Lineære og multilineære afbildninger

Transkript

1 Kapitel 1 Lineære og multilineære afbildninger 1.1 Endeligdimensionale vektorrum I det følgende betegner X, Y, Z og så videre endeligdimensionale reelle vektorrum. Meget at det vi siger giver mening for uendeligdimensionale normerede vektorrum, og vi gør os stor umage for at formulere os, så det tager sig generelt ud. Men en række essentielle steder kommer vi til at trække på egenskaber, der kun holder for endeligdimensionale vektorrum. 1) Der vil eksistere mange normer på et vektorrumx. Men nårxer endeligedimensional, vil alle disse normer være ækvivalente. Hvis og er to normer påx, vil der altså findes en konstant C så x C x for alle x X. I særdeleshed giver to normer påxsamme topologi. 2) Alle lineære afbildninger mellem endeligdimensionale vektorrum er kontinuerte. I forbindelse med uendeligdimensionale vektorrum får man en ubehagelig sondring mellem to slags lineære afbildninger: de kontinuerte og de diskontinuerte. Denne sondring er man fri for i forbindelse med endeligdimensionale vektorrum. 1

2 2 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger 3) Alle underrum er afsluttede. Det er i virkeligheden påstanden om at de lineære afbildninger er kontinuerte i forklædning. I uendeligdimensionale rum kan man have underrum der ligger tæt i hele rummet, og det er noget af en udfordring for den geometriske intuition. 4) Hvis man har en norm på et endeligdimensionalt vektorrumx, så vil alle afsluttede kugler, altså mængder af formen være kompakte delmængder afx. {x X x x 0 r}, 5) En lineær afbildning af et endeligdimensionalt vektorrum X ind i sig selv, er automatisk bijektiv hvis den er injektiv eller hvis den er surjektiv. Det er et højst forbløffende fænomen at injektivitet medfører surjektivitet og omvendt, men det følger af dimensionsbetragtninger. Af og til benytter vi os af disse bekvemmeligheder. Nogle gange for at give korte, simple beviser, andre gange fordi den sætning vi diskuterer kun er rigtig i endeligdimensionale rum. Vi sætter en ære i at formalismen fremtræder meget generel, men i virkeligheden beviser vi ingenting for uendeligdimensionale vektorrum. Vi vil her bruge lidt energi på at advare mod en udbredt misforståelse angående endeligdimensionale vektorrum: at de bare err k for et passende k. Misforståelsen skyldes nok især at lineær algebra typisk ligger så tidligt i universitetsuddannelsen, at man reelt ikke har andre naturlige eksempler til sin rådighed. De eksempler man kunne tage fat på (f.eks. rum af lineære afbildninger), vil formentlig forvirre mere end de gavner, på det stade af uddannelsen. Problemet med at identifcere alle k-dimensionale vektorrum medr k, er at man på den måde siger at der kun er ét k-dimensionalt vektorrum. Og ofte er forskelligheden af to k-dimensionale vektorrum en vigtig pointe. De er måske nok isomorfe som vektorrum, men udover vektorrumsstrukturen har de hver deres tekstur. Det er sandt nok, at vælger man en basis e 1,...,e k forx, så kan man identificerex ogr k ved hjælp af koordinatafbildningenφ :R k X, x 1 k. x i e i. (1.1) x k

3 1.1. Endeligdimensionale vektorrum 3 Men denne identificering er som regel helt vilkårlig: et andet valg af basis ville give en anden identificering. Og ingen af valgene er rettet ind mod de egenskaber, der definerer X - disse egenskaber kan være af geometrisk eller algebraisk art, som det nu må falde sig. For at udrydde misforståelsen helt, vil vi starte med nogle eksempler på endeligdimensionale vektorrum, som man ikke uden videre kan erstatte medr k. Eksempel 1.1 Et todimensionalt underrum ir 3 kan specificeres på flere måder. Man kan f.eks. angive et frembringersystem - i hvilket tilfælde kommer man nærmest per automatik til at identificere underrummet medr 2. Men man kan også angive en normalvektor a R 3. Underrummet får da strukturen X= { x R 3 x, a =0 }. Denne beskrivelse fokuserer på underrummets placering i forhold til det omgivende rum, og leder ikke så let til en identificering medr 2. Hvis man i et konkret problem har givet et underrum ved hjælp af en normalvektor, så vil man ofte stå sig ved at fastholde denne geometriske beskrivelse, og undgå identificeringen medr 2. Eksempel 1.2 En flade ir 3, er en dims der lokalt ser todimensional ud. Vi vil ikke give en præcis definition her, men nøjes med en heuristisk behandling. Et oplagt eksempel på en flade er overfladen af en kugle, S 2 = { x R 3 x =1 }. Et begrænset område på S 2 ligner et område ir 2. Men globalt ligner S 2 ikke en delmængde afr 2 - f.eks. er S 2 kompakt, men den har i modsætning til kompakte mængder ir 2 ikke nogen rand. Andre flader, man umiddelbart kan komme i tanke om, er en torus (overfladen af en vanilliekrans) og et Möbius-bånd. Man kan også se på grafen for en glat funktionr 2 R, eller overfladen af et omdrejningslegeme. Lad M være en flade ir 3. Vi vil til hvert punkt p M konstruere et todimensionalt vektorrum T p M, det såkaldte tangentrum i p. For hvert punkt p M kan vi diskutere de glatte kurver på M, der går igennem p. Vi ser altså på afbildningerγ : ( ǫ,ǫ) M med den egenskab afγ(0)= p, og vi antager at disse kurver, betragtet som afbildninger ( ǫ,ǫ) R 3, er differentiable. Tangentrummet T p M til M i punktet p, defineres som systemet af alle tangentvektorer til glatte kurver på M igennem p. Hvisγ : ( ǫ,ǫ) M er en glat kurve medγ(0)= p,

4 4 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger erγ (p) altså et element i tangentrummet T p M, og dette tangentrum består af alle de vektorer ir 3, der kan fås frem på denne måde. Det er klart at hvis v T p M, så vil også cv T p M for ethvert c R - man kan blot gennemløbe den kurve, der producerer v, i et lidt andet tempo. Det er derimod ikke klart at T p M er stabil overfor addition. Tager man to vektorer v 1 og v 2 i T p M, så ligger der under dem to kurver gennem p. Men man kan ikke lægge kurver sammen. Og det man skal producere, er en tredie kurve gennem p, en kurve hvis tangentvektor i p netop er v 1 + v 2. Man kan spekulere længe over hvordan det skal gøres. Og hvis spekulationerne skal krones med held, kræver det nok at man giver en præcis definition af hvad man egentlig mener med en flade. Men så er det faktisk muligt at vise at T p M er additiv, og dermed udgør et todimensionalt vektorrum afr 3. Man forestiller sig gerne det vektorrum siddende i punktet p som en tangentplan. Pointen med denne løsagtige indførsel af tangentrum til flader i rummet, er selve den geometriske indførsel af vektorrummet - det er en samling vektorer man får frem ved visse forholdvis veldefinerede, men ikke helt simple geometriske operationer. Disse operationer har et ikke-lineært skær over sig, så selve vektorrumsstrukturen af tangentrummet er et ikke-trivielt forhold. Hvis man indtager den holdning at alle disse tangentrum bare err 2, så misser man hele pointen. Tangentrummene hørende til M s punkter er netop forskellige vektorrum, med hver sin veldefinerede geometriske betydning. Eksempel 1.3 LadM n,n være mængden af n n-matricer. Disse matricer udgør et n 2 -dimensionalt vektorrum. Identificeringen afm n,n medr n2 opnås ofte ved hjælp af den såkaldte vec-operator, der for n = 2 virker på følgende måde: ( ) a a b c, c d b d hvor man har taget søjlerne i matricen og stablet ovenpå hinanden. Udfører man den modsatte operation, hvor man tager en n 2 -søjle, som man skærer i n mindre søjler, der derefter placeres ved siden af hinanden i en matrix, siger man gerne at man bruger stack-operatoren. Hvis man har en lineær afbildningr k R n, så er mange mennesker tilbøjelige til at identificere denne afbildning med en n k-matrix. Men hvad nu hvis man har en

5 1.1. Endeligdimensionale vektorrum 5 lineær afbildning L :R k M n,n? Eftersom sekundærrummet jo blot err n2, så kan L i princippet identificeres med en n 2 k-matrix. Men hvordan skal man forstå de enkelte koordinater i denne matrix? Man er nok nødt til at gøre det i praksis, før man ser hvor kompliceret det bliver. Lad os betragte den simple afbildning frar 2 ind im 2,2 givet ved x x y T, (1.2) hvor y er er fast vektor ir 2. Skrevet ud i koordinater, står der ( x1 x 2 ) x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 x 2 y 2. Udsættes billedmatricen for vec-operatoren, bliver afbildningen ( x1 x 2 ) x 1 y 1 x 2 y 1 x 1 y 2 x 2 y 2 = y y 1 y y 2 ( x1 x 2 ). Så nu har vi repræsenteret afbildningen (1.2) ved en matrix. Er det noget fremskridt? Det er svært at tro at der nogen, der ved et blik på den repræsenterende matrix, vil være i stand til at forstå hvad den lineære afbildning gør. Så matrix-repræsentationen af den lineære afbildning er her et regulært tilbageskridt i forhold til den simple og intutive form (1.2). Lineære afbildninger ind i rum af matricer eller mellem rum af matricer, er ikke spor eksotiske, de dukker op i mange sammenhænge, f.eks. i forbindelse med højere ordens afledede af flerdimensionale funktioner. Så man er nødt til at kunne forholde sig til dem. Og her er det i almindelighed et drastisk fejlgreb at insistere på at stable matricerne på højkant til vektorer, og repræsentere de lineære afbildninger ved store matricer, for koordinaterne i disse store matricer taber enhver geometrisk intuition. Det er langt at foretrække at holde sig til de oprindelige vektorrum, og fokusere på hvad de lineære afbildninger gør.

6 6 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger Indre produkter Et indre produkt på et vektorrumxer en afbildning, :X X R, der opfylder fem regneregler: 1) x 1, x 2 = x 2, x 1 for x 1, x 2 X 2) x 1 + x 2, x 3 = x 1, x 3 + x 2, x 3 for x 1, x 2, x 3 X 3) cx 1, x 2 =c x 1, x 2 for x 1, x 2 X, c R 4) x, x 0 for x X 5) x, x =0 x=0. Et indre produkt tillader os at tænke i baner af ortogonalitet, hvilket letter mange argumenter. Det giver også mulighed for en eksplicit formel for den inverse afbildning til koordinatafbildningen (1.1), hvis den anvendte basis er tilpasset det indre produkt, det vil sige hvis det er en ortonormalbasis. Vi benytter ofte indre produkter for at give gennemskuelige argumenter. Men som vi senere skal se, så adskiller forskellige indre produkter sig ikke synderligt fra hinanden, og konklusioner opnået ved at argumentere på ét indre produkt kan som regel smertefrit overføres til andre. PåR k vil vi som om regel arbejde med det sædvanlige indre produkt. På andre endeligdimensionale vektorrum kan man sagtens lave et indre produkt hvis man føler behov: til enhver basis e 1,...,e k findes der præcis ét indre produkt der gør e 1,...,e k til en ortonormalbasis. Eksempel 1.4 PåM n,n er det ofte naturligt at arbejde med det såkaldte sporprodukt givet ved A, B =Tr ( A T B ) for A, B M n,n. (1.3) At det vitterligt er et indre produkt ses nemmest ved at gange ud: A, B = n ( A T B) ii = n n a i j b i j. j=1 Sporproduktet af matricerne A og B er således det sædvanlige indre produkt pår n2, taget på vec(a) og vec(b). En alternativ måde at karakterisere sporproduktet på, er at observere atm n,n har en naturlig (for ikke at sige kanonisk) basis bestående af matricer hvor alle indgange er 0, bortset fra et enkelt sted hvor der står 1. Sporproduktet er det indre produkt påm n,n der får denne naturlige basis til at blive ortonormal. Både

7 1.2. Lineære afbildninger 7 tilgangen via vec-operatoren og tilgangen via den kanoniske basis form n,n er uhyre naturlige, men alligevel viser det sig at formlen (1.3) er den man vender tilbage til igen og igen. Bemærk at denne formel udnytter andre strukturer vedm n,n end de rene vektorrumsegenskaber. På baggrund af et indre produkt påxkan man konstruere en norm ud fra den velkendte formel x 2 = x, x for x X. Der findes mange normer der ikke fremkommer ved et underliggende indre produkt. Men de der gør, er nemme at arbejde med, igen fordi ortogonalitet giver anledning til meget intuitive geometriske ræsonementer - f.eks. i form at Pythagoras formel. En meget vigtig sammenhæng mellem det indre produkt og den tilhørende norm er Cauchy-Schwarz ulighed, x 1, x 2 x 1 x 2 for x 1, x 2 X, (1.4) hvor det indre produkt vurderes op ved hjælp af normer. Omvendt kan man have brug for at vurdere normer ved hjælp af indre produkter. Det gøres gerne ved hjælp af relationen x =sup{< x, x 1 > x 1 X, x 1 1}, (1.5) hvor den dene ulighed følger af Cauchy-Schwarz, og den anden ulighed følger af definitionen på normen. 1.2 Lineære afbildninger En afbildning L :X Y mellem to endeligdimensionale vektorrumxogyer lineær hvis 1) L (x 1 + x 2 )=L x 1 + L x 2 for alle x 1, x 2 X, 2) L (c x)=c L x for alle c R, x X. Når man diskuterer lineære afbildninger, skriver man gerne L x i stedet for L(x). Det kaldes multiplikativ skrivemåde. Skrivemåden udspringer formentlig af at mange mennesker tænker på lineære afbildninger i termer af matricer. Når man skriver L x tænker man sikkert nærmere på matrixmultiplikation end på afbildningsbegrebet. Vi

8 8 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger vil dog jævnligt bruge en anden notation, nemlig L x, der læses som L virkende på x. En række formler, ikke mindst analysens kæderegler, bliver nemmest at forstå hvis de udtrykkes i et virkningssprog. Eksempel 1.5 LadXogYvære to todimensionale underrum afr 3. Begge er måske givet ved en normalvektor, hhv. a og b. Afbildningen x b x, (hvor betyder vektorkrydsprodukt) afbilder da X over i Y. Regnereglerne for vektorkrydsproduktet giver at afbildningen er lineær. Afbildninger af denne type opstår i visse meget stiliserede fysiske problemer ( bevægelige ledere i et magnetfelt ), men for så vidt er afbildningen ikke så spændende. Pointen er at den er givet ved nogle geometriske operationer - koordinater formplumrer beskrivelsen, og der er ikke en matrix i syne. Eksempel 1.6 Lad M og N være to flader i rummet, og lad f : M N være en glat afbildning (vi vil ikke komme ind på hvornår en sådan afbildning er glat). Hvis p er et punkt på M, ogγ : ( ǫ,ǫ) M er en glat kurve på M medγ(0)= p, så er f γ en kurve på N gennem f (p), og dermed giver kurven på naturlig måde anledning til en vektor w=( f γ) (0) T f (p) N. Kurven gav selvfølgelig også anledning til en vektor v=γ (0) T p M. Hvisγ 1,γ 2 : ( ǫ,ǫ) M er to kurver med γ 1 (0)=γ 2 (0)= p, og hvis de giver anledning til samme tangentvektor i p, γ 1 (0)=γ 2 (0), så kan man vise at de transformerede kurver på N også giver anledning til samme tangentvektor i f (p), ( f γ 1 ) (0)=( f γ 2 ) (0). Denne påstand er ikke helt nem at vise. Men når man har vist det, tillader den os at definere en afbildning D f (p) : T p M T f (p) N ved følgende geometriske konstruktion: Lad v T p M være givet.

9 1.2. Lineære afbildninger 9 1) Find en kurveγ : ( ǫ,ǫ) M medγ(0)= p ogγ (0)=v. 2) Sæt D f (p)(v) := ( f γ) (0). Den konstruerede afbildning D f (p) kaldes gerne for den afledte af f i punktet p, og den er et fundamentalt studieobjekt, når man undersøger flader i rummet. Som vi var inde på i eksempel 1.2, er det ikke trivielt at addere tangentvektorer. Denne vanskelighed følger med, og det er ganske vanskeligt at se at D f (p) er lineær. Men det er den altså. På mange måder er D f (p) : T p M T f (p) N en meget bedre model for hvad lineære afbildninger er for noget, end den sædvanlige matrixmultiplikation. Det er en geometrisk konstruktion, helt fri for matricer og koordinater: den fortæller eksplicit hvordan vektorer i et vektorrum hver især skal afbildes over i vektorer i et andet vektorrum. Både primærrum og sekundærrum er for så vidt todimensionale. Men man må alligevel se på dem som forskellige vektorrum (tangentvektorer til to forskellige flader, i to forskellige punkter). Derfor nytter det ikke noget at ville identificere dem begge medr 2, og at ville udtrykke D f (p) som en matrix. Eller rettere sagt: sådanne identificeringer kan godt være hensigtmæssige i forskellige beregningsmæssige trin, men de repræsenterer ikke den fulde sandhed, man skal hele tiden være opmærksom på at der ligger andet bag end koordinater og matricer. Og generelle resultater bør formuleres koordinatfrit - for kun i så fald kan man fastholde den geometriske intuition. Eksempel 1.7 Lad A være en n n matrix, og betragt afbildningen F A :M n,n M n,n givet ved F A X=A T X A for X M n,n. (1.6) Det er elementært at checke efter at F A er lineær. Hvis vi bruger vec- og stackoperatorerne til at at identificerem n,n medr n2, så kan F A naturligvis udtrykkes ved en n 2 n 2 -matrix. Koordinaterne i denne matrix er udtryk for koordinaterne i A, men disse udtryk er ingenlunde gennemskuelige. Hvis n = 2 og ( a b A= c d ),

10 10 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger så kan man - ved tilstrækkelig ihærdighed - vise at a 2 ac ac c 2 ab ad bc cd vec F A X= vec X. ab bc ad cd b 2 bd bd d 2 Og dermed har vi repræsenteret den lineære afbildning F A med 4 4-matricen a 2 ac ac c 2 ab ad bc cd. ab bc ad cd b 2 bd bd d 2 Man kan godt begynde at lede efter strukturer i denne matrix - man kan for eksempel dele den op i blokke, og se at den kan skrives ( a A T c A T ) b A T c A T. Men grundlæggende er den oprindelige dynamiske formulering (1.6) af den lineære afbildning langt simplere og mere begribelig end matrixformuleringen. Eksempel 1.8 Ikke alle afbildninger givet ved matrixoperationer er lineære. Formlen (1.6) i eksempel 1.7 definerer således for hvert fast A M n,n en lineær afbildning F A fram n,n ind i sig selv. Det vil sige at vi kan opfatte F som en afbildning F :M n,n Lin(M n,n,m n,n ), hvor sekundærmængder er rummet af lineære afbildninger afm n,n ind i sig selv (se eventuelt næste afsnit). Set på denne måde er F ikke lineær. Vi kan sammenligne F A+B med F A + F B ved at se hvordan de virker på n n matricer: F A+B X= (A+B) T X (A+ B)= A T X A+A T X B+ B T X A+ B T X B = F A X+F B X+A T X B+ B T X A Hvis vi blot kan finde én eneste matrix X så restleddet A T X B+ B T X A er forskellige fra nul-matricen, så er F A+B forskellig fra F A + F B. Og hvis vi blot kan finde to matricer A og B og et X så restleddet er forskelligt fra nul-matricen, så er F ikke lineær. Et sådant modeksempel til linearitet kan f.eks. opnås ved at lade A, B og X være enhedsmatricen.

11 1.2. Lineære afbildninger Rummet af lineære afbildninger Rummet af alle lineære afbildninger fraxtilykaldes Lin(X,Y). Hvis vi har to afbildninger L, S Lin(X,Y) defineres summen L+S som en afbildningx Y ved (L+S )(x)=l x+s x, for alle x X. Og for L Lin(X,Y) og c R defineres c L ved (c L)(x)=c L x, for alle x X. Det ses let at såvel L+S som c L selv er lineære. Med disse punktvise definitioner bliver Lin(X,Y) selv et vektorrum. Lemma 1.9 Lad X og Y være endeligdimensionale vektorrum. Da er Lin(X, Y) også et endeligdimensionalt vektorrum, og dim Lin(X,Y)=dimX dimy. BEVIS: Lad e 1,...,e n være en basis forx, og lad f 1,..., f m være en basis fory. Der findes for,...,n og j=1,...,m en entydigt bestemt lineær afbildning L i j der opfylder at f j hvis l=i L i j (e l )= 0 ellers. Man viser let at disse afbildninger L i j er et frembringersystem for Lin(X,Y) og er linært uafhængige. Hvis X og Y er normerede vektorrum, definerer vi en norm på Lin(X, Y) ved at sætte L =sup{ L x x 1} for L Lin(X,Y). Vi omtaler gerne L som operatornormen af L. Principielt kunne man forestille sig at denne norm bliver uendelig for visse lineære afbildninger. Og det er da også et reelt forekommende problem, hvis de indgående vektorrum er uendeligdimensionale. Men så længe vi holder os til endeligdimensionale vektorrum, gælder følgende:

12 12 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger Lemma 1.10 Lad X og Y være endeligdimensionale, normerede vektorrum. Da er Endvidere er en norm på Lin(X, Y). L < for alle L Lin(X,Y). BEVIS: Den eneste af disse påstande, der ikke er triviel, er påstanden om at operatornormen altid er endelig. Det kan man komme med mere eller mindre indviklede argumenter for - her er et, der ikke kræver en identificering af X og Y med euklidiske rum. Lad e 1,...,e k være en basis forx. Vi kan da indføre k k a i e i = a i. Det eftervises let at er en norm påx, og da alle normer er ækvivalente, findes der en konstant C så x C x for alle x X. Hvis vi ser på x= i a i e i får vi at Lx = Heraf slutter vi at k a i Le i k a i Le i max { Le 1,..., Le k } k a i. L max { Le 1,..., Le k } C. Vi kan muligvis ikke sige alverden om størrelsen af denne øvre grænse, men den er i hvert fald endelig. I uendeligdimensionale sammenhænge er man nødt til at gøre et stort nummer ud af at skelne mellem begrænsede lineære afbildninger (de lineære afbilninger L, der opfylder at L < ) og de ubegrænsede (som er dem med uendelig norm ). En lineær afbildning L Lin(X, Y) opfylder automatisk at L x L x for alle x X, og dermed L x 1 L x 2 L x 1 x 2 for alle x 1, x 2 X. En lineær afbildning L opfylder således altid en Lipschitz-betingelse med L som Lipschitz-konstant. Specielt er lineære afbildninger kontinuerte.

13 1.2. Lineære afbildninger 13 Lemma 1.11 Lad X, Y og Z være normerede, endeligdimensionale vektorrum. For L Lin(X,Y) og S Lin(Y,Z) gælder at S L S L. (1.7) BEMÆRK: Her skal S L forstås som sammensætningen af de to lineære afbildninger. Det er igen en multiplikativ skrivemåde, der anvendes for lineære afbildninger, i stedet for den mere traditionelle notation S L. Uligheden (1.7) formuleres ofte på den måde at operatornormen er submultiplikativ. BEVIS: For hvert x med x 1 har vi at (S L) x = S (L x) S L x S L, hvor vi har brugt S opfylder en Lipschitz-betingelse. Et forhold, der nogle gange fører til skrig og skrål, er at operatornormen på Lin(X, Y) er snævert knyttet op på normerne på de indgående rumxogy. Hvis man skifter normer på de underliggende rum, så ændrer man operatornormen. Hvis man udstyrer R k med normen 2, så fører det til én operatornorm på Lin(R k,r k ). Og hvis man udstyrerr k med normen, så fører det til en anden operatornorm på Lin(R k,r k ). Og her undlader vi helt at komme ind på de problemer, der måtte opstå, hvis man skulle få den ide at udstyre de to kopier afr k med hver sin norm... Det er sådan set ikke vanskeligt at forstå dette forhold. Men problemet er at det ikke afspejles i notationen. Hvis man begynder at sætte fodtegn på operatornormstregerne, skal man være meget omhyggelig med at forklare hvad man mener, for der vil være alle muligheder for misforståelser. I almindelighed forventes læseren selv at kunne holde styr over hvilke underliggende normer, en operatornorm skal forstås i forhold til. Og heldigvis vil to operatornormer jo altid være ækvivalente, når de underliggende rum er endeligdimensionale, så forvirringen er mest på det formelle plan: for de opnåede resultater, er det typisk lige meget hvilken operatornorm man refererer til. Nogle gange er det nyttigt at udstyre Lin(X,Y) med et indre produkt. Hvis bådex ogyhar et indre produkt, og hvis e 1,...,e k er en ortonormalbasis forx, så kan vi sætte k A, B = Ae i, Be i for A, B Lin(X,Y). (1.8)

14 14 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger Denne konstruktion er tæt beslægtet med sporproduktet påm n,n. Man kan vise at, ikke afhænger af det præcise valg af den ortonormale basis der indgår i konstruktionen, men den afhænger dog af valget af indre produkter. Normen associeret med, kaldes Hilbert-Schmidt normen. I almindelighed er Hilbert-Schmidt normen og operatornormen ikke ens Det duale rum tilx Et specielt rum af lineære afbildninger optræder så ofte at det har fået et specielt navn: Det er rummet af lineære afbildninger fra X over i det etdimensionale vektorrum R, skrevet Lin(X,R). Det kaldes det duale vektorrum tilx, og skrives gernex. Det følger af lemma 1.9 at det duale rumx har samme dimension somx. Vi kan eksplicit identificerex medxhvisxer udstyret med et indre produkt,. For hver vektor v X kan vi producere en lineær afbildning X R ved L v x= x, v for x X. (1.9) Vi ser at v L v er en afbildningx X, og denne afbildning er tydeligvis lineær. Hvis L v = L w, så er x, v w =0 for alle x, og det følger af (1.5) at v w=0. Dermed er v L v injektiv. Vi kan også nemt vise at den er surjektiv: Lad e 1,...,e k være en ortonormalbasis forx, og lad L X. Vi har da at k k k L(x)=L x, e i e i = x, e i L(e i )= x, L(e i )e i Vi ser således at L=L v hvor v= k L(e i )e i. Dermed er v L v en isomorfix X. Det følger oven i købet af Cauchy-Schwarz at nårx udstyres med operatornormen, så er v L v en isometri. Det er således fuldstændigt naturligt at identificere et rumxmed dets duale rumx ved hjælp af isomorfien v L v. Men det er lige så ofte nyttigt at holde begreberne adskilt. Bemærk at isomorfien v L v afhænger af det indre produkt. Har man flere indre produkter påx, svarer de til hver sin isomorfi mellemxogx - et forhold, det godt kan afstedkomme en vis forvirring.

15 1.2. Lineære afbildninger Matricer En k m-matrix A=(a i j ),...,k, j=1,...,m en er organisation af km reelle tal i et kvadratisk skema, a 11 a a 1m a 21 a a 2m A= a k1 a k2... a km Skal man være meget formel, kan man eventuelt sige at en k m-matrix er er afbildning{1,...,k} {1,...,m} R. Men skønt denne beskrivelse formelt set er korrekt, rammer den alligevel en smule ved siden af: den egentlige brug af matricer er snævert knyttet til deres grafiske fremtræden som talskemaer. Vi kalder gerne de enkelte tal i skemaet for matricens koordinater eller felter. Systemet af alle k m-matricer kalderm k,m. Hvis vi indfører addition plads for plads og skalar multiplikation plads for plads, ser vi atm k,m er et vektorrum. Tydeligvis er dimensionen afm k,m lig med km. Visse matricer kan ganges sammen: Hvis A er en k m-matrix, og B er en m n-matrix, så defineres matrixproduktet C = A B som k n-matricen med koordinater m c i j = a il b l j l=1 for,...,k, j=1,...,n. Matrixmultiplikation opfylder en lang række pæne regneregler - men den kommutative lov hører ikke til iblandt dem. Hvis A og B begge er m m-matricer, vil begge produkter A B og B A være veldefinerede m m-matricer. Men de vil typisk være forskellige. Det er ganske naturligt at identificerer k med rummetm k,1 af k 1-matricer - det vil faktisk kræve en betydelig ihærdighed at sondre mellem en k-vektor og en k-søjle. Så lad os da foretage denne identificering. Men vi holder til gengæld fanen højt på den anden led, og undlader at identificere k-vektorer med k-rækker. En k m-matrix A giver anledning til en lineær afbildning L A :R m R k, givet ved L A x= A x, x R m.

16 16 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger For at læse alle detaljer i denne definition højt: x er et m-tuppel, og oversættes straks til en m 1-matrix. Denne matrix multipliceres med A, og resultatet bliver en k 1- matrix. Der tilbageoversættes til et k-tuppel. Regnereglerne for matrixmultiplikation sikrer at L A bliver lineær. Ser vi på A L A, har vi konstrueret en afbildningm k,m Lin(R m,r k ). Denne afbildning ses let at være lineær og injektiv, og af dimensionsgrunde er den derfor en isomorfi. Faktisk er den også multiplikativ, i den forstand at L A L B = L A B, når sammensætningerne og matrixprodukterne giver mening. Denne isormorfi tages uhyre alvorligt i brede kredse, i en grad så det er en almindelig opfattelse at en lineær afbildning er en matrix, og at sammensætning af lineære afbildninger er matrixmultiplikation. I indledningen har vi skitseret et antal eksempler på hvor uhensigtsmæssig et sådant synspunkt er: den kraftige fokus på det kvadratiske talskema forhindrer at man kan få en ordentlig forståelse af lineære afbildninger ind i rum af lineære afbildninger eller ind i rum af matricer, for den sags skyld. Og sådanne afbildninger er vitterligt nødvendige at kunne arbejde med. Og der bliver noget helt arbitrært over de matricer, man kan få til at repræsentere lineære afbildninger mellem vektorrum, der ikke a priori er identificeret med euklidiske rum. Forholdet mellem matricer og lineære afbildninger beskrives udmærket i antonymerne passiv/aktiv. En lineær afbildning er et aktivt objekt, det er en operation der flytter vektorer fra et rum til et andet - eller fra et rum til sig selv, hvis det skal være. Essensen af den lineære afbildning er hvad den gør ved vektorerne. En matrix er på den anden side et dødt, fladt talskema. Det gør ingen verdens ting, det står bare og fylder op på papiret. Man kan tænke på afbildningen A L A som en aktivering af talskemaet. Tilsvarende kunne man opfatte den operation, hvor man repræsenterer en lineær afbildningr m R k med en k m-matrix som en fiksering af den lineære afbildning. Billedlig talt svarende til hvad der sker når en sommerfugleentusiast sætter en nål igennem sit studieobjekt - så er det slut med at flagre rundt! Skulle man have lyst til at foretage denne fiksering, er den for så vidt ikke vanskelig. Vi får brug for at udstyre de euklidiske rum med de sædvanlige indre produkter, og

17 1.2. Lineære afbildninger 17 med de kanoniske baser. Den kanoniske basis forr k er e 1 =. 0, e 2 =. 0,..., e k = Lemma 1.12 Lad L :R m R k være en lineær afbildning. Definer k m-matricen A ved a i j = e i, L f j for,...,k, j= 1,...,m, hvor e 1,...,e k og f 1,..., f m er de kanoniske baser for hhv.r k ogr m. Matricen A repræsenterer L i den forstand at L=L A. BEVIS: Udnyt at x= m x, f j f j for alle x R m, y= j=1 k y, e i e i for alle y R k. Check efter at L og L A virker ens på alle vektorer! Eller eventuelt blot på vektorerne i den kanoniske basis. Et område, hvor der er rig lejlighed til at påvise den konceptuelle forskel mellem matricer og lineære afbildninger, er i spørgsmålet om normer. Det er næsten umuligt at udtrykke operatornormen L A ved hjælp af tallene i talskemaet A. Det kan lade sig gøre at opstille formler i 2 2-tilfældet, men resultatet er ikke kønt. Og for større matricer, er det regulært umuligt. Til gengæld kan der lægges læssevis af normer påm k,m ved at udnytte at dette rum jo blot er en speciel måde at repræsenterer km på. Vi kan f.eks. indføre 1/2 2 A 1 = a i j, A 2 = a i j, A = max a i j. i, j i, j i, j Disse normer kan være nyttige i visse sammenhænge, ikke mindst kan de være simple at regne ud i konkrete tilfælde. Men de siger stort set intet om den lineære afbildning L A, og dens dynamiske opførsel.

18 18 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger I hvert fald ikke i andet end den primitive forstand at alle normer på et givet endeligdimensionalt vektorrum er ækvivalente. Så en følge af lineære afbildninger L 1, L 2,... går mod nul i operatornorm hvis og kun hvis følgen af repræsenterende matricer A 1, A 2,... går mod nul i en hvilken som helst af ovenstående matrixnormer Adjungerede afbildninger HvisXogYer udstyrede med indre produkter, så findes der for hver lineær afbildning L :X Y en entydigt bestemt lineær afbildning L :Y X, der opfylder at Lx, y = x, L y for alle x X, y Y. Denne afbildning kaldes gerne den adjungerede afbildning til L. Eksistensen af den adjungerede afbildning kan bevises på følgende måde: for hvert fast y Y er afbildningen x Lx, y en lineær afbildningx R. Sådan en afbildning repræsenteres ifølge afnsit af en vektor v y X, så Lx, y = x, v y. Afbildningen y v y er naturligvis en afbildningy X, så tilbage står kun at checke efter, at denne afbildning er lineær. Og det er relativt trivielt: additiviteten følger således af følgende regning: x, v y1 +y 2 = Lx, y 1 + y 2 = Lx, y 1 + Lx, y 2 = x, v y1 + x, v y2 = x, v y1 + v y2. Når det gælder for alle x, må de tox-vektorer v y1 +y 2 og v y1 + v y2 være ens. Konstruktionen af den adjungerede afbildning er knyttet nøje op på valget af indre produkter. Skifter man indre produkt på et eller begge rum, så ændrer man den adjungerede afbildning. Men så længe man holder fast i de indre produkter, kan begrebet være ganske nyttigt. Man kan se på -operationen som en afbildning Lin(X,Y) Lin(Y,X). Det er let at se at den er lineær, (A+B) = A + B for alle A, B Lin(X,Y), (c A) = c A for alle A Lin(X,Y), c R,

19 1.2. Lineære afbildninger 19 at den er involutorisk, ( A ) = A for alle A Lin(X,Y), og antimultiplikativ, (A B) = B A for alle A Lin(Y,Z), B Lin(X,Y). Af involutionsegenskaben følger at -operationen er såvel injektiv som surjektiv, så vi kan se på -operationen som en isomorfi mellem Lin(X, Y) og Lin(Y, X). Faktisk er det også en isometri: der gælder det relativt dybsindige resultat at A A = A 2 for alle A Lin(X,Y). (1.10) Dette resultat går ofte under navnet C -identititen, i hvert fald nårx=y. Kombineres med det forhold at operatornormen er submultiplikativ, får vi at A 2 = A A A A, og forkortes den ene A -faktor væk, står der at A A. Men involutionsegenskaben betyder at denne ulighed indeholder den modsatte ulighed: Og derfor er en isometri. A = ( A ) A. Eksempel 1.13 Hvis vi udstyrerr k ogr m med de sædvanlige indre produkter, så kan vi let finde den adjungerede afbildning til en lineær afbildning L A :R k R m, repræsenteret af m k-matricen A. For x R k og y R m, se vi at L A x, y = m (L A x) j y j = j=1 m k a ji x i y j= j=1 k m x i a ji y j = x, L A T y, j=1 hvor L A T er den lineære afbildning, der repræsenteres af A s transponerede matrix A T. Så en operator svarer til sin adjungerede på samme måde som en matrix svarer til sin transponerede.

20 20 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger 1.3 Bilineære afbildninger HvisX,Y ogzer tre vektorrum, siges en afbildning B : X Y Z at være bilineær hvis 1) For hvert fast y Yer x B(x, y) en lineær afbildningx Z. 2) For hvert fast x Xer y B(x, y) en lineær afbildningy Z. Rummet af bilineære afbildninger frax Y Z betegnes Bil(X,Y;Z). Ved de sædvanlige punktvise definitioner, ser vi let at Bil(X,Y;Z) er et vektorrum. En bilineær afbildning B :X X Z (bemærk: definitionsmængden er et produkt af to identiske faktorer) er symmetrisk hvis B(x 1, x 2 )=B(x 2, x 1 ) for alle x 1, x 2 X. Bilineære afbildninger B :X Y R omtales gerne som bilinearformer fremfor bilineære afbildninger. Bemærk atx Y selv er et vektorrum. En afbildning B :X Y Z har derfor i princippet mulighed for at være såvel lineær som bilineær, og man kan derfor spørge om hvilke afbildninger, der opfylder begge krav. Lemma 1.14 Hvis B :X Y Z er såvel lineær som bilineær, så er B(x, y)=0 for alle x X, y Y. BEVIS: Bilinearitet gør at B(x, 0)=B(x, 0 y)=0 B(x, y)=0 for alle x X. Det indgående y betyder blot et eller andety-element - det kunne for eksempel være nul-vektoren, men det spiller faktisk ingen rolle. Helt tilsvarende viser man naturligvis at B(0, y)=0 for alle y Y. Hvis vi nu skriver (x, y)=(x, 0)+(0, y),

21 1.3. Bilineære afbildninger 21 får vi, ved at bruge lineariteten af B, at B(x, y)= B(x, 0)+ B(0, y)=0+0=0 for alle x X, y Y. Vi kan således slå fast at linearitet på et produktrum og bilinearitet er to vidt forskellige begreber. Man kan formalisere en vis sammenhæng ved hjælp af begrebet tensorprodukt, men det ligger ud over hvad vi vil beskæftige os med her. Eksempel 1.15 Det simpleste eksempel på en bilineær afbildning er reel multiplikation. Vi ser på afbildningenr 2 R givet ved at (x, y) xy. At denne afbildning opfylder betingelserne for at være bilineær, ligger i de sædvanlige associative, kommutative og distributive regneregler. Bemærk at denne specielle bilineære afbildning er symmetrisk. Eksempel 1.16 Matrixmultiplikation er bilineær. Vi taler altså om afbildningen M nk M km M nm givet ved at (A, B) A B. Man checker let de nødvendige betingelser efter. Bemærk at selv om n=k=m, så er matrixmultiplikation ikke symmetrisk (medmindre den fælles værdi af dimensionerne er 1). Eksempel 1.17 For A, B M n,n kan vi definere en lineær afbildning fram n,n til sig selv ved H A,B X=A X B T for X M n,n. Løfter vi blikket en anelse, ser vi at vi på denne måde har defineret en afbildning H :M n,n M n,n Lin(M n,n,m n,n ). Det følger let af regnereglerne for matrixmultiplikation at H er bilineær. Man skriver sædvanligvis A B for den lineære afbildning H A,B, og man taler om tensorproduktet af A og B. Disse tensorprodukter spiller en stor rolle i analysen af f.eks. flerdimensionale normalfordelingsmodeller, og eftersom man sjældent ser forfattere, der virkelig har styr over formalia, fører det gerne til notationsmæssige mareridt, hvor man insisterer på at se på et tensorprodukt som et firevejsskema mast fladt, så det kan være i to dimensioner.

22 22 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger Eksempel 1.18 Lad X og Y være endeligdimensionale vektorrum med indre produkter. For x Xog y Ykan vi indføre en afbildning x y :X Y Rved x y (x, y )= x, x y, y for x X, y Y. Det er let at se at x y er bilineær. Eksempel 1.19 Sammensætning af lineære afbildninger er bilineær. Vi taler altså om afbildningen Lin(Y,Z) Lin(X,Y) Lin(X,Z) (bemærk rækkefølgen af de indgående rum) givet ved (L, S ) L S. Eftersom sammensætning af lineære afbildninger svarer til matrixmultiplikation, er det essentielt samme eksempel som det foregående. Selv om de tre vektorrum X, Y og Z skulle være ens (eller isomorfe), er sammensætning af lineære afbildninger sædvanligvis ikke symmetrisk. Eksempel 1.20 Endnu en variant af det samme princip er evalueringsafbildningen givet ved ev : Lin(X,Y) X Y, ev(l, x)=l x, for L Lin(X,Y), x X. For fast L er x L x lineær per definition, og for fast x er L L x lineær, fordi vektorrumsoperationerne på Lin(X,Y) er defineret punktvist. Altså er evalueringsafbildningen bilineær. Til enhver k m-matrix A findes en associeret bilineær afbildning B A :R k R m R givet ved B A (x, y)= x T A y for x R k y R m. For at læse højt: i denne definition identificeres k-vektoren x med en k 1-matrix, mens m-vektoren y identificeres med en m 1-matrix. Disse matricer udsættes for manipulationerne på højre side af lighedstegnet, og ud kommer en 1 1-matrix, der identificeres med et reelt tal. Regnereglerne for matrixprodukter medfører at denne afbilning vitterligt er bilineær. Evt. kan man skrive defintionen op i koordinater: B A (x, y)= k m x i a i j y j. j=1

23 1.3. Bilineære afbildninger 23 Lemma 1.21 Lad B :R k R m R være en bilineær afbildning. Definer k mmatricen A ved a i j = B(e i, f j ) for,...,k, j=1,...,m. Her er e 1,...,e k og f 1,..., f m de kanoniske baser for hhv.r k ogr m. Matricen A repræsenterer B i den forstand at B= B A. BEVIS: Udnyt at x= m x, f j f j for alle x R m, y= j=1 k y, e i e i for alle y R k. Check efter at B og B A virker ens på alle par af vektorer! Eller eventuelt blot på vektorerne i de kanoniske baser. Det er afgørende for dette resultat at de bilineære afbildning har værdier i det etdimensionale rum R. En bilineær afbildning med flerdimensionale værdier kan ikke repræsenteres på denne måde - med mindre man er parat til at inddrage tredimensionale matricer! Det er man typisk ikke villig til, for hele pointen med matricer er netop den overskuelighed, som den flade, grafiske fremtræden giver. Men selv om man holder sig til bilinearformer, giver resultatet rigelige muligheder for forvirring. Vi har identificeret matricer med lineære afbildninger. Vi kan nu i- dentificere matricer med bilinearformer. Og vi har lige vist at bilinearformer ikke er lineære! Der er ikke nogen modstrid i disse resultater, kun (tilstræbt) paradoksale formuleringer. Hvis vi tænker på en k m-matrix som en lineær afbilning, er der tale om en afbildningr m R k. Når vil tænker på matricen som en bilineær afbildning, er der tale om en afbildningr k R m R. Faktisk hænger de to afbilninger nøje sammen, idet B A (x, y)= x, L A y for alle x R k, y R m, hvor, er det sædvanlige indre produkt pår k. Denne sammenhæng antyder til gengæld en sammenhæng mellem lineære og bilineære afbildninger, der har vidtrækkende betydning:

24 24 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger Lemma 1.22 Rummet af lineære afbildninger X Lin(Y, Z) er som vektorrum isomorft med Bil(X,Y;Z). I formler: Lin ( X, Lin(Y,Z) ) Bil(X,Y;Z). Isomorfien er givet ved at en lineær afbildning L :X Lin(Y,Z) sendes over i en bilineær afbildning B L ved konventionen B L (x, y)=l(x)(y). (1.11) BEVIS: Bemærk at for givet x er L(x) en lineær afbildningy Z. Det giver derfor mening at tage denne lineære afbildning på et konkret y, og derved fås et element i Z. Vi kan således konstatere at B L er en veldefineret afbildningx Y Z. Man checker let efter ved mekanisk regneri at B L er bilineær for hvert L, og at afbildningen L B L er en lineær afbildning. Tilbage står at undersøge om denne lineære afbildning er en isomorfi. Men det følger hvis vi kan producere den inverse afbildning. Og det er sådan set klart hvordan den inverse skal se ud: hvis B er en bilineær afbildningx Y Z, så har vi for fast x at y B(x, y) er en lineær afbildningy Z. Hvis vi skriver denne afbildning som B(x, ), ser vi dernæst at x B(x, ) er en lineær afbildning X Lin(Y, Z). Vi har således produceret en afbildning, der sender bilineære afbildninger over i lineære afbildninger ind i rum af lineære afbildninger, altså netop den modsatte vej af den måde L B L virker. Man checker let efter at de to afbildninger er inverse til hinanden. Første gang man støder på fænomenet lineære afbildninger ind i rum af lineære afbildninger, giver det anledning til to ganske modsatrettede reaktioner: dels virker det skræmmende abstrakt, og ikke som noget man har lyst til at skulle beskæftige sig med. Og dels virker det ganske trivielt, eftersom Lin(Y,Z) jo selv blot er et endeligdimensionalt vektorrum. Det tager en hel del tilvænning at forlige disse reaktioner - man bliver gerne ved med at skifte mellem de to yderpunkter ganske længe. Sagen er at lineære afbildninger ind i rum af lineære afbildninger ikke er noget eksotisk - denne type objekter dukker op af sig selv i mangfoldige sammenhænge, ikke

25 1.3. Bilineære afbildninger 25 mindst i forbindelse med differentialregning i flere variable. Og derfor er man tvunget til at vænne sig til dem. Lemma 1.22 er en stor hjælp i tilvænningsprocessen, fordi bilineære afbildninger ikke virker nær så skræmmende - her er ingen funktionsrum involveret. Lemmaet forklarer på den anden side hvorfor fænomenet lineære afbildninger ind i rum af lineære afbildninger bliver ved med at mystificere: Hvis man arbejder med en mekanisk oversættelse af lineære afbildninger til matricer, så vil man oversætte en lineær afbildningr n Lin(R k,r m ) til en lineær afbildningr n M mk. Matrixrummet er m k-dimensionalt, så i princippet kan denne afbildning repræsenteres ved en (m k) n-matrix. Problemet er at ingen kan finde ud af at skrive denne store matrix fornuftigt op, uanset hvor meget de øver sig. De virkelige dimensioner i problemet relaterer sig til et trevejsskema, ikke til et tovejsskema. Og når man forsøger at presse et trevejsskema fladt, så får man et tovejsskema, der ikke umiddelbart kan aflæses. Den eneste måde at undgå denne evigt genkommende mystificering på, er at forlade forestillingen om at lineære afbildninger er det samme som matricer. Lineære afbildninger er det fundamentale objekt. Nogle gange kan lineære afbildninger studeres ved hjælp af matricer, men lige så ofte er matricer en hindring i stedet for en hjælp. Hvis de tre vektorrum X, Y og Z alle tre har en norm, så kan man udstyre Bil(X,Y;Z) med en operatornorm ved definitionen B =sup{ B(x, y) x 1, y 1} for B Bil(X,Y;Z). Det kræver en vis indsats (analogt med indsatsen i lemma 1.10) at se efter at der virkelig er tale om en norm. Men bilinearitet sikrer at B(x, y) B x y for alle x, y. (1.12) Man kan vise at isomorfien i lemma 1.22 faktisk er en isometri med denne konvention - underforstået: når Lin(Y, Z) er udstyret med operatornormen, og når Lin(X, Lin(Y, Z)) er udstyret med den herudfra konstruerede operatornorm. Et specielt eksempel på denne isometri, får man når man starter med en k m-matrix A: den hertil hørende lineære afbildning L A :R m R k har en vis operatornorm, ligesom den associerede bilineære afbildning B A :R k R m R har en vis operatornorm. Isometrien sikrer at L A = B A.

26 26 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger En symmetrisk bilinearform B : X X R siges at være positivt semidefinit, skrevet B 0, hvis B(x, x) 0 for alle x X, og positivt definit, skrevet B > 0, hvis B(x, x)>0 for alle x X, x 0. For en symmetrisk bilinearform B A pår k, repræsenteret af en matrix A, kan disse begreber formuleres i termer af A s egenværdier: B A er positivt semidefinit hvis alle A s egenværdier er ikke-negative, og B A er positivt definit hvis alle A s egenværdier er strengt positive. Lemma 1.23 LadXvære et normeret vektorrum, og lad F :X X R være en symmetrisk og positivt definit bilinearform. Der findes etǫ> 0 sådan at det for alle symmetriske bilinearformer G :X X R gælder at hvis G F <ǫ, så må G være positivt definit. BEVIS: Da F er positivt definit, er F(x, x)>0 for alle x X med x =1. Da{x x =1} er afsluttet og begrænset og derfor kompakt, må den kontinuerte funktion x F(x, x) antage et minimum over denne mængde. Dette minimum er ikke nul, og der findes derfor etλ>0 sådan at F(x, x) λ for alle x Xmed x =1. Men dermed er F(x, x)= x 2 F ( ) x x, x λ x 2 x for alle x 0, og såmænd også for x = 0, i det begge sider af uligheden i så fald er nul. Hvis F G < λ 2, så er G(x, x)=f(x, x)+ G(x, x) F(x, x) λ x 2 F G x 2 λ 2 x 2 for alle x X, hvilket viser at G er positivt definit.

27 1.4. Multilineære afbildninger Multilineære afbildninger En naturlig videreudvikling af bilinearitetsbegrebet får man ved at studere afbildninger fra et større produktrum, M :X 1... X k Y. Hvis en sådan afbildning er lineær i hver af de k koordinater for sig, taler man om en k-lineær afbildning. Eller blot multilineær, hvis man underforstår k et. Systemet af alle k-lineære afbildninger frax 1... X k tilykaldes Lin k (X 1,...,X k ;Y), og udgør naturligvis et endeligdimensionalt vektorrum. En k-lineær afbildning M :X... X Y (bemærk: definitionsmængden er et produkt af identiske faktorerer) er symmetrisk hvis M(x 1,..., x k )= M(x σ(1),..., x σ(k) ) for alle x 1,..., x k Xog alleσ S k, hvors k er systemet af permutationer af tallene 1, 2,...,k. Lemma 1.24 Rummet af lineære afbildningerx 1 Lin k 1 (X 2,...,X k ;Y)) er som vektorrum isomorft med Lin k (X 1,...X k ;Y). I formler: Lin ( X 1, Lin k 1 (X 2,...,X k ;Y) ) Lin k (X 1,...,X k ;Y). Isomorfien er givet ved at en lineær afbildning M :X 1 Lin k 1 (X 2,...,X k ;Y) sendes over i en k-lineær afbildning M ved konventionen M(x 1,..., x k )=L(x 1 )(x 2,..., x k ). Lineære afbildninger ind i rum af k 1-lineære afbildninger optræder i visse sammenhænge, ikke mindst i forbindelse med højere ordens afledede af flerdimensionale funktioner. Det følger af lemma 1.24 at man kan tænke på sådanne afbildninger som om de er k-lineære.

28 28 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger 1.5 Vektorrumsintegraler Vi vil i dette afsnit diskutere hvad det vil sige at integrere funktioner fra et målrum (X, E, µ) ind i et endeligdimensionalt normeret vektorrum Y - eller ækvivalent dermed: hvad skal vi mene med middelværdien af en stokastisk variabel Y med værdier iy. For at gøre diskussionen så simpel som muligt, antager vi atyer udstyret med et indre produkt. Definition 1.25 Hvis f : (X,E,µ) Y er målelig og opfylder at f dµ<, så er f integrabel. Vi definerer i denne situation integralet f dµ som det entydigt bestemt element iyder opfylder at f (x) dµ(x), v = f (x), v dµ(x) for alle v Y. (1.13) Definition 1.25 hævder at der højst er et element i Y der opfylder (1.13). Det er klart, for hvis der var flere, kunne man trække to af dem fra hinanden, og på den måde opnå ety-element, der stod ortogonalt på alley-vektorer. Et sådant element må være nul, svarende til at de toy-elementer, der opfylder (1.13), er ens. Omvendt hævder definition 1.25 at der er et element iyder opfylder (1.13). Man kan producere dette element helt eksplicit, ved at vælge en ortonormalbasis e 1,...,e k fory, og sætte k f (x) dµ(x)= f (x), e i dµ(x) e i. (1.14) Alle de reelle integrander x f (x), e i er integrable på grund af Cauchy-Schwarz ulighed, så højre side af (1.14) giver god mening. Og man ser at den opfylder (1.13): k f (x), e i dµ(x) e i, v = k f (x), e i e i, v dµ(x)= f (x), v dµ(x). Formel (1.14) viser at hvisy=r k (og er udstyret med det sædvanlige indre produkt) så svarer definition 1.25 ganske nøje til den sædvanlige definition, hvor man integrerer enr k -funktion ved at integrere koordinat for koordinat.

29 1.5. Vektorrumsintegraler 29 Det er relevant at vide at definitionen faktisk ikke afhænger af det indre produkt - det indgår kun som en bekvem måde at skrive den definerende relation op på. Hvis, er endnu et indre produkt, så findes der en lineær afbildning A : Y Y så y 1, y 2 = y 1, Ay 2 for alle y 1, y 2 Y. Heraf ser vi let at hvis (1.13) opfyldes med det ene indre produkt, opfyldes relationen også med det andet. Hvis Y er et rum af lineære afbildninger, Y = Lin(Z, W), så vil integralet f (x) dµ(x) også være en lineær afbildning fraz W, og den vil dermed virke påz-vektorer. Hvad den mere præcist gør ved enz-vektor er ikke klart ud fra definitionen, så lad os undersøge det. Sætning 1.26 Lad f : (X,E,µ) Lin(Z,W) være en målelig afbildning, der opfylder at f dµ<. Da er f dµ det element i Lin(Z,W) der opfylder at f (x) dµ(x) z= f (x) z dµ(x) for alle z Z. (1.15) BEVIS: Lad bådevogw være udstyret med et indre produkt, og vælg en ortonormla basis e 1,...,e k forz. Som i (1.8) indføerr vi et indre produkt på Lin(Z,W) ved A, B = k Ae i, Be i for A, B Lin(Z,W). Vi definerer endvidere en lineær afbildning φ : Z W Lin(Z, W) ved φ(z, w)(z )= z, z w for alle z, z Z, w W De lineære afbildninger φ(z, w) kaldes ofte rang 1 operatorer. Pointen i disse konstruktioner er at A,φ(z, w) = A z, w for alle A Lin(Z,W), z Z, w W. (1.16) Relation (1.16) fås frem ved en simpel udregning: A,φ(z, w) = = n Ae i,φ(z, w)(e i ) = n z, e i Ae i, w = A n Ae i, z, e i w n z, e i e i, w.

30 30 Kapitel 1. Lineære og multilineære afbildninger Bruger man denne relation, ser man at f (x) dµ(x) opfylder at f (x) dµ(x) z, w = f (x) dµ(x),φ(z, w) = = f (x) z, w dµ(x)= f (x),φ(z, w) dµ(x) f (x) z dµ(x), w hvor vi i andet og fjerde lighedstegn har brugt karakteriseringen (1.13) af vektorrumsintegraler. Eftersom det holder for alle w W, ser vi at (1.15) må være opfyldt. På baggrund af definition 1.25 er det uproblematisk hvad man skal forstå ved middelværdien af en stokastisk variabel Y med værdier i endeligdimensionalt normeret vektorrum Y. Middelværdien eksisterer hvis den reelle stokastiske variabel Y har 1. moment, og i bekræftende fald sættes E Y til at være det entydigt bestemteyelement, der opfylder at E Y, v =E Y, v for alle v Y. (1.17) Sætning 1.27 Lad Y være en stokastisk variabel med værdier i Y og antag at Y har 1. moment. Hvis L :Y Z er en lineær afbildning, og hvis Z= L Y, så har Z også 1. moment og E Z= L E Y. BEVIS: Idet Z L Y er det klart at Z har 1. moment. For ethvert z Z ser vi ud fra (1.17) og definitionen af den adjungerede operator at E Z, z =E Z, z =E Y, L z = E Y, L z = L E Y, z Da denne relation gælder for alle z, ser vi at E Z = L E Y som ønsket. Det er noget mere indviklet at få hold på variansbegrebet. Vi starter med at erindre de såkaldte simple tensorer fra eksempel 1.18: Hvis Y er et endeligdimensionale vektorrum med indre produkt, og hvis y, y Y er to vektorer, så kan vi danne en bilineær afbildning y y :Y Y R ved y y (z, z )= y, z y, z for z, z Y.