Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E udstyret med en addition, d.v.s. en afbildning (x, y) x + y fra E E ind i E, og en multiplikation med skalarer fra L, d.v.s. en afbildning (λ, x) λx fra L E ind i E, som opfylder vektorrumsbetingelserne (se. f.eks. Definition 1.1 i R. Messer: Linear Algebra, Gateway to Mathematics, 1994, herefter betegnet med [M], hvor blot R erstattes med L). Det understreges, at samtlige definitioner og resultater fra liner algenra, der vedrører generelle reelle vektorrum også er gældende for komplekse vektorrum, idet de reelle tal blot overalt erstattes med de komplekse tal. Beviserne i det reelle tilfælde kan overføres direkte til det komplekse tilfælde, idet de alene bygger på vektorrumsaksiomerne og de fælles regneregler for reelle og komplekse tal. Eksempler på reelle vektorrum er velkendte fra lineær algebra, f.eks. R k samt mængden F(M, R) af reelle funktioner defineret på en mængde M med punktvis addition og multiplikation med reelle tal. Oplagte eksempler på komplekse vektorrum er mængden C k bestående af talsæt med k komplekse koordinater med koordinatvis addition og multiplikation med komplekse tal (i lighed med R k ), samt mængden F(M, C) af komplekse funktioner defineret på en mængde M med punktvis addition og multiplikation med komplekse tal. Såfremt M er et metrisk rum, er mængden C(M, C) bestående af alle kontinuerte komplekse funktioner på M et underrum af F(M, C), da summen af to kontinuerte funktioner er kontinuert og desuden en kontinuert funktion multipliceret med en konstant igen er kontinuert. Vi skal i det følgende se en hel del andre interessante eksempler på underrum af vektorrum af formen F(M, C). Indre produkt rum er indført for reelle vektorrum i lineær algebra, jvf. side 136 i [M]. Den følgende definition generaliserer dette begreb til også at omfatte komplekse vektorrum. Definition 3.1 Lad E være et vektorrum over L (= R eller C). Et indre produkt (også kaldet skalarprodukt) på E er en afbildning (, ) : E E L, der opfylder følgende betingelser (hvor 0 betegner nulvektoren i E): 1
i) x E \ {0} : (x, x) > 0, ii) x, y E : (x, y) = (y, x), iii) x, y, z E : (x + y, z) = (x, z) + (y, z), iv) λ L x, y E : (λx, y) = λ(x, y). Hvis (, ) er et indre produkt på E, kaldes parret (E, (, )) et indre produkt rum. Bemærk, at der ved (x, x) > 0 i i) forstås, at (x, x) er et reelt positivt tal. Såfremt L = R, er kompleks konjugering i ii) naturligvis overflødig, og ovenstående definition falder da sammen med Definition 4.1 i [M]. De sidste to af ovenstående betingelser udtrykker, at afbildningen x (x, y) fra E ind i L er lineær for hvert fast y E. Kombineres dette med ii) finder vi, at (x, y + z) = (x, y) + (x, z), (3.1) (x, λy) = λ(x, y), (3.2) for samtlige x, y, z E og λ L, hvilket udtrykkes ved at sige, at det indre produkt er konjugeret lineært i anden variabel. I tilfældet L = C kaldes en afbildning fra E E C, der er lineær i første variabel og konjugeret lineær i anden variabel tit en sesquilinearform på E. Vi har altså indset, at et indre produkt på et komplekst vektor rum er en sesquilinearform på E. Omvendt gælder, at en sesquilinearform, der opfylder i), i hvilket tilfælde den siges at være positiv definit, er et indre produkt. Hertil skal vi blot indse, at ii) gælder. Lad os først bemærke, at lineariteten i første variabel medfører, at (0, x) = 0 for alle x E. Specielt følger, at (0, 0) = 0, således at i) giver x E : (x, x) = 0 x = 0. (3.3) Sammen med i) viser dette, at (x, x) R for alle x E. Benyttes (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) + (x, y) + (y, x) fås derfor, at (x, y) + (y, x) R, d.v.s. at Im(x, y) = Im(y, x) for alle x, y E. Erstattes heri x med ix og benyttes sesquilineariteten fås i(x, y) i(y, x) R, d.v.s. Re(x, y) = Re(y, x), hvormed det ønskede er vist. Givet et indre produkt defineres normen x af x E ved x = (x, x). Af i) ovenfor følger, at x > 0 for x 0, og af iv) og (3.2) fås λx 2 = (λx, λx) = λλ(x, x) = λ 2 x 2. d.v.s. λx = λ x. (3.4) 2
Nedenfor vises desuden trekantsuligheden x + y x + y, x, y E. (3.5) Positivitet samt de to foregående relationer er de grundlæggende egenskaber ved normen. Denne leder endvidere til en naturlig generalisering af den euklidiske afstand i R 3 (jvf. ligning (1.1) i Ch.1) ved fastsættelsen d(x, y) = x y. (3.6) Af særlig vigtighed for det følgende er, at dette tillader os at definere konvergens af følger i E (m.h.t. den givne norm): Definition 3.2 Lad (x n ) n N vaere en følge i E, d.v.s. en afbildning n x n fra N ind i E. Vi siger, at følgen konvergerer imod x E, eller har grænseværdi x, og skriver da x n x for n eller lim n x n = x, hvis x n x 0 for n. Endelig får vi også brug for følgende tekniske definition. Definition 3.3 Vi siger, at følgen (x n ) n N i E er en Cauchy følge, hvis der for ethvert ε > 0 findes et N N, således at x n x m < ε for alle n, m > N, (hvilket somme tider udtrykkes ved at skrive x n x m 0 for n, m ). Hvis enhver Cauchyfølge er konvergent siges E at være et fuldstændigt indre produkt rum, eller et Hilbert rum. Det bemærkes, at enhver konvergent følge er en Cauchy følge (se Opg. 1). Det er en fundamental egenskab ved de reelle tal (ækvivalent med den såkaldte supremumsegenskab), at R er fuldstændigt m.h.t. det sædvanlige indre produkt (hvilket er det samme som det sædvanlige produkt). Det er en forholdsvis simpel følge heraf, at R k såvel som C k også er fuldstændige m.h.t. det sædvanlige indre produkt, som defineret i det følgende eksempel (se Opg. 2). Eksempel 3.4 1) Det sædvanlige indre produkt på C k (svarende til det sædvanlige indre produkt på R k ) defineres ved ((x 1,..., x k ), (y 1,..., y k )) = x 1 y 1 +... x k y k. Det overlades til læseren at eftervise, at betingelserne i) iv) er opfyldt. 2) På vektorrummet C([a, b]) af kontinuerte komplekse funktioner på intervallet [a, b] defineres et indre produkt ved (f, g) = b a 3 f(x)g(x)dx (3.7)
for f, g C([a, b]). Mere generelt fås for enhver positiv kontinuert funktion ρ : [a, b] R + =]0, + [ et indre produkt (, ) ρ ved at sætte (f, g) ρ = b a f(x)g(x)ρ(x)dx. (3.8) Vi erindrer om, at integralet af en kontinuert kompleks funktion fås ved at integrere realog imaginærdel hver for sig, d.v.s. for f = Ref + iimf er b a f(x)dx = b a Ref(x)dx + i b a Imf(x)dx. (3.9) Herved er f b a f(x)dx en lineær afbildning fra C([a, b]) ind i C, hvilket umiddelbart medfører, at (, ) ρ tilfredsstiller iii) og iv) i Definition 3.1. Egenskaben ii) følger af, at b a f(x)dx = b a f(x)dx, og i) følger af, at når f er kontinuert og f 0, da er b a f(x)dx = 0 netop hvis f = 0. Bemærk, at hvis ρ og ρ betegner henoldsvis minimum og maksimum af den positive kontinuerte funktion ρ på intervallet [a, b], således at 0 < ρ ρ ρ < +, følger det at ρ f f ρ ρ f for f C([a, b]), hvor, h.h.v. ρ, betegner normen givet ved det indre produkt (3.7), h.h.v. (3.8). 3) Lad l 0 (N) betegne mængden af komplekse talfølger (x n ) n N som er lig med 0 fra et vist trin, altså med kun endelig mange elementer forskellige fra 0. l 0 (N) er da et underrum af vektorrummet af alle komplekse talfølger, som jo er lig med F(N, C). På l 0 (N) defineres et indre produkt ved ((x n ), (y n )) = x n y n, hvor summen på højresiden kun har endelig mange led forskellige fra 0 (og derfor selvfølgelig er konvergent). At der herved defineres et indre produkt på l 0 (N) ses på samme vis som for C k. 3.2 Ortogonalitet Lad nu (E, (, )) være et indre produkt rum. Som bekendt siges to vektorer x, y E at være ortogonale, og vi skriver da x y, såfremt der gælder, at (x, y) = 0. Mere generelt siges en vektor x E at stå vinkelret på en delmængde A E, og vi skriver da x A, såfremt x står vinkelret på samtlige vektorer i A. Det ortogonale komplement A til A defineres som mængden af alle vektorer, der står vinkelret på A, altså A = {x E (x, y) = 0 for alle y A}. (3.10) Det bemærkes, at på grund af iii) og iv) i Definition 3.1 er A et underrum af E for enhver mængde A E og af samme grund gælder, at A = (spana), (3.11) 4
hvor spana som sædvanlig betegner underrummet af E udspændt af A, som består af samtlige linearkombinationer af vektorer fra A. En familie (x i ) i I af vektorer fra E, hvor I er en vilkårlig indeksmængde, siges at være et ortogonalsæt, såfremt der gælder at (x i, x j ) = 0, når i j, altså såfremt sættets vektorer er parvis ortogonale. Hvis også x i = 1 for hvert i I, taler vi om et ortonormalsæt. Idet en familie (x i ) i I af vektorer fra E siges at være en lineært uafhængig familie, hvis ethvert endeligt delsæt af (x i ) i I er lineært uafhængigt, har vi følgende. Lemma 3.5 Lad (x i ) i I være et ortogonalsæt i E, således at x i 0 for alle i I. Da er (x i ) i I et lineært uafhængigt sæt. Bevis. Lad (x i1,..., x in ) være et endeligt delsæt af (x i ) i I og antag at skalarerne λ 1,..., λ n opfylder λ 1 x i1 +... + λ n x in = 0. Ved at tage det indre produkt med x ij for ethvert j {1,..., n} på begge sider af denne ligning, fås under udnyttelse af det indre produkts linearitetsegenskaber, at λ 1 (x i1, x ij ) +... + λ n (x in, x ij ) = 0. Men ifølge antagelsen er (x ik, x ij ) = 0 for k j, således at λ j (x ij, x ij ) = 0. Men så er λ j = 0 eftersom (x ij, x ij ) 0, da x ij 0. Endvidere noterer vi følgende generalisering af Pythagoras sætning. Sætning 3.6 Lad (x 1,..., x n ) være et endeligt ortogonalsæt. Da er x i 2 = x i 2. Bevis. Vi har x i 2 = x i, = j=1 (x i, x i ) = x j = (x i, x j ) i,j=1 x i 2, hvor vi ved tredie lighedstegn har benyttet, at kun diagonalleddene svarende til i = j bidrager til summen på grund af ortogonalitetsantagelsen. Herefter minder vi om følgende sætning, som også er kendt fra lineær algebra, jvf. Theorem 4.19 side 164 i [M]. Sætning 3.7 Lad (e 1,..., e n ) være et endeligt ortonormalsæt i E. x E findes en entydig vektor u span{e 1,..., e n }, således at For enhver vektor x u {e 1,..., e n } og den er givet ved u = (x, e i )e i. (3.12) 5
Endvidere gælder Bessels ulighed for alle x E. (x, e i ) 2 x 2 (3.13) Bevis. Enhver vektor u span{e 1,..., e n } kan skrives på formen u = λ 1 e 1 +... + λ n e n, hvor λ 1,..., λ n L. Ved at tage det indre produkt med e i på begge sider af denne ligning fås, at (u, e i ) = λ i (e i, e i ) = λ i, da (e i, e i ) = 1. Altså har vi u = (u, e i )e i (3.14) for u span{e 1,..., e n }. Men x u {e 1,..., e n } er ensbetydende med, at (x u, e i ) = 0 for hvert i = 1,..., n, hvilket igen er ækvivalent med, at (x, e i ) = (u, e i ) for i = 1,..., n. Sammen med (3.14) viser dette første del af sætningen. Bessels ulighed følger nu af Sætning 3.6 ved at bemærke at x = u + (x u), hvor u (x u), således at x 2 = u 2 + x u 2 u 2 = (x, e i ) 2. I sidste skridt har vi benyttet, at (x, e i )e i 2 = (x, e i ) 2. Vektoren u givet ved (3.12) kaldes den ortogonale projektion af x på underrummet span{e 1,..., e n }. Blandt vektorerne i span{e 1,..., e n } har den mindst afstand til x m.h.t. normen og er entydigt bestemt herved. Hvis nemlig v span{e 1,..., e n } er vilkårlig, er x v = (x u) + (u v), hvor (x u) (u v), således at x v 2 = x u 2 + u v 2 x u 2, og der gælder lighedstegn til sidst, hvis og kun hvis u = v. Af Bessels ulighed følger nu nemt Cauchy-Schwarz ulighed: (x, y) x y (3.15) for alle x, y E. Hvis nemlig y = 0, står der 0 på begge sider af uligheden, og hvis y 0, er 1 y y = 1, og det følger af (3.13) med n = 1 og e 1 = 1 y y, at ( ) 1 x, y y x, hvilket giver (3.15) efter multiplikation med y på begge sider. 6
Ved hjælp af Cauchy-Schwarz ulighed fås trekantsuligheden (3.5) på følgende vis: x + y 2 = (x + y, x + y) = x 2 + (x, y) + (y, x) + y 2 = x 2 + 2Re(x, y) + y 2 x 2 + 2 (x, y) + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2. 3.3 Kontinuitet af indre produkt I det følgende skal vi gentagne gange benytte os af, at det indre produkt (, ) : E E L er kontinuert. Dette indses som følger. Lad x 0, y 0 E være givne og vælg x, y E, således at x x 0 δ og y y 0 δ, hvor δ > 0 er givet. Da er (x, y) (x 0, y 0 ) = (x, y y 0 ) + (x x 0, y 0 ) (x, y y 0 ) + (x x 0, y 0 ) x y y 0 + x x 0 y 0 δ( x + y 0 ) δ( x 0 + δ + y 0 ), (3.16) hvor vi har benyttet Cauchy-Schwarz s ulighed samt x = (x x 0 ) + x 0 x x 0 + x 0 x 0 + δ. Da det sidste udtryk i (3.16) går imod 0 for δ 0, sluttes at der for givet ε > 0 findes δ > 0 således at (x, y) (x 0, y 0 ) < ε for x x 0 δ og y y 0 δ. Ifølge definitionen af kontinuitet er dette netop, hvad der kræves.. Ækvivalent hermed er, at for vilkårlige følger (x n ) og (y n ) i E gælder, at hvis x n x 0 og y n y 0 for n. (x n, y n ) (x 0, y 0 ) for n, (3.17) Definition 3.8 En række x n, hvis led tilhører et normeret vektorrum E, siges at være konvergent med sum x = x n i E, såfremt afsnitsfølgen (s k ) k N defineret ved konvergerer imod x for k. k s k = x n (3.18) Af (3.17) og iii) i Definition 3.1 følger, at ( ) ( k ) x n, y = lim x n, y = lim k 7 k k (x n, y) = (x n, y) (3.19)
og tilsvarende ( y, ) x n = (y, x n ) (3.20) for enhver konvergent række x n i E, og alle y E. En yderligere konsekvens af kontinuiteten af det indre produkt er, at A = (A) for enhver mængde A E. Her betegner A afslutningen af mængden A, d.v.s. mængden af grænseværdier for følger i A. Hvis nemlig x A og y A findes en følge (y n ) i A så y = lim y n, hvoraf følger at (x, y) = lim(x, y n ) = 0, altså at x y. Da y A var vilkårligt valgt sluttes, at A (A). Den omvendte inklusion følger umiddelbart af, at A A. Sammen med (3.11) giver dette, at A = (spana) = (spana). (3.21) Vi kalder spana for det afsluttede underrum udspændt af A. Tilsvarende vises (se Opg. 5), at A er et afsluttet underrum af E ( d.v.s. A = A for enhver mængde A E). 3.4 Hilbert rum Som bekendt fra lineær algebra har ethvert endeligdimensionalt indre produkt rum E ortonormale baser. Lader vi (e 1,..., e n ) betegne en sådan basis, og betegner vi med x = (x 1,..., x n ) L n koordinatsættet for vektoren x E m.h.t. denne basis, d.v.s. da er ifølge Sætning 3.6 x = x 1 e 1 +... + x n e n, x = ( x 1 2 +... + x n 2 ) 1/2. Det følger, at afbildningen (x 1,..., x n ) x 1 e 1 +... + x n e n er en lineær isometri af L n på E, med omvendt afbildning x ((x, e 1 ),..., (x, e n )). Da vektorrummet L n vides at være fuldstændigt m.h.t. den sædvanlige norm, følger heraf, at E også er fuldstændigt. Det viser sig, at kravet om fuldstændighed sikrer, at en hel række af de vigtigste resultater vedrørende endeligdimensionale indre produkt rum kan overføres til det uendeligdimensionale tilfælde, d.v.s. til Hilbert rum, som vi skal se i det følgende. Lad os først se på et par vigtige eksempler på Hilbert rum. Eksempel 3.9 1) Ovenfor er vist, at ethvert endelig-dimensionalt indre produkt rum er et Hilbert rum. Dette gælder specielt R k og C k (jvf. Opg. 2). 2) Rummet l 0 (N) (se Eksempel 3.4) er ikke fuldstændigt. Lader vi f.eks. x n l 0 (N) være givet ved x n = (1, 1 2, 1 3,..., 1 n, 0, 0,... ) har vi for m n at x n x m 2 = 8 k=m+1 1 k 2
hvilket viser at (x n ) n N er en Cauchy følge i l 0 (N), eftersom rækken k=1 1 k 2 er konvergent. Følgen (x n ) n N er dog oplagt ikke konvergent i l 0 (N). Lad os i stedet betragte det større underrum l 2 (N) af F(N, C) bestående af kvadratisk summable følger, altså af komplekse talfølger (a n ) n N for hvilke a n 2 < +. At l 2 (N) er et underrum af F(N, C) følger af den velkendte ulighed a + b 2 2( a 2 + b 2 ), som iøvrigt er Cauchy-Schwarz ulighed for vektorerne (1, 1) og (a, b) i C 2. For to følger (a n ) og (b n ) i l 2 (N) giver denne a n + b n 2 2 a n 2 + 2 b n 2 < +, altså at (a n ) + (b n ) l 2 (N). Da det desuden er klart, at λ(a n ) = (λa n ) l 2 (N) for λ C og (a n ) l 2 (N), er l 2 (N) et underrum af F(N, C). Benyttes uligheden ab 1 2 ( a 2 + b 2 ) for a, b C fås, at der ved ((a n ), (b n )) = a n b n defineres en afbildning (, ) : l 2 (N) l 2 (N) C, idet rækken på højresiden er absolut konvergent. At der herved defineres et indre produkt på l 2 (N) ses herefter umiddelbart. Lad os vise, at l 2 (N) med dette indre produkt er et Hilbert rum. Antag således, at (x n ) n N er en Cauchy følge i l 2 (N), hvor x n = (a n 1, an 2,... ). Da der for hvert k N gælder, at a n k am k xn x m, er følgen (a n k ) n N for hvert k N en Cauchy følge i C og derfor konvergent, idet C er fuldstændigt. Vi kalder grænseværdien a k, altså a k = lim n an k, og sætter x = (a 1, a 2,... ). Vi viser nu, at x l 2 (N) og at x n x for n. Givet ε > 0 findes et N N, således at K a n k am k 2 k=1 a n k am k 2 = x n x m 2 ε 2 k=1 for n, m N og samtlige K N. For m fås heraf at K a n k a k 2 ε 2 for n N og alle K N. For K fås så, at x n x 2 = a n k a k 2 ε 2 k=1 for n N. Dette viser dels, at x N x l 2 (N) og derfor x = x N (x N x) l 2 (N), og dels at x n x for n som ønsket. 3) Rummet C([a, b]) med indre produkt givet ved (3.8) er ikke fuldstændigt. Normen på dette rum er givet ved f 2 ρ = b a f(x) 2 ρ(x)dx. 9 k=1
Lader vi f.eks. f n betegne funktionen på [0, 2], der er lig med 0 på [0, 1], vokser lineært fra 0 til 1 på [1, 1 + 1 n ] og lig med 1 på [1 + 1 n, 2] (tegn grafen!), er det let at indse, at (f n) er en Cauchy følge i C([0, 2]) m.h.t. ρ, men at den ikke har en grænseværdi i C([0, 2]). På tilsvarende måde som for l 0 overfor kan C([a, b]) udvides til et Hilbert rum L 2 ([a, b]) bestående af alle kvadratisk integrable funktioner på [a, b], d.v.s. funktioner f : [a, b] C, således at b a f(x) 2 dx <. Der er her tale om en generalisering af Riemann integralet, kaldet Lebesgue integralet, som ligger uden for rammerne af dette kursus. For vores formål er det tilstrækkeligt at notere sig følgende tre fakta: i) To funktioner f og g i L 2 ([a, b]) regnes for ens, hvis b a f(x) g(x) 2 dx = 0 d.v.s. hvis f g = 0, og vi siger da, at f er lig med g næsten overalt i [a, b], eller at f(x) = g(x) for næsten alle x [a, b]. Dette gælder f.eks. for to funktioner, der kun afviger i endelig mange punkter af intervallet. At dette forkommer betyder også, at L 2 ([a, b]) strengt taget ikke er et rum af funktioner, men snarere af klasser af funktioner, hvor funktionerne i hver klasse indbyrdes er ens næsten overalt. Beviset for at L 2 ([a, b]) er et vektorrum med indre produkt defineret ved formlen (3.7) kan herefter udføres på ganske tilsvarende måde som for l 2 (N). At L 2 ([a, b]) er fuldstændigt er et grundlæggende resultat vedrørende Lebesgue integralet, kaldet Riesz-Fischers sætning. ii) L 2 ([a, b]) er en minimal udvidelse af C([a, b]) i den forstand, at afslutningen af sidstnævnte som underrum af L 2 ([a, b]) er lig med hele L 2 ([a, b]). Sagt med andre ord: For ethvert givet f L 2 ([a, b]) findes en følge (f n ) n N i C([a, b]), således at f n f 0 for n 0. iii) I modsætning til Riemann integralet er Lebesgue integralet defineret for funktioner på et vilkårligt interval I R og stemmer for kontinuerte positive funktioner overens med det uegentlige Riemann integral. Vi kan således definere Hilbert rummet L 2 (I) for ethvert interval I, herunder specielt L 2 (R). For sidstnævnte gælder i stedet for ii) ovenfor, at afslutningen af underrummet C 0 (R) bestående af kontinuerte funktioner, der er 0 udenfor et (vilkårligt) begrænset interval er lig med hele L 2 (R). I afsnit 4.5 får vi brug for at det samme gælder for underrummet C0 (R) bestående af C -funktioner, der er 0 udenfor et begrænset interval. Den interesserede læser henvises til kurset Mål og Integral eller f.eks. til bogen M.Reed and B. Simon: Methods of modern mathematical physics, Vol I, Academic press 1972 for en indføring i Lebesgue integralteorien. I det følgende betegner H et Hilbert rum med indre produkt (, ). Ethvert underrum X af H er et indre produkt rum, hvis indre produkt er defineret som restriktionen af (, ) til X X. Da er X H et Hilbert rum netop hvis X er et afsluttet underrum af H, d.v.s. hvis A = A (se Opg. 6). Specielt er alle endeligdimensionale underrum af H afsluttede. Vi får brug for følgende vigtige udvidelse af Pythagoras sætning. 10
Sætning 3.10 Lad (x i ) i N være et ortogonalsæt i H. Da er x i konvergent i H hvis og kun hvis og der gælder da at x i 2 < +, x i 2 = x i 2. (3.22) Bevis. Da H er fuldstændigt, er x i konvergent i H, hvis og kun hvis afsnitsfølgen (s n ) er en Cauchy følge. Dette betyder, at der for ethvert ε > 0 findes et N N, således at s n s m 2 = i=m+1 x i 2 = i=m+1 x i 2 ε 2 (3.23) for n > m N, hvor vi har benyttet Sætning 3.6. Da R er fuldstændigt, haves på den anden side, at x i 2 er konvergent, hvis og kun hvis afsnitsfølgen (r n ) givet ved r n = x i 2 er en Cauchy følge i R. Men dette betyder, at der for ethvert ε > 0 findes N N, således at r n r m = x i 2 < ε 2 (3.24) i=m+1 for n > m N. Ved sammenligning af (3.23) og (3.24) følger den første påstand. Endelig fås ved brug af kontinuiteten af x x og Sætning 3.6 x i 2 = lim n x i 2 = lim x i 2 = lim n n x i 2 = x i 2, hvilket viser (3.22). Idet en ortonormalbasis for et endeligdimensionalt indre produkt rum H kan karakteriseres som et ortonormalsæt, der udspænder H, og da ethvert endeligdimensionalt indre produkt rum er fuldstændigt, giver følgende definition en udvidelse af begrebet ortonormalbasis til vilkårlige Hilbert rum. Definition 3.11 En ortonormalbasis for H er et ortonormalsæt (e i ) i I span{e i i I} = H. i H således at Da H = {0} følger det af (3.21), at {e i i I} = {0}. 11
for enhver ortonormalbasis (e i ) i I for H. Dette betyder, at enhver ortonormalbasis er et maksimalt ortonormalsæt i H, d.v.s. at der ikke findes nogen vektor e H med e = 1, således at e sammen med (e i ) i I udgør et ortonormalsæt. At der omvendt gælder, at ethvert maksimalt ortonormalsæt i H er en ortonormalbasis vises i Sætning 3.13 nedenfor. Bemærk, at det af Definition 3.11 følger, at et ortonormalsæt (e i ) i I er ortonormalbasis for det af (e i ) i I udspændte afsluttede underrum. Ethvert Hilbert rum har en ortonormalbasis. Et bevis for denne påstand bygger på det såkaldte udvalgsaksiom, hvilket vi ikke skal komme ind på her. I det følgende indskrænker vi os til at betragte separable Hilbert rum, d.v.s. Hilbert rum, der har en tællelig ortonormalbasis, d.v.s. en ortonormalbasis, der kan numereres med N (eller Z) som indeksmængde. Eksempel 3.12 For rummet l 2 (N) indført i Eksempel 3.9 fås en ortonormalbasis (e i ) i N ved at lade følgen e i være givet ved, at alle dens elementer er 0 pånær det i te, som sættes til 1, altså { 1 for j = i (e i ) j = 0 for j i. At der herved fås en ortonormalbasis følger ved at bemærke, at (e i ) i N oplagt er et ortonormalsæt, og at span{e i i N} = l 0 (N), hvis afslutning er l 2 (N) ifølge definitionen af normen på l 2 (N) (jvf. Opg. 15). Vi kalder (e i ) i N for den naturlige ortonormalbasis for l 2 (N). I næste paragraf skal vi bestemme ortonormalbaser for Hilbert rummet L 2 ([ π, π], 1 2π ). Det vil i dette tilfælde vise sig naturligt at benytte mængden af hele tal Z som indeksmængde. 3.5 Ortonormaludvikling Vi sigter nu bl.a. imod at generalisere udviklingen af vektorer m.h.t. ortonormalbaser i endeligdimensionale indre produkt rum (jvf. afsnit 4.5 i [M]) til uendelig-dimensionale Hilbert rum. H antages altså i det følgende at være uendeligdimensionalt og separabelt. Samtlige resultater, der vises i dette afsnit, kan dog udvides til vilkårlige Hilbert rum. Lad (e i ) i N være et ortonormalsæt i H (som antages at være uendeligdimensionalt) og betragt en vektor x H. Ifølge Bessels ulighed (3.13) har vi da, at n (x, e i ) 2 x 2 for hvert n N. Heraf følger den generaliserede Bessels ulighed (x, e i ) 2 x 2. (3.25) Benyttes Sætning 3.10 sammen med (3.25) fås, at rækken (x, e i )e i er konvergent i H, og vi sætter u = (x, e i )e i. (3.26) 12
Vektoren u tilhører klart span{e i i N}. Den kan i princippet afhænge af summationsrækkefølgen, d.v.s. af den valgte rækkefølge e 1, e 2, e 3,... af ortonormalsætets vektorer, der indgår i definitionen af summen i (3.26), jvf. Definition 3.8. Følgende udvidelse af Sætning 3.7 medfører imidlertid, at dette ikke er tilfældet. Sætning 3.13 Lad (e i ) i N være et ortonormalsæt i H. For enhver vektor x H findes en entydig vektor u span{e i i N}, således at x u {e i i N}, og den er givet ved (3.26). Specielt afhænger u ikke af summationsrækkefølgen, og vi skriver derfor også u = i N(x, e i )e i. Bevis. Vektoren u givet ved (3.26) opfylder for hvert j N følgende: ( ) (u, e j ) = (x, e i )e i, e j = (x, e i )(e i, e j ) = (x, e j ). Altså er (x u, e j ) = 0 for alle j N og dermed x u {e j j N}. Antag, at v span{e i i N} således at x v {e i i N}. Da er u v span{e i i N} og u v = (x v) (x u) {e i i N} = (span{e i i N}). Specielt er (u v, u v) = 0, hvilket viser at u = v. Hermed er sætningen vist. Vi kan nu vise følgende vigtige resultat. Sætning 3.14 For et ortonormalsæt (e i ) i N i H er følgende fire udsagn ensbetydende. (i) (e i ) i N er en ortonormalbasis for H. (ii) {e i i N} = {0}. (iii) Ortonormaludviklingen x = i N(x, e i )e i gælder for alle x H. (iv) Parsevals ligning gælder for alle x H. x 2 = (x, e i ) 2 (3.27) 13
Bevis. Vi har tidligere indset at (i) (ii). At (ii) (iii) følger af Sætning 3.13, idet vi med samme betegnelser som der får, at x = u. At (iii) (iv) følger umiddelbart af (3.22). Antages endelig, at (iv) er gyldig, haves x (x, e i )e i 2 = x 2 (x, e i ) 2 0 for n. Da dette gælder for hvert x H følger det, at span{e i i I} er tæt i H. Dette viser, at (iv) (i). Som en yderligere følge af Sætning 3.13 har vi projektionssætningen: Sætning 3.15 Lad X være et afsluttet underrum af H. Da findes for hver vektor x H entydige vektorer u X og v X, således at x = u + v. (3.28) Bevis. Da X er et afsluttet underrum af H, er X et Hilbert rum, som også er separabelt. Vælges en ortonormalbasis (e i ) i I for X, hvor I er endelig eller lig med N, har vi, at X = span{e i i I}. Påstanden følger herefter umiddelbart af Sætningerne 3.7 og 3.13. Det bemærkes, at vektoren u i (3.28) også kan karakteriseres som den entydige vektor i X, som har mindst afstand til x. Argumentet herfor er det samme som givet efter beviset for Sætning 3.7. Vi siger, at de to underrum X og X er komplementære og skriver H = X X som udtryk for udsagnet i Sætning 3.15. Vektoren u i (3.28) kaldes den ortogonale projektion af x på X og er altså givet ved u = i I (x, e i )e i, hvor (e i ) i I er en ortonormalbasis for X. Da X også er et afsluttet underrum af H har vi også at H = X X. Da X X sluttes heraf, at X = X for ethvert afsluttet underrum X af H. Det følger så, at v i (3.28) er den ortogonale projektion af x på X. Vælges en ortonormalbasis (e j ) j J for X, da udgør denne sammen med (e i ) i I en ortonormalbasis (e i ) i I J for H (overvej dette!) 14
3.6 Fourier rækker Centrale dele af teorien for Fourier rækker, der har sit udspring i J. Fouriers analyse af varmeledning i 1807, kan formuleres behændigt ved at opfatte disse som ortonormaludviklinger, som vi her kort skal gøre rede for. Det relevante Hilbert rum er H = L 2 ( L, L) med indre produkt givet ved hvor faktoren 1 2L (f, g) = 1 L f(θ)g(θ) dθ, 2L L er medtaget af praktiske årsager. Følgende resultat er afgørende. Sætning 3.16 Lad funktionen e n på intervallet [ L, L] være givet ved e n (θ) = e in π L θ, θ [ L, L], n Z. Da er (e n ) n Z en ortonormalbasis for H = L 2 ( L, L). Bevis. At (e n ) n Z er et ortoormalsæt fås af følgende regning: (e n, e m ) = 1 L 2L L L e n (x)e m (x)dx = 1 e i(n m) π L θ dθ 2L L [ 1 L = 2L i(n m)π ei(n m) π θ] L L = 0 for n m L 1 2L [x]l L = 1 for n = m, hvor det er benyttet, at e n er periodisk med periode 2L som funktion af θ R. For at indse, at span{e n n Z} = H, noterer vi først, at det er nok at vise, at C([ L, L]) span{e n n Z} eftersom C([ L, L]) = H, som bemærket tidligere. Det er altså nok at vise, at der for enhver given funktion f C( L, L) og ethvert givet ɛ > 0 findes f 1 span{e n n Z}, således at f f 1 < ɛ. (3.29) Vælg hertil først en funktion f 2 C([ L, L]), således at f 2 ( L) = f 2 (L) = 0 og f f 2 < ɛ 2, (3.30) hvilket klart er muligt (overvej!). Da f 2 kan uvides til en kontinuert periodisk funktion med periode 2L følger det af Stone-Weierstrass sætning (se f.eks. W. Rudin: Functional analysis, Kapitel 5), at der findes en funktion f 1 span{e n n Z}, således at f 2 (θ) f 1 (θ) < ɛ 4L, θ [ L, L], og derfor f 2 f 1 < ɛ 2. (3.31) 15
Bruges trekantsuligheden følger (3.29) af (3.30) og (3.31), hvilket afslutter beviset. Af den foregående sætning og Sætning 3.17 fås nu, at hvis vi for f L 2 ([ L.L]) definerer Fourier koefficienterne c n (f) ved c n (f) = 1 L f(θ)e in π L θ dθ, (3.32) 2L L da er f(θ) = n Z c n (f)e in π L θ, (3.33) hvor rækken kaldes Fourier udviklingen af f. Det er vigtigt at bemærke her, at rækken er konvergent m.h.t. L 2 -normen. Mere præcist udtrykker ligningen, at N n= N c n (f)e n f 0 for N. Resultater vedrørende punktvis og uniform konvergens findes i de fleste fremstillinger af Fourier række teorien, se f.eks. B. Durhuus: Hilbert rum med anvendelser, forelsningsnoter 1997. 16
Opgaver til Ch. 3 Opgave 1 Vis, at enhver konvergent følge i et indre produkt rum er en Cauchy følge. Vink. Benyt trekantsuligheden. Opgave 2 a) Vis, at en følge (x n ) n N i R k (eller C k ) er konvergent, h.h.v. en Cauchy følge, m.h.t. den sædvanlige norm, hvis og kun hvis hver af koordinatfølgerne (x i n) n N, i = 1,..., k, er konvergente, h.h.v. Cauchy følger, (i R eller C), hvor vi benytter notationen x n = (x 1 n,..., x k n). b) Benyt a) til at indse, at R k og C k er fuldstændige, idet det antages kendt, at R er fuldstændigt. Opgave 3 Betragt det endeligdimensionale komplekse Hilbert rum H = C k, med indre produkt som angivet i Eksempel 3.4 1). Vis, at ((1, 0,..., 0), (0, 1, 0..., 0),..., (0,..., 0, 1)) er en ortonormalbasis for H. Opgave 4 Vis, at det indre produkt på et komplekst Hilbert rum tilfredsstiller polariseringsidentiteten (x, y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 ). Opgave 5 Lad H være et Hilbert rum. Vis, at for enhver delmængde A H er A et afsluttet underrum af H. Opgave 6 Lad H være et Hilbert rum. Vis, at et underrum X af H er et Hilbert rum hvis og kun hvis X er afsluttet. Vis også, at afslutningen af et underrum af H er et underrum af H (her skal kontinuitet af addition og af skalarmultiplikation benyttes). Opgave 7 Vis, at (sin nθ) n N er et ortogonalsæt i C([0, π]) med indre produkt givet ved (3.7). Opgave 8 Bestem a 1, a 2, a 3 C, således at π antager den mindst mulige værdi. 0 cos θ 3 a n sin nθ 2 dθ Opgave 9 Lad polynomierne p 0 (x), p 1 (x),... være defineret ved, at p n (x) er et polynomium af grad n i den variable x, således at koefficienten til x n er 1 og (p 0 (x), p 1 (x),...) er et ortogonalsæt i L 2 ([0, 1]). Find p 0 (x), p 1 (x) og p 2 (x). Opgave 10 Vis, at (sin(n 1 2 )θ) n N er et ortogonalsæt i C([0, π]) med indre produkt givet ved (3.7). 17
Opgave 11 Lad H være et uendeligdimensionalt separabelt Hilbert rum og lad (e n ) n N være et ortonormalsæt i H. 1) Vis, at rækken 1 n e n er konvergent i H, og afgør for hvilke α R rækken nα e n er konvergent i H. 2) Bestem den ortogonale projektion af vektorerne e 1 ±2e 2 på (underrummet udspændt af) vektoren n 1 e n, idet det oplyses, at 1 n 2 = π2 6 ) π Opgave 12 Vis, at lim n 0 log θ sin nθdθ = 0. Vink. Dette kan fås som et korollar til Bessels ulighed (3.25) i forbindelse med ortogonalsættet i Opg. 7. Opgave 13 Lad (e i ) i N være en ortonormalbasis for Hilbert rummet H. Vis, at følgende generalisering af Parsevals ligning gælder for alle x, y H: (x, y) = (x, e i )(y, e i ). Opgave 14 Betragt indre produkt rummet l 0 (N) som defineret i Eksempel 3.2 3) og sæt X = {(x n ) n N l 0 (N) x n 1 n = 0}. Vis, at X er et afsluttet underrum af l 0 (N), og at X X l 0 (N). Opgave 15 Godtgør, at afslutningen af l 0 (N) er lig med l 2 (N), d.v.s. at enhver følge x i l 2 (N) kan fås som grænseværdi af en følge (x n ) n N i l 0 (N). Vink. Lad x n være følgen, der stemmer overens med x op til og med n te led, og som derefter er 0. Opgave 16 Lad H være et komplekst Hilbert rum og lad n N, a C således at a n = 1 og a 2 1. Vis den generaliserede polariseringsidentitet (x, y) = 1 n 1 a ν x + a ν y 2. n ν=0 18