Projekt 7.10 Uendelighed Hilberts hotel
|
|
- Bent Lorenzen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel (Materialet i dette projekt er hentet fra Hvad er matematik? A, indledningen til kapitel ) I december gør den tyske matematiker Georg Cantor en af matematikhistoriens største og mest overraskende opdagelser: Der er flere slags uendelighed Ordet uendeligt indgår i sproget, men uendeligt er ikke bare uendeligt På billedes ses Georg Cantor (-9) og ved siden af ham "Aleph", det første bogstav i det hebraiske alfabet, som Cantor indførte som betegnelser for de forskellige slags uendelige tal, han arbejdede med Fx er 0 betegnelsen for dét uendelige tal, der er knyttet til mængden af naturlige tal Der er uendeligt mange naturlige tal (0,,,,, ) og der er uendeligt mange rationale tal (alle brøker og periodiske decimaltal) Der er også uendeligt mange irrationale tal (tal som og π, der ikke er periodiske decimaltal) Men mængden af irrationale tal er uendelig stor på et helt andet niveau, end fx mængden af alle rationale tal Alle rationale og irrationale tal kan vi afsætte på tallinjen og de kaldes tilsammen for de reelle tal Vælger vi et tal tilfældigt ud, så er sandsynligheden for at få et rationalt tal lig med 0 og sandsynligheden for at få et irrationalt tal er altså 00%! Det virker sært, for godt nok kender vi til irrationale tal som, og, men det forekommer noget sværere at finde på den slags end på rationale tal Og vi er kun lige gået inden for porten til det mærkelige land, Cantor opdagede Tællelighed, ækvipotens og mængders mægtighed I den endelige verden forstår vi udmærket, hvad det vil sige, at der er flere af en slags, end af en anden slags Hvis der er elever og 0 stole, så er der flest elever, og der er ikke stole til alle Uanset hvad for en stoleleg, man leger, så er der altid to, der står op, når man beder alle om at tage plads Men sådan er det ikke i uendelighedens verden Allerede Galilei gav følgende paradoks: Lad A betegne alle naturlige tal (,,,, ), og lad B betegne alle kvadrattal (,, 9,,, ) Det er klart, at alle kvadrattallene også er med i A, så umiddelbart ville man sige, at der er færre kvadrattal Men spørgsmålet om, om der er flere, færre eller lige mange, afgør vi efter samme princip som i det endelige tilfælde: Kan tallene i de to mængder parres sammen to og to, så alle får præcis én makker, så er der lige mange Det kunne vi ikke i det endelige tilfælde med elever og stole Men Galilei påviste nu, at det let kan gøres i det uendelige tilfælde: 9 Galilei konkluderede, at der jo så måtte være lige mange! Det er helt klart, hvad det næste tal i hver række er, og det er klart, at vi kan fortsætte i det uendelige! Det var et svimlende paradoks, og Gallilei valgte ikke at gå længere ind i uendelighederne Men eksemplet kan bruges til at give Cantors definition: 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK- København K Tlf: info@lrudk
2 Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Definition Sammenligning af uendeligheder To mængder A og B siges at være ækvipotente, dvs at være lige store, hvis vi kan parre elementerne i A og B sammen to og to, så alle får præcis én makker Man siger også, at de to mængder har samme mægtighed, og vi skriver: A B I Galileis eksempel blev mængden af kvadrattal sammenlignet med mængden af naturlige tal ved, at vi stillede dem op i række, så man populært sagt kunne tælle dem På samme måde kan vi stille de lige tal op på række:,,,, 0, så der er også lige så mange lige tal som naturlige tal i det hele taget! Dette repræsenterer den laveste grad af uendelighed og har et særligt navn: Definition Tællelig (numerabel) En mængde A kaldes tællelig eller numerabel, hvis A er ækvipotent med mængden af naturlige tal mængde er altså tællelig, hvis alle dens elementer kan stilles op på række, så vi kan tælle dem Vi anvender symbolet til at angive dette første uendelige tral 0 En Øvelse a) Vis, at mængden af alle hele tal (dvs positive, negative og nul) er tællelig b) Antag, at A { a, a, a,} og B { b, b, b,} begge er tællelige Gør rede for, at samlingen (foreningsmængden) af alle elementer i A og B også er tællelig, ved at finde en metode til at stille alle a erne og b erne op på række, så det er helt klart, hvad det næste element i rækken er c) Generaliser din metode fra b) til at gælde en samling af k tællelige mængder 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK- København K Tlf: info@lrudk
3 Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Hilberts hotel Et par ankommer en sen aften til Det endelige hotel, der ligger langt uden for alting, tæt på grænsen til Cantorland De har ikke bestilt værelser i forvejen, for de har læst at hotellet har godt 00 værelser, så det går nok De håber på det bedste, men det viser sig desværre, at alt er optaget De bliver i stedet opfordret til at tage til Hilberts Hotel, der ligger lige på den anden side af grænsen De har altid plads, får de at vide Da de ankommer til Hilberts hotel er det første, der møder dem en reklamesøjle, hvor der står: Succesen fortsætter - alle værelser udlejet De går alligevel ind og siger: Vi kommer lige fra Det endelige hotel, hvor de sagde, at vi kunne få plads her Det kan I da også - hvad er problemet?, svarede receptionisten Men udenfor står der jo at alle værelser er optagede? Nåh det, det er ikke noget problem, vi flytter dem bare, vi har jo uendeligt mange værelser her på Hilberts hotel!, svarede receptionisten Og det gjorde de så Og det var sat i system På alle værelser blev gæsterne vækket, og en skærm fortalte: Saml jeres ting og flyt ind på det værelset ved siden af, der har det nummer, der er højere end jeres nuværende værelsesnummer Så på alle hotellets gange rykkede gæsterne nu ud og ind af værelserne Og vores par flyttede ind på værelse nr Alle havde et sted at sove Øvelse a) Senere ankommer et selskab på par, som receptionisten også skaffer plads til Hvordan gør han det? Hvilken besked, vil der nu stå på skærmen? b) Næste dag får de en lidt større udfordring på Hilberts hotel Der ankommer et større selskab med uendeligt mange gæster men dog tælleligt mange Kan hotellet skaffe plads til dem? Hvilket værelse har du skaffet til gæst nr 0? Til gæst nr 0? til gæst nr n? c) Tredje dag ankommer oven i hinanden to selskaber hvert med uendeligt mange gæster Kan hotellet skaffe plads? Hvordan? d) Endelig på fjerdedagen kommer den ultimative udfordring: Udenfor står der uendeligt mange selskaber, hver med uendeligt mange gæster og vil gerne have plads Kan du anvise en strategi for receptionisten, så alle bliver glade? Du kan se en kort film om Hilberts hotel her: 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK- København K Tlf: info@lrudk
4 Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Hilberts hotel viser, at der altid er plads til én til men også at, der er altid plads til uendeligt mange flere! Vi kan udtrykke resultaterne af øvelserne på symbolsk form således: Der er blot et enkelt problem i disse formler: Hvad betyder egentlig? Vi har jo lige hørt, at der er flere slags uendelighed Det dykker vi dybere ned i ved at fortsætte fortællingen om Hilberts hotel lidt endnu der er nemlig trods alt grænser for hotellets formåen En dag er gæsternes utilfredshed med at blive flyttet rundt, med den uendelige morgenbuffet, med den uendeligt ringe rengøring, med at der ikke er uendeligt mange fjernsynskanaler osv vokset til, at der var uendelig mange klagepunkter Hotellet foreslår gæsterne, at de nedsætter nogle udvalg, der kan komme med forslag til forbedringer Men ingen af gæsterne vil overlade til andre at bestemme noget som helst, så derfor foreslår hotellet, at gæsterne nedsætter alle de udvalg de har lyst til Da gæsterne begynder at skændes om, hvem der skal være med i hvilke udvalg foreslår receptionisten, at de nedsætter alle tænkelige udvalg Dvs enhver tilfældig gruppering af gæster udgør et udvalg, så den enkelte er med i uendeligt mange Gæsterne accepterer forslaget, hvis receptionisten kan skaffe et værelse til hvert udvalg, hvor de kan holde møde Kan han det? Hvor mange udvalg kan der dannes, hvis vi nedsætter alle tænkelige udvalg? Lad os stille et lignende men meget lettere spørgsmål: Hvor mange udvalg kan der dannes ud af en gruppe på personer? Vi kan prøve at tælle dem ved at se på, hvor mange udvalg, der kan dannes med medlem, med to medlemmer osv og så summere til sidst Men vi kunne også finde en anden måde at tælle antallet på, nemlig ved at se på hvordan et vilkårligt udvalg dannes: Vi spørger er gæst nr med? Er gæst nr med? Er gæst nr med? 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK- København K Tlf: info@lrudk
5 Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Øvelse Hvor mange udvalg kan der dannes ud fra gæster? Svarene på vores spørgsmål - Er gæst nr i med eller ikke med er enten et ja eller nej, altså to muligheder Det kan vi også repræsentere af tallet for ja, tallet 0 for nej På den måde kan et udvalgs sammensætning beskrives ved et -cifret decimaltal: 0,aa aa a, hvor a erne er enten 0 eller Tallet 0,00 repræsenterer det udvalg, hvor gæst nr, og er med Når vi skriver et udvalgs sammensætning på den måde er det let at se, at antallet af udvalg svarer til antallet af tal på den form Og dette må jo være, da der hver gang er to muligheder Man kan godt diskutere om de to udvalg svarende til tallene: 0,00000 og 0, er rigtige udvalg De skulle vel egentlig holdes ude Når vi i det følgende begynder at se på uendelige mængder er det naturligvis ligegyldigt med to udvalg fra eller til, så det vil vi ikke tage hensyn til Øvelse Hvor mange af udvalgene er gæst nr med i? Lad os nu vende tilbage til hotellet Øvelse a) Argumenter for, at et udvalg kan beskrives ved hjælp af ét decimaltal, 0, aa aa aa aa a9a 0 hvor a erne alle er 0 eller : osv Så antallet af udvalg svarer til antallet af decimaltal skrevet udelukkende med 0 og b) Vi skriver normalt tal i ti-talsystemet, men vi kunne jo vælge at skrive i totalsystemet i stedet Udnyt denne iagttagelse til at argumentere for følgende, hvor betyder har samme mægtighed som (dvs er præcis lige så stor som : Mængden af forskellige udvalg af gæster Mængden af decimaltal (mellem 0 og ) dannet udelukkende ved hjælp af 0 og Mængden af reelle tal (mellem 0 og ) Mængden af reelle tal (Hint: Anvend definitionen på, at to mængder har samme mægtighed: Der er en - korrespondance mellem de to mængders tal) a =, hvis personen i værelse er med, ellers 0 a =, hvis personen i værelse er med, ellers 0, I analogi med taleksemplet ovenfor skrives det kardinaltal, der angiver antallet af udvalg, dvs antallet af forskellige 0 delmængder af gæster således:, idet antallet af gæster jo er 0 Da antallet af udvalg altså svarer til antallet af reelle tal, og da vi ved fra Cantors store opdagelse, at de reelle tal ikke kan stilles på række og tælles, så kan der således ikke skaffes et værelse til hvert udvalg Vi har nået grænsen for hotellets kapacitet Vi ser også, at vi i virkeligheden har vist mere end blot at svare på spørgsmålet om der er værelser nok til antallet af udvalg Metoden ovenfor har generel karakter Har vi givet en uendelig mængde M, hvis kardinalitet vi kunne betegne M, så har mængden af alle delmængder af M en kardinalitet, der er større end M, nemlig præcis M Da dette er en slags udvidet potens, kaldes denne mængde af delmængder også for potensmængden hørende til M Den betegnes P(M) eller blot P(M) Vi har hermed skabt et værktøj, der giver os et uendeligt hierarki af uendeligheder 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK- København K Tlf: info@lrudk
6 Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel De rationale tal kan tælles Vi har et par gange nævnt, at der ikke er flere rationale tal, end der er naturlige tal, dvs mængden af rationale tal er tællelig På en tallinje ligger de rationale tal så tæt, at uanset hvor vi er, uanset hvilket irrationalt tal vi vælger, fx π, og uanset hvor lille et interval, vi lægger om tallet π, så er der rationale tal i dette interval Vi kan altså kort sagt lave en følge af rationale tal, der nærmer sig π vilkårlig tæt De første 0 cifre i π er følgende:, De første 0 tal i denne følge kan derfor se således ud:,,,,,,,,,,9,,9,,9,,9,,9 Selv om vi ikke kender alle de uendeligt mange decimaler i π, så findes de jo! Og derfor må der også findes en sådan følge af rationale tal, der kommer vilkårlig tæt på π Når de rationale tal ligger så tæt på tallinjen, skulle man umiddelbart tro, at der var lige mange rationale og irrationale tal En sådan antagelse bestyrkes af, at der også gælder det modsatte: Uanset hvilket rationalt tal vi vælger, og uanset hvor lille et interval vi lægger om dette, så er der irrationale tal heri Øvelse I C-bogens kapitel findes afsnit om rationale tal (periodiske decimaltal) og irrationale tal Hvis ikke du umiddelbart kan løse opgaverne i denne øvelse, så kan du slå op i C-bogen a) Skriv b) Argumenter for, at som et decimaltal Hvad er perioden? kan skrives som et periodisk decimaltal, uden at gennemføre divisionen c) Omskriv, til en brøk d) Argumenter for, at tallene: s 0, og t, er irrationale e) Argumenter for, at uanset hvor lille et interval vi lægger om tallet,, så er der irrationale tal heri Vis det gerne med et taleksempel, fx et interval med bredde 0 Uanset hvor vi er på tallinjen, ligger rationale og irrationale tal altså tæt op af hinanden Der findes ingen steder på tallinjen en lille bitte enklave, hvor der udelukkende er irrationale eller udelukkende rationale tal Det ser billedligt talt ud, som om de står skulder ved skulder Men det er et forkert billede Når vi zoomer ind på et bestemt sted, bliver der ved med at komme et mylder af rationale og irrationale tal De står ikke på række, selv om vi for hvert par af tal altid kan afgøre hvilket, der er størst Når vi zoomer ind på det sted på tallinjen, hvor π ligger, og bliver ved med at zoome ind, er det som at kigge ned i en uendelig dyb brønd, hvor der uendeligt langt nede ligger ét tal, nemlig π Tallene står ikke på række på tallinjen Men den helt store forskel på mængden af rationale og mængden af irrationale tal er, at de rationale kan stilles på række godt nok en række, hvor de ikke står efter størrelse, men en række hvor alle er med Det kan man ikke med de irrationale tal Det var det, Cantor opdagede i december! 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK- København K Tlf: info@lrudk
7 Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Måneden før i november havde han skrevet til sin gode ven Richard Dedekind ( - 9), at han ikke kunne løse dette problem, og at han var bekymret for, om det var ham, der var noget galt med: Mit spørgsmål er ganske enkelt, om man kan parre mængden af naturlige tal sammen med mængden af reelle tal, så alle får præcis én makker? Ved et første blik kunne man sige nej, det er umuligt, for de naturlige tal er en samling tal, der står hver for sig, mens de reelle tal udgør et kontinuum på tallinjen Men der er ikke noget vundet ved et sådant argument, og selv om jeg er overbevist om, at man ikke kan parre dem sammen, kan jeg ikke finde en begrundelse, og selv om jeg bruger mange kræfter på det, så kan forklaringen være meget simpel (Cantor, brev til Dedekind 9 november, citeret fra Joseph Daubens Cantor biografi) Richard Dedekind Cantor havde mødt Dedekind året før i øvrigt på Cantors bryllupsrejse og de to opbyggede gennem årene et nært venskab Når han spørger Dedekind om dette, er det bla fordi, Dedekind året før havde udgivet en artikel om, hvordan man kan opbygge en teori for tallene, hvor de irrationale tal bliver konstrueret ud fra de rationale Og når han selv afviser det argument ved første blik, var det fordi han på dette tidspunkt vidste, at både de rationale og de algebraiske tal er tællelige, dvs de er af samme mægtighed som de naturlige tal Ser vi på de rationale tal, kan man opstille disse i et system med uendeligt mange rækker, som vist her nedenfor: T N 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK- København K Tlf: info@lrudk
8 Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Øvelse Benyt illustrationen til at vise, hvordan Cantor har kunnet plukke alle de rationale tal og stille dem op i én lang række, så det er klart hvad det næste rationale tal må være Bemærk, at de ikke kommer til at stå efter størrelse De reelle tal kan ikke tælles Dedekind svarede straks, at han heller ikke kunne løse det, og december skriver Cantor tilbage, at han var glad for at modtage svaret, da han havde beskæftiget sig med det i årevis og længe havde tvivlet på, om problemet med den manglende løsning lå hos ham selv - eller lå i selve problemet Og da han fik Dedekinds bekræftelse på, at det ikke ham selv, der var noget galt med, så lykkedes det pludselig Inden for en uge har han løst det og sender allerede december Dedekind en skitse til sit bevis for, at de reelle tal ikke er en tællelig mængde, men er uendeligt meget større Han videreudvikler og forenkler sine argumenter i senere artikler frem til sit berømte diagonalbevis Det er et såkaldt modstridsbevis, hvor Cantor antager det modsatte af påstanden, nemlig at de reelle tal kan tælles, og derefter fører dette til en modstrid Cantor antager altså, at de reelle tal kan skrives op en i lang række, hvor alle tal er med Vi tænker os alle reelle tal skrevet som uendelige decimaltal (hvis de er endelige, så fylder vi blot ud med nuller efter) Starten kunne være følgende tal: N, a a a a a a a a a a 9 0 N, b b b b b b b b b b 9 0 N, c c c c c c c c c c 9 0 N, d d d d d d d d d d 9 0 N, e e e e e e e e e e 9 0 hvor N erne er naturlige tal, og alle a er, b er, c er, d er og e er er hele tal mellem 0 og 9 Overvej, hvordan dette nummereringssystem kan udvides, således at vi kan skrive alle de rækker op, vi kan ønske os Nu vil Cantor føre antagelsen om at alle reelle tal er med på listen til en modstrid Det gør han ved at påvise, at der findes ét tal C, der i hvert fald ikke er med i denne liste over de reelle tal Denne modstrid betyder jo, at vi må forkaste antagelsen om, at alle de reelle tal er med på listen, og vi kan konkludere, at de reelle tal ikke kan stilles på række, dvs de kan ikke tælles! Vi konstruerer tallet C decimal for decimal: Tallet før kommaet sættes til 0 Første decimal: Vi vælger et tal x, hvor x a Anden decimal: Vi vælger et tal, hvor x b Tredje decimal: Vi vælger et tal x, hvor x c Fjerde decimal: Vi vælger et tal, hvor x d Tallet C konstrueres altså ved, at vi som n te decimal skriver et tal, der er forskellig fra det tal, der står som n te decimal i det n te tal på listen af alle reelle tal: C 0, xx xxx Øvelse Argumenter for, at dette tal C ikke kan være lig med noget tal på listen x x Cantor havde hermed fået bevist, at antallet af reelle tal er uendeligt stort på et helt andet niveau end antallet af naturlige tal og rationale tal 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK- København K Tlf: info@lrudk
9 Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Kardinaltallene og kontinuumshypotesen Der er åbenbart et hierarki af uendeligheder, og Cantor indfører derfor nogle særlige kardinaltal, der skal angive mægtigheden af de pågældende mængder Det første og mindste kardinaltal er et symbol for størrelsen af tællelige mængder Det betegnes 0, og læses som nævnt ovenfor aleph nul Cantor fandt en snedig metode til at få et nyt og større kardinaltal, når vi kender det foregående, således at vi får en række af kardinaltal: 0,,,, hvor fx repræsenterer mængder, der er uendeligt meget større end de tællelige, der repræsenteres af 0 Cantor havde samtidig bevist, at mængden af reelle tal er uendeligt meget større end, og dermed har et kardinaltal større end 0 Dette kaldte han c Men han havde ikke bevist, at Hvad skulle det ellers være, kunne man spørge Problemet er bare, at det ikke kan udelukkes, at der findes andre kardinaltal, dvs mængder med en mægtighed et eller andet sted mellem de naturlige tal og de reelle tal og tilsvarende højere oppe i hierarkiet I øvelsen om Hilberts hotel har vi i sidste punkt anvist en forholdsvis enkel metode til få et større kardinaltal end 0, nemlig ved at se på mængden af alle mulige udvalg, der kan dannes Kardinaltallet for denne mængde skrives som, og vi så, at størrelsen af denne mængede svarer til de reelle tals mægtighed, dvs: Konstruktionen kan generaliseres, så eksempelvis 0 c 0 c er et kardinaltal, der er større end Cantor kæmpede længe med at bevise eller modbevise dette, men det lykkedes aldrig Cantor var maniodepressiv og blev med tiden mere og mere invalideret Meget tyder på, at hans første voldsomme anfald og sammenbrud i blev udløst af hans kamp for at løse dette problem I ugerne op til sammenbruddet sendte han næsten dagligt nye artikler til et tidsskrift, én dag med beviser, som han dagen efter trak tilbage, en anden dag med modbevis, som han så også straks trak tilbage, og så igen et nyt forsøg på et bevis Det meste af tiden var han overbevist om, at der gjaldt lighedstegn i c og formulerede dette som en formodning eller hypotese: Kontinuumhypotesen Der findes ingen mængder med kardinaltal mellem 0 Påstanden er altså at c er det næste i rækken af kardinaltal Og tilsvarende længere oppe i rækken, at fx = Det kan hurtigt komme til at svimle for os, når vi går op af denne stige af stadigt større uendelige kardinaltal Ved og c kan vi dog stadig danne et billede af uendeligheden, fordi dette kardinaltal kan repræsenteres af noget vi kender lidt til, nemlig mængden af alle funktioner Ved en stor matematikkongres i år 900 formulerede Hilbert en vision for hvilke store matematiske problemer, der ville blive løst i løbet af de næste hundrede år Der var problemer på hans liste, som du fx kan finde på wikipedia Det første af dem alle er netop kontinuumhypotesen Det var tiden før Titanics forlis og verdenskrig, en optimismens tid med en nærmest ubegrænset tro på menneskets evne til at forstå, beskrive og beherske verden Få årtier efter havde man ikke alene været igennem det totale sammenbrud i verdenskrig, men også grundlæggende forestillinger i videnskaberne blev væltet omkuld Også matematikken blev kastet ud i en krise, som netop kan illustreres med kontinuumhypotesen Dette problem fandt nemlig en løsning, men en noget anderledes end Hilbert og Cantor og andre havde forestillet sig 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK- København K Tlf: info@lrudk
10 Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Kurt Gödel Paul Cohen Løsningen er, at der ikke er noget bestemt svar på om kontinuumhypotesen holder eller ej I 90 offentliggør Kurt Gôdel (90-9) en artikel, hvor han viser, at hypotesen ikke kan modbevises Men i 9 beviste Paul Cohen (9-00) at den modsatte påstand dvs at der skulle findes mængder med et kardinaltal mellem 0 og c heller ikke kan modbevises Det er en uafgørlig påstand! Ordet kontinuum beskriver den opfattelse, at tallinjen er sammenhængende overalt uden huller Havde vi kun de rationale tal til rådighed, ville tallinjen ikke bare være fuld af huller, men næsten kun bestå af huller 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK- København K Tlf: info@lrudk
Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereKommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereKapitel 7. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse Øvelse a = 3 0, = 8 2,6 3 = 25 3, , =
ISBN 978877066879 Kaitel 7 Øvelse 71 1 3 4 ( x + 6) ( x 4) (y + 3 z) (y 3 z) (m + 10) Øvelse 74 a 3 5 = 4,6 49 7 = 7,0 3 0,1875 16 = 8,6 3 = 5 3,57148 7 = 10 0, 76930 13 = Stregerne over tallene efter
Læs mereProjekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal
Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet
Læs mereProjekt Pascals trekant
ISBN 988089 Projekter: Kapitel 9 Projekt 9 Pascals trekant Projekt 9 Pascals trekant Et af målene i dette afsnit er at generalisere kvadratsætningerne, så vi fx umiddelbart og uden nødvendigvis at bruge
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereUdvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009
Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4
Læs mereLæs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana
Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana 2 Uendelighed - et matematisk symbol Der kan være uendeligt lang
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereUendelighed og kardinalitet
Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og
Læs mereSikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet
Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mereProjekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereSymbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereHvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen
12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs merePositionssystemet, 2 3 uger (7 lektioner), 2. klasse.
Positionssystemet, 2 3 uger (7 lektioner), 2. klasse. FRA FORENKLEDE FÆLLES MÅL Kommunikation vedrører det at udtrykke sig med og om matematik og at sætte sig ind i og fortolke andres udtryk med og om
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereEmil, Nicklas, Jeppe, Robbin Projekt afkodning
Skal man omskrive noget om til en kompakt tekst, eller til specifikt sprog, så kan matematiken være et meget fornuftigt alternativ. Matematiken er et sprog som mange forstår, eller i hvert fald kan lære
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mere(Positions) Talsystemer
(Positions) Talsystemer For IT studerende Hernik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...2 Positions talsystem - Generelt...3 For decimalsystemet gælder generelt:...4 Generelt for et posistionstalsystem
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mereEvaluering af matematik undervisning
Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereSyv veje til kærligheden
Syv veje til kærligheden Pouline Middleton 1. udgave, 1. oplag 2014 Fiction Works Aps Omslagsfoto: Fotograf Steen Larsen ISBN 9788799662999 Alle rettigheder forbeholdes. Enhver form for kommerciel gengivelse
Læs mereEksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver
Eksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver Hypotesedannelse I har alle produceret grafer af typen 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 (de lilla punkter er fundet ved en strenglængde på 35,
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereUENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK
UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4 2. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED...
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereEn forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.
1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereIntroduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14:
Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14: Udgangspunktet bliver en blød screening, der skal synliggøre summen af elevernes standpunkt. Det betyder i realiteten, at der uddeles 4 klasses
Læs mereSelam Friskole Fagplan for Matematik
Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt
Læs mereKONFIRMATIONSPRÆDIKEN SØNDAG DEN 7.APRIL AASTRUP KIRKE KL SEP. Tekster: Sl. 8, Joh. 20,19-31 Salmer: 749,331,Sin pagt i dag,441,2
KONFIRMATIONSPRÆDIKEN SØNDAG DEN 7.APRIL AASTRUP KIRKE KL. 10.00 1.SEP. Tekster: Sl. 8, Joh. 20,19-31 Salmer: 749,331,Sin pagt i dag,441,2 Thomas er væk! Peter var kommet styrtende ind i klassen og havde
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereInfokløft. Beskrivelse. Faglige mål (i dette eksempel) Sproglige mål(i dette eksempel)
Infokløft Beskrivelse Eleverne sidder 2 og 2 med skærm imellem sig De får forskellig information som de skiftes til at diktere til hinanden. Fx en tegning eller ord /begreber. Der er fokus på præcis formulering
Læs mereGrundlæggende matematik
Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste
Læs mereGør jeg det godt nok?
Gør jeg det godt nok? Mette, som er butiksassistent, bliver tit overset eller forstyrret af sin kollega, som overtager hendes kunder eller irettesætter hende, mens der er kunder i butikken. Det får Mette
Læs mere3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder
3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive
Læs mereEr det virkelig så vigtigt? spurgte han lidt efter. Hvis ikke Paven får lov at bo hos os, flytter jeg ikke med, sagde hun. Der var en tør, men
Kapitel 1 Min mor bor ikke hos min far. Julie tænkte det, allerede før hun slog øjnene op. Det var det første, hun huskede, det første hun kom i tanker om. Alt andet hang sammen med dette ene hendes mor
Læs mereProjekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse
ISBN 978-87-7066-498- Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse
Læs merePeter får hjælp til at styre sin ADHD
Peter får hjælp til at styre sin ADHD Skrevet og tegnet af: Jan og Rikke Have Odgaard Rikke og Jan Have Odgaard, har konsulentfirmaet JHO Consult De arbejder som konsulenter på hele det specalpædagogiske
Læs mere19. s.e. trinitatis Joh. 1,35-51; 1. Mos. 28,10-18; 1. Kor. 12,12-20 Salmer: 754; 356; ; 67 (alterg.); 375
19. s.e. trinitatis Joh. 1,35-51; 1. Mos. 28,10-18; 1. Kor. 12,12-20 Salmer: 754; 356; 318-164; 67 (alterg.); 375 Lad os alle bede! Kære Herre Jesus, vi beder dig: Giv du os øjne, der kan se Din herlighed,
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P
Fortløbende summer NMCC 2018 Danmark Muldbjergskolen 8.P 1 Indholdsfortegnelse: S. 3 Vores første observationer S. 4 Ulige antal af fortløbende tal S. 6 Lige antal af fortløbende tal S. 8 Udvikling af
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereBørnerapport 3 Juni 2007. Opdragelse 2007. En undersøgelse i Børnerådets Børne- og Ungepanel
Børnerapport 3 Juni 2007 Opdragelse 2007 En undersøgelse i Børnerådets Børne- og Ungepanel Kære medlem af Børne- og Ungepanelet Her er den tredje børnerapport fra Børnerådet til dig. Rapporten handler
Læs mereLæs selv om LOGIK. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre
Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre 2 Logik Sandt eller falsk? Lyver han? Taler hun sandt? Det ville
Læs mereElementær Matematik. Tal og Algebra
Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereProjekt 10.11. Det udelukkede tredjes princip
Projekt 10.11. Det udelukkede tredjes prinip Indhold Indirekte beviser... Eksempel 1. Bevis for, at ikke kan skrives som en brøk, dvs. er inkommensurabel med tallet 1... Eksempel. Påstand: I en retvinklet
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereappendix Hvad er der i kassen?
appendix a Hvad er der i kassen? 121 Jeg går meget op i, hvad der er godt, og hvad der ikke er. Jeg er den første til at træde til og hjælpe andre. Jeg kan godt lide at stå i spidsen for andre. Jeg kan
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereUENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK
UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED... 4 4.
Læs mereUENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK
UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED... 14
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs mereOM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER LÆS OG SKRIV MATEMATIK. 6. Det vil derfor være relativt nyt for de fleste elever, at
OM KAPITLET I dette kapitel om tal i mængder skal eleverne arbejde med de naturlige tal N, de hele tal Z og de rationale tal Q. Eleverne skal ligeledes erfare, at der er brug for endnu flere tal end de
Læs mere