Affine og konvekse mængder

Kapitel 3 Affine og konvekse mængder 3.1 Affine mænger Definition 3.1 LadXvære et vektorrum. En delmængde A Xer affin hvis λ 1 x 1 +λ 2 x 2 A for alle x 1, x 2 A og λ 1,λ 2 R med λ 1 +λ 2 = 1. (3.1) Udtrykket i (3.1) kaldes en affin kombination, eventuelt en affin kombination af længde 2, og en affin mængde er således en mængde der er stabil over for affine kombinationer. En affin kombination af længde k er et udtryk af formen λ i x i hvor λ i = 1. Hvisλ 1 +...+λ k = 1 så kan alleλ erne ikke være lig 1. Så vi kan antage at f.eks. λ 1 1. Dermed er λ i x i =λ 1 x 1 + (1 λ 1 ) i=2 λ i 1 λ 1 x i. (3.2) Det følger nu let ved induktion efter k at en affin mængde er stabil over for affine kombinationer af vilkårlig længde. 51

52 Kapitel 3. Affine og konvekse mængder Eksempel 3.2 Lad A Xvære en affin mængde. Betragt den translaterede mængde A+ x 0 ={x+ x 0 x A}, for et passende x 0 X. Hvis x 1, x 2 A og hvisλ 1 +λ 2 = 1, så er λ 1 (x 1 + x 0 )+λ 2 (x 2 + x 0 )=λ 1 x 1 +λ 2 x 2 + (λ 1 +λ 2 )x 0 =λ 1 x 1 +λ 2 x 2 + x 0. Det er klart et element i A+ x 0, der således er en affin mængde. Et underrum V X er stabilt over for vilkårlige linearkombinationer af dets elementer, og dermed er V oplagt affin. Mere interessant, så følger det af eksempel 3.2 at et translateret underrum, det vil sige en mængde af formen V+x 0 hvor V er et underrum, også er affint. Eksempel 3.3 Lad A X være en affin mænde. Lad os vise at hvis 0 A, så er A et underum. Lad x, y A. Da er x+y= x+y 0 A, da de tre koefficienter 1, 1 og -1 summer til 1. Tilsvarende er for x A og c R cx=cx+(1 c)0 A, da de to koeefficienter c og 1 c summer til 1. Eksempel 3.4 Hvis A Xer en affin mængde, og hvis x 0 A, kan vi danne W= A x 0 ={x x 0 x A}. Ifølge eksemepel 3.2 er W affin. Det er klart at 0 W, så det følger af eksempel 3.3 at W er et underrum. Og da A=W+x 0 får vi på den måde vist at enhver affin mængde i virkeligheden er et translateret underrum. En interessant konsekvens af eksempel 3.4 er at enhver affin delmængde af et endeligdimensionalt vektorrum er afsluttet. Det skyldes at ethvert underrum er afsluttet. Hvis A=W+x 0 hvor W er et underrum, så er A i virkeligheden L 1 (W) hvor L er den kontinuerte afbildning x x x 0.

3.1. Affine mænger 53 Definition 3.5 Hvis B X er en vilkårlig delmængde, defineres det affine span af B som den mindste affine mængde, der indeholder B. Det er klart at hvis (A i ) i I er en familie af affine delmængder afx, så er også fællesmængden i I A i affin. Så abstrakt set vi kan finde det affine span af en mængde B ved at tage fællesmængden af alle de affine mængder, der indeholder B. Med dette argument kan vi se at det affine span altid eksisterer. Men karakteriseringen som en stor fællesmængde er ikke særlig brugbar. Lemma 3.6 For en delmængde B X er affin span(b)= λ i x i k N, x 1,..., x k B, λ i = 1. (3.3) BEVIS: Enhver affin mængde der indeholder B må også indeholde alle de affine kombinationer på højre side af (3.3). Omvendt er det nemt at se at en affin kombination af to punkter på højre side - det vil sige to punkter, der hver især er affine kombinationer af B-punkter - igen er en affin kombination af B-punkter. Dermed er højre side affin, og da den tydeligvis indeholder B, må den indeholder det affine span af B. Sætning 3.7 For en delmængde B af en endeligdimensionalt vektorrum X findes en endelig delmængde B ={x 1,..., x m } af B så affin span(b)=affin span(b ). BEVIS: Det er klart fra (3.3) at affin span(b+ x 0 )=affin span(b)+ x 0. Så vi kan uden indskrænkning antage at 0 B. Under denne antagelse vil det affine span af B være et underrum afx, og det har derfor en basis e 1,...,e k. Eftersom disse basisvektorer ligger i det affine span af B, kan de hver især skrives som en affin kombination af endeligt mange B-vektorer, n i e i = λ i j x i j for,...,k j=1

54 Kapitel 3. Affine og konvekse mængder Enhver vektor x i det affine span af B kan skrives som en linearkombination af basisvektorerne e 1,...,e k, n i x= c i e i = c i λ i j x i j. Hvis vi til den sidste sum ligger det usynlige bidrag (1 i j c i λ i j ) 0, så ser vi at x er en affin kombination af x i j erne og 0. Så disse endeligt mange vektorer i B har samme affine span som hele B. j=1 3.2 Affine afbildninger Definition 3.8 LadXogYvære vektorrum. En afbildning L :X Y er affin hvis den bevarer affine kombinationer, det vil sige hvis L(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )=λ 1 L(x 1 )+λ 2 L(x 2 ), (3.4) for alle x 1, x 2 Xog alleλ, λ 2 Rmedλ 1 +λ 2 = 1. Ved at udnytte (3.2) og et induktionsargument ses det let at en affin afbildning bevarer affine kombinationer af vilkårlig længde, L λ i x i = λ i L(x i ) hvis λ i = 1. Eksempel 3.9 En lineær afbildning L : X Y bevarer alle lineære kombinationer, herunder de affine. Så en lineær afbildning er affin. En translation påx, dvs. en afbildning af formen L(x)= x+ x 0 for en fast vektor x 0, opfylder at L(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )=λ 1 x 1 +λ 2 x 2 + x 0 =λ 1 x 1 +λ 2 x 2 + (λ 1 +λ 2 )x 0 =λ 1 (x 1 + x 0 )+λ 2 (x 2 + x 0 )=λ 1 L(x 1 )+λ 2 L(x 2 ) nårλ 1 +λ 2 = 1. Så translationer er affine.

3.2. Affine afbildninger 55 Hvis L : X Y og H : Y Z begge er affine, så er også den sammensatte afbildning H L naturligvis affing. Og derfor konstaterer vi at enhver afbildning, der er opbygget ved sammensætning af lineære afbildninger og translationer, er affin. Eksempel 3.10 Lad L :X Y være en affin afbildning der opfylder at L(0)=0. Ved at bruge samme 0-trick som i eksempel 3.3, ser vi at L(x+y)=L(x+y 0)=L(x)+L(y) L(0)=L(x)+L(y), og tilsvarende for multiplikation med skalarer. En affin afbildning, der sender nul i nul er således lineær. Hvis L :X Y er en affin afbildning, der ikke nødvendigvis sender nul i nul, kan vi betragte sammensætningen af L med translationen y y L(0). Sammensætningen er ifølge eksempel 3.9 affin, og da den sender nul i nul, må den være lineær. Vi kan få L tilbage ved at sammensætte med translationen y y + L(0), så konklusionen er at L kan skrives L(x)=S (x)+y 0 for x X, for en passende lineær afbildning S :X Y og en passende konstant vektor y 0 Y. Vi kan af eksempel 3.10 slutte at enhver affin afbildning mellem endeligtdimensionale vektorrum er kontinuert, for både lineære afbildninger og translationer er kontinuerte. Lemma 3.11 Lad L :X Yvære affin. For enhver delmængde B Xgælder at L(affin span(b))=affin span ( L(B) ). BEVIS: Begge inklusioner følger let af (3.3). For eksempel vil et element på venstresiden kunne skrives på formen y= L λ i x i,

56 Kapitel 3. Affine og konvekse mængder hvor x 1,..., x k B og hvor k λ i = 1. Men eftersom L er affin, kan vi omforme det til y= λ i L(x i ) affine span ( L(B) ). At vise at et element på højresiden også er indeholdt på venstreside, forløber på præcis samme måde. 3.3 Åben afbildning Definition 3.12 LadXogYvære to metriske rum. En afbildning f :X Y er åben hvis der for enhver åben delmængde G X gælder at f (G) er en åben delmængde af Y. Bemærk at åbenhed er en egenskab, der ikke har noget med kontinuitet at gøre. Hvis f er kontinuert, så vil enhver åben mængde A iyhave en åben originalmængde f 1 (A). Hvis afbildningen skal være åben, er det derimod de åbne mængder i X, der skal have åbne billedmængder. Det er uhyre vanskeligt for en afbildning fra et lav-dimensionalt rum til et højdimensionale rum at være åben, hvorimod sådan en afbildning sagtens kan være kontinuert. Hvis f er bijektiv, så svarer åbenhed præcis tll at f 1 er kontinuert. Dermed ser vi at f.eks. alle isormofier mellem endeligdimensionale vektorrum er åbne afbildninger og at alle translationer på et vektorrum er åbne afbildninger I forbindelse med åbne afbildninger, kan det ofte være nyttigt at bruge følgende karakterisering af åbne mængder: en mængde G X er åben hvis det for enhver konvergent følge, x n x med x G, gælder at x n G fra et vist trin. Sætning 3.13 LadXogYvære endeligdimensionale vektorrum. Lad L :X Y være en lineær afbildning. Hvis L er surjektiv, så er L åben.

3.3. Åben afbildning 57 BEVIS: Lad G X være en åben mængde. Lad x 0 G, og betragt y 0 = Lx 0 f (G). Vi skal vise at hvis (y n ) n N er en følge så y n y 0, så vil y n L(G) fra et vist trin. Da L er surjektiv, kan vi finde x n X så Lx n = y n for alle n. Hvis det gjaldt at x n x 0, så kunne vi udnytte at G er åben til at slutte at x n G fra et vist trin, og så ville vi være færdige. Men så nemt er det ikke: der er ingen grund til at (x n ) n N skulle være konvergent, og selv hvis den konvergerer er der ingen grund til at det netop skulle være mod x 0. Vi må altså tænke os bedre om, og justere de forskellige valg lidt ind. Lad V= kerl={x X Lx=0}. Lad V være det ortogonale komplement til V og lad π være ortogonalprojektionen på V. Der gælder trivielt at Lπx = 0 for alle x. Der gælder derfor også at L ( x πx ) = Lx for alle x X. Idet x πx V, står der her at restriktionen af L til V er surjektiv. Det er nemt at se at restriktionen af L til V også er injektiv, for hvis Lx=0 for et x V, så må x både ligge i V og i V, og derfor må x=0. Så restriktionen af L til V er en isomorfi mellem V ogy. Der findes entydigt betstemte z 0, z 1, z 2... V så Lz n = y n. Og eftersom den inverse afbildning af denne restriktion er en lineær afbildning mellem to endeligdimensionale vektorrum, så er den kontinuert. Vi kan derfor slutte at z n z 0. Lad os sætte x n = x+z n z 0. Der gælder at Lx n = Lx+ Lz n Lz 0 = y 0 + y n y 0 = y n for alle n N,. Der gælder også at x n x for n, da z n z 0 0. Hermed er x n G fra et vist trin, og vi er færdige. Korollar 3.14 LadXogYvære endeligdimensionale vektorrum. Lad L :X Y være en affin afbildning. Hvis L er surjektiv, så er L åben. BEVIS: En translation er altid surjektiv, og en sammensætning af surjektive afbildninger er surjektiv. Derfor er x L(x) L(0) er surjektiv lineær afbildning. Den er derfor åben, ifølge sætning 3.13. Men en sammensætning af to åbne afbildninger er tydeligvis åben, og da L(x)=(L(x) L(0))+L(0) er en sammensætning af en åben lineær afbildning og en translation, ser vi at L er åben.

58 Kapitel 3. Affine og konvekse mængder 3.4 Konvekse mænger Definition 3.15 LadXvære et vektorrum. En delmængde A Xer konveks hvis λ 1 x 1 +λ 2 x 2 A for alle x 1, x 2 A og λ 1,λ 2 0 med λ 1 +λ 2 = 1. (3.5) Udtrykket i (3.5) kaldes en konveks kombination, eventuelt en konveks kombination af længde 2. En konveks kombination er altså en affin kombination, hvor der ligges det ekstra bånd på skalarerne at de er ikke-negative. Hvis en af skalarerne er 0, må den anden i sagens natur må være 1 - det kaldes en degenereret konveks kombination. De konvekse kombinationer hvor begge skalarer er positive kaldes ægte. En konveks mængde er således en mængde der er stabil over for konvekse kombinationer. Det er tilstrækkeligt at undersøge om en mængde er stabil over for ægte konvekse kombinationer for at konkludere at den er konveks, for enhver mængde er stabil over for degenererede konvekse kombinationer. En konveks kombination af længde k er et udtryk af formen λ i x i hvor λ 1,...,λ k 0, λ i = 1. Analogt med resultatet for affine mængder ser man let at en konveks mængde er stabil over for konvekse kombinationer af vilkårlig længde. Det er klart at enhver affin mængde er konveks. Men hvor der er et relativ begrænset udvalg af affine mængder, så er der et hav af ikke-affine konvekse mængder. Hvis er en norm påxer enhver åben kugle, B(x 0, r)={x X x x 0 <r}, konveks, ligesom enhver afsluttet kugle er konveks. PåR 2 kender vi kuglerne i 1- normen og -normen, der er ret firkantede på hver sin måde, mens kuglerne i 2- normen er runde. Uanset hvordan vi umiddelbart vil karakterisere kuglernes geometriske fremtræden, så er de altså fælles om at være konvekse.

3.4. Konvekse mænger 59 3.4.1 Indre punkter af konvekse mængder Lemma 3.16 Lad K Xvære en konveks mængde. Hvis x K og y K, så er z=λx+(1 λ)y K for alleλ (0, 1). BEVIS: Lad (y n ) n N være en følge af K-elementer så y n y. Lad (z n ) n N være en følge afx-elementer så z n z. Vi vil vise at z n K fra et vist trin. Lad x n = z n (1 λ)y n λ for n N. Da y n y og da z n z vil x n x. Da x K der er åben, vil x n K fra et vist trin. Des mere vil x n K for n Nfor et passende N N. Men vender vi den definerende relation for x n om, står der at z n =λx n + (1 λ)y n, og da y n K, kan vi slutte at z n K for n N. Korollar 3.17 Hvis K Xer en konveks mængde, så er både K og K konvekse. BEVIS: Det er klart at K er konveks. At K er konveks, følger af lemma 3.16. Korollar 3.18 Hvis K X er konveks og K, så er K = (K ) og K = ( K ). Resultatet i korollar 3.18 siger at konvekse mængder er geometrisk ukomplicerede og at deres rand er pæn. Men det siger ikke noget om hvor meget af randen, der er med i mængden. Hvis man ser på en åben kugle i en passende norm, og den tilhørende afsluttede kugle, så er de begge konvekse. Men der er også mange konvekse mængder derimellem - mængder der består af den åbne kugle og en del af kugleranden. For 2- kuglerne er det sådan at man kan tilføje en vilkårlig delmængde af kugleranden til den åbne kugle - resultatet vil altid være konvekst. For 1-kuglerne og -kuglerne kan man kun tilføje visse dele af randen.

60 Kapitel 3. Affine og konvekse mængder Sætning 3.19 Lad K X være en konveks mængde. Da er K hvis og kun hvis affin span(k) = X. BEVIS: Antag at K. Da har også den translaterede mænde K+x 0 indre punkter. For et passende valg af x 0 kan vi antage at K+x 0 indeholder 0. Det affine span af K+x 0 er dermed et underrum afxmed indre punkter. Men det eneste underrum med indre punkter er helex. Ifølge lemma 3.11 får man det affine span af K ved at translatere det affine span af K+x 0 tilbage. Men dermed må det affine span af K også være helex. Antag omvendt at affin span(k) = X. Ifølge sætning 3.7 kan vi finde punkter x 1,..., x n K så n n X= λ i x i λ 1,...,λ n R, λ i = 1. (3.6) Betragtφ:R n 1 Xgivet ved n 1 n 1 n 1 φ(λ 1,...,λ n 1 )= λ i x i + 1 λ i x n= λ i (x i x n )+ x n. Det er let at se af det sidste udtryk atφer en sum af en lineær afbildning og en translation, og altå er affin. Det fremgår af (3.6) atφer surjektiv, så vi slutter af sætning 3.14 atφer åben. Hvis vi ser på n 1 C={(λ 1,...,λ n 1 ) λ 1,...,λ n 1 > 0, λ i < 1}. så er det en åben delmængde afr n 1. Dermed erφ(c) en åben delmængde afx. Men det er klart atφ(c) K, så K har indre punkter. For en konveks mængde K uden indre punkter kan det nogle gange være nyttigt at diskutere det såkaldte relative indre. Herved forstås det indre af K, når det affine span af K opfattes som det omgivende rum. For at være helt præcis så er x K et punkt i det relative indre hvis der findes et r>0 så B(x, r) affin span(k) K. Det relative indre skrives gerne ri K. Begrebet spiller en en vis rolle i STJ s fremstilling af eksponentielle familier, men vi vil gøre hvad vi kan for at formulere os uden om det.

3.4. Konvekse mænger 61 3.4.2 Det konvekse hylster Definition 3.20 Hvis B X er en vilkårlig delmængde, defineres det konvekse hylster af B, skrevet cohull B, som den mindste konvekse mængde, der indeholder B. Det er klart at hvis (K i ) i I er en familie af konvekse delmængder afx, så er også fællesmængden i I K i konveks. Abstrakt set vi kan finde det konvekse hylster af en mængde B som fællesmængden af alle de konvekse mængder, der indeholder B. Man kan også interessere sig for det afsluttede konvekse hylster af B, som er den mindste afsluttede konvekse mængde, der indeholder B. Det er nemt at se at det afsluttede konvekse hylster netop er afslutningen af cohull B. Vi så i sætning 3.7 at affine mængder altid kan frembringes af en endelig delmængde. Den tilsvarende påstand for konvekse mængder er ikke rigtig. Det er trivielt at det forholder sig sådan, fordi det konvekse hylster af endeligt mange punkter altid er en er afsluttet mængde, og der er mange ikke-afsluttede konvekse mængder til. Men selv blandt de afsluttede konvekse mængder er påstanden forkert: nogle afsluttede konvekse mængder er det konvekse hylster af endeligt mange punkter, andre er ikke. Specielt kan runde konvekse mængder ikke bygges op ved hjælp af endeligt mange punkter. Men de firkantede kan som regel: Eksempel 3.21 Enhver afsluttet kugle i -normen pår k er det konvekse hylster af de 2 k hjørnepunkter. Vi vil give et omhyggeligt bevis for enhedskuglen, K=B (0, 1) ={x R k x 1}=[ 1, 1] k. Ladφ :R k N 0 være en optælling af hvor mange koordinater i argumentvektoren der er±1, altså φ(x 1,..., x k )= 1 {1} ( x i ) for x 1,..., x k R. Vi indfører mængderne A i ={x K φ(x) i} for i=0, 1,...,k.

62 Kapitel 3. Affine og konvekse mængder Det er klart at A k A k 1... A 1 A 0. Det er endvidere klart at A 0 = K, og at A k er mængden bestående af de 2 k hjørnepunkter. Vi vil vise at A i 1 cohull A i for, 2,...,k. (3.7) Dermed vil cohull A i 1 cohull A i, og eftersom den modsatte ulighed gælder trivielt, kan vi se at A i 1 og A i har samme konvekse hylster. På den måde må A k have samme konvekse hylster som A 0. Men det konvekse hylster af A 0 er lig med K. Så lad os vise (3.7). Tag x A i 1. Hvis x A i er der ingenting at vise, så vi kan antage at x A i. Dermed er der en koordinat j så x j <1. Indfør y, z R k ved x l for l j x l forl j y l = z l = 1 for l= j 1 forl= j Det er klart at y, z A i. Det er også klart at x= 1+ x i 2 y+ 1 x i 2 På den måde har vi netop fremstillet x som en konveks kombination af to A i -punkter. z. 3.4.3 Kompakte konvekse mængder Definition 3.22 Lad K X være en konveks mængde. For x K og v X, v 0 defineres strålen I K (x, v)={λ 0 x+λv K}, Konveksiteten af K sikrer at I K (x, v) er en konveks delmængde af [0, ), og den indeholde per konstruktion 0. Der er derfor kun fire muligheder for hvordan strålen kan se ud: det kan være étpunktmængden{0}, det kan være et opad begrænset interval af formen [0, a) eller [0, a], eller det kan være hele [0, ). Lemma 3.23 Hvis K X er en kompakt, konveks mængde, så er strålen I K (x, v) kompakt for alle x Kog alle v 0.

3.4. Konvekse mænger 63 BEVIS: Hvis K er kompakt, så er den begrænset. Der findes altså et R>0 så x R for alle x K. Hvisλ I K (x, v) har vi derfor at R x+λv λ v x. Det gælder således atλ (R+ x )/ v, og dermed kan I K (x, v) ikke være hele [0, ). Hvis vi forestiller os at I K (x, v)=[0, a), så vil a 1 n I K(x, v), og dermed vil ( z n = x+ a 1 ) v K for alle n N, n>a. n Men z n x+av, og da K er afsluttet, må x+av K, det vil sige at a I K (x, v). Og dermed har vi en modstrid. De to tilbageværende muligheder for I K (x, v), nemlig en étpunktsmængde og et begrænset interval af formen [0, a], er begge kompakte. Sætning 3.24 Lad K X være en konveks mængde. Antag at K. Hvis strålen I K (x, v) er kompakt for alle x K og alle v 0, så er K kompakt. BEMÆRK: Antagelsen om at K har indre punkter er i virkeligheden overflødig, men den giver anledning til et noget nemmere bevis for sætningen. Uden denne antagelse skal man argumentere på det relative indre. Det er for så vidt ikke umuligt, men vi vil gøre livet let for os selv og argumentere på det sædvanlige indre i stedet. BEVIS: Vælg x 0 K. Vi skal udelukkende bruge strålerne ud fra x 0. Lad os først vise at K er afsluttet. Lad x K. Vælgλ n ր 1, og betragt punkterne x n = (1 λ n )x 0 +λ n x= x 0 +λ n (x x 0 ). Det følger af lemma 3.16 at x n K K for alle n, og dermed erλ n I K (x 0, x x 0 ). Da denne stråle er afsluttet, må 1 I K (x 0, x x 0 ) hvilket betyder at x K som ønsket. Hvis vi et øjeblik antager at K er ubegrænset, kan vi finde en følge (y n ) n N af af K-vektorer så y n. Sætter vi λ n = y n x 0, z n = y n x 0 y n x 0,

64 Kapitel 3. Affine og konvekse mængder så vilλ n. Der gælde også at x 0 +λ n z n K, og denne påstand kan reformuleres på den måde atλ n I(x 0, z n ). Vi ser at z n erne er enhedsvektorer og idet enhedskuglen er kompakt, kan vi (efter eventuelt at være gået over til en delfølge) antage at z n z for en passende enhedsvektor z. For ethvertλ>0 er x 0 +λz λ(z z n )= x 0 +λz n K, hvor konklusionen om at det sidste punkt ligger i K gælder når n er så stor atλ λ n. Vi har allerede vist at K er afsluttet, og daλ(z z n ) 0, kan vi slutte at grænsepunktet x 0 +λz ligger i K. Eller om man vil, atλ I K (x 0, z). Da denne konklusion gælder for ethvertλ, har vi således at I K (x 0, z)=[0, ), i modstrid med forudsætningen om at strålen er kompakt. Derfor må antagelsen om at K er ubegrænset være forkert.

3.4. Konvekse mænger 65 3.4.4 Separation Sætning 3.25 Lad K X være en afsluttet konveks mængde, og lad x 0 K være et ekstra punkt. Der findes et z Xså x, z > x 0, z for alle x K. (3.8) BEVIS: Ved at eventuelt at erstatte K med den afsluttede konvekse mængde K x 0, kan vi antage at 0 K, og målet er at findet et z Xså x, z >0 for alle x K. For R>0 stor nok er K R = K B(0, R) en ikke-tom, kompakt mængde. Afbildningen x x er kontinuert, og antager derfor sit minimum hen over K R. Lad det ske i z. Vi har således at z K opfylder at z R, og at z x for alle x K, x R. (3.9) Vi har antaget at 0 K. Specielt må z 0, og vi ved således at z > 0. For x B(0, R) gælder der automatisk at z R< x, så (3.9) kan styrkes til z x for alle x K. For alle x Kog alleλ (0, 1) vilλx+(1 λ)z K. Dermed har vi at z 2 λx+(1 λ)z 2 = λ(x z)+z 2 =λ 2 x z 2 + z 2 + 2λ x z, x. Det kan omordnes til 0 λ ( λ x z 2 + 2 x z, z ), og ved at ladeλ 0, ser vi at der må gælde at x z, z 0 for alle x K. Derfor vil præcis som ønsket. x, z z 2 > 0 for alle x K,

66 Kapitel 3. Affine og konvekse mængder Korollar 3.26 Lad K X være en konveks mængde. Antag at K og lad x 0 K være et ekstra punkt. Der findes et z X, z 0 så x, z x 0, z for alle x K. (3.10) BEVIS: Efter en eventuel translation kan vi antage at 0 K. Hvisλ (0, 1) og x K så gælder der ifølge lemma 3.16 at λx=λx+(1 λ)0 K. Da x 0 K gælder i særdeleshed at x 0 λk. Og daλk er en afsluttet konveks mængde, findes der ifølge sætning 3.25 et z λ så λx, z λ > x 0, z λ for alle x K. (3.11) Det kan uden indskrænkning antages at z λ =1. Hvisλ n 0 og hvis (z n ) n N er de tilhørende z λ er, så kan vi - ved eventuelt at gå over til en delfølge - antage at z n z for et passende grænsepunkt z. Går vi til grænsen i (3.11) får vi det ønskede. Vi bemærker at z er en enhedsvektor, og derfor må være forskellig fra 0. 3.5 Forskellige former for støtte af mål Definition 3.27 Ladνvære et mål på et endeligdimensionale vektorrumx. Et punkt x Xer et tilvækstpunkt forνhvis ν ( B(x, r) ) > 0 for alle r>0. Støtten S (ν) forνer mængden af tilvækstpunkter, S (ν)={x X x er et tilvækstpunkt forν}. Det konkrete valg af metrik er ikke så væsentligt for definitionen: to ækvivalente metrikker vil være enige om hvorvidt x er et tilvækstpunkt eller ej. Lad S = S (ν). Hvis x S, så findes der en kugle rundt om x, der harν-mål nul. Punkterne i denne kugle kan heller ikke være tilvækstpunkter (på grund af trekantslemmaet). Derfor er S c åben, og vi ser at S er afsluttet.

3.5. Forskellige former for støtte af mål 67 Lemma 3.28 Støtten S (ν) er den mindste afsluttedeν-næsten sikre mængde. BEVIS: Vi så ovenfor at S = S (ν) er afsluttet. Vi skal dels vise at S er ν-næsten sikker, og dels at hvis F er en afsluttet ν-næsten sikker mængde, så er S F. I stedet for at vise at S er næsten sikker, viser vi at S c er en nulmængde. Det følger ved at udnytte atxer separabel, altså har en tællelig tæt delmængde A (hvisx=r k kan vi bruge A=Q k ). Det er klart at { S c ( ) } = B(x, r) x X, r>0,ν B(x, r) = 0 Ved sædvanlig brug af trekantslemmaet kan vi indse at S c = { B(x, q) x A, q Q +,ν ( B(x, q) ) = 0 }. Højresiden er en tællelig forening af nulmængder, og dermed selv en nulmængde. Vi skal til sidst vise at hvis F er endnu en afsluttet næsten sikker mængde, så er S F. Det følger igen nemmest ved at se på komplementærmængder: hvis x F c så findes - da F c er åben - et r>0 så B(x, r) F c. Og da F er en næsten sikker mængde må B(x, r) have mål nul. Derfor er x ikke et tilvækstpunkt, så x S c. Sætning 3.29 Ladνvære et mål påxmed støtte S. Lad f : X Y være en kontinuert afbildning. Da har billedmålet f (ν) støtte S ( f (ν))= ( f (S ) ). (3.12) BEVIS: Antag at x S. Lad os vise at y= f (x) er et tilvækstpunkt for f (ν). Så lad r > 0 være givet. Kontinuitet af f giver at der findes et s > 0 så B(x, s) f 1( B(y, r) ). Dermed er f (ν) ( B(y, r) ) =ν ( f 1( B(y, r) ) ) ν ( B(x, s) ) > 0, og vi ser at y er et tilvækstpunkt. Da S ( f (ν)) er afsluttet, følger det nu at højresiden af (3.12) er indeholdt i venstresiden.

68 Kapitel 3. Affine og konvekse mængder Men omvendt gælder der at f (S ) er en f (ν)-næsten sikker mængde. Vi har nemlig at Det følger at f 1 ( f (S )) S. f 1( f (S ) c) = ( f 1 ( f (S )) ) c S c og eftersom højre side er enν-nulmængde, slutter vi at f (S ) c er en f (ν)-nulmængde som ønsket. Når f (S ) er en f (ν)-næsten sikker mængde, så er afslutningen f (S ) desmere næsten sikker. Og derfor følger det at venstresinden af (3.12) er indeholdt i højresiden. Når vi diskuterer eksponentielle familier har vi brug for et par beslægtede begreber. Den konvekse støtte afνer conv st(ν)= ( cohull S ). Det er nemt at se at den konvekse støtte afνer den mindste mængde, der både er afsluttet, konveks og næsten sikker. Tilsvarende definer vi den affine støtte af ν som affin st(ν)=affin span(s ). Det gør ingen forskel om man tager afslutning her, for affine mængder er automatisk afsluttede. Det er nemt at se at den affine støtte af ν er den mindste affine næsten sikre mængde. Det er iøvrigt også klart at affine span ( conv st(ν) ) = affin st(ν), hvad der ind i mellem kan være nyttigt. Bemærk hvordan det heraf følger at den konvekse støtte forνhar indre punkter hvis og kun hvis den affine støtte er helex.