PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN
|
|
- Dagmar Lauridsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen af komponenternes volumen. Hvis f.eks. 10ml vand blandes med 10ml ethanol vil blandingens volumen være ca 19ml. Denne rumfangsformindskelse er et udtryk for at ethanolmolekyler og vandmolekyler vekselvirker med hinanden selv om der ikke foregår en kemisk reaktion. Denne vekselvirkning betyder at et ethanolmolekyle som er omgivet af vandmolekyler har andre egenskaber end et ethanolmolekyle omgivet af andre ethanolmolekyler. Denne vekselvirnings indflydelse på rumfangen udtrykkes gennem det partielle molære volumen for ethanol og vand som funktion af blandingens molbrøk. Det partielle molære volumen kan bestemmes ved at måle densiteten af en række flydende blandinger. Ud fra disse målinger beregnes komponenternes molarvolumen og derefter de partielle molare voluminer. Litteratur PWA MMG P.W.Atkins: Physica Chemistry, Eighth Edition, Oxford University Press, 2006, Sec.5.1 M.L.Mc.Glashan: Chemical Thermodynamics, Academic Press pp Teori Til at beskrive egenskaberne af en blanding af M komponenter A,B,C,D,... kan man anvende sættet af uafhængige termodynamiske variable T, P, n A, n B, n C,... Den størrelse, der her skal undersøges, er rumfanget V (T, P, n A, n B, n C,...); men den samme metode ville kunne anvendes på en hvilken som helst ekstensiv funktion, f.eks. S, H eller G. Diskussionen hviler på to fundamentale egenskaber for ovenstående funktion. I: V er en differentiabel funktion: Hvis J betener en vilkårlig komponent i blandingen fås ( ) ( ) V V dv = dt + dp + T P,allen J P... T,allen J... J hvor V J = ( V n J ) T,P,allen I n J... V J dn J (1) Grænseværdien af forholdet mellem blandingens rumfangstilvækst og den tilsatte stofmængde af J for stofmængden gående mod nul kaldes J s partielle mplare volumen V J. Sættets øvrige (2) 1
2 variable holdes konstante ved tilsætningen. Definitionen indeholder som et særtilfælde det molare volumen af rent J. V J = volumen af rent J stofmængde af rent J (3) II) V er en ekstensiv funktion: Dett kan udtrykkes som V = V (T, P, λn A, λn B,...) = λv (T, P, n A, n B,...). Danner vi nemlig en ny blanding med λ gange så store stofmængder, vil også dets rumfang være λ gange det oprindelige ved samme T og P. På sådanne funktioner kan man anvende Eulers trik (differentier på begge sider med λ og sæt derefter λ til 1) med følgende resultat. V = J ( V n J ) T,P,allen I n J... n J = J Ved at opskrive differentialet af denne ligning fås V j n J (4) dv = J V J dn J + J n J dv J (5) som sammenholdt med ligning 1 for konstant T of P giver n J dv J = 0 (6) J Denne ligning er af Gibbs-Duhem typen og sammenknytter N intensive variable V J der altså ikke kan variere uafhængigt af hinanden. Blandingens molar volumen er V m = J V og de M molbrøker er x n J = n J J J. n J Division af Lign.4 med J n j giver V m = J V J x J (7) Differentialet af denne ligning bliver dv m = J V J J + J x J dv J (8) Division af Lign.6 med n J giver J x J dv J = 0 og man får dv m = J V J J (9) Herefter begrænses diskussionen til binære blandinger af to komponenter A og B. Vi bruger x for x B hvorved x A = 1 x samt A = og B =. Vi søger nu at find V A (x) og V B (x) udfra V m (x). Lign.7 og 9 kan omskrives til (1 x)v A + xv B = V m og V A + V B = dv m (10) Ved at løse disse ligninger får man 2
3 V A V B = V m x dv m = V m + (1 x) dv m I mange tilfælde afviger V m (x) ikke meget fra en ret linie gennem (0, VA ) og (0, V B ). Den rette linie er den kurve V m (x) ville have fulgt, hvis der havde været tale om en ideal blanding. Det vil derfor være naturligt at interessere sig for afvigelsen fra den rette linie. Da x A = (1 x) og x B = x kan afvigelsen skrives som mix V m = V m ((1 x)v A + xv B = (1 x)(v A V A) + x(v B V B) (12) Da blandingens molare volumen V m (x) ikke er lineær, må mix V m enten være konveks (opad hul) eller konkav (nedad hul). Hvis vi beskriver den binære blanding ved en model, hvor A og B molekylerne er hårde kugler med forskellig diameter, vil den tætteste pakning af blandingen få et molarvolumen, der er mindre end den vægtede sum af de rene komponenters molarvoluminer. mix V m vil derfor have tendens til at blive konveks. Hvis A og B derimod er terninger med forskellig kantlængde, vil pakningen have et større molarvolumen end den vægtede sum af de rene komponenters molarvoluminer. mix V m vil derfor have tendens til at blive konkav. For blandinger af vand (A) og simple alkoholer (B) vil mix V m være konkav for små x og konveks for store x. mix V m får derfor en vendetangent i et punkt x 0, der typisk er under 0.1. Bestemmelse af binære blandingers molarvolumen udfra densiteten Stofmængderne af A og B bestemmes ved at veje de rene stoffer. Masserne kaldes m A og m B og man definerer massebrøken som m B w = m A + m B Da m J = n J M J, hvor M J betegner den molare masse af stoffet J kan man udlede følgende overgangsformler. w = xm B (1 x)m A + xm B og x = (11) (13) wm A (1 w)m B + wm A (14) Densiteten af blandingen er givet ved ρ = m A+m B V og blandingens molare volumen bliver V m = V = m A + m B n A + n B ρ(n A + n B ) = n AM A + n B M B ρ(n A + n B ) = M A(1 x) + M B x ρ (15) hvoraf V A = M A ρ A og V B = M B ρ B Øvelsens udførelse For at få tilstrækkeligt mange datapunkter udføres øvelsen i tre hold A,B og C som hver måler densiteten for 10 massebrøker. Databehandlingen udføres på egne data og på alle tre datasæt tilsammen. 3
4 Fremstillig af blandinger Hvert hold anbringer anbriger ca. 150ml vand i ultralydsbadet i 5 min for at fjerne luftbobler. Betegnelsen vand betyder her og i det følgende super-ionbyttet vand. Derefter overføres vandet til termostaten hvis temperaturen er indstillet til 28 C. Dette vand bruges kun til bestemmelse af pyknometrenes volumen. Blandingerne fremstilles ved vejning direkte i de små flasker med slib. Flaskens egenmasse elimineres ved tarering. Der fremstilles 80g af hver blanding, så der er nok til to målinger, hvis det bliver nødvendigt. De tre hold kan f.eks. vælge massebrøkerne ved at afveje g vand svarende til nedenstående tabel og derefter tilsætte alkohol op til 80g. Der vejes med en nøjagtighed på g. Efter vejningen sættes proppen i og indholdet blandes omhyggeligt. Hold A: Hold B: Hold C: For hver blanding noteres massen af vand og massen af alkohol+vand. Flaskerne anbringes 5 min i et ultralydbad for at fjerne mikroskopiske luftbobler og flyttes derefter til termostaten, hvor de skal stå i mindst 30min. Pyknometre Ved meget omhyggelig behandling af pyknometrene kan densiteter bestemmes med en relativ nøjagtighed på En sådan præcision kræver megen øvelse, og det er vigtigt at arbejde så omhyggeligt som muligt. Undgå at sætte fedtede fingre på glasoverfladen og pas på I ikke bytter om på propperne. hvert hold arbejder med to pyknometre. Det ene pyknometer termostateres, medens det andet pyknometer vejes og tømmes og påfyldes næste blanding. Først vejes det tomme pyknometer med prop. For at få så gode resultater som muligt anbringes de tomme pyknometre inden vejningen kortvarigt i termostaten; derefter tages de op og aftørres omhyggeligt med Kleenex inden de vejes. For at få en ide om reproducerbarheden af denne proces, gentages den for hvert pyknometer således at der udføres to vejninger af hvert af de tomme pyknometre. Begge pyknometre vejes først fyldt med vand for at bestemme deres rumfang. Derefter fyldes de med de 10 alkoholblandinger og vejes hver gang. Pyknometrene fyldes helt op til kanten med en pipette, De termostateres uden prop i 10min. Derefter sættes proppen forsigtigt i. Pas på der ikke bliver fanget nogen luftbobler i pyknometeret. Den flade side af proppen hutigt tørres af med en Kleenex. Pyknometeret tages op af termostaten, aftørres omhyggeligt og vejes hurtigst muligt. Efter vejning af det pyknometer der indeholder blandingen med den højeste molbrøk af alkohol, ventes 10 minutter hvorefter det vejes igen. Differencen i de to sidste vægte viser fordampningens betydning. Til slut vejes begge pyknometre en gang til med vand. Databehandling Først beregnes voluminet af de to pyknometre udfra det rene vands masse og densitet. Derefter udregnes molbrøkerne og molar voluminet ved hjælp af Lign.14 og 15. 4
5 Molbrøkerne og molarvoluminerne indtastes i en tekstfil hvor første kolonne er molbrøken og anden kolonne molarvoluminet. Ved hjælp af programmet Maple eller gnuplot fittes koefficienterne i et polynomium i x til datasættet. Til hjælp ved brug af gnuplot findes et grafisk interface, der kaldes med kommandoen partfit. Graden af polynomiet skal være så høj at det passer så godt som muligt til datasættet. Udfra polynomiet kan de partielle molære volumier så beregnes ved at differentiere polynomiet og bruge Lign.11. Til sidst laves tegninger af udtrykket i Lign.12 sammen med målepunkterne og af de to partielle molære voluminer. En skitse til et maple program kan hentes via kursushjemmesiden. Tilret programmet så det fitter polynomier af forskellig grad og vælg den der bedst repræsenterer målingerne. Til slut samles datasættene fra alle tre hold i en samlet fil. Beregningerne gentages, og der laves tegninger af det samlede datasæt som beskrevet ovenfor. Rapporten Rapporten skal indeholde kurver over afvigesen af molarvoluminet fra idealitet og de to partielle molære voluminer som funktion af molbrøken, både for jeres egne data og for det samlede datasæt fra de tre hold. Spørgsmål der skal besvares i raporten. Hvorfor skal termostatens temperatur være over stuetemperatur. Sammenlign fejlen på fordampningen med fejlen på målingerne. Hvad er det samlede volumen man får ved at blande mol H 2 O og mol alkohol. Vis at det gælder generelt at forekomsten af et ekstremum for V A (x) ved molbrøken x 0 medfører at der ved denne molbrøk finde såvel et vendepunkt for V m (x) som et ekstremun for V B (x). Betragt et stofpar B,C der danner en ideal blanding. Tegn typiske grafer for de trefunktioner V m (x), V C (x) og V D (x) 5
KemiF2 laboratorieøvelser 2008 Øvelse 3 v.1.4 HOMOGEN KATALYSE. Indledning
KemiF2 laboratorieøvelser 2008 Øvelse 3 v.1.4 HOMOGEN KATALYSE Indledning Overalt i kemi, biokemi og miljøkemi støder man på kinetiske problemer. Selvom en reaktion sagtens kan forløbe ud fra en termodynamisk
Læs mereDAMPTRYK AF METHANOL
KemiF1 laboratorieøvelser 2006 ØvelseF1-3 DAMPTRYK AF METHANOL Indledning Formålet er at måle damptrykket for et rent flydende stof som funktion af temperaturen, og heraf bestemme stoffets kogepunkt samt
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereHypotese Start med at opstille et underbygget gæt på hvor mange ml olie, der kommer ud af kridt-prøven I får udleveret.
Forsøg: Indvinding af olie fra kalk Udarbejdet af Peter Frykman, GEUS En stor del af verdens oliereserver, bl.a. olien i Nordsøen findes i kalkbjergarter. 90 % af den danske olieproduktion kommer fra kalk
Læs mereSpm. 1.: Hvis den totale koncentration af monomer betegnes med CT hvad er så sammenhængen mellem CT, [D] og [M]?
DNA-smeltetemperaturbestemmelse KemiF2-2008 DNA-smeltetemperaturbestemmelse Introduktion Oligonucleotider er ofte benyttet til at holde nanopartikler sammen med hinanden. Den ene enkeltstreng er kovalent
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs mereSpm. 1.: Hvis den totale koncentration af monomer betegnes med CT hvad er så sammenhængen mellem CT, [D] og [M]?
DNA-smeltetemperaturbestemmelse KemiF2-2008 DNA-smeltetemperaturbestemmelse Introduktion Oligonucleotider er ofte benyttet til at holde nanopartikler sammen med hinanden. Den ene enkeltstreng er kovalent
Læs mereJulehygge. Stearinlys
Julehygge Til juletiden hører hygge med familien og hvad er bedre end at tænde nogle stearinlys, se en julefilm i TV, spise chokolade og måske tage en lille morfar på sofaen i al ubemærkethed? Stearinlys
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs mereD1 1 Partikelformede bjergarter
D1 1 Partikelformede bjergarter Af Kurt Kielsgaard Hansen Sigteanalyse Kornstørrelser kan defineres ved hjælp af sigter med trådvæv med kvadratiske masker. Et korn, som ved en nærmere specificeret forsøgsprocedure
Læs mereBilag til Kvantitativ bestemmelse af glucose
Bilag til Kvantitativ bestemmelse af glucose Det synlige formål med øvelsen er at lære, hvorledes man helt præcist kan bestemme små mængder af glucose i en vandig opløsning ved hjælp af målepipetter, spektrofotometer
Læs mereØvelse 4.2 1/5 KemiForlaget
KST G ERNÆRING Benthe Schou ØVELSE 4. Øvelse: Iodtal for fedtstoffer Indledning Et fedtstofs ernæringsmæssige sundhed bestemmes af hvilke fedtsyrer, der indgår i fedtstoffet. Fedtstoffets sundhed er stærkt
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereØvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari Bjerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen.
Øvelse 1.5: Spændingsdeler med belastning Udført af: Kari jerke Sørensen, Hjalte Sylvest Jacobsen og Toke Lynæs Larsen. Formål: Formålet med denne øvelse er at anvende Ohms lov på en såkaldt spændingsdeler,
Læs mereProduktion af biodiesel fra rapsolie ved en enzymatisk reaktion
Produktion af biodiesel fra rapsolie ved en enzymatisk reaktion produceres fra rapsolie som består af 95% triglycerider (TG), samt diglycerider (DG), monoglycerider (MG) og frie fedtsyrer (FA). Under reaktionen
Læs mereMaple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.
Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereUdledning af den barometriske højdeformel. - Beregning af højde vha. trykmåling. af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium
s.1/5 For at kunne bestemme cansatsondens højde må vi se på, hvorledes tryk og højde hænger sammen, når vi bevæger os opad i vores atmosfære. I flere fysikbøger kan man læse om den Barometriske højdeformel,
Læs mereløsnings forslag til læreren, Funktioner af to variable, et undervisningsforløb med CAS.
I det følgende angives løsningsforslag til hovedparten af øvelserne fra undervisningsforløbet Funktioner af To variable. Der er anvendt såvel Maple som Derive. Det skal understreges, at der ikke er tale
Læs mereTitel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT. Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af. Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV
Fag: KEMI Journal nr. Titel: OPLØSELIGHEDEN AF KOBBER(II)SULFAT Navn: Litteratur: Klasse: Dato: Ark 1 af Helge Mygind, Kemi 2000 A-niveau 1, s. 290-292 8/9-2008/OV Formålet er at bestemme opløseligheden
Læs mereTallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.
Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive
Læs mereysikrapport: Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Morten Hedetoft, Kasper Merrild og Theis Hansen Afleveringsdato: 28/2/08
ysikrapport: Gay-Lussacs lov Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Morten Hedetoft, Kasper Merrild og Theis Hansen Afleveringsdato: 28/2/08 J eg har længe gået med den idé, at der godt kunne være
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereØvelse 1 a) Voksende b) Voksende c) Konstant d) Aftagende. Øvelse 2 a) f aftagende i f voksende i b) f aftagende i
1 af 30 Kapitel 6 Udskriv siden Øvelse 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende Øvelse 2 Øvelse 3 Hældningen er i alle tilfælde 0, så. Forklar e) Forklar Interval + + 2 af 30 Øvelse 4 i i f er aftagende
Læs merePeter Harremoës Matematik B eksamen med hjælpemidler 25. maj 2016
Opgave 6 a) Skæringspunktet mellem linjerne med ligningerne l : 10x + 20y = 1000 og m : 90x 30y = 600 bestemmes. 10x + 20y = 1000 og 90x 30y = 600Ligningerne er skrevet op. y = 0.5x + 50 og y = 3x 20y
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereSPEKTRUM HALSE WÜRTZ FYSIK C. Fysiks optakt til et AST-forløb om kroppen af Niels Henrik Würtz. Energiomsætninger i kroppen
HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Fysiks optakt til et AST-forløb om kroppen af Niels Henrik Würtz Energiomsætninger i kroppen Kondital Glukoseforbrænding Fedtforbrænding Artiklen her knytter sig til kapitel
Læs mereKemiøvelse 2 1. Puffere
Kemiøvelse 2 1 Puffere Øvelsens pædagogiske rammer Sammenhæng Denne øvelse er tilpasset kemiundervisningen på modul 3 ved bioanalytikeruddannelsen. Kemiundervisningen i dette modul indeholder blandt andet
Læs mereFYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve
FYSIK 3 / TERMODYNAMIK Københavns Universitet, 13. april, 2016, Skriftlig prøve Benyttelse af medbragt litteratur, noter, lommeregner og computer uden internetadgang er tilladt. Der må skrives med blyant.
Læs mere1st April 2014 Task A. Alt om olivenolie. - Svarark -
1st April 2014 Task A Alt om olivenolie - Svarark - Country and Team No. Denmark Team: Name Signature Name Signature Name Signature OPGAVE A1: Undersøgelse af fordampning Biologi - Svarark (TOTAL MARKS
Læs mereOpgave 1.1 1 KemiForlaget
Opgave 1.1 Byg et monosaccharid Kulhydrat-molekylerne består af tre forskellige atomer : arbon, (sorte); ydrogen, (hvide), og Oxygen,O (røde). 1. Lav en ring af 5 -atomer og et O-atom. 2. Byg en gruppe
Læs merePuffere. Øvelsens pædagogiske rammer. Sammenhæng. Formål. Arbejdsform: Evaluering
1 Puffere Øvelsens pædagogiske rammer Sammenhæng Denne øvelse er tilpasset kemiundervisningen på modul 3 ved bioanalytikeruddannelsen. Kemiundervisningen i dette modul indeholder blandt andet syrebaseteori
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereNumeriske metoder i matlab
NMM minimodul 6 p. 1/2 Numeriske metoder i matlab Lektion 6 Tom Søndergaard Pedersen Palle Andersen Aalborg University NMM minimodul 6 p. 2/2 Interpolation Polynomium, splines, mindste kvadraters metode.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereMælkesyrebakterier og holdbarhed
Mælkesyrebakterier og holdbarhed Formål Formålet med denne øvelse er at undersøge mælkesyrebakteriers og probiotikas evne til at øge holdbarheden af kød ved at: 1. Undersøge forskellen på bakterieantal
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereCoulombs lov. Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet F = 1 4πε 0
Coulombs lov Esben Pape Selsing, Martin Sparre og Kristoffer Stensbo-Smidt Niels Bohr Institutet 14-05-2007 1 Indledning 1.1 Formål Formålet er, at eftervise Coulombs lov; F = 1 4πε 0 qq r 2 ˆr, hvor F
Læs mereBilag 1 til opgave
Bilag 1 til opgave 2 Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: y h x -4-3 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Bilag 2 til opgave 3 Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: 20 y 18 16 14 12 10 8 6 4 2-6 -4-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereFørste og anden hovedsætning kombineret
Statistisk mekanik 3 Side 1 af 12 Første og anden hovedsætning kombineret I dette afsnit udledes ved kombination af I og II en række udtryk, som senere skal vise sig nyttige. Ved at kombinere udtryk (2.27)
Læs mereKvantitativ forsæbning af vindruekerneolie. Rapport nr. 1 1.9-2005
Kvantitativ forsæbning af vindruekerneolie. Rapport nr. 1 1.9-2005 Skrevet af: Helene Berg-Nielsen Lærer: Hanne Glahder Formål: At bestemme vindruekerneolies gennemsnitlige molare masse, for derved at
Læs mereTorben Rosenørn. Aalborg Universitet. Campus Esbjerg
Torben Rosenørn Aalborg Universitet Campus Esbjerg 1 Definition af syrer En syre er et stof som kan fraspalte en proton (H + ). H + optræder i vand sammen med et vandmolekyle (H 2 O) som H 3 O + Syrer
Læs mereBestemmelse af smeltevarme for et N-partikelsystem
Bestemmelse af smeltevarme for et N-partikelsystem Formål At foretage en computer simulering af et N partikelsystem med henblik på at bestemme smeltevarmen fus H for faseovergangen fra krystal til væske.
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereMATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) Lommeregner hverken grafisk eller programmerbar
EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2008 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling Lommeregner hverken grafisk
Læs mereØvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen
Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 1 Ethanol kan brænde... 2 Gæringsprocessen på molekyle- niveau... 3 Fremstilling af alkohol vha. gæring... 4 Destillering... 5 Bestemmelse af alkoholprocent...
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereFind enzymer til miljøvenligt vaskepulver
Find enzymer til miljøvenligt vaskepulver Enzymer, der er aktive under kolde forhold, har adskillige bioteknologiske anvendelsesmuligheder. Nye smarte og bæredygtige produkter kan nemlig blive udviklet
Læs mereFremstilling af enkeltlag på sølv
Fremstilling af enkeltlag på sølv Formål I dette eksperiment skal du undersøge, hvordan vand hæfter til en overflade af henholdsvis metallisk sølv, et nanometer tykt enkeltlag af hexadekanthiol og et nanometer
Læs mere) ( 75,5 ( -75,5 ) ( 95,4 ( -1 ) (, 1 1. Vand, saltvand og negativt tryk. 60 LMFK-bladet, nr. 4, september 2010. Matematik. Kemi
Vand, saltvand og negativt tryk Jens Skak-Nielsen, Marselisborg Gymnasium I bogen Viden om Vand, redigeret af Inge Kaufmann og Søren Rud Keiding, vil jeg kommentere 2 bemærkninger i henholdsvis kapitel
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mere7 QNL /LJHY JW VDPPHQVDWWHYDULDEOH +27I\VLN
1 At være en flyder, en synker eller en svæver... Når en genstand bliver liggende på bunden af en beholder med væske er det en... Når en genstand bliver liggende i overfladen af en væske med noget af sig
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereTilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.
Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs mereKemiF1 laboratorieøvelser 2006 BOMBEKALORIMETRI. Indledning
KemiF1 laboratorieøvelser 2006 ØvelseF1-1 BOMBEKALORIMETRI Indledning Bombekalorimetri er den fundamentale eksperimentelle metode til bestemmelse af standarddannelsesenthalpien f H for en kemisk forbindelse.
Læs mereSkriftlig prøve i KemiF1 (Grundlæggende fysisk kemi) Fredag 30 Juni 2006 kl. 9 00 13 00. Opgave
Skriftlig prøve i KemiF1 (Grundlæggende fysisk kemi) Fredag 30 Juni 2006 kl. 9 00 13 00 Opgave Alle nødvendige data til besvarelse af spørgsmålene i eksamensopgaven er samlet i Tabel 1. Tabel 1: Termodynamiske
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereKapitel , altså 360. Hvad er matematik? 1 ISBN
Kapitel 1 Øvelse 1.4 En forklaring kan være, at man gerne vil se hvor godt modellen passer med de historiske data man allerede kender. Hvis modellen ikke passer med disse, kan man heller ikke forvente,
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereOpgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015
Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses
Læs mereUafhængig og afhængig variabel
Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig
Læs mereKemiøvelse 3 C3.1. Na-ISE. Øvelsens pædagogiske rammer
Kemiøvelse 3 C3.1 Na-ISE Øvelsens pædagogiske rammer Sammenhæng Denne øvelse er tilpasset kemiundervisningen på modul 7 ved bioanalytikeruddannelsen. Kemiundervisningen i dette modul indeholder blandt
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGæringsprocessen ved fremstillingen af alkohol tager udgangspunkt i glukose molekylet (C
Molekyler af alkohol Byg molekylerne af forskellige alkoholer, og tegn deres stregformler Byg alkoholmolekyler med 1, 2 og 3 C atomer og 1 OH gruppe. Tegn deres stregformler her og skriv navnet ved. Byg
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereSådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler
Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja Hreinsdóttir University of Iceland 1 Indledning I mange lærebøger om differentiering er der øvelser af den slags, hvor den
Læs mereBestemmelse af koffein i cola
Bestemmelse af koffein i cola 1,3,7-trimethylxanthine Koffein i læskedrikke Læs følgende links, hvor der blandt andet står nogle informationer om koffein og regler for hvor meget koffein, der må være i
Læs mereMundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.
Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.
Læs mereGaslovene. SH ver. 1.2. 1 Hvad er en gas? 2 1.1 Fysiske størrelser... 2 1.2 Gasligninger... 3
Gaslovene SH ver. 1.2 Indhold 1 Hvad er en gas? 2 1.1 Fysiske størrelser................... 2 1.2 Gasligninger...................... 3 2 Forsøgene 3 2.1 Boyle Mariottes lov.................. 4 2.1.1 Konklusioner.................
Læs mereVejledning til LKdaekW.exe 1. Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz
Vejledning til LKdaekW.exe 1 Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKdaekW.exe 2 Ansvar Programmet anvendes helt på eget ansvar, og hverken programmør eller distributør kan
Læs mereModelkontrol i Faktor Modeller
Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk
Læs mereReeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014
Reeksamen i Calculus Mandag den 11. august 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mere2. del. Reaktionskinetik
2. del. Reaktionskinetik Kapitel 10. Matematisk beskrivelse af reaktionshastighed 10.1. Reaktionshastighed En kemisk reaktions hastighed kan afhænge af flere forskellige faktorer, hvoraf de vigtigste er!
Læs mereStofskiftets afhængighed af temperatur og aktivitet hos vekselvarme dyr
Stofskiftets afhængighed af temperatur og aktivitet hos vekselvarme dyr Besøget retter sig primært til elever med biologi på B eller A niveau Program for besøget Hvis besøget foretages af en hel klasse,
Læs mereEksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereMåling af ph i syrer og baser
Kemiøvelse 1 1.1 Måling af ph i syrer og baser Øvelsens pædagogiske rammer Sammenhæng Denne øvelse er tilpasset kemiundervisningen på modul 1 ved bioanalytikeruddannelsen. Øvelsen skal betragtes som en
Læs mereE 10: Fremstilling af PEC-solceller
E 10: Fremstilling af PEC-solceller Formål Formålet med forsøget er at fremstille PEC (Photo Electro Chemical) solceller ud fra vinduesruder, plantesaft, hvid maling og grafit fra en blyant. Apparatur
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereSelvsamlende enkeltlag elevvejledning
Nano ScienceCenter,KøbenhavnsUniversitet Selvsamlende enkeltlag elevvejledning Fremstilling af enkeltlag på sølv Formål I dette forsøg skal du undersøge, hvordan vand hæfter til en overflade af henholdsvis
Læs mereDansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve. Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar. Prøvetid: 3 timer
Dansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 6 opgaver med tilsammen 17 spørgsmål. Svarene på de stillede
Læs mere