Indhold. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip
|
|
- Bertram Jespersen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 m M Indhold.1 Beskrivelse af regulatorer Krav til regulator Overføringsfunktion for det samlede system Rodkurveundersøgelse Valg af samplefrekvens Digital implementering af PI-regulator Diverse plots Der skal designes en regulator, der kan regulere DC-motoren til at køre med en konstant vinkelhastighed ud fra input fra omdrejningsmåleren i såvel generator- som motordrift.(der skal argumenteres for dette - henvisning til analyse/problemformulering/kravspec./afgrænsning) Regulatoren indgår som en del af et lukket kredsløb, se gur 1. Regulatoren reagerer på fejlen e(s), der er dierensen mellem referencesignalet r(s) og det tilbagekoblede signal. Styresignalet, u(s), justeres så fejlen bliver mindre, og når der ikke er nogen fejl kører processen stationært. r( s ) + e( s ) u( s ) E f f ek t- v ( s ) otor ( s ) Regulator f ors tæ rk er ed gear - G r ( s ) G e ( s ) G m ( s ) H ( s ) S en s or Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip En regulator kan opbygges af et eller ere led, afhængig af de krav, der stilles til reguleringen. De enkelte led vil blive beskrevet, derefter opstilles der krav til regulatoren, og der vælges den type regulator, der kan opfylde kravene [?, side ]. 1
2 INDHOLD.1 Beskrivelse af regulatorer Den simpleste regulator er en P-regulator, hvor udgangssignalet, u, er proportionalt med indgangssignalet, e, med proportionalitetsfaktoren, k P : Ved Laplace-transformation fås: u = k P e U(s) E(s) = k P En P-regulator kan reducere stigetiden og stationærfejlen, men kan forøge oversvinget. For at opfylde de stillede krav kan det være nødvendigt at give P-regulatoren en stor k P -værdi. Dette kan dog medføre, at systemet bliver ustabilt, og der kan stadig forekomme en vis stationær fejl. En måde at forbedre dette på er at tilføje et integratorled, der integrerer over fejlsignalet så regulatoren bliver en PI-regulator. Udgangssignalet kan beskrives som: Ved Laplace-transformation fås: t u(t) = k P e + k I e(τ)dτ U(s) E(s) = k P + k I s = k P τis + 1 τ i s hvor τ i er integraltiden, τ i = kp /k I. Regulatoren har et nulpunkt i s = 1 /τ i og har en pol i origo. PI-regulatoren kan reducere stigetiden, forøge oversvinget og indsvingningstiden, og eliminerer stationærfejlen. For at kompensere for de ulemper, som de to ovennævnte reguleringsled har, kan der indsættes et dientialled, så regulatoren kaldes en PID-regulator. Dientialleddet medfører, at regulatoren kan reagere hurtigere på små ændringer. Regulatoren får en hurtigere stigetid, mindre oversving og ingen stationær fejl. Udgangssignalet kan beskrives som: Ved Laplace-transformation fås: u(t) = k P e + k I t e(τ)dτ + k D de(t) dt U(s) E(s) = k P + k I s + k Ds Afhængig af de krav, der stilles til regulering af systemet kan regulatoren kombineres som en P-, PI-, PD- eller PID-regulator..2 Krav til regulator Kravene til regulatoren baseres på nogle tidskrav, der har indydelse på systemets dynamik, nogle krav til systemets stabilitet og et krav til systemets stationære tilstand. 2
3 .2. KRAV TIL REGULATOR Stigetiden, t r, er den tid, det tager for systemet at nå fra 1% til 9% af den ønskede sluttilstand. Indsvingningstiden, t s, er den tid, det tager systemets transienter at ligge indenfor et bånd omkring den ønskede sluttilstand. Den margin, som systemet må svinge omkring, vælges typisk til enten 1 %, 2 % eller 5 %. Oversvinget, M p, er den maksimale værdi, som systemet overstiger den ønskede sluttilstand. Stationærfejlen, e s s, angiver, hvor meget systemet må afvige fra den ønskede sluttilstand. Kravene til dynamik og stabilitet fremgår af gur Mp +/ 2 % Amplitude.8.6 ts.4.2 tr Tid [s] Figur 2: Denition af t r, t s og M p Tidskravene til t r og t s fastsættes på baggrund af den motorens tidskonstant, τ motor, der i kapitel?? på side?? blev beregnet til 1, 28 s. t r vælges til godt 3 gange denne værdi, og t s til godt 8 gange denne værdi. Der kan opstilles følgende krav til regulatoren: Stigetid, t r 4 s Indsvingningstid, t s 1 s ved ±2 % Oversving, M p 1 % Stationær fejl, e ss 1 % Til regulering af motoren vælges en PI-regulator, D-reguleringen fravælges, da det mekaniske system er meget langsommere end det elektriske system. Derfor er der ikke et behov for en så hurtig stigetid og regulering på små udsving, som D-reguleringen kan give. 3
4 INDHOLD.3 Overføringsfunktion for det samlede system I dette afsnit opstilles overføringsfunktionerne for systemet, og med udgangspunkt i disse bestemmes parametrene til PI-regulatoren, der kan overholde de i afsnit.2 på side 2 opstillede krav. Nedenstående overføringsfunktioner indgår i lukketsløjfesystemet på gur 1 på side 1: G r (s) = k P τis + 1 τ i s G e (s) = 14 19, 47 G m (s) = 1, 279s + 1 H(s) = 1 Der kan opstilles nedenstående overføringsfunktioner for det samlede system i gur 1 på side 1: Åbensløjfe overføringsfunktionen, der deneres som produktet af alle overføringsfunktioner rundt i sløjfen: G ol (s) = G r G e G m H (1) Lukketsløjfe overføringsfunktionen, der er overføringsfunktionen af det samlede lukketsløjfe system fra input, r(s) til output, ω(s): G cl (s) = = = G r G e G m 1 + G r G e G m H T G r T Ge T Gm N Gr N Ge N Gm 1 + T Gr TGe TGm T H N Gr N Ge N Gm N H T Gr T Ge T Gm N H (2) N Gr N Ge N Gm N H + T Gr T Ge T Gm T H Ved indsættelse i formel 1 og 2 fås overføringsfunktionerne, hvori der indgår de ubekendte parametre til PI-regulatoren: G ol (s) = k P (τ i s + 1) 14 19, 47 1 τ i s (1, 279s + 1) (τ i s + 1) = 272, 58k P s(1, 279s + 1) (3) G cl (s) = k P (τ i s + 1) 14 19, 47 1 τ i s 1 (1, 279s + 1) 1 + k P (τ i s + 1) 14 19, 47 1 τ i s + 1 = 213, 12 k P τ 1 s 2 + (, , 12k P )s + 213, 12 k P τi For at beregne k P og τ i gennemføres en rodkurveundersøgelse. (4) 4
5 .3.1 Rodkurveundersøgelse.3. OVERFØRINGSFUNKTION FOR DET SAMLEDE SYSTEM I dette afsnit laves en rodkurveundersøgelse for at kunne fastlægge systemets overføringsfunktion ud fra de opstillede krav, samt de målte og beregnede værdier.i en rodkurveundersøgelse ses der på systemets åbensløjfeoverføringsfunktion, hvor systemets kendte poler indtegnes. Derefter vælges en placering for PI-regulatorens nulpunkt, og der undersøges for hvilke værdier af k P at lukketsløjfens poler overholder de opstillede krav. Nedenstående formler anvendes kun som retningslinier i forbindelse med dimensionering af PI-regulatoren, idet de kun er nøjagtige for andenordens systemer uden nulpunkter. Først beregnes de begrænsninger, som de opstillede krav giver til lukketsløjfepolernes placering. Dæmpningsfaktoren, ξ, ndes ved hjælp af formel 5 ud fra kravet om M p 1 % [?, side 147]: M p = e ( πξ/ 1 ξ 2), ξ 1. (5) Ved indsættelse ndes, at ξ skal være, 6. I det komplekse plan indtegnes ξ som to rette linier i s-planets venstre halvplan med start i origo, og vinklen φ ξ = sin 1 ξ med imaginæraksen, se gur 3 på næste side. For ξ =, 6 er φ ξ 37. Overføringsfunktionens poler skal ligge mellem linerne med hældningskoecienten, α = ± cos(37 ) = ± 1, 33. sin(37 ) Indsvingningstiden, t s, skal være 1 s ved ±2 %. Dette er bestemmende for placeringen af den negative realdel af polerne, σ = ξω n. σ ndes ved hjælp af formel 6:, 2 = e ξω nt s (6) σ = 3, 912 t s Indsættes t s, ndes σ, 39 s. Dette krav indtegnes som en lodret linie på gur 3 på næste side, og området for polplacering ligger til venstre for denne linie. Ud fra kravet til stigetid, t r 4 s ndes kravet til den naturlige egenfrekvens, ω n ud fra følgende formel [?, side 145]: ω n = 1, 8 t r (7) Kravet til ω n beregnes som ω n, 45 rad s. ω n indtegnes som en halvcirkel i s-planets venstre halvplan med centrum i origo og radius =, 45, se gur 3 på den følgende side. Området for polplacering ligger til venstre for denne halvcirkel. Området for lukketsløjfens polplacering er nu fastlagt, og herefter kan k P og τ i bestemmes. Åbensløjfens overføringsfunktion er givet ved formel 3 på forrige side. Integratoren giver en pol i origo, og motoren giver en pol i, 7821 [rad/s]. Det vælges at placere nulpunktet i ω i = 8 [rad/s], hvilket er en dekade højere end pole motorens pol, se gur 4 på den følgende side. For forskellige værdier af k P vil polerne bevæge sig rundt på halvcirklerne, se gur 5 på side 7. Ved en forstærkning større end cirka, 1 bevæger polerne sig væk fra real-aksen og bliver imaginære. 5
6 INDHOLD Im n =, 4 5 O m r å d e f o r p o l p l a c e r ing R e sin -1 Figur 3: Område for polplacering Im R e 8, 7 82 Figur 4: Åbensløjfens poler og nulpunkter for ω i = 8 rad /s Nulpunktets placering giver en integrationstid, τ i = 1 ω i =, 125 s. Ved indsættelse i formel 3 på side 4 fås følgende udtryk for G ol (s): G ol (s) = k P (, 125s + 1) 218, 64 s(1, 279s + 1) (8) Derefter beregnes for, hvilken værdi af k P at formel 8 har en forstærkning på 1, og der laves et bodeplot af G ol (s) for at se, om der er en fasemargin på mindst 45 ved denne forstærkning. Forstærkningen beregnes til k P =, 469, og som det fremgår af gur 6 på side 8 er der 6
7 .3. OVERFØRINGSFUNKTION FOR DET SAMLEDE SYSTEM Imag Axis Real Axis Figur 5: Rodkurve for polplacering ved forskellige værdier af k P en fasemargin på cirka 52 %, hvilket betyder at systemet er stabilt. Derefter skal lukketsløjfens poler beregnes, og det skal kontrolleres, om de ligger i det gyldige område. Ved indsættelse af k P og τ i i formel 4 på side 4 ndes polerne som: s =, 44 ± j, 78 Som det fremgår af gur 7 på den følgende side ligger polerne udenfor det gyldige område. Det er kravet til en dæmpningsfaktor større end, 6, der ikke er overholdt. Det betyder, at der kommer et for stort oversving, hvilket kan se på gur 8 på side 9, hvoraf det fremgår at stepresponset har et oversvinget på cirka 18 %. Det betyder, at der skal ndes en anden værdi af k P, der kan opfylde alle de stillede krav. På gur 6 på den følgende side ses det, at der kan opnås en fasemargin på mindst 45 både ved at øge forstærkningen, og ved at sænke forstærkningen. Øges forstærkningen, bliver knækfrekvensen, ω c, også større, hvilket stiller større krav til samplingsfrekvensen ved implementering af PI-regulatoren i C167, se afsnit.4 på side 11. Det vil ikke være muligt at opnå så høj en samplingsfrekvens, som en forøgelse af k P ville kræve, så derfor vælges det at nde en mindre værdi for k P. Da M p er cirka dobbelt så stor som krævet, prøves med k P =, 26. Herved opnås en fasemargin på cirka 62 ved en krækfrekvens på ω c =, 4832 rad /s, se gur 9 på side 9. Lukketsløjfens poler ligger i: s =, 42 ± j, 52 Denne placering ligger i det gyldige område, se gur 1 på side 1. 7
8 INDHOLD Bode Diagrams 4 Gm = Inf, Pm=51.74 deg. (at.7449 rad/sec) 2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Figur 6: Bodeplot for åbensløjfe med k P =, 469 Im -,4 4 + j,7 8,5 R e,5 Figur 7: Polplacering for lukketsløjfe med k P =, 469. Der er kun vist den ene pol. Som det fremgår af gur 11 på side 1 er oversvinget nu på cirka 9 % og kravene til t r og t s 8
9 .3. OVERFØRINGSFUNKTION FOR DET SAMLEDE SYSTEM 1.4 Mp = 18 % Amplitude Tid [s] Figur 8: Steprespons på lukketsløjfe med k P =, 469 Bode Diagrams Gm = Inf, Pm= deg. (at rad/sec) 2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Figur 9: Bodeplot for åbensløjfe med k P =, 26 er ligeledes overholdt. 9
10 INDHOLD Im -,4 2 + j,52,5 R e,5 Figur 1: Polplacering for lukketsløjfe med k P =, 26. Der er kun vist den ene pol Mp = 9 % 1 Amplitude.8.6 ts = 9,3 s.4.2 tr = 2,7 s Tid [s] Figur 11: Steprespons på lukketsløjfe med k P =, 26 Herefter kan de faktiske værdier af t r, t s, ξ, σ og ω n beregnes. Systemet poler er ligger i: s = σ ± 1 ξ 2. Polernes realdel er udtryk ved σ, som er, 42 for den valgte τ i og beregnede k P. Ved 1
11 .4. VALG AF SAMPLEFREKVENS indsættelse i formel 6 på side 5 fås t s = 9, 3 s. Dæmpningsfaktoren beregnes som ξ =, 61 for M p = 9 % ved indsættelse i formel 5 på side 5. Polernes imaginærdel er givet ved ± ω n 1 ξ2. ω n beregnes til, 65 rad /s, og stigetiden beregnes til t r = 2, 7 s ved indsættelse i formel 7 på side 5. Den stationære fejl, e ss, ndes som: 1 e ss = lim s sg aa (s) (Denne formel skal lige vericeres og der skal skrives noget mere!)..4 Valg af samplefrekvens Der skal vælges en samplefrekvens, f sample, til PI-regulatoren, der er så høj, at den digitaliserede regulator ikke bliver for upræcis i forhold til en analog implementation af regulatoren. Derfor sættes samplefrekvensen ofte til tyve til fyrre gange lukketsløjfe 3dB båndbredden, ω BW [?, side 689]. ω BW ndes som: (9) ω BW 2 ω c (1) ω c ndes ved hjælp af et Bodeplot til ω c =, 4832 rad /s, se gur 9 på side 9. Der vælges en samplefrekvens på 4 gange ω BW. Derved bliver f sample = 6, 2 Hz, og den vælges til 6 Hz..5 Digital implementering af PI-regulator PI-regulatoren skal implementeres i C167. Derfor skal dens overføringsfunktion omskrives til en rekursiv dierensligning ved hjælp af bilinear z-transformastion [?, side og ]. PI-regulatorens overføringsfunktion er: G r (s) = U(s) E(s) =, 325s +, 26, 125s (11) For at nde den diskrete ækvivalente overføringsfunktion anvendes Tustin's sætning til at bringe overføringsfunktionen over i z-domænet [?, side ]. Hertil anvendes den diskrete operator 2 z 1 T s z + 1 der sættes ind på s plads. t s er sampleperioden, og for en f sample på 6 Hz er den, 167 s. Den diskrete operator ndes: 2 z 1, 167 z + 1 = 12 (z 1) (z + 1) 11
12 INDHOLD Den diskrete overføringsfunktion ndes: D d (z) = U(z) E(z) D d (z) = = G r (s) s= 12 (z 1) z+1) D d (z) =, (z 1) (z+1) +, 26, 1 12 (z 1) (z+1), 433, 87z 1 1 z 1 Den diskrete overføringsfunktion konverteres til en diskret dierensligning: (1 z 1 )U(z) = (, 433, 87z 1 )E(z) u(k) u(k 1) =, 433e(k), 87e(k 1) u(k) = u(k 1) +, 433e(k), 87e(k 1) Dermed er PI-regulatorens overføringsfunktion blevet omskrevet til en dierensligning, der kan implementeres i software i C167, se kapitel?? på side??..5.1 Diverse plots (Disse plots er bare midlertidig sat ind] Konklusion: Ikke ret god overensstemmelse mellem digital og analog simulering. Den digitale simulering er MEGET langsommere til at regulere ind til 7 rad /s. 12
13 .5. DIGITAL IMPLEMENTERING AF PI-REGULATOR 7 skop Time offset: Figur 12: Digital simulering 13
14 INDHOLD 8 skop Time offset: Figur 13: Analog simulering 14
Indhold. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip
Indhold.1 Beskrivelse af regulatorer............................. 2.2 Krav til regulator................................. 2.2.1 Integrator anti-windup.......................... 4.3 Overføringsfunktion
Læs mereFigur 1.1: Blokdiagram over regulatorprincip
Indhold 1 Design af regulator til DC-motor 2 1.1 Besrivelse af regulatorer............................. 2 1.2 Krav til regulator................................. 3 1.2.1 Integrator anti-windup..........................
Læs mereIndhold. 0.1 Beskrivelse af regulatorer
Indhold. Beskrivelse af regulatorer................................. Overføringsfunktion for et reguleringssystem................ 2..2 Specifikationer til beskrivelse af systemet.................. 2.2
Læs mereFigur 1.1: Blokdiagram over regulatorprincip
Kapitel Design af effektregulering I dette kapitel gennemgås principperne bag regulering af motorer, der opstilles krav til, og der designes de to regulatorer til henholdsvis pitchregulering af sevomotoren
Læs mereC R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen
Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede
Læs mereElektroniske Kredsløb og Dynamiske Systemer
Elektroniske Kredsløb og Dynamiske Systemer Lektion 15: Regulering Jan Bendtsen April 14, 2008 EKDS mm. 12 Regulering slide 1 i Basal regulering Hysterese-regulering PID regulatorer i analog Ziegler-Nichols-tuning
Læs mereElektroniske Kredsløb og Dynamiske Systemer
Elektroniske Kredsløb og Dynamiske Systemer Lektion 4: Regulering Jan Bendtsen May, 29 EKDS mm. 4 Regulering slide i Basal regulering Hvorfor regulering? PID regulatorer i analog Ziegler-Nichols-tuning
Læs mereSkriftlig prøve i KDS
Kredsløbsteori & dynamiske systemer for EIT2/16 Opgavesæt 02 160728HEb Kredsløbsteori & dynamiske systemer Skriftlig prøve i KDS Omprøve d. 16. august 2016 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 4
Læs mere3 Overføringsfunktion
1 3 Overføringsfunktion 3.1 Overføringsfunktion For et system som vist på figur 3.1 er overføringsfunktionen givet ved: Y (s) =H(s) X(s) [;] (3.1) Y (s) X(s) = H(s) [;] (3.2) Y (s) er den Laplacetransformerede
Læs mereIndsvingning af 1. ordens system
Indsvingning af 1. ordens system Formål Formålet med øvelsen er at eftervise at en forøgelse af belastningen af et procesrør giver en hurtigere indsvingning af systemet. Forsøgsopstilling Procesrør Strømforsyning
Læs mereBilagsrapport til READY: VPP Styring
Bilagsrapport til READY: VPP Styring Indhold: 13 sider Esben Holm, Neogrid Technologies ApS 3. december 214 Indhold Indhold i Indledning............................................ 1 1 Varmepumpe VPP....................................
Læs mereSYNOPSIS: Mads Smed Christensen. Rasmus Juul. Andreas Emil Kunwald. Emil Brink Kruse Olsen. Nelson Sabbath Vuga. Jonas Weiss Mortensen
Titel: Regulering af Robotarm Semester: 4. Semester Semester tema: Regulering af energiomsættende systemer Projektperiode: 04.01.11 til 24.05.11 ECTS: 17 Vejleder: Anders Hedegaard Hansen Projektgruppe:
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereTotal systembeskrivelse af AD1847
Total systembeskrivelse af AD1847 Af Anna Hampen Jens Jørgen Nielsen Johannes Bjerrum Johnny Nielsen 3.semester HIH Anna Hampen, Jens Nielsen, Johannes Bjerrum, Johnny Nielsen 1 Indholdsfortegnelse Indledning...3
Læs mereØvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre.
ELT2, Passive filter, frekvenskarakteristikker Øvelsesvejledning Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. Øvelsen består af 3 dele: 1. En beregningsdel som du forventes at
Læs mereREGULERING AF ROBOTARM
Nicolaj Lindhard Jørgensen, s062032 Lasse Thorup Olesen, s062016 REGULERING AF ROBOTARM Bachelorprojekt, forår, 2009 Nicolaj Lindhard Jørgensen, s062032 Lasse Thorup Olesen, s062016 REGULERING AF ROBOTARM
Læs mereSignalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)
Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk
Læs mere1. INDLEDNING...1. 1.1 Projektafgrænsning...1. 1.2 Kravspecifikation... 1 2. BESKRIVELSE AF SYSTEMET...2
Abstrakt Abstrakt I dette projekt er der arbejdet med simulering og regulering af et XY-maskinbord. Vigtige elementer i arbejdet var opstilling af de matematiske ligninger for en simplificeret model af
Læs mereEksamen i Signalbehandling og matematik
Opgave. (%).a. Figur og afbilleder et diskret tid signal [n ] og dets DTFT. [n] bruges som input til et LTI filter med en frekvens amplitude respons som vist på figur. Hvilket af de 4 output signaler (y
Læs mereP-regulering med bias - PID-regulator
P-regulering med bias - PID-regulator Formål Formålet med øvelsen er at finde ud af hvordan den stationære fejl ændres ved forskellige belastninger og forstærkninger, samt hvilken indflydelse bias har
Læs mereSampling. Reguleringsteknik for Grundfos Lektion 6. Jan Bendtsen
Sampling Reguleringsteknik for Grundfos Lektion 6 Jan Bendtsen Indhold Basal sampling A/D-konvertering Nyquist-frekvens Kvantisering Aliasing Feedbacksystemer Eksempel: servokontrol af motor Strøm til
Læs mereFigur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol
0.. AERODYNAMIK 0. Aerodynamik I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs merePlc'en som regulator i hydrauliske servosystemer
Plc'en som regulator i hydrauliske servosystemer Peter Windfeld Rasmussen For 20 år siden så de første digitale eller computerstyrede sevosystemer dagens lys i forskellige laboratorier. Det var store sager,
Læs mereMassefylden af tør luft ved normalt atmosfærisk tryk ved havets overade ved 15 C bruges som standard i vindkraftindustrien og er lig med 1, 225 kg
0.1 Vindens energi 0.1. VINDENS ENERGI I dette afsnit... En vindmølle omdanner vindens kinetiske energi til rotationsenergi ved at nedbremse vinden, således at hastigheden er mindre efter at rotorskiven
Læs mereØvelse i Feed forward af 1. ordens system med PLC
Øvelse i Feed forward af 1. ordens system med PLC Formål Forsøgsopstilling 1 Feed forward af 1. ordens system Overløbs- / trykudligningsslange Procesrør Formålet med øvelsen er at lave en proportional-regulator
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereDSP Digitale signal behandling Lkaa
DSP Digitale signal behandling 213 Lkaa Ugens progam Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Digitale signaler FFT Filter Ålborg Flyvevåbnet R&S Ålborg FPGA og DSP samt rundvisni ng Filter signal FIR filter
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereForside ligger i andet dokument
Forside ligger i andet dokument 1 Side 2 ligger i andet dokument 2 Indholdsfortegnelse Resume / Abstrakt... 5 Indledning... 6 Baggrund... 7 Krav til system... 8 4 rotor helikopter teori... 9 Hardware...
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereEMSD 7 Gr. 15 Aalborg Universitet
Elektro Mekanisk System Design EMSD 7 Gr. 15 Aalborg Universitet Institut for EnergiTeknik Pontoppidanstræde 101, 9220 Aalborg Øst Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet M-sektoren
Læs mereBremseventiler - hvor skal blenden sidde
Bremseventiler - hvor skal blenden sidde Af Peter Windfeld Rasmussen Bremseventiler anvendes i hydrauliske systemer -som navnet siger- til at bremse og fastholde byrder. Desuden er det med bremseventilen
Læs mereJ. Christian Andersen DTU Electrical Engineering Automation and Control 326/008. DTU Electrical Engineering, Technical University of Denmark
J. Christian Andersen DTU Electrical Engineering Automation and Control 326/008 1 31/10/17 Reguleringsmiraklet Hvad er en regulator?? 31/10/17 Hvad er en regulator? Noget der styrer eller sikrer at en
Læs mereFeedback control for surveillance camera. Tilbagekoblede Realtidssystemer. Titel: Tema: Projekt periode: 1/9 19/12 2008. Synopsis: Gruppe: E5 505
AAL B O R G UNIVE RSI T E T Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitet Fredrik Bajers Vej 7B 9000 Aalborg Phone 96 35 98 36 Fax 98 15 36 62 http://esn.aau.dk Titel: Feedback control for surveillance
Læs mereDavid Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1
1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereSPEED-Commander Frekvensomformer. Program nr. 1 Software version 5.0.3. PI-regulering
SPEED-Commander Frekvensomformer Driftsvejledning Bemærk: Speciel Software Program nr. 1 Software version 5.0.3 PI-regulering Til parameterliste og tilslutninger af styreklemmer anvendes vedhæftede programbeskrivelse.
Læs mereDimensionering af samling
Bilag A Dimensionering af samling I det efterfølgende afsnit redegøres for dimensioneringen af en lodret støbeskelssamling mellem to betonelementer i tværvæggen. På nedenstående gur ses, hvorledes tværvæggene
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereAnalogregnemaskinen. Datahistorisk Forening 30/8 2007
Analogregnemaskinen Datahistorisk Forening 30/8 2007 Analogregnemaskiner bygger på ÆKVIVALENSRELATION: Ækvivalensen mellem en fysisk størrelse og en skalaaflæsning Eksempel: Fysisk længder ~ talværdier
Læs mereKapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m)
Kapitel 10 Beregning af magnetiske felter For at beregne det magnetiske felt fra højspændingsledninger/kabler, skal strømmene i alle ledere (fase-, jord- og eventuelle skærmledere) kendes. Den inducerede
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereModellering og styring af mobile robotter
Modellering og styring af mobile robotter Dina Friesel Kongens Lyngby 2007 IMM-PHD-2007-70 Technical University of Denmark Informatics and Mathematical Modelling Building 321, DK-2800 Kongens Lyngby, Denmark
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 Skriftlig prøve, torsdag den 8 maj, 009, kl 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Besvarelsen
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereTaylorpolynomier og Taylors sætning
og Taylors sætning 10. november 2008 I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet
Læs mereRapport uge 48: Skråplan
Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................
Læs mereDTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.
Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU
Læs mereU Efter E12 rækken da dette er den nærmeste I
Transistorteknik ved D & A forold. 4--3 Afkoblet Jordet mitter: Opbygning og beregning af transistorkobling af typen Jordet mitter ud fra følgende parameter erunder. Alle modstande vælges / beregnes ud
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereFigur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol
0.1 Aerodynamik 0.1. AERODYNAMIK I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,
Læs mere3V 0 7V. (der mangler dokumentation for at det virker, men jeg mangler databladene for relæerne)
Over transisteren skal der være en V BE på ca. 0 7V, for at transistoren opererer i sit linære område. Forsyningsspændingen er målt til ca. 3V, og da der går 0 7V over V BE, må der ligge 2 3V over modstanden.
Læs mereProjekt. HF-forstærker.
Projekt. HF-forstærker. Rapport. Udarbejdet af: Klaus Jørgensen. Gruppe: Brian Schmidt, Klaus Jørgensen Og Morten From Jacobsen. It og Elektronikteknolog. Erhvervsakademiet Fyn. Udarbejdet i perioden:
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereAnalog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 %
A.1 Afladning af kondensator Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % Når knappen har været aktiveret, ønskes lys i D1 i 30 sekunder. Brug formlen U C U start e t RC Beskriv kredsløbet Find komponenter.
Læs mereAnvendelse af den diskrete fouriertransformation
KAPITEL SYV Anvendelse af den diskrete fouriertransformation En meget anvendt beregningsprocedure inden for digital signalbehandling er den diskrete fouriertransformation (i det følgende forkortet til
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLineære systemer med hukommelse.
Lineær Response Teori. I responseteorien interesserer man sig for, hvad der kan siges generelt om sammenhængen mellem input φ(t) og output γ(t) for et system. Valg af variable. Det betragtede systems forskellige
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereTilslutning- og programmeringseksempler
VLT MicroDrive FC 051 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Oversigt effekt og styre kreds VLT MicroDrive... 4 Initialisering af frekvensomformeren... 5 Tilslutning af motorbeskyttelse... 6 Start/stop med analog
Læs mereDigitale periodiske signaler
KAPITEL FEM Digitale periodiske signaler For digitale signaler, som er periodiske, gælder det, at for alle n vil hvor det hele tal er perioden. g(n + ) = g(n), (5.) Af udtrykkene ses det, at periodiske
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereHi-Fi forstærker med digital styring
Hi-Fi forstærker med digital styring POWER VOLUME VÆLGER BAS DISKANT MUTE OP NED MUTE Klass #39 P3 PROJEKT 008 GRUPPE 39 INSTITUT FOR ELEKTRONISKE SYSTEMER AALBORG UNIVERSITET DEN. 7 DECEMBER 008 Titel:
Læs mereTRANSFORMEREN SPÆNDINGSFALD OG VIRKNINGSGRAD. Spændingsfald Virkningsgrad
TRANSFORMEREN SPÆNDINGSFALD OG VIRKNINGSGRAD Spændingsfald Virkningsgrad Spændingsfald: Spændingsfald over en transformer beregnes helt som spændingsfald over enhver anden impedans! Man er dog nødt til
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereFasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led.
Fasedrejning Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Følgende er nogle betragtninger, der gerne skulle føre frem til en forståelse af forholdene omkring kondensatorers og spolers
Læs mereKapitel 6. Elektrisk felt fra kabler og luftledninger. Kabler. Luftledninger
Kapitel 6 Elektrisk felt fra kabler og luftledninger Kabler Da højspændingskabler normalt er nedgravet i jorden, som er en forholdsvis god elektrisk leder, vil der ved jordoverfladen ikke kunne måles et
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 5.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereImpedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L
Impedans I et kredsløb, der består af andre netværkselementer end blot lække (modstande) og kilder vil der ikke i almindelighed være en simpel proportional, tidslig sammenhæng mellem strøm og spænding,
Læs mereBetonkonstruktioner Lektion 4
Betonkonstruktioner Lektion 4 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Fault of Engineering 1 Bøjning med forskdning -Brudtilstand Fault of Engineering 2 Introduktion til Diagonaltrkmetoden I forbindelse
Læs mereKONDENSATORER (DC) Princip og kapacitans Serie og parallel kobling Op- og afladning
KONDENSATORER (DC) Princip og kapacitans Serie og parallel kobling Op- og afladning Dagsorden: Opladningens principielle forløb En matematisk tilgang til opladning (og kort om afladning afslutningsvis)
Læs mereØvelse i Ziegler-Nichols på drøvle processer
Øvele i Ziegler-Nichol på drøvle proceer Formål: Formålet med øvelen er at finde brugbare parametre til drøvleregulering af vækehøjden i to forbundne tanke ved hjælp af Ziegler-Nichol metode. Der kal finde
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereNoter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant
Noter til Komplekse tal i elektronik. Eksempler på steder, hvor der bruges kondensatorer og spoler i elektronik: Equalizer Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Selektive forstærkere. Når der er
Læs mereES 899. CO og temperatur sensor. Styrer et ventilationsanlæg så komforten i lokalet øges. 2 med indbygget regulator For montage på kanal
ES 899 CO og temperatur sensor med indbygget regulator For montage på kanal Styrer et ventilationsanlæg så komforten i lokalet øges Egenskaber: ES 899 er en kombineret føler og regulator med mange anvendelses
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereTransceiver målinger.
Transceiver målinger. Denne gang senderen - teori og lidt praksis. Varighed 45 min. EDR Horsens Afdeling, 12. april. 2018, OZ2OE Transceiver måling - målinger kan kræve masser af udstyr Sender måling 1)
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs merePrøveeksamen nr. 2: Signalbehandling og matematik
Prøveeksamen nr. 2: Signalbehandling og matematik 2008 Opgave. (5%) Input-output relation er for et LTI system er 2 3.a. Er systemet kausalt? Nej, y er afhængigt af fremtidige værdier af x, altså x[n+]
Læs mereLASTSPIL 37 kw AC KRØLL CRANES A/S. INF. REF dk SIDE 1/9
LASTSPIL 37 kw AC SIDE 1/9 TEGNING SIDE 2/9 JUSTERINGSVEJLEDNING FOR AC LASTSPIL FUNKTIONSBESKRIVELSE AF LASTSPIL Lastspillet er drevet af en kortslutningsmotor monteret med encoder for hastighedskontrol.
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs merePC-baseret analyzer og equalizer
PC-baseret analyzer og equalizer Projekteksamen Gruppe 506 Institut for elektroniske systemer Aalborg Universitet PC-baseret analyzer og equalizer p. 1/53 Præsentation Systempræsentation Filterdesign Mikrofonkorrektion
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereOhms lov. Formål. Princip. Apparatur. Brug af multimetre. Vi undersøger sammenhængen mellem spænding og strøm for en metaltråd.
Ohms lov Nummer 136050 Emne Ellære Version 2017-02-14 / HS Type Elevøvelse Foreslås til 7-8, (gymc) p. 1/5 Formål Vi undersøger sammenhængen mellem spænding og strøm for en metaltråd. Princip Et stykke
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereProjekt. Analog Effektforstærker.
Projekt. Analog Effektforstærker. Udarbejdet af: Klaus Jørgensen. Gruppe: Klaus Jørgensen Og Morten From Jacobsen. It og Elektronikteknolog. Erhvervsakademiet Fyn Udarbejdet i perioden: 7/0-03 /-03 Vejledere:
Læs mereAalborg Universitet. Analog HiFi forstærker med digital styring
Aalborg Universitet Analog HiFi forstærker med digital styring Birnir S. Gunnlaugsson Mark Jespersen Michael S. Pedersen Morten K. Rævdal Thomas F. Pedersen Tredje semester, Gruppe 310 Efteråret 2009 Reproduktion
Læs mere