Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes det hm t tilkæmpe sig en oglig uddnnelse og siden hen live udnævnt som professor i mtemtik. Selv om hn ikke vr den første til t nvende den nye integrlregning til t finde rumfng lev hns metode hængende, så hn i dg tilskrives æren for t hve fundet den såkldte simpsons formel. I 74 udgv hn Mthemticl disserttions on vriety of physicl nd nlyticl sujects (lndede fhndlinger om emner fr fysik og mtemtik), hvor hn l.. diskuterer den nu erømte tilnærmelsesformel for integrler: Simpsons ide er t pproksimere grfen c med et stykke f en prel, der går gennem de smme tre punkter, og c og så finde relet f denne pproksimerende prel udtrykt ved ordinterne, dvs. y-værdierne for grfpunkterne. Hns næste træk er elegnt: Hn etrgter prllelogrmmet T prel udspændt f seknten c, der forinder grfpunkterne hørende til c endepunkterne A og C og midtpunktstngenten ST hørende til midtpunktet B. Hn konstterer derefter t området mellem r midtpunktstngenten og preluen (rødt) netop må udgøre / f S prllelogrmmet. Tilsvrende må området mellem preluen og seknten (gult)netop udgøre / f prllelogrmmet. Argumentet er t prlen opfører sig på smme måde som en pyrmide, hvis rumfng netop udgør / højde grundflde og det er den smme tredjedel! I dg ser vi på forskellen mellem midtpunktstngenten (grfen for en lineær funktion) og prlen (grfen for et ndengrdspolynomium). I moderne forstnd udgør denne forskel et ndengrdspolynomium, der er 0 på midten og hr hældningen 0 på midten, dvs. det hr en forskrift på formen y = k x, men Simpson ppellerer selvfølgelig lot til stndrdviden om prler. For t finde relet skl vi integrere forskellen. Stmfunktionen er d givet ved kx og det er præcis herfr tredjedelen kommer. Simpson emærker dernæst t relet f trpezet fremrgt f seknten er for lille, mens relet f trpezet fremrgt f midtpunktstngenten er for stort, og t fejlen hørende til seknten (dvs. det gule område = / prllelogrm) netop er doelt så stor som fejlen hørende til midtpunktstngenten (dvs. det røde område = / prllelogrm). Altså kn vi finde det ekskte rel under prlen som et vægtet gennemsnit, hvor vi tildeler midtpunktstrpezet doelt så stor vægt som seknttrpezet: A A A simpson = seknt + midtpunkt 09 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk A B C Seknttrpez
Indsættes relformlen for et trpez, dvs. middelhøjde grundlinje, fås derfor: ( ) ( y 4 y y ) x A = y + y AC + y AC simpson A C B = + + A B C Midtpunktstrpez Sætning : Simpsons formel Hvis er et polynomium f grd højst, så er integrlet givet ved fx + f( x) dx = f + 4 f + f Dette er netop den formel Simpson lev erømt for! Læg mærke til t strukturen for det vægtede gennemsnit er præcist det smme som i prismtoidformlen. Denne formel kn nemt udvides til en opdeling f grundlinjen for et integrl i n lige store delintervller med tilhørende midtpunkter, hvor den fører til pproksimtionsformlen f( x) dx f( x ) + 4 f( x ) + f( x ) + 4 f( x ) +... + f( x ) + f( x ) ( 0 n n ) n Men pointen er ltså også t hvis re f(x) er et polynomium f grd højst følger det f Simpson sætning t ét intervl med tilhørende midtpunkt er nok til t give den ekskte værdi f integrlet! Simpson fortsætter nu sin undersøgelse f sin sumformel med t kigge på rumfng for omdrejningslegemer, hvor hn specielt interesserer sig for rumfnget f kegler, kugler, ellipsoider eller omdrejningslegemer for de øvrige keglesnit: 09 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk
Først emærker hn t rumfnget f et legeme ltid kn opskrives som et integrl f tværsnitsrelet V = A( x) dx Dernæst emærker hn t tværsnitrelet for et omdrejningslegeme, hvor vi drejer grfen for f(x) omkring x-ksen, netop er det smme som relet f en cirkel med rdius f(x), dvs. V = π f( x) dx hvorfor rumfnget f omdrejningslegemet er det smme som relet under grfen for π fx. dv = A(x) dx A(x) A() x+dx x A() Men hvis grfen for fx er en ret linje, dvs. f() x = x +, en cirkel, dvs. f() x r x =, en ellipse, dvs. x x f ( x) =, en hyperel f ( x) = eller en vndret prel f() x = x +, så er π fx netop et ndengrdspolynomium og vi kn derfor nvende Simpsons sætning på kegler, kugler, ellipsoider, hyperoloider og proloider, hvor vi drejer keglesnittene om en kse. I lle tilfældene fås derfor V = A + A + A L midt hvor L er udstrækningen f legemet, dvs. keglestuen, kuglefsnittet, Men det er jo præcis den smme formel som prismtoidformlen! Prismtoidformlen gælder ltså for ethvert legeme, hvor tværsnitsrelet vrierer som et polynomium f grd højst. J fktisk gælder Simpsons sætning også for tredjegrdspolynomier, men det kn du læse mere om kpitel 7 om forindelsen mellem integrler og summer. 09 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk
Sætning 4: Newton-Simpsons prismtoidformel Hvis tværsnitsrelet A(x) f et legeme fgrænset f prllelle endeflder vrierer som et polynomium f grd højst som funktion f dyden x f snittet, så er rumfnget f legemet givet ved Newton-Simpsons formel: V = A + A + A L midt hvor er relet f midtertværsnittet og L er dyden f legemet målt vinkelret på endeflderne. A og A er relerne f endeflderne, A midt A Amidt L A Øvelse 5 Gør rede for t Keplers tønderegel er et speciltilfælde f Newton-Simpsons formel. Øvelse ) Pyrmiden: Gør rede for t tværsnitsrelet for en pyrmide vrierer som kvdrtet på dyden, hvorfor pyrmiden opfylder forudsætningen i Newtons-Simpsons sætning. Gør også rede for t rumfnget f en pyrmidestu følger f sætningen. ) Prismtoiden: Vi lægger et d-koordintsystem, så de prllelle endeflder er prllelle med y-z-plnen og dyden måles lngs x-ksen. Betrgt et tværsnit f prismtodien. Gør rede for t hjørnernes y,z-koordinter i tværsnitspolygonen er lineære funktioner f dyden x. Gør rede for t relet f tværsnitsrelet må være et ndengrdspolynomium i x. Vink: Find først en formel for relet f en treknt udtrykt ved hjørnernes koordinter. Øvelse 7 Kuglezone: Kugleudsnit: Kuglefsnit (kugleklot): π V = rg + rt + h h V π R h V = π rg + h h = πh R h = ) Gøre rede for t rumfngsformlerne for kuglezoner, kugleudsnit og kuglefsnit lle følger f prismtoidformlen. Den sidste formel lev enyttet i B-ogens kpitel (polynomier), fsnit, Eksempel: Archimedes' undersøgelse f kuglefsnit, d den viser t rumfnget f et kuglefsnit som funktion f dyden h netop er et tredjegrdspolynomium. Øvelse 8 Omdrejningsproloide: V r h Proloidestu: = π ( G T ) V = r + r h 09 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk
) Gøre rede for t rumfngsformlerne for omdrejningsproloiden og proloidestuen egge følger f V = A + A h!) prismtoidformlen (og endd f den forenklede formel Øvelse 9 I B-ogen opgve.49 så vi på rumfnget f en tønde: Figuren viser en tønde, der hr højden h og endefldedimeter d, og hvis dimeter på det redeste sted er D. Tøndens rumfng V er πh estemt ved V = ( D + dd + d 4 ). 5 ) Find tøndens rumfng ud fr Keplers tønderegel. ) Antg t tønden er fremrgt ved t dreje en ellipse omkring dens storekse. Find konstnterne og i forskriften for ellipsen x f ( x) = udtrykt ved d, D og h. c) Gør rede for t tønden fremrgt ved t dreje en ellipsoide opfylder forudsætningen i Newton-Simpsons sætning og find den tilhørende rumfngsformel for en ellipsetønde. d) Antg i stedet t tønden er fremrgt ved t dreje en prel omkring en linje vinkelret på dens kse. Find konstnterne og c i forskriften for prlen g() x = c x udtrykt ved d, D og h. e) Gør rede for t den fremrgte tønde ikke opfylder forudsætningen i Newton-Simpsons sætning. Benyt i stedet integrlformlen V = A( x) dx rumfngsformlen for en preltønde., hvor Ax () er tværsnitsrelet, til t finde den tilhørende f) Udtryk tøndens rumfng på formen V = Vindskreven cylinder p() x, hvor x er forholdet mellem dimenteren i D ugen og dimeteren i enden, dvs. x =. Bestem herved polynomiet d og preltønden. Smmenlign de to polynomier. tønde px hørende til såvel ellipsetønden 09 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: 45000 Emil: info@lru.dk