Knudeteori. Introduktion Isotopi-begrebet Trefarvning af knuder Primknuder og knudeklassifikation Jones-polynomiet Flere invarianter Nogle anvendelser

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Knudeteori. Introduktion Isotopi-begrebet Trefarvning af knuder Primknuder og knudeklassifikation Jones-polynomiet Flere invarianter Nogle anvendelser"

Kirsten Bech
5 år siden
Visninger:

1 Knudeteori Introduktion Isotopi-begrebet Trefarvning af knuder Primknuder og knudeklassifikation Jones-polynomiet Flere invarianter Nogle anvendelser 1

2 Reklame Kenneth Hansen Knudeteori Forlaget Systime ISBN: Pris: ca. 90,- 2

3 Historisk oversigt 1833: C.F.Gauss: Lænketal erne: Tait og Little begynder knudeklassifikationen. 1926: Kurt Reidemeister: Isotopi 1969: John Conway: Conway-polynomiet. 1984: Vaughn Jones: Jones-polynomiet. Starten på Den knudeteoretiske revolution 3

4 Hvad er en knude? Tag et stykke snor Bind en knude Lim enderne sammen Herved undgås, at knuden "glider af " 4

5 Nogle knuder 5

6 Nogle lænker to uknuder Hopf-lænken Whitehead-lænken En lænke er flere stykker snor, som er filtret ind i hinanden. 6

7 Nogle komplicerede knuder? (Trekløverknuden (Uknuden 7

8 Isotopi To knuder er isotope (eller ens, hvis man kan ændre den ene til den anden, uden at klippe snoren over. Definitionen af isotopi er kompliceret. Da vi arbejder med knudediagrammer, så kan vi nøjes med: 8

9 Reidemeister-træk To knuder er isotope, netop når man kan komme fra det ene knudediagram til det andet vha. en følge af Reidemeister-træk Kurt Reidemeister,

10 De 4 typer Reidemeister-træk Type 0 Type 1 Type 2 Type 3 10

11 11

12 Invarianter En invariant er en størrelse, som er ens for isotope knuder. ntallet af snore i knuden Trefarvnings-egenskaben Krydstallet Jones-polynomiet og mange flere 12

13 Bevisteknik Reidemeister-træk anvendes til at bevise, at to knuder er isotope. Invarianter anvendes til at bevise, at to knuder ikke er isotope. 13

14 En universal invariant? Findes der en invariant, som opfylder: To knuder er isotope, hvis og kun hvis invarianten for de to knuder er ens? (Evt. en samling af invarianter Et åbent spørgsmål... 14

15 Trefarvning Tildel hver streg i knudediagrammet en farve, således at en krydsning altid ser sådan ud: Der skal anvendes mindst to farver 15

16 Ikke alle knuder kan trefarves B C Trekløverknuden Knuden 6 Knuden Trekløverknuden, 6 1 og 7 1 kan trefarves Ottetalsknuden kan ikke trefarves D Ottetalsknuden Kan vi bevise, at trefarvning er en invariant, så har vi bevist, at trekløverknuden og ottetalsknuden ikke er isotope. 16

17 Strategi for beviset ntag at et knudediagram er trefarvet før et Reidemeister-træk. Kan vi trefarve det bagefter? Træk af type 0 er trivielle. 17

18 Type 1: Snoren er altid ensfarvet Type 2: To tilfælde. Begge snore har samme farve. Begge snore har forskellig farve 18

19 Ved type 3 er der mange tilfælde at tage hensyn til... 19

20 men i alle tilfældene kan vi producere en ny trefarvning. Konklusion: Trefarvning er en invariant. 20

21 Krydstallet Krydstallet er det mindst mulige antal krydsninger i et diagram af knuden (minimalt diagram Uknuden : 0 Trekløverknuden : 3 Ottetalsknuden : 4 Generelt svært at beregne krydstallet. 21

22 Taits formodning Et alternerende, ikke-reduceret knudediagram er mininalt. altern. ikke altern. ikke reducerede knuder 22

23 Taits formodning Blev endeligt vist i 1986 af Kauffman, Thistlethwaite, Murasugi uafhængigt af hinanden anvendte Jones-polynomiet (1984 Beviset findes i bogen og kan altså forstås af en gymnasieelev! 23

24 Et svært problem Er en knude isotop med sit spejlbillede? Trekløverknuden: Nej! Ottetalsknuden: Ja! Problem: Find en invariant, der kan skelne mellem spejlbilleder. 24

25 Ottetalsknuden er achiral (isotop med sit eget spejlbillede 25

26 Splejsning af knuder Splejsning er uafhængig af positionen, hvor man splejser Splejsning er associativ og kommutativ 26

27 Kællingeknuden og råbåndsknobet T # T T # T* (kællingeknude (råbåndsknob 27

28 Uløste problem c(k#l = c(k + c(l men vi ved, at c(k#l c(k + c(l c(k#l = c(k + c(l, hvis K og L er alternerende 28

29 Primknude En primknude er en knude, der ikke er splejsningen af andre knuder. Uknuden, trekløverknuden og ottetalsknuden er primknuder. Kællingeknuden og råbåndsknobet er ikke primknuder. 29

30 Primknudeopløsning En knude kan entydigt (op til rækkefølge skrives som en splejsning af primknuder (Sammenlign med opløsningen af hele tal i primtal 30

31 Primknudeklassifikation Krydstal ntal Krydstal ntal ??? 31

32 Et uløst problem Hvordan vokser antallet af primknuder med c krydsninger? Eksponentielt? Vi ved dog, at antal 2 c

33 Primknudeklassifikation Metode: Find alle knudediagrammer med krydstal c Beregn en gruppe af invarianter for alle knudediagrammerne (n-farvning Eliminér gamle kendinge Sammenlign de resterende knuder lt dette gøres nemmest på en computer 33

34 n-farving n er et ulige tal (helst et primtal En knude kan n-farves, hvis hver eneste streng kan tildeles et tal mellem 0, 1,..., n-1, således at mindst to tal anvendes x + y -2z 0 (mod n hvor x og y er understrengene z er overstrengen 34

37 Lord Kelvin's atomteori tomer er (primknuder i æteren tomer kombineres til molekyler vha. splejsning Isotope knuder svarer til ens atomer Så: Primknudetabel = Det periodiske system 37

38 Desværre... Æteren findes ikke Michelson-Morley, Einstein tomet har en indre struktur Thompson, Rutherford Et molekyles egenskaber afhænger ikke kun af antallet af atomer, men også deres placering splejsning er associativ og kommutativ 38

39 - men ideen er god nok Reduktion af 'materie' til geometri: Gravitation er krumning af rumtiden den generelle relativitetsteori Moderne højenergifysik kvantefeltteori superstrenge 39

40 Fra knudediagram til graf 40

41 Fra graf til knudediagram 41

42 Knudeklassifikation Tegn samtlige grafer med n kanter Lav disse om til knudediagrammer Visse typer grafer kan udelukkes, da knudediagrammerne kan reduceres Graf med endekant Graf med bro 42

43 4 krydsninger 43

44 Jones-polynomiet Opfundet af Vaughn Jones i Garnnøgle-relation: 1 t V L + L_ L 0 1 ( L+ t V ( L = ( t V ( L0 t 44

45 Kauffman-polynomiet En alternativ måde af definere Jonespolynomiet på. Stammer fra Louis Kauffman, Er en rekursiv definition: Fjern (opsplit en krydsning Dette giver to nye knuder med en krydsning mindre Beregn Kauffman-polynomiet for disse 45

46 Kauffman-polynomiet B B B B B B B -split B-split 46

47 47 Kauffman-polynomiet Bestem, B og C, så vi får en invariant. = 1 P(U ( ( ( B L P B L P L P + = ( ( L P C U L P =

48 Reidemeister-træk 2 48

49 49 Reidemeister-træk 2 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( L P B L P B BC L P B L P B U L P B L P L P B L P B L P B L P L P B L P L P BB B B B = = = + = = = + + B B BC og

50 Reidemeister-træk 2 Dette opfyldes, hvis vi vælger: 1 B = C 2 2 = 50

51 51 Reidemeister-træk 3 ( ( ( ( ( ( M P M P M P L P L P L P B B = + = + = 1 1 B B L L L M M M B B

52 Reidemeister-træk 1 B B -løkke B B B-løkke P( L P( L B = = 3 3 P( P( Dette er ikke særligt invariant, så justér med en størrelse, vridtallet. erstat med 1/ 4 og få Jones-polynomiet t 52

53 Vridtallet

54 54 Hopf-lænken = + + = = = + = U P U B P U P U U P U H P B H P H P H P H BP H P H P BB B B ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

55 Trekløverknuden V ( 3 V ( * = t 1 = t + t + t 3 3 t 4 t 4 Jones-polynomiet kan altså skelne en knude og dens spejlbillede = t t + 1 V ( 4 t + t 2 Jones-polynomiet for en achiral knude er palindromisk. 55

56 Modeksempel V ( 942 = t t + t 1+ t t t Jones-polynomiet er palindromisk, men knuden er ikke achiral. 56

57 ndre anvendelser Man kan give et let bevis for Taits formodning ved at bruge Jones-polynomiet Krydstallet = spændet af Jonespolynomiet (for en alternerende knude Kan anvendes til at bevise, at en knude ikke er alternerende 57

58 En ikke-alternerende knude 8 19 er ikke alternerende V(8 19 = - t 8 + t 5 + t 3 Spændet er 5 Krydstallet er 8 58

59 59 Mutant-knuder Begge knuder har Jones-polynomiet: Jones-polynomiet kan altså ikke skelne mellem alle knuder t t t t t t t t t Kinoshita-Terasaka-knuden Conway-knuden

60 + 0 = _ 0 _ 0 _ = = = = X Y = = = = X U X X Y 60

61 Topologi ("gummigeometri" 61

62 Klassifikation af lukkede flader Genus 0 (Kugle Genus 2 Genus 1 (Torus Genus 3 To lukkede flader er isotope, hvis de har samme genus. 62

63 Seifert-flade Lav knuden i ståltråd, og dyp den i sæbevand. Seifert-fladen er isotop med en lukket flade, hvori der er udskåret en eller flere skiver 63

64 Genus-invarianten Genus for en knude er genus for den tilsvarende Seifert-flade Genus viser sig at være en invariant g(kinoshita-terasaka = 2 g(conway = 3 64

65 Conway-polynomiet John Conway, 1969 Definition: (U = 1 (L + - (L - = z (L 0 65

66 Conway-polynomiet Conway-polynomiet er en svag invariant både Kinoshita-Terasaka- og Conway-knuden har Conway-polynomiet 1. nedenstående knude har Conway-polynomiet 1 (som uknuden 66

67 Løsnetallet Løsnetallet for en knude er det mindste antal krydsninger, der skal ændres (fra over- til underkrydsning, eller omvendt, for at knuden bliver uknuden Løsnetallet er en svært beregnelig invariant 67

68 løsneoperation R3,R3 R1,R1 Løsnetallet for 4 1 er 1 (Ovenstående viser, at løsnetallet er højst 1, og kun uknuden har løsnetallet 0 Løsnetallet for 8 3 er 2 (Kanenobu & Murakami,

69 Scharlemann's sætning Hvis en knude har løsnetallet 1, så er der tale om en primknude. Martin Scharlemann,

70 Problem med løsnetal Venstre: Minimal projektion af (3 løsneoperationer Højre: Ikke-minimal projektion af (2 løsneoperationer 10 8 har faktisk løsnetallet 2. 70

71 Knudret DN 71

72 Enzymers virkning på DN 72

73 Et knudret molekyle 73

Relaterede dokumenter

Knuder, lænker og fletninger.

Knuder, lænker og fletninger. Regionalmøde Esbjerg 2012 Aalborg Universitet Hvorfor dette emne? Der er god matematik i knuder. Der er flotte billeder. Der er splinternye anvendelser i biologi/kemi. Gymnasieelever kan arbejde med knuder.