Idhod Idhod Geere iformtio ti e øveer SIG Øvee Siggeertor 3 SIG Øvee AGC SIG Øvee 3 odig SIG Øvee 4 ydkort impurepo 4 SIG Øvee 5 DTT 6 SIG Øvee 6 Z-trformtio, poer og upukter SIG Øvee 7 IIR ytem 6 SIG Øvee Iterpoerig SIG Øvee 9 Decimerig 34 SIG Øvee ydkort frekvekrteritik 3 SIG Øvee RC-kredø 3
Geere iformtio ti e øveer Idedig Øveere i SIG udgør,5 ECTS-poit ud f fget mede 7,5 ECTS poit. Øveere må er t give e prktik idggvike ti de i timere teoretike emer. Noge øveer vi tge e idt de idggvike ti teorie ed det i timere geemgåede. ormået med dette er t tyrke overikket og foremmee for igehdig. SIG k ku etå ved godkedee f midt ud f øveer. Godkedee vi ive foretget f øveevejedere, og vi foregå ud fr godkedee f udregiger, impemeterig og reutter. Die forevie øveevejedere om vi komme rudt og tie forkeige pørgmå for t kotroere om det geemgåede er fortået korrekt, pørgmåee tger udggpukt i de før omtte udregiger, impemeterige og reuttere. Øveere udføre i hod på ti mkimt 4 peroer. Der vi ive hodt idividuet kotro med hvike øveer der er etået/ikke etået. Hvi ige på et hod hr udført e give øvee før de pågædede øvee udføre de tidigte. Dette gøre fordi reutter fr tidigere øveer med forde k ette i eere øveer. d o ige t et hod etår f 3 peroer er yg me de dre øer øvee 5, d går e videre med øvee 6 gge efter. Hvi e på et hod, f e eer de urgeig grud ikke kommer ti øvee 5, d øer hodet øvee 5 me de dre hod øer opgve 6. Mterie Nedetåede fide itet hvd der k ette f mterie. Hrdwre PC med ydkort, højtere og mikrofo. Et ociokop mode PM 3-5MH. K hete i 69 umiddert før øvee, k evere tige umiddert efter øvee. Et tereo mii jck ti me phoo feme phoo ti BNC Dette k ruge ti t foride ydkortet ker tereo ti et ociokop. Et me mii jck tereo ti me mii jck tereo ti t foride udgg med idgg. Die hete ho Crte Strd i oke 67. Softwre Mt tudeter verio iteret. Hvi ikke iteret e http://www.it.ih.dk/htmdoc_dk/hepdek/progrmmer/progrm_ittio/progrmit.php. or ptop k tudeterverioe udevere f IT hepdek. ittertur Mt mii oter, dee øveevejedig, Mt-primer, ig-proceig firt.
SIG Øvee Siggeertor Idhod Dee øvee formå er t itroducere Mt om et too ti igehdig. Dette gøre om erig y doig. Derfor k der i dee øvee ygge e oftwre iggeertor. Sigere fpie på PC e ydkort og regitrere f et ociokop. oreredee æ ote Mt mii oter og itroduktioe i dee øvee. Sørg for t Mt er iteret. Tet t det virker ved t ruge ekempe kode iu.m fr Mt mii oter ved t tie jer i tie hvor iu.m igger og krive i mt prompte: [x,t]iu,44; pott,x; [x,t]iu,44; oudcx; I kue åede gere e et pot f perioder f e iu med frekve 44H mt høre toe.
Itroduktio Mt er igeom e hver de ommereger dikret i de ehdig f dt. De virkeige verde er derimod kotiuert. Tg oget å impet om e vekepædige, dee k ekrive om e iu med frekve og mpitude A : x t A i π t hvor t er de kotiuerte tid om trækker ig fr ti. Som vi k e er x t e fuktio f tide, dt igehdigfok kdet et tidkotiuert ig. Hvi vi k tege iget vi vi typik væge et t pukter t, t,, t N hvori vi vi evuere fuktioe, herefter ætter vi die pukter id i et koorditytem og forider puktere. or t repræetere tidkotiuerte iger på e computer, er vi ødt ti t væge et t pukter hvori vi vi evuere fuktioe. Dee proce kde mpig. Det met mideige er t m væger ie mpetidpukter ti t være ækviditte med ftde t d.v.. t t t. Hvi vi f.ek. hr t hr vi tå t t. De reciprokke værdi f mpeitervet t kde mpefrekvee. t t. Dette e ig er ikke ægere e fuktio f de kotiuerte vrie t me f et dikret idek ; derfor kificerer vi det mpede ig om et tiddikret ig. Ofte der vi t og vi hr d y x t Siget om opå ved dee mpig er d givet ved y x Ekempe: d o tge t vi hr et ig givet ved x t Aiπt. d o mpe dette ig med, og d o tge t. t Vi hr d: y x t x / Aiπ / Aiπ / Hvi vi u tger hvor A og 4H mt kh t, å hr vi: y iπ. N.B. æg mærke ti t hvi vi ruger A og H mt kh t 6, å får vi igeede: y iπ r ekempet e t år ført m hr det tiddikrete ig y og m ikke ved hvike mpefrekve dette er opået ved å k m ikke ægere etydigt ige hvd det tihørede tidkotiuerte ig er/vr. Ofte itroducerer m de ormerede frekve f /, d N dette æt f pukter k ogå krive åede {} t.
iger med mme ormerede frekve opfører ig fudtædig e ved ehdig på computere. Smpig foretge med e A/D-koverter og ti digit, eg.: ADC. Når m k tige fr et tiddikret ig ti det tidkotiuerte foretger m e D/A-koverterig digit ti og, eg.: DAC. De mtemtike ekrivee f dee proce kommer vi id på i e eere øvee, me her tger vi t vi hr e fuktio det k ve de omætig d o kde de DAC åede t vi geker x t ved x t DAC y. Ekempe: d o tge t vi hr y iπf, f fr hviket vi vi ke x t. Me hvd iver x t? x t Aiπt, med A og 4H eer med A og H? Dette fhæger evføgeig f htighede hvor ved D/A-kovertere fpier dtmpe, dette kde ogå mpefrekvee og måe i mpe per ekud. Det er d krt t vi må give mpefrekvee mme med y, f.ek. om x t DAC y,. Såede k m ke e etydig mmehæg meem y og x t. Så x t DAC y,kh giver x t Aiπt, med A og 4H d vi hr / f f.
Opgve De I førte de k ociokopet ætte op. I tæder for ociokopet ved dreje på IUM. Øvert idder to peer med 5 kpper. Det vetre: A, AT, CHOP, ADD, B etemmer hvd der k ke med de idgge A og B. A vier ku k A, B vier ku k B, AT og CHOP vier egge, ADD ddere de to. Begge ker ætte ti V per DIV. I time peet 5 øverte kpper væge AUTO og TIME per DIV ætte ti m. Mii jck ti phoo påmotere med phoo ti BNC, om tiutte ti ociokopet A og B k. Mii jck tikket ætte i PC e ydudgg. Bet iu.m og oud kommdoe oud ti t fpie e iu med frekve 44H og vrighed på et miut. Og oerver ociokopet. Stemmer periodetide overe med de 44 H? Uderøg iu.m fuktioe rgumeter ved hep iu. Geerer u e iu på H og e mpefrekve på 6kH og e vrighed på ½ miut. Afpi u dee med oud. yt evt. ti iget, oerver herefter på ociokopet. Stemmer periodetide overe med de H? orkr ud fr itroduktioe hvd der ker? Hit: opft oud kommdoe om de fuktio, tidigere kdet DAC, der omætter ti et tidkotiuert ig. Brug hep oud ti t uderygge vret! Tg u de mme iu-iger om tidigere geereret med iu.m med hehodvi frekve 44H, vrighed på et miut og mpefrekve kh og med frekvee H og e mpefrekve på 6kH med e vrighed på ½ miut. Og fpi med oud kommdoe med e mpefrekve 6 e hep oud. Stemmer periodetidere fæt på ociokopet overe med de give? Prøv t få det oerverede ti t pe med teorie ved t krive udtryk for de to verioer f x t op ud fr de to iger ormerede frekveer f og mpefrekvee på oud kommdoe.
De I dee de k I kotruere forkeige igfuktioer, ækvivet ti iu.m. I k ve e igfuktio ti hvert f føgede iger: [ T; T T ] o [ T T ; T ] Periodik firkt:, t x firkt t, t o Atipodik u DC periodik firkt: x APfirkt t x firkt t Periodik kippet iu: xkipi t xfirkt tiπt / T Periodik erettet iu: xretkipi t xapfirkt tiπt / T Periodik trekt: t T, t [ T; T T ] o xtrekt t To, t [ T To ; T ] Periodik igetrekt: x t x t igetrekt Hvor idekere de te periode f iget. De ekete iger Mt fuktioer k tge reevte prmetre om periodetide T, dutycyce D udfr hvike m k erege T o DT. Deude give e vrighed, ete i t perioder eer tot vrighed. Smpe frekvee k optioet kue give, defut t k de være kh. Hep tekt krive åede t m k krive ekempevi hep periodikfirkt, for t få t vide hvord m ruger fuktioe. uktioere k ogå kue returere e tidke. Hit: Når ført m hr e periode f et ig å k de periodike getgeer kotruere ved hjæp f repmt. Ae iger checke på ociokopet og potte deude i Mt med kommdoe pott,x, hvor x er iget og t er de tihørede tidke. Die forevie øveevejedere for godkedee f øvee. trekt
SIG Øvee AGC Idhod Dee øvee hr to må dee om er ufhægige. De førte omhder Euer former, de de går ud på t ve e impe Automtic Gi Cotro AGC, åede t iger der k fpie ikke kippe for høje værdier. oreredee æ itroduktioe i dee øvee. I de er der e ie kiterigopgve om ve ide øvee. Itroduktio De I uderviige hr I tiftet ekedtk med Euer former, om for tidkotiuerte iger k krive åede: exp jπ t exp jπ t iπ t j exp jπ t exp jπ t coπ t exp jπ t coπ t j iπ t Herti hve coiu og iu er hehodvi ige og uige fuktioer: co π t coπ t i π t iπ t Mt hr evføgeig åde coiu og iu, deude hr de ekpoetifuktio om k tge et kompekt eemet om π t jo er. j I igehdigmmehæg er Euer former ydert eetiee. De er grudget for fidige f iger i frekvedomæet. Tg f.ek. iget x t coπt, for t fiede det i frekvedomæet opøer m iget i det kompeke ekpoetifuktioer: exp jπ t exp jπ t x t coπ t exp jπ t exp jπ t X exp jπ t X exp jπ t, X og X M fieder åede fuktioe X i frekvedomæet om fuktio f frekvee. D X typik åde kompeke værdier k der ette to pot. Ete k m potte re de X R Re X og imgiær de X I Im X eer, hviket er mere mideigt, potte ægde mpitude f de kompeke værdi A X ti hvert, mt vike fe f de kompeke værdi ϕ rg X ti hvert. A kde mpitudepektret og ϕ kde fe. Hvi m mper it ig om geemgået i øvee k m tdig gøre rug f Euer former:
iπ exp jπ / iπf / exp jπ j / exp jπf exp jπf j exp jπ / exp jπ / exp jπf exp jπf coπ / coπf exp jπ / exp jπf coπ / j iπ / coπf j iπf Hvor f / er de ormerede frekve. M potter å typike i frekvedomæet om fuktio f de ormerede frekve f hehodvi mpitude- og fe-krkteritikker. Ti t opøe et tiddikret ig i de kompeke ekpoetifuktioer ette fuktioe krkteritikperiodik.m k fide uder kuret fideig på CmpuNet. De I dee de k vi ekæftige o med t udrejde e utomtic gi cotro AGC. I de fete tifæde hvor et ig k ehde f et tykke eektroik, det være e fortærker eer å impet om et ydkort digit ti og koverterig eg.: DAC, er m ødt ti t tipe iget iput iveu. E fortærker idgg er måke deiget ti iger om igger meem -.3V ti.3v tå.6v udtyrigområde. Hvi fortærkere give e tørre pædig ed.3v å kippe de evt ti.3v, vi ter om t iget overtyrer fortærkere. Dette er e meget tærk forvrægig. Adre fortærkere er måke ikke het ieære i udkte f de udtyrigområde. I mt rugte vi i øvee fuktioe oud ti t fpie iu iger. Vi tte ikke å meget om mpitude, me dee vr, d e iu mkime værdi er. Værdie omætte vi ydkortet ti e pædig om fhæger f voume kotroe. Hvi e ig er tørre ed kippe iget. Dette vi ive uderøgt i øvee. or t forhidre kipig etter m typik e AGC om kerer iget efter udtyrige. Der fide forkeige trtegier. De metode om vi vi ette her ikre t der drig optår overtyrige. Metode er å impe t m kerer hee iget med e værdi k gi fktor, e åkdet ehedkerig, ved t de et t ig y t kx t åede t iget y t drig kommer over uet x t. Adre AGC metoder går på t kere åede t dyighede for overtyrig miimere, me ikke fjere d dette k hve etydig for ytemet føomhed over for iger med ie mpitude. M typik fide e kerig om fhæger f iget eergi.
Opgve De oreredee: teg mpitude og fe krkteritik f e tidkotiuert iu med mpitude og frekve 4H, fiede i itervet -H ti H. Smpe dee ved kh og teg fe og mpitude om fuktio f de ormerede frekve i iterver -½ ti ½. Getg u med e hv i mpitude. Geerer i Mt e periode f e iu og e coiu ækvivet ti de i foreredee mpede iu, d.v..: på 4H med e mpefrekve på kh og mpitude og derefter /. v ev må mt fuktioer Pot die med pot kommdoe i Mt. Geerer de mme iger ved ku t ette ekpoetifuktioer, d.v.. efterviig f Euer former. Brug u krkteritikperiodik.m ti t eftervie jere foreredee, pot åde for iu og coiu mt for de to forkeige mpituder. Udvid jere iggeertorer fr øvee åede t m k give et rgumet det_t, om fytter iget trttidpukt, om for iu vie ive i π t t. Bet u de e iggeertor ti t de e coiu om før, me u med krkteritikperiodik.m, forkr hvd der ker ud fr Euer teorie. t m. Pot med Sutteigt v perioder f e coiu og tyve f e iu hehodvi med frekvee 4 og H og mpitudere og.5. Addere de to og pot med krkteritikperiodik.m, forkr hvd der ker ud fr Euer teorie. De ørt k I oervere på ociokopet hvd der ker år mpitude f e iu vriere. Geerer e iu med frekve 4H, e vrighed på et miut, og mpe frekve på kh i et ig x. Afpi u x med forkeig mpitude ved oud*x, hvor tger værdiere.5,,. Hvd ker der i forhod ti teorie? v u e mtfuktio AGC.m om returerer et ig hvi mpitude drig er tørre ed. Kotroer ved rug oudagc*x. Bet jere iggeertor fr øvee ti t geerere e egtiv trekt med mpitude, d.v.. e trekt om går fr u og edd ti -. Kotroer t jere AGC tdig virker.
SIG Øvee 3 odig Idhod Dee øvee hr ti formå t fortå og uderøge impurepo og fodig. oreredee æ itroduktioe i dee øvee. Itroduktio De I uderviige hr i fået defieret et tiddikretytem impurepo og I hr fået defieret tiddikret fodig. I ved t impurepoet er ytemet vr på e det-fuktio og t ytemet vr på et vikårigt ig x et givet om fodige f x med impuvret. Vi k i dee øvee ført impemetere tiddikret fodig f et ig x defieret fr,..., N og et impurepo h k defieret for k,..., K. odig i dikret tid er defieret ved: k y h k x k,,..., Hvi impuvret om her er fkortet iver fodige ti y k K h k x k. Et proem er imidertid hvd m k gøre ved fodigumme for de værdier f,..., hvor x ikke er defieret. Geeret tger m t iger er og ereger derfor ku K h k x k k for e dre værdier vi y for,..., N K, ieærfodig. y med dee tgee ive u. Dee fodig kde ofte Me hvd u hvi vi tger t iget x er periodik hvor x over,..., N præci er e periode?, å k dette evføgeig udtte i fodige: K h k x k h k x N k, K k k y K < h k x k, K N k Som m k e grier fodige rudt om ig ev for t få ft i dt der repræeterer de foregåede periode, dee fodig kde derfor cirkuær fodig. Vi k ekæftige o med 3 kutige impurepo fuktioer. De førte e åkdet ic fuktio defieret ved:
exp jπ t exp jπ t iπ t icπ t exp j t d π j t j t t π π π Hvor etemmer redde f ic-fuktioe. Vi er t år t iver dividerer vi med u, hviket jo idikere e uedeig værdi me de korrekte gæeværdi er imicπ t. t Sic-fuktioe er e f de vigtigte fuktioer i igehdig d de optå i mge forkeige mmehæge. De kde ofte for det optime vp fiter med græe frekve. De to dre impu repoe er hehodvi et vp og et højp km-fiter:, og h P, eer, h HP,, eer
Opgve Strt med t ve e fuktio fod.m om tger et idek, et iput ig, et impurepo og et rgumet om k være ete i eer circ ti t idikere om der er te om ieær- eer cirkuærfodig. uktioe k returere y. uktioe k impemetere med e for-økke. Herefter ve e fuktio fodig.m om tger et iput ig, et impurepo og et rgumet om k være ete i eer circ ti t idikere om der er te om ieær- eer cirkuærfodig. uktioe k returere fodige for e reevte værdier f. HINT: kd fod.m. I Mt fide cov.m om vrer ti jere fodig.m for ieærfodig. Brug cov ti t checke jere fodig ved t geerere et ig x etåede f et ter, og et h etåede f et ter. od, pot og check t I får det mme for de to. orkr hvorfor reuttet er ud om det gør. Nu geererer I to iu iger hehodvi med frekvee 4H og H, mpet med kh, mpitude og, egge med et het t perioder, me med mme vrighed på 3-4 ec. Hvor mge perioder f 4H vi der ødvedigvi være retivt ti de med H? De to iu iger ægge mme og fpie geem højtere. Hvi det er ødvedigt ette jere AGC fr idte øvee, check dette på ociokopet. Nu k i ve e fuktio om geerere e mpet ic, ic.m. Dee k tge,, og returere ic og e tidke for t < 5 /. P på i jere impemeterig omkrig t. Nu forøger i t vriere i ic fuktioe ed fr kh ti H i tep f H, med e kh. or hvert fpier i umme f de to iuer ieært eer cirkuært fodet med ic e hehodvi ti ociokopet og geem højtere. Hvd ker der? Nu k I ve e fiter fuktio der impemeterer km fitree. Argumetere er for ftde meem de to værdier tppe om de ofte kde og P eer HP om rgumet. Prøv u t fode umme f de to iuer med / 4H og / H i hehodvi et P- og HP-km-fiter. Hvd ker der? orkr mtemtik hvd der ker? HINT: æt fiteret og umme f de to iuer id i udtrykket for fodig. Nu oder i det et ie tykke muik Hde' Heujh Choru ved od hde; i iget y igger der u et ie tykke muik. Afpi det ved kh over højtere. Geerer u e iu med e frekve på 4H, mpefrekve på kh, og mpitude på, og e vrighed vrede ti muikiget i y. æg iue mme med y og fpi huk AGC over højtere ved kh. Væg u et impurepo fr tidigere om fodet på um-iget fjerer 4H toe. Afpi og yt!
SIG Øvee 4 ydkort impurepo Idhod Dee øvee hr ti formå t fortå og uderøge impurepoet fr mt ud geem ydkortet og tige ti mt vi et miijck ti miijck tik meem ydudgg og ydidgg. oreredee æ itroduktioe i dee øvee. Itroduktio I dee øvee k vi ekæftige o med t opmåe impuvret fr mt oud fuktio ud geem ydkortet id i mikrofoidgge vi miijck ti miijck ket og idti det er optget med mt wvrecord fuktio. Det m everer ti oud kommdoe er et tiddikret ig x og e mpefrekve, det m får ud f wvrecord er et ig optget ved e pecifik mpefrekve, det vi ige vi får ige et tiddikret ig y. E figur over ytemet e heruder: Smet impurepo x mt ydkort DAC ydkort ADC y mt h Som det tyde å trækker impurepoet ig fr mt tige ti mt. Ved t de et ig x om er for e værdi og u for rete hr vi det e detfuktio om vi k fpie med oud og optge med wvrecord. D der er tetid fr oud kommdoe er udført ti wvrecord går i gg er vi ødt ti t ætte vore -t i x ved e værdi om er tørre ed dee tetid. Det optgede ig y vi u repræetere impurepoet pu måe tøj. Uder optgeere krue der het op for recordig tyrke i Widow fhæger f computer, me k ikkert fide i kotropeet.
I optgee k m pe på t y iget ikke iver kippet e øvee. or t udgå dette jutere udggydiveuet vi Widow fhæger f computer, me k ikkert fide i kotropeet. Måde t jutere på er ved f.ek. t geerere e iu på kh og e vrighed på måke 3ec, d o tge de igger i x, fpie og optge ved: oudx,;ywvrecordegthx,,; Argumetere ti wvrecord k e ved hep wvrecord. M k u potte y, og e om værdiere er kippede. Hvi de er evet kippet krue der ed for udggydiveuet. Hvorefter m prøver ige. Opgve I k opmåe impurepoet over ydkortet vi miijck ti miijck i ydkortet. I føger teorie for t jutere jere optgetyrke. Ti t opmåe impurepoet ver i e detpu i et ig x. Bet xerofoor3/,; xfoor5/; Pot x. Hvor er mpefrekvee. Afpi u x med dee mpefrekve og optg med wvrecord. Pot det måte impurepo fr højre og vetre k. Vurder tetide. Et ideet ydkort vie hve e detpu om impurepo, hvord er det ud her? Hvd med tøj? or t udgå tøje k vi getge måige og tge middeværdie f die måiger. Så optg f.ek. id i y, tide y ti :,k hvor k er måigummeret ved :,ky;. v c. reitioer f måige. Tg middeværdie ved mme,. Pot m. HINT: I k med forde krive e forøkke i et cript der ufører die måiger, me huk e pue efter hver wvrecord om vrer ti optgetide. Prøv t fpie ved kh og optg ved 6kH. Er der oge forke?
SIG Øvee 5 DTT Idhod Dee øvee hr ti formå t opygge fortåee omkrig dikret tid ourier trformtio og e mue retio ti kotiuert tid ourier trformtio ev om teorie for dette edu ikke er geemgået. oreredee æ itroduktioe i dee øvee. Itroduktio I hr etop ært om dikrettid fourier trfomtio DTT. I øvee å I hvord m k opøe e iu i de kompeke ekpoetifuktioer. Amideigvi ter m tiddikret/kotiuert opøig. Geeret for egge gæder t iget opøe i ierkomitioer f kompeke ekpoetifuktioer, eer mere fotåeigt m fider det pektre idhod i iget, tå frekveidhodet. E ourier trformtio måer å og ige hvor meget et ig iger e kompekvigig exp jπt for e give frekve, ved t de produktet f iget og dee vigig hvor efter m itegrer op over iget ægde: X x texp jπ t dt Dette gør m for e [, ] ytik.. Dette kde for et ourier-itegr. Dette k ti tider øe Ekempe: Siget x t er e firkt med mpitude A og vrighed T, trtede it, d.v.. A, t < T x t, eer ourier-trformtioe k u få om: T X x texp jπt dt Aexp jπt dt A exp jπt jπ i πt AT exp jπt exp jπt exp jπt AT exp jπt jπt πt AT ic πt exp jπt Det vi ige ic-fuktioe defieret i øvee 3 gget med e fe exp jπt og e mpitude AT.
Når m ikke k øe itegret ytik k m på e PC pprokimtivt udrege dette f.ek. ved t udtte t et itegret defiitio egetig er givet umme f reet f oge må rektger e figur heruder I A A A A3 A4 A5 uder kurve hvor rektgere redde t går mod. A A A A 3 A 4 A 5 t t Dv. t itegret pprokimtivt jo midre t, de mere øjgtigt k rege ud c. om: X x texp jπ t dt x texp jπ t t Som vi k e vrer dette ti t m mper iget xt og de kompeke vigig exp jπt med e mpe frekve, ved t ette de ormerede frekve t f / iver de pprokimtive forme ti: X t x exp jπ f f Hvor x er det mpede ig. Ofte år m hr mpet iget gemmer m hvike mpefrekve m trtede ud med og idfører derfor de dikretetid fourier trformtio DTT: X f x exp jπ f Som m k e er dee het ufhægig f t. Dette etyder ogå t hvi m vi fide frekveidhodet f et tidkotiuert ig, å k m mpe iget udrege DTT, ufhægigt f mpefrekvee, om fuktio f de ormerede frekve. M k å f.ek. potte mpitude og fe krkteritikkere vi tx f hvor m på pottet ædre frekveke ti f /, pottet repræeter c.. X. Dv.: X tx f f
Ekempe: Hvi vi tger ekempet med firkte k vi mpe dee med e frekve åede t T N A, / < T A, < T N dv. x x /, eer, eer Så er de tørte værdi f om ige preci er midre ed T ig N- å vi får de tiddikrete firkt: A, x, N eer DTT iver d ved t ette de geometrike række K k : k K N exp jπfn X f x exp jπf Aexp jπf A A exp jπf exp jπf exp jπfn exp jπfn exp jπfn exp jπfn i πfn A A exp jπf N AN exp jπf exp jπf exp jπf exp jπf N i πf Dette mider meget om ekempet fr tidigere, me i tedet for e ic-fuktio får vi oget der i πfn mider om e ic emig hvor N er redde vrede ti redde i T. Overordet et er i πf ævere evet N i π f mod før Tπ. D f / og N T k m idætte die og m får: i πt i πt X f AT exp jπ T AT exp jπ T f i T i π T π Som vi ekrev tidigere k m få e pprokimtio ti X tx f X f f Idætte dette får m: i πt X AT exp jπ T T i π Hviket ikke het er ig det vi fik i det førte ekempe: f X AT ic πt exp jπt Årge er t itegret, vi kere uder kurve, er udreget for oge idt tore kder effekte for ierig. t. M Ved t de t ive ie vrede ti for ix om for må værdier giver ivede meget tor, og ved t udtte Tyor-række i x x får vi:
i πt i πt X im AT exp jπ T AT exp jπt AT ic πt exp jπt T i π Tπ Det vi ige t hvi vi mper uedeigt fit får vi det rigtige reutt, hviket ud fr kere uder itegret er et t fortå. Egeker ved DTT Periodik pektrum E pecie egek ved DTT er t de er e periodik fuktio i f med e periode på, dv i uormeret frekve e periode på, dv.: X f X f p Hvor p er et vikårigt het. Bruger m defiitioe for DT k m vie dette: x exp jπf x exp jπ f x exp jπf exp jπp p x exp jπf x exp jπf Hvor det er etter t exp jπ p for vikårige het p og. Dee egek etyder t m ku ehøver t rege DTT ud for e periode f ægde. M væger typik periode f [ ½;½] tå fr -½ ti ½. Dv. uormeret frekve [ / ; / ]. rekvee / kde Nyquit frekvee, og [ / ; / ] kde ofte Nyquit itervet eer det fudmete åd. DTT f fodig I øvee 3 å vi på fodig f et ig med et impurepo: y h k x k,,..., k Hvi vi tger DTT f dette får vi: Y f y exp jπ f. k h k x kexp jπf Ved t ette t : exp j πf exp j πfk exp j πf k få: Y f y exp jπ f h kexp jπfk k. x kexp jπf k H f X f Det vi ige t pektrumet for mmefodige er produktet f pektret t iput iget med pektret f impurepoet. Prøv t vi dette.
Opgve De I k kotruere e fuktio kdet dtft.m om k udrege DTT for et dikret iput ig. uktioe k tge iget, et t pukter, e vgfri prmeter mpefrekvee, og vgfrit frekveiterv. Er mpefrekvee ikke givet k DTT udrege for K pukter i itervet -½ ti ½. uktioe k returere DTT e mt de tihørede frekveke. Er mpefrekvee givet ti fuktioe k dee ruge ti t korrigere DTT e e itroduktioe ti øvee, mt reormere de ormerede frekveke. Hvi e optioe frekve ke er givet udrege DTT e på dee. or t e om teorie per/jere impettitio virker ver i et cript der geerere e figur med fire pot, dette k gøre ved hjæp f ufigure e hep. I det førte pot potter I e tidkotiuert firkt om ekrevet i itroduktioe med mpitude på og vrighed Tm. I figure uder dee potter tem fuktioe er god ti dette i de mpede verio med e mpe frekve, trt med kh d være e prmeter i eere k jurtere på. I figure ti højre for de tidkotiuerte firkt potter i ved t ette jere ic-fuktio fr tidigere dee de ouriertrformtio ved t evuere mpitude f X AT ic πtexp jπt fr 5 ti 5 I figure ved ide f de mpede potter i DTT f de mpede firkt ved t evuere i πfn mpitude f X f exp jπf N AN for f -5 ti 5 i pukter. N i πf Nu k I erege DTT f de mpede firkt ved hjæp f jere DTT og potte de mme med X f. Dee k igge præci ove på det ytike udtryk erede pottet. Nu ruger I jere DTT ved t give mpe frekvee om er ettet ti t mpe firkte, dette potter I mme med det ytike X. Die k være tæt på hide me ikke het det mme, hvorfor ikke? Er pektrumet periodik? Hvd er periodeægde? Kør u criptet ige med kh og kh. Hvor godt iger pprokimtioe ti det tidkotiuerte-pektrum u det de tidkotiuerte-pektrum? Hvd hvi m ku fokuerer på ; / iver det å edre med tigede mpefrekve? området [ ] / De Bet u jere DTT ti t ve pot f frekvekrkteritikkere for fitree impurepo ettet i øvee 3, dv. høj- og vp km fitree og ic-fiteret, pot ku i Nyquit itervet. Pot ogå mpitudekrkteritikke vi DTT f Hde' Heujh Choru pu e 4H toe. orkr u ud fr egekere for DTT hvike fitre der k fjere 4H toe. Per dette overe med reuttere i øvee3?
SIG Øvee 6 Z-trformtio, poer og upukter Idhod Dee øvee hr ti formå t opygge fortåee omkrig -trformtio, poer og upukter for fitre, dere krkteritik og tiitet. oreredee æ itroduktioe i dee øvee. Itroduktio Når m krkterierer tiddikrete ytemer, heruder fiter, gøre dette ofte ud fr - trformtioe defieret ved: h H hvor h defierer ytemet. or e differeigig f forme.-orde uto regreivt AR ytem y x y K m -trformere højre og vetre ide for derved t fide H : X Y H X Y Y X Y or et.-orde AR får m åede: X Y H y y x y Hvi der ogå er direkte forikeer f iputtet om f.ek. N x B A X Y H y y N x x y N N N Ekempe: d o tge km-fitree fr øvee 3 og e på dere -trformerede. itree vr givet eer og, h P, eer h HP,,, Hviket giver de -trformerede P H, HP H
Po upukt oppitig itre k krkteriere fudtædig ved dere poer og upukter. or t fide upukter etrgter m tæere A om et poyomium og fider rødder for, for t fide poer etrgter m ævere B og fider rødder i dee. r jere tidigere mtemtik ved I t et poyomium f grd N tid hr N rødder, potetiet kompeke og potetiet mme værdi d hr rode mutipicitet > Ekempe Vi etrgter det impe ytem y x x y Vi -trformere: H X Y X Y Y X Y Dv. t vore tæerpoyomium er A og æverpoyomiet er B. Vi er t åde tæer og æver er f førte orde, å et upukt og e po. Vi fider rødder i A p og i B rod Ekempe or vore km-fitre hr vi ku et tæerpoyomium. or P kmfiteret hr vi P H A Atå et te orde poyomium dv. upukter: A Hvi vi kigger på tee,,, exp, j p π, å opfyder e: exp exp exp exp exp π π π π π j j j j j Hvike e opfyder igige og er derfor rødder. Nupuktere igger tå predt på ehedcirke. Geeret et k m give ie fitre ved hjæp f poere og upukter mt et gi G ved:,, K k k po p G B A H Som kde for po-upukt dekompoitioe f fiteret med upukter og K poer.
Ekempe Tg u ige ytemet: H Som hvde upukt og po p, po, dee po-upukt dekompoitio er å_,, G G G B A H po p, Hvi vi ætter G hr vi: H Som vr det fiter vi fdt poer og upukter i. Ampitude- og fekrkteritik Det er ført i frekvekrkteritikkere for fitree m k e poere og upuktere etydig. I øvee 5 de pottede I.. mpitudekrkteritikkere for km-fitree. I å t der vr uværdier for etemte frekveer og det vr præci die der kue fjere de idgte hyetoe fr Hde' Heujh Choru. Når m hr et fiter overførigfuktio H k m fide frekvekrkteritikkere ved t evuere dee på ehedcirke exp f j H f H π. Ekempe P-kmfiteret hr po-upukt dekompoiotioe der er ige poer,, exp K k k po p j G B A H π Vi fider u frekvekrkteritikkere ved t ætte exp f j π : exp exp exp exp exp f j f j f j j j f H π π π π π Dv. upukter for f f. D dette er ormeret frekve k vi komme ti de virkeige frekve ved 4 H H f, hvor vi hr
ettet kh og. Det vi ige upukt for 4H,H,H,H,36H,44H,5H,6H,6H, 76H Som p.g.. t pektret for et tiddikretig er periodik med er det mme om upukter i 36H, H, H, H, 4H,4H,H,H,H, 36H Nupukter på ehedcirke k tå ruge ti t dæmpe etemte frekveer, igger upuktet idt væk fr ehedcirke å er dæmpige ikke het å krftig. Omvedt å k poer på ehedcirke ruge ti t fortærke ekete frekveer, igger poe idt væk fr ehedcirke iver fortærkige midre. Poer og upukter påvirker e frekveer, dæmper m derfor e frekve ved t ægge et upukt på dee, å vi de omkrigiggede frekveer ogå ive dæmpet, dog i midre grd. M k for t kompeere die omkrigiggede frekveer ægge e eer fere poer tæt på upuktet ide for ehedcirke.
Opgve I mt fide fuktioe fvtoo. Dee tger om iput et tæer og et æver poyomium A og B, hvor poyomiere er givet i hver dere rry. Prøv t geerer et P km-fiter med. Bet fvtoo ti t yere dette. I fvtoo ette decie k, og frekveke er keret med e fktor. or reee ytemer er det ku itervet ti / om iver vit d itervet / ti i det reee tifæde er idetik. Det er muigt t kikke på poupukt pottet for t e die. Prøv u t ddere poere α exp jπ ti ytemet, hvor α jutere meem og. or t fide upuktere f ytemet k i ette tfpk. or t komme tige ige fr upukter og poer ti overførigfuktioe k i ette pktf. Gi fktore K k I ætte ti. I k krive Zptfpkh, hvor h er km fiteret, d fider I upuktere. Stemmer die overe med teorie. Poere k geerere ved :-; Ppo α exp jπ ; De færdige overførigfuktio k få om [A B]ptfZp,Ppo,. Hvd ker der med mpitudekrkteritikke år α vriere? Prøv u t omyt poere med upuktere, hvd ker der med mpitudekrkteritikke? Prøv u t kør mt fiter deig og ye progrm: fdtoo. Tryk idt rudt for t få e foremmee f hvd de forkeige tig er ti. I k u deige et åd top fiter der ku topper 4H og ikke dre frekveer, mtidig med t mpitudekrkteritikke er å fd om muig. Tryk på fiter pecifictio for t få t vide hvd de forkeige prmetre defierer. Huk t pecificer jere mpefrekve. Brug IIR ifiite impu repoe fitre. Sæt gere orde ti omkrig. Hvord er po-upuktpottet ud i forhod ti før? I fie-meue i fdtoo k I ekportere fiteret ti workpce 3. Herefter igger fiteret om et ojekt fek med vet Hd, om k ruge ti t fitrere et ig med vi yfiterhd,x. Tet jere fiter på Hde' Heujh Choru pu e 4H toe. 3 Dette ker om.-orde ektioer SOS, dv må fitre f de orde. Specificerer I åede orde ti, å får i 5.-orde ektioer. Dette ehøver I dog ikke t ekymre jer om d Mt re er det hee om et fiter ojekt
SIG Øvee 7 IIR ytem Idhod Dee øvee hr ti formå t opygge fortåee omkrig -trformtio, poer og upukter for fitre, dere krkteritik og tiitet. E fuktio ti ittertio f differeigig krive. oreredee æ itroduktioe i dee og forrige øvee. Reg pm..-pm.4. i eve øvee. Itroduktio I hr tidigere impemeteret e fuktio fod om impemeterede fodige: K k y h k x k for,..., N K Dette impemeterede præci vret på et fiite impue repoe IR ytem h k. I idte øvee å vi på hvord der kue være tigekoiger f output vi e differeigig om f.ek. et.- orde uto regreivt AR ytem: y x y Geeret å k vi hve mge tigekoiger og mge dey f iput om i fodig. Defor er det gvigt med fuktio om k impemetere et geeret ifiite impue repoe IIR ytem: K y x y k, for,..., N k Vi er t hvi e -koefficietere er å hr vi y x k Som jo præci er e fodig meem og x. Sætter vi og K å hr vi vore -orde ARytem. I mt impemeterer fuktioe fiter.m præci det geeree IIR ytem. Vi å i idte øvee t et vikårigt ytem k repræetere ved det poer og upukter. Geeret iger vi t et ytem er tit hvi det poer igger ide for ehedcirke.
Opgve Vi vi etrgte føgede førte orde ytem: y x x, y Smpet ved kh. Spm..: id overførigfuktioe H ved t -trformere ytemet. Spm..: id poer og upukter for ytemet, er ytemet tit? Spm.3.: Iver -trformer H og fid herved impurepoet h Spm.4.: Pot frekvekrkteritikkere for de ormerede frekve ved t evuere H for exp jπf, og for de ikke ormerede frekve. Spm.5.: I k u udrejde e fuktio kdet fitrerig.m om k udrege K y x y k, for,..., N k k Dv. fuktioe k tge oge -koefficieter, oge -koefficieter og et ig. Atg t iger før er ig. Tet fuktioe på ytemet: y x x, y Med e mpe detpu om iput x, tet mod udtrykket fudet i Spm.. Brug ogå mt fiter om check. Spm.6.: Brug mt ti t fide po og upukt for ytemet. Per jere udregede poer? Getg Spm.. ti Spm.4 me for ytemet: y x x, y Hvd ker der år I kder fitrerig for dette ytem? orkr ved hjæp f udtrykket for h
SIG Øvee Iterpoerig Idhod Dee øvee hr ti formå t fortå hvd der ker år m iterpoerer et ig. Deude k vi kigge idt på det åkdte ideee vp-fiter. oreredee æ itroduktioe i dee øvee. Itroduktio Vi hr tidigere et på et dikret ig ourier-trformerede DTT X f x exp jπ f Af et ig x, ved de ormerede frekveer f. Siget er ofte mpet ved e etemt mperte, hvorved m k få et ud på det oprideige ig ourier trformerede ved: X x exp jπ / Vi k u e hvd der ker år m iterpoere et tiddikret ig. Iterpotio gør m for t hæve mperte, og decimerig for t æke mpe frekvee, mtidig med t frekveidhodet iver edt muigt evret. Vi kigger ku på iterpotio i dee øvee. I prki er det meget impet vi m f.ek. fordoe i mpefrekve i et t ig x å k m idkyde for hver de mpe. Dv. hvi e oprideig ig hvde e vrighed på N mpe optget over et tidrum T d.v.. mpe frekve N / T å hr de e ig N mpe vrede ti tiditervet T, dv. mpefrekve N / T tå e fordoig. Me hvd ker der med iget ved e åd opertio? Speciet hvd ker der ved frekvekrkteritikkere i det fudmete/nyquit-ådet? orøgee i mpe frekve kder vi for iterpotiofktore I. Vi huker øvee 5 t et tiddikret ig hr et periodik pektrum, med de fudmete/nyquit ådet iggede meem -½ og ½ i ormeret frekve. or t e hvd der ker år vi idætter må vi ført defiere vore e ig x I x og x I,,, I. Vi tger u og udreger de ourier trformerede: X x exp jπ / x I exp jπi / Hvor det ved det ighedteg er ettet t hver de mpe er u, vi k u ette t x I x og t I :
X x I exp jπ I / x exp jπ / I Me om vi k e å er dette jo etop e I te-de f de ourier trformerede f det oprideige ig. Geeret hr vi ved idkydee f uer: X X, hvor det fudmete frekveåd / ti / er f ærig iteree d pektret jo er periodik med mpefrekvee om jo u er. Idkydee f uer hr dog de koekve t frekveidhodet i det fudmete åd i det ig fr / ti / ikke er det mme om i det oprideige ig fudmete åd / ti / / ; / I / ; I / dv t Nyquit frekvee er rykket med e fktor vrede ti iterpotiorte.. I tedet er det ig fudmete åd [ ] [ ]
Ekempe: d o tge t vi hr et ig x med e mpefrekve og e ouriertrformeret i det fudmete åd om er åede ud: X Hvi vi u kigger udover de fudmete periode å hr iget x pektret: X 5 4 3 d o u kyde uer id med e fktor I 4 for derved t de et t ig, det ig får derved pektret X X X dv: I 3 4 5 X X / I X / 4 5 4 3 Nu er der referecer ti det oprideige ig mpefrekve die erttte med det ig mpefrekve ved t ette : I 3 4 5 X X / I X / 4 5 4 3 hvor det fudmete åd [ / ; / ] er mrkeret med e firkt. Som vi k e er det præci ådet [ I / ; I / ] i det oprideige ig. Som vi k e er frekveidhodet ikke evret i det fudmete åd, det vi vi u kigge på. 3 4 5
Vi k e t hvi vi fitrere det opmpede ig x med et ideet vp fiter e fit -3. i SP H < eer I, for i det fudmete åd [ / ; / ] Så får vi et fudmett åd med mme frekveidhod om det oprideige ig hvde. Impurepoet få ved de ivere dikrete ourier trfomtio: exp jπ jπ / / jπ / d exp jπ / h H exp exp jπ / jπ / d i π / I ic π / I π / itrere vi med det ideee vp fiter på iget med idkudte uer fr ekempet hr vi før fitrerige i det fudmete åd: H X 3 og efter fitrerige hr vi: 4 4 3 X 3 4 Som jo præci er frekve idhodet i det fudmete åd f det oprideige ig. 4 3 Overordet et k m tå idkyde uer og derefter fitrere med et vpfiter for t hæve mpefrkevee. Sytemet m hr er åede ud for t ve e åkdt iterpoerig med e fktor I: Iterpotio med fktor I x Idætig f uer vrede ti fktor I x I P-fiter med græefrekve I y
Opgve I k kotruere e iterpotiofuktio der k iterpoere med e vikårig poitiv het fktor. Me ført k vi tete idt f teorie i prki. : Strt med t kotruere e iu med vrighed 3ek, mpitude, frekve 4H og mpefrekve kh. : Afpi ved og yt mt tiut ociokop og oerver. 3: Brug jere DTT fr øvee 5, og pot derved pektret fr 3 ti 3-3*:4:3* 4: Idkyd u uer vrede ti I. 5: Afpi ved og yt mt tiut ociokop og oerver. Ny 6: Brug jere DTT fr øvee 5, og pot derved pektret f det ig -3*:4:3* 7: Er det I er og hører det mme om før idkydee f uer, hvorfor/hvorfor ikke? : hvike vrighed hr det e ig? 9: vp fitrer jere ig med et ideet vpfiter Hit: rug ic fuktioe for et t værdier N<<N hvor N væge tip tor f.x. N 5 / c 5I ti t det mete f ic fuktioe er med v et pot f fiteret : Afpi ved og yt mt tiut ociokop og oerver. Ny : yder t om det k : Brug jere DTT fr øvee 5, og pot derved pektret f det u iterpoerede ig -3*:4:3* 3: od Hde' Heujh Choru og gå ti pørgmå. 4: v u e geer Iterpotio fuktio om tger et ig og et I.
SIG Øvee 9 Decimerig Idhod Dee øvee hr ti formå t fortå hvd der ker år m decimerer et ig. oreredee æ itroduktioe i dee øvee. Itroduktio Vi hr tidigere et på et dikret ig ourier-trformerede DTT X f x exp jπ f Af et ig x, ved de ormerede frekveer f. Siget er ofte mpet ved e etemt mperte, hvorved m k få et ud på det oprideige ig ourier trformerede ved: X x exp jπ / Vi k u e hvd der ker år m decimere et tiddikret ig. Iterpotio gør m for t hæve mperte, og decimerig for t æke mpe frekvee, mtidig med t frekveidhodet iver edt muigt evret. Vi kigger ku på decimerig i dee øvee. I prki er det meget impet vi m f.ek. hvere i mpefrekve i et t ig x å k m fjere hver de mpe. Dv. hvi e oprideig ig hvde e vrighed på N mpe optget over et tidrum T d.v.. mpe frekve N / T å hr det e ig N mpe vrede ti tiditervet T, dv. mpefrekve N / T / tå e fordoig. Me hvd ker der med iget ved e åd opertio? Speciet hvd ker der ved frekvekrkteritikkere i det fudmete/nyquit-ådet? Sækee f mpe frekve kder vi for decimtiofktore D. Vi huker øvee 5 t et tiddikret ig hr et periodik pektrum, med de fudmete/nyquit ådet iggede meem -½ og ½ i ormeret frekve. or t e hvd der ker år vi decimere må vi ført defiere vore e ig x x D. Vi tger u og udreger de ourier trformerede: X x exp jπ / x Dexp jπ / / Hvor vi k idætte x D X exp jπ / D d og får efter oge udregiger /
X D k D X k / Det vigtige ved dette reutt er t idhodet i det ig ved frekvee i itervet ; etår f forkeige dee f det oprideige ig i itervet ;. Hviket ikke er heigtmæigt, vi vie gere hve hft X X. Vi kder det t e etemt frekve idhod etår f idrg fr mge frekveer i det oprideige ig for ierig. Vi k ikre t X X kommer ti t hode ved t fitrere med et ideet vpfiter før edmpige: H < D, for i det fudmete åd [ / ; / ] eer Så får vi et fudmett åd med mme frekveidhod om det oprideige ig hvde. Impurepoet få ved de ivere dikrete ourier trfomtio: h H exp exp jπ jπ jπ / d exp jπ / / exp jπ / jπ / / i π / D D π / D d ic π / D D Overordet et k der fitrere før m edmper. Dette iutreret ved føgede iterpotiotem med e fktor D: Decimerig med fktor D x P-fiter med græefrekve D x Nedmpig fktor D y / D
Ekempe: d o tge t vi hr et ig x med e mpefrekve og e ouriertrformeret i det fudmete åd om er åede ud: X 3 4 d o u decimere med e fktor D4. ørt k vi fitrere med et ideet vpfiter med cutoff frekve, hviket giver i det fudmete åd: D 4 3 X 3 4 4 3 Herefter edmpe og vi får for output iget i det fudmete åd: X
Opgve I k kotruere e decimtiofuktio der k decimere med e vikårig poitiv het fktor. Me ført k vi tete idt f teorie i prki. : Strt med t kotruere iu iger med vrighed 3ek, mpitude /, frekve H og 4H og mpefrekve kh. Adder de to. : Afpi ved og yt mt tiut ociokop og oerver. 3: Brug jere DTT fr øvee 5, og pot derved pektret fr 3 ti 3-3*::3* 4: Nedmpe u med e fktor det vi ige mid hver de mpe væk. 5: Afpi ved og yt mt tiut ociokop og oerver. Ny 6: Brug jere DTT fr øvee 5, og pot derved pektret f det ig -3*::3* 7: Er det I er og hører det mme om før edmpige, hvorfor/hvorfor ikke? : hvike vrighed hr det e ig? 9: vp fitrer jere oprideige ig fr pgm med et ideet vpfiter Hit: rug ic fuktioe for et t værdier N<<N hvor N væge tip tor f.ek. N 5 / 5D ti t det mete f ic fuktioe er med og getg pukt ti på dette ig. : od Hde' Heujh Choru og getg pørgmå ti på dette ig. : vp fitrer Hde' Heujh Choru og getg pørgmå ti på det ig. : v u e geer decimerigfuktio om tger et ig og et D.
SIG Øvee ydkort frekvekrteritik SIG Øvee RC-kredø