Om lige og krumme kvadrater; BM 15285

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Om lige og krumme kvadrater; BM 15285"

Transkript

1 Om lige og krumme kvadrater; BM af Lis Brack-Bernsen Kære Marinus. Hjertelig tillykke med de I << MU (= 1,20 år). Du kender sikkert det babylonske sexagesimal system, og det er det passende for dette bidrag. 1 Det skal handle om en gammel babylonsk matematisk tekst, der stammer fra en lertavle, BM 15285, som befinder sig i British museum. Eleanor Robson har behandlet den indgående i sin bog Mesopotamian Mathematics, BC (Clarendon Press, Oxford 1999), og hun har været så venlig at overlade mig sine fine og præcise tegninger af teksten sammen med følgende hilsen til dig: Happy birthday Marinus! With my very best wishes, Eleanor BM forsiden 1. Det Babylonske sexagesimalsystem er et positions talsystem med basis 60. Vi kan finde reminiscens deraf i vor tidsmåling: 1 time = 60 minutter og 1 minut = 60 sekunder. Vi gengiver kileskrifttal ved hjælp af vore arabiske tal: 12; 22,8 betyder x x 60-2 mens vores tal 365 bliver skrevet som 6, 5 = 6x AIGIS Supplementum III Marinus 80 1

2 Her ser du en masse opgaver, der alle har ét tilfælles: der er tegnet et kvadrat som er inddelt i mindre dele og teksten til hver af disse opgaver begynder med at fastslå, at siden af det store kvadrat har længden 1 UŠ og nu skal man finde arealet af delene. Spørgsmålet er hvordan eleverne mon kunne finde arealerne dengang opgaverne blev stillet altså i oldbabylonsk tid (~1800 år før Kristi fødsel)? BM bagsiden Ovenstående tegninger og teksterne til opgaverne, som jeg gengiver nedenfor i Eleanor Robsons oversættelse stammer fra Appendix 2: BM 15285, side i Mesopotamian Mathematics, BC. Her findes henvisning til andre publikationer, der har behandlet denne tekst hver eneste gang ved benyttelse af formler for arealer af geometriske figurer. Jeg vil nu betragte og behandle opgaverne på en helt anden måde; men føst gengive nogle af opgaverne. AIGIS Supplementum III Marinus 80 2

3 Eleanor Robson præsenterer de geometriske figurer og dermed opgaverne i overensstemmelse med tekstens kolonner. Jeg har overtaget hendes nummerering af opgaverne og gengiver nedenfor kun den engelske oversættelse, men ikke hendes translitteration af kileskriften til akkadisk: Kolonne I (i) [The side of the square is 1 UŠ. I made a border each side and I drew a second square. What is its area?] (ii) The side of the square is 1 UŠ. I made a border each side and I drew a second square. Inside the square I drew a circle. (iii) The side of the square is 1 UŠ. I made a border each side and I drew a second square. Inside the square I drew a circle. What is its area? (iv) The side of the square is 1 UŠ. Inside it I drew a square and a circle: The circle that I drew touched the square. AIGIS Supplementum III Marinus 80 3

4 Fra Kolonne II gengiver jeg nedenfor et par af opgaverne: (v) [The side of the square is 1 UŠ.] < I drew> a second [square. Inside the second square I drew ] 4 triangles and 1 circle. Bemærk at de ligesidede trekanter, der tales om her har krumme, konkave grundlinier. (vi) [ The side of the square is 1 UŠ. <I drew> a second square. Inside the second square I drew 4 squares and 1 circle.] (vii) The side of the square is 1 UŠ Inside it I drew a second square. The squares that I drew touched the outer square. What is its areas? Udvalgte opgaver fra Kolonne III (x) The side of the square is 1 UŠ. Inside it I drew 8 triangles. What are their [areas]? (xii) The side of the square is 1 UŠ. Inside it [I drew] 16 triangles. What are their areas AIGIS Supplementum III Marinus 80 4

5 Fra Kolonne VI gengiver jeg kun 2 opgaver: (xxiii) The side of the square is 1 UŠ. Inside it are 4 squares, 4 rectangles and 4 triangles. (xxiv) The side of the square is 1 UŠ. Inside it I drew 16 squares. Senest her, ved betragtning af denne figur må man da komme på en ret nærliggende løsning: Det store kvadrat K er i opgave (xxiv) delt i 16 lige store dele. Andre kvadrater er ligeledes delt i lige store dele. Det er tilfældet for kvadratet i opgave (x), det er delt i 8 ligestore dele, og for opgave (xii) der deler kvadratet i 16 kongruente trekanter. Kender man figuren (xxiv) kan man i tankerne tilføje hjælpelinier til figur (i) og derved straks erkende at det lille kvadratet i midten er lig ¼ af det store kvadrat. Det samme kan man umiddelbart se af figur (xxiii). I hver eneste opgave hvor det store kvadrat er delt ved rette linier kan man (eventuelt ved hjælp af et par ekstra delelinier) hurtigt overse, hvor mange 16-dele de forskellige delfigurer er sammensat af. Det vil sige, at man meget let kan finde arealerne af delene: blot ved at tælle delene og dividere det store areal med antallet af delene. I opgave (xxiii) skal man for eksempel blot bemærke at rektanglerne er dobbelt så store som trekanterne og de små kvadrater. I Mesopotamien målte man som regel horisontale afstande in enheder af NINDA = ca. 6 meter. En UŠ er lig med 60 NINDA, hvilket ifølge Neugebauers konvention bliver gengivet som 1, 0 NINDA. Vort kvadrat, K, har sidelængden 1, 0 NINDA ( = 60 NINDA ~ 360 meter) og et areal på 1, 0, 0 SAR ( = 1,0,0 NINDA² ~ m²). ⅟₁₆ heraf er 3,45 SAR (=225 SAR). Vi har hermed fundet løsnigen til opgave (xii) og (xxiv). AIGIS Supplementum III Marinus 80 5

6 Jeg formoder at længden 1 UŠ er valgt således at division med 8, 16 og andre potenser af 2 er lette at udføre (se også appendix). Vi kan umiddelbart blot ved at betragte figurene finde størrelsen af de arealer, der bliver spurgt om i opgave (i), (vii), (xxiv) og (x): Kvadratet i figur (i) er lig ¼ af K = 15, 0 SAR. Det indre kvadrat i figur (vii) er lig ½ K = 30, 0; og hvert at de små kvadrater i (xxiv) er lig med ⅟₁₆ K = 3,45. I figur (x) er K delt i 8 lige store trekanter, således at hver af dem er lig med ⅛ K = 7,30. Bemærk, at man ikke behøver at vide, at arealet af en trekant er lig grundlinien l gange ½ h for at løse opgaverne. Arealet af alle geometriske delfigurer, der er fremkommet ved deling af K ved rette linier kan findes ved at betragte figuren og derefter dividere K med den passende potens af 2. Vi går nu over til at betragte opgaverne på bagsiden af BM Spørgsmålet er nu hvordan kan man finde arealerne i de tilfælder hvor cirkelbuer deler kvadratet K i mindre dele. (xxxvi) Af opgave (xxxvi) er det kun figuren; men ikke teksten der er bevaret. I analogi til de øvrige opgaver kan vi formode, at man også her skulle finde arealerne - af cirklerne, og måske også af trekanterne med delvis krumme sider. Den konkave firkant i midten af K blev kaldt et apsamikkum. Babylonerne kendte konstanter og formler for at beregne denne figur samt andre delfigurer med krummer sider (Se Eleanor Robson 3. Geometrical Coefficients S ). Kan disse opgaver mon også løses umiddelbart og ved betragtning af figurene, som de ovenstående opgaver? Det vil jeg argumentere for. Betragter vi nu opgave (xl), der har 5 konkave kvadrater, som er kaldt apsamikkum i andre tekster. AIGIS Supplementum III Marinus 80 6

7 (xl) The side of the square is 1 UŠ. <Inside it are< 4 triangles, 16 barges, 5 concave squares. I denne gengivelse af figuren ser man ikke de hjælpelinier, der er ret tydelige i Eleanor Robsons tegning af teksten. Jens Høyrup har argumenteret overbevisende for at der blev benyttet geometriske skitser til at vise eleverne hvordan de kunne udføre forskellige beregninger. (Se hans Algebra på lertavler 1998). Disse skitser var grove og ikke helt præcise; men de gengav ideen og løsningsvejen fint. Jeg er overbevist om at han har ret, og at de synlige delelinier på tavlen BM også er vigtige. Derfor gengiver jeg figuren til opgave (xl) på ny, idet jeg tilføjer de synlige delelinier til figuren. (xl) De indtegnede hjælpelinier gør det tydeligere, at hvert apsamikkum er sammensat af 4 kongruente trekanter med krum grundlinie. Nogle sådan blev der spurgt om i opgave (v), så nu vil jeg betragte dem noget nærmere, og tillader mig at opfinde endnu en opgave. Man kan gennemføre alle argumenterne på denne figur, men det er overskueligere på min hjælpefigur (ø): AIGIS Supplementum III Marinus 80 7

8 (ø) Siden af kvadratet er 1 UŠ. Indeni er der et konkavt kvadrat (apsamikkum), 4 små skibe og 4 trekanter med konkav grundlinie. Hvor store er deres arealer? (øø) Jeg tilføjer nogle hjælpelinier dog udelukkende sådanne, som man kan finde indtegnet i figurene på vor tavle BM og påstår, at min figur nu er inddelt i 16 lige store dele. Ud fra denne antagelse er det meget nemt at løse opgaven og finde arealet af enhver delfigur: Hver af de konkave trekanter har arealet = ⅟₁₆ af K, og de er lige så store som hvert af de 8 cirkelafsnit over de skrå korder. Cirkelafsnittene taget parvis giver os 4 linseformede flader med areal lig ⅛ K. Sådanne linseformede figurer er i andre matematiske kileskrifter kaldt lille skib. Det konkave kvadrat, apsammikkum, har arealet ¼ K; mens cirklens areal er lig med 12 x ⅟₁₆ K = ¾ K. Arealet af en cirkel, der er indskrevet i et kvadrat, er efter denne min påstand lig med ¾ af det omsluttende kvadrat. Med denne viden kan vi umiddelbart også løse opgaverne (ii), (iii), (iv) og (v) blot ved i tankerne at tilføje nogle hjælpelinier eller ved at have denne figur (øø) i tankerne. At en cirkelflade er lig med ¾ af dens omskrevne kvadrat svarer til at vores π blev regnet som 3 af de gamle babylonere. Værdien 3 for π kan findes mere eller mindre indirekte i mange matematiske kileskrifttekster. Koefficienten for en cirkel er 0;05. Det betyder at enhedscirklen med omkreds 1 har arealet 0;05, og det medfører, at arealet af en cirkel med omkreds O blev udregnet som O 2 x 0;05 = O 2 /12. En anden koefficient angiver diameteren i enhedscirklen til at være 0;20 altså lig ⅓ af omkredsen. Eleanor Robson (1999. S ) viser i afsnittet The concave square and related figures hvordan arealerne af alle de omtalte delfigurer (konkav trekant, lille skib, apsamikkum) kan udregnes ved hjælp af geome- AIGIS Supplementum III Marinus 80 8

9 triske koefficienter, der blev ført i lange lister. Bortset fra at Robson fejlagtigt 2 gik ud fra et kvadrat med siden 1, stemmer de resultater hun kom frem til helt overens med hvad vi kan aflæse direkte af vor opfundne figur (øø). Det samme kan også aflæses af de figurer, der er tegnet på BM 15285: Et lille skib er dobbelt så stor som en konkav trekant; og det konkave kvadrat er dobbelt så stort som et lille skib, og halvt så stort som det stiplede kvadratet der står på spidsen. Cirklen er 6 gange så stor som et lille skib og lig ¾ af det omskrevne kvadrat. Jeg vil hermed ikke påstå, at de babylonske geometriske koefficienter er afledt af vor figure i forbindelse med min påstand (selv om det er muligt), men blot henvise til, at det er indbydende og let at aflæse meget mere af (babylonske) figurer, end vi hidtil har gjort. Det er nærliggende at gøre det, og jeg overbevist om at teksten BM af babylonerne selv også blev brugt til af aflæse størrelsene af de indtegnede arealer. Jeg mener også at have gode argumenter herfor: Lad os for eksempel betragte opgave (xxv), som er reproduceret nedenfor: (xxv) The is 1 UŠ. the width. Hvis man betragter denne opgave alene, kan man hverken forstå eller rekonstruere den og da slet ikke finde arealet af den indtegnede figur. Mere indsigt giver det, hvis vi kombinerer opgaven med opgave (xxxi), så det vil vi gøre: (xxxi) The side of the square is 1 UŠ. Inside it are 2 semi-circles, 2 triangles, 1 Cone?, 1 rectangle and 4 squares. 2. Fejlen er elimineret i Robsons (2008) The long Career of a Favorite Figure Festschrift Slotsky, s: , hvor Robson gengiver tekster, der regner med apsammikum under anvendelse af de relevante koefficienter. AIGIS Supplementum III Marinus 80 9

10 I figur (xxxi) har jeg, med stiplede linier, indtegnet de to hjælpelinier, der tydeligt kan erkendes på Eleanor Robsons tegning (der blev gengivet i begyndelsen af denne artikel). Betrager vi denne figur med kyndige øjne, ser vi omgående, at halvkredsen er lig med ¾ af det omskrevne rektangel og at det lille indre kvadrat, k, er delt i trekanter, hvis arealer vi kan aflæse af figuren: k er delt i 2 retvinklede trekanter, der hver er lig ¼ k samt en ligesidet trekant, der er lig ½ k. Vi ved også at k = ¼ K og at rektanglet er lig ½ k, og hermed kan alle arealer let udregnes. Lad os blot udregne arealet af delfiguren Cone?, der ser ud som en kugle is i et gammeldage kræmmerhus, og som også er tegnet i figur (xxv): Den ligesidede trekant er lig ½ k = ½ x ¼ K = 7,30 SAR, og iskuglen = 1 semi-circle = ⅓ x ½ k = 2,30 SAR. Kære Marinus, Du har selv i din instruktive COLOURED QUADRANGLES henvist til hvor vigtige og hjælpsomme matematiske figurer kan være. Derfor håber jeg, at Du har haft lidt fornøjelse af at betragte mine babylonske figurer. (Marinus) Jeg har nu rammet en af figurene ind i festligt rødt. Dette røde kvadrat har siden 16, så nu er din opgave at finde (eller udregne) Din alder. Den er lig summen af de 5 apsamikkum, der er indtegnet i dit røde Kvadrat. Hjertelig tillykke med den runde fødselsdag. Med de bedste ønsker for endnu mange sunde, glade og aktive år sender jeg mine kærligste hilsener, Lis Brack-Bernsen. AIGIS Supplementum III Marinus 80 10

11 Litteratur: Jens Høyrup, Algebra på lertavler, Jysk Centraltrykkeri, Eleanor Robson, Mesopotamian Mathematics, BC, Clarendon Press, Oxford The long Career of a Favorite Figure i From the Banks of the Euphrates, studies in honor of Alice Louise Slotsky, Ed. Micah Ross Eisenbrauns, 2008 Appendix: Nedenfor gengiver jeg Jens Høyrups argumentation for at kvadratet K, der bliver omtalt i opgaverne på BM 15285, har siden 1 UŠ = 1,0 NINDA. Indtil da havde alle forskere læst teksten anderledes og regnet med en sidelængde på 1. Jeg takker Jens for denne henvisning. Argumentationen stammer fra side 157 i Oelsners festskrift: Assyriologica of Semitica: Festschrift für Joachim Oelsner anlässlich seines 65. Geburtstages am 18. Februar 1997 von Joachim Marzahn, Hans Neumann und Andreas Fuchs (Januar 2001) BM is less easily categorized. The text is a catalogue of problems about the inscription of geometrical figures in a square. Problems start 1 uš mi-it-a-ar-tum (at times written 1 uš íb.si8). Normally uš is read uš, length, and translated 1 (ist) die Länge. Ein Quadrat [MKT I, 138], Un carré: le flanc est 1 [TMB, 53], or The length of the square is 1 [Robson 1995: 248]. The reference to the length of a square is used in the Tell Harmal Compendium (group 7B) and TMS V+VI (group 8B), perhaps also in TMS VIII (group 8A); if the interpretation is correct the expression hence suggests the northern orbit. But it hardly is. Robson's translation does not fit the nominative of mitartum;[ 3 ] Neugebauer and Thureau-Dangin instead read mitartum/ íb.si8 as an indication of the object, which is then in a most unusual second position (which 3. If we try instead (no obvious choice!) to read mithartum as a Gt-verbal adjective (and the whose expression thus as a stative variant of the imtahhar-construction), the singular feminine form of mithartum does not fit an interpretation of uš neither as a singular (whence masculine), nor as a feminine (whence plural). AIGIS Supplementum III Marinus 80 11

12 Thureau-Dangin corrects in his translation).[ 4 ] A reading of uš as the unit 60 nindan, and the whole phrase as 1 uš [= 1` nindan] is the equalside seems a more likely alternative. This reading, however, has no implications as to the origin of the tablet.) 4. In YBC , it is true, the object (the ki.lá) was sometimes told after the wage to be paid. But the dimensions of the object still follow its presentation. AIGIS Supplementum III Marinus 80 12

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat3 Noter: Kompetencemål efter 3. klassetrin Eleven kan udvikle metoder til beregninger med naturlige tal Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker og procent Negative

Læs mere

FP9. Matematisk problemløsning. 9.-klasseprøven. December 2015

FP9. Matematisk problemløsning. 9.-klasseprøven. December 2015 FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2015 1 I praktik i en boghandel 2 I praktik som murer 3 I praktik som journalist 4 I praktik som arkitekt 5 Sekskanter 6 Retvinklede og ligesidede

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

KonteXt +5, Kernebog

KonteXt +5, Kernebog 1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:

Læs mere

DK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension

DK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension DK - Quick Text Translation HEYYER Net Promoter System Magento extension Version 1.0 15-11-2013 HEYYER / Email Templates Invitation Email Template Invitation Email English Dansk Title Invitation Email

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Webinar - Matematik. 1. Fælles Mål 2014. 2. Relationsmodellen og et forløbsplanlægningsskema

Webinar - Matematik. 1. Fælles Mål 2014. 2. Relationsmodellen og et forløbsplanlægningsskema Webinar - Matematik 1. Fælles Mål 2014 2. Relationsmodellen og et forløbsplanlægningsskema 3. Et eksempel på et forløb om areal og omkreds på mellemtrinnet 4. Relationsmodellen som refleksionsmodel Alle

Læs mere

Den pythagoræiske læresætning

Den pythagoræiske læresætning Den pythagoræiske læresætning 1. Udfyld skemaet herunder dvs. find den manglende hypotenuse ved a 2 + b 2 = c 2 : 1 20 21 2 12 35 3 28 45 4 56 33 5 119 120 6 168 95 7 52 165 8 207 224 9 315 572 10 627

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes.

Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes. Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav f: Et dannebrogsflag Et hus med tag, vinduer og dør En fugl En bil En blomst Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funn

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Indhold. Servicesider. Testsider

Indhold. Servicesider. Testsider Indhold Servicesider Isometrisk papir.................................................... kopiside - Prikpapir............................................................. kopiside - Brøkkort.............................................................

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

GUIDE TIL BREVSKRIVNING

GUIDE TIL BREVSKRIVNING GUIDE TIL BREVSKRIVNING APPELBREVE Formålet med at skrive et appelbrev er at få modtageren til at overholde menneskerettighederne. Det er en god idé at lægge vægt på modtagerens forpligtelser over for

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Jeg er den største. Vagn Lundsgaard Hansen. Annoncering af en konkurrence

Jeg er den største. Vagn Lundsgaard Hansen. Annoncering af en konkurrence Normat 2/1998 71 Jeg er den største Vagn Lundsgaard Hansen Institut for Matematik Danmarks Tekniske Universitet Bygning 303 DK 2800 Lyngby V.L.Hansen@mat.dtu.dk Optimalitetsbetragtninger optræder i næsten

Læs mere

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning

Læs mere

Appendix 1: Interview guide Maria og Kristian Lundgaard-Karlshøj, Ausumgaard

Appendix 1: Interview guide Maria og Kristian Lundgaard-Karlshøj, Ausumgaard Appendix 1: Interview guide Maria og Kristian Lundgaard-Karlshøj, Ausumgaard Fortæl om Ausumgaard s historie Der er hele tiden snak om værdier, men hvad er det for nogle værdier? uddyb forklar definer

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat6 Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence 60 minutter Navn og klasse 3 point pr. opgave Hjælpemidler: papir og blyant 1 Et rektangel er delvist skjult bag et gardin. Hvillken form har den skjulte del? A En trekant B Et kvadrat C En sekskant D

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Korncirkler og matematik

Korncirkler og matematik Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Lektion 8 Geometri Når du bruger denne facitliste skal du være opmærksom på, at: - der kan være enkelte fejl. - nogle af facitterne er udeladt - bl.a. der hvor facitterne er tegninger. - decimaltal kan

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen. og

Engelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen.  og 052431_EngelskD 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau D www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: SEFTON PARK PALM HOUSE

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: SEFTON PARK PALM HOUSE MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: SEFTON PARK PALM HOUSE I den midtengelske by Liverpool ligger bydelen Sefton med Sefton Park - et parkanlæg, der bl.a. er kendt for det ottekantede palmehus, hvor man kan

Læs mere

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Indhold 1. Fraktaler og vækstmodeller... 2 2. Kløverøen... 2 3. Fraktal dimension... 4 3.1 Skridtlængdemetoden... 4 3.2 Netmaskemetoden... 7 3.3

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af

Læs mere

Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen

Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen Uddrag af (kilde: http://aigis.igl.ku.dk/2005,1/cgtmen.pdf): Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen Kapitel 16: SOKRATES: Sig mig så dreng, ved du, at et kvadratisk areal ser sådan

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10. Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.

Læs mere

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer

www.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer Me and my pet My dogs SVTV2, 2011, 5 min. Tekstet på engelsk Me and my pet er en svenskproduceret undervisningsserie til engelsk for børn i 4. klasse, som foregår på engelsk, i engelsktalende lande og

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10

Skriveøvelse 2. Indledning. Emil Kirkegaard. Årskortnr. 20103300. Hold nr. 10 Navn: Emil Kirkegaard Årskortnr. 20103300 Hold nr. 10 Det stillede spørgsmål 1. Redegør for forholdet mellem det vellykkede liv (eudaimonia) og menneskelig dyd eller livsduelighed (areté) i bog 1 og bog

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Pårørende( involvering fakta og evidens

Pårørende( involvering fakta og evidens Vi stræber efter at forbedre patientsikkerheden og skabe et sundhedsvæsen, hvor patienterne i højere grad ser og mærker, at det er til for dem. c/o Hvidovre Hospital P610 Kettegård Alle 30 2650 Hvidovre

Læs mere

1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet

1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student) Husk at trykke "Send (Submit)" nederst (Remember to click "Send (Submit)" below - The questions are translated into English below each of the

Læs mere

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5

Læs mere

Titel: Hungry - Fedtbjerget

Titel: Hungry - Fedtbjerget Titel: Hungry - Fedtbjerget Tema: fedme, kærlighed, relationer Fag: Engelsk Målgruppe: 8.-10.kl. Data om læremidlet: Tv-udsendelse: TV0000006275 25 min. DR Undervisning 29-01-2001 Denne pædagogiske vejledning

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat7 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Lille Georgs julekalender 06. 1. december

Lille Georgs julekalender 06. 1. december 1. december Hvad skal der stå på den tomme plads? 11001-10101 - 10011 10111-11011 - 11101 11000-10100 - Svar: 10010 Forklaring: Ydercifrene forbliver de samme. Ciffer nr. rykker mød højre ved først at

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence 60 minutter Navn og klasse 3 point pr. opgave Hjælpemidler: papir og blyant 1 Hvilket trafikskilt har flest symmetriakser? D 2 På Lisas køleskab holdes nogle postkort fast af 8 stærke magneter. magnet

Læs mere

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 2 ISBN: 978-87-92488-18-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

highline med ramme with frame mit rahmen

highline med ramme with frame mit rahmen highline med ramme with frame mit rahmen Hvad er HighLine med ramme? HighLine med ramme er en produktserie bygget omkring det velkendte unidrain system. Udløbshuset og afløbsarmaturet er de samme produkter:

Læs mere