2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse på grundlag af et vilkårligt snit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse på grundlag af et vilkårligt snit"

Transkript

1 Dette er den anden af fem artikler under den fælles overskrift Matematiske Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 2. Fibonaccirækkens ukendte søskende skaladannelse på grundlag af et vilkårligt snit Vi vil nu udvide programmet SKALAGENERATOREN, så det ikke bare fungerer for det gyldne snit, men for et vilkårligt valgt snit. Desuden vil vi tilføje en række funktioner, som gør det muligt at analysere delingsforløbet mere detaljeret. Fokus er fortsat på de bi-intervalliske skalaer, og ved delingssekvensen forstås de trin i delingsforløbet, hvor disse skalastrukturer dannes i analogi med hvad vi så i det indledende kapitel, hvor delingsforløbet var bestemt af det gyldne snit, og hvor delingssekvensen var identisk med Fibonacci-rækken. Brugerfladen på den udvidede version af programmet SKALAGENERATOREN-MAT, ser sådan ud og samtidig ser vi et eksempel på en bi-intervallisk skala dannet ved snittet 7/17 = 0, : Figur 2.1 Øverst kan man finde en vejledning i brugen af de mest almindelige funktioner (andre må man læse sig til i dette og de følgende kapitler). Dernæst følger rammen Inddata og optioner ; her kan vi igen vælge det gyldne snit (indsættes med 15 decimaler), men det er først og fremmest de to indtastningsbokse for valgfrit snit, der nu er fokus på. Snittet kan både indtastes som en almindelig brøk med tæller og nævner og som en decimalbrøk. En decimalbrøk indtastes på tællerens plads, og idet man indtaster decimaltegnet, som skal være et punktum, sættes nævneren automatisk til 1.

2 2 Normalt vil man vælge et snit mellem 0 og 1. Delingssekvenser og skalamønstre gentager sig periodisk, hver gang snittet vokser med 1. F.eks. resulterer snittene 0,265, 1,265 og 2,265 i samme delingsmønstre, og det samme er tilfældet med snittene 7/15, 22/15 og 37/15. Der er således ingen grund til at vælge et snit større end 1, men der sker på den anden side ikke noget ved at gøre det. Lige som det var tilfældet med Fibonacci-versionen af programmet, kan antallet af delinger hhv. hæves og sænkes idet man klikker i det store billedfelt med hhv. højre og venstre museknap. I det følgende vil behandle teorien i forbindelse med nogle eksempler, som jeg vil opfordre læseren til selv at efterprøve, og programmets øvrige funktioner vil jeg beskrive, efterhånden som vi får brug for dem. Lad os indledningsvis undersøge de delingsmønstre, der genereres af snittet 7/17 (se eksemplet i fig.2.1.). Vi begynder med at sætte antallet af delinger til 2, og derefter hæver vi antallet trin for trin ved at klikke med musen i det store billedfelt. Vi vil da opdage, at de bi-intervalliske skalaer i dette tilfælde dannes på trin nr. 1, 2, 3, 5, 7, 12 og 17 Fortsætter vi ud over trin 17, kommer denne meddelelse frem på skærmen: Figur 2.2 Klik på OK og billedet vender automatisk tilbage til status quo. Vi bemærker endvidere, at skalainddelingen på dette afsluttende trin er ækvidistant. Ovenstående talrække angiver altså de trin i forløbet, hvor de bi-intervalliske skalaer dannes (dog er afsluttende trin som lige nævnt moni-intervallisk), og den er dermed af samme type som Fibonaccirækken, hvis begyndelse til sammenligning gentages her: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Når den nye række (delingssekvens) er endelig, hvor Fibonacci-rækken er uendelig, hænger det sammen med, at snittet er rationelt, hvor Fibonacci-rækkens snit (det gyldne snit) er irrationelt. Når snittet er rationelt, vil delingsforløbet altid ende med, at cirklen bliver delt i lige så mange intervaller, som angivet ved nævneren, og på sidste trin vil alle intervaller være lige store (ækvidistant eller mono-intervallisk). Her er nogle flere eksempler på rationelle snit og de tilhørende rækker eller delingssekvenser: snit række (delingssekvens) 9/17 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 9/25 1, 2, 3, 5, 8, 11, 14, 25 19/25 1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 17, 21, 25 5/32 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 19, 32 13/32 1, 2, 3, 4, 5, 7, 12, 17, 22, 27, 32 13/33 1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 18, 23, 28, 33

3 3 Umiddelbart virker disse talrækker ganske tilfældige, men de kan alle afledes af den generelle formel, vi fandt i sidste kapitel: S n = S n 1 + a n 1 hvor S n er antallet af intervaller på et givet trin, S n 1 er antallet af intervaller på det foregående trin, og a n 1 er antallet af større intervaller på det foregående trin (se beskrivelsen i 1. kap.). Med denne formel som grundlag er det ikke vanskeligt at skrive et lille program, der automatisk udregner delingssekvensen for et givet snit. Jeg vil benytte lejligheden til at give læseren et lille indblik i hvordan et sådant program kan skrives. Det skal i denne forbindelse også lige nævnes, at programkoden for hele SKALAGENERATOREN fylder mere end 20 A4-ark. En betydelig del deraf handler imidlertid om brugerfladen; selve kærnen i programmet fylder kun få sider. Her vil jeg også kun vise selve kærnen i den del af programmet, hvor skalasekvensen udregnes, og med lidt supplerende forklaring tror jeg man vil kunne følge beskrivelsen, også selv om man ikke kender noget til programmering i forvejen. Programmeringssproget er Visual Basic 6 (VB6): a = snit b = 1 'det oprindelige linjestykke (den udelte cirkel) m = 0 'antal små intervaller ved start n = b 'antal store intervaller ved start s = b 'summen af store og små intervaller ved start Do Until b - a < s = s + n listdelingssekvens.additem s b = b - a m = m + n If a > b Then swap a, b: swap m, n End If Loop I de fem første linjer defineres størrelsen og antallet af de forskellige linjestykker, der er tale om. Tegnet betyder, at det efterfølgende kun er kommentarer og altså ikke skal regnes med til programkoden. Derefter følger en såkaldt sløjfe eller løkke (begyndende med kodeordet Do og sluttende med kodeordet Loop), hvor de samme beregninger kører i ring, idet de gentages for hvert trin af forløbet, men hver gang med en ny værdi. Betingelsen Until betyder, at løkken skal afbrydes, når det mindste interval er mindre end (på dette trin er selv de 15 decimaler, som programmet opererer med, ikke tilstrækkelige til at det søgte tal bliver korrekt). I den første linje i Do- Loop-løkken genkender vi formlen fra før. Lighedstegnet i programmeringssproget har ikke den samme betydning som normalt, men det betyder i dette tilfælde, at den nye sum (som vi i formlen skrev S n ) er lig med den foregående sum (S n 1 ) + det aktuelle antal af store intervaller (a n 1 ). I den næste linje indsættes værdien af s i den liste, man ser på skærmen, og i de følgende linjer udregnes løbende intervallernes størrelse (a og b) og antal (m og n). Det afgørende er, hvilket af de to intervaller, a eller b, der på ethvert trin er det størst. Det afgøres i de tre sidste linjer i løkken (swap er kodeordet for ombyt). I øvrigt vil den matematikkyndige bemærke, at algoritmen egentlig blot er en videreudbygning af Euklids algoritme. Programmet indgår som en uafhængig del af SKALAGENERATOREN. Det aktiveres, når man klikker på knappen bi-interval.skalaer, som man finder i øverste venstre hjørne i det store billedfelt (se fig.2.1). Denne fremstilling af delingssekvensen er dog kun ment som en foreløbig orientering, for en mere detaljeret fremstilling finder vi, når vi klikker på den knap, der hedder vis Skærm B / analyse (nederst til venstre). I vort eksempel, hvor snittet er 7/17, ser Skærm B sådan ud (den nederste ca. 2/3 af skærmen er i dette tilfælde tom):

4 4 Figur 2.3 Delingssekvensen er den lodrette talkolonne til højre: 1, 2, 3, 5, 7, 12, 17. Ud for hvert af tallene kan vi se, hvordan skalaen er inddelt. Talrækken for neden er den indfoldede orden; den kan udelades ved at fjerne fluebenet i checkboksen vis indf. orden, hvad der især kan blive aktuelt, når delingernes antal er så stort, at tallene overlapper hinanden. Vi kan umiddelbart aflæse den indfoldede orden for hver skalaerne ved at følge skalaens delestreger ned til tallene i bunden af opstillingen. Eksempelvis er den indfoldede orden på 5. trin, hvor skalaen er delt i 7 intervaller: 0, 5, 3, 1, 6, 4, 2. I eksemplet fig.2.3 er snittet automatisk overført fra Skærm A, men Skærm B kan også bruges uafhængigt af Skærm A, idet Skærm B har sin egen indtastningsbokse for snittet. Derimod er indtastningsboksen antal delinger udeladt, da det jo nu handler om hele forløbet og ikke kun et enkelt trin. Vi genfinder også Zoomfunktion for nederste billedfelt. Dette billedfelt (som ikke er med i udsnittet fig.2.2) er identisk med det nederste billedfelt på Skærm A. Når man klikker på en af de rækkerne i den grafiske fremstilling af delingsforløbet (se fig.2.3), kommer den pågældende skala til syne i større format her og nu forsynet med farvekode. Når vi klikker på knappen vis tabel, får vi adgang til mange flere detaljer. I tilfældet, hvor snittet er 7/17, ser tabellen sådan ud: Figur 2. 4 De første 6 kolonner indeholder de samme data, som vi kender fra Uddata på Skærm A (dog nu med 8 decimaler), og de behøver ingen yderligere forklaring. Dog skal det lige bemærkes, at kolonnen antal interv. ialt er identisk med delingssekvensen. De resterende 4 kolonner bliver omtalt i næste kapitel. Vi skal nu se, hvordan skalaerne og delingssekvenserne udvikler sig efterhånden som snittet vokser, og vi vælger foreløbig at lade nævnere vokse fra 1 til den er 1 mindre end nævneren, som vi fortsat lader være 17. Det handler altså om at undersøge snittene 1/17, 2/17, 3/17, 4/ /17

5 5 Her bruger vi igen den tidligere nævnte metode, hvor vi hæver tælleren med pileknappen OP, samtidig med at vi holder CTRL nedtrykket. Holder vi pause mellem hvert tryk på OP, kan vi i ro og mag undersøge den grafiske fremstilling af delingssekvensen. I figur ses den grafiske fremstilling af de 9 første delingssekvenser. De 8 sidste delingssekvenser er spejlbilleder af de 8 første, således forstået at 16/17 spejler 1/17, 15/17 spejler 2/17, 14/17 spejler 3/17 og så fremdeles. snit delingssekvensser for snittene 1/17 til 8/17 1/17 2/17 3/17 4/17 5/17 6/17 7/17 8/17

6 6 9/17 Figur 2. 5 Snitet 9/17 er taget med for at vise symmetrien med snittet 8/17. Læg også mærke til at den indfoldede orden (talrækken forneden) er blevet vendt. Fortsætter vi med at hæve tælleren ud over nævnerens værdi, vil forløbet gentage sig forfra, idet 18/17 svarer til 1/17, 19/17 svarer til 2/17, 20/17 svarer til 3/17 osv. Perioden hvorover forløbet strækker sig bliver naturligvis længere, jo større nævneren er. Vælger man en relativ stor nævner ( ), og holder man OP-tasten permanent nedtrykket, skifter billedet så hurtigt, at der reelt er tale om en animation. Vælger man som nævner et primtal, undgår man tilbagespring på de steder, hvor tæller og nævner ellers ville blive forkortet. Vælger man en meget stor nævner, vil animationen dog ikke fungere, fordi der nu på hvert trin kræves så mange gennemregninger, at genereringen af billedet blokeres. Programmet er imidlertid også udstyret med en funktion, der gør det muligt at følge delingsforløbet, altimens snittet vokser eller aftager i meget mindre trin. Denne funktion, kaldet variabelt snit, finder vi på Skærm A. Reelt ændres snittet også her trinvist, men idet vi vælger en meget lille trinstørrelse (default er 0.001), virker bevægelse nærmest kontinuerlig. Efter at en skala er genereret, skal man ganske enkelt holde piletasterne OP / NED nedtrykket så længe man ønsker at følge forløbet. Det bedste indtryk får man, hvis man kombinerer ringmetoden med kordemetoden. Antallet af delinger er herunder konstant. Snittets talværdi kan følges i rubrikken "aktuelt snit" under "Uddata". Jo mindre trinstørrelse der vælges, des langsommere er bevægelsen. Som et eksempel følger her tre snapshots fra et forløb med 7 delinger, hvor snittet ligger (1) lidt før, (2) eksakt på og (3) lidt efter 2/3 = 0,666667: snit = 0, snit = 0, snit = 0, , 5, 2, 4, 1, 6, 3 0, 2, 1 (= 6, 5, 4) 0, 3, 6, 2, 5, 1, 4 Figur 2. 6 Vi ser her, hvordan 5, 4, og 1 haler ind på 2, 1 og 3, så de i det midterste billede falder sammen med disse og i det sidste billede har overhalet dem. På den måde kan vi endnu tydeligere end før få en fornemmelse af, hvordan den indfoldede orden (nederste talrække under billederne) ændrer sig under forløbet. Desuden kan vi af farvekoderne umiddelbart se, at skalaen i første billede er triintervallisk, i andet billede mono-intervallisk og i tredje billede bi-intervallisk.

7 7 Prøv nu selv på denne måde at følge forløbet, idet antallet af delinger sættes til forskellige værdier, og idet snittet gennemløber alle værdier mellem 0 og 1. Men øvrigt kan snittet sagtens vokse ud over 1 (forløbet vil da bare blive gentaget), og det kan også antage negative værdier (i dette tilfælde gentages forløbet i modsat rækkefølge). * * * Figur 2.7 Så længe det handler om rationelle snit kan det være interessant at prøve at systematisere de forskelllige tilfælde. Det så allerede et eksempel på, da vi sammenlignede de 16 snit, der har 17 som fælles nævner (fig.2.5); men nu vil vi undersøge samtlige tilfælde, hvor nævneren er mindre end 13, idet vi anskueliggør delingerne ved hjælp af korde-metoden hvorved der dannes polygoner. Det handler her kun om, hvordan cirklen bliver delt på det afsluttende trin af forløbet.

8 8 Resultatet ses i ovenstående opstilling (fig.2.7), der fungerer som en tabel eller et koordinatsystem. Talkolonnen til venstre angiver nævneren (ordinaten), mens talrækken for neden angiver tælleren (abscissen). Eksempelvis viser figuren på positionen 7, 10 det afsluttende trin af forløbet, når snittet er 7/10. Af figurerne kan vi også umiddelbart aflæse diverse forkortelsesmuligheder: er figuren reduceret til en diagonal, betyder det, at brøken kan forkortes til 1/2, en trekant betyder at nævneren kan forkortes til 3 (tælleren kan både være 1 og 2), ser vi en firkant kan nævneren forkortes til 4 (tælleren kan da være 1 eller 3) og så fremdeles. Læg mærke til, at når nævneren er 5 eller derover, dannes der stjernepolygoner. Også i denne forbindelse kan man få programmet til at køre i form af en animation: Sæt antallet af delinger lig med nævneren og lad så tælleren vokse eller aftage, idet denne (som tidligere beskrevet) ændres med tastaturets OP / NED-pile samtidig med at CTRL holdes nedtrykket. Særlig fascinerende er det at følge en sådan animation, hvis man vælger et primtal som nævner; dermed kan brøken på intet trin af forløbet forkortes, og som resultat ser man en stjernepolygon, der pulserer ud og ind. Tre snapshots af et sådant forløb er vist i den næste illustration. Ønsker man at få en lukket stjernepolygon (normalt er den sidste korte nemlig ikke forbundet med den første), skal man sætte et flueben i checkboksen forbind første og sidste deling. Således er det også gjort i eksemplerne i fig.2.7 og 2.8: snit = 14/71 snit = 24/71 snit = 34/71 Figur 2.8 Når tælleren under animationsforløbet passerer halvdelen af nævnerens værdi, vender figurens bevægelsesretning, dvs. hvor figuren før bevægede sig ind mod midten, bevæger den sig nu ud fra midten. Det skal endnu engang bemærkes, at tælleren kan vokse ud over nævneren, og den kan også kan bevæge sig ned i det negative område. Den før omtalte pulserende bevægelse fremkommer, når man bare lader tælleren vokse eller aftage uden at bekymre sig om dens værdi. * * *

9 9 Et eksempel på anvendelsen af Eulers φ-funktion Efter at vi har set lidt på SKALAGENERATOREN s mere underholdende sider, skal det nu handle om et problem, der fører os ind i talteorien. Udgangspunktet er igen Fig 2.7, og spørgsmålet lyder: Hvor mange nye figurer kommer der til i hver af de 12 rækker? Når der eksempelvis i 12. række kun er 4 af i alt 11 figurer (nemlig 1, 5, 7 og 11), som ikke er gengangere fra tidligere rækker, så hænger det tydeligvis sammen med forkortelsesmulighederne mellem snittets tæller og nævner. Selv om de 4 figurer i eksemplet visuelt set er parvis identiske, så vil vi dog alligevel regne dem som forskellige, fordi deres indfoldede orden er forskellig. Spørgsmålet kan altså også formuleres sådan: Hvor mange uforkortelige brøker mellem 0 og 1 findes der for en given nævner? Som så mange andre talteoretiske problemer er dette spørgsmål besvaret af den schweiziske matematiker Leonhard Euler ( ). Han fandt at antallet af uforkortelige brøker for en given nævner kan udtrykkes som en funktion af nævneren, og da han brugte bogstavet φ (phi) som funktionstegn, har funktionen fået navnet Eulers φ-funktion. Idet p 1, p 2, p 3 osv. er nævnerens primfaktorer, og nævneren fortsat kaldes a, ser funktionen således ud: φ(a) = a (1 1/p 1 ) (1 1/p 2 ) (1 1/p 3 )...., Lad os som eksempel vælge nævneren 12. Primfaktorerne er 2 og 3, og når vi indsætter dem i formlen får vi: φ(12) = 12 (1 1/2) (1 1/3) = 4 Læg mærke til, at hvis a er et primtal, p, så er φ(p) = p 1; det fremgår umiddelbart af fig.2.6 (f.eks. er der jo kun 10 forskellige muligheder, når nævneren er 11). Her følger en tabel over de uforkortelige brøker i fig.2.6 (prøv event. selv at regne nogle af tilfældene igennem): a φ(a) Får man lyst til at fortsætte tabellen, kan man med fordel udnytte, at funktionen er multiplikativ, dvs. hvis a kan opløses i faktorer, og man allerede kender funktionsværdien for faktorerne, så gælder det, at φ(a 1 a 2 a 3...) = φ(a 1 ) φ(a 2 ) φ(a 3 )... Her er et eksempel (funktionsværdien for faktorerne kan aflæses i ovenstående tabel): φ(60) = φ(3 4 5) = φ(3) φ(4) φ(5) = = 16 Nogle eksempler på irrationelle delingssekvenser og deres tilnærmelser Det ligger i sagens natur, at vi i praksis kun kan udtrykke irrationelle størrelse med en tilnærmelse. Det gyldne snit (GS), som det handlede om i 1.kap., er et eksempel herpå. Det skrives ofte som 0,618034, men i programmet regnes der med 15 decimaler. Vi så videre, at forholdet mellem Fibonacci-rækkens elementer to og to kommer tættere og tættere på GS (se tabel 1.1) man siger, at de konvergerer mod GS. Men det betyder så også, at de delingssekvenser, der dannes, når vi benytter disse konvergenter som snit, vil være identiske med et større eller mindre udsnit af Fibonacci-rækken. Det viser jeg nogle eksempler på i den følgende opstilling:

10 10 Eksempler på tilnærmelser (konvergenter) til det gyldne snit snit delingssekvens = Fibonacci-rækken 0, , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, /13 = 0, , 2, 3, 5, 8, 13 13/21 = 0, , 2, 3, 5, 8, 13, 21 21/34 = 0, , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 34/55 = 0, , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 55/89 = 0, , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 89/144 = 0, , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, /233 = 0, , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, /377 = 0, , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, /610 = 0, , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 Læg specielt mærke til, at tælleren på ethvert trin er identisk med nævneren på det foregående trin. Men hvordan ser det ud med andre irrationelle snit? Kan vi også her finde en serie af brøker, som på tilsvarende måde har delingssekvensen fælles med snittet, idet nævneren følger det pågældende snits delingssekvens? Svaret er ja, og opgaven går i al enkelhed ud på at finde tælleren i ligningen: tæller / nævner = snit eller tæller = snit nævner Løsningen vil naturligvis selv være en decimalbrøk, men det er kun den heltallige del, vi har brug for. Det udtrykkes ved en såkaldt heltalsdivision, symboliseret ved tegnet \. I dette tilfælde skal divisor være 1, altså: tæller = snit nævner \ 1 Lad os som eksempel vælge snittet 2 1 = 0, Delingssekvensen finder vi i øverste linje i den efterfølgende opstilling, og derunder ser vi en række på hinanden følgende konvergenter og tilhørende delingssekvenser. Lad os som et eksempel finde den konvergent, der har delingssekvensen fælles med snittet til og med 169. Nævneren er dermed givet, og tælleren finder vi således: tæller = 0, \ 1 = 70 Konvergenten er altså 70/169. Prøv event. selv at udregne nogle af de andre konvergenter. Eksempler på tilnærmelser (konvergenter) til snittet 2 1 snit delingssekvens 0, , 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41, 70, 99, 169, 239, /12 = 0, , 2, 3, 5, 7, 12 7/17 = 0, , 2, 3, 5, 7, 12, 17 12/29 = 0, , 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29 17/41 = 0, , 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41 29/70 = 0, , 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41, 70 41/99 = 0, , 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41, 70, 99 70/169 = 0, , 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41, 70, 99, /239 = 0, , 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41, 70, 99, 169, /239 = 0, , 2, 3, 5, 7, 12, 17, 29, 41, 70, 99, 169, 239, 408 Læg specielt mærke til, at der igen er en forbindelse mellem de forskellige trin: tælleren på ethvert trin er nemlig identisk med nævneren i den brøk, der ligger to trin tilbage. Det er en følge af, at vi i

11 11 begge tilfælde har at gøre med kvadratiske snit. For sådanne gælder det nemlig, at snittets kædebrøksfremstilling nemlig periodisk, og det er dette, der afspejler sig i eksemplerne. I tilfældet GS er perioden 1, mens den i tilfældet 2 1 er 2. Dette interessante biprodukt af forsøgene med SKA- LAGENERATOREN vender jeg tilbage til i kapitel 4.

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

REDIGERING AF REGNEARK

REDIGERING AF REGNEARK REDIGERING AF REGNEARK De to første artikler af dette lille "grundkursus" i Excel, nemlig "How to do it" 8 og 9 har været forholdsvis versionsuafhængige, idet de har handlet om ting, som er helt ens i

Læs mere

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION

SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION SÅDAN BRUGER DU REGNEARK INTRODUKTION I vejledningen bruger vi det gratis program Calc fra OpenOffice som eksempel til at vise, hvordan man bruger nogle helt grundlæggende funktioner i regneark. De øvrige

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

FORMATERING AF REGNEARK

FORMATERING AF REGNEARK FORMATERING AF REGNEARK Indtil nu har vi set på, hvordan du kan udføre beregninger i dit regneark, og hvordan du kan redigere i regnearket, for hurtigt at få opstillet modellerne. Vi har derimod overhovedet

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Excel-1: kom godt i gang!!

Excel-1: kom godt i gang!! Excel-1: kom godt i gang!! Microsoft Excel er et såkaldt regneark, som selvfølgelig bliver brugt mest til noget med tal men man kan også arbejde med tekst i programmet. Excel minder på mange områder om

Læs mere

Excel for nybegyndere

Excel for nybegyndere cm Excel for nybegyndere 2007-2010 Indhold: Kolonner Rækker Celler Formellinjen Regnefunktioner (de 4 regningsarter) Kolonnebredde Værktøjslinjen Startside Søjlediagram. Udskrivning Hvor høje er vi? 185

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Microsoft Word 2003 - fremgangsmåde til Blomsterhuset Side 1 af 11

Microsoft Word 2003 - fremgangsmåde til Blomsterhuset Side 1 af 11 Microsoft Word 2003 - fremgangsmåde til Blomsterhuset Side 1 af 11 Åbn Word 2003 Skriv: Blomsterhuset A/S - tryk enter en gang Skriv: Blomster for alle - tryk enter 5 gange Skriv: I anledning af at - tryk

Læs mere

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word.

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 75 Paint & Print Screen (Skærmbillede med beskæring) Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 1. Minimer straks begge

Læs mere

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag SPAM-mails Køber varer via spam-mails Læser spam-mails Modtager over 40 spam-mails pr. dag Modtager spam hver dag 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010 Datapræsentation: lav flotte

Læs mere

Word-5: Tabeller (2007)

Word-5: Tabeller (2007) Word-5: Tabeller (2007) Tabel-funktionen i Word laver en slags skemaer. Word er jo et amerikansk program og på deres sprog hedder skema: table. Det er nok sådan udtrykket er opstået, da programmet blev

Læs mere

Word-5: Tabeller og hængende indrykning

Word-5: Tabeller og hængende indrykning Word-5: Tabeller og hængende indrykning Tabel-funktionen i Word laver en slags skemaer. Word er jo et amerikansk program og på deres sprog hedder skema: table. Det er nok sådan udtrykket er opstået, da

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE. INDLEDNING... Indledning. KAPITEL ET... Kom videre med Excel. KAPITEL TO... 27 Referencer og navne

INDHOLDSFORTEGNELSE. INDLEDNING... Indledning. KAPITEL ET... Kom videre med Excel. KAPITEL TO... 27 Referencer og navne INDHOLDSFORTEGNELSE INDLEDNING... Indledning KAPITEL ET... Kom videre med Excel Flyt markering efter Enter... 8 Undgå redigering direkte i cellen... 9 Markering ved hjælp af tastaturet... 10 Gå til en

Læs mere

Lad os prøve GeoGebra.

Lad os prøve GeoGebra. Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

OVERGANGS- OG OPBYGNINGSEFFEKTER

OVERGANGS- OG OPBYGNINGSEFFEKTER OVERGANGS- OG OPBYGNINGSEFFEKTER Kan PowerPoint ikke animere, kan programmet i stedet lave overgangs- og opbygningseffekter. Ikke mindst opbygningseffekter giver rige muligheder, for at lave særdeles avancerede

Læs mere

Kom i gang med. Kapitel 9 Impress: Præsentationer i OpenOffice.org. OpenOffice.org

Kom i gang med. Kapitel 9 Impress: Præsentationer i OpenOffice.org. OpenOffice.org Kom i gang med Kapitel 9 Impress: Præsentationer i OpenOffice.org OpenOffice.org Rettigheder Dette dokument er beskyttet af Copyright 2005 til bidragsyderne som er oplistet i afsnittet Forfattere. Du kan

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Disposition for kursus i Word 2007 Filtyper, filformat og skabelon Demo Fremstil, gem og brug en skabelon Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Tabel Demo Opret en tabel ud fra en tekst Øvelser Opret

Læs mere

Instruktion til banelægning i Condes til træningsløb

Instruktion til banelægning i Condes til træningsløb Instruktion til banelægning i Condes til træningsløb Har du ikke Condes 9 på din computer kan det hentes på www.condes.dk RSOK s login oplysninger findes her (kræver login til klubbens hjemmeside, har

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Formler og diagrammer i Excel 2000/2003 XP

Formler og diagrammer i Excel 2000/2003 XP Formler i Excel Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

PowerPoint 2003. Kursusmateriale til FHF s kursister

PowerPoint 2003. Kursusmateriale til FHF s kursister PowerPoint 2003 Kursusmateriale til FHF s kursister Indholdsfortegnelse: Opgave 1 Hvad er en Præsentation?... 2 Opgave 2 vælg emne + opret dias... 3 Opgave 3 Indsæt objekter / billeder... 4 Opgave 4 Brugerdefineret

Læs mere

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012 Geogebra Dynamisk matematik Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er Geogebra?...4 Denne manual...4 Hent og installer programmet...4 Geogebra gennemgang og praktiske eksempler...4 Menuerne...5

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

ViTre ver. 91 Opdatering fra ScanDis A/S. Instruktion og nyheder i TAL. Automatisk ro Ny forbedret udtalebog. Automatisk ro

ViTre ver. 91 Opdatering fra ScanDis A/S. Instruktion og nyheder i TAL. Automatisk ro Ny forbedret udtalebog. Automatisk ro ViTre ver. 91 Opdatering fra ScanDis A/S Instruktion og nyheder i TAL Automatisk ro Ny forbedret udtalebog Automatisk ro ScanDis A/S ViTre version 91 opdatering Side 1 Ny indstilling af oplæsning med funktionen

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Open Office Tekst

Open Office Tekst Side 1 af 17 Open Office 3.4.1 Tekst Vejledning ver. 1.07 Anvendes og udvikles løbende ved en på Præsthøjgården Side 2 af 17 Indholdsfortegnelse 1 Kom godt i gang... 4 1.1. Indledning... 4 1.2. Lidt om

Læs mere

Regneark II Calc Open Office

Regneark II Calc Open Office Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale

Læs mere

Større skriftlige opgaver i Microsoft Word 2007 Indhold

Større skriftlige opgaver i Microsoft Word 2007 Indhold Større skriftlige opgaver i Microsoft Word 2007 Indhold Større skriftlige opgaver i Microsoft Word 2007... 1 Inddeling i afsnit... 2 Sideskift... 2 Sidetal og Sektionsskift... 3 Indholdsfortegnelse...

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Brugervejledning. People Software Solutions Ltd. Version: 2011.1.24

Brugervejledning. People Software Solutions Ltd. Version: 2011.1.24 Brugervejledning People Software Solutions Ltd. Version: 2011.1.24 1 Start programmet Isæt USB-nøglen i et ledigt USB-stik på computeren. Klik på: Klik på ikonet, når mappen på USB-nøglen er åbnet. Skulle

Læs mere

Afgrænsning/filtrering, sortering m.v. i Klienten

Afgrænsning/filtrering, sortering m.v. i Klienten Afgrænsning/filtrering, sortering m.v. i Klienten Afgrænsning/filtrering I det efterfølgende gennemgås de tre standard afgrænsnings-/filtrerings metoder i Prisme Klient: Avanceret filter Er den overordnede

Læs mere

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat 1 Dokumentformat Åbn TI-Nspire. Første gang man åbner programmet vises som regel et skærmbillede fra en håndholdt lommeregner. Denne visning skiftes til Computer i menuen eller ved ALT-Shift-C. Denne indstilling

Læs mere

Seriediagrammer - Guide til konstruktion i LibreOffice Calc

Seriediagrammer - Guide til konstruktion i LibreOffice Calc Seriediagrammer - Guide til konstruktion i LibreOffice Calc På forbedringsvejlederuddannelsen anvender vi seriediagrammer til at skelne mellem tilfældig og ikketilfældig variation. Med et seriediagram

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Tekst, tal og formler I et regneark kan man indtaste tekst, tal og formler:

Tekst, tal og formler I et regneark kan man indtaste tekst, tal og formler: Tekst, tal og formler I et regneark kan man indtaste tekst, tal og formler: I cellerne A1, A2 og A3 er der indtastet tekst. Tekst bliver venstrestillet. I cellerne B1 og B2 er der indtastet tal. Tal bliver

Læs mere

Hjemmesiden er opdelt i et sidehoved, en sidefod og mellem disse 3 kolonner: venstre, midterste og højre. Højre kolonne vises dog kun på forsiden.

Hjemmesiden er opdelt i et sidehoved, en sidefod og mellem disse 3 kolonner: venstre, midterste og højre. Højre kolonne vises dog kun på forsiden. Hjemmesiden er opdelt i et sidehoved, en sidefod og mellem disse 3 kolonner: venstre, midterste og højre. Højre kolonne vises dog kun på forsiden. VENSTRE kolonne indeholder flere elementer (se illustration

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Beregn operationsalder

Beregn operationsalder Beregn operationsalder I denne vejledning kigges på hvordan man beregner den alder patienten har ved operation. Data til dette findes i dataudtræk fra Skema 1A eller dataudtræk med data fra alle skemaer.

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Design af IT-medier. Skriftlig prøve 10. juni Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt.

Design af IT-medier. Skriftlig prøve 10. juni Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt. Design af IT-medier Skriftlig prøve 10. juni 1999 Varighed: Hjælpemidler: Bedømmelse: Besvarelse: Opgaver: 4 timer. Alle skriftlige hjælpemidler er tilladt. Karakter efter 13-skalaen. Alle ark skal være

Læs mere

Sådan kommer du i gang

Sådan kommer du i gang Sådan kommer du i gang 1. Åbn Internet Explorer 2. Skriv følgende adresse i adresselinjen: http://rudersdal.emshost.dk 3. Tryk på ENTER-tasten 4. Tilføj adressen til dine foretrukne hjemmesider: 1 Log

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel)

Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel) Sammenknytning af listedata fra MUD til tabel i MapInfo (SVM-eksempel) Indhold Introduktion...1 Eksport og tilpasning af tabeldata MUD...1 Direkte til Excel...1 Via Rapport i Word-format til Excel...1

Læs mere

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 VisiRegn ideer 1 Talregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 Vejledning til Talregning

Læs mere

Vejledning til Excel 2010

Vejledning til Excel 2010 Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...

Læs mere

Numerisk løsning af differentialligninger

Numerisk løsning af differentialligninger Numerisk løsning af differentialligninger Begyndelsesværdiproblemet Vi vil se på løsning af begyndelsesværdiproblemet: dx( t) x ( t) f ( x, t) dt x ( t ) 0 x0 hvor vi vil foretage numerisk integration

Læs mere

Upload af billeder til hjemmesiden m.m.

Upload af billeder til hjemmesiden m.m. Upload af billeder til hjemmesiden m.m. Fremgangsmåde VVS-inst.dk Upload af billeder m.m., Side 1 Så går vi i gang Åben Firefox browseren Gå ind på denne adresse, for at komme til hjemmeside programmet.

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Indhold Forelæsning Dat-D1: Regneark Matematik og databehandling 2012

Indhold Forelæsning Dat-D1: Regneark Matematik og databehandling 2012 Indhold Forelæsning Dat-D1: Regneark Matematik og databehandling 2012 Henrik L. Pedersen Institut for Matematiske Fag henrikp@life.ku.dk 1 Forberedelsesopgaverne Dat-D-1 og Dat-D-2 2 Regnearks grundprincipper

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Regnearket Excel - en introduktion

Regnearket Excel - en introduktion Regnearket Excel - en introduktion Flytte rundt i regnearket. Redigere celler Hjælp Celleindhold Kopiering af celler Lokalmenu og celleegenskaber Opgaver 1. Valutakøb 2. Hvor gammel er du 3. Momsberegning

Læs mere

BRUGERVEJLEDNING FOR ELBAPRINT SERVICE

BRUGERVEJLEDNING FOR ELBAPRINT SERVICE SOFTWARE FORUDSÆTNINGER TRIN 1: IDENTIFICER DIG, ELLER OPRET DIN SIDE TRIN 2: VÆLG FORMAT TIL DIN LABEL TRIN 3: VÆLG DIT DESIGN, ELLER ARBEJD PÅ EN TOM LABEL TRIN 4: IMPORTER DINE DATA I DINE LABELS, ELLER

Læs mere

Outlook 2010 opsætning

Outlook 2010 opsætning Outlook 2010 opsætning Personlig Workflow Nå mere og arbejd mindre Personlig Workflow www.personligworkflow.com kontakt@personligworkflow.com Introduktion til Outlook 2010 guide Microsoft Outlook 2010

Læs mere

Diagrammer visualiser dine tal

Diagrammer visualiser dine tal Diagrammer visualiser dine tal Indledning På de efterfølgende sider vil du blive præsenteret for nye måder at arbejde med Diagrammer på i Excel. Vejledningen herunder er vist i Excel 2007 versionen, og

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere