Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive lov for additio og multiplikatio... De modsatte regeoperatioer: Subtraktio og divisio... 3 Rige og legemer... 3. Fra rig til legeme: Regig med restklasser... Modulus-fuktioe... Additio og multiplikatio af restklasser... 5 Restklasserige, hvor er et aturligt tal... 8 Restklasselegemet p, hvor p er et primtal... 9. Fra legeme til rig: Regig med polyomier... Polyomiumsrige F [ x], hvor F er et tallegeme... Restklasser md polyomier... 3 CASE : Irratioale tallegemer... CASE : - (De komplekse tal)... 7 é ë û Galois-legemere GF p... 0 Irreducible polyomier over... 0 é ë û Regig med bytes: GF... é ë û 8 Regig med words: GF... é ë û Regig i Galoislegemere GF... 8 Stadardrepræsetatioere af Galoislegemer over.... 8 Projektet sigter mod at give de ødvedige baggrud for at forstå strukture af Galois-legemere baseret på -bit-koder og 8-bit-koder, der ligger til grud for de fejlrettede koder i fx de kvadratiske QR-koder. Først itroduceres talrige og tallegemer. Der fokuseres på talsystemer, der udspriger fra de hele tal, de ratioale tal og de reelle tal. Alle rige og legemer i dette projekt er derfor kommutative! Ved at arbejde med restklasser og polyomier vises det hvorda ma ka udvide tallegemer ved at tilføje rødder fra irreducible polyomier. Det historiske hovedeksempel er de komplekse tal, hvor ma tilføjer -, me i dette projekt går vi videre og ser også på strukture af de edelige tallegemer, restklasselegemere p, hvor p er et primtal, samt Galois-legemere GF é ëp û baseret på e primtalspotes. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk
I dette projekt skal vi kigge på forskellige talsystemer med heblik på bedre at forstå fejlrettede koder. Me vi starter med de mest almidelige talsystemer, de hele tal, de ratioale tal og de reelle tal, og arbejder os så frem mod de edelige talsystemer, de såkaldte Galois-legemer, der ligger bag de fejlrettede koder i fx de kvadratiske QR-koder. De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og De mest almidelige talsystemer er de hele tal, de ratioale tal og de reelle tal. De rummer alle tre e række egeskaber ved talsystemer, der er meget attraktive: De kommutative, associative og distributive lov for additio og multiplikatio I alle tre tilfælde bygger de på to regeoperatioer + (plus/additio) og (gage/multiplikatio) med følgede egeskaber: Regeoperatioere er kommutative, dvs. år vi lægger to tal samme eller gager to tal med hiade er rækkefølge af tallee ligegyldig: a+ b= b+ a ab = ba Regeoperatioere er associative, dvs. år vi lægger tre tal samme (ved hjælp af to additioer) eller gager tre tal med hiade (ved hjælp af to multiplikatioer), så er rækkefølge af regeoperatioere ligegyldige, dvs. a+ b+ c= ( a+ b) + c= a+ ( b+ c) abc = ( ab ) c= a ( bc ) Regeoperatioere er distributive, dvs. år vi gager id i e sum sker det ledvis: a ( b+ c) = ab + ac Vi tæker sjældet over de to regeoperatioer, me de er i virkelighede meget fudametale og forekler fx ligigsløsig betydeligt. Øvelse : b Idefor de aturlige tal, har vi også e tredje regeoperatio, potesopløftig a^b= a, hvor vi ormalt foretrækker de sidste skrivemåde med løftet ekspoet, me her også bruger de første med potesteget ^ for etop at fremhæve, at der er tale om e regeoperatio. a) Gør rede for, at potesopløftig ikke er kommutativ. b) Gør rede for, at potesopløftig ikke er associativ. c) Ka ma i e vis forstad sige, at potesopløftig er distributiv med hesy til multiplikatio? d) Ka ma i e vis forstad sige, at potesopløftig er distributiv med hesy til additio? Det ka syes ret uskyldigt at potesopløftig på de måde er mere kompliceret ed additio og multiplikatio, me i de aksiomatiske opbygig af talteorie fører det til alvorlige vaskeligheder. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk
De modsatte regeoperatioer: Subtraktio og divisio Til hver af de to regeoperatioer hører der u e modsat regeoperatio, subtraktio heholdsvis divisio. Til at begyde med lægger vi mærke til, at de gægse talsystemer,, og, dels ideholder tallet 0 som er eutralt over for additio, dvs. der gælder 0 + x= x for alle x. Dels ideholder de tallet, som er eutralt over for multiplikatio, dvs. x= x for alle x. Med udgagspukt i det eutrale elemet, ka vi u idføre et iverst elemet. Ved additio hedder det iverse tal det modsatte tal - x, og det er karakteriseret ved (- x) + x= 0 Ved multiplikatio hedder det modsatte tal det reciprokke tal x - og det er karakteriseret ved x - x= Har vi først rådighed over et iverst elemet ka vi u idføre de modsatte regeoperatio, dvs. subtraktio, ved at lægge det modsatte tal til, dvs. def a- b = a+ (-b) Tilsvarede ka vi idføre divisio for alle tal forskellig fra 0 ved at gage det reciprokke tal på, dvs. - a/ b= = a b b Tallet 0 har dog ikke oget reciprokt elemet, idet der gælder ulregle: 0 x= x for alle x. Øvelse : a def a) Gør rede for at ulregle er e kosekves af de distributive lov. Idefor talsystemet, har alle tal x et modsat tal, - x, dvs. subtraktio er også veldefieret idefor. Me i almidelighed har et helt tal derimod ikke et reciprokt tal idefor. Ma ka derfor ikke dividere idefor de hele tal. Idefor talsystemere og har derimod alle tal x et modsat tal, 0 har et reciprokt tal, og de reelle tal. Rige og legemer - x, ligesom et hver tal x forskellig fra x -. Såvel subtraktio som divisio er derfor veldefierede idefor de ratioale tal Defiitio : Talrige Et talsystem med de to regeoperatioer + og kaldes e talrig, hvis det ideholder de eutrale tal 0 og, og hvis ethvert tal x har et modsat tal - x, dvs. e talrig er også lukket overfor subtraktio. Defiitio : Tallegemer Et talsystem med de to regeoperatioer + og kaldes et tallegeme, hvis det ideholder de eutrale tal 0 og, og hvis ikke blot har ethvert tal x et modsat tal - x, me ethvert tal x forskelligt fra 0 har også et reciprokt tal x -, dvs. et tallegeme er både lukket overfor subtraktio og divisio. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 3
Det er da klart at de hele tal er et eksempel på e talrig. Tilsvarede er de ratioale tal og de reelle tal eksempler på tallegemer. Me der fides mage flere eksempler! I det følgede styre vi mod at kostruere alle edelige tallegemer, me først skal vi se lidt ærmere på to fudametale kostruktiosmetoder til at omdae talrige til tallegemer!. Fra rig til legeme: Regig med restklasser I de første kostruktiosmetode beytter vi os af e divisiosalgoritme. Som udgagspukt tager vi heltalsrige. De er ikke lukket over divisio, me der fides ikke desto midre e simpel divisiosalgoritme, som løst sagt fortæller, hvor mage gage q (kvotiete) et givet aturligt tal d (divisore) går op i et adet givet helt tal m (dividede), og hvilke rest r der så bliver til overs. r - - 0... d q d m q d+d Idee er at vi kigger på multipla af divisore, dvs. d-tabelle eller hele tal på forme q d. De ligger ækvidistat på talakse, idet afstade mellem to successive multipla etop er d. Hvis vi lukker itervallet mellem to successive multipla i det ederste multiplum, ideholder itervallet altså etop d tal på forme { q d, q d+, q d+,..., q d+ ( d-) } Tallet m ligger da i etop et af disse itervaller, dvs. det ka etop skrives etydigt på forme m= q d+ r, 0 r< d Hvis reste er 0, siger vi at divisioe går op og tallet d kaldes e divisor. Tallet går op i alle adre tal, me hvis divisore d er forskellig fra og m kaldes divisore e ægte divisor. Vi siger da at tallet m er sammesat, dvs. det ka skrives som et produkt af to midre tal. Modulus-fuktioe Der fides e speciel fuktio kaldet modulus, som udreger heltalsreste ved divisio. Typisk ser de således ud mod( m, d) = r Vi fider fx mod ( 5,7) = 3, idet der jo gælder 5= + 3= 6 7+ 3 I abstrakt matematik bruger ma ofte otatioe m mod d i stedet for mod(m,d)! Heltalsreste ka også fides ved Euklids algoritme, idet vi successivt trækker 7 fra idtil vi kommer uder divisore 7: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk
5-7 = 38ü 38-7 = 3 ï ï 3-7 = ï ý 6 gage - 7 = 7ï 7-7 = 0 ï ï 0-7 = 3 ïþ Vi ser da at vi ka trække 7 fra 6 gage, dvs. 7 går 6 gage op i 5, og at reste bliver 3. Det er ikke alle talrige, der uderstøtter Euklids algoritme, der jo bygger på at idefor de hele tals rig bliver der midre og midre tilovers, år vi successivt trækker divisore fra. Der skal altså være e veldefieret ordigsstruktur, der tillades os at tale om at et tal ka være midre ed eller større ed et adet tal. Det er altså ikke alle talrige, der har e divisiosalgoritme, så her udytter vi ogle helt særlige forhold ved heltalsrige! E ade speciel egeskab ved heltalsrige, er at der ikke fides oge uldivisorer, dvs. der fides ige aturlige tal, der går op i 0. Hvis et produkt a b giver 0 må midst e af faktorere være ul. Heller ikke dette ka ma forvete skal gælde i almee talrige, hvilket vi skal se eksempler på lige om lidt! Defiitio 3: Restklassere modulo Lad u være et aturligt tal større ed. Vi kigger da på restere ved divisio med. Der er etop sådae rester og de udgør talsystemet (også kaldet restklassere modulo ). Vi stiler u mod at vise, at restklassere modulo det aturlige tal, dvs. talsystemet ed ) udgør e talrig., (hvor er større Additio og multiplikatio af restklasser Vi skal først vise, at vi ka lægge to restklasser samme og at vi ka gage to restklasser med hiade. Det sker ved at bemærke at hvis vi lægger to hele tal samme afhæger reste ku af restklassere for de to hele tal, dvs. Sætig : Sum af restklasser ( a+ b)mod = ( amod ) + ( bmod ) mod Bevis: Hvis a har reste r a modulo og b har reste r b modulo gælder der ifølge divisiosalgoritme a= q + r ü b q r a a ý = b + b þ ( ) ( ) ( ) ( ) a+ b= q + r + q + r = q + q + r + r a a b b a b a b Det viser etop at går qa + qb gage op i a+ b med reste r a + r b, me reste behøver ikke være midre ed, selv om de to idividuelle rester ødvedigvis er midre ed. Vi skal derfor evetuelt trække fra edu egag. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 5
Sætig 3: Produkt af restklasser ( a+ b)mod = ( amod ) + ( bmod ) mod Bevis: Hvis a har reste r a modulo og b har reste r b modulo gælder der ifølge divisiosalgoritme a= q + r ü b q r a a ý = b + b þ ( )( ) ( ) ( ) a b= q + r q + r = q q + q r + q r + r r a a b b a b a b b a a b Det viser etop at går qa qb + qb ra + qb rb gage op i a b med reste r a r b, me reste behøver ikke være midre ed, selv om de to idividuelle rester ødvedigvis er midre ed. Vi skal derfor evetuelt trække fra edu ogle gage for at fide heltalsreste. Det kræver de ekstra modulo-udregig til sidst! Additio af to restklasser er i e vis forstad triviel. Ma ka opfatte restklassemægde som e talcirkel, idet ma tager de sædvalige tallije og sor de op på e cirkel med omkredse, så tallet etop falder i tallet 0. Alle tallee på tallije falder da etop i deres tilhørede restklasse på talcirkle, som etop rummer gitterpukter 0,,,..., -. Additio med restklasse r svarer da etop til e drejig i positiv retig med de drejigsvikel, der fører restklasse 0 over i restklasse r. Subtraktio med restklasse r svarer tilsvarede til e drejig i egativ retig med de drejigsvikel, der fører restklasse r over i restklasse 0. Hvor additio og subtraktio på de almidelige tallije svarer til parallelforskydiger svarer additio og subtraktio på talcirkle altså til drejiger. Helt så simpelt går det desværre ikke med at tolke multiplikatio på talcirkle. Godt ok ka ma forestille sig at ma strækker e cirkel ud fra et begydelsespukt på cirkle. Me det er ikke helt så oplagt at gitterpuktere etop falder på gitterpukter... d- d+ d d-... 0 - -... -d+ -d Vi ka u emt kostruere additiostabeller og multiplikatiostabeller for restklasser. Vi viser pricippet bar restklasser modulo 7. I regearket afsætter vi tabeller med restklassere { 0,,,3,,5,6 } : 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 6
For at kostruere e additiostabel skal vi så blot vise formle i det øverste vestre hjøre C3 af tabelle: C3 = mod($ B3 + C$,$ B$) Her skal dollartegee sikre at vi hele tide lægger tal samme, der stammer fra søjle B og række. Tilsvarede skal vi hele tide rege modulo 7, dvs. det sidste tal skal låses til celle B! Dee formel trækkes da første edad i tabelle og derefter på tværs. Det samme gøres med multiplikatiostabelle: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 7
Øvelse 3: 7 a) Kig lidt på tabelle og prøv at rege ogle af cellere ud i hovedet! Hvorfor gælder der fx 3 = 5, år vi reger modulo 7? b) Hvorda ka ma se af tabellere at additio og multiplikatio er kommutative? c) Hvorda ka ma se at 0 er et eutralt elemet overfor additio og at er et eutralt elemet over multiplikatio? d) Har ethvert tal et modsat tal (dvs. iverst elemet overfor additio)? e) Har ethvert tal forskelligt fra 0 et reciprokt tal (dvs. et iverst elemet overfor multiplikatio)? f) Er 7 e talrig? Er det et tallegeme? Øvelse : 6 a) Kostruér u tilsvarede tabeller modulo 6. b) Besvar de samme spørgsmål som ovefor for restklassemægde 6. Restklasserige, hvor er et aturligt tal På basis af sådae øvelser skulle det u ikke komme som e overraskelse at der gælder følgede sætig: Sætig : Restklassemægde er e talrig. Mere overraskede er ok de følgede sætig: Sætig 5: Restklassemægde er et edeligt tallegeme, etop år er et usammesat tal, dvs. et primtal. Bevis (skitse): Vi har allerede idført to regeoperatioer på restklasser, som arver de ødvedige egeskaber (kommutativitet, associativitet og distributivitet) fra de sædvalige regeregler. For at vise at er e talrig, skal vi derfor blot vise at ehver restklasse r har e modsat restklasse overfor additio, dvs. e restklasse s, hvor der gælder r+ s= 0 mod.... Me der gælder oplagt s= -r På talcirkle ligger de to modsatte restklasser lige overfor hiade ved spejlig i hoveddiametere geem 0. De tilhørede drejiger foregår da med lige store og modsatrettede drejigsvikler, dvs. de ophæver etop hiade.... -=d- -=d- 0 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 8
Restklasselegemet p, hvor p er et primtal For at vise at er et tallegeme, etop år er et usammesat tal, dvs. et primtal, skal vi udersøge hvorår tal forskellige fra 0 har et reciprokt elemet. Vi starter med at bemærke, at er e talrig med uldivisorer etop er et sammesat tal. Hvis er et sammesat tal, dvs. = a b, hvor divisorere a og b begge er midre ed. Me da gælder jo etop a b= 0mod Hvis talrige fra 0, så på de ade side ideholder uldivisorer fides der altså restklasser a og b forskellige a b= 0mod Me det betyder jo etop at a ber et multiplum af, dvs. a b= q Ved at bortdividere primfaktorere i q på begge sider, eder vi derfor med e relatio af forme: a b = hvor faktorere a og b er midre ed a og b og dermed midre ed. Altså er tallet sammesat. Me e talrig med uldivisorer ka ikke være et tallegeme, fordi uldivisorer ikke ka have et reciprokt elemet! Hvis er sammesat er slaget altså tabt: Restklasserige Vi veder os derfor mod tilfældet hvor er et primtal p. Vi skal vise at ka da ikke være et tallegeme. e restklasse forskellig fra 0 og se på de lieære fuktio f( x) = a xmod. p er et tallegeme. Lad u a være Øvelse 5: Lieære fuktioer modulo 7 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 9
a) Teg grafere for de lieære fuktioer modulo 7, dvs. opret e fuktiostabel i et regeark og kostruer fuktiostabelle for f( x) = a xmod7, hvor a er e skydervariabel med værdiere {,,3,,5,6 }. b) Kommeter grafere! Hvorda ka ma fx se af grafe at det reciprokke elemet til 5 er 6? Det viser sig u, at de lieære fuktio f( x) = a xmod er eetydig, dvs. hver y-værdi optræder højst é gag! Det skyldes etop at der ikke er oge uldivisorer. For hvis y = y, dvs. a x = a x mod, slutter vi at der gælder a x= a x a x - a x = 0 a ( x - x ) = 0 Me da a ikke er 0, og der ikke fides uldivisorer ka produktet ku være ul, hvis de ade faktor er 0, dvs. der gælder x - x = 0 Me restklasserige x = x p ideholder etop p elemeter. Og da de højst ka optræde etop é gag som billeder for de lieære fuktio f( x) = a xmod, må de alle optræde etop é gag! Der fides altså et x, så a x=, dvs. x= a -. Hvorda ma så fider det reciprokke elemet i praksis er e helt ade sag. Vi har vist at det fides og det er ok! Vi har u fudet et stort reservoir af eksempler på edelige tallegemer, emlig restklasselegemere modulo et primtal p. Vi har specielt fudet restklasselegemet = {0,}, hvor restklasse 0 repræseterer alle de lige tal (hvor jo går op) og restklasse repræseterer alle de ulige tal (hvor etop ikke går op). Regig i svarer altså etop til regig med pariteter. Der fides imidlertid adre edelige tallegemer ed restklasselegemere p p. De blev fudet af Galois og kaldes derfor for Galois-legemer. Me før vi ka kostruere Galois-legemere, skal vi først lære edu et kostruktiospricip. Ide da kigger vi lige kort på polyomier over restklasselegemet p. Lad os fx se på tredjegradspolyomiet 3 f( x) = x + 3x+ mod 7. I et regeark ka vi emt kostruere e fuktiostabel og dermed kigge på grafe som et puktplot. Det giver os fx mulighed for a se efter evetuelle rødder, dvs. skæriger med x-akse. Da grafe er diskret, ka vi derimod ikke avede fx differetialregig til at aalysere grafes forløb. Vi ser da at grafe har etop et ulpukt, emlig x = 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 0
Me det betyder jo at tredjegradspolyomiet ka faktoriseres i førstegradspolyomiet x- º x+ 3 og et adegradspolyomium som vi ka fide ved polyomiers divisio: Hvis vi udfører divisioe idefor de ratioale tal fider vi: x 3 + 3x+ 77 = + x + x + x- x- 9 Me vi arbejder jo idefor tallegemet 7 så 77º 0! Ydermere gælder der 9º 5, så idefor tallegemet 7 gælder der 3 x + 3x + º x + x + 5 x- Vi har også teget puktgrafe for adegradspolyomiet og ka etop se at det ikke har oge rødder, så det ka ikke faktoriseres yderligere. Øvelse 6: a) Udersøg u selv et tilfældigt polyomium af grad højst 5 på samme måde. Vælg først e tilfældig grad mellem og 5 og vælg derefter tilfældige koefficieter fra 0 til 6 til polyomiet. b) Hvis det ka faktoriseres, så geemfør faktoriserige som beskrevet ovefor. Restklasselegemere modulo et primtal udgør et særdeles stærkt redskab idefor talteori til at udlede simple egeskaber ved primtal. Me det er et helt adet projekt. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk
. Fra legeme til rig: Regig med polyomier Polyomiumsrige F [ x], hvor F er et tallegeme Hvis vi kigger på et tallegeme, fx de ratioale tal, eller de reelle tal, så ka vi defiere polyomier af grad på de sædvalige måde som fuktioer med forskrifte p X a a x a x a x ( ) = 0 + + +... + med a ¹ 0, hvor koefficietere a 0, a, a,..., a alle kommer fra tallegemet. Der fides også e ret algebraisk måde at defierer polyomier på som ree algebraiske objekter, me det får vi ikke brug for her. Mægde af alle polyomier beteges med [ x], hvis der er tale om ratioale polyomier, [ x], hvis der er tale om reelle polyomier osv. Sådae polyomier ka opfattes som geeraliseriger/udvidelser af det uderliggede legeme, idet vi ka idetificere det uderliggede legeme med de kostate polyomier, dvs. polyomier med grad 0. Tekisk set har ul-polyomiet px ( ) = 0 dog ige grad, idet højestegradskoefficiete ikke er forskellig fra 0. Det er klart at vi ka lægge polyomier samme, ligesom vi ka gage dem samme efter de sædvalige regeregler. Det ka derfor ikke komme som e overraskelse at der gælder følgede sætig: Sætig 6: Mægde af polyomier over et tallegeme F udgør e rig, kaldet polyomiumsrige F [ x]. Bemærkig: På egelsk hedder et legeme a field. Fx har vi polyomiumsrige over de ratioale tal [ x], ligesom vi har polyomiumsrige over de reelle tal [ x]. Nulpolyomiet er de kostate fuktio 0, et-polyomiet det kostate polyomium. Hvis p x a a x a x a x ( ) = 0 + + +... + så er det modsatte polyomium givet ved polyomiet, hvor vi skifter forteg på alle koefficietere, dvs. - p( x) =-a - a x- a x -...- a x osv. 0 Me polyomiumsrige er ikke et tallegeme! Fx er det emt at idse at idetitetspolyomiet x ikke har et reciprokt elemet. For i så fald skulle der gælde x px ( ) = Me sætter vi x = 0 fås heraf Hvilket er e modstrid! 0= Spørgsmålet er så om vi ka omdae det til et tallegeme på simpel vis? Svaret er bekræftede og vi ka bruge præcis de samme ide, som vi brugte da vi omdaede heltalsrige til et tallegeme, ved at gå over til at rege på restklasser Det er e gammel ide, som bl.a. har været udyttet af Cauchy til at defiere de komplekse tal, så det vil også være et af vores hovedeksempler. Me først ser vi lige kort på divisio med polyomier. Poite er emlig at polyomiumsrige tillader e simpel divisiosalgoritme: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk
Restklasser md polyomier Hvis px ( ) er et polyomium og dx ( ) et divisor polyomium ka vi ved hjælp af polyomiers divisio fide kvotietpolyomiet qx ( ) og et restpolyomium rx ( ) med lavere grad ed divisorpolyomiet, så der gælder: Divisiosalgoritme ka også skrives på forme px ( ) = qx ( ) dx ( ) + rx ( ) px ( ) rx ( ) = qx ( ) + dx ( ) dx ( ) CAS-værktøjer har ormalt både værktøjer til at udføre polyomiers divisio og fide reste direkte. Det ka fx se således ud: Af de første divisiosligig fremgår fx at kvotietpolyomiet er q( x) r( x) =- ( x- ) = - x. = x og at restpolyomiet er Af de sidste fremgår ku restpolyomiet. De sidste kommado svarer til modulus fuktioe for de hele tal. Med lidt tålmodighed ka ma også fide dem ved hådregig, også selv om ma ikke lige har algoritme for polyomiers divisio preset. Vi udytter da, at der gælder og fider u ( ) ( ) 3 x = x x = x x - + = x x - + x ( ) 3 x - 3 x+ x ( x - ) + x - 3 x+ = x - x - x ( x -) x- 3 x+ = + x - x - - x+ = x+ x - Me i det følgede bruger vi skamløst CAS-værktøjet til at udføre de mere komplicerede polyomiers divi- sioer- Vi ka så arbejde med restklasser præcis lige som vi gjorde det med heltalsrige. Defiitio : Restklassere modulo d(x) Lad u ( ) dx være et polyomium af grad midst over et legeme L. Idefor polyomiumsrige L[ x] kigger vi da på restere ved divisio med dx. ( ) De udgør talsystemet L [ x]/ dx ( ) (også kaldet kvotietrige modulo dx). ( ) Læg mærke til at alle restere rx ( ) har grad midre ed grade af divisorpolyomiet dx. ( ) Vi skyder os at se på to kokrete cases, der begge er historisk meget berømte: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 3
CASE : Irratioale tallegemer Vi arbejder med polyomier over de ratioale tal. Idefor de ratioale tal har adegradspolyomiet d x = - ige rødder, dvs. vi ka ikke løse ligige x - = 0 idefor de ratioale tal. Vi ka derfor ( ) x ikke opløse dette adegradspolyomium i faktorer. Vi siger polyomiet er usammesat eller irreducibelt. Vi daer u kvotietrige [ x] / ( x -) Vi ser altså på alle restere af ratioale polyomier ved divisio med d( x) = x -. De består altså af alle polyomier med grad højst, dvs. de kostate polyomier og de lieære polyomier. De ka altså skrives på forme r( x) = a+ b x Her er begge koefficietere ratioale tal og de må gere være 0. Vi lægger dem samme og trækker dem fra hiade på sædvalig vis: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a + b x + a + b x = a + a + b + b x a + b x - a + b x = a - a + b - b x Her er der ige problemer. Me år vi gager dem samme ka vi emt risikere at grade af produktet bliver, og så skal vi reducere grade, dvs. fide reste ved divisio med d( x) = x -. Det er faktisk rimeligt simpelt: ( )( ) ( ) ( ) ( ) a + b x a + b x = a a + a b + a b x+ b b x ( a a ) ( a b a b ) x ( b b) ( x ) ( a a b b) ( a b a b) x ( b b) ( x ) ( b b) ( x ) (( a a b b) ( a b a b ) x) = + + + - + = + + + + - = - + + + + Me her viser divisiosligige jo at reste er givet ved ( ) ( ) r( x) = a a + b b + a b + a b x Når vi gager to førstegradspolyomier samme sker det altså ved hjælp af regle ( )( ) ( ) ( ) a + b x a + b x º a a + b b + a b + a b x Her har vi brugt ækvivalesteget º for at mide os om at produktet er reduceret med polyomiet d x ( ) x = -! Der kommer u to behagelige overraskelser: 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk
Første overraskelse: Når vi bruger det oveståede produkt på mægde af polyomier af grad højst, dvs. kostate polyomier og lieære polyomier, så udgør de et tallegeme! Vi skal vise at ethvert polyomium a 0 + b 0 x, bortset fra ul-polyomiet, har et reciprokt elemet, dvs. vi skal løse ligigssystemet: Det ka omformes til Her er determiate givet ved ( )( ) ( ) ( ) a + b x a+ b x º a a+ b b + a b+ a b xº 0 0 0 0 0 0 a a+ b b= 0 0 b a+ a b= 0 0 0 a - b 0 0 Me da a 0 og b 0 ikke begge ka være ul ved vi at a0 - b0 heller ikke ka være ul det er oplagt, hvis e af dem er 0, og hvis de begge er forskellige fra 0 ville vi i sidste istas kue fide et ratioalt tal med kvadratet! Ligigssystemet har altså etop é løsig og dermed har polyomiet a0 + b0 x etop et reciprokt elemet. Det er heller ikke svært at fide løsige der er givet ved - a - b x æ a ö æ -b ö a0 + b0 x = = ç x + ç a0 - b0 èa0 - b0 ø èa0 - b0 ø ( ) 0 0 0 0 Ade overraskelse: Idefor kvotietlegemet ka vi godt løse adegradsligige x - = 0! Der gælder emlig x x - º 0 Idetitetspolyomiet x har altså etop kvadratet, dvs. det spiller rolle som tallet. Der er derfor idefor kvotietlegemet traditio for simpelthe at kalde idetitetspolyomiet x for. º Kvotietlegemet består derfor af alle tal på forme a+ b, hvor koefficietere a og b er ratioale tal. Regereglere for disse tal følger da automatisk af de sædvalige regler år blot vi husker på at der gælder ( ) = : ( a + b ) + ( a + b ) = ( a + a) + ( b + b ) ( a + b ) -( a + b ) = ( a - a ) + ( b - b ) ( a b ) ( a b ) ( a a b b) ( a b a b ) + + = + + + a- b = a+ b a - b 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 5
På dette tidspukt ka ma faktisk roligt glemme alt om polyomier og bare rege løs! Ma siger at vi har udvidet tallegemet de ratioal tal med kvadratrode af, dvs., og det udvidede tallegeme beteges da blot [ ]. Faktisk ka ma idføre det udvidede tallegeme helt simpelt ved i stedet at arbejde med de reelle tal! I- defor de reelle tal har polyomiet x - to rødder ± og ka faktoriseres som ( ) ( ) x x x - = - + Så idefor de reelle tal er der slet ige grud til at udvide tallegemet. Her vil ma i stedet gå således frem. Det midste tallegeme idefor de reelle tal er etop de ratioale tal. Ethvert tallegeme idefor ideholder 0 og og dermed også de hele tal, for at være lukket overfor additio og subtraktio og deræst de ratioale tal, for også at være lukket over multiplikatio og divisio! Idefor de reelle tal udvider vi u de ratioale tal ved at tilføje det reelle tal =.... Det udvidede tallegeme må da i det midste ideholde alle tallee på forme a+ b, hvor a og b er ratioale tal. Me da dee talmægde er et tallegeme er udvidelseslegemet, der ideholder vet ved Der gælder da oplagt { } Q[ ] = a+ b ab, er vilkårlige ratioale tal Ì [ ] Ì altså etop gi- Me selv om vi slet ikke kedte de reelle tal kue vi altså stadigvæk idføre udvidelseslegemet [ ] ved hjælp af polyomier som beskrevet ovefor Øvelse 7: Det gylde sit Idefor de reelle tal er det gylde sit defieret som tallet + 5 F= =.68..., der løser adegradslig- ige x -x- = 0. Me idefor de ratioale tal har dee ade gradsligig ige rødder. VI ka derfor bruge dette adegradspolyomium til at kostruere e udvidelse af de ratioale tals legeme, der også omfatter det gylde sit F. Som ovefor defieres det som mægde af polyomier af grad højst, dvs. kostate fuktioer og lieære fuktioer med ratioale koefficieter: { a b x ab } F [ ] = +, er vilkårlige ratioale tal a) Opstil regereglere for summer og produkter af disse polyomier, idet produktere reduceres ved polyomiers divisio med d( x) = x -x- = 0. b) Gør rede for at idetitetspolyomiet x har det reciprokke polyomium x -. c) Gør rede for at ethvert polyomium af grad højst har et reciprokt polyomium idefor dette talsystem, dvs. der er tale om tallegeme. d) Gør rede for at hvis vi kalder idetitetspolyomiet x for F ka vi rege på helt ormal vis, idet vi blot skal huske på at der må gælde regeregle F =F+. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 6
CASE : - (De komplekse tal) De komplekse tal har e lag og fascierede historie bag sig. Der er mage måder at kostruere de komplekse tal. Oprideligt blev de kostrueret ret geometrisk ved at forsye talplae med to geometriske regeoperatioer: additio (i form af parallelforskydiger), og multiplikatio (i form af ligedaetheder, dvs. strækiger og rotatioer). De geometriske kostruktio skyldes Wessel, Argad og Gauss. Der fides også e ret algebraisk kostruktio, der stammer fra Hamilto, som også idførte kvaterioere. Edelig fides der polyomiemetode, der går tilbage til Cauchy. Det er polyomie-metode vi her skal se ærmere på, me de tre forskellige metoder fører selvfølgelig frem til præcis de samme komplekse tal Vi arbejder dee gag med polyomier over de reelle tal. Idefor de reelle tal har adegradspolyomiet d x = - u rødder, dvs. vi ka dee gag løse ligige x - = 0 idefor de reelle tal. Løsigere ( ) x er givet ved x =± =±.3... Vi ka derfor opløse dette adegradspolyomium i to førstegradsfaktorer x ( x ) ( x ) - = - +. Vi siger at polyomiet d( x) = x -er sammesat eller reducibelt over de reelle tal. Vi ka derfor godt ok dae kvotietrige [ x] / ( x -) Me de vil få uldivisorer, emlig førstegradspolyomiere ( x ),( x ) for at det bliver et yt tallegeme. - +, dvs. der er ige chace Ser vi i stedet på adegradspolyomiet d( x) = x + har det ige reelle rødder. Dette polyomium er altså usammesat eller irreducibelt over de reelle tal. Det giver derfor god meig at se på alle restere af ratioale polyomier ved divisio med d( x) = x +. De består altså af alle polyomier med grad højst, dvs. de kostate polyomier og de lieære polyomier. De ka altså skrives på forme r( x) = a+ b x Her er begge koefficietere dee gag reelle tal og de må gere være 0. Vi lægger dem samme og trækker dem fra hiade på sædvalig vis: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a + b x + a + b x = a + a + b + b x a + b x - a + b x = a - a + b - b x Her er der ige problemer. Me år vi gager dem samme ka vi emt risikere at grade af produktet bliver, og så skal vi reducere grade, dvs. fide reste ved divisio med d( x) = x +. Det er faktisk rimeligt simpelt: ( )( ) ( ) ( ) ( ) a + b x a + b x = a a + a b + a b x+ b b x ( a a) ( a b a b ) x ( b b) ( x ) ( a a b b ) ( a b a b) x ( b b) ( x ) ( b b ) ( x ) (( a a b b) ( a b a b ) x) = + + + + - = - + + + + = + + - + + 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 7
Me her viser divisiosligige jo at reste er givet ved ( ) ( ) r( x) = a a - b b + a b + a b x Når vi gager to førstegradspolyomier samme sker det altså ved hjælp af regle ( )( ) ( ) ( ) a + b x a + b x º a a - b b + a b + a b x Her har vi brugt ækvivalesteget º for at mide os om at produktet er reduceret med polyomiet d x ( ) x = +! Der kommer u to behagelige overraskelser: Første overraskelse: Når vi bruger det oveståede produkt på mægde af polyomier af grad højst, dvs. kostate polyomier og lieære polyomier, så udgør de et tallegeme! Vi skal vise at ethvert polyomium a 0 + b 0 x, bortset fra ul-polyomiet, har et reciprokt elemet, dvs. vi skal løse ligigssystemet: Det ka omformes til Her er determiate givet ved ( )( ) ( ) ( ) a b x a b x a a b b a b a b x 0 + 0 + º 0-0 + 0 + 0 º a a- b b= 0 0 b a+ a b= 0 0 0 a + b 0 0 Me da a 0 og b 0 ikke begge ka være ul ved vi at a0 + b0 er positiv, dvs. heller ikke ka være ul. Ligigssystemet har altså etop é løsig og dermed har polyomiet a0 + b0 x etop et reciprokt elemet. Det er heller ikke svært at fide løsige der er givet ved - a - b x æ a ö æ -b ö a0+ b0 x = = x ç + ç a0 + b0 èa0 + b0 ø èa0 + b0 ø ( ) 0 0 0 0 Ade overraskelse: Idefor kvotietlegemet ka vi godt løse adegradsligige x + = 0! Der gælder emlig x x + º 0 º- Idetitetspolyomiet x har altså etop kvadratet, dvs. det spiller rolle som tallet -. Der er derfor idefor kvotietlegemet traditio for simpelthe at kalde idetitetspolyomiet x for -. Der er dog også traditio for at kalde det i (for de imagiære ehed). Kvotietlegemet består derfor af alle tal på forme a+ bi, hvor koefficietere a og b er reelle tal. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 8
Regereglere for disse tal følger da automatisk af de sædvalige regler år blot vi husker på at der gælder ( ) i = - =- : ( a + b i) + ( a + b i) = ( a + a) + ( b + b) i ( a + b i) -( a + b i) = ( a - a ) + ( b - b) i ( )( ) ( ) ( ) a + b i a + b i = a a - b b + a b + a b i a- bi = a+ b i a + b På dette tidspukt ka ma faktisk roligt glemme alt om polyomier og bare rege løs! Ma siger at vi har udvidet tallegemet de reelle tal med kvadratrode af, dvs. i = -, og det udvidede tallegeme beteges da blot de komplekse tals legeme = [] i. Ma kue forestille sig at ma u kue getage spøge og udvide de komplekse tal ved at fide et tilsvarede simpelt polyomium over de komplekse tal. Me det ka ma ikke! Ifølge algebraes fudametalsætig har ethvert komplekst polyomium midst é kompleks rod! I e vis forstad er de komplekse tal derfor det mest omfattede tallegeme der fides (på samme måde som de ratioale tal var det midste tallegeme): Ì Ì Skal vi udover de komplekse tal skal der derfor ske oget drastisk! Som opdaget af Hamilto ka ma opgive kravet om kommutativitet for multiplikatioe. Det åber mulighed for et edu større tallegeme, kvaterioere. Hvis ma også er villig til at ofte associativitete for multiplikatioe fides der et tallegeme, der rækker ud over kvaterioere, emlig oktoioere. Me så er det også slut! Begge disse tallegeme har vigtige avedelsesområder: Kvaterioere er uudværlige idefor modere avaceret computeraimatio (Ude kvaterioer ige Lara Croft!). Selv om der er tale om firedimesioale objekter er de emlig fremragede til at styre rotatioer i 3-dimesioer (og dermed til at styre flydede bevægelser i computerauimatio) Oktoioere vider id idefor modere stregteori. Selv om der ku er tale om 8-dimesioale objekter ligger de meget tættere på de 0 rum-dimesioer som ma opererer med idefor stregteorie. Me det vil vi ikke komme ærmere id på her i dette projekt. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 9
Galois-legemere é GF ë p û Vi veder u tilbage til de edelige tallegemer i form af primtalslegemere = { 0,,,3,..., p-}. Spørgsmålet var u om der fadtes flere edelige tallegemer ed disse? Svaret er bekræftede: De blev fudet af Galois i forbidelse med has udersøgelser af rødderes opførsel i polyomier med heltalllige koefficieter. p Sætig 7: Galois-legemere GF( p ) For et hvert primtal p og ethvert aturligt tal fides der et Galois-legeme med etop fremkommer som e udvidelse af restklasselegemet p. p elemeter, der Vi vil ikke bevise sætige me vil kostruere Galois-legemere i et kokret tilfælde, der efterfølgede vil kue geeraliseres. Vi tager udgagspukt i paritetetslegemet = {0,}, hvor 0 står for de lige tal og står for de ulige tal. Det er et særligt simpelt tallegeme med regeoperatioere + og, der opfylder de følgede yderst simple regetabeller + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Læg mærke til, at der idefor ikke er forskel på additio og subtraktio, idet både 0 og er deres eget modsatte tal! Med udgagspukt i dette kostruerer vi u først polyomiumsrige [ ]. Vi skal så have omdaet de til et tallegeme ved at arbejde med restklasser modulo et usammesat, irreducibelt polyomium. x Irreducible polyomier over Vi starter derfor med at kigge efter irreducible polyomier. Vi ka da have glæde af de sædvalige observatio. Udfører vi e polyomiers divisio med førstegradspolyomiet x- x0 fås px ( ) = ( x- x) qx ( ) + rx ( ) 0 Udreges værdie for x= x0 fås derfor px ( ) = 0 qx ( ) + rx ( ) = rx ( ) 0 0 0 0 Der gælder altså de sædvalige sætig: Sætig 8: Første gradspolyomiet x- x0 går op i polyomiet px ( ) etop år x 0 er e rod, dvs. px ( 0) = 0. Det ka vi bruge til at jagte irreducible polyomier over. 0 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-8 Købehav K Tlf: 3503030 Email: ifo@lru.dk 0