Lineær Algebra. Differentialligninger

Lineær Algebra og Differentialligninger til Calculus 1 og 2 Århus 2005 Anders Kock og Holger Andreas Nielsen

Indhold 1 Koordinatvektorer........................ 1 2 Matricer.............................. 6 3 Lineære funktioner........................ 15 4 Inverse matricer.......................... 20 5 Lineære ligningssystemer..................... 22 6 Løsningsteknik.......................... 32 7 Rækkeoperations-matricer og inversion............. 42 8 Determinanter........................... 49 9 Egenværdier og egenvektorer................... 54 10 Diagonalisering.......................... 64 11 Skalarprodukt i R n........................ 72 12 Ortogonal projektion....................... 75 13 Andre sætninger om skalarprodukt............... 85 14 Lineær differentialligning..................... 88 15 Lineært system - 2 ligninger................... 96 16 Lineært system - n ligninger................... 107 17 Generel ligning.......................... 110 18 Stabilitet.............................. 113 Index.................................. 117

1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notesæt noter er beregnet til at bruges i Calculus kurset. Afsnit 1-13 handler om Lineær Algebra, og er skrevet af Anders Kock; Afsnit 14-18 handler om Differentialligninger, og er skrevet af Holger Andreas Nielsen. I Lineær Algebra delen er hovedvægten: matrix-regning, lineære ligningsystemer, egenværdi/egenvektor begrebet for kvadratiske matricer, samt ortogonal projektion. Noterne er beregnet til at blive brugt i forbindelse med lærebogen Stewart: Calculus - Concepts and Contexts, 2nd ed., til hvilken der refereres med symbolet [S. Koordinat-vektorrummene R n står i centrum af fremstillingen. Men af hensyn til den geometriske forståelse og terminologi indgår geometriske vektorrum og geometrisk vektor-regning også i kurset. Det hentes fra lærebogen, [S Kapitel 9 (som delvis er gymnasiestof). Dog skal det understreges, at begrebet vektor-produkt (= kryds-produkt, [S 9.4) kun er til rådighed i dimension 3; derfor indgår det ikke i noterne her, hvor vægten er på de dele af teorien, der fungerer i alle dimensioner. 1 Koordinatvektorer Lad n være et positivt helt tal, n = 1, 2, 3,.... En n-dimensional koordinatvektor er en liste, eller et n-tupel, (a 1, a 2,..., a n ) bestående af n reelle tal a 1, a 2,...,a n. Disse n tal kaldes koordinatvektorens koordinater. Hvis n = 2, kaldes et n-tupel også et (tal-)par, og for n = 3 et (tal-)tripel; et 1-tupel er det samme som et tal. Talpar kan som bekendt ved hjælp af et koordinatsystem identificeres med punkter i planen; 3-tupler (tripler) kan tilsvarende ved hjælp af et koordinatsystem identificeres med punkter i rummet, jvf. Kapitel 9 i [S. Hovedvægten i det følgende ligger på ting, der ikke afhænger af denne geometriske tolkning, som jo også kun er mulig for n = 2 og n = 3. Koordinatvektorer af samme dimension n kan adderes, og de kan multipliceres med reelle tal, i henhold til følgende fastsættelse (sml. s. 656 i [S): (a 1, a 2,...,a n ) + (b 1, b 2,...,b n ) := (a 1 + b 1, a 2 + b 2,...,a n + b n ) α (a 1, a 2,...,a n ) := (α a 1, α a 2,..., α a n ) (1) De udgør det n-dimensionale (reelle) koordinatvektorrum, som også betegnes R n. Vi vil ofte kort betegne et n-tupel (a 1, a 2,..., a n ) med et understreget bogstav, a = (a 1, a 2,..., a n ). Koordinatvektoren (0, 0,..., 0) kaldes nulvektoren eller Origo og betegnes 0. En vektor kaldes en egentlig vektor hvis den er 0. I [S, s. 648 betragtes således R 3, der i modsætning til f.eks. R 4 kan gives en geometrisk tolkning. Men selv i dimension 3 er geometrisk tolkning ikke altid relevant:

2 Eksempel 1. På mange madvarer i handelen vil man finde anført en 3- dimensional koordinatvektor, der angiver procentindholdet (vægtprocent) i varen, af henholdsvis protein, fedt og kulhydrat. F.eks. anføres på Skovhuggerbrød fra Dagligvaregruppen, Vejle, den information, at 100 g af varen indeholder 6g protein, 2g fedt og 45g kulhydrat; altså 6% protein, 2% fedt og 45% kulhydrat (vægtprocenter); denne information kan stilles op i en vektor (6,2,45). Tilsvarende anføres på uhomogeniseret letmælk fra mejeriet Pilegaarden vektoren (3.6,1.5,4.5). Koordinatvektorer med denne betydning kunne man kalde (specifikke) ernæringsvektorer 1. Sammensætter man et måltid af en vis mængde brød og letmælk af de nævnte mærker, får man ialt en vis totalmængde protein, fedt og kulhydrat, som kan stilles op i en vektor, som man kunne kalde måltidets absolutte ernæringsvektor. Består måltidet f.eks af 150 gram brød og 200 gram letmælk, altså 1.5 100g og 2 100g, fås den absolutte ernæringsvektor for det pågældende måltid som kombinationen 1.5 (6, 2, 45) + 2 (3.6, 1.5, 4.5) = (9 + 7.2, 3 + 3, 67.5 + 9) = (16.2, 6, 76.5). (Det er et eksempel på en linearkombination.) Måltidet indeholder altså 16.2 gram protein, 6 gram fedt og 76.5 gram kulhydrat. Eksempel 2. Man kunne også have brug for, til de samme varer, at stille 4-dimensionale koordinatvektorer op; den fjerde koordinat kunne referere til varens procentuelle vandindhold (vægtprocent). For skovhuggerbrød er der sandsynligvis 43 procent vand, så at den 4-dimensionale vektor bliver (6,2,45, 43). Se også margin-bemærkningen i [S s. 656. 1.1 Linearkombinationer Lad u 1,...,u k være et sæt af k vektorer i vektorrummet R n, og lad λ 1,...,λ k være et sæt af k tal (skalarer). Så kaldes udtrykket λ 1 u 1 +... + λ k u k en linearkombination, mere præcis, en linearkombination af vektorerne u 1,..., u k med koefficienter λ 1,...,λ k. (Sommetider udelader man multiplikationstegnet, og skriver altså bare λ 1 u 1 +... + λ k u k.) 1 hjemmelavet betegnelse. Specifik refererer til at det er gram pr. 100 g.

1. KOORDINATVEKTORER 3 På grund af regnereglerne for tal kan udtrykkets værdi udregnes, uafhængig af hvordan man sætter parenteser o.l., og udtrykket har som værdi en ganske bestemt vektor i R n. Tit er det ikke nødvendigt at skelne mellem linearkombinationen som udtryk, på den ene side, og dens værdi, på den anden. (Lige som man heller ikke altid behøver at skelne mellem udtrykket 2+2 og dets værdi 4.) Eksempel 3. Udtrykket 2(1, 3) + 3(3, 0) + 5(1, 1) er et eksempel på en linearkombination af (sættet bestående af) de tre vektorer (1, 3), (3, 0) og (1, 1) i R 2. Koefficienterne er 2, 3, 5; linearkombinationens værdi er (16, 11), 2(1, 3) + 3(3, 0) + 5(1, 1) = (16, 11). Eksempel 4. Lad u, v og w være vektorer i et vektorrum, f.eks. R n. Vektorerne 2u+3v+5w, 3u w, u+v, u og 0 er alle eksempler på linearkombinationer af u, v og w: 2u + 3v + 5w = 2 u + 3 v + 5 w 3u w = 3 u + 0 v + ( 1) w u + v = 1 u + 1 v + 0 w 0 = 0 u + 0 v + 0 w. En linearkombination af linearkombinationer af et sæt af vektorer er selv en linearkombination af vektorerne fra dette sæt. F.eks. er 2 (2u + 3v + 5w) + 4 (3u w) = 16u + 6v + 6w. Man taler også om linearkombinationer i andre sammenhænge end i forbindelse med koordinatvektorer. F.eks. er den hyperbolske sinus funktion ([S s. 251) defineret som linearkombination af funktionerne e x og e x, med koefficienter 1/2 og 1/2, sinh x = 1 2 ex 1 2 e x. Linearkombinationer af funktioner betegnes også som superposition af funktioner. En anden sammenhæng, hvor man taler om linearkombinationer, er for geometriske vektorer, se [S 9.2. I fig. 10 s. 654 er således tegnet linearkombinationen af vektorerne a og b med koefficienter 1 og 2. Man kan også danne linearkombinationer af reelle talfølger a 1, a 2,.... Der forekommer nogle eksempler i [S s. 566. Reelle talfølger udgør hvad man kunne betegne R, i analogi med R n.

4 Når man har en sammenhæng, hvor det giver mening at tale om linearkombinationer, taler man om et lineært rum eller et vektorrum, forudsat at de samme regneregler, som gælder for linearkombinationer af koordinatvektorer, er opfyldt. Sådanne regneregler er sammenfattet i [S s. 656 under overskriften Properties of Vectors. 1.2 Span Givet et sæt af vektorer u 1,..., u k i vektorrummet R n. Så defineres deres span til at være mængden af alle vektorer v i R n, der kan skrives som linearkombination af u i erne v = t 1 u 1 +... + t k u k. Tilfældet k = 1: span(u 1 ) er mængden af vektorer af form t 1 u 1, span(u 1 ) = {t 1 u 1 R n t 1 R}. Det er linien gennem origo med u 1 som retningsvektor (forudsat at u 1 er en egentlig vektor, og at vi tillader os selv at tale geometrisk, dette giver i det mindste god mening hvis dimensionen n er 2 eller 3.) Tilfældet k = 2: span(u 1, u 2 ) er mængden af vektorer af form t 1 u 1 + t 2 u 2, span(u 1, u 2 ) = {t 1 u 1 + t 2 u 2 R n t 1 R, t 2 R}. Geometrisk er det planen udspændt af u 1 og u 2 : Mast og bom på et sejlskib udspænder en plan, nemlig sejlets plan hvis sejlet ellers er spændt stramt. Heraf ordet span. Man kan tænke på sættet u 1, u 2 som et sæt af retningsvektorer for den plan, de udspænder. Men der er en vigtig forskel: mens to retningsvektorer for en linie kun adskiller sig ved deres længde (og evt. orientering), er der en meget større vilkårlighed i angivelse af et sæt u 1, u 2, der udspænder en given plan. Derfor angiver man tit, i R 3, en plans retning ved at angive en normalvektor til planen, jvf. [S s. 679, men denne metode er ikke tilgængelig i andre dimensioner end 3. Eksempel 5. Betragt vektorerne u 1 = (1, 1, 0, 0) og u 2 = (0, 0, 1, 1) i R 4. Så er span(u 1, u 2 ) mængden af vektorer i R 4 af form hvor s R, t R er vilkårlige, altså su 1 + tu 2 = (s, s, 0, 0) + (0, 0, t, t),

1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u 2 ) = {(s, s, t, t) R 4 s R, t R}. F.eks. er vektoren (1, 1, 1, 1) en vektor i span(u 1, u 2 ). Lad os kalde den u 3. Vektoren u 4 givet ved u 4 = (1, 1, 1, 1) er også i span(u 1, u 2 ). Der gælder u 1 = (1, 1, 0, 0) = 1 2 (1, 1, 1, 1) + 1 (1, 1, 1, 1), 2 u 2 = (0, 0, 1, 1) = 1 2 (1, 1, 1, 1) 1 (1, 1, 1, 1), 2 så at u 1 span(u 3, u 4 ) og u 2 span(u 3, u 4 ). Da både u 1 og u 2 altså er linearkombinationer af u 3 og u 4, og linearkombinationer af linearkombinationer er linearkombinationer, gælder også at enhver linearkombination af u 1 og u 2 er en linearkombination af u 3, u 4. Eller: span(u 1, u 2 ) span(u 3, u 4 ). Tilsvarende argumenteres for at span(u 3, u 4 ) span(u 1, u 2 ). Altså span(u 1, u 2 ) = span(u 3, u 4 ). Eksempel 6. Undersøg om vektoren ( 2, 4, 10) tilhører span((1, 2, 3), (3, 2, 1)). Altså, kan vi finde tal s og t så at ( 2, 4, 10) = s(1, 2, 3) + t(3, 2, 1)? Det er let at se, at s = 4, t = 2 klarer opgaven, men hvordan finder man passende koefficienter s og t hvis man ikke, som her, får dem foræret? En systematisk metode er at stille problemet op som et såkaldt lineært ligningssystem; lineære ligningssystemer, og metode til løsning af dem vil blive behandlet i Afsnit 5 og 6. Eksempel 7. Undersøg om vektoren ( 2, 4, 10) tilhører span((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)). Her er svaret også ja, og det er let at finde koefficienter, der godtgør dette: det er vektorens egne koordinater, der kan bruges som koefficienter, ( 2, 4, 10) = 2(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 10(0, 0, 1), det er en særlig egenskab ved sættet af de tre vektorer (1, 0, 0), (0, 1, 0) og (0, 0, 1). I [S s. 657 kaldes de i,j og k. Tilsvarende for en vilkårlig anden vektor a = (a 1, a 2, a 3 ) R 3, a = a 1 (1, 0, 0) + a 2 (0, 1, 0) + a 3 (0, 0, 1).

6 De tre vektorer (1, 0, 0), (0, 1, 0) og (0, 0, 1) udspænder altså hele R 3. Eksempel 8. Vis at span((1, 1, 0), (1, 0, 0)) = span((1, 0, 0), (0, 1, 0)). Vi viser først span((1, 1, 0), (1, 0, 0)) span((1, 0, 0), (0, 1, 0)). En vektor i span((1, 1, 0), (1, 0, 0)) er en vektor af form s(1, 1, 0) + t(1, 0, 0) = (s + t, s, 0) = (s + t)(1, 0, 0) + s(0, 1, 0), men dette er jo en linearkombination af (1, 0, 0) og (0, 1, 0) (med koefficienter s + t og t), og er altså en vektor i span((1, 0, 0), (0, 1, 0). Tilsvarende vises span((1, 1, 0), (1, 0, 0)) span((1, 0, 0), (0, 1, 0)); benyt omskrivningen (s, t, 0) = t(1, 1, 0) + (s t)(1, 0, 0). Opgaver Opgave 1. Skriv 3 (u + 5v 10w) + 6 (u v) 10 (u + v + w) som linearkombination af u,v og w. Opgave 2. Skriv vektoren (2, 4, 5) som linearkombination af vektorerne (1,1,1),( 2,0,1),( 1,3,5). (Svaret er ikke entydigt; det kan gøres på mange måder.) Opgave 3. Vis at vektoren (0, 0, 1) ikke kan skrives som linearkombination af de i forrige opgave nævnte vektorer. Opgave 4. Vis, at hvis vektorerne u og v udspænder et vist vektorrum V, så er V også udspændt af vektorerne u + v og v. 2 Matricer Matricer er rektangulære talskemaer. Mere præcist, lad m og n være positive hele tal. En (reel) m n-matrix er et rektangulært talskema med m rækker og n søjler (eller kolonner, eller spalter ); f.eks er en 3 2 matrix det, der fremkommer ved at udfylde skemaet

2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækkerne nummereres (eller adresseres) fra oven, søjlerne fra venstre. F.eks. har nederste venstre hjørne i ovenstående matrix adressen (3,1). Man bruger også betegnelsen: matricens (i, j) te indgang om det tal, der står i i te række og j te søjle (hvor i = 1, 2,..., m og j = 1, 2,..., n). I en m n-matrix kan hver af de m rækker opfattes som en n-dimensional koordinatvektor, mens hver af de n søjler kan opfattes som en m-dimensional koordinatvektor. Omvendt kan en m-dimensional koordinatvektor skrives op som en m 1- matrix, også kaldet en søjlematrix eller søjlevektor, a 1 a 2. a m af dimension m; eller den kan skrives op som en 1 m-matrix, også kaldet en rækkematrix eller en rækkevektor [a 1, a 2,...,a m, af dimension m. Matricer bruges i vid udstrækning ude i samfundet, hvor de dog f.eks. går under navnet tabeller. Det aspekt ved matricer, som er særlig interessant matematisk, er matrix-multiplikation: Givet en m n-matrix A og en n p-matrix B, så er deres produkt A B den m p matrix, hvis (i, k) te indgang fremkommer som produktsum af i te række i A med k te søjle i B: m.a.o., den (i, k) te indgang i produktmatricen er a i,1 b 1,k + a i,2 b 2,k +... + a i,n b n,k n = a i,j b j,k, j=1 hvor a i,j (eller blot a ij ) betegner den (i, j) te indgang i matricen A og b j,k (eller blot b jk ) betegner den (j, k) te indgang i matricen B; i er et helt tal mellem 1 og m, mens k er et helt tal mellem 1 og p; j er et summationsindex, der løber fra 1 til n. Læg mærke til, at rækkerne i A er lige så lange som søjlerne i B, nemlig af længde n, så at man i produktsummen ikke står tilbage med nogen indgange, der ikke er blevet brugt. Matrix-produkt af to matricer giver kun mening hvis formaterne passer. Matrix multiplikation vil blive motiveret, se f.eks. eksemplerne nedenfor i dette Afsnit.

8 Det anbefales, at man øver sig i matrix-multiplikation med sin krop (hænder): venstre hånd bevæger sig hen langs i te række i matricen A, samtidig med at højre hånd bevæger sig ned gennem k te søjle i matricen B, og den relevante produktsum dannes under dette forløb, evt. ved hovedregning. Eksempel 1. [ 2 1 2 5 3 4 5 0 7 1 1 1 2 = [ 1 0 0 1 F.eks. er 1-tallet i nederste højre hjørne fremkommet som Eksempel 2. [ 2 1 2 5 3 4 3 0 1 5 0 + 3 1 + ( 4) 1 2. = [ 4 11 [ 2 = 3 5 [ 1 + 0 3. [ 2 + 1 4 Sætning 1 Matrix multiplikation er associativ. Mere præcis, lad A, B, og C være henholdsvis en m n, n p og p q matrix. Så gælder (A B) C = A (B C).. Dette følger af elementære regneregler for plus og gange, men kræver omhu med bogholderiet over summations-indices. Selv hvis formaterne passer, gælder der ikke i almindelighed at A B = B A, sml. Opg. 1. Faktorernes orden er ikke ligegyldig. Særlig vigtige er matrixprodukter A B hvor B er en søjlematrix. Lad os antage, at A er en m n matrix og B er en n 1 matrix, altså en søjlematrix af dimension n. Så er produktet A B af format m 1, altså en søjlematrix af dimension m. (Dette synspunkt behandles mere udførligt i 3.) Der er en vigtig sammenhæng mellem begreberne linearkombination, og matrix-produkt: betragt et matrixprodukt af form af form A x, hvor x er en søjlematrix, (af den rette størrelse, for at produktet giver mening, dvs, x skal have lige så mange indgange som A har søjler, lad os sige at dette antal er n). Der gælder

2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m n matrix A og en n 1 matrix x (en søjlematrix); så er A x linearkombination af de n søjler i A, med koefficienter de n indgange i x. Mere præcis: lad os antyde matricen A som et n-tupel af søjler s j (hver med m indgange). Så gælder x 1 s 1 s n x 2. = x 1 s 1 +... + x n s n. (2) x n Dette er umiddelbart ud fra definitionen. En tal-eksempel er givet i Eksempel 2. En kvadratisk matrix er en matrix med lige mange rækker og søjler, altså en n n-matrix. En kvadratisk matrix kan multipliceres med sig selv; man kan altså danne B B, eller f.eks (B B) B = B (B B). Lighedstegnet her følger af den associative lov for matrixmultiplikation. Vi kan derfor godt tillade os at skrive B 3 for dette produkt. Til en vilkårlig kvadratisk matrix kan man knytte en determinant (som er et tal) jvf. 8 nedenfor; for 2 2 og 3 3 matricer er dette også omtalt i [S 9.4 (s. 670-671). For hvert positivt helt tal n er der en særlig vigtig kvadratisk matrix, af format n n, som kaldes identitetsmatricen af dimension n. Den betegnes I n, eller blot I, hvis n er klar fra sammenhængen. Den har 1-taller i diagonalen, altså på alle pladser med adresse af form (i, i), og 0 er på alle pladser uden for diagonalen, altså på alle indgange med adresse af form (i, j), hvor i j. For n = 3 ser den altså således ud: I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 for overskueligheds skyld udelader man ofte 0 erne i matricer med mange 0 er, og så kan I 3 altså også opskrives 1 I 3 = 1. 1 Identitetsmatricerne er interessante p.gr. af følgende sætning: ;

10 Sætning 3 Lad A være en m n matrix. Så gælder I m A = A = A I n. Dette følger af elementære regneregler for plus og gange, men kræver omhu med bogholderiet over summations-indices. Opgave A. Udregn matrix-produktet 1 1 1 a b c d e f. 2.1 Fibonacci-tal og matricer Den italienske matematiker Fibonacci stillede i sin bog Liber Abaci fra 1202 følgende spørgsmål. Hvor mange kaninpar vil der fremkomme på ét år, (begyndende med ét par), når hvert par hver måned avler et nyt par, som selv bliver formeringsdygtigt fra og med den næste måned? Lad populationen i en given måned, f.eks. september, bestå af p par unger og q par voksne, så vil den i næste måned, oktober, bestå af q par unger (nemlig ét par avlet af hver af de q par voksne, der fandtes i september), og p + q par voksne (nemlig de q par voksne, der var i forvejen, og de p par unger fra september, der jo er blevet voksne i oktober). Grafisk, med unger øverst og voksne nederst p q q p + q sept. okt.

2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier betegner kaninpar i deres livsbane, og dobbeltlinien betegner fødsel af nye kaninpar. Det er algebraisk mere hensigtsmæssigt at stille det op på matrix-form. Populationen til et givet tidspunkt kan stilles op som [ en 2-dimensional vektor p (p, q), eller bedre, en 2-dimensional søjlematrix med unger øverst og q voksne nederst; oktober-populationen (q, p + q) fremkommer af septemberpopulationen (p, q) ved matrix-multiplikation: [ q p + q = [ 0 1 1 1 tilsvarende for andre måneder. Med andre ord, den funktion f, der til populationsvektoren (p, q) for én måned tilordner populationsvektoren for næste måned, er den lineære funktion [ R 2 R 2, der, ifølge Sætning 5 (nedenfor) 0 1 er knyttet til matricen F =. 1 1 Tilsvarende vil den matrix, der beskriver populationens udvikling på 2, 3 eller 4 måneder, være henholdsvis F 2, F 3 F 4 : F 2 = [ 0 1 1 1 [ 0 1 1 1 = [ p q [ 1 1 1 2 [ [ [ 0 1 1 1 1 2 F 3 = = 1 1 1 2 2 3 [ [ [ 0 1 1 2 2 3 F 4 = =. 1 1 2 3 3 5 Opgave B. Vis, at F 5, F 6 og F 7 er henholdsvis [ 3 5 5 8 [ 5 8, 8 13 og [ 8 13 13 21. Hvis man starter med ét voksent par (og ingen unger), altså med populationsvektoren (0,1), vil populationen efter 7 måneder altså være [ [ [ 8 13 0 13 =. 13 21 1 21 Regner man rigtigt, får man tilsvarende som populationsvektor efter 12 måneder (144,233). (De tal, der efterhånden dukker op som indgange i potenserne af Fibonaccis matrix, kaldes Fibonacci-tallene: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,

12 13, 21,.... Disse tal spiller iøvrigt en rolle i phyllotaxi, læren om hvordan bladene stiller sig på en stængel, eller skællene på en kogle.) Stort set vil total-populationen øges eksponentielt, men hvordan vil den procentvise aldersprofil udvikle sig? Findes der en populationsvektor (p,q), hvis procentvise aldersprofil er uændret, altså så at populationsvektoren for næste måned er proportional med (p,q), [ 0 1 1 1 [ p q [ p = λ q [ λp (= λq )? Betragt f.eks. populationsvektoren (55,89); populationsvektoren for næste måned vil være [ [ [ 0 1 55 89 =, 1 1 89 144 der næsten er proportional med (55,89), med proportionalitetsfaktor λ = 1.62: [ 55 1.62 89 = eller (idet vi skriver = i stedet for ) [ 0 1 1 1 [ 55 89 [ 89.1 144.2 [ 89 144 [ 55 = 1.62 89 Problemer af denne art vil blive studeret under betegnelsen egenværdier og egenvektorer i 9. ( populationsvektoren (55, 89) er (næsten) en egenvektor for Fibonacci-matricen, med egenværdi 1.62.) Udover matrix-multiplikation har mængden af matricer en anden nyttig, men knap så overraskende, struktur. Nemlig: man kan addere matricer af samme format, nemlig ved at addere plads for plads. Det er en generalisation af addition af koordinatvektorer. F.eks. for 3 2 matricer A og B: a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 + b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 =, a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 31 + b 31 a 32 + b 32 Tilsvarende kan man multiplicere en matrix A med en skalar λ ved at multiplicere alle indgange i den med λ. Det skrives λa. Der gælder simple regneregler som A λb = λ(a B)..

2. MATRICER 13 2.2 Kædereglen i matrix-formulering. En differentiabel afbildning g : R n R m kan beskrives ved et m-tupel af differentiable afbildninger g i : R n R, i = 1,...,m: g(u 1,...,u n ) = (g 1 (u 1,...,u n ),...,g m (u 1,...,u n )). Skriv kort u for n-tuplet (u 1,...,u n ). Ved Jacobi-matricen for g i et givet u R n forstås m n matricen g 1 / u 1 g 1 / u n g 2 / u 1 g 2 / u n.. g m / u 1 g m / u n hvor alle de partielle afledede skal evalueres i punktet u. Vi skriver kort d(g) for denne matrix; eller d u (g), hvis der er behov for at gøre det punkt u, som vi evaluerer de partielle afledede i, explicit. Kædereglen kan nu udtrykkes: Jacobi-matricen for en sammensat afbildning er lig med matrix-produktet af Jacobi-matricerne for hver af de to afbildninger. Dvs. hvis vi har afbildninger, så er R n g R m f R p, d(f g) = d(f) d(g), (3) hvor det er underforstået i hvilke punkter de tre Jacobi-matricer (dvs. de partielle afledede, der er deres indgange) skal evalueres. Hvis man f.eks. ønsker d(f g) evalueret i u, så skal d(g) evalueres i samme u, mens d(f) skal evalueres i g(u). Prikken til højre betegner matrix-produkt; læg mærke til, at de to matricer har format p m og m n, så at produktet giver mening, og er en p n matrix. I eksemplerne i [S er p = 1. Opgaver Opgave 1. Udregn matrix-produkterne [ 2 1 2 4 [ 3 1 0 1 og [ 3 1 0 1 [ 2 1 2 4

14 Opgave 2. Udregn matrixprodukterne [ [ a b 0 1 og c d 0 0 Opgave 3. Udregn matrixprodukterne og [ 2 1 0 5 0 2 3 4 0 2 1 1 [ 0 1 0 0 3 4 0 2 1 1 [ 2 1 0 5 0 2 Opgave 4. Udregn matrixprodukterne [ [ 3 3 1 1 4 4 1 1 og [ 0 1 1 0 [ Opgave 5. Udregn matrixprodukterne [ 0 1 1 0 for n = 3 og n = 4. 0 1 1 0 Opgave 6. Udregn matrix produktet 0 1 [ 0 0 a b c 2 1 d e f 2 0 Opgave 7. Udregn matrix produktet Opgave 8. Betragt matricerne 0 1 0 0 2 1 2 0 A = [ 1 0, B = [ 0 1 n [ 2 3. [ 0 1 0 0. [ 0 1, C = 2 3 Hvilke af matrix-produkterne A 2, AB, B 2, BC, CB og CBA kan udregnes? Opgave 9. Verificer matrix-produkterne i Eks. 1 i 4..

3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineære funktioner Det er almindeligt at kalde en funktion f(x) = αx +β for en lineær funktion. Dens graf er jo en ret linie (med hældningskoefficient α). I lineær algebra betragter man mest homogent lineære funktioner, dvs. med β = 0, eller f(0) = 0. Til gengæld betragter man ikke bare funktioner R R, men funktioner R n R m. Her er et eksempel på en (homogent) lineær funktion f : R 2 R 3 : f(x, y) = (4x y, 5x + y, 3y). Følgende er et eksempel på en homogent lineær funktion f : R 2 R 2, f(x, y) = (y, x + y). (Det er funktionen fra Fibonaccis kaninmodel!) Fra et formel-synspunkt er det karakteristiske, at der ikke optræder konstantled, og at de uafhængige variable (x, y og z i det første eksempel) optræder i første potens: f.eks. x 2, y 1 eller xz forekommer ikke. Der er en mere begrebsmæssig måde at beskrive (homogent) lineære funktioner f på: en homogent lineær funktion er en funktion f, der er ombyttelig med linearkombinationsdannelse, dvs. at de opfylder f(x 1 u 1 +... + x k u k ) = x 1 f(u 1 ) +... + x k f(u k ), for vilkårlige vektorer u 1,...,u k og for vilkårlige skalarer x 1,...,x k. Specielt er lineære funktioner ombyttelig med sum-dannelse af to led og med multiplikation med skalarer, Af det sidste følger specielt f(0) = 0: f(u 1 + u 2 ) = f(u 1 ) + f(u 2 ), f(t u) = t f(u). f(0) = f(0 0) = 0 f(0) = 0, (fordi 0 u = 0 ligegyldigt hvad u er). Omvendt, hvis en funktion opfylder f(u 1 + u 2 ) = f(u 1 ) + f(u 2 ) og f(t u) = t f(u) for alle u 1, u 2, u og t, så er f ombyttelig med vilkårlige linearkombinationer for linearkombinationer kan jo opbygges ved hjælp af vektor-addition og multiplikation-af-vektorer-med-skalarer.

16 Lad A være en fast m n-matrix. Den definerer en afbildning (funktion) f fra R n til R m på følgende måde: givet et input u R n. Vi opfatter u som søjlematrix, altså som en n 1-matrix, og matrix-multiplikationen A u udføres. Den har som resultat en m 1-matrix, altså en søjlematrix (der kan opfattes som vektor i R m ), og denne vektor er da output. Mere kort, funktionen f defineret ved matricen A er givet ved forskriften f(u) = A u. Vi er allerede i Eksemplet i 1 stødt på en lineær funktion R 2 R 3 af den nævnte art: den absolutte ernæringsvektor (protein, fedt, kulhydrat) R 3 som funktion af frokost-vektoren (vægtmængde skovhuggerbrød, vægtmængde letmælk) R 2 ; denne funktion er givet ved en vis 3 2 matrix, nemlig ernæringstabellen for de nævnte madvarer (dvs. den 3 2-matrix, der har de to specifikke ernæringsvektorer, for henholdsvis brød og mælk, som sine søjler). Det gennemregnede eksempel fra 1 ser altså sådan ud: 6 3.6 2 1.5 45 4.5 [ 1.5 2 = 16.2 6 76.5 (Det kan opfattes som en illustration til Sætning 2.) Også Fibonaccis kaninmodel falder ind under dette mønster: Populationsvektoren i én måned er en lineær funktion af populationsvektoren den foregående måned, nemlig givet ved matrix-multiplikation fra venstre med en vis 2 2 matrix. Sætning 4 Givet en m n-matrix A. Så gælder: Funktionen f : R n R m, defineret ved at f(u) = A u, er lineær, dvs. opfylder f(u + v) = f(u) + f(v) f(α u) = α f(u) for vilkårlige u, v R n og vilkårlige reelle tal α. Med andre ord: A (u + v) = A u + A v og A (αu) = α(a u). Dette følger af elementære regneregler for plus og gange. Omvendt: Sætning 5 Givet en lineær afbildning f : R n R m. Den fremkommer på denne måde fra en (og fra netop én) m n matrix A (som også betegnes Matr(f)). Denne Sætning vil vi bevise. Beviset giver samtidig recepten på hvordan man fabrikerer den ønskede matrix. I beviset får vi brug for nogle specielle vektorer i R n, som kaldes de n standard enhedsvektorer, e 1,...,e n. For j.

3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast tal blandt tallene 1,..., n er e j defineret som det n tupel, der har et 1-tal på j te plads og 0 er ellers. F.eks. er for n = 3 de tre enhedsvektorer i R 3 givet som e 1 = (1, 0, 0); e 2 = (0, 1, 0) og e 3 = (0, 0, 1) (også kaldet henholdsvis i,j og k, jvf. [S s. 657; men den type notation er selvsagt ikke egnet for generelle n). Bemærk, at A e j er lig j te søjle i A. Bevis for Sætning 5. Vi tager den matrix A, der som sin j te søjle har f(e j ) R m (j = 1,..., n). Her betegner e j den j te enhedsvektor i R n skrevet op som søjlematrix. Vi skal nu vise, at for vilkårlig x gælder f(x) = A x, (4) (i udtrykket til højre er det underforstået, at x er skrevet op som søjlematrix). Hvis x er søjlematricen med indgange (x 1,..., x n ), så kan x skrives som linearkombination af e j erne på følgende måde 2 : x = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n, og fordi f var antaget at være lineær, altså ombyttelig med linearkombinationsdannelse, har vi f(x) = f(x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n ) = x 1 f(e 1 ) + x 2 f(e 2 ) +... + x n f(e n ). Men f(e j ) er j te søjle i A. Udtrykket her er altså linearkombination af A s søjler med koefficienter x 1, x 2,...,x n, altså netop, ifølge Sætning 2, x 1 A x 2.... x n To forskellige m n matricer giver anledning til forskellige lineære afbildninger. For hvis A B, så er der et par tilsvarende søjler i A og B, der er forskellige, f.eks. j te søjle. Hvis de lineære afbildninger, der hører til A og B kaldes henholdsvis f og g, så gælder f(e j ) g(e j ), de er jo henholdsvis j te søjle i A og j te søjle i B. Dermed er sætningen vist. Der er altså en bijektiv korrespondance mellem mængden af lineære afbildninger R n R m, på den ene side, og mængden af m n matricer på den anden. Den matrix A, der svarer til en lineær afbildning f : R n R m, vil vi betegne Matr(f). Ligningen (4) kan altså skrives 2 jvf. Eks. 7 i 1, for tilfældet n = 3 f(u) = Matr(f) u, (5)

18 hvor prikken til højre betegner matrix-multiplikation. Den recept, der følger af beviset for Sætning 5, er altså: Matr(f) har som sin j te søjle vektoren f(e j ). Eksempel 1. Eksemplet i begyndelsen af dette afsnit, f(x, y) = (4x y, 5x + y, 3y) er en lineær afbildning R 2 R 3. Den repræsenteres ved 3 2 matricen 4 1 Matr(f) = 5 1 ; 0 3 thi 4 1 5 1 0 3 [ x y = 4x y 5x + y 3y Eksempel 2. Betragt talplanen R 2, og betragt drejningen D θ på θ radian mod uret. Det er en lineær afbildning. Første enhedsvektor e 1 (altså enhedsvektoren i på x-aksen) går ved drejningen D θ i vektoren [ cosθ sin θ mens anden enhedsvektor e 2 (altså enhedsvektoren j på y-aksen) går over i [ sin θ, cosθ så at, [ cosθ sin θ Matr(D θ ) = sin θ cos θ Sammensætning g f af lineære afbildninger f og g igen er lineær. Sætning 6 Lad f og g være lineære funktioner mellem koordinatvektorrum.. R n f R m g R p, så er den matrix, der svarer til den sammensatte funktion g f netop matrixproduktet af matricen svarende til g med matricen svarende til f.

3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. Lad f(u) = A u for alle u R n, og lad g(v) = B v for alle v R m. M.a.o. A = Matr(f) og B = Matr(g). Nu regner vi på (g f)(u), for vilkårlig u R n ; det giver g(f(u)) = g(a u) = B (A u) = (B A) u, så at altså g f består i multiplikation med matricen B A. Idet vi jo betegner matricen svarende til en lineær afbildning f : R n R m som Matr(f), kan Sætningen skrives kort Matr(g f) = Matr(g) Matr(f) Eksempel 3. (De trigonometriske additionsformler). I fortsættelse af Eksempel 2: det er klart, at hvis α og β er to vinkler, så er D α+β = D α D β. Af Matr(g f) = Matr(g) Matr(f) og Eksempel 2 (for θ henholdsvis α + β, α og β) fås derfor [ cos(α + β) sin(α + β) sin(α + β) cos(α + β) [ [ cosα sin α cosβ sin β = sin α cosα sin β cosβ Sammenligner man indgangene (1, 1) i de to sider af denne ligning, har man additionsformlen for cos ganske gratis : cos(α + β) = cosαcosβ sin α sin β. Tilsvarende giver sammenligning af indgangene (2, 1) additionsformlen for sin. Opgaver Opgave 1. Lad f og g være lineære afbildninger R n R m. Antag at f(e 1 ) = g(e 1 ),...,f(e n ) = g(e n ). Vis, at f = g. Opgave 2. Betragt funktionen f : R 2 R givet ved f(x,y) = 3x 2y. Vis at f er lineær, og angiv Matr(f). Angiv vektoren f(p) hvor P = (4,5). Opgave 3. Betragt afbildningen R 2 R 2, der består i spejling i y-aksen, altså (x,y) ( x,y). Vis at den er lineær, og angiv dens matrix. Opgave 4. Betragt den lineære afbildning f : R 2 R 2 givet ved (x,y) (x+y,x y) (sml. [S s. 907, formel 10). Angiv dens matrix. Angiv også matricen for f f..

20 Opgave 5. Betragt den lineære afbildning f : R 3 R 2 givet ved (x,y,z) (x,y) ( projektion ned på gulvets plan ). Angiv dens matrix. Opgave 6. Betragt funktionen F : R 2 R 2 givet ved F(u,v) = (ucos v,usin v). Angiv Jacobi-matricen d x F for vilkårlig x = (u,v) R 2. Opgave 7. Betragt funktionen F : R 2 R 3 givet ved F(x,y) = (6x + 3y,2x + y,45x + 4y). Angiv Jacobi-matricen d u F for vilkårlig u = (x,y) R 2 (den viser sig at være uafhængig af u). Opgave 8. Betragt den parametriske kurve g : R R 2 givet ved x(t) = t 2, y(t) = t 3 (jvf. [S 1.7 Opg. 8). Angiv Jacobi-matricen d u (g) for u = 2 R. Opgave 9. 1) Betragt den parametriske kurve g : R R 2 givet ved x(t) = sin 2t, y(t) = cos t. Angiv Jacobi-matricen d 0 (g). 2) Betragt funktionen f : R 2 R givet ved f(x,y) = x 2 y + 3xy 4. Angiv Jacobi-matricen d v (f) for f i punktet v = (0,1). 3) Angiv matrixproduktet d v (f) d 0 (g) (det er en 1 1-matrix, altså et tal.) 4) Angiv (f g) (0) (læg mærke til, at f g er en funktion R R). 5) Sammenlign med [S, 11.5 Ex. 1. Opgave 10. Opstil Chain Rule Case II ([S s. 792) som matrix-ligning A B = C, med A og C 1 2 matricer og B en 2 2 matrix. Opgave 11. Lad f : R n R være en lineær afbildning. Vis at gradientvektoren f(p) er den samme for alle punkter P R n. Sammenlign f(p) med Matr(f). (Vink: skriv et regneudtryk op for f.) Opgave 12. Lad f : R n R m være en lineær afbildning. Vis at d u (f) (=Jacobimatricen for f i u) er den samme for alle punkter u R n. Vis at d u (f) = Matr(f). 4 Inverse matricer For en given matrix A kan man spørge efter om den har en højre-invers, og om den har en venstre-invers. Lad A være en m n matrix. En højre-invers til A er en n m matrix B så at A B = I m ; en venstre-invers til A er en n m matrix C så at C A = I n.

4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er både højre- og venstre invers til A, kaldes B en to-sidet invers til A. Når man bare siger B er en invers til A, mener man at den er en to-sidet invers. Hvis A har en to-sidet invers, kaldes A invertibel. Eksempel 1. Matricen A = [ 2 1 2 5 3 4 har en højre-invers, nemlig matricen B givet ved 5 0 B = 7 1. 1 At A B = I 2 er en simpel øvelse i matrix-multiplikation [ 5 0 [ 2 1 2 7 1 1 0 =. 5 3 4 1 0 1 1 2 Derimod er B ikke venstre-invers til A, idet der gælder 5 0 7 1 1 som jo ikke er = I 3. 1 2 [ 2 1 2 5 3 4 1 2 = Her skal nævnes to ikke-trivielle fakta: 10 5 10 9 4 10 4.5 2.5 4 Faktum 1: hvis A har en to-sidet invers, så er A en kvadratisk matrix. Faktum 2: hvis A er kvadratisk, og har en højre- eller har en venstre invers, så er A invertibel (med den pågældende højre- hhv. venstre- inverse som tosidet invers). Det vil blive vist i 7. Eksempel 2. Betragt matricen A = [ 1 2 1 1 Den har en højre invers, nemlig matricen B givet ved B =. [ 1/3 2/3 1/3 1/3 hvad man nemt kontrollerer ved udregning: A B = I 2. Man kan også let ved udregning kontrollere B A = I 2, men denne sidste udregning kan man,,

22 spare, på grund af ovennævnte Faktum 2. Matricen B er altså en 2-sidet invers til A (og A en 2-sidet invers til B). Vi nævnte ovenfor to ikke-trivielle fakta om inverse matricer. Der er også nogle trivielle, eller rent formelle, fakta: hvis B 1 og B 2 begge er to-sidet inverse til A, så er B 1 = B 2 ; thi B 1 = B 1 I m = B 1 A B 2 = I n B 2 = B 2. Der findes altså højst én matrix B, der er to-sidet invers til A; hvis den findes, betegnes den A 1, og man siger så, at A er en invertibel matrix (med A 1 som sin inverse matrix). (Ordet invers bruges her synonymt med to-sidet invers.) Nogle lommeregnere kan beregne A 1 for ikke for store invertible (kvadratiske) matricer A. I 7 udledes en recept til udregningen. Følgende fakta er også rent formelle: hvis A og B er invertible matricer, og matrix-produktet A B giver mening, så er A B en invertibel matrix med B 1 A 1 som sin invers. Thi (A B) (B 1 A 1 ) = A (B B 1 ) A 1 = A I A 1 = A A 1 = I, og det viser, at B 1 A 1 er en højre-invers til A B; og at den også er en venstre-invers ses ved en helt tilsvarende regning. Kort, (A B) 1 = B 1 A 1 (6) Endvidere: hvis A er invertibel, med B som invers, så er B invertibel med A som invers. Kort, (A 1 ) 1 = A. Matricen F fra 2.1 (Fibonacci) er invertibel; F 1 = [ 1 1 1 0 (Kontroller selv.) Da x F x fremskriver populationen x med én måned, vil F 1 tilbageskrive populationen med én måned. Og F k, defineret som (F 1 ) k, vil tilbageskrive populationen k måneder.. 5 Lineære ligningssystemer Mange opgaver i og udenfor matematik leder til opstilling af ligningssystemer med flere ubekendte, f.eks. m ligninger med n ubekendte; at løse

5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et sådant ligningssystem kan enten betyde, at man angiver et n-tupel af tal, der opfylder samtlige ligninger i ligningssystemet, eller at man beskriver løsningsmængden, dvs. mængden af samtlige n-tupler, der opfylder ligningssystemet. Man taler om henholdsvis en partikulær og den fuldstændige løsning. Helt generelt kan man sige, at jo færre ligninger, der er, jo større er løsningsmængden, (der er færre krav, der skal være opfyldt), og jo lettere er det at finde en partikulær løsning. Derudover er der ikke meget, der kan siges eller gøres rent generelt, udover den gamle metode: at eliminere de ubekendte en efter en. I [S s. 814 ledes man således til at skulle løse et ligningssystem (2 ligninger med 2 ubekendte) som er ikke-lineært: 2x(10y 5 2x 2 ) = 0 5x 2 4y 4y 3 = 0. Linearitet af et ligningssystem betyder, at de ubekendte x, y o.s.v. kun indgår i første potens x 1 (= x), y 1,..., og ikke multipliceres på hinanden. Sådanne ligningssystemer kan opstilles som matrix-ligninger, se nedenfor. Mere præcist: Ved et lineært ligningssystem (m ligninger med n ubekendte) forstås et ligningssystem af form a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m (7) Her betegner a ij erne og b i erne kendte tal, mens x 1,...x n er de n ubekendte (eller tilsammen den ubekendte vektor x R n ). Eksempel 1. 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 +2x 3 = 16. (8) En partikulær løsning er f.eks. (x 1, x 2, x 3 ) = (2, 16, 0), hvad man kan se ved indsættelse. Den fuldstændige løsning viser sig at kunne beskrives med én parameter t R; f.eks som (2, 16, 0) + t (0, 2, 1), hvor parameteren t løber over alle reelle tal. Man siger, at løsningsmængden er 1-dimensional, fordi der skal bruges 1 parameter.

24 Eksempel 1. x 1 + x 2 + x 3 = 1. En partikulær løsning er f.eks. (1, 0, 0). Løsningsmængden kan f.eks. beskrives (1, 0, 0) + s ( 1, 1, 0) + t ( 1, 0, 1), hvor parametrene s og t løber over alle reelle tal. Man siger, at løsningen er 2-dimensional, fordi der skal bruges to parametre. Det stemmer også med geometrien, idet løsningsmængden geometrisk er en plan i R 3. En anden formulering af samme løsningsbeskrivelse er: mængden af taltripler af form (1 s t, s, t). Løsningsmængden kan beskrives på mange andre måder, f.eks. som ( 1 3, 1 3, 1 ) + s(0, 1, 1) + t( 2, 1, 1), 3 igen med to parametre. En anden formulering af samme løsningsbeskrivelse er: mængden af taltripler af form (1/3 2t, 1/3 s + t, 1/3 + s + t). Det er let at indse, at et taltripel af denne form er en løsning; at enhver løsning kan skrives på denne form er ikke helt så klart, men følger af den teori, der udvikles i videregående lineær algebra. Man kan betragte et lineært ligningssystem som (7) eller (8) ud fra et matrix synspunkt. Lad A være den m n matrix, hvis indgange a ij er koefficienterne a ij fra ligningssystemet (7). Denne matrix A kaldes ligningssystemets koefficient-matrix. I ligningssystemet (8) er koefficientmatricen således 2 3 matricen [ 2 2 4 0 1 2 Lad x betegne den (ubekendte) n-dimensionale koordinatvektor (x 1,..., x n ), og lad b betegne den m-dimensionale koordinatvektor af b erne fra ligningssystemets højre side. Begge disse koordinatvektorer tænkes skrevet op som søjlematricer. Betragt matrixligningen A x = b,. altså a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn x 1 x 2. x n = b 1 b 2. b m. (9)

5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den udtrykker lighed mellem to m-dimensionale koordinatvektorer. To sådanne koordinatvektorer er ens, hvis deres i te koordinater stemmer overens, for hvert i = 1, 2,..., m. Dette giver m ligninger. Ved at udføre matrixmultiplikationen ser man, at disse m ligninger netop er de m ligninger fra systemet (7), som altså er ensbetydende med matrixligningen (9), altså med A x = b. (Sml. også Sætning 2.) Eksempel 2. Ligningssystemet (8) er ensbetydende med matrix-ligningen [ x 2 2 4 1 [ x 0 1 2 2 28 =. 16 x 3 (Ligningssystemet (8) er iøvrigt betragtet og løst i (20) nedenfor.) Lad os betragte den lineære funktion f : R n R m, som matricen A giver anledning til, altså funktionen f givet ved u A u. At finde en løsning til ligningen er ensbetydende med at finde et x R n med f(x) = b (en partikulær løsning), eller at finde mængden af samtlige sådanne x er (den fuldstændige løsning). I mængdeteoretisk notation skrives denne mængde således: {x R n f(x) = b}. (10) Vi betragter det ligningssystem, der fremkommer af ligningssystemet (7) ved at erstatte alle b erne på højre side med 0 er. Det kaldes også det tilhørende homogene lineære ligningssystem. I matrix-sprog er dette homogene lineære ligningssystem altså blot A x = 0, hvor 0 betegner 0-vektoren i R m, 0 = (0, 0,..., 0). Pr. definition er et lineært underrum af et vektorrum en delmængde, der er stabil under dannelse af linearkombinationer, og som indeholder nulvektoren. Vi har Sætning 7 Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem A x = 0 i n ubekendte x = (x 1,...,x n ) er et lineært underrum af R n. (Det kaldes løsningsrummet til ligningssystemet.) Med andre ord, løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem er stabilt under dannelse af linearkombinationer; og nulvektoren er altid en løsning. Udtrykt på en anden måde: for et homogent lineært ligningssystem gælder, at en linearkombination af løsninger er igen en løsning; og nulvektoren er en løsning. F. eks. er summen af to løsninger igen en løsning: hvis x

26 og y er løsninger, dvs. hvis A x = 0 og A y = 0, så er x+y også en løsning. For A (x + y) = A x + A y = 0 + 0 = 0. Hvad kan man sige om løsningsmængden til et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (altså mængden (10), hvor f er den lineære afbildning givet ved matricen A)? Sætning 8 Givet en partikulær løsning til det lineære ligningssystem A x = b. Så fås systemets fuldstændige løsning ved til denne partikulære løsning at addere samtlige løsninger til det tilhørende homogene lineære ligningssystem A x = 0. Bevis. Lad c være en partikulær løsning til ligningssystemet f(x) = b. Hvis u er en vilkårlig løsning til det homogene ligningssystem f(x) = 0, så er c+u en løsning til f(x) = b: f(c + u) = f(c) + f(u) = b + 0 = b, det første lighedstegn fordi f er lineær. Omvendt, hvis d er en løsning til det inhomogene system f(x) = b, så er d af form d = c + u for en vis løsning u til det homogene system; tag nemlig u = d c, så er f(u) = f(d c) = f(d) f(c) = b b = 0 (det andet lighedstegn igen fordi f er lineær). Eksempel 3. Betragt ligningssystemet fra Eksempel 1. Den beskrevne fuldstændige løsning (2, 16, 0) + t(0, 2, 1), ses at være fremkommet således: til den partikulære løsning (2, 16, 0) har vi adderet samtlige t(0, 2, 1), og de udgør netop løsningsmængden til det homogene lineære ligningssystem, der hører til ligningssystemet. Man kunne lige så godt have brugt en anden partikulær løsning, f.eks. (2, 14, 1) i stedet for (2, 16, 0). Geometrisk udtrykker sætningen, at løsningsmængden til et inhomogent lineært ligningssystem fremkommer af løsningsrummet for det tilhørende homogene lineære ligningssystem ved parallel-forskydning; nemlig ved parallelforskydning langs en vilkårlig partikulær løsning u 1 til det inhomogene system. (I Eksempel 3 har vi således parallelforskudt linien gennem O med retningsvektor (0, 2, 1); forskydningen er sket langs med, eller ud til, (2, 16, 0).) Løsningsmængden til et inhomogent lineært ligningssystem er altså et inhomogent lineært underrum (også kaldet et affint underrum, eller, på engelsk, en flat ). Det kan også være tomt: med andre ord, der findes inhomogene lineære ligningssystemer der ikke har nogen løsninger. Man kalder et sådant

5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 ligningssystem inkonsistent. (Et ligningssystem, der har mindst én løsning, kaldes konsistent.) Betragt f.eks. ligningssystemet (skrevet som matrix-ligning) [ 2 2 3 4 4 6 x 1 x 2 x 3 = Hvis (x 1, x 2, x 3 ) er en løsning til første ligning, vil (x 1, x 2, x 3 ) indsat i anden ligning give 10 (multiplicer første ligning med 2), ikke 9. Den anden ligning kan altså ikke være opfyldt samtidig med den første; det er altså et inkonsistent ligningssystem. Homogene lineære ligningssystemer er altid konsistente, dvs. de har altid en løsning, nemlig den trivielle løsning, eller nulløsningen x = (0,..., 0), nulvektoren i R n. Terminologi og tommelfinger-regler 3 : Et ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end der er ligninger, kaldes underbestemt. Som regel (men ikke altid) har et underbestemt ligningssystem uendelig mange løsninger. Et ligningssystem, hvor der er flere ligninger end der er ubekendte, kaldes overbestemt. Som regel (men ikke altid) har et overbestemt ligningssystem ingen løsninger (medmindre det er homogent lineært, så har det jo i hvert fald nulløsningen). Et ligningssystem, hvor der er lige så mange ligninger som ubekendte, kaldes kvadratisk. Som regel (men ikke altid) har et kvadratisk ligningssystem af lineære ligninger præcis én løsning. Lineær algebra giver en teori, der erstatter disse tommelfinger-regler med præcise udsagn. F.eks. giver determinant-teorien det udsagn, at et kvadratisk lineært ligningssystem har præcis én løsning, hvis systemets koefficientmatrix har determinant forskellig fra 0, se 8. Vi skal især betragte underbestemte lineære ligningssystemer, der typisk har uendelig mange løsninger. Hvordan beskrive en uendelig løsningsmængde? Det kræver noget teori. For hvordan får man ellers overblik over en uendelig mængde? Hvis det drejer sig om ligningssystemer med to eller tre ubekendte, er en geometrisk beskrivelse af løsningsmængden velegnet. Løsningsmængden til et ligningssystem i to ubekendte kan beskrives geometrisk som en delmængde af planen R 2 ; løsningsmængden til et ligningssystem i tre ubekendte kan tilsvarende beskrives som en delmængde af rummet R 3. (Se også [S 9.5.) [ 5 9 3 En tommelfinger-regel adskiller sig fra en Sætning ved at den ikke altid gælder..

28 Vi betragter først lineære ligningssystemer i to ubekendte. I det underbestemte tilfælde er der altså < 2 ligninger, altså kun én ligning (så det er lidt flot at kalde det et lignings system, men det gør man altså i matematik). Eksempel: Det underbestemte lignings system 3x + 4y = 8. Løsningsmængden er en linie med hældningskoefficient 3/4, der skærer y-aksen i punktet (0,2). Generelt: Hvis der er uendelig mange løsninger til et (ikke-trivielt) lineært ligningssystem i to variable, så udgør løsningsmængden en linie i planen. Heraf kommer ordet lineært ligningssystem og lineær algebra. Vi betragter dernæst lineære ligningssystemer i tre ubekendte. Hvis lignings systemet kun består af én ligning, er løsningsmængden en plan. Hvis ligningssystemet består af to ligninger, vil løsningsmængden som regel være en linie, nemlig skæringslinien mellem de to planer givet ved hver af de to ligninger. Se figurer i [S s. 681. En linie i planen eller rummet kan altid beskrives på parameterform {x + tu t R}, hvor x er (stedvektor for) et punkt på linien og u er en egentlig vektor, en retningsvektor for linien. (Sml. [S s. 676.) Punktet på linien kan vælges vilkårligt. Hvis u 1 og u 2 begge er retningsvektorer for linien, er de parallelle eller proportionale, u 1 = λu 2. En plan i rummet kan også beskrives på parameterform, men der skal to parametre til (en plan er 2-dimensional ), {x + su + tv}, hvor x er (stedvektor for) et punkt i planen, og u og v tilsammen udspænder planens retning. Der er stor vilkårlighed i valget af sådanne to vektorer; man kan ikke umiddelbart se om u 1,v 1 udspænder det samme som u 2,v 2. Derfor beskriver man tit planen ved hjælp af en normalvektor til den (jvf. [S s. 679) (En sådan normalvektor kan tages som kryds-produktet af to vektorer, der udspænder planens retning). Men denne beskrivelsesmåde fungerer kun for planer i det 3-dimensionale rum, ikke for planer i 4- eller højere dimensionale rum. I dette kursus lægges vægt på de metoder, der også gælder i højere dimensioner; og derfor undgår vi brugen af kryds-produkt, der kun fungerer i dimension 3. Linier og planer i det 3-dimensionale rum R 3 kaldes også affine underrum af dimension hhv. 1 og 2, eller sommetider inhomogene lineære underrum; ordet lineære underrum er reserveret til sådanne affine underrum, der indeholder 0 (origo) (sådan er sprogbrugen i det mindste i Lineær Algebra. ) F. eks.: et 1-dimensionalt affint underrum er af form U = {x + tu t R}; linien V = {tu t R} er et lineært underrum. Linien U er fremkommet ved parallel-forskydning af linien V, ved forskydning langs vektoren x. Dette gælder også i højere dimensioner: Ethvert ikke-tomt affint underrum af et vektorrum fremkommer ved parallelforskydning af et lineært underrum. Løsningsmængden til et lineært ligningssystem i n ubekendte er altid et affint underrum af R n. Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem er

5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 endda et lineært underrum. Mere præcise udsagn blev formuleret i Sætning 7 og 8. At sige, at et ligningssystem A x = b er konsistent, er det samme som at sige, at b kan skrives som linearkombination af søjlerne i A. Det fremgår af Sætning 2. Man taler ofte om at opløse en vektor b efter et givet sæt s 1,...,s n af vektorer. Det betyder, at skrive b som linearkombination af s i erne. Det er et spørgsmål, der giver mening i vilkårlige vektorrum. I geometriske vektorrum er det en rent geometrisk konstruktions-opgave. Hvis b og s i erne er m- dimensionale koordinatvektorer, er spørgsmålet om at opløse b efter s 1,...,s n ensbetydende med at løse det lineære ligningssystem A x = b, hvor A er m n-matricen hvis søjler er s i erne. Eksempel 4. Skriv vektoren ( 28, 16) som linearkombination af vektorerne (2, 0), ( 2, 1), og ( 4, 2). Det leder til matrixligningen fra Eksempel 2, som igen er ensbetydende med det inhomogene lineære ligningssystem fra Eksempel 1 (som er et underbestemt ligningssystem). Brugbare koefficienter, der giver ( 28, 16) som linearkombination af (2, 0), ( 2, 1), og ( 4, 2), er f.eks. 2, 16 og 0, vi fandt jo dette talsæt som en løsning til ligningssystemet i Eksempel 1; derfor er ( 28, 16) = 2 (2, 0) + 16 ( 2, 1) + 0 ( 4, 2) en linearkombination af den ønskede art. Eksempel 5. Kan funktionen x 3 skrives som linearkombination af funktionerne (x 2) 3, (x 2) 2, (x 2), og (x 2) 0 (sidstnævnte er den konstante funktion med værdi 1)? Opgaven går ud på, om muligt, at finde tal λ 3, λ 2, λ 1 og λ 0 så at der gælder x 3 = λ 3 (x 2) 3 + λ 2 (x 2) 2 + λ 1 (x 2) + λ 0 (11) for alle x. På dette problem giver Taylor-udvikling af funktionen x 3 ud fra a = 2 et elegant svar, ([S 8.9); en mere fodgænger-agtig fremgangsmåde er at opstille et lineært ligningssystem med de fire ubekendte λ 3, λ 2, λ 1 og λ 0. Vi får et sådant ligningssystem ved at sammenligne koefficienterne til x 3, x 2, x og 1 på begge sider af (11). Lad os f.eks. sammenligne koefficienterne til x 2 på begge sider af lighedstegnet. På venstre side har vi 0, på højre side har vi, idet vi multiplicerer (x 2) 3 og (x 2) 2 ud, λ 3 3 ( 2) x 2 +λ 2 x 2 ; ligningen der sammenligner koefficienterne til x 2 er altså 0 = λ 3 3 ( 2) + λ 2. Det er ligning nummer to i det samlede ligningssystem, der kommer til at se sådan