Semesterprojekt Svingningssystemer mekanisk/elektrisk analogi

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Semesterprojekt 2007 - Svingningssystemer mekanisk/elektrisk analogi"

Transkript

1 Semeterprojekt SDU - Det Teknik Fakultet Gruppe 6 DDF1 Vejleder: Henning Bremøe Hanen Projektperiode: 10. eptember december 007 Semeterprojekt Svingningytemer mekanik/elektrik analogi Udarbejdet af: Agge Skov Laren Alexey Beonov Arun Pararajaingam Frantz Furrer Jakob Witte Laren Sebatian Brian Therkilden Synopi: I denne rapport vil det blive eftervit teoretik og praktik, at der er en ammenhæng mellem et mekanik og et elektrik vingningytem. Rapporten er et reultat af et projektarbejde, hvor analogien er blevet underøgt. Derefter er der blevet opbygget et mekanik og et elektrik vingningytem og efterfølgende foretaget målinger på de to ytemer, amt foretaget imuleringer af det elektrike vingningytem. På baggrund af denne metode er analogien mellem de to ytemer blevet eftervit.

2 Indholdfortegnele 1 Indledning... Projektbekrivele Problemanalye...3. Problemformulering Projektafgrænning Kravpecifikation Teorien for det mekanike vingningytem Analye af det mekanike vingningytem Løning af differentialligning for det mekanike vingningytem Teorien for det elektrike vingningytem Analye af det elektrike vingningytem Løning af differentialligningen for det elektrike vingningytem Teoretik analogi mellem mekanike og elektrike vingninger Den enkelte parameter indflydele på vingningen Forøg med det mekanike vingningytem Valg af materialer Dikuion af målemetode Betemmele af de fyike tørreler for det mekanike vingningytem Fremgangmåde for forøg med det mekanike vingningytem Betemmele af de fyike tørreler i det mekanike vingningytem Reultater fra det mekanike forøg Dikuion af fejlkilder for det mekanike vingningytem Simulering af det elektrike ytem Valg af imuleringværktøjer Betemmele af komponenttørreler til imulering af det elektrike ytem Simuleringen med Multiim og PSpice af det elektrike vingningytem Forøg med det elektrike vingningytem Valg af komponenter Dikuion af målemetode Betemmele af komponenttørreler til det elektrike forøg Fremgangmåde for forøg med det elektrike vingningytem Reultater fra det elektrike forøg Dikuion af fejlkilder for det elektrike vingningytem Sammenligning af reultater fra mekanike forøg og imulering Konkluion Perpektivering...6 Litteraturlite Anvendte kilder Anvendte internetider Anvendte programmer, materialer, komponenter og apparaturer Symbollite...8 Bilag 1 Projektoplæg...9 Bilag Tidplan...30 Læevejledning - Rapporten er inddelt i kapitler, afnit og underafnit, ned til tre niveauer. Til hvert kapitel vil der være en indledning og en delkonkluion. - Symbolerne er forklaret førte gang de optræder. Der er vedlagt en ymbollite bagert i rapporten. - Fodnotehenvininger er et tal med hævet krift, ekempelvi 1, og bliver brugt om kildehenvining eller en uddybende kommentar. - Kildehenviningen krive om Kilde #1 - Side #, hvor #1 er nummeret på kilden i litteraturliten og # er iden i kilden. Ekempelvi: Kilde - Side 400 betyder Fundamental of Phyic 8. Edition ide Figurer, tabeller og diagrammer er nummereret efter kapitler, ekempelvi Figur 1.1. Dette er den førte figur i førte kapitel. - Formler er nummereret om (k.f ), hvor k er kapitlet og f er den formelnummer i kapitlet. Formelnummereringen krive til højre for formlen på amme linje. - Diagrammerne er lavet i Mathematica 1 og Graph. 1 Wolfram Mathematica v. 6.0 Graph, verion 4.3 (Underverion 384) by Ivan Johanen Side 1/30

3 1 Indledning I rapporten vil analogien mellem mekanike og elektrike vingningytemer blive underøgt. Baggrunden for rapporten er, at en virkomhed ønker en underøgele af denne analogi. Virkomheden ønker at få analogien bekræftet for at pare penge. Dermed vil virkomheden kunne imulere det mekanike vingningytem, om virkomheden producerer, ved hjælp af et ækvivalent elektrik vingningytem. Den mekanike vingning, der bliver underøgt i rapporten, er underdæmpet. Det er ikke å relevant for tøddæmpervirkomheden at få underøgt underdæmpede vingninger, da tøddæmpere oftet er kritik dæmpede. Underøgelen af den underdæmpede vingning udføre, fordi det må antage, at amme analogi er gældende, hvi en kritik dæmpet vingning betragte. Rapporten er udarbejdet af ek tuderende på SDU Det Teknike Fakultet på førte emeter. Rapporten er udarbejdet ud fra gruppen kompetencer på førte emeter, derfor vil målgruppen for rapporten være teknike tuderende og ingeniører. Under projektet har gruppen valgt at dele ig i to undergrupper, die to grupper har henholdvi bekæftiget ig med det mekanike og elektrike vingningytem. Denne opdeling er foretaget, for at det har været muligt at kunne fordybe ig mere i projektet. Projektet indeholder fagligheder fra de fag der er undervit i på førte emeter: matematik, fyik, elektronik og computermatematik. Der er blevet lagt meget vægt på elve projektarbejdet, og hvordan et projektforløb kulle trukturere. Gruppen har fra tarten valgt at lægge meget vægt på truktureringen og grundrammerne for projektet, fordi dette vil gøre det nemmere enere i projektet. Dokumentation for gruppen arbejdproce kan e i tidplanen 3. Den medfølgende CD indeholder deuden mødeindkaldeler, referater fra vejledermøder, arbejdpapirer og anvendte programmer. I rapporten vil den teoretike baggrund for henholdvi det mekanike og elektrike vingningytem blive gennemgået. Derefter vil der blive udført praktike målinger på det mekanike og elektrike ytem og det elektrike vil ogå blive imuleret. Data fra henholdvi målinger og teori vil blive ammenlignet for at eftervie analogien. God fornøjele! Agge Skov Laren Alexey Beonov Arun Pararajaingam Frantz Furrer Jakob Witte Laren Sebatian Brian Therkilden 3 Tidplan - Bilag Side /30

4 Projektbekrivele I det efterfølgende kapitel vil projektoplægget blive bearbejdet. Der vil blive udarbejdet en problemanalye, problemformulering, projektafgrænning, amt en kravpecifikation, om vil være grundlaget for det videre projektforløb..1 Problemanalye Det til gruppen udleverede projektoplæg har på forhånd fatlagt nogle rammer for projektet, hvilket har indflydele på de elementer, der kal analyere. Nedentående indrammede er et uddrag fra projektoplægget: Rapporten kal minimum indeholde: Dybdegående bekrivele af analogien mellem det mekanike og elektrike vingningytem amt en grundig teoretik gennemgang af de to ytemer dynamik. Etablering af måleoptilling for det mekanike og evt. det elektrike ytem. Sammenligning af ekperimentelle data og teoretike reultater Bekrivele af hvilken indflydele de enkelte komponenter parametre har på det mekanike henh. det elektrike ytem dynamik. Dokumentation for at imuleringværktøj til elektrike kredløb (f. ek. PSpice) kan benytte til imulering af mekanike vingningytemer. 4 Ved at analyere analogien mellem det elektrike og det mekanike vingningytem, både teoretik og praktik, er det muligt at fatlægge ækvivalenforholdet mellem de to ytemer. Derfor vil det være nødvendigt at lave en dybdegående teoretik analye for at kunne belye den forventede ammenhæng. For at virkomheden kal kunne anvende teorierne på dere fyike produkter, er det ogå nødvendigt at analyere de to ytemer ud fra en praktik ynvinkel. De praktike forøg udføre henholdvi på et mekanik ytem betående af en fjeder, mae og dæmpemekanime, amt et elektrik ytem opbygget af en kondenator, pole og modtand: Figur.1: Det mekanike og det elektrike vingningytem. Det vil være gavnligt for virkomheden at kunne imulere et mekanik vingningytem ud fra et ækvivalent elektrik vingningytem, da dette vil reducere udgifterne til opbygning af mekanike forøgoptillinger. Problemtillingen vil derfor blive bearbejdet med imuleringværtkøjer for at vie det elektrike ytem virtuelt. Den virtuelle del er baeret på den teoretike viden. Problemtillingen vil blive analyeret ud fra et teoretik og teknik ynpunkt. Derfor vil der ikke være lagt vægt på økonomike, miljømæige og deignmæige apekter. De forkellige områder vil blive bearbejdet ud fra gruppen kompetencer på 1.emeter, og ud fra de teknike faciliteter, der er til rådighed på Det Teknike Fakultet. Måleudtyret, om kal anvende til målinger, kal være troværdigt. Derfor anvende der kun tandartmåleudtyr om Det Teknike Fakultet er i beiddele af. 4 Fra Projektoplæg Bilag 1 Side 3/30

5 . Problemformulering I forbindele med den teoretike analye og de praktike målinger, er det naturligt at adkille det mekanike fra det elektrike. De ekperimentelle reultater for hvert af ytemerne kan herefter ammenligne med de teoretike reultater, og analogien mellem de to ytemer kan efterfølgende analyere. I forbindele med den teoretike og praktike arbejdmetode vil der på baggrund af oventående blive belyt følgende pørgmål:..1 Analye af det mekanike ytem: Hvilke teorier kal der anvende for at kunne analyere det mekanike ytem? Hvordan kan ytemet bekrive fyik ved hjælp af en matematik model? Hvilken indvirkning har de forkellige elementer i det mekanike ytem? Fjeder Mae Dæmpemekanime.. Analye af det elektrike ytem: Hvilke teorier kal der anvende for at kunne analyere det elektrike ytem? Hvordan kan ytemet bekrive fyik ved hjælp af en matematik model? Hvilken indvirkning har de forkellige komponenter i det elektrike ytem? Kondenator Spole Modtand Hvilken betydning har de ikke ideelle komponenter og måleudtyr på den praktike måling?..3 Simulering af det elektrike ytem: Hvilke imuleringværktøjer kan benytte? Hvordan ikre en præci imulering?..4 Forøgoptillinger til eftervining af analogien: Hvordan kan forøgoptillingerne opbygge, å de temmer overen med den matematike model? Hvilke måleintrumenter kal benytte for at kunne bearbejde målereultater nemmet og for at opnå de met præcie målinger? Hvordan kan den matematike model bedt muligt ammenligne med de praktike målinger? Det mekanike ytem: Hvordan opbygge det mekanike ytem, ålede at det er muligt at måle på? Hvordan dæmpe det mekanike ytem met optimalt? Det elektrike ytem: Hvordan opbygge det elektrike ytem, ålede at det er muligt at måle på? Hvordan optille det elektrike ytem, å der opnå mindt mulig afvigele i forhold til den matematike model? De forkellige områder vil ikke blive bearbejdet mere komplekt end det er nødvendigt for at vie analogien mellem vingningytemerne. Side 4/30

6 .3 Projektafgrænning Fra projektoplægget er projektet i forvejen afgrænet ret kraftigt, men der kan dog ud over die lave enkelte yderligere upplerende afgrænninger. Det elektrike ytem imulere i to forkellige programmer for at kunne verificere om die imuleringer giver amme reultat. Angående de praktike forøg undertrege det, at der kun arbejde med en model af en tøddæmper, og der udføre ikke forøg på en virkelig tøddæmper. Derudover vælge det, at der kun lave én enkelt forøgoptilling for det mekanike ytem og det elektrike ytem. Dette kylde, at idet den praktike ammenhæng kan bevie for ét ytem, må det formode, at det gælder generelt, og det vil derfor være unødvendigt at kontruere flere forkellige optillinger. Det kal ligelede nævne, at det fra projektoplægget ide er fatlagt, at projektet udelukkende omhandler underdæmpede vingninger, og projektet vil derfor ikke omhandle kritik- og overdæmpede vingninger..4 Kravpecifikation Målet med projektet er at eftervie analogien mellem mekanike og elektrike vingninger, og ikke at dimenionere die vingningytemer. Derfor vælger gruppen at opbygge det mekanike ytem, og derefter bekrive det matematik. Det elektrike ytem kan herefter dimenionere ålede, at det varer til det mekanike ytem. Grunden til dette valg er, at hvi alle ytemet parametre fatlægge i en matematik model inden det mekanike ytemet kontruere, vil der andynligvi være en del afvigeler mellem teori og praki, og det vil i dette tilfælde å alligevel være nødvendigt at jutere den matematike model efterfølgende. Inden det mekanike ytem opbygge, vælge ønkede værdier for de enkelte elementer ålede, at det bliver muligt at måle på ytemet. Hvi frekvenen er alt for høj, vil det være umuligt at opamle præcie målinger af vingningen, og det vil derfor være met optimalt, hvi frekvenen ligger på omkring 1 Hz, altå 1 vingning pr. ekund. På amme måde vil det være upraktik, hvi dæmpningen af ytemet er å vag, at det vil tage flere minutter, før en dæmpning kan obervere. Derfor vil det her være met praktik, hvi vingningen er næten helt bremet efter ca. 30 ekunder. Det vil give omkring 30 vingninger at måle på, hvilket bør være tiltrækkeligt. Det antage deuden, at denne dæmpning er lineær og udelukkende tammer fra dæmpningmekanimen. Der e derfor bort fra både luftmodtand, opdrift og friktion mellem ytemet elementer i analyen af det mekanike ytem. Side 5/30

7 3 Teorien for det mekanike vingningytem Det mekanike vingningytem betår af en fjeder, en mae og en dæmpningmekanime. I dette kapitel vil ytemet bevægele blive analyeret i dybden, og der vil blive optillet en matematik model for ytemet placering om en funktion af tiden. 3.1 Analye af det mekanike vingningytem I dette afnit vil det mekanike ytem blive analyeret ud fra de kræfter, der påvirker ytemet under vingningen. Der vil ålede blive optillet en ligning, om kan bekrive vingningen. På billedet til højre er de kræfter der påvirker ytemet henholdvi i hvile og under vingningen illutreret. Alle de illutrerede kræfter virker i ytemet maemidtpunkt, og dermed kan knudepunktreglen benytte. Da alle de kræfter, om virker i et punkt, ifølge Newton. lov 5 er lig med den reulterende kraft, må det derfor gælde under vingningen: F = 0 F + F + F + F = (3.1) t Fjeder1 Dæmp re 0 Tyngdekraften, F t, kan bekrive ved: F = m g (3.) t Og betragte ytemet i hvile, e det, at der ud fra Hooke lov 6 må gælde, at: F = F = k y (3.3) t Fjeder 0 0 hvor k er fjederkontanten. Den fjederkraft, om virker på ytemet, men det er i bevægele, kan bekrive ved: F = k y (3.4) Fjeder1 1 Det antage, at dæmpningkraften er proportionel med men modatrettet, den hatighed, om ytemet bevæger ig med. Hvilket betyder, at den kan bekrive om: dy1 FDæmp = D v = D (3.5) dt hvor D er en dæmpningkoefficient med enheden kg, der bekriver forholdet mellem dæmpningen og hatigheden. Denne antagele vil muligvi give en lille afvigele i forhold til de praktike målinger, da dæmpningen nødvendigvi ikke altid vil være lineær. Grunden til, at det alligevel antage, er, at denne afvigele i de flete tilfælde vil være minimal. Det vil deuden ikke være muligt for gruppen med de nuværende kompetencer at regne på vingningen, hvi det ikke antage, at dæmpningen er lineær. Den reulterende kraft kan, ud fra Newton. lov, krive om: d y1 Fre = m a = m (3.6) dt Dermed få, ud fra (3.1) hvi (3.3), (3.4), (3.5) og (3.6) indætte: F + F + F + F = t Fjeder1 Dæmp re 0 Figur 3.1: De kræfter om virker på det mekanike vingningytem maemidtpunkt i hvile og under vingningen. dy1 d y1 k y 0 k y 1 D m 0 dt dt = 5 Kilde Side 91 6 Kilde Side 150 Side 6/30

8 d y1 dy1 ( 1 0 ) 0 m D k y y dt + dt + = (3.7) Idet y 0 vil være kontant, må følgende gælde: ( ) d y ( ) dy d y 1 1 y0 d y 1 1 y0 = = dt dt dt dt (3.8) hvilket indat i (3.7) giver: d ( y1 y0 ) d ( y1 y0 ) m + D + k ( y1 y0 ) = 0 dt dt (3.9) Og da y1 y0 bekriver aftanden mellem y 1 og y 0, vil det for en vingning omkring punktet y0 gælde, at: y = y1 y0 (3.10) om indat i (3.9) dermed giver: d y dy m D k y 0 dt + dt + = (3.11) Det e altå, at vingningen omkring punktet y 0 kan bekrive med en lineær homogen. orden differentialligning, åfremt det antage, at dæmpningen er proportionel med hatigheden. 3. Løning af differentialligning for det mekanike vingningytem I dette afnit vil den differentialligning, der blev optillet i forrige afnit, blive løt, og der vil blive fundet et udtryk for ytemet poition om en funktion af tiden. Gruppen har valgt at medtage hele løningen af differentialligningen, da projektoplægget lægger op til en dybdegående analye af det mekanike ytem. En alternativ løning til differentialligningen kan finde i kilde 3. 7 For at betemme den generelle løning til den homogene lineære. orden differentialligning, (3.11), y t og kal der finde to uafhængige partikulære løninger, om opfylder differentialligningen ( 1 ( ) y ( t ) ), hvorved den generelle løning 8 kan krive om: y ( t) = A y ( t) + B y ( t) (3.1) 1 hvor A og B er arbitrære kontanter. Det antage derfor, at følgende er en løning til differentialligningen: y t = e (3.13) ( ) C t ålede at: C t y '( t) = C e (3.14) C t y ''( t) = C e (3.15) Hermed få: d y dy m D k y 0 dt dt C t C t C t m C e + D C e + k e = 0 m C + D C + k C t e = 0 (3.16) ( ) Og da C t e, ikke kan blive nul, vil det derfor gælde, at: 7 Kilde 3 - Side Kilde 3 - Side 547 Side 7/30

9 m C + D C + k = 0 (3.17) Løningen til denne. gradligning afhænger af tørrelen af dikriminanten, D 4 m k. Alt afhængig af om denne er poitiv, negativ eller nul, vil vingningen opføre ig forkelligt. De tre typer vingninger og værdier for dikriminanten er illutreret i tabellen herunder: Underdæmpet: Kritik dæmpet: Overdæmpet: y t y t y t D 4 m k < 0 D 4 m k = 0 D 4 m k > 0 Tabel 3.1: De tre typer vingninger, der opnå ved en variation af dikriminanten. For en underdæmpet vingning gælder det altå, at dikriminanten kal være negativ i. gradligningen (3.17), altå D 4 m k < 0. Løningen bliver derfor imaginær, idet: D 4 m k = 4 m k D 1 = 4 m k D j og C kan derfor iolere til: D ± 4 m k D j D 4 m k D D k D C = = ± j = ± j m m 4 m m m 4 m For overkueligheden kyld ætte nu: α = D β = k D (3.18) m m 4 m og C kan derfor krive om: C = α ± β j (3.19) y ( t ) kan derfor i henhold til (3.13) krive om: ( j) t t t j y ( t ) e α ± β e α ± e β = = Herefter benytte nu Euler formel 9 : x j e = co x + j in x (3.0) ( ) ( ) hvilket giver: α t ya ( t) = e co ( β t) + j in ( β t) (3.1) α t ( ) = co ( β ) in ( β ) yb t e t j t (3.) Da det er en homogen lineær differentialligning, om kal løe, gælder det at ummen af lineært uafhængige løninger ogå er løning til differentialligningen. Derfor må følgende, ud fra de to løninger (3.1) og (3.), ligelede være løninger til differentialligningen: ya ( t) + yb ( t) α t 1 ( ) co( β ) y t = = e t (3.3) ya ( t) yb ( t) α t y ( t) = = e in ( β t) (3.4) j Hermed kan (3.3) og (3.4) benytte i (3.1), hvilket giver: y t = A y t + B y t ( ) 1 ( ) ( ) α t α t ( ) co ( β ) in ( β ) y t = A e t + B e t 9 Kilde 3 Side 317 Side 8/30

10 α t B y ( t) = A e co ( β t) + in ( β t) A (3.5) For at reducere dette udtryk benytte en hjælpevinkel, ϕ, om illutreret på figur 3., ålede at: tan ( ϕ ) ( ϕ ) ( ϕ ) in B = = (3.6) co A Denne indætte nu i (3.5): α t in ( ϕ ) y ( t) = A e co ( β t) + in ( β t) co ( ϕ ) A α t y ( t) = e co ( ϕ ) co( β t) + in ( ϕ ) in ( β t) co ϕ (3.7) ( ) Det e nu ud fra hjælpetrekanten, at: A C co( ϕ ) = (3.8) Og benytte deuden ammenhængen 10 : co x co y + in x in y = co x y (3.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) få dermed ud fra (3.7), (3.8) og (3.9): α t y t = C e co β t ϕ (3.30) ( ) ( ) Det e altå, at løningen til differentialligningen er en dæmpet harmonik vingning om forventet med den ekponentielt aftagende amplitude C e α t og faeforkydningen ϕ. Idet de praktike forøg på vingningytemet udføre ved, at ytemet trække ud til en fatlagt tartamplitude, y, og tiden derefter tarte, vil denne tartamplitude derfor være lig C, men faeforkydningen vil være 0, altå: α t y t = y e co β t (3.31) ( ) ( ) Indætte (3.18), i (3.31), kan den underdæmpede harmonike vingning for der mekanike ytem derfor bekrive ved: D t k D m y ( t) = y e co t (3.3) m 4 m Hvor y, om nævnt, er den tartamplitude, ytemet påtrykke. Som det e, er vingningen dæmpning betemt af α, og begrebet dæmpningfaktor, δ, indføre derfor for denne tørrele: D 1 δ = m (3.33) Samtidig er vingningen vinkelfrekven, ω, betemt ved β : k D k rad ω = m = 4 m m δ (3.34) Og frekvenen for vingningen kan derfor betemme ved: ω 1 f = π (3.35) Figur 3.: Hjælpetrekant Det vier ig altå, at det mekanike ytem poition om en funktion af tiden kan bekrive med en harmonik vingning, om aftager ekponentielt. Denne vingning er afhængig af tre tørreler, henholdvi tartamplituden ( y ), dæmpningfaktoren (δ ) og vinkelfrekvenen (ω ). 10 Kilde 3 - Side 104 Side 9/30

11 4 Teorien for det elektrike vingningytem Det mekanike vingningytem kan bekrive med et elektrik vingningytem, om er et RLCkredløb 11. Navnet bekriver, at kredløbet betår af en modtand R, en pole L og en kondenator C, men der er ikke at begrænninger for, hvordan kredløbkomponenterne er forbundet ammen. Efterom det mekanike vingningytem betår af kredløbelementer forbundet erielt, lave der på baggrund af dette en analye af et erielt RLC-kredløb. Hvi analyen bekræfter ækvivalenen, vil gruppen ikke lave en analye af et parallelt RLC-kredløb, efterom analogien allerede er eftervit. 4.1 Analye af det elektrike vingningytem I dette afnit vil det elektrike ytem blive analyeret ved at betragte pændingen over de elektrike komponenter under vingningen. Der vil ålede blive optillet en ligning, om kan bekrive pændingen om en funktion af tiden. For at påtrykke det elektrike ytem i en harmonik vingningbevægele, kræve en ændring af ladningen i kondenatoren. Dette opnå ved at oplade kondenatoren med en DC-kilde. Dernæt forbinde de tre komponenter erielt, om vit på figur 4.1. Strømmen fra kondenatoren poitive pol vil begynde at løbe mod den negative pol. Det medfører, at kondenatoren aflade, og trømmen i polen voker. 1 På et tidpunkt er kondenatoren afladet, og dermed kan trømmen i polen ikke blive tørre. Strømmen fortætter med at løbe mod kondenatoren negative pol, og kort tid efter er kondenatoren opladet igen. Ladningflytningen har medført, at polerne i kondenatoren har vendt ig, og derfor er pændingen over den negativ. Kondenatoren begynder at aflade igen, men denne gang løber trømmen den anden vej, fordi den negative pol befinder ig på den anden ide af kondenatoren. Denne proce danner harmonike vingninger. Undervej løber trømmen gennem modtanden, hvilket medfører en energiafætning. Denne energiafætning medfører en reducering af ladningen i kredløbet, dette gør den harmonike vingning dæmpet. For at optille en matematik model for det erielle RLC-kredløb benytte Kirchhoff pændinglov 13, makereglen. Ifølge Kirchhoff pændinglov er ummen af alle pændinger i et lukket kredløb lig med 0. Loven anvende til at bekrive RLC-kredløbet: V RLC = 0 VR + VL + VC = 0 (4.1) De tre pændinger omkrive ålede, at der danne en differentialligning med ladningen om den uafhængige variabel. Spændingen over modtanden er udtrykt med Ohm lov: VR = i R (4.) Der gælder følgende ammenhæng mellem trømmen og ladningen: dq i = (4.3) dt Indætte (4.3) i (4.), få pændingen over modtanden, udtrykt med ladningen q : dq VR = R (4.4) dt Figur 4.1: De tre pændinger for RLCkredløbet 11 Kilde 5 - Side 10 1 Kilde - Side Kilde 1 - Side 31 Side 10/30

12 Spændingen over polen 14 kan bekrive ved: di VL = L (4.5) dt (4.3) indætte i (4.5), og dermed få pændingen over polen, udtrykt med ladningen q : d q VL = L dt (4.6) Strømmen gennem kondenatoren 15 er: dv Ic = C dt (4.7) (4.7) omkrive ålede, at det er pændingen der er udtrykt med q : dq dv = C dt dt q = C V C 1 VC = q C (4.8) Formlerne (4.4), (4.6) og (4.8) indætte i (4.1), og dermed få differentielligningen for det erielle RLC-kredløb: d q dq 1 L + R + q = 0 dt dt C (4.9) Hvi differentialligningen for det elektrike ytem (4.9) ammenligne med differentialligningen for det mekanike ytem (3.11), e følgende ammenhæng i tabel 4.1: Symbol i den mekanike model: y Symbol i den elektrike model: q m L D R k 1 C Tabel 4.1: Symbolanalogien mellem differentialligningen for det mekanike ytem og differentialligningen for det elektrike ytem. Dermed er det vit, at det mekanike ytem kan bekrive med et erielt RLC-kredløb, og derfor vælger gruppen at undlade udledningen for et parallelt RLC-kredløb. 4. Løning af differentialligningen for det elektrike vingningytem Ved at betragte tabel 4.1 kan løningen for det elektrike ytem opkrive. Ved at ertatte de mekanike ymboler med de elektrike ymboler i (3.3) få: R t 1 R L q ( t) = q e co t (4.10) L C 4 L Efterom det er pændingen, der måle i det elektrike ytem, omkrive q til V. Spændingen og ladningen er ligefrem proportionelle, om det ekempelvi e for kondenatoren i formel (4.8): q = C V C (4.11) Hvi ladningen udkifte med pændingen i formel (4.10), få dermed: 14 Kilde 1 - Side Kilde 1 - Side 185 Side 11/30

13 R t 1 R L V ( t) = V e co t L C 4 L (4.1) hvor V er den tartamplitude, det elektrike ytem påtrykke. Ligeom for det mekanike ytem, indføre dæmpningfaktoren χ, om varer til: R L Ω [ ] χ = (4.13) H Vinkelfrekvenen definere om: ν = = χ (4.14) 1 R 1 rad L C 4 L L C Spændingen over de enkelte kredløbkomponenter bekrive om en harmonik vingning, der aftager ekponentielt, og afhænger af tart-amplituden ( V ), dæmpningfaktoren ( χ ) og vinkelfrekvenen (ν ). 5 Teoretik analogi mellem mekanike og elektrike vingninger I dette kapitel vil der blive dannet et overblik over den teoretike analogi mellem mekanike og elektrike vingningytemer. Der vil amtidig blive bekrevet, hvilke parametre der kal være opfyldt for de to vingninger, for at die er ammenfaldende. For både det mekanike og det elektrike ytem gælder make- og knudepunktregler, om illutreret i tabellen herunder: Fyik ytem: Makeregel: Knudepunktregel: Mekanik v = 0 F = 0 Elektrik V = 0 I = 0 Tabel 5.1: Make- og knudepunktregler for det mekanike og elektrike ytem. 16 Ved det mekanike ytem benytte knudepunktreglen (afnit 3.1), men makereglen benytte for det elektrike ytem (afnit 4.1) til at bekrive vingningen, idet der i begge tilfælde betragte et erielt kredløb. Derfor vil pændingen V vare til kraften F. De øvrige ammenhænge mellem parametrene i det mekanike og elektrike ytem er amlet i tabellen herunder, hvor tilvarende parametre for de to ytemer er litet op over for hinanden: Det mekanike ytem Det elektrike ytem Navn: Symbol: Enhed: Navn: Symbol: Enhed: Kraft F [ N ] Spændingfald V [ V ] Udving y [ m ] Ladning q [ C ] m Hatighed v [ ] Strøm I [ A ] Start-amplitude y [ m ] Start-amplitude V [ V ] Mae m [ kg ] Induktan L [ H ] kg Dæmpningkoefficient D [ ] Reitan R [ Ω ] C [ F ] N 1 Fjederkontant k [ ] Reciprok kapacitan m Dæmpningfaktor δ 1 rad Vinkelfrekven ω [ ] Tabel 5.: Tilvarende parametre for det mekanike og elektrike vingningytem. 16 Kilde 4 - Side 6 Dæmpningfaktor Ω χ [ ] H rad Vinkelfrekven ν [ ] Side 1/30

14 Som bekrevet i gennemgangen af teorien bag henholdvi de mekanike og de elektrike vingninger, er vingningen forløb kun afhængig af de tre tørreler: tartamplitude, dæmpningfaktor og vinkelfrekven. For at de to vingninger er ammenfaldende kal det derfor gælde at: y = V δ = χ ω = ν Dette kan opnå ved at lade: m = L D = R 1 k = C Men det er ikke nødvendigvi et krav for at vingningerne er ammenfaldende, de kal blot indbyrde have det amme proportionalitetforhold. 6 Den enkelte parameter indflydele på vingningen I nedentående tabel er parametrene indflydele på vingningen bekrevet og illutreret. I den grafike afbildning er parameteren værdi fordoblet i den gule graf i forhold til den blå graf: Parameter der ændre Mekanik Elektrik y m D V L R 1 k C Bekrivele af ændring Hvi tartamplituden ændre, vil grafen værdi til tiden t = 0 ændre i forhold til denne værdi. Frekvenen for de to grafer vil være den amme, da denne er uafhængig af tartamplituden. Dæmpningen for de to grafer er ligelede den amme, ålede at amplituden vil være halveret til amme tid, t, for begge grafer. Gøre maen eller polen tørre, vil det have en indflydele på både frekven og dæmpningen. Som det e på figuren, vil både frekvenen og dæmpningen blive mindre, da der i både dæmpningfaktoren og vinkelfrekvenen dividere med tørrelen af henholdvi maen og polen. Hvi dæmpningfaktoren eller modtanden gøre tørre, vil dæmpningen naturligt nok ogå blive tørre. Frekvenen vil deuden blive en anele mindre. Dette er dog meget minimalt, da det for en underdæmpet vingning oftet vil gælde at D 4m <<. Frekvenændringen kan derfor k m heller ikke e på billedet til højre. Gøre fjederkontanten eller den reciprokke værdi af kondenatoren tørre, vil frekvenen ligelede blive tørre. Dæmpningen vil dog tadig forblive den amme, da denne er uafhængig af henholdvi fjederkontanten og kondenatoren. Grafik afbildning af ændring yêv yêv yêv yêv t t t t Tabel 6.1: I tabellen er bekrevet og illutreret, hvilken indflydele de enkelte parametre har på vingningen forløb. -10 Side 13/30

15 7 Forøg med det mekanike vingningytem I dette kapitel vil forøget med det mekanike vingningytem blive gennemgået. Ført vil der være en grundig redegørele for valg af materialer og målemetode i forbindele med elve forøgoptillingen. På baggrund af forøgreultaterne vil dæmpningkoefficienten, D, blive betemt og en matematik model for vingningen blive optillet. Denne matematike model vil derefter blive ammenlignet med det praktike forøg, og eventuelle fejlkilder vil blive bekrevet. 7.1 Valg af materialer Gruppen har valgt at opbygge det mekanike ytem, om illutreret på figur 7.1. De enkelte dele bliver gennemgået herunder: 1. Til ophæng af ytemet benytte der et tandardtativ fra fyiklaboratoriet.. Til projektet blev der udleveret to forkellige fjedre med fjederkontanter på henholdvi 40 N og 50 N m m. Gruppen valgte derfor at benytte en af die to fjedre i tedet for at ankaffe en elv. Fjederen med fjederkontant på 40 N m blev valgt, da det kræver den mindte mae for at opnå den ønkede vingningfrekven. 3. Maen i ytemet betår af to kobbertænger og et lod. Denne mae bliver teoretik udregnet i afnit 7.3. De to kobbertænger har gevind i begge ender og en diameter på henholdvi 4 og 3mm. Der er lavet et monteringhul til fjederen i den øverte ende af tangen. Loddet er formet om en cylinder med gevindhuller i midten i begge ender. Det antage deuden, at fjederen er maelø, da den vejer meget lidt i forhold til reten af maen. 4. Golfkuglen er valgt frem for et cylindertempel eller et cirkelkivetempel. Cylindertemplet vil veje for meget og give for tor opdrift. Cirkelkivetemplet vil vinge for meget fra ide til ide og vil have en tørre tenden til turbulente trømninger i dæmpningvæken. Golfkuglen har den rette tørrele til forøget og deuden gør bolden huller, dimple, at bolden bryder det legeme, den befinder ig i, langommere, og dermed mindke turbulenen I forbindele med dæmpningmekanimen dikuterede gruppen flere ideer. Blandt andet ville det være muligt at dæmpe vingningen ved hjælp af elektromagneter, men da oliebeholderen var den mulighed om krævede mindt forarbejde, valgte gruppen denne for at fokuere på målet med rapporten. Figur 7.1: Rapolien befinder ig i en plexiglabeholder fra kemilaboratoriet. Begrundelen Den mekanike for valget af rapolie er, at olie har højere vikoitet og dermed mindre tenden til forøgoptilling at opføre ig turbulent i modætning til ekempelvi vand Dikuion af målemetode De tre målemetoder, der har været dikuteret i gruppen, er henholdvi at benytte et videokamera, en aftandenor eller en optik mu. Fordele og ulemper ved de enkelte målemetoder vil blive gennemgået herunder, og den bedt egnede vil blive udvalgt Videokamera: Loddet bliver filmet, og filen ekportere til en computer. Med et program kan loddet placering afmærke og placeringen overføre til et (x,y)-koordinatytem. Fordelen ved videokameraet er, at det kan benytte uden videre forarbejde og beregninger, det kal ikke kalibrere. Ulempen er, at det tager en del tid at afmærke tiltrækkeligt mange punkter af loddet placering i programmet, amt at det kan være lidt beværligt at fatætte et nulpunkt for vingningerne. 17 (6/11 007) 18 En yderligere begrundele for valget af golfkuglen og rapolien forefinde i afnit 7.3. Side 14/30

16 7.. Aftandenor: Aftandenoren kan måle aftanden til et givet punkt. Det er dermed muligt at måle ændringen i aftanden til f.ek. loddet under vingningen. Senoren ætte til en computer, hvor et program giver placeringen i et (x,y)-koordinatytem. Der finde mange forkellige aftandenorer, ekempelvi er der ultralyd- og infrarødenorer. De mange muligheder gør det nemt at finde en aftandenor, om kan tilpae til ytemet. En ulempe er dog, at aftandbedømmelen kal kontrollere Optik mu: Den optike mu fatætte på et tativ meget tæt på ytemet, hvor den optike enor regitrer bevægelen af ytemet. Det er ålede muligt med en del forarbejde at konvertere denne bevægele til en punkterie, om kan indætte i et (x,y)-koordinatytem. Når dette forarbejde er udført, er det dermed muligt meget hurtigt og nemt at optage mange forøgrækker. Det kal dog nævne, at denne metode kal eftervie, for at de målte reultater med ikkerhed er korrekte Valg af målemetode: På baggrund af oventående dikuion, valgte gruppen at benytte videokameraet til at optage målingerne med, da denne metode kræver mindt forarbejde. Da der kun kal foretage målinger på ét vingningytem, betyder det ikke å meget, at det tager tid at afætte punkterne på den optagede video. Til forøget benytte et Sony videokamera 19, om optager med 4,96fp 0. Dette runde op til 5fp, da det ikke vil give en ynderlig afvigele, idet vingningen kun varer 30 ekunder. 7.3 Betemmele af de fyike tørreler for det mekanike vingningytem Da udeendet på forøgoptillingen nu er fatlagt, er det nødvendigt at betemme de fyike tørreler, inden forøget kan foretage. I det efterfølgende afnit vil tørrelen på maen og dæmpningkoefficienten derfor blive betemt, ålede at kravene fra kravpecifikationen er opfyldt. Det kal nævne, at gruppen, om nævnt i kravpecifikationen, ikke ønker at dimenionere dæmpningmekanimen ud fra dæmpningkoefficienten, da denne beregning ikke kan udføre med de kompetencer gruppen beidder på 1. emeter. Derimod benytte dæmpningkoefficienten blot til at kunne give et kvalificeret bud på udeendet af dæmpningmekanimen, og den egentlig dæmpningkoefficient vil blive betemt ud fra det praktike forøg i afnit 7.5. I kravpecifikationen blev det fatlagt, at vingningen kal have en frekven på omkring 1Hz, og at den kal være næten helt dæmpet efter ca. 30 ekunder. Fjederkontanten 1 er fatlagt til 40 N m. For at betemme tørrelen af maen benytte udtrykket for vingningen frekven, om blev udledt i afnit 3.: k D ω m 4 m f = = π π Fordi det er en underdæmpet vingning vil D tilnærmele kan frekvenen krive om: k (7.1) < 4 m k, og det antage derfor at m f (7.) π D 4 m <<. Med denne k m 19 Sony DCR-SR3 0 fp: Frame per econd (Antal billeder pr. ekund) 1 Fjedrene er fra producenten ide angivet til at følge DIN 095 Gütegrad tandarden (e kilde 6), hvilket betyder at fjederkontanten kan variere med 1 %. Derfor vælger gruppen ikke at måle den fjederkontant efter, da dette eller vil være rimeligt omfattende og optage plad i rapporten. Side 15/30

17 og maen kan hermed betemme ved indættele af fjederkontanten og frekvenen: N k 40 m m = = 1, 013kg π f 1Hz π ( ) ( ) For herefter at betemme tørrelen af dæmpningkoefficienten betragte tørrelen af amplituden på vingningen, om ud fra (3.3) kan bekrive ved: D ( ) m A t = y e t (7.3) Denne funktion kan aldrig blive nul, og derfor vedtage det, at vingningen kal være dæmpet til 1 af 0 tartamplituden efter 30 ekunder, ålede at: 1 A( 30) = 0 y (7.4) Indætte (7.4) og tørrelen af maen, i (7.3), kan dæmpningkoefficienten dermed betemme: D 1,013 ( ) ln ( ) A = y e = y 0 D = = 30 1,013 0, 04 kg Ud fra de oventående beregninger blev det altå betemt, at maen i vingningytemet kal være omkring 1kg, for at opnå den ønkede frekven. Dæmpningkoefficienten kal ligge omkring 0, kg for at vingningen er næten helt dæmpet efter ca. 30 ekunder. Denne dæmpning vurdere til at kunne opnå ved at benytte en golfkugle i en beholder med rapolie om dæmpningmekanime. Hvi dette vier ig at være en dårlig vurdering, kan maen gøre tørre eller mindre, hvormed dæmpningen bliver henholdvi vagere og kraftigere. Hvi dette gøre, bliver frekvenen ligelede mindre. 7.4 Fremgangmåde for forøg med det mekanike vingningytem Fremgangmåden for udførelen af forøget er gennemgået herunder. Til højre e forøgoptillingen amt et billede fra programmet Videopoint. 1. Optillingen opætte, og kameraet ætte til at optage.. Derefter føre loddet ned, og når golfkuglen er tæt på bunden, lippe loddet. Der filme i omkring 30 ekunder. Det optage i alt fem film, hvorefter den bedte udvælge ud fra kvaliteten af filmen. 3. Den optagede film ekportere til en computer. 4. Filmen åbne i VirtualDub 3, hvor videoen klippe til og hver femte frame bibeholde, dette gøre for at reducere antallet af målepunkter. Videoen klippe ålede, at en frame med ligevægtpunktet er beholdt, for at have et referencepunkt. t = 0 ætte til førte gang loddet når it førte toppunkt, dette gøre for at få en poitiv tartamplitude. 5. Videoen konvertere nu til filformatet *.mov ved hjælp af YaaVideoConverter Den redigerede film åbne i Videopoint 5 og måletokforholdet kalere efter højden på loddet. Derefter plotte placeringen af loddet og die data kan nu ekportere til en Excel-fil. 7. Data fra Excel-filen ekportere til Graph 6 for at plotte punkterne. Filmen kan finde på den vedlagte CD. 3 VirtualDubMod, verion (Baed on VirtualDub by Avery Lee) 4 YaaVideoConverter, verion 3.4 (Build 065) (Unregitered Verion), Yaaoft Inc. 5 Videopoint Phyic Fundamental, verion (Demo), Lenox Softwork Inc. 6 Graph, verion 4.3 (Underverion 384) by Ivan Johanen Figur 7.: Forøgoptillingen Figur 7.3: Programmet Videopoint Side 16/30

18 7.5 Betemmele af de fyike tørreler i det mekanike vingningytem I det efterfølgende afnit vil dæmpningkoefficienten for dæmpningmekanimen blive betemt ud fra de praktike målinger, og alle de fyike tørreler for den endelige mekanike forøgoptilling vil blive amlet i en tabel idt i afnittet. For at betemme dæmpningkoefficienten for dæmpningmekanimen blev alle toppunkter for vingningen inden for de 30 ekunder ført aflæt, igen ved brug af programmet Videopoint. Die punkter er indat på diagram 7.1, ammen med de reterende målepunkter fra det mekanike forøg. Ud fra y -værdien til t = 0, kunne tartamplituden nu aflæe til y = 0,058m, og da den amlede mae for meingtænger, metalcylinder og golfbold blev vejet til m = 1,1303kg, kan dæmpningkoefficienten for hver af de reterende punkter nu betemme ud fra formlen for amplituden af vingningen, (7.3), hvor D kan iolere: A( t) ( y ) D = ln m (7.5) Herefter blev gennemnittet af alle die værdier fundet, og dæmpningkoefficienten blev dermed betemt til D = 0,83 kg, ved brug af Mathematica. De fyike tørreler for det mekanike forøg er dermed ålede ud: Startamplitude, y : 0, 058m Dæmpningkoefficient, D : 0, 83 kg 1 Mae, m : 1,1303kg Dæmpningfaktor, δ : 0,15 Fjederkontant, k : 40 N Frekven, f : 0, 945Hz m Tabel 7.1: De fyike tørreler i det mekanike forøg. Dæmpningfaktoren og frekvenen er beregnet med henholdvi formel (3.33) og (3.35). 7.6 Reultater fra det mekanike forøg På diagrammet herunder e reultaterne fra det mekanike forøg, amt den matematike model med værdierne fra tabel 7.1: Diagram 7.1: Reultater fra det mekanike forøg ammen med den matematike model. Toppunkter for vingningen er indat om kryder. De målte reultater temmer meget godt overen med den matematike model, dog e enkelte afvigeler i takt med at vingningen ebber ud. Side 17/30

19 7.7 Dikuion af fejlkilder for det mekanike vingningytem De fejlkilder og måleuikkerheder, om optræder under forøget, vil blive bekrevet i dette afnit. De afvigeler, der er mellem de målte data og den matematike model, vil derefter blive forklaret. De fejlkilder og måleuikkerheder, om optræder under forøget e i tabellen herunder: Måleuikkerheder: Fejlkilder: - Præciion i afætning af punkter i VideoPoint - Ulinearitet i dæmpningmekanimen - Kameraet framerate på 4,96fp foråraget af blandt andet turbulen - Påvirkninger fra anden friktion og luftmodtand - Ulinearitet i fjederkontanten - Eventuelle kævheder i kontruktionen Tabel 7.: Overigt over måleuikkerheder og fejlkilder ved det mekanike forøg. Det e på diagram 7.1, at dæmpningen ikke er helt lineær om antaget i teorien, da toppunkterne ikke ligger på indhylningkurven. Afvigelen er å minimal, at dæmpningen tilnærmelevi, om antaget, kan betragte om lineær. At dæmpningen ikke er helt lineær, vil medføre en tørre afvigele, jo længere tid der går, og en tørre afvigele kan obervere, i takt med at vingningen ebber ud. Der kan da ligelede ogå ane en lille afvigele i frekvenen med tiden, hvilket ogå kan tilkrive dæmpningen ulinearitet. Det e deuden, at der er nogle få punkter, om falder uden for den matematike model. Denne afvigele kan dog lige å godt tilkrive måleuikkerheder i forbindele med afætningen af punkterne, om kan være foråraget af egentlige fejlkilder. 8 Simulering af det elektrike ytem I dette kapitel vil blive redegjort for, hvordan de elektrike imuleringværktøjer kan bruge til at imulere det elektrike ytem. Komponenttørreler til imuleringen vil deuden blive betemt. Data fra imuleringværktøjerne vil til idt i kapitlet blive ammenlignet med den matematike model. 8.1 Valg af imuleringværktøjer For at imulere det elektrike ytem benytte to programmer, Multiim og PSpice. Efterom flere af gruppen medlemmer tidligere har arbejdet med programmet Multiim (eller den tidligere verion, Electronic Workbench), faldt valget på dette imuleringværktøj. I amråd med vejlederen, beluttede gruppen ogå at anvende PSpice, for at e om der er forkel på de to imuleringer. 8. Betemmele af komponenttørreler til imulering af det elektrike ytem Fra det mekanike ytem kan værdierne for maen og dæmpningen overføre direkte til henholdvi polen og modtanden. Fjederkontanten k varer til 1 C, om bekrevet i afnit 4.1: Det mekanike forøg Den elektrike imulering Mae m 1,1303kg Spole L 1,1303H Dæmpning D 0, 83 kg Modtand R 0, 83Ω Fjederkontant k 40 N m Kondenator C 1 F 40 = 5 Tabel 8.: Fyike tørreler for elementerne i det mekanike ytem og for komponenter i den elektrike imulering. mf Side 18/30

20 8.3 Simuleringen med Multiim og PSpice af det elektrike vingningytem I tedet for at have en DC-kilde, der oplader kondenatoren, amt en witch, der tarter afladningen, valgte gruppen at benytte en funktiongenerator til imuleringdelen og det elektrike forøg. Funktiongeneratoren er indtillet til at ende firkantede impuler, ålede at den kifter mellem 0V og 0,058V, for at imulere amme tartamplitude om det mekanike forøg. Fordelen ved at bruge en funktiongenerator i tedet for en witch er, at gruppen lipper for at oplade kondenatoren manuelt. De to optillinger minder meget om hinanden, men der er en vigtig forkel, om bør nævne. Når imuleringen begynder, t = 0, giver funktiongeneratoren 0,058V. Efterom kondenatoren er afladet, ligger hele pændingen over polen, og ikke over kondenatoren. Efter t = 0, vil kondenatoren begynde at oplade, og dermed falder pændingen over polen. Sytemet følger derefter harmonike vingninger, om bekrevet i afnit 4.1. Multiim og PSpice er indtillet til at foretage 1000 beregninger pr. ekund. Spændingen måle over polen, efterom den har amme amplitude om det mekanike ytem ved t = 0. Spændingkurverne fra imuleringværktøjer kan e på figur 8.1 og figur 8.: Figur 8.1 Optillingen i Multiim, amt grafen fra ocillokopet. Figur 8. Optillingen i PSpice, amt grafen for pændingen over polen. Data ekportere til programmet Graph. Der ekportere kun 5 målinger pr. ekund, da for mange målepunkter ville gøre diagrammet uoverkuelig. Efterom Multiim- og PSpicereultaterne er ammenfaldende, har gruppen valgt at udvælge punkterne ålede at de ligger forkudt på diagrammet. Den matematike model er ligelede indtegnet i diagrammet på næte ide: Side 19/30

21 Diagram 8.1: De røde punkter er data fra Multiim, de blå punkter er data fra PSpice. Derudover e den matematike model. De to punkterier i diagram 8.1 vier ig at være nærmet identike med den matematike model. Nøjagtigheden af imuleringen afhænger af, hvor mange beregninger der foretage pr. ekund. Foretage der for få beregninger, har gruppen erfaret, at der e en afvigele fra den matematike model. Færre beregninger medfører en tørre afvigele. Data fra de to imuleringværktøjer er i overentemmele med den matematike model, om det e på diagram 8.1. Da imulering i både Multiim og PSpice temmer overen med teorien, kan det derfor konkludere at de to imuleringværktøjer kan benytte til at imulere vingningen. 9 Forøg med det elektrike vingningytem I dette kapitel vil forøget med det elektrike vingningytem blive gennemgået. I tarten af kapitlet vil der være en redegørele for valg af komponenter, målemetode, amt betemmele af komponenterne tørrele i det elektrike forøg. Senere i dette kapitel vil de praktike reultater blive ammenlignet med den matematike model, og eventuelle fejlkilder vil blive bekrevet. 9.1 Valg af komponenter Gruppen har valgt at opbygge det elektrike ytem på en printplade (figur 9.1) for at gøre optillingen mere overkuelig. Som det e på figur 9.1 er det let at tilkoble en pændingkilde og måleudtyr på printpladen terminaler; komponenter kan ligelede nemt udkifte, fordi de er monteret i tulipanben. Der er valgt følgende komponenter til at opbygge RLC-kredløbet, en kondenator C, en pole L og en modtand R. Komponentværdierne vil blive betemt enere i dette afnit. Figur 9.1: Print med komponenter og terminaler Valg af pændingforyning: Der bliver brugt en funktiongenerator, fordi den i princippet tænder og lukker for pændingtilførlen til printpladen, derved er det muligt at få et enartet billede til at fremkomme på ocillokopet. Nærmere uddybning af funktiongeneratoren virkemåde på kredløbet finde i afnit 8.3. Side 0/30

22 9. Dikuion af målemetode Ved at måle pændingen i forhold til tiden, kan den dæmpede vingning illutrere. Der er umiddelbart kun et elektrik intrument, der kan bruge til at måle dette, nemlig et ocillokop. Gruppen valgt at e på to ocillokoper, et analogt ocillokop og et digitalt ocillokop. I de efterfølgende afnit følger en bekrivele af de to ocillokoper, og det met fordelagtige ocillokop vil blive valgt Analogocillokop: Fordelen ved det analoge ocillokop er, at det er nemt og hurtigt at ætte til og anvende. Ulemper ved det analoge ocillokop er, at det har en lille kærm, hvor outputtet vie på. Deuden er det meget vært at opamle måledata præcit, da die kal aflæe manuelt. Dette er en betydningfuld ulempe, da gruppen gerne vil have mange måledata fra det elektrike forøg og ammenligne die måledata med en matematik model. 9.. Digitalocillokop: Fordelen ved det digitale ocillokop er, at der kan opamle mange måledata hurtigt og nemt. En ulempe ved det digitale ocillokop er, at der kal bruge noget tid på at intallere oftware på den computer, hvor ocillokopet kal tillutte. Konverteringmæigt optår der nogle afvigeler på målereultatet, fordi det analoge ignal kal konvertere til digital. Under denne konvertering ker der en kvantiering til 8 bit, dog har denne kvantiering en minimal betydning for måledata Valg af målemetode: På baggrund af overtående dikuion, har gruppen valgt at bruge det digitale ocillokop. Selvom der ker en kvantiering af måledata, vil denne metode alligevel være langt mere præci end manuel aflæning, da gruppen lægger meget vægt på, at måledata let kan plotte i en graf med ekempelvi den matematike model. Når der måle med et ocillokop, kal det have fælle tel med funktiongeneratoren. Derfor kal der i kredløbet måle over modtanden, da det er den idte komponent i kredløbet. Skulle der måle over ekempelvi polen, kulle denne have været placeret idt i kredløbet, men dette ville give problemer med frekvenen, efterom ocillokopet har en indre modtand og kondenator, dermed ville man få to vingningytemer. 9.3 Betemmele af komponenttørreler til det elektrike forøg De komponenttørreler, der er til rådighed i komponentrummet, afgør komponenttørrelerne til det elektrike forøg. Den tørte pole, der er til rådighed er på,7mh. Funktiongeneratoren indgangimpedan er angivet til 50Ω, derfor ønke en værdi for R, der er tørre end denne. Efterom pændingkurver i imuleringdelen og det elektrike forøg kal være identike, kal forholdet mellem de tre impedaner i RLC-kredløbet, Z R, Z L og Z C, være uforandret. Impedanen for polen 7 bekrive om: ZL = j ω L (9.1) Impedanen for kondenatoren 8 er: 1 Z = C j ω C (9.) Impedanen for modtanden 9 er: Z = R (9.3) R 7 Kilde 1 - Side 41 8 Kilde 1 - Side 41 9 Kilde 1 - Side 41 Side 1/30

23 Når polen tørrele reducere fra 1,1303H til,7mh, reducere polen Z. For at beholde amme proportionalitetfaktor mellem Z L og Z C, kal C forøge, efterom Z C er en reciprok. Kondenatoren tørrele kan dermed betemme om: 1,1303H 5mF = 10, 45F,7mH Betragte (9.1) og (9.3) e det, at modtanden kal reducere med amme proportionalitetfaktor om polen:,7mh 0, 83Ω = 0,676mΩ 1,1303H Hermed er det førte ønke opfyldt. Spolen tørrele er,7mh, og pændingkurven er uforandret. 6 Modtandværdien forøge 10 gange, ålede at den kommer op på en fornuftig værdi, 676Ω. Ud fra formlen (4.1) indføre dæmpninghatigheden: R t L ϑ = e (9.4) 6 6 Når modtandværdien forøge 10 gange i (9.4), må t formindke 10 gange, for at ϑ forbliver 6 uforandret. Det medfører, at pændingkurven i det elektrike forøg kal måle i 10, altå i mikroekunder. 6 Vinkelhatigheden ν i (4.14), kal formindke 10 gange, når tidkalaen er ændret. For at opnå dette, 1 kal kondenatoren tørrele formindke 10 gange, da det gælder, at 6 ν = 10 ν R 6 1 (10 R) = 10 (9.5) 1 L C 4L L 10 C 4L Ved det elektrike forøg, trække 50Ω fra den beregnede R, da det er funktiongeneratoren oplyte indgangimpedan. Der afrunde til de nærmete E-række værdier, efterom de elektrike komponenter ikke kan finde i de ønkede tørreler. Derfor er følgende elektrike komponenter benyttet til det elektrike forøg: R = 60Ω ± 1%, L =,7mH ± 5% og C = 10 pf ± 1%. 9.4 Fremgangmåde for forøg med det elektrike vingningytem 1. Optillingen opbygge på en printplade, optillingen e på figur 9. og 9.3 på næte ide, og printpladen e på figur 9.1 med monterede terminaler til tilkobling af funktiongenerator 30 og digitalocillokop 31.. Digitalocillokopet ætte til computeren parallelport. 3. Funktiongeneratoren tilkoble til printpladen terminaler. 4. Funktiongeneratoren indtille til ca. 1 khz. 5. Digitalocillokopet indtille, å der fremkommer et klart billede på computerkærmen. 6. Data fra programmet Picocope 3 ekportere til Excel 33, og derfra ekportere die til Graph 34, der plotter målepunkterne. L 30 Funktiongenerator (TTi TG30) 31 Pico Technolgy Limited ADE-00 3 Picocope Releae bit 33 Microoft Excel Graph Verion 4.3 Side /30

Faldmaskine. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 23. november 2008

Faldmaskine. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 23. november 2008 Faldmakine Eben Bork Hanen Amanda Laren Martin Sven Qvitgaard Chritenen 23. november 2008 Indhold Formål 3 2 Optilling 3 2. Materialer............................... 3 2.2 Optilling...............................

Læs mere

Fag: Fysik - Matematik - IT Elever: Andreas Bergström, Mads Paludan, Jakob Poulsgærd & Mathias Elmhauge Petersen. Det skrå kast

Fag: Fysik - Matematik - IT Elever: Andreas Bergström, Mads Paludan, Jakob Poulsgærd & Mathias Elmhauge Petersen. Det skrå kast Det krå kat Data Forøg 1: = 38 V 0 = 4, 94 K vidde = 2, 058 H = 0, 406 t = 0, 53 Forøg 2 (60 ): = 60 V 0 = 4, 48 K vidde = 1, 724 H = 0, 788 t = 0, 77 Fyik del Udførel af forøg Kat på 38 : Forøgoptilling:

Læs mere

Tennis eksempel på opgaveløsning i MatematiKan.nb

Tennis eksempel på opgaveløsning i MatematiKan.nb Opgave 1 1.1 Caroline alder, da hun blev profeionel: 2005-1990 15 18-11 7 Caroline var 15 år og 7 dage gammel. 1.2-1.6 1.5 Det er ud til, at den ekponentielle tendenlinje følger punkterne bedt. 1.6 R-kvadreret

Læs mere

Brugerundersøgelse 2013 Plejebolig

Brugerundersøgelse 2013 Plejebolig Brugerunderøgele 2013 Plejebolig Brugerunderøgelen er udarbejdet af Epinion AS og Afdeling for Data og Analye, Sundhed- og Omorgforvaltningen, København Kommune. Layout: KK deign Foridefoto: Henrik Friberg

Læs mere

Hjemmeopgave 1 Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2005 Vejledende besvarelse

Hjemmeopgave 1 Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2005 Vejledende besvarelse Hjemmeopgave Makroøkonomi,. årprøve, foråret 2005 Vejledende bevarele Opgave. Korrekt. Arbejdtyrken er en beholdning- (tock) variabel, idet man på et givet tidpunkt (fx. jan) kan tælle, hvor mange der

Læs mere

En varmluftsballon. s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P. til symmetriaksen.

En varmluftsballon. s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P. til symmetriaksen. P og En varmluftballon Denne artikel er en lettere revideret udgave af en artikel, om Dan Frederiken og Erik Vetergaard fra Haderlev Katedralkole havde i LMFK-bladet nr. 2, februar 1997. Enhver, om er

Læs mere

Sammenhængen mellem strækning og tid Farten angiver den tilbagelagte strækning i et tidsrum. Farten kan bestemmes ved brug af formlen:

Sammenhængen mellem strækning og tid Farten angiver den tilbagelagte strækning i et tidsrum. Farten kan bestemmes ved brug af formlen: Oplag 8: FORMLHÅNDTRING Sammenhængen mellem trækning og tid Farten angiver den tilbagelagte trækning i et tidrum. Farten kan betemme ved brug af formlen: fart = trækning tid Anvender vi i tedet ymboler,

Læs mere

Termodynamik - Statistisk fysik - Termodynamiske relationer - Fri energi - Entropi

Termodynamik - Statistisk fysik - Termodynamiske relationer - Fri energi - Entropi Fag: Termodynamik - Statitik fyik - Termodynamike relationer - Fri energi - Entropi 1 Indholdfortegnele... 2 Forord... 3 Formelle definitioner... 3 Et ytem... 3 Et lukket ytem... 3 Et ioleret ytem... 3

Læs mere

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG LANGGADEHUS

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG LANGGADEHUS BRUGERUNDERSØGELSE PLEJEBOLIG LANGGADEHUS Sundhed- og Omorgforvaltningen Brugerunderøgele : Plejebolig 1 Brugerunderøgele Plejebolig Brugerunderøgelen er udarbejdet af Epinion P/S og Afdeling for Data

Læs mere

Vanskelige vilkår for generationsskifte med nye regler - Afskaffelse af formueskattekursen samt svækkelse af sikkerheden trods bindende svar

Vanskelige vilkår for generationsskifte med nye regler - Afskaffelse af formueskattekursen samt svækkelse af sikkerheden trods bindende svar - 1 Vankelige vilkår for generationkifte med nye regler - Afkaffele af formuekattekuren amt vækkele af ikkerheden trod bindende var Af advokat (L) Bodil Chritianen og advokat (H), cand. merc. (R) Tommy

Læs mere

Regulering af dynamiske systemer

Regulering af dynamiske systemer Regulering af dynamike ytemer p. / Regulering af dynamike ytemer Seminar 2 Tom Pederen, Jan Dimon Bendten Aalborg Univeritet Regulering af dynamike ytemer p. 2/ deign Sytem V For () R() E() D() U() 0 5

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematik modellering og numerike metoder Morten Grud Ramuen 4. oktober 26 Laplace-tranformationer. Definitionen af Laplace-tranformationen Definition. (Laplace-tranformation). Lad f være en funktion defineret

Læs mere

Praktikperiode på andet intensivafsnit

Praktikperiode på andet intensivafsnit Studieplan for Kuriter på ITA 0531/0633 Praktikophold på 6-12 uger Godkendt November 2003 Uddannele- & udviklinganvarlig ygeplejerke Dori Chritenen Revideret 2014 Inteniv 0531/0633 Praktikperiode på andet

Læs mere

SHARKY varmeenergimålere

SHARKY varmeenergimålere SHARKY varmeenergimålere SHARKY 773 er kabt til måling af varmeenergi i tørre og mindre varmeanlæg. Den er let at intallere og er meget betjeningvenlig. Med it patenterede måleytem og indat ikre tor måletabilitet,

Læs mere

Øvelse i Ziegler-Nichols metode med PLC

Øvelse i Ziegler-Nichols metode med PLC Øvele i Ziegler-Nichol metode med PLC Formål Formålet med øvelen er at ætte et 1. orden ytem op i FLXlab med en hjemmelavet PIDregulator i et PLC-program. Der ud over kal der efterprøve hvilken forkel

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmark Teknike Univeritet Side 1 af 7 Skriftlig prøve, tordag den 6 maj, 1, kl 9:-1: Kuru navn: Fyik 1 Kuru nr 1 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Bevarelen bedømme om en

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.

Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive

Læs mere

BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG. Dr. Ingrids Hjem. Sundheds- og Omsorgsforvaltningen - Brugerundersøgelse 2014: Plejebolig 1

BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG. Dr. Ingrids Hjem. Sundheds- og Omsorgsforvaltningen - Brugerundersøgelse 2014: Plejebolig 1 BRUGERUNDERSØGELSE 2014 PLEJEBOLIG Sundhed- og Omorgforvaltningen - Brugerunderøgele 2014: Plejebolig 1 Brugerunderøgele 2014 Plejebolig Brugerunderøgelen er udarbejdet af Epinion P/S og Afdeling for Data

Læs mere

BÆKKENLØFT. Tina Alstrup Larsen Inger Brorson Mønsted Lasse Lindgren Nielsen Bjarne Vad Nilsen

BÆKKENLØFT. Tina Alstrup Larsen Inger Brorson Mønsted Lasse Lindgren Nielsen Bjarne Vad Nilsen BÆKKENLØFT Tina Altrup Laren Inger Broron Mønted Lae Lindgren Nielen Bjarne Vad Nilen Hovedopgave F98 Ergo- og fyioterapeutkolen Aalborg, Juni. Denne rapport er udarbejdet af tuderende på fyioterapeutkolen

Læs mere

Den Teknisk-Naturvidenskabelige Basisuddannelse Storgruppe 9736

Den Teknisk-Naturvidenskabelige Basisuddannelse Storgruppe 9736 Den Teknik-Naturvidenkabelige aiuddannele Storgruppe 9736 Titel: Digital ignalbehandling Synopi: Projektperiode: P //98-9/5/98 Projektgruppe: 347 Deltagere: Clau Albøge Mad Chritenen Tonny Gregeren Karten

Læs mere

Transienter og RC-kredsløb

Transienter og RC-kredsløb Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske

Læs mere

Svingninger & analogier

Svingninger & analogier Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er

Læs mere

Søgning i decentrale og ustrukturerede P2P netværk

Søgning i decentrale og ustrukturerede P2P netværk Speciale Mart 2003 Internetteknologilinjen IT-højkolen i København Glentevej 67 2400 København NV Søgning i decentrale og utrukturerede P2P netværk Sune Kloppenborg Jeppeen Vejleder: Kåre Jelling Kritofferen

Læs mere

Lyskryds. Thomas Olsson Søren Guldbrand Pedersen. Og der blev lys!

Lyskryds. Thomas Olsson Søren Guldbrand Pedersen. Og der blev lys! Og der blev lys! OPGAVEFORMULERING:... 2 DESIGN AF SEKVENS:... 3 PROGRAMMERING AF PEEL KREDS... 6 UDREGNING AF RC-LED CLOCK-GENERAOR:... 9 LYSDIODER:... 12 KOMPONENLISE:... 13 DIAGRAM:... 14 KONKLUSION:...

Læs mere

guide skift elselskab og spar en formue billigere Januar 2015 Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus

guide skift elselskab og spar en formue billigere Januar 2015 Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus guide Januar 2015 få billigere el kift elelkab og par en formue Se flere guider på bt.dk/plu og b.dk/plu 2 SKIFT ELSELSKAB SPAR EN FORMUE INDHOLD SIDE 4 Mange kan core hurtige og nemme penge ved at kifte

Læs mere

Den ideelle operationsforstærker.

Den ideelle operationsforstærker. ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau 2014. 23. maj 2014

Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau 2014. 23. maj 2014 Løningerne er hentet på www.zyankipil.dk Løninger til ekaenopgaver på fyik A-niveau 014. aj 014 Opgave 1: Poelukker a) Den oatte effekt i en leder er givet ved P U I, og Oh 1. lov giver aenhængen elle

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Kuglers bevægelse i væske

Kuglers bevægelse i væske Kuglers bevægelse i væske Øvelsens formål er - at eftervise v 2 -loven for bevægelse i væsker: For et legeme der bevæger sig i vand. - at se at legemet i vores forsøg er så stort, at vi ikke har laminar

Læs mere

SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER NORDREGÅRDSSKOLEN TEJN ALLÉ 3 2770 KASTRUP. Udarbejdet for:

SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER NORDREGÅRDSSKOLEN TEJN ALLÉ 3 2770 KASTRUP. Udarbejdet for: Golder Aociate Maglebjergvej 6, 1. 2800 Kg. Lyngby Tel: [45] 7027 4757 Fax: [45] 7027 4457 http://www.golder.com SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER NORDREGÅRDSSKOLEN TEJN ALLÉ 3 2770 KASTRUP Udarbejdet

Læs mere

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment

Rygtespredning: Et logistisk eksperiment Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

"GRØNTTORVS-OMRÅDET" Bilag 1. Startredegørelse Indstilling om redegørelse for igangsætning af forslag til lokalplan

GRØNTTORVS-OMRÅDET Bilag 1. Startredegørelse Indstilling om redegørelse for igangsætning af forslag til lokalplan "GRØNTTORVS-OMRÅDET" Bilag 1 Startredegørele Indtilling om redegørele for igangætning af forlag til lokalplan URTEHAVEN KULBANEVEJ SØNDERVANGS ALLÉ URTEHAVEN NØDDEHAVEN ROSENHAVEN ÆBLEHAVEN SØNDERVANGS

Læs mere

Projekt. HF-forstærker.

Projekt. HF-forstærker. Projekt. HF-forstærker. Rapport. Udarbejdet af: Klaus Jørgensen. Gruppe: Brian Schmidt, Klaus Jørgensen Og Morten From Jacobsen. It og Elektronikteknolog. Erhvervsakademiet Fyn. Udarbejdet i perioden:

Læs mere

SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER SKELGÅRDSSKOLEN UGANDAVEJ 124 2770 KASTRUP. Udarbejdet for:

SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER SKELGÅRDSSKOLEN UGANDAVEJ 124 2770 KASTRUP. Udarbejdet for: Golder Aociate Maglebjergvej 6, 1. 2800 Kg. Lyngby Tel: [45] 7027 4757 Fax: [45] 7027 4457 http://www.golder.com SCREENING FOR PCB I MATERIALEPRØVER SKELGÅRDSSKOLEN UGANDAVEJ 124 2770 KASTRUP Udarbejdet

Læs mere

Fasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led.

Fasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Fasedrejning Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Følgende er nogle betragtninger, der gerne skulle føre frem til en forståelse af forholdene omkring kondensatorers og spolers

Læs mere

Undervisningsmiljøvurdering Style og Wellness College

Undervisningsmiljøvurdering Style og Wellness College Underviningmiljøvurdering 2014 Underøgelen er gennemført via pørgekemaunderøgele Wellne Efterår 2014 10 9 8 7 6 79,2 73,4 88,6 Overordnede reultater 73,2 73,8 74,1 67,7 64,4 57,7 85,5 80,4 96,8 5 4 3 2

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

6 ARMEREDE BJÆLKER 1

6 ARMEREDE BJÆLKER 1 BETONELEMENTER, SEP. 009 6 ARMEREDE BJÆLKER 6 ARMEREDE BJÆLKER 1 6.1 Brudgrænetiltande 3 6.1.1 Bøjning 3 6.1.1.1 Tværnitanalye generel metode 3 6.1.1. Kanttøjning 5 6.1.1.3 Bøjning uden trykarmering 5

Læs mere

Hjertets elektriske potentialer og målingen af disse

Hjertets elektriske potentialer og målingen af disse Hjertets elektriske potentialer og målingen af disse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 1 Introduktion... 1 Grundlæggende kredsløbteknik... 1 Ohms lov... 2 Strøm- og spændingsdeling... 4 Elektriske

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

Strømforsyning +/- 12V serieregulator og 5V Switch mode

Strømforsyning +/- 12V serieregulator og 5V Switch mode Udarbejdet af: +/- 12V serieregulator og 5V Switch mode Side 1 af 15 Udarbejdet af: Komponentliste. B1: 4 stk. LN4007 1A/1000V diode D1: RGP30D diode Fast Recovery 150nS - 500nS, 3A 200V C1 C3 og C4: 100nF

Læs mere

Når strømstyrken ikke er for stor, kan batteriet holde spændingsforskellen konstant på 12 V.

Når strømstyrken ikke er for stor, kan batteriet holde spændingsforskellen konstant på 12 V. For at svare på nogle af spørgsmålene i dette opgavesæt kan det sagtens være, at du bliver nødt til at hente informationer på internettet. Til den ende kan oplyses, at der er anbragt relevante link på

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 26. juni 2009

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 26. juni 2009 KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fyik 4 (Elektromagnetime) 26. juni 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må bevare med

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006

PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie

Læs mere

Betjeningvejledning Verion 1.0 Oktober 2005 DANSK VIGTIGE SIKKERHEDSANVISNINGER FORSIGTIG: For at mindke riikoen for elektrik tød må toppen ikke tage af (heller ikke bagbeklædningen). Ingen indvendige

Læs mere

Lærervejledning Modellering (3): Funktioner (1):

Lærervejledning Modellering (3): Funktioner (1): Lærervejledning Formål Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker. Hvilke overgangsproblemer

Læs mere

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra

Læs mere

PIA JENSEN, 3.X MANDAG DEN 20. NOVEMBER 2006 ØVELSERNE ER UDFØRT MANDAG DEN 23. OKTOBER 2006 I SAMARBEJDE MED JESPER OG TOVE FYSIKRAPPORT SKRÅT KAST

PIA JENSEN, 3.X MANDAG DEN 20. NOVEMBER 2006 ØVELSERNE ER UDFØRT MANDAG DEN 23. OKTOBER 2006 I SAMARBEJDE MED JESPER OG TOVE FYSIKRAPPORT SKRÅT KAST PIA JENSEN, 3.X MANDAG DEN. NOVEMBER 6 ØVELSERNE ER UDFØRT MANDAG DEN 3. OKTOBER 6 I SAMARBEJDE MED JESPER OG TOVE FYSIKRAPPORT SKRÅT KAST Side 1 af FYSIKRAPPORT SKRÅT KAST FORORD OG INDHOLDSFORTEGNELSE

Læs mere

Newtons afkølingslov

Newtons afkølingslov Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden

Læs mere

Bedre førstehjælpsberedskab gennem mere lovgivning

Bedre førstehjælpsberedskab gennem mere lovgivning N r. 1 0 5 U d g i v e a f D a n k F o l k e h j æ l p en lp g nin ehjæ v i å: t g p v lp lo ør f æ j ik teh k en y n t r e o p fø jobb ituti t en før Tema: om n teh e i ko l jælp n r ø b Bedre førtehjælpberedkab

Læs mere

C Model til konsekvensberegninger

C Model til konsekvensberegninger C Model til konsekvensberegninger C MODEL TIL KONSEKVENSBEREGNINGER FORMÅL C. INPUT C.. Væskeudslip 2 C..2 Gasudslip 3 C..3 Vurdering af omgivelsen 4 C.2 BEREGNINGSMETODEN 6 C.3 VÆSKEUDSLIP 6 C.3. Effektiv

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau 2013. 27. maj 2013

Løsninger til eksamensopgaver på fysik A-niveau 2013. 27. maj 2013 Løninger til ekaenopgaver på fyik A-niveau 01 7. aj 01 Opgave 1: Springvand ed olceller a) Det er elektronerne, der tranporterer energien, og da pændingfaldet er defineret o E pot U, dv. tabet i elektrik

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Forsøgsvejledning - Hoppehøjde

Forsøgsvejledning - Hoppehøjde Forsøgsvejledning - Hoppehøjde Indledning: Indenfor idrættens verden er det ofte af stor vigtighed at man kan hoppe højt. Det være sig selvsagt i højdespring, hvor det er målet i sig selv, men også fx

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant

Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Øvelse i kvantemekanik Måling af Plancks konstant Tim Jensen og Thomas Jensen 2. oktober 2009 Indhold Formål 2 2 Teoriafsnit 2 3 Forsøgsresultater 4 4 Databehandling 4 5 Fejlkilder 7 6 Konklusion 7 Formål

Læs mere

Reduktion af observationer med sort-hvid CCD kamera med påkoblet filterboks

Reduktion af observationer med sort-hvid CCD kamera med påkoblet filterboks Modtaget dato: Godkendt: Dato: Underskrift: (Forbeholdt censor) Reduktion af observationer med sort-hvid CCD kamera med påkoblet filterboks Lasse Overgaard - Studienummer:20053934 Dato: 19. - 30. marts

Læs mere

"GRØNTTORVS- OMRÅDET"

GRØNTTORVS- OMRÅDET "GRØNTTORVS- OMRÅDET" Startredegørele Bilag 1 til indtilling om redegørele for igangætning af forlag til lokalplan Bilag 1 Vigerlev Allé Høffdingvej Retortvej Grønttorvet Luftfoto af lokalplanområdet og

Læs mere

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2.

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2. Opgave 6 Se Bilag 3! Funktionen f er givet ved f (x) = x 2 + k ln (x), x > 0. Det oplyses at funktionen har netop ét ekstremum, når k > 0, så x-værdien til dette ekstremum må kunne findes ved at løse ligningen

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

Preben Holm - Copyright 2002

Preben Holm - Copyright 2002 9 > : > > Preben Holm - Copyright 2002! " $# %& Katode: minuspol Anode: pluspol ')(*+(,.-0/1*32546-728,,/1* Pilen over tegnet for spændingskilden på nedenstående tegning angiver at spændingen kan varieres.

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 %

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % A.1 Afladning af kondensator Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % Når knappen har været aktiveret, ønskes lys i D1 i 30 sekunder. Brug formlen U C U start e t RC Beskriv kredsløbet Find komponenter.

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Antal Antal STU- Erhverv STU Ungdom I alt

Antal Antal STU- Erhverv STU Ungdom I alt Ungdomuddannelerne (STU) årrapport 2013 STU på CSU-Slagele Unge under 25 år, der af fyike eller pykike grunde ikke, elv med pecialpædagogik tøtte, vil kunne gennemføre en ungdomuddannele på normale vilkår,

Læs mere

Bilag 16 Licensbetingelser mv.

Bilag 16 Licensbetingelser mv. Bilag 16 Licenbetingeler mv. Vejledning: Som led i Leverancen kal Leverandøren løbende bitå Kunden med licentyring. I nærværende bilag kal Leverandøren løbende indætte licenerne til det Programmel med

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

LEAKSHOOTER BRUGERVEJLEDNING

LEAKSHOOTER BRUGERVEJLEDNING LEAKSHOOTER BRUGERVEJLEDNING LEAKSHOOTER-LKS1000 ULTRALYDSKAMERA (PATENTERET) LKS1000 VERSION1.5 BRUGERVEJLEDNING LEAKSHOOTER LKS1000 Leakshooter LKS1000 er en bærbar enhed, der giver mulighed for at høre,

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Sønderborg Kommune REGULATIV FOR ERHVERVSAFFALD. Gældende fra d. Endnu ikke gældende

Sønderborg Kommune REGULATIV FOR ERHVERVSAFFALD. Gældende fra d. Endnu ikke gældende Sønderborg Kommune REGULATIV FOR ERHVERVSAFFALD Gældende fra d. Endnu ikke gældende 1 Formål m.v. 1 2 Lovgrundlag 1 3 Definitioner 1 4 Regitrering af udenlandke virkomheder 2 5 Gebyrer 2 6 Klage m.v. 2

Læs mere

HÅNDBOG FOR ENERGI KONSULENTER FLERFAMILIEHUSE. Version 2011. beregnet forbrug. Høring 24. januar 2011.

HÅNDBOG FOR ENERGI KONSULENTER FLERFAMILIEHUSE. Version 2011. beregnet forbrug. Høring 24. januar 2011. HÅNDBOG FOR ENERGI KONSULENTER Verion 2011 FLERFAMILIEHUSE beregnet forbrug Høring 24. januar 2011. Indhold 1 Vægge, gulve og lofter... 1 1.1 Regitrering af vægge, gulve og lofter... 1 1.2 Måltagning arealer,

Læs mere

Varmeligningen og cosinuspolynomier.

Varmeligningen og cosinuspolynomier. Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Drejeskive fra Märklin/Fleischmann

Drejeskive fra Märklin/Fleischmann Drejeskive fra Märklin/Fleischmann Märklin og Fleischman har en fælles drejeskive med op til 48 tilslutningsspor. Drejeskiven har et mekanisk låsesystem der bevirker at broen kan stoppe præcis ud for tilslutningssporet.

Læs mere

Rehabilitering og Palliation ved kræft

Rehabilitering og Palliation ved kræft Rehabilitering og Palliation ved kræft Implementeringplan for forløbprogram for rehabilitering og palliation i forbindele med kræft. For hopitaler, kommuner og almen praki i Region Hovedtaden Godkendt

Læs mere

Dokumentation af programmering i Python 2.75

Dokumentation af programmering i Python 2.75 Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt

Læs mere

El-tilslutning og programmering af aktuator

El-tilslutning og programmering af aktuator INSTALLATIONS- OG DRIFTSVEJLEDNING FlowCon SM 15-40mm, 1/2-1 1/2 Monter FlowCon SM-ventilen i enhedens fremløbs- eller returledning. Det anbefales, at der monteres en sigte foran ventilhuset for at forhindre

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00

Aalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00 Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Mandag d. 11. juni 2012 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

Hold 6 Tirsdag. Kristian Krøier, Jacob Christiansen & Thomas Duerlund Jensen Fag: ELA Lærer: Jan Petersen (JPe) Dato for aflevering: 29.

Hold 6 Tirsdag. Kristian Krøier, Jacob Christiansen & Thomas Duerlund Jensen Fag: ELA Lærer: Jan Petersen (JPe) Dato for aflevering: 29. ELA journal: Øvelse 3 Grundlæggende Op. Amp. Koblinger. Dato for øvelse:. nov. 00 & 9. nov. 00 Hold 6 Tirsdag Kristian Krøier, Jacob Christiansen & Thomas Duerlund Jensen Fag: ELA Lærer: Jan Petersen (JPe)

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10

Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning

Læs mere

Adgangsgivende eksamen (udeladt kategori: Matematisk student med matematik på niveau A)

Adgangsgivende eksamen (udeladt kategori: Matematisk student med matematik på niveau A) Økonometri 1 Forår 2003 Ugeseddel 13 Program for øvelserne: Gruppearbejde Opsamling af gruppearbejdet og introduktion af SAS SAS-øvelser i computerkælderen Øvelsesopgave 6: Hvem består første årsprøve

Læs mere

Hvilke overgangsproblemer løses med aktiviteten?

Hvilke overgangsproblemer løses med aktiviteten? Lærervejledning Formål Formålet med opgaven er, at eleverne gennem forløbet får styrket deres kompetencer inden for matematisk modellering samt lineære sammenhænge og proportionalitet. Hvilke overgangsproblemer

Læs mere

REMKO ETF 360 / ETF 460

REMKO ETF 360 / ETF 460 REMKO ETF 360 / ETF 460 Mobile Funktion Te nolog Udgave GB B01 Indholdfortegnele 4-6 6 7 Intall 8 8-11 11 Tranport 12 12-13 13-14 14 15 15 15 16 17 18 19 Denne bruganvining kal læe omhyggeligt inden ibrugtagning

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Regneark II Calc Open Office

Regneark II Calc Open Office Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage

Læs mere

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle

Læs mere

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi

Læs mere

Jakob Skovborg Sørensen Christian Dohrmann Mette Lunding Nielsen Lucas Paulsen

Jakob Skovborg Sørensen Christian Dohrmann Mette Lunding Nielsen Lucas Paulsen . Side 1 af 11 06/09 2013 Indhold Indledning/formål... 3 Hvordan måler vi?:... 3 Hvordan virker kassen?... 3 Forventninger... 4 Eksempel af måleserie... 4 Forsøget:... 4 Beregning af energiomsætning...

Læs mere

GLOBAL ØKOLOGI. Tema: Grøn økonomi. Tidsskriftet der tager pulsen på dansk og international miljøpolitik

GLOBAL ØKOLOGI. Tema: Grøn økonomi. Tidsskriftet der tager pulsen på dansk og international miljøpolitik Tidkriftet der tager pulen på dank og international miljøpolitik GLOBAL ØKOLOGI NR. 4 10. ÅRGANG OKTOBER 2003 Tema: Grøn økonomi Læ ogå: Vandet i grunden er det rent? Sydamerika miljøbevægele på vej Dalai

Læs mere