Om lige og krumme kvadrater; BM 15285
|
|
- Benjamin Bagge
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Om lige og krumme kvadrater; BM af Lis Brack-Bernsen Kære Marinus. Hjertelig tillykke med de I << MU (= 1,20 år). Du kender sikkert det babylonske sexagesimal system, og det er det passende for dette bidrag. 1 Det skal handle om en gammel babylonsk matematisk tekst, der stammer fra en lertavle, BM 15285, som befinder sig i British museum. Eleanor Robson har behandlet den indgående i sin bog Mesopotamian Mathematics, BC (Clarendon Press, Oxford 1999), og hun har været så venlig at overlade mig sine fine og præcise tegninger af teksten sammen med følgende hilsen til dig: Happy birthday Marinus! With my very best wishes, Eleanor BM forsiden 1. Det Babylonske sexagesimalsystem er et positions talsystem med basis 60. Vi kan finde reminiscens deraf i vor tidsmåling: 1 time = 60 minutter og 1 minut = 60 sekunder. Vi gengiver kileskrifttal ved hjælp af vore arabiske tal: 12; 22,8 betyder x x 60-2 mens vores tal 365 bliver skrevet som 6, 5 = 6x AIGIS Supplementum III Marinus 80 1
2 Her ser du en masse opgaver, der alle har ét tilfælles: der er tegnet et kvadrat som er inddelt i mindre dele og teksten til hver af disse opgaver begynder med at fastslå, at siden af det store kvadrat har længden 1 UŠ og nu skal man finde arealet af delene. Spørgsmålet er hvordan eleverne mon kunne finde arealerne dengang opgaverne blev stillet altså i oldbabylonsk tid (~1800 år før Kristi fødsel)? BM bagsiden Ovenstående tegninger og teksterne til opgaverne, som jeg gengiver nedenfor i Eleanor Robsons oversættelse stammer fra Appendix 2: BM 15285, side i Mesopotamian Mathematics, BC. Her findes henvisning til andre publikationer, der har behandlet denne tekst hver eneste gang ved benyttelse af formler for arealer af geometriske figurer. Jeg vil nu betragte og behandle opgaverne på en helt anden måde; men føst gengive nogle af opgaverne. AIGIS Supplementum III Marinus 80 2
3 Eleanor Robson præsenterer de geometriske figurer og dermed opgaverne i overensstemmelse med tekstens kolonner. Jeg har overtaget hendes nummerering af opgaverne og gengiver nedenfor kun den engelske oversættelse, men ikke hendes translitteration af kileskriften til akkadisk: Kolonne I (i) [The side of the square is 1 UŠ. I made a border each side and I drew a second square. What is its area?] (ii) The side of the square is 1 UŠ. I made a border each side and I drew a second square. Inside the square I drew a circle. (iii) The side of the square is 1 UŠ. I made a border each side and I drew a second square. Inside the square I drew a circle. What is its area? (iv) The side of the square is 1 UŠ. Inside it I drew a square and a circle: The circle that I drew touched the square. AIGIS Supplementum III Marinus 80 3
4 Fra Kolonne II gengiver jeg nedenfor et par af opgaverne: (v) [The side of the square is 1 UŠ.] < I drew> a second [square. Inside the second square I drew ] 4 triangles and 1 circle. Bemærk at de ligesidede trekanter, der tales om her har krumme, konkave grundlinier. (vi) [ The side of the square is 1 UŠ. <I drew> a second square. Inside the second square I drew 4 squares and 1 circle.] (vii) The side of the square is 1 UŠ Inside it I drew a second square. The squares that I drew touched the outer square. What is its areas? Udvalgte opgaver fra Kolonne III (x) The side of the square is 1 UŠ. Inside it I drew 8 triangles. What are their [areas]? (xii) The side of the square is 1 UŠ. Inside it [I drew] 16 triangles. What are their areas AIGIS Supplementum III Marinus 80 4
5 Fra Kolonne VI gengiver jeg kun 2 opgaver: (xxiii) The side of the square is 1 UŠ. Inside it are 4 squares, 4 rectangles and 4 triangles. (xxiv) The side of the square is 1 UŠ. Inside it I drew 16 squares. Senest her, ved betragtning af denne figur må man da komme på en ret nærliggende løsning: Det store kvadrat K er i opgave (xxiv) delt i 16 lige store dele. Andre kvadrater er ligeledes delt i lige store dele. Det er tilfældet for kvadratet i opgave (x), det er delt i 8 ligestore dele, og for opgave (xii) der deler kvadratet i 16 kongruente trekanter. Kender man figuren (xxiv) kan man i tankerne tilføje hjælpelinier til figur (i) og derved straks erkende at det lille kvadratet i midten er lig ¼ af det store kvadrat. Det samme kan man umiddelbart se af figur (xxiii). I hver eneste opgave hvor det store kvadrat er delt ved rette linier kan man (eventuelt ved hjælp af et par ekstra delelinier) hurtigt overse, hvor mange 16-dele de forskellige delfigurer er sammensat af. Det vil sige, at man meget let kan finde arealerne af delene: blot ved at tælle delene og dividere det store areal med antallet af delene. I opgave (xxiii) skal man for eksempel blot bemærke at rektanglerne er dobbelt så store som trekanterne og de små kvadrater. I Mesopotamien målte man som regel horisontale afstande in enheder af NINDA = ca. 6 meter. En UŠ er lig med 60 NINDA, hvilket ifølge Neugebauers konvention bliver gengivet som 1, 0 NINDA. Vort kvadrat, K, har sidelængden 1, 0 NINDA ( = 60 NINDA ~ 360 meter) og et areal på 1, 0, 0 SAR ( = 1,0,0 NINDA² ~ m²). ⅟₁₆ heraf er 3,45 SAR (=225 SAR). Vi har hermed fundet løsnigen til opgave (xii) og (xxiv). AIGIS Supplementum III Marinus 80 5
6 Jeg formoder at længden 1 UŠ er valgt således at division med 8, 16 og andre potenser af 2 er lette at udføre (se også appendix). Vi kan umiddelbart blot ved at betragte figurene finde størrelsen af de arealer, der bliver spurgt om i opgave (i), (vii), (xxiv) og (x): Kvadratet i figur (i) er lig ¼ af K = 15, 0 SAR. Det indre kvadrat i figur (vii) er lig ½ K = 30, 0; og hvert at de små kvadrater i (xxiv) er lig med ⅟₁₆ K = 3,45. I figur (x) er K delt i 8 lige store trekanter, således at hver af dem er lig med ⅛ K = 7,30. Bemærk, at man ikke behøver at vide, at arealet af en trekant er lig grundlinien l gange ½ h for at løse opgaverne. Arealet af alle geometriske delfigurer, der er fremkommet ved deling af K ved rette linier kan findes ved at betragte figuren og derefter dividere K med den passende potens af 2. Vi går nu over til at betragte opgaverne på bagsiden af BM Spørgsmålet er nu hvordan kan man finde arealerne i de tilfælder hvor cirkelbuer deler kvadratet K i mindre dele. (xxxvi) Af opgave (xxxvi) er det kun figuren; men ikke teksten der er bevaret. I analogi til de øvrige opgaver kan vi formode, at man også her skulle finde arealerne - af cirklerne, og måske også af trekanterne med delvis krumme sider. Den konkave firkant i midten af K blev kaldt et apsamikkum. Babylonerne kendte konstanter og formler for at beregne denne figur samt andre delfigurer med krummer sider (Se Eleanor Robson 3. Geometrical Coefficients S ). Kan disse opgaver mon også løses umiddelbart og ved betragtning af figurene, som de ovenstående opgaver? Det vil jeg argumentere for. Betragter vi nu opgave (xl), der har 5 konkave kvadrater, som er kaldt apsamikkum i andre tekster. AIGIS Supplementum III Marinus 80 6
7 (xl) The side of the square is 1 UŠ. <Inside it are< 4 triangles, 16 barges, 5 concave squares. I denne gengivelse af figuren ser man ikke de hjælpelinier, der er ret tydelige i Eleanor Robsons tegning af teksten. Jens Høyrup har argumenteret overbevisende for at der blev benyttet geometriske skitser til at vise eleverne hvordan de kunne udføre forskellige beregninger. (Se hans Algebra på lertavler 1998). Disse skitser var grove og ikke helt præcise; men de gengav ideen og løsningsvejen fint. Jeg er overbevist om at han har ret, og at de synlige delelinier på tavlen BM også er vigtige. Derfor gengiver jeg figuren til opgave (xl) på ny, idet jeg tilføjer de synlige delelinier til figuren. (xl) De indtegnede hjælpelinier gør det tydeligere, at hvert apsamikkum er sammensat af 4 kongruente trekanter med krum grundlinie. Nogle sådan blev der spurgt om i opgave (v), så nu vil jeg betragte dem noget nærmere, og tillader mig at opfinde endnu en opgave. Man kan gennemføre alle argumenterne på denne figur, men det er overskueligere på min hjælpefigur (ø): AIGIS Supplementum III Marinus 80 7
8 (ø) Siden af kvadratet er 1 UŠ. Indeni er der et konkavt kvadrat (apsamikkum), 4 små skibe og 4 trekanter med konkav grundlinie. Hvor store er deres arealer? (øø) Jeg tilføjer nogle hjælpelinier dog udelukkende sådanne, som man kan finde indtegnet i figurene på vor tavle BM og påstår, at min figur nu er inddelt i 16 lige store dele. Ud fra denne antagelse er det meget nemt at løse opgaven og finde arealet af enhver delfigur: Hver af de konkave trekanter har arealet = ⅟₁₆ af K, og de er lige så store som hvert af de 8 cirkelafsnit over de skrå korder. Cirkelafsnittene taget parvis giver os 4 linseformede flader med areal lig ⅛ K. Sådanne linseformede figurer er i andre matematiske kileskrifter kaldt lille skib. Det konkave kvadrat, apsammikkum, har arealet ¼ K; mens cirklens areal er lig med 12 x ⅟₁₆ K = ¾ K. Arealet af en cirkel, der er indskrevet i et kvadrat, er efter denne min påstand lig med ¾ af det omsluttende kvadrat. Med denne viden kan vi umiddelbart også løse opgaverne (ii), (iii), (iv) og (v) blot ved i tankerne at tilføje nogle hjælpelinier eller ved at have denne figur (øø) i tankerne. At en cirkelflade er lig med ¾ af dens omskrevne kvadrat svarer til at vores π blev regnet som 3 af de gamle babylonere. Værdien 3 for π kan findes mere eller mindre indirekte i mange matematiske kileskrifttekster. Koefficienten for en cirkel er 0;05. Det betyder at enhedscirklen med omkreds 1 har arealet 0;05, og det medfører, at arealet af en cirkel med omkreds O blev udregnet som O 2 x 0;05 = O 2 /12. En anden koefficient angiver diameteren i enhedscirklen til at være 0;20 altså lig ⅓ af omkredsen. Eleanor Robson (1999. S ) viser i afsnittet The concave square and related figures hvordan arealerne af alle de omtalte delfigurer (konkav trekant, lille skib, apsamikkum) kan udregnes ved hjælp af geome- AIGIS Supplementum III Marinus 80 8
9 triske koefficienter, der blev ført i lange lister. Bortset fra at Robson fejlagtigt 2 gik ud fra et kvadrat med siden 1, stemmer de resultater hun kom frem til helt overens med hvad vi kan aflæse direkte af vor opfundne figur (øø). Det samme kan også aflæses af de figurer, der er tegnet på BM 15285: Et lille skib er dobbelt så stor som en konkav trekant; og det konkave kvadrat er dobbelt så stort som et lille skib, og halvt så stort som det stiplede kvadratet der står på spidsen. Cirklen er 6 gange så stor som et lille skib og lig ¾ af det omskrevne kvadrat. Jeg vil hermed ikke påstå, at de babylonske geometriske koefficienter er afledt af vor figure i forbindelse med min påstand (selv om det er muligt), men blot henvise til, at det er indbydende og let at aflæse meget mere af (babylonske) figurer, end vi hidtil har gjort. Det er nærliggende at gøre det, og jeg overbevist om at teksten BM af babylonerne selv også blev brugt til af aflæse størrelsene af de indtegnede arealer. Jeg mener også at have gode argumenter herfor: Lad os for eksempel betragte opgave (xxv), som er reproduceret nedenfor: (xxv) The is 1 UŠ. the width. Hvis man betragter denne opgave alene, kan man hverken forstå eller rekonstruere den og da slet ikke finde arealet af den indtegnede figur. Mere indsigt giver det, hvis vi kombinerer opgaven med opgave (xxxi), så det vil vi gøre: (xxxi) The side of the square is 1 UŠ. Inside it are 2 semi-circles, 2 triangles, 1 Cone?, 1 rectangle and 4 squares. 2. Fejlen er elimineret i Robsons (2008) The long Career of a Favorite Figure Festschrift Slotsky, s: , hvor Robson gengiver tekster, der regner med apsammikum under anvendelse af de relevante koefficienter. AIGIS Supplementum III Marinus 80 9
10 I figur (xxxi) har jeg, med stiplede linier, indtegnet de to hjælpelinier, der tydeligt kan erkendes på Eleanor Robsons tegning (der blev gengivet i begyndelsen af denne artikel). Betrager vi denne figur med kyndige øjne, ser vi omgående, at halvkredsen er lig med ¾ af det omskrevne rektangel og at det lille indre kvadrat, k, er delt i trekanter, hvis arealer vi kan aflæse af figuren: k er delt i 2 retvinklede trekanter, der hver er lig ¼ k samt en ligesidet trekant, der er lig ½ k. Vi ved også at k = ¼ K og at rektanglet er lig ½ k, og hermed kan alle arealer let udregnes. Lad os blot udregne arealet af delfiguren Cone?, der ser ud som en kugle is i et gammeldage kræmmerhus, og som også er tegnet i figur (xxv): Den ligesidede trekant er lig ½ k = ½ x ¼ K = 7,30 SAR, og iskuglen = 1 semi-circle = ⅓ x ½ k = 2,30 SAR. Kære Marinus, Du har selv i din instruktive COLOURED QUADRANGLES henvist til hvor vigtige og hjælpsomme matematiske figurer kan være. Derfor håber jeg, at Du har haft lidt fornøjelse af at betragte mine babylonske figurer. (Marinus) Jeg har nu rammet en af figurene ind i festligt rødt. Dette røde kvadrat har siden 16, så nu er din opgave at finde (eller udregne) Din alder. Den er lig summen af de 5 apsamikkum, der er indtegnet i dit røde Kvadrat. Hjertelig tillykke med den runde fødselsdag. Med de bedste ønsker for endnu mange sunde, glade og aktive år sender jeg mine kærligste hilsener, Lis Brack-Bernsen. AIGIS Supplementum III Marinus 80 10
11 Litteratur: Jens Høyrup, Algebra på lertavler, Jysk Centraltrykkeri, Eleanor Robson, Mesopotamian Mathematics, BC, Clarendon Press, Oxford The long Career of a Favorite Figure i From the Banks of the Euphrates, studies in honor of Alice Louise Slotsky, Ed. Micah Ross Eisenbrauns, 2008 Appendix: Nedenfor gengiver jeg Jens Høyrups argumentation for at kvadratet K, der bliver omtalt i opgaverne på BM 15285, har siden 1 UŠ = 1,0 NINDA. Indtil da havde alle forskere læst teksten anderledes og regnet med en sidelængde på 1. Jeg takker Jens for denne henvisning. Argumentationen stammer fra side 157 i Oelsners festskrift: Assyriologica of Semitica: Festschrift für Joachim Oelsner anlässlich seines 65. Geburtstages am 18. Februar 1997 von Joachim Marzahn, Hans Neumann und Andreas Fuchs (Januar 2001) BM is less easily categorized. The text is a catalogue of problems about the inscription of geometrical figures in a square. Problems start 1 uš mi-it-a-ar-tum (at times written 1 uš íb.si8). Normally uš is read uš, length, and translated 1 (ist) die Länge. Ein Quadrat [MKT I, 138], Un carré: le flanc est 1 [TMB, 53], or The length of the square is 1 [Robson 1995: 248]. The reference to the length of a square is used in the Tell Harmal Compendium (group 7B) and TMS V+VI (group 8B), perhaps also in TMS VIII (group 8A); if the interpretation is correct the expression hence suggests the northern orbit. But it hardly is. Robson's translation does not fit the nominative of mitartum;[ 3 ] Neugebauer and Thureau-Dangin instead read mitartum/ íb.si8 as an indication of the object, which is then in a most unusual second position (which 3. If we try instead (no obvious choice!) to read mithartum as a Gt-verbal adjective (and the whose expression thus as a stative variant of the imtahhar-construction), the singular feminine form of mithartum does not fit an interpretation of uš neither as a singular (whence masculine), nor as a feminine (whence plural). AIGIS Supplementum III Marinus 80 11
12 Thureau-Dangin corrects in his translation).[ 4 ] A reading of uš as the unit 60 nindan, and the whole phrase as 1 uš [= 1` nindan] is the equalside seems a more likely alternative. This reading, however, has no implications as to the origin of the tablet.) 4. In YBC , it is true, the object (the ki.lá) was sometimes told after the wage to be paid. But the dimensions of the object still follow its presentation. AIGIS Supplementum III Marinus 80 12
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereMattip om. Geometri former og figurer. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. At finde og tegne former og figurer
Mattip om Geometri former og figurer Du skal lære: At finde og tegne former og figurer Kan ikke Kan næsten Kan At beregne omkreds og areal af figurer Om forskellige typer trekanter At finde højde og grundlinje
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereGeometri Følgende forkortelser anvendes:
Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereStatistik og sandsynlighed
Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat3 Noter: Kompetencemål efter 3. klassetrin Eleven kan udvikle metoder til beregninger med naturlige tal Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker og procent Negative
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereFraktaler. Vejledning. Et snefnug
Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes
Læs meregeometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mereMødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.
6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle
Læs mereFP9. Matematisk problemløsning. 9.-klasseprøven. December 2015
FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2015 1 I praktik i en boghandel 2 I praktik som murer 3 I praktik som journalist 4 I praktik som arkitekt 5 Sekskanter 6 Retvinklede og ligesidede
Læs merebrikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun
Læs meregeometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereMatematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:
Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereKonstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)
1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6
Læs mereKorncirkler og matematik
Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter
Læs mereMattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant
Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1
Læs merePythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen
MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER
Læs mereDK - Quick Text Translation. HEYYER Net Promoter System Magento extension
DK - Quick Text Translation HEYYER Net Promoter System Magento extension Version 1.0 15-11-2013 HEYYER / Email Templates Invitation Email Template Invitation Email English Dansk Title Invitation Email
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs merePARALLELIZATION OF ATTILA SIMULATOR WITH OPENMP MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ DEL AMOR MINIPROJECT OF TDT24 NTNU
PARALLELIZATION OF ATTILA SIMULATOR WITH OPENMP MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ DEL AMOR MINIPROJECT OF TDT24 NTNU OUTLINE INEFFICIENCY OF ATTILA WAYS TO PARALLELIZE LOW COMPATIBILITY IN THE COMPILATION A SOLUTION
Læs mereRettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version
Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning
Læs mereBeregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion
VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages
Læs mereDen pythagoræiske læresætning
Den pythagoræiske læresætning 1. Udfyld skemaet herunder dvs. find den manglende hypotenuse ved a 2 + b 2 = c 2 : 1 20 21 2 12 35 3 28 45 4 56 33 5 119 120 6 168 95 7 52 165 8 207 224 9 315 572 10 627
Læs mereWebinar - Matematik. 1. Fælles Mål 2014. 2. Relationsmodellen og et forløbsplanlægningsskema
Webinar - Matematik 1. Fælles Mål 2014 2. Relationsmodellen og et forløbsplanlægningsskema 3. Et eksempel på et forløb om areal og omkreds på mellemtrinnet 4. Relationsmodellen som refleksionsmodel Alle
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereKonteXt +5, Kernebog
1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:
Læs mereTM4 Central Station. User Manual / brugervejledning K2070-EU. Tel Fax
TM4 Central Station User Manual / brugervejledning K2070-EU STT Condigi A/S Niels Bohrs Vej 42, Stilling 8660 Skanderborg Denmark Tel. +45 87 93 50 00 Fax. +45 87 93 50 10 info@sttcondigi.com www.sttcondigi.com
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs meredynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.
Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereKommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBrug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav fx: Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funny shapes.
Brug sømbrættet til at lave sjove figurer. Lav f: Et dannebrogsflag Et hus med tag, vinduer og dør En fugl En bil En blomst Få de andre til at gætte, hvad du har lavet. Use the nail board to make funn
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereUnityskolen Årsplan for Matematik Team 2 (3.-4. klasse)
Klasse: Team 2 (3.- 4.klasse) Fag: Matematik Lærer: Nawal Tayibi Lektioner pr. uge:? Antal elever:? Uge Forløb Færdigheds- og vidensmål Læringsmål 33 introuge 34-37 Addition og subtraktion Tal og algebra
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereBasic statistics for experimental medical researchers
Basic statistics for experimental medical researchers Sample size calculations September 15th 2016 Christian Pipper Department of public health (IFSV) Faculty of Health and Medicinal Science (SUND) E-mail:
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereTegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler
Tegning Arbejds og isometrisk Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektiv Kassens højde Bundens bredde dybde Hullets diameter Afstand mellem hul og bund Højde over jorden Musvit 30 10
Læs mereRettevejledning, FP10, endelig version
Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mereEmmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?
Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereDecimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal
Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat6 Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker
Læs mereInternational matematikkonkurrence
60 minutter Navn og klasse 3 point pr. opgave Hjælpemidler: papir og blyant 1 Et rektangel er delvist skjult bag et gardin. Hvillken form har den skjulte del? A En trekant B Et kvadrat C En sekskant D
Læs mereGUIDE TIL BREVSKRIVNING
GUIDE TIL BREVSKRIVNING APPELBREVE Formålet med at skrive et appelbrev er at få modtageren til at overholde menneskerettighederne. Det er en god idé at lægge vægt på modtagerens forpligtelser over for
Læs mere************************************************************************
Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man
Læs mereDu skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).
Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereHunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.
4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter
Læs mereLESSON NOTES Extensive Reading in Danish for Intermediate Learners #8 How to Interview
LESSON NOTES Extensive Reading in Danish for Intermediate Learners #8 How to Interview CONTENTS 2 Danish 5 English # 8 COPYRIGHT 2019 INNOVATIVE LANGUAGE LEARNING. ALL RIGHTS RESERVED. DANISH 1. SÅDAN
Læs merewww.cfufilmogtv.dk Tema: Pets Fag: Engelsk Målgruppe: 4. klasse Titel: Me and my pet Vejledning Lærer
Me and my pet My dogs SVTV2, 2011, 5 min. Tekstet på engelsk Me and my pet er en svenskproduceret undervisningsserie til engelsk for børn i 4. klasse, som foregår på engelsk, i engelsktalende lande og
Læs mereLysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009
Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereGeometriske eksperimenter
I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor
Læs mereÅrsplan for matematik i 4. klasse 2014-15
Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at
Læs merematematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1
33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er
Læs mereMV-Nordic Lucernemarken Odense S Telefon mv-nordic.com
1 LEGO MINDSTORMS Education EV3 aktiviteter med fokus på matematik Her får du forslag til aktiviteter, der benytter LEGO MINDSTORMS Education EV3 materialer sammen med vores Matematik-måtte. Fokus i de
Læs mereIndhold. Servicesider. Testsider
Indhold Servicesider Isometrisk papir.................................................... kopiside - Prikpapir............................................................. kopiside - Brøkkort.............................................................
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.
1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable
Læs mereProjekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af
Læs mere1 s01 - Jeg har generelt været tilfreds med praktikopholdet
Praktikevaluering Studerende (Internship evaluation Student) Husk at trykke "Send (Submit)" nederst (Remember to click "Send (Submit)" below - The questions are translated into English below each of the
Læs mereVina Nguyen HSSP July 13, 2008
Vina Nguyen HSSP July 13, 2008 1 What does it mean if sets A, B, C are a partition of set D? 2 How do you calculate P(A B) using the formula for conditional probability? 3 What is the difference between
Læs mereTitel: Hungry - Fedtbjerget
Titel: Hungry - Fedtbjerget Tema: fedme, kærlighed, relationer Fag: Engelsk Målgruppe: 8.-10.kl. Data om læremidlet: Tv-udsendelse: TV0000006275 25 min. DR Undervisning 29-01-2001 Denne pædagogiske vejledning
Læs mere7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri
7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne
Læs mereProjekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal
Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereStatistik og sandsynlighed
Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker
Læs mereAppendix 1: Interview guide Maria og Kristian Lundgaard-Karlshøj, Ausumgaard
Appendix 1: Interview guide Maria og Kristian Lundgaard-Karlshøj, Ausumgaard Fortæl om Ausumgaard s historie Der er hele tiden snak om værdier, men hvad er det for nogle værdier? uddyb forklar definer
Læs mereFraktaler INTRO. FRAKTALER M l 57
Fraktaler De fleste figurer, I arbejder med i matematiktimerne, har rette linjer eller glatte kurver fx rektangler og cirkler Disse figurer kan ofte bruges til at beskrive menneskeskabte ting som fx bygninger
Læs mereInternational matematikkonkurrence
Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af
Læs mereAndreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009
Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Matematiske kompetencer. Matematiske emner (tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed). Matematik i anvendelse. Matematiske arbejdsmåder. Tankegangskompetence
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereDynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling
Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg
Læs mereTema: Kvadrattal og matematiske mønstre:
2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang
Læs mereareal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereTal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?
Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de
Læs mereMatematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.
Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mereMatematik på Åbent VUC
Lektion 8 Geometri Når du bruger denne facitliste skal du være opmærksom på, at: - der kan være enkelte fejl. - nogle af facitterne er udeladt - bl.a. der hvor facitterne er tegninger. - decimaltal kan
Læs mereGeometriske tegning - Fase 2 Fremstille præcise tegninger
Navn: Klasse: Geometriske tegning - Fase 2 Fremstille præcise tegninger Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan tegne isometrisk tegninger
Læs mereForløb om undervisnings- differentiering. Elevark
Program for løft af de fagligt svageste elever Intensivt læringsforløb Lærervejledning Forløb om undervisnings- differentiering Elevark Dato September 2018 Udviklet for Undervisningsministeriet Udviklet
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereEngelsk. Niveau D. De Merkantile Erhvervsuddannelser September Casebaseret eksamen. og
052431_EngelskD 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau D www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs mere