DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m Koefficientmatrix, Totalmatrix 3 a 11 a 1 a 1n a 1 a a n A = 6 7 4 5 a m1 a m a mn a 11 a 1 a 1n b 1 a 1 a a n b T = 6 4 a m1 a m a mn b m 3 7 5 0 Gausselimination Gausselimination Tilladte operationer på rækkerne i totalmatricen: 1 R i $ R j R i := cr i hvor c 6= 0 3 R i := R i + cr j hvor i 6= j Vi vil ved rækkeoperationer bringe matricen på echelonform: 4 # 3 0 # 5, 4 # 3 0 0 # 5, 4 # 3 0 0 # 5 0 0 # 0 0 0 # 0 0 0 0 1

03 Antal løsninger Antal løsninger m ligninger med n ubekendte Koefficientmatrix A, totalmatrix T = [Ajb] Hvis ρ (T) > ρ (A), så ingen løsninger Hvis ρ (T) = ρ (A) = n, så præcis én løsning Hvis ρ (T) = ρ (A) = ρ < n, så uendeligt mange løsninger med n frie variable En n n matrix A kaldes regulær, hvis ρ (A) = n Et kvadratisk ligningssystem har netop én løsning, hvis og kun hvis A er regulær 04 Matrixmultiplikation Matrixmultiplikation A en m n-matrix, og x R n Skriv A = [a 1 a a n ], hvor a i R m Så definerer vi produktet Ax ved Ax = x 1 a 1 + x a + + x n a n Ligningssystemet med koefficientmatricen A og højresiden b kan nu skrives Ax = b Alternativ udregning af Ax: Skalarprodukterne af rækkerne i A med søjlen x Multiplikation af matricer: A er m n og B er n p: AB = A b 1 b b p = Ab1 Ab Ab p Ækvivalent definition (der bruges i JE): (AB) ij = a i b 1 + + a in b n1 05 Invers matrix Invers matrix ρ n a ik b kj = a i1 b 1j + k=1 Definition A er invertibel, hvis der findes en matrix C, så AC = CA = I Den inverse af A betegnes med A 1 Matricen A er invertibel hvis og kun hvis A er regulær Matricen A 1 er entydigt bestemt som løsningen C til AC = I Algoritme: Gausselimnationen [A j I ]! [I j C ] A 1 1 = A, (AB) 1 = B 1 A 1, A T 1 = A 1 T

06 Determinant Determinant Lad A være givet ved A = 6 4 a 11 a 1 a 13 a 1n a 1 a a 3 a n a n1 a n a n3 a nn 3 7 5 Definition det A = Sn sgn (j 1, j, j 3,, j n ) a 1j1 a j a njn, hvor S n betegner mængden af permutationer S n af tallene 1,,, n Der gælder om rækkeoperationer, at 1 R i! R j (i 6= j) skifter fortegn på determinanten R i := kr i gør determinanten k gange større 3 R i := R i + kr j (i 6= j) ændrer ikke determinantens værdi A er regulær, hvis og kun hvis det A 6= 0 det (AB) = det (A) det (B), det A 1 = (det A) 1, det A T = det A 07 Komplekse tal Komplekse tal C er mængden af punkter ii planen Planen identificeres med R, så C = R Tallet i = (0, 1) er den imaginære enhed Multiplikationen indføres så i = de reelle tal stadig gælder 1 og samtlige kendte regneregler fra a = (a 1, a ) skrives nu a = a 1 + ia Realdel: Re a = a 1 Imaginærdel: Im a = a jaj = absolutværdi, numerisk værdi) Kompleks konjugation: a = a 1 + ia = a 1 ia q a 1 + a (modulus, a + b = a + b, (ab) = ab jabj = jaj jbj, ja n j = jaj n arg (ab) = arg a + arg b, arg (a n ) = n arg a, arg a b = arg a arg b 3

08 Kompleks eksponentialfunktion Kompleks eksponentialfunktion Definition: exp (x + iy) = exp x (cos y + i sin y) altså e x+iy = e x (cos y + i sin y) Når x, y R gælder e x+iy = e x, arg e x+iy = y exp (z 1 + z ) = exp z 1 exp z altså e z 1+z = e z 1e z Polær form: a = re iv, hvor r = jaj og v = arg a Moivres formel: (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx Eulers formler: cos v = 1 e iv + e iv, sin v = 1 i e iv e iv Den binome ligning z n = a = re iv har løsningerne z = np re i( v n +p π n ), p = 0, 1,,, n 1 09 Polynomier Polynomier Rødderne i andengradsligningen az + bz + c = 0 er som sædvanligt z = bp b 4ac a Algebraens Fundamentalsætning Ethvert polynomium af grad 1 har mindst én rod indenfor de komplekse tal Roden z 1 i polynomiet p har multipliciteten k, hvis p (z) = (z hvor q (z 1 ) 6= 0 z 1 ) k q (z), Polynomiet p (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, hvor n 1 (og a n 6= 0) kan skrives p (z) = a n (z z 1 ) (z z ) (z z n ) Hvis et polynomium har reelle koefficienter og z 1 C er rod, så er også z 1 rod 010 Differentialligning af 1 orden Lineær differentialligning af 1 orden Differentialligningen a (t) x 0 + b (t) x = c (t), hvor t I er lineær og af første orden Differentialligningen x 0 + p (t) x = q (t) er normeret Den fuldstændige løsning til x 0 + p (t) x = q (t) er givet ved x (t) = e P(t) R e P(t) q (t) dt + Ce P(t), hvor P (t) = R p (t) dt Når p, q C (I) ogt 0 I og x 0 R, så har begyndelsesværdiproblemet x 0 + p (t) x = q (t) med x (t 0 ) = x 0 præcis én løsning 4

011 Differentialligning af orden Lineær differentialligning af orden med konstante koefficienter Betragter ax 00 + bx 0 + cx = q (t) med q C (I), hvor I er et interval og a, b, c R og a 6= 0 Lad t 0 I og x 0, v 0 R Begyndelsesværdiproblemet bestående af differentialligningen med x (t 0 ) = x 0 og x 0 (t 0 ) = v 0 har netop én løsning og den er defineret på hele intervallet I Når q (t) = 0 kaldes differentialligningen homogen Karakterligningen ar + br + c = 0 To forskellige reelle rødder r 1 og r Fuldstændige løsning x (t) = c 1 e r 1t + c e r t, hvor c 1, c R Dobbeltrod r Fuldstændig løsning x (t) = c 1 e rt + c te rt, hvor c 1, c R Imaginære rødder α iβ Fuldstændig løsning x (t) = c 1 e αt cos (βt) + c e αt sin (βt), hvor c 1, c R Den fuldstændige løsning til den inhomogene ligning er summen af en partikulær løsning og den fuldstændige løsning til den homogene ligning 01 Partikulær løsning Bestemmelse af en partikulær løsning Betragt den inhomogene ligning ax 00 + bx 0 + cx = q (t), hvor højresiden har formen q (t) = t m e αt cos βt sin βt q(t) Q m (t) Q m (t) e αt Q m (t) e αt cos βt (eller sin βt) q-rod 0 α α iβ Ansats t s P m (t) t s P m (t) e αt t s Pm (t) e αt cos βt +R m (t) e αt sin βt s skal vælges som det mindste hele ikke-negative tal ( s = 0, 1,, ), som sikrer, at intet led i ansatsen løser den homogene ligning 013 Kompleks gættemetode Kompleks gættemetode Differentialligningen x 00 + 3x 0 + x = 10 cos t erstattes af x 00 + 3x 0 + x = 10e it Ansats til en partikulær løsning x p (t) = Ae it indsættes i differentialligningen 5

Heraf fås A = 1 3i Partikulær løsning til den komplekse ligning x p (t) = (1 3i) e it Så partikulær løsning til den oprindelige ligning er x p (t) = Re (1 3i) e it = cos t + 3 sin t 014 sinh, cosh, tanh sinh, cosh, tanh sinh x = 1 (ex e x ), cosh x = 1 (ex + e x ) dx d d sinh x = cosh x, Formel: cosh x sinh x = 1 tanh x = sinh x cosh x = ex 1 dx cosh x = sinh x e x +1 = 1 e x 1+e x 015 arcsin, arccos, arctan Arcusfunktioner: arcsin, arccos, arctan arcsin er den omvendte funktion til restriktionen af sin til intervallet π, π arcsin (a) = b () sin (b) = a ^ b π, π d dx arcsin x = 1 p 1 x arccos er den omvendte funktion til restriktionen af cos til intervallet [0, π] arccos (a) = b () cos (b) = a ^ b [0, π] d dx arccos x = 1 p 1 x arctan er den omvendte funktion til restriktionen af tan til intervallet π, π arctan (a) = b () tan (b) = a ^ b π, π dx d arctan x = 1 1+x 016 Stamfunktion Stamfunktion Definition: Hvis F er differentiabel i I og F 0 = f, så kaldes F en stamfunktion for f i I Hvis f er kontinuert i intervallet I, så har f en stamfunktion F i I Samtlige stamfunktioner for f er givet ved F + c, hvor c er en arbitrær konstant 6

Funktionen F (x) = R x a f (t) dt er en stamfunktion til f Delvis integration: R R f (x) g (x) dx = F (x) g (x) F (x) g 0 (x) dx Integration ved substitution R f (g (x)) g 0 (x) dx = R f (t) dt t=g(x) Eller omvendt: R f (x) dx = R f (g (t)) g 0 (t) dt t=g 1 (x) 017 Dekomposition Dekomposition En stambrøk er en brøk af formen d (x α) p eller kx+` (x +ax+b) q Enhver ægte brudden rational funktion P(x) som en sum af stambrøker Q(x) α) p så indeholder stam- Hvis nævneren Q (x) indeholder faktoren (x brøksopløsningen leddene (uforkortelig) kan skrives d 1 x α + d (x α) + + d p (x α) p Hvis nævneren Q (x) indeholder faktoren stambrøksopløsningen leddene x + ax + b q så indeholder 018 Bestemt integral Bestemt integral k 1 x + `1 x + ax + b + k x + ` (x + ax + b) + + k q x + `q (x + ax + b) q Lad a = x 0, x 1,, x n = b være en inddeling af [a, b] og t i [x i 1, x i ] Riemannsum R = n i=1 f (t i) (x i x i 1 ) Definition f kaldes integrabel på [a, b], hvis 9A, så 8ε > 0, 9δ > 0, så der for enhver inddeling og ethvert valg punkter t i med max 1in (x i x i 1 ) < δ gælder A ε < R < A + ε A kaldes integralet og betegnes med R b a f (x) dx Hvis f er kontinuert på I = [a, b], så er f integrabel på I og funktionen F (x) = R x a f (t) dt er en stamfunktion til f Er omvendt G en stamfunktion til en kontinuert funktion f på intervallet I = [a, b], så gælder R b a f (x) dx = G (b) G (a) 7

019 Vektorrum Vektorrum Lad L betegne R eller C Lad V være en ikke tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar Vi forlanger, at disse to operationer opfylder a, b V =) a + b V s L ^ a V =) sa V Desuden forlanger vi for alle a, b, c V og s, t L: a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c) 90 V så a + 0 = a, 9a 1 V så a + a 1 = 0 s (ta) = (st) a, (s + t) a = sa + ta s (a + b) = sa + sb, 1a = a V er da et vektorrum over L Hvis L = R er V et reelt vektorrum Hvis L = C er V et komplekst vektorrum 00 Underrum, Linearkombination Underrum, Linearkombination Hvis U er en delmængde af vektorrummet V, og U med de arvede operationer selv er et vektorrum, så kaldes U et underrum af V Sætning Lad U V og U 6=? Så er U et underrum af V hvis og kun hvis a, b U =) a + b U s L ^ a U =) sa U Trivielle underrum af vektorrum V er V selv og f0g Ved en af linearkombination af vektorerne a 1, a,, a p V forstås et udtryk af formen c 1 a 1 + c a + + c p a p hvor c 1, c,, c p L Ved span a 1, a,, a p forstås mængden af linearkombinationer af vektorerne a 1, a,, a p 8

01 Lineær uafhængighed, basis Lineær uafhængighed, basis span a 1, a,, a p er et underrum af V Det er det mindste underrum, der indeholder a 1, a,, a p Vektorerne a 1, a,, a p V siges at være lineært uafhængige hvis x 1 a 1 + x a + + x p a p = 0 =) x 1 = x = = x p = 0 a 1, a,, a p er altså lineært uafhængige, hvis x 1 v 1 + x v + + x p v p kun kan være nul, når alle koefficienterne er nul Hvis vektorerne a 1, a,, a p ikke er lineært uafhængige, siges de at være lineært afhængige En basis for et vektorrum V er et lineært uafhængigt system a 1, a,, a n af vektorer, som udspænder V, altså V = span (a 1, a,, a n ) 0 Koordinater Koordinater mht basis Lad a 1, a,, a n være en basis for V Så kan ethvert v V skrives entydigt som en linearkombination af a 1, a,, a n : v = x 1 a 1 + x a + + x n a n Talsættet (x 1, x,, x n ) kaldes koordinaterne for v mht basen a 1, a,, a n 3 Betegnelse: K a (v) for koordinaterne af v mht basen a K a (v) = Matricen a V = K a (v 1 ) K a (v ) K a v p, kaldes koordinatmatricen for v 1, v,, v p mht basis a = a 1, a,, a n Da x 1 v 1 + + x p v p = 0, a Vx = 0 er v 1, v,, v p lineært uafhængige netop hvis a Vx = 0 kun har nulløsningen 03 Basisskifte Basisskifte Lad a 1, a,, a n og b 1, b,, b n begge være baser for V a M b = [K a (b 1 ) K a (b ) K a (b n )] er basisskiftematricen (koordinatskiftematricen) fra b til a K a (v) = a M b K b (v) for alle v V ( a M b ) 1 = b M a 6 4 x 1 x n 7 5 9

04 Lineær afbildning Lineær afbildning Afbildningen f : V! W kaldes lineær, hvis for alle u, v V og s L vi har f (u + v) = f (u) + f (v) f (su) = s f (u) Kernen for f : V! W er mængden ker f = fv V j f (v) = 0 g Billedrummet for f er f (V) = fw W j9v V så f (v) = w g 05 Matrixfremstilling for lineær afbildning Matrixfremstilling for lineær afbildning Lad f : V! W Lad a 1, a,, a n være en basis for V, og lad c 1, c,, c m være en basis for W Afbildningsmatricen for f mht de givne baser: c F a = [K c ( f (a 1 )) K c ( f (a )) K c ( f (a n ))] K c ( f (v)) = c F a K a (v) for alle v V Lad b 1, b,, b n være en anden basis for V, og lad d 1, d,, d m være en anden basis for W d F b = d M c c F a a M b 10