0. 2012 Soft-Solutions Udlejnings software Vores udvikling er ikke stoppet!! by Soft-Solutions RentCalC, som er danmarks ubetinget bedste udlejnings software, kan hjælpe dig med på en hurtigt og simple måde, at holde styr på

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Årsplan. 1. klasse. Bageriet marked. Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle

Årsplan. 1. klasse. Bageriet marked. Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle Årsplan 1. klasse Tal i hverdagen Plus på spil Byens former En tur i center Indianere De gamle Bageriet Loppearabere marked ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger ca. 4-5 uger

Læs mere

Hvor er mine runde hjørner?

Hvor er mine runde hjørner? Hvor er mine runde hjørner? Ofte møder vi fortvivlelse blandt kunder, når de ser deres nye flotte site i deres browser og indser, at det ser anderledes ud, i forhold til det design, de godkendte i starten

Læs mere

Information Systems ICT. Welcome to. Autumn Meeting Oct 2013, Copenhagen(DK)

Information Systems ICT. Welcome to. Autumn Meeting Oct 2013, Copenhagen(DK) Information Systems ICT Welcome to Autumn Meeting Oct 2013, Copenhagen(DK) Agenda Autumn Meeting 2013 Thursday 24:th of October 10:00 Velkomst. Status fra formanden og gennemgang af program for høstmødet

Læs mere