MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE BEVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: AUGUST 07

Michel Mndi (07) Indholdsfortegnelse Side f 4 Indholdsfortegnelse: Indholdsfortegnelse:... 0 - En treknts vinkelsum... 3 0 - Pthgors læresætning... 4 03 - Sinusreltionen... 5 04 - Cosinusreltionerne... 7 05 -.Grdsligningen... 06 -.Grdsligningen (Alterntivt bevis)... 3 07 - Toppunktsformlen... 5 08 - Rumfng f prmidestub... 7 09 - Forholdet mellem sklrprodukt og vinkel mellem vektorer... 0 - Tre-trins-reglen for differentilkvotienter... 4 - Den rette linje... 3 - Eksponentilfunktionen... 33 3 - Fordoblingskonstnten... 35 4 - Hlveringskonstnten... 36 5 - Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt... 37

Michel Mndi (07) En treknts vinkelsum Side 3 f 4 0 - En treknts vinkelsum Det ønskes bevist, t vinkelsummen i en treknt ltså værdierne f de tre vinkler i en treknt lgt smmen er 80. Eller mtemtisk skrevet: 3 vi v v v3 80. i Dette kn ses f nedenstående figur. Husk t en fuld cirkel er defineret som 360, og derfor er vinklen i en hlvcirkel f.eks. fr det derste punkt til højre på cirklen og det derste punkt til venstre lig med 80, d mn i udgngspunktet står i cirklens centrum. Med ndre ord: Hvis mn står på en ret linie, så er der to retninger mn kn følge linien. Enten den ene eller den nden vej. Og vinklen mellem de to retninger som er modst rettede er 80. c b A c C Idet linjen tegnes gennem pkt., som er prllel med linien AC, ses det, d to modst rettede retninger hr vinklen 80, t: b c 80 Smtidig ved vi, t: og c c Ved simpel substitution, fås t: 3 i V V V V b c 80, i 3 hvorved sætningen er bevist! Q.E.D.

Michel Mndi (07) Pthgors læresætning Side 4 f 4 0 - Pthgors læresætning Det ønskes bevist, t grundformlen for Pthgors læresætning er: c b! Det ses umiddelbrt t relet f det inderste kvdrt er lig med: A c LilleKvdrt Ligeledes findes relet f det store kvdrt: Stor Kvdrt A b Kvdrtsætningerne AStor Kvdrt b b Der er fire treknter. En i hvert hjørne. Arelet f en enkelt treknt beregnes som: ATreknt Højde Grundlinie A Treknt b Men der er jo som sgt fire treknter, og deres smlede rel er: AAlleTreknter 4 b A AlleTreknter b Så relet f det lille kvdrt kn vel også skrives som relet f det store kvdrt minus relet f de fire treknter. Tænk blot på, t tegne det store kvdrt og klippe de fire små treknter fr. Tilbge sidder mn med det lille kvdrt. A A A LilleKvdrt StorKvdrt AlleTreknter ALilleKvdrt b b b A b LilleKvdrt Nu er det konkluderet, t relet f det lille kvdrt er lig med relet f det lille kvdrt er lig med b. c, men tidligere er det også beregnet, t D det er det smme kvdrt er c b Q.E.D. Husk, t Pthgors Læresætning KUN gælder for retvinklede treknter!!! Pthgors Læresætning er igennem tiderne blevet bevist på mindst 365 forskellige måder. Det er nemt t huske Det er en n bevisførelse for hver dg i året De forskellige beviser kn læses i denne bog, hvis mn vil dedikere resten f sit liv til Pthgors Loomis, Elish Scott (968), The Pthgoren Proposition, The Ntionl Council of Techers of Mthemtics.

Michel Mndi (07) Sinusreltionen Side 5 f 4 03 - Sinusreltionen Følgende sætning ønskes bevist: b c sin sin sin Først tegnes en vilkårlig (spidsvinklet) treknt. Højden fr indtegnes og figuren målsættes. Punkt D indføres, der hvor højden fr rmmer linjen b. A C c h A b D C Som det ses, inddeler højden fr pkt., h, den vilkårlige treknt i to retvinklede treknter. Hvis den venstre retvinklede treknt, treknt AD betrgtes, opstilles følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt: sin h c sin A Modstående Ktete h A Hpotenusen c Tilsvrende betrgtes den højre retvinklede treknt, treknt CD, og der fremkommer et lignende udtrk: sin Modstående Ktete h Hpotenusen h sin C C Det er den smme h i de to ligninger. Der er jo ikke tegnet en n treknt i mellemtiden. Derfor kn følgende skrives: sin c sin A C c sin C sin A Almindelig division giver: Det er gnske vist kun en del f sinusreltionen (den hedder jo egentlig: b c ), sin sin sin A C men resten kn nemt indses ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Q.E.D.

Michel Mndi (07) Sinusreltionen Side 6 f 4 Hvd nu hvis treknten er stumpvinklet i stedet for spidsvinklet? Det viser sig, t beviset er fuldstændig nlogt med det llerede viste bevis for den spidsvinklede treknt: c h A b C D Som det ses, dnner højden fr pkt. den vilkårlige treknt to retvinklede treknter, AD og CD. Hvis den venstre retvinklede treknt, treknt AD, betrgtes, opstilles følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt: sin h c sin A Modstående Ktete h A Hpotenusen c Og betrgtes tilsvrende den højre retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: sin Modstående Ktete h Hpotenusen h sin C C Det er den smme h i de to ligninger. Der er jo ikke tegnet en n treknt i mellemtiden. Derfor kn følgende skrives: sin c sin A C c sin C sin A Almindelig division giver: Det er gnske vist kun en del f sinusreltionen (den hedder jo egentlig: b c ), sin sin sin A C men resten kn nemt indses ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Q.E.D.

Michel Mndi (07) Cosinusreltionerne Side 7 f 4 04 - Cosinusreltionerne Der ønskes bevist følgende sætninger: b c bc c b c b c b b c b c cos A cos A b c c cos cos c b b cos C cos C, der jo tilsmmen udgør cosinusreltionerne Først tegnes en vilkårlig treknt. (Spidsvinklet) Højden fr indtegnes og figuren målsættes. Punkt D indføres, der hvor højden fr rmmer linien b. c h A D C b - Som det ses, inddeler højden fr pkt. den vilkårlige treknt i to retvinklede treknter. Ser mn på den venstre retvinklede treknt, treknt AD, kn mn opstille følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt i dette tilfælde: Pthgors Læresætning: b c h b c h b b Ser mn nøje efter, er det blot Pthgors' Læresætning. Derefter bruges kvdrtsætningerne til t rdde op... Prentesen hæves... c h b b Og betrgtes tilsvrende den højre retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: h h

Michel Mndi (07) Cosinusreltionerne Side 8 f 4 Resulttet f den seneste udregning, h, indsættes i den første udregning: c h c b b c b b Udtrkket for h b b Og der rddes op... indsættes Det eneste problem er dog nu, t ikke er kendt! Men vh. de gmle regneregler for den retvinklede treknt, kn nemt findes Se blot på tegningen igen, og betrgt specielt treknten CD. Her gælder: cos cos v C Hosliggende Ktete Hpotenusen cos C, hvilket indsættes i den forrige udregning... c b b c b cos C b c b b Og hvis der ændres lidt på fktorernes rækkefølge... cos C Det ses, t resulttet er den ene f ligningerne i det, som tidligere blev præsenteret som cosinusreltionerne, men resten kn nemt indses som det vr tilfældet ved sinusreltionen ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Q.E.D.

Michel Mndi (07) Cosinusreltionerne Side 9 f 4 Men hvd nu hvis treknten er stumpvinklet i stedet for spidsvinklet? Det viser sig, t beviset er stort set nlogt med det llerede viste bevis for den spidsvinklede treknt, men dog med en lille krølle! Den beskrives senere: c h A C indre C C dre D b b + Som det ses, dnner højden fr pkt. den vilkårlige treknt to retvinklede treknter, AD og CD. Ser mn på den store retvinklede treknt, treknt AD, kn mn opstille følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt i dette tilfælde: Pthgors Læresætning: c h b c h b b Ser mn nøje efter, er det blot Pthgors' Læresætning. Derefter bruges kvdrtsætningerne til t rdde op... c h b b Og ser mn tilsvrende på den lille retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: h h Resulttet f den seneste udregning, h, indsættes i den første udregning: c h c b b c b b Udtrkket for h b b Og der rddes op... indsættes

Michel Mndi (07) Cosinusreltionerne Side 0 f 4 Det eneste problem er dog nu, t ikke er kendt! Men vh. de gmle regneregler for den retvinklede treknt, kn nemt findes Se blot på tegningen igen, og betrgt specielt treknten CD. Her gælder: cos cos v C Hosliggende Ktete Hpotenusen cos C Men treknt CD er jo kun en hjælpetreknt, som ligger helt uden for den egentlige treknt AC. Og det bemærkes, t vi hr fundet dersiden f vinklen C - C dre. Det erl jo C indre som skl bruges. Vinklerne C dre og C indre er supplementvinkler. Det betder, t: Eller i vores tilfælde: v cos v cos 80 cos Cindre cosc dre Og nu ikke mere snk om indre og dre (Det blev kun indført for bedre t kunne forstå problemtikken omkring vinkel C.) Det ses, t C indre overhovedet ikke benttes, og derfor kldes C dre blot C fremover. Altså er: cos C cos C, hvilket indsættes i den forrige udregning... c b b c b cos C b c b b Og hvis prentesen hæves, og der ændres lidt på fktorernes rækkefølge... cos C Det ses, t resulttet er den ene f ligningerne i det, som tidligere blev præsenteret som cosinusreltionerne, men resten kn nemt indses som det vr tilfældet ved sinusreltionen ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Q.E.D.

Michel Mndi (07).Grdsligningen Side f 4 05 -.Grdsligningen eviset for t løsningerne til ² b c 0, 0 kn udregnes som: b d r, hvor d b² 4 c : ² b c 0 Gng med 4 på begge sider 4 ² ² 4 b 4 c 0 Læg b² 4 c til på begge sider 4 ² ² b b² b² 4 c b² ² b² b b ² b² 4 c Kvdrtsætning d b² 4 c b d Ligning ² Her hr vi indført størrelsen d b² 4 c, som også kldes for ndengrdsligningens diskriminnt. Det viser sig, t den videre løsning f ligningen fhænger f fortegnet for d. d < 0 I ligning, vil højre side d være negtiv, mens venstre side ltid er positiv (eller 0). (Noget i nden potens vil ltid være positivt eller 0). Derfor findes der ingen værdier f, der opflder ligningen. d = 0 Ligning hr i dette tilfælde udseendet: b ² d b b 0 b 0 b b - Altså hr ligningen netop løsnin. g

Michel Mndi (07).Grdsligningen Side f 4 d > 0 Ligning kn videre omskrives således: b ² d b d b d b d - Altså hr ligningen løsninger. Q.E.D.

Michel Mndi (07). Grdsligningen Side 3 f 4 06 -.Grdsligningen (Alterntivt bevis) En nden lterntiv metode til t eftervise ndengrdsligningens løsninger, er en metode, som til dels også benttes til udledning f toppunktsfomlen. I modsætning til det forrige bevis, nskueliggøres de forskellige ntl løsninger ikke her. Udelukkende selve formlen udledes. Et ndengrdspolnomium hr forskriften: f b c Nulpunktsformlen ønskes bevist: b d. Koordinterne til toppunktet kn udledes f følgende omskrivning: f b c Sætter udenfor prentesen b c b b Lægger til og trækker fr 4 4 b c b b 4 4 b b b 4 Kvdrtsætning b c b 4 De to sidste led sættes på fælles brøkstreg b 4c b 4 Der skiftes fortegn i det ndet led b 4c b 4 tter om på leddene i tælleren i det ndet led b b 4c 4 d b 4 b d 4 Det ndet led sættes udenfor prentesen b d 4 c

Michel Mndi (07). Grdsligningen Side 4 f 4 Eventuelle nulpunkter vil forekomme for f 0, hvilket ifølge ovenstående omskrivning er det smme som: b d 0 4 f b c b d 0 4 Fltter det ndet led over på den nden side b d 4 Dividerer med b d 4 Tger kvdrtroden på begge sider b d 4 b Isolerer ved t fltte over på den nden side og reducerer b d Sætter på fælles brøkstreg b d Q.E.D.

Michel Mndi (07) Toppunktsformlen Side 5 f 4 07 - Toppunktsformlen Et ndengrdspolnomium hr forskriften: f b c Vi ønsker t bevise toppunktsformlen: TP b d ; ; 4. Koordinterne til toppunktet kn udledes f følgende omskrivning: f b c Sætter udenfor prentesen b c b b Lægger til og trækker fr 4 4 b c b b 4 4 b b b 4 Kvdrtsætning b c b 4 De to sidste led sættes på fælles brøkstreg b 4c b 4 Der skiftes fortegn i det ndet led b 4c b 4 tter om på leddene i tælleren i det ndet led b b 4c 4 d b 4 b d 4 Det ndet led sættes udenfor prentesen b d 4 c

Michel Mndi (07) Toppunktsformlen Side 6 f 4 Den inderste prentes i det ndet led er opløftet i. potens, så derfor vil den ltid være positiv eller mindst lig med nul. D hele udtrkket er en funktion, hvor er den ufhængige vribel, og d det sidste led ikke indeholder er det dermed det første led, som primært dikterer funktionsværdien. Men prentesen er jo positiv eller nul, og dermed er det som er den strende fktor. Så hvis er positiv, vil b Dvs. når 0, hvilket kun er muligt når På smme måde hvis er negtiv vil er lig med 0, og dermed når positiv. f ntge sin mindste værdi når prentesen er lig med 0. f b. ntge sin største værdi når prentesen b, hvilket ses t være det smme, som for når er I begge tilfælde, vil det første led være lig med 0, og funktionsværdien bliver derfor: b d f, 4 hvilket vil sige, t toppunktet, TP, forekommer for b og d. 4 b d TP ; ; 4 Q.E.D.

Michel Mndi (07) Rumfng f prmidestub Side 7 f 4 08 - Rumfng f prmidestub Det ønskes bevist t formlen: V h G g G g er snd. 3 En prmidestub Ikke nødvendigvis kvdrtisk, men rektngulær, dvs. lle vndrette vinkler er 90! Der sættes mål på, idet det ntges t bunden og toppen hr smme form, men blot er skleret med fktoren k. b h Den lodrette fstnd mellem de to vndrette plner Top og und sættes til h k k b Herf kn det ses, t: Grundflde lille b g Grundflde stor k k b k b G G g k b b k b kb G g

Michel Mndi (07) Rumfng f prmidestub Side 8 f 4 Prmidestubben inddeles i 3 dele:. Den store ksse i midten (Rød). De fire prismer i siderne (Grøn) 3. De fire prmider i hjørnerne (Cn) Den inderste ksse (rød) beregnes først. Som bekendt er rumfnget f en ksse lig med grundflde gnge med højden. b h D grundflden er den smme som topflden, må rumfnget være lig med: V b h ksse Dernæst kommer de fire prismer, som sidder på hver side f prmidestubben. De sidder, som de ses på næste figur og vises med ls grøn frve. Mn kn indse, t hvis mn tger de prismer, som sidder på bgsiderne f prmidestubben, og drejer dem 80 i forhold til lodret, så kn de lægges smmen med de prismer, som sidder på de modstte sider. Ved denne mnøvre, skl der derved blot regnes på to ksser, som ses med mørkegrøn på næste figur.

Michel Mndi (07) Rumfng f prmidestub Side 9 f 4 D sidelængden i bunden er lig med k, må kssernes dbde være lig med hlvdelen f forskellen mellem sidelængden i top og sidelængden i bund, d forskellen fordeles jævnt i begge sider. b k. k k (Og ligeledes for den nden side: Altså er rumfnget f de to ksser: Vsider bk h b k h V b k h sider V bh k sider

Michel Mndi (07) Rumfng f prmidestub Side 0 f 4 Til sidst mngler kun de fire prmidehjørner. Her tænkes det for nemheds skld t kssen i midten og de fire sider fjernes, og de fire hjørner (tegnet op med cn frve) stødes smmen. Herved fremkommer en prmide. (tegnet op med mørk blå på efterfølgende figur.) k b k må D bredden på hver enkelt f de fire hjørner er hhv. eller grundflden f de fire prmider tilsmmen være: k bk 4 bk bk. 4 Højden er nturligvis stdig h! Og derfor er rumfnget f prmiden (iflg. formlen for en prmides rumfng): Vprmide hg h bk 3 3 Vprmide b hk 3

Michel Mndi (07) Rumfng f prmidestub Side f 4 Der opsummeres, inden det løber løbsk Nu er lle rumfngene for delfigurerne i prmidestubben beregnet: V ksse V bh k sider bh Vprmide bh k 3 Derfor må det totle rel være lig med summen f de tre voluminer. V V V V prmidestub ksse sider prmide Vprmidestub b h b h k b h k 3 Kvdrtsætning: b b b Vprmidestub b h b h k b h 3 k k Gnger ' b' ind i prenteserne V prmidestub b h h k b 3 Gnger ' h' ind i den ene prentes b h k b b k b Vprmidestub b h 3 Gnger og dividerer med '3' for t sætte på fælles brøkstreg h k b h b h k b b k b Vprmidestub h 3 k b h k b b k b 3 3 Fktoriserer og sætter h uden for prentesen 3 Vprmidestub hk b b k b 3 k b 3 Rdder lidt op Vprmidestub hk b b k b 3 Det erindres fr begndelsen: k Vprmidestub h G g 3 G g b G, b g og k b G g Q.E.D.

Michel Mndi (07) Sklrprodukt og vinkel mellem vektorer Side f 4 09 - Forholdet mellem sklrprodukt og vinkel mellem vektorer Smmenhængen mellem sklrproduktet og vinklen mellem to givne vektorer, b c b og b, ønskes bevist. Desuden findes c b c b Det er vigtigt t huske, t selve sklrproduktet er defineret som: b b b. ^ A ; c b b ; C c c ; b > Af figuren ses det, t: CA b C b b c A b b Cosinusreltionen (se tidligere bevis), giver f.eks.: c b bcos C Ved t indsætte de fundne udtrk for længderne f vektorerne, b og c, som jo netop svrer til siderne, b og c i treknten, fås følgende:

Michel Mndi (07) Sklrprodukt og vinkel mellem vektorer Side 3 f 4 c b b cos C Indsætter værdierne fr tegningen b b b b b cosc Kvdrtrod i nden potens ophæver sig selv b b b b b cosc b Kvdrtsætninger b b Reducerer Dividerer igennem med b b b b cos C b b b cos C b b b cosc Vi husker, t sklrproduktet er defineret som: b b b b b cos C Q.E.D.

Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 4 f 4 rins-modellen 0 - Tre-trins-reglen for differentilkvotienter generelt Ønsket med dette bevis er t vise, t hældningen på en funktion i et givet punkt, kn f f defineres som differentilkvotienten f ' lim lim 0 0 Det er noget f en påstnd! Ld os begnde fr begndelsen. Givet er en funktion, f, hvis kurve er beliggende i et lmindeligt koordintsstem. Se figur. Funktionen f er fbildet som den blå kurve. f f () P Figur : Grfen for funktionen f med punktet P Det ønskes t bestemme funktionens hældning i punktet P. Punktet P betrgtes. Ved nærmere observtion opdges det, t punktet P kn projiceres lodret ned på -ksen i værdien. Således kn dette punkt være hvor som helst på funktionen. Den eneste betingelse er dog, t funktionen skl være differentibel og dermed også kontinuert i dette punkt smt i det område, som undersøges. (Kontinuitet og differentibilitet beskrives i et ndet nott). Der er nturligvis også en funktionsværdi i punktet P. Den er som normlt lig med f. Dette indses ved t projicere punktet P vndret ind på -ksen. Hældningen i dette punkt, kn bestemmes ved en kendt geometrisk figur. Det er tngenten, t, som berører funktionen i ét og kun et punkt nemlig i punktet P. Se figur. Tngenten er den røde linie. Tngenten kendetegnes ved t hve smme hældning, som funktionen i netop røringspunktet. Hold godt fst på denne tngent! Den er vigtig, og vil blive detljeret beskrevet senere

Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 5 f 4 t f f () P Figur : Tilføjet tngenten i punktet P (Den røde linie) Et ndet punkt, Q, introduceres, som også er beliggende på funktionen. For nemheds skld ligger Q til højre for P på kurven i dette tilfælde. Nturligvis kn punktet Q ligge hvor som helst ltså også til venstre for P, og det er kun f pædgogiske årsger, t punkternes beliggenhed er vlgt således. Den vndrette fstnd mellem P og Q sættes til. Smbolet (Det græske bogstv, store delt) er kendt fr bl.. fsikken og bruges i forbindelse med tilvækst, forndring, ændring eller udvidelse. I dette tilfælde er det forskellen på hhv. punkterne P og Q s -værdier. D punktet P s -værdi blot kendes som, og dermed ikke kn beskrives nderledes, må punktet Q s -værdi være lig med:. t f f (+Δ) f () P Q Figur 3: Tilføjet punktet Q +Δ På smme måde, som for punktet P, findes funktionsværdien til punktet Q. D er punktet Q s -værdi, må den tilhørende funktionsværdi nødvendigvis f. Se figur 3. være lig med: Det kn godt være lidt bstrkt med funktionsværdien i punkt Q. Måske kn det hjælpe t tænke på, t hvis -værdien er 8, så kn funktionsværdien skrives som f(8), ltså hvor mn indsætter tlværdien 8 på lle pldser, hvor der står. Så hvis mn i stedet indsætter -værdien f., så må funktionsværdien være:

Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 6 f 4 Således hves nu to veldefinerede punkter, beliggende på kurven for P ; f og ; Q + f +. f, nemlig Den vndrette fstnd mellem P og Q er jo llerede givet som i -værdien. Se figur 4. ltså ændringen Men hvd med den lodrette fstnd? Af figuren ses, t den kn findes som f + f ltså funktionsværdien i pkt. Q minus funktionsværdien i pkt. P. For nemheds skld kldes denne lodrette fstnd for ltså den lodrette tilvækst (fstnd) mellem P og Q. Se figur 4. I dette forklrende eksempel er punkterne konstrueret således, t f + er beliggende over (højere end) f. Igen er dette f pædgogiske årsger, for t forenkle figurerne og forklringerne. Senere i dette nott beskrives det hvd der sker, hvis de to funktionsværdier btter plds. t f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 4: estemmer Δ og Δ +Δ Δ Der tegnes nu en streg, s (grøn linie), som går igennem de to punkter P og Q. Denne linie kldes for en seknt. (Seknt, (f ltin secns, 'skære'), i mtemtik en linje gennem to punkter på en kurve.) t s f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 5: Indfører seknten, s (Grøn linie) +Δ Δ

Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 7 f 4 etrgtes seknten mellem P og Q som hpotenusen i den retvinklede treknt der dnnes, som vist på tegningen (den lill treknt på figur 6), kn hældningen f hpotenusen udregnes. Det er denne størrelse, som fremover vil blive refereret til som differenskvotienten ltså forholdet mellem ændringen i -retningen og i -retningen for en seknt. t s f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 6: Den retvinklede treknt +Δ Δ Det erindres fr trigonometrien og den nltiske plngeometri: Hældningen: modstående ktete sin hosliggende ktete cos modstående ktete Hvis der tges udgngspunkt i, kn det i figuren flæses, t hosliggende ktete hpotenusens det vil i dette her tilfælde sige sekntens hældning (eller differenskvotient) må være det smme som:. tn Dette er et meget vigtigt punkt i beviset, så derfor opsummeres, hvd der er konkluderet indtil nu Givet en funktion med et punkt P. Hældningen i dette punkt ønskes bestemt, så derfor ønskes funktionens tngent i punktet P, idet tngenten og funktionen må hve smme hældning. Dernæst sættes endnu et punkt Q på funktionen. Mellem punkterne P og Q, tegnes en seknt. Ved hjælp f en simpel trigonometrisk betrgtning, findes sekntens hældning (differenskvotient) t være lig med:. Nu er det dog tngentens hældning der søges, og ikke sekntens. Derfor undersøges hvd der sker, hvis Δ bliver mindre f.eks. hlveret.

Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 8 f 4 t s f (+Δ) f () P Q Δ s tidligere f Figur 7: Den vndrette fstnd mellem og Δ hlveres. Δ +Δ Som det fremgår f ovenstående figur, fltter seknten sig, når Δ hlveres. Det er jo klrt, for hele figuren skl jo tegnes om, når punkt Q fltter sig nærmere. Så seknten flttes, som ntdet f den ornge pil på tegningen. Det ses, t den ne seknt er tættere på tngenten end den oprindelige seknt vr. Dette skldes til dels t eksemplet er konstrueret således t seknten visuelt nærmer sig tngenten, men unset sekntens hældning, så vil den komme nærmere tngenten, når Δ mindskes. t s f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 8: Den vndrette fstnd mellem og Δ hlveres en gng mere. +Δ Δ På figuren ovenfor er det tdeligt, t seknten er på vej over mod tngenten. Det er også indlsende, t fstnden Δ bliver mindre og mindre. Hr mn fntsi nok, kn mn forestille sig, t fstnd en Δ til sidst bliver så lille, t den fktisk er lig med 0. Hvd vil der ske, hvis Δ = 0? Forestiller mn sig problemet i bevægelse, vil mn se, t som Δ nærmer sig 0, så vil seknten dreje sig, så den kommer nærmere og nærmere tngenten. Når Δ er lig med 0 (det vil den ldrig blive, men den kommer så tæt på, t den nok er god nok ), så vil seknten være lig med tngenten. Dette kn skrives som, t når Δ nærmer sig 0, så vil differenskvotienten blive lig med differentilkvotienten.

Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 9 f 4 Når mn i mtemtik vil skrive t noget nærmer sig en bestemt værdi, omtler mn det som grænseværdien, når en værdi fltter sig mod en konstnt. Den mtemtiske nottion for en grænseværdi stmmer fr det ltinske udtrk: limes, som betder grænse. Det kendes også fr engelsk, hvor limit også betder grænse. ionen for grænseværdi er som vist i det følgende eksempel: lim 0 I det ovenstående eksempel betder det, t grænseværdien (lim) for gående imod uendeligt i udtrkket: er lig med 0, idet mn forestiller sig, t divideret med et meget stort tl vil blive tæt på 0. Det er dog muligt t forestille sig, t mn dividerer med et tl som er endnu større end det meget store tl, hvilket vil betde t udtrkkets værdi kommer endnu tættere på 0. I dette tilfælde ltså i beviset for differentilkvotienten der kn grænseværdien skrives som: f f f ' lim lim. 0 0 Eller for t skrive det på dnsk : Differentilkvotienten, som er funktionens hældning i et bestemt punkt, beskrives som hældningen f den linje, som fremkommer, når en seknt, som går igennem punktet smt et ndet punkt, drejes ved t det ndet punkt nærmer sig det første punkt lngs funktionen.

Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 30 f 4 Alt dette kn smmenfttes til en Tre-trins-model (Her beskrevet som: Hvd skl mn gøre?, Hvd betder det på dnsk?, Hvordn gør mn det? og så et ) Find funktionstilvæksten: f f f eksempel med udgngspunkt i funktionen:. Dette er forskellen i funktionsværdierne (-værdierne) mellem de to punkter, som udgør bsen for seknten. Indsæt i stedet for i funktionsudtrkket og subtrher derefter med selvefunktionsudtrkket. f f ) Find differenskvotienten:. Dette er hældningen f en vilkårlig seknt. Tg resulttet fr punkt ) og divider med. Hvis det er muligt, så er det en rigtig god ide t reducere udtrkket så meget som muligt. f ' lim. Dette er hældningen f seknten, når fstnden mellem sekntens to punkter er så tæt på hinnden, t de lige så godt kunne være 0. Tg resulttet fr punkt ) og erstt lle forekomster f med 0. f ' lim lim 0 0 3) Find differentilkvotienten: 0 f ' Q.E.D.

Michel Mndi (07) Den rette linje Side 3 f 4 - Den rette linje Det ønskes t vise, t hældningen på en ret linie mellem to punkter kn skrives som:. Ydermere ønsker vi t bevise, t b. En ret linie er lmindeligvis defineret som en funktion f b, for hvilken der for to vilkårlige punkter på funktionen gælder, t. er en konstnt, som beskriver funktionens hældning. Tænk på hældningen, som t gå et vndret skridt (som regel mod højre) og et lodret skridt (op eller ned). Afhængigt f, hvor store skridtene er, beskrives hældningen som mere eller mindre stejl. Tger mn f.eks. et meget stort skridt til højre, og et lille bitte skridt op, så er hældningen meget lille (og positiv). Tger mn et lille skridt til højre og et kæmpe skridt nedd, så er hældningen meget stor (og negtiv). Det er ltså det lodrette skridt, som bestemmer om hældningen er positiv eller negtiv. Går mn opd mod højre, er hældningen positiv. Går mn nedd mod højre er hældningen negtiv. I specielle tilfælde, kn det være en fordel t tænke på, t mn går mod venstre, og så er det hele bre omvendt. Så nu er det ltså nødvendigt t finde ud f, hvor store skridtene er hend og opd. Enhver linie kn indlægges i et krtesisk (et normlt retvinklet) koordintsstem. Det vil smtidig sige, t de to punkter (som jo ligger på linien) også er i det smme koordintsstem. D det er retvinklet, må der ltså findes en vndret fstnd og en lodret fstnd mellem de to punkter. Det er nu muligt t indføre et tredje punkt, som er vribelt. Det kn i teorien ligge hvor P ; og P ; er de to fste punkter, kn det som helst på linien. Hvor vrible punkt kldes for P ;. På en ret linie, må lle punkter hve en indbrdes lige stor hældning - unset, hvor punkterne ligger på linien. Det er derfor t er konstnt. D hældningen er konstnt, opstiller vi hældningen for to punktsæt. Det ene punktsæt er P og P og det ndet er P og P.

Michel Mndi (07) Den rette linje Side 3 f 4 Dvs. t: Udtrkket kn derfor omskrive til: igningen". Ligningen på denne form kldes også for "Tngentl Vi husker, t. gnges ind i prentesen og der lægges til på begge sider. er begge konstntled, Der er ingen ukendte vrible og kn smles under det ne nvn: b. b Q.E.D.

Michel Mndi (07) Eksponentilfunktionen Side 33 f 4 - Eksponentilfunktionen Det ønskes bevist, t forskriften for en eksponentilfunktion med ligningen: f b P ; og P ; som, 0, kn findes, hvis mn hr to punkter: grfen går igennem. Definition: Ved en potensfunktion forstås en funktion f med forskriften:, hvor og f b b er tlkonstnter. Der gælder t: og b evis: D og,, begge ligge på grfen for f, må der gælde t: b og b divideres med : b b Husk fr tidligere: p p Husk fr tidligere: n p n p

Michel Mndi (07) Eksponentilfunktionen Side 34 f 4 Der mngler stdig formlen for b. Det er tidligere givet t: b eller b Der divideres med -fktoren. b b b eller b b b Er det i forbindelse med en opgve, hvor mn bliver bedt om t ngive funktionsforskriften, så er det vigtigt t smle og b i det smlede udtrk: f b Q.E.D.

Michel Mndi (07) Fordoblings- og hlveringskonstnter Side 35 f 4 3 - Fordoblingskonstnten Fordoblingstiden T for en voksende eksponentilfunktion T hvilket ønskes bevist. log log, f b er givet ved: evis: f 0 b b b Det må være således, t 0 Funktionsværdien til tiden t 0 (hvornår det så end er), er ltså b. emærk, t det ikke er vigtigt t kende det præcise begndelsestidspunkt, d fordoblingskonstnten jo er den tid, som der til ethvert tidspunkt skl gå, før end t funktionsværdien er blevet fordoblet. Dog må det være en kendsgerning, t den dobbelte funktionsværdi f b må være b! Vi indsætter ltså funktionsværdien b i forskriften og isolerer. f b b b log log Idet det huskes, t: log log log log log log Q.E.D.

Michel Mndi (07) Fordoblings- og hlveringskonstnter Side 36 f 4 4 - Hlveringskonstnten Det ønskes bevist, t hlveringstiden T for en ftgende eksponentilfunktion f b er givet ved: evis: T log log f 0 b b b Det må være således, t 0 Funktionsværdien til tiden t 0 (hvornår det så end er), er ltså b. emærk, t det ikke er vigtigt t kende det præcise begndelsestidspunkt, d hlveringskonstnten jo er den tid, som der til ethvert tidspunkt skl gå, før end t funktionsværdien er blevet hlveret. Dog må det være en kendsgerning, t den hlve funktionsværdi f b må være b! Vi indsætter ltså funktionsværdien b i forskriften og isolerer. f b b b log log Idet det huskes, t: log log log log log log Q.E.D.

Michel Mndi (07) Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt Side 37 f 4 5 - Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt A 3 3 n knt 3 3 n n 3 n 3 n n n eviset kn gennemføres som et induktionsbevis. Det vides fr tidligere (og fr bogen), t formlen er snd for en treknt n 3. Det ntges, t det også er sndt for ethvert n, og t det også gælder for n. Givet en polgon med n sider, som er nvngivet mod uret. A 3 3 n 3 3 n n n n Sorterer efter positive og negtive led. A n 3 n 3 n P P n P P 3 Dette er ltså relet f det grønne mrkerede område, i det omfng t punkterne er givet i rækkefølge mod uret. Nu tilføjes et ekstr punkt. Punkt nr. n. Det vil nturligvis ændre det smlede rel f polgonen, og ændringen (og den gule mrkering på næste figur), er præcis relet f den just dnnede treknt. Den ne (gule) treknt hr koordintpunkterne: P ; n n n P ; n n n P ; P n+ P n P Arelet f den ne gule treknt, A t, er givet ved den smme formel: P P 3 Induktion er en bestemt tpe mtemtisk bevis, som er meget velegnet til t bevise t en mtemtisk hpotese er snd for lle nturlige tl, eller ndre tlmængder, som er velordnet. Induktionsprincippet består f skridt: bsisskridtet (induktionsstrten, strtbetingelsen) og induktionsskridtet.. sisskridt: I bsisskridtet beviser mn t hpotesen er snd ved det mindste tl i tlmængden. Dette er tpisk, d mn ofte vil bevise sætningen for de nturlige tl.. Induktionsskridt: I induktionsskridtet beviser mn, t hvis hpotesen gælder for tllet n (denne ntgelse kldes induktionsntgelsen), så gælder den også for tllet n+. På denne måde kn mn bevise t hpotesen gælder for lle hele tl fr bsisskridtet og opefter. Hvis tilfælde er snd, så er tilfælde også snd, d tilfælde er snd. Så er 3 også snd, når er snd, osv. Dette princip kn smmenlignes med dominoeffekten. Hvis mn hr en lng række dominobrikker stående efter hinnden, kn mn udlede følgende:. sisskridt: Den første dominobrik vælter.. Induktionsskridt: Når en dominobrik vælter, vil den næste vælte. Derfor vil lle dominobrikker vælte. Kilde: Induktion (Mtemtik) http://d.wikipedi.org/wiki/induktion_%8mtemtik%9, 6-0-04 8:5

Michel Mndi (07) Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt Side 38 f 4 n n A n n t n n n n n n n n n n Sorterer efter positive og negtive led. A t n n n n n n n n Det smlede rel f n -knten er ltså relet f den oprindelige n -knt, rel, A t. A A A n n t A n, dderet med det ne A n 3 n 3 n n n n n n n n n A n 3 n 3 n n n n n n n n n A n 3 n n n 3 n n n Hvilket beviser ved induktion, t formlen er rigtig! Mn kunne her indvende: Hvd nu, hvis det ne punkt vr på indersiden f den originle polgon? I det tilfælde ville den ne treknt, Pn, Pn, P blive nvngivet i rækkefølge med uret, og ikke mod uret. Så ville relet f den ne treknt, A, blive udregnet som negtivt. Den lgebriske ddition f trekntens rel til den oprindelige n -knt, n -knt, An. t A n, resulterer således i et nt og mindre rel f den ne Q.E.D. Dette bevis er væsentligt inspireret f beviset, som findes på Internetsiden: http://000clicks.com/mthhelp/geometrpolgonaredeterminnt.sp 6-0-04, 9:53 Dog er der tilføjet ekstr oplsninger og udregninger smt indlsende nok en oversættelse.

Michel Mndi (07) Tværvektor Side 39 f 4 7 - Tværvektor Givet en vektor,, som kn noteres ved sin længde,, og vinkel, v, i forhold til -ksen. cos v sin v Tværvektoren â til vektor, er drejet 90 i den positive omløbsretning i forhold til vektor, og som hr smme længde som vektor. cos v 90 ˆ sin v 90 Yderligere vides det fr den klssiske geometri t: v v cos 90 sin, og v v sin 90 cos Altså kn det konkluderes: v cos v 90 sin ˆ sin v 90 cos v hvilket sluttelig skrives som: ˆ Q.E.D.

Michel Mndi (07) gn Side 40 f 4 log b ( ) = log b ( )! log b ( ) = log 0 log ( ) 0 log b ( ) ( ) og b omskrives vh. : = 0 log ( )! log b ( ) = log 0 log ( )+log b ( ) ( ) Her omskrives vh potensreglen: = +! log b ( ) = log ( )+ log b ( ) Her benttes: log 0 ( ) =

Michel Mndi (07) gn Side 4 f 4