1 skaren af exp = den naturlige

Transkript

1 Ekspoei- og rimefukioer Repeiio (primær.-ksse-sof suppere med differeiregigs-overvejeser) Fukiosskre f ( ) ep ( ) fsægger for R + \{ } ekspoeifukioer. Specie kdes ( ) ep( ) ekspoeifukio. Referece: GDS, s e skre f ep de urige f ep med værdiere Figure heruder viser grfere for fukioere ( ) ( ),, e og 3 sm for hver f disse grfer gee i grfe med førsekoordi i rørigspuke. e kdes de urige (ysk: die Euersche Zh). e er e irrio, de vi sige e R \ Q; der gæder med hehodsvis og decimer føgede iærmeser: e e fig. MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. f 4 sider

2 For ekspoeifukioer f ( ) ( ) () Dm( ep ) R () ( ) Vm ep R + (4) ep ( y) ep ( ) ep ( y) ep ( ) ep ( y) ep ( y) ep gæder: + y y + ( ) ep ( ) ( )( y) ep ( y) ep y ep ep, foruds ep d d ( ) ep( ( ) ) y y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ep ep e ' ( ) ( ) ep ( ) er mooo voksede, hvis > ep ( ) er mooo fgede, hvis < < (3) ep ( ) er mooo -kse er vdre sympoe i grfe for ep ( ) ep ( ) (5) ep ( ) + ep ( + ) ep ( ), kdes ekspoeifukioes grud Hver gg der dderes i -værdiere, muipiceres de ihørede y - værdier så med. M kue så e om e gge-væks. Ti SAMMENLIGNING: g, b + fsægger for R og b R skre f ieære fukioer. Her gæder åbebr: g b + + b + b + + g fukiosskre ( ) b ( ) ( ) ( ) ( ), b, b Hver gg der dderes i -værdiere, dderes der her i de ihørede y -værdier. Lieær væks kue så kdes e pus-væks. HUSK: der er fgørede forske på skre f ekspoeifukioer f ep og skre f poesfukioer p ( ). ( ) ( ) De er fkisk muig defiere ekspoeifukioer som fukioer, der opfyder beigesere () i (5), og muig vise, der fides e såd fukio for hver eese. R + \{ } MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. f 4 sider

3 Ld os mide os sev om oge grudæggede begreber. GRUNDLAG INJEKTIVITET (e-eydighed) er geere defiere ved: E fukio f er ijekiv (e-eydig), hvis der gæder: Dm : ( f ) f ( ) f ( ),. Grfisk beyder de, e vikårig vdre ije højs k skære grfe i é puk. INVERS fukio er geere defiere ved: Ld f være e ijekiv fukio. Ved de iverse fukio i f forsås de fukio f. ( y) HUSK, f, der opfyder: ( y) f ( ) y f besemmes så ved øse igige f ( ) y med hesy i (omved) fukio. f er e smmehægede symbo, der beyder ivers De føger umiddebr, f hr så INTET gøre med ( f ( ) ) ( f ) Vm( f ) og Vm ( f ) Dm( f ) Dm sm om smmesæigere, ( f f )( ) f ( f ( ) ) f ( y ) ( f f )( y) f ( f ( y) ) f ( ) y. og,. f ( ). Hvis G beeger grfe for f og G beeger grfe for {(, y ) y f ( ) } og G ( y, ) f ( y) G { }. f, gæder Der gæder så: (, y ) G y f ( ) f ( y) ( y, ) G. Idege i smme koordisysem vi e puk (, y ) så igge på grfe for f hvis og ku hvis puke med de ombyede koordier ( ) y, igger på grfe for f. De o grfer er så hides spejbiede i ije med igige y. MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 3 f 4 sider

4 D ep ( ) er moooe fukioer, er ( ) ep ijekive (e-eydige) fukioer. De vi sige, der eksiserer ihørede iverse (omvede) fukioer. Disse kdes rimefukioer: de vi sige: Specie kdes ( ) ( ) g( ) Briggscher Logrihmus) og ( ) ( ) ( ) ep ( ) ( y) ep ( ) y. -s-rime (ysk: dekdischer eer de urige rimefukio (ysk: e üricher Logrihmus, i: rihmus uris). De er overvejede de o rimefukioer, vi rbejder med. Figure heruder viser grfere for fukioere ep ( ) og ( ) sm ije med igige y. D de o fukioer er hides omvede, er grfere hides spejbiede i ije med igige y. fig. MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 4 f 4 sider

5 D rimefukioer og ekspoeifukioer er hides iverse, overger rimefukioe e række egeskber (med pssede oversæese). For rimefukioer ( ) Dm( ) R + Vm( ) R ( y) ( ) ( y) + y y ( ) y ( ) ( ) ( y) med R + \{ } ( ) ( ) ( ) ( ) d d ep gæder: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) d ( ( ) ) ( ) ep ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) e ( ) ( e ) ( ) er mooo voksede, hvis > specie er både ( ) og ( ) mooo voksede er mooo fgede, hvis < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( e ) y -kse er odre sympoe i grfe for ( ) MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 5 f 4 sider

6 Figure heruder viser grfere for ( ) (svrede i ( ) ), 3 og med værdiere (svrede i ( ) ).,, e fig. 3 Probemer Der er o probemer i forhod i ekspoei- og rimefukioere, som vi er gåe oge e he over.. De er ikke på forhåd kr, hvd sk beyde for irrioe R \ Q. De er ikke på forhåd kr, hvd der defierer de irrioe e MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 6 f 4 sider

7 Probem, for irrioe R \ Q Vi k forså ved skrid for skrid udvide mægde f muige -værdier, hvis vi smidig skrid for skrid idsævrer mægde f muige -værdier: z R N... gge R \{ } R \{ } N R \{ } z Z se ovefor R + N, hvor, om se ovefor p R + p N, N p p p p ( ) se ovefor, p R + p N, N p p se ovefor, r R + r Q for r Q fides p Z og N så p r, dermed gæder p r, se ovefor Me dee forsåese k ikke umiddebr udvides i R + R??? Der må gæde oge i reig f : r R + R for r, hvor r Q Grfisk kue vi sige, pukere ( ) grfe for fukioe ( ), for irrioe R \ Q udfyder huere i f, hvis vi idskræker os i ege de for Q. MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 7 f 4 sider

8 Probem, defiiio f de irrioe e Vi k differeiere ekspoeifukioe f ( ) ( ) differeskvoiee og bruge re-ris-rege ep ved se på f f ( + ) + +. Hvis vi ger, f ( ) ( ) åbebr + f im im, så f ( ) f ( ) f '( ) ' og specie ( ) f ( ) f '( ) f '( ) f '( ) f '. ep er e differeibe fukio, så gæder Vi k så øjes med udersøge, om f ( ) ( ). ep er differeibe i De urige ekspoeifukio k defieres som de ekspoeifukio, hvis ge med førsekoordi i rørigspuke hr hædige, for hvike de så gæder + e e (*) im eer '( ) f. e For de urige ekspoeifukio vi der så gæde f ( ) f ( ) f '( ) f ( ) f ( ) ' eer ( e ) e e e e e e '. SAMMENSAT FUNKTION Vi husker, vi k differeiere smmese fukioer: ( f g) '( ) f '( g( ) ) g '( ) Referece: GDS, s. 6-. MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 8 f 4 sider

9 Dee k vi bruge i u se på de reserede ekspoeifukioer: f ( ) ( ) e og dermed f ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) ( )' ( e )' e ( ) ( ) ( ) f ( ) '. Hvis de er muig defiere e e som beskreve ovefor, er de urige ekspoeifukio differeibe i, dermed differeibe i hee R og dermed er e ekspoeifukioer differeibe i hee R. Der er dre måder defiere e. F.eks. gæder e im + eer e !!!! 3! 4! 6 4 FAKULTET DEFINTION for N gæder: 3... ( )!,! eer eriv: DEFINTION for N gæder:! og! ( )! Tisvrede er der dre måder defiere de urige ekspoeifukio, f.eks.: ep. ( ) e! MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 9 f 4 sider

10 Hvis vi defierer e på e f disse erive måder, må vi i sede for defiere (* s. 8) vise, (* s. 8) gæder. De k f.eks. gøres med udggspuk i e grfisk iggese: De ses f figure fig. 4 h < h < + h e + h + h ser vi på < <, gæder så + ( ) ( ) + e + e + og dermed for < < o for < < im e + e im im ( + ) im + e + e im im+ + ( + ) føgeig må udfr e sdwichbergig i begge ifæde gæde im e så '( ) f. e MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. f 4 sider

11 E eriv vej Ld os e øjebik og i rese f dee ppir gemme, hvd der sår på de foregåede sider, og i e vis forsd sie vores hididige eori på hovede. Fukioe f ( ) er veked. Idskræker vi os i Dm( f ) R +, så er fukioe både koiuer og mooo fgede. Hver f egeskbere koiuer og mooo er hver for sig isrækkeige i kue sige, fukioe er iegrbe. (Referece: VI, s. 39, 45, 7 o..) DEFINITION: ( ) f ( ) Iegrfukioe ( ) d d, hvor f ( ) og ( f ) Dm R + eksiserer så og er e smfukio i f ( ). De vi sige, ( ) d d d er differeibe og '( ) d f ( ). D f ( ) er e posiiv fukio, gæder, ( ) uder grfe for f ( ) og. d giver ree f område, over -kse og meem de odree ijer med igigere fig. 5 MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. f 4 sider

12 Ld os se på egeskber for ( ) Der må gæde: ( ) Dm( ) R + ( ) ( ) > ( ) > og < ( ) < d ( 4) er mooo voksede i hee Dm( ) R + '( ) specie '( ), grfe for hr så e ge i skærigspuke med -kse, der hr e hædig på ( 5) s, R + : ( s ) ( s) + ( ) fordi: rgume s s d s s s ( ) d + d d + s d d + d s s s s d + dz ( s) + ( ), z hvor vi hr brug idskudsrege, i de de f de o beseme iegrer førs hr gge med s og derefer hr brug subsiuioe s s s dz z,, dz d, s z s, s z s. s d s s s s s s s s s s MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. f 4 sider

13 eriv rgume d c R + være e posiiv kos og d os se på de smmese g c h, hvor h ( ) c fukio ( ) ( ) ( )( ) ' h' ( ) c h c her må gæde g ( ) '( h( ) ) h' ( ) så: : g '( ) '( ) o fukioer, der over hr smme differeikvoie, k højs fvige fr hide med e kos, der må så fides e kos k, så ( ) ( ) k : g + så ( c) ( ) k : + specie for : ( c ) ( c) ( ) + k + k k de vi, u hvor vi hr fude k sige: ( ) ( c) g( ) ( ) + k ( ) + ( c) ( c) ( ) : + vi hr så vis regerege ( c) ( c) + ( ) : for e posiiv kos c og de vribe, me d de k gøres for e posiive koser c, hr vi vis regerege s s +. Ld os se på yderigere egeskber for ( ) s, R + : ( ) ( ) ( ) d : MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 3 f 4 sider

14 im + im ( ) ( ), y -kse er så odre sympoe i grfe for og d ( ) er differeibe og dermed koiuer, må der gæde: ( 3) Vm( ) R Disse o græseværdier er fkisk ikke opge, der kue jo god være e om edeige reer, sev om områdere er ubegræsede, me: d ( ) hr moooi og foreg som ovefor beskreve, gæder f.eks.: ( ) > i de føgede er N: d og <, s, R + : ( s ) ( s) + ( ) gæder specie, ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) og isvrede:, ( ) k gøres vikårig sor, bo ved væge isrækkeig sor, og k gøres vikårig sor umerisk (og hr egiv foreg), bo ved væge isrækkeig sor, eer mere præcis: im( ( ) ) og im De søge græseværdier fås så ved se, im og im +., De ovefor mrkerede egeskber ( ) i ( 5) er cere for beskrivese f vores fukio ( ) d. MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 4 f 4 sider

15 D er koiuer (s. 4), er iegrbe (se VI, s. 45). Ld os fide e smfukio i ( ) Ved devis iegrio får vi: d ( ) d ( ) d d ( ) ( d ) '( ) d så:, så ( )d, ( ) d ( ) + c c, R. ( ) d ( ) d ( ) + c c R Ld os sme de vigigse f de puker, vi hr fude: Vi hr defiere ( ) f ( ) d, hvor f ( ) og ( f ) og fude føgede egeskber: ( ) Dm( ) R + ( ) ( ) ( 3) Vm( ) R Dm R + ( 4) er mooo voksede i hee Dm( ) R + ( 5) (s. ) ( ) s, R + : ( s ) ( s) + ( ) ' (s. 5) ( ) d ( ) + c c, R eksiserer (s. ), er differeibe (s. ), er koiuer (s. 4) og iegrbe (s. 5). Vi vgiver ( ) de urige rimefukio og skriver orm ( ). MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 5 f 4 sider

16 Vi kue hve defiere ( ) deredes, f.eks.: ( ) d, > og ( ) eer: '( ), > og ( ) Me d os bive ved vores defiiio (s. ): ( ). d. D er mooo voksede, er ijekiv, der eksiserer så e omved fukio, d os kde de e, så: e( ) ( ) de vi sige: e s s Der må herudfr gæde: ( e ) Dm( e) Vm( ) ( e ) ( e) Dm( ) R Vm R + ( e 3) e er mooo voksede ( ) ( ) ( e 4) e( + y) e( ) e( y), fordi: ( e( ) e( y) ) ( e( ) ) + ( e( y) ) + y ( e 5) e ( ), fordi ( ) Ld os prøve differeiere og iegrere e ( ). Vi hr brug for føgede sæig: DIFFERENTIATION AF INVERS FUNKTION Ld os se på e differeibe fukio f, der hr e omved fukio f. Og d os ge, '( ) D er f f. f differeibe i f ( ) ( y ) ' y og. f ' ( ) ( ) f ' f ( y ) MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 6 f 4 sider

17 BEVIS Ld os øjes med bevise differeikvoiee: ( f f )( ) herf føger ( f f )'( ) ( ) ' så ( f f )'( ) ( f )' f ( ) ( ) f '( ) de vi ide '( ) f ' ( ) f sige ( f )' f ( ) ( ) eer, ide ( ) ( ) ( f )'( y ) y f f y. f ' ( f ( y )) : Ved hjæp f dee sæig får vi: e ' e ( y ) ( )'( y ) '( ( y )) '( e( y )) e( y ) ide beigese '( ) med e( ) voksede. Aså: ( ) e( ) e '. Og herf føger også direke: ( ) d e( ) + c c e, R. y ( y ), id er opfyd, d jo er mooo Vi vgiver e ( ) de urige ekspoeifukio og skriver orm ( ) ep. MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 7 f 4 sider

18 Vi k defiere dre rimefukioer ed de her defierede ( ) ( ) føgede måde: ( ) ( ) så: ( ) ( ) Vi må forudsæe R + \{ }. ( ) ( ) på Der vi så gæde ( ) Dm( ) R + ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) Vm( ) R ( 4) er mooo ( 5) ( ) mooo voksede i hee ( ) Dm R + for > (for så er e posiiv fkor) og ( ) mooo fgede i hee ( ) (for så er e egiv fkor) ( ) s, R + : ( s ) ( s) + ( ), fordi: ( ) ( ) Dm R + for < ( s ) ( s ) ( ( s) + ( ) ) + ( ) ( s ) + ( ) ( ) ( s) ( ). Umiddebr f defiiioe føger: ( ) ( ) ( ) Vi k fide differeikvoie og smfukio: ( ) ', fordi: ( ) ( ) ' ' ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 8 f 4 sider

19 ( ) d ( ) + c, c R, fordi ( ) ( ) ( ) ( ) d d d ( ) ( ( ) + d ) ( ) + d ( ) ( ) ( ), d ( ) R Tisvrede k vi defiere dre ekspoeifukioer ed de her defierede ep e på føgede måde: ep ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vi må ige forudsæe R + \{ }. Ld os se ærmere på udrykke ep ( ) ( ) y ( y) herf fås ( y) ( ) y e( ( y) ) e( ( ) ), så kue vi eriv defiere: ep ( ) e( ( ) ) ep( ( ) ) Vi må sdig forudsæe R + \{ }. ( ) ( y), Der må herudfr gæde: Dm ep ep R ( e ) ( ) Dm( ) ( e ) ( ep ) Vm( ep) Vm R + ( e 3) ep er mooo mooo voksede i hee ( ) posiiv fkor) og Dm ep R for > mooo fgede i hee ( ) egiv fkor) Dm ep R for < e (for så er ( ) e (for så er ( ) MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 9 f 4 sider

20 ( e 4) ep ( y) ep ( ) ep ( y) +, fordi: ep ep ( + y) ep( ( + y) ( ) ) ep( ( ) + y ( ) ) ( ( ) ) ep( y( ) ) ep ( ) ep ( y). ( e 5) ep ( ), fordi ep ( ) ep( ( ) ) ep( ) Der må gæde: ( ) ep, fordi ( ) ep ( ) (smmeig med s. 8) Vi k fide differeikvoie og smfukio: ep ep ( ) ( ) ep ( ) ' ( ), fordi: ep ( ) ep' ( ( ) ) ( ) ( ) ep ( ) ' d ep ( ), fordi: ( ) ep ( ) d ep( ( ) ) d ep( ( ) ) ( ) d ( ) ( ) ep dz ep( z) ep( ( ) ) ep ( ) ( ) ( ) ( ), hvor vi her hr gge med ( ) ( ) og subsiuere med dz z ( ), ( ), dz ( ) d. d ( z) MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. f 4 sider

21 Med e rgume som på s. 4 k vi omskrive ( ) ide ( ) for ' smmeig med s. 4 ide jo ( ) og Vi ved på forhåd, '( ) og så '( ) så gæder: d og for jo er differeskvoiee for ( ), i + for og d ep ( ) er koiuer: ep + ep( ) for, de vi sige: + ep( ) for. Dee, ep ( ), kder vi de urige e. Ved idsæese f pssede sore i udrykke + k vi berege e med så mge decimer som vi måe øske, f.eks. e med decimer. MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. f 4 sider

22 Vi mger bo ideificere vores ye e( ) ep( ) e, hvor e er de urige. med (vores gme opfese f) Hvis de gæder, hr vi emig umiddebr også e ideifikio f vores ye ep ( ) og (vores gme) ep, ide emig så: ( ) ( ) ( ) ep( ( ) ) e e ( ) ep ( ) ( ( )). For sikre dee ideifikio hr vi brug for e pr sæiger: Vi hr førs brug for e HJÆLPE-REGNEREGEL ( ) ep BEVIS ep ( ) Iføge ( e 5) gæder ep( ) ep + ( ) ep ep ep( ) ep ( ) ( ) ( ) ( ) SÆTNING Der gæder geere for ( ) ( ep( ) ) ep R og Z BEVIS Ld os førs se på N ( ) ep( ) ( ) ep( ) ep( )... ep( ) ep ddeder ( pus-ed) ep fkorer ( gge-ed), ses ved gege brug f ( e 4), s. 6 ( ep( ) ) For gæder isvrede ep ( ) ep( ) ep( ) ( ep( ) ) ( ep( ) ) MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. f 4 sider

23 Og edeig for Z - ( ) ep( p) ep hvor p N og p ved bruge hjæpe-regerege ovefor ep( p) ep ( ( )) p ( ep ( ) ) p ( ep( ) ) SÆTNING Der gæder geere for R og N ep ep ( ) BEVIS Ved bruge sæig fås ep ( ) ep ep ep. Vi ved, ep >. Herf fås de øskede, ide vi bruger defiioe jf. s. 7. Hvis vi i sæig og idsæer, får vi (*) ep ( ) ep( ) ( ep( ) ) (**) ep ep ep( ) MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 3 f 4 sider

24 Hvis vi i sæig idsæer m, hvor m Z, og bruger (*), får vi m m ( m) ( ep( ) ) ( ep( ) ) ep ep m ep m, p p p ide vi også hr brug forsåese ( ) p jf. s. 7. Vi hr så fude føgede for e Q: ( ) ( ep( ) ) e ep jf. s.. For R \ Q defierer vi simpehe e som ( ) ep. Herefer gæder så for e R: ep ( ) ( ep( ) ) e Og dermed hr vi ideificere vores y-defierede fukio ep ( ) med vores gmmekede e og jf. s. også vores y-defierede ep ( ) med vores gmmekede. Der gæder så med e isvrede defiio for irrioe også ( ) ( ep ( ) ) ep jf. s.. MAT (JL), pri 4 ekspoei- og rimefukioer s. 4 f 4 sider