Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Test løsningsmængde Calculus 1-2006 Uge 36.1-1 Definition 3.10 - multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres ganges sammen til en m p-matrix. A a ij i1...m,j1...n B b jk j1...n,k1...p AB c ik i1...m,k1...p c ik a i1 b 1k + + a in b nk n a ij b jk Calculus 1-2006 Uge 36.1-2 j1 Gange er nemt Vigtigste regneregel Bemærkning 3.11 I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. c ik b 1k. a i1... a ij... a in. b jk b nk a i1 b 1k + + a ij b jk + + a in b nk Sætning 3.15 - associativ lov Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens. Bemærkning 3.19 Distributive love ABC ABC AB + C AB + AC A + BC AC + BC Calculus 1-2006 Uge 36.1-3 Calculus 1-2006 Uge 36.1-4
Pas på [LA] 2 Matricer Multiplikation af enhedsvektorer Bemærkning 3.21-2 - advarsler Den kommutative lov holder ikke Normalt er AB BA 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Nulreglen gælder ikke Eksempel 3.24 Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A og produktet den i-te række i A. Ae j a j e i A a i A 0, B 0, AB 0 Calculus 1-2006 Uge 36.1-5 Calculus 1-2006 Uge 36.1-6 Kvadratisk matrix, identitetsmatrix Identitetsmatricer Definition 3.25 En kvadratisk matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er 0. Identitetsmatricen 1 0... I n 0... 0. med 1 i diagonalen og 0 udenfor er en diagonalmatrix. Calculus 1-2006 Uge 36.1-7 Eksempel 3.26 De første tre identitetsmatricer: I 1 1 1 0 I 2 1 0 0 I 3 0 0 Calculus 1-2006 Uge 36.1-8
Multiplikation af identitetsmatrix Transponeret matrix Sætning 3.27 Lad A være en m n-matrix. Så gælder I m A A AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen ændrer ikke en matrix." Bevis Den j-te søjle i I n er e j, så den j-te søjle i AI n er den j-te søjle i A. Ae j a j Definition 3.29 For en m n-matrix A er den transponerede matrix A T n m matricen med søjlerne fra A som rækker. Indgangene i A T er a T ji a ij Eksempel 3.30 Rækkevektorer og søjlevektorer transponerer til hinanden T a a a b c b og b c c T a b c Calculus 1-2006 Uge 36.1-9 Calculus 1-2006 Uge 36.1-10 Regneregler for transponering Lineær afbildning Sætning 3.32 For en m n-matricer A og B gælder: 1. A T T A. 2. A + B T A T + B T 3. λa T λa T. Sætning 3.33 For en m n-matrix A og en n p-matrix B gælder B T A T AB T Definition 4.3 En afbildning f : R n R m er en lineær afbildning, hvis sum og skalarmultiplikation bevares fu + v fu + fv fau afu Sætning 4.5 Hvis f : R n R m er en lineær afbildning, så bevares linearkombinationer fa 1 u 1 + + a k u k a 1 fu 1 + + a k fu k Calculus 1-2006 Uge 36.1-11 Calculus 1-2006 Uge 36.1-12
Lineær afbildning Matrix til lineær afbildning Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. fx, y y, x + y fx 1, y 1 +, y 2 fx 1 +, y 1 + y 2 y 1 + y 2, x 1 + + y 1 + y 2 y 1, x 1 + y 1 + y 2, + y 2 fx 1, y 1 + f, y 2 Sætning 4.7 For en m n-matrix A defineres en afbildning ved Eksempel 4.8 u 1 u 2 R n R m u Au 1 3 3 4 u 1 u 2 u 1 + 3u 2 3u 1 + 4u 2 Tilsvarende for skalarmultiplikation. Calculus 1-2006 Uge 36.1-13 Calculus 1-2006 Uge 36.1-14 Lineær afbildning til matrix Opgave Sætning 4.11 Enhver lineær afbildning f : R n R m fremkommer fra en entydig bestemt m n-matrix Bemærk A Matrf fu Au fe j a j j-te søjle i matricen for f er billedet af j-te enhedsvektor i R n. Opgave Find Matrf for den lineære afbildningen fx, y y, x + y. Søjlerne i Matrf er fe 1 f 1 0, fe 2 f 1 1 Heraf Matrf 1 1 Prøve x y 1 1 y x + y Calculus 1-2006 Uge 36.1-15 Calculus 1-2006 Uge 36.1-16
Multiplicere sammensætte Test matrix-afbildning Sætning 4.14 Lad f, g være lineære afbildninger R n f R m g R p Så er den sammensatte afbildning g f lineær og Matrg f Matrg Matrf Bevis For fu Au, gv Bv giver den associative lov g fu gfu BAu BAu Test Den lineære afbildning fx, y x + y, x y, y har tilhørende matrix Matrf: 1 1 1 1 a 1 1. b 1 1. c 0 0 Søjlerne i 3 2-matricen er 1 1 0 1 1 1 Afkryds den korrekte: f1, 0 1, 1, 0, f0, 1 1, 1, 1. a b c Calculus 1-2006 Uge 36.1-17 Calculus 1-2006 Uge 36.1-18 Spejling Drejning Eksempel 4.16 S θ er spejlingen i linjen med retningsvinkel på θ. e 1 går i vektoren e 2θ cos 2θ sin 2θ e 2 e 2θ Eksempel 4.17 D θ er drejningen på θ mod uret. e 1 går i vektoren e θ cos θ sin θ e 2 e θ mens e 2 går over i θ e 1 x 1 sin 2θ ê 2θ ê 2θ cos 2θ Matricen for spejlingen er cos 2θ sin 2θ MatrS θ sin 2θ cos 2θ Calculus 1-2006 Uge 36.1-19 mens e 2 går over i θ 0 e 1 x 1 sin θ ê θ cos θ Matricen for drejningen er cos θ sin θ MatrD θ sin θ cos θ Calculus 1-2006 Uge 36.1-20 ê θ
Invers matrix Invers diagonalmatrix Definition 5.4-5 En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB I n BA B er entydigt bestemt og betegnes A kaldes invertibel. B A 1 Bevis Entydighed: For AC I CA er B BI BAC BAC IC C Eksempel 5.6 En diagonal n n-matrix λ 1 0... Λ. 0.. 0. 0 λ n med alle diagonal indgange λ i 0 er invertibel. Den inverse er λ 1 1 0... Λ 1. 0.. 0. 0 λ 1 n Calculus 1-2006 Uge 36.1-21 Calculus 1-2006 Uge 36.1-22 Inverter produkt Test invers matrix Sætning 5.7 Lad A, B være invertible n n-matricer. Så er AB invertibel og der gælder AB 1 B 1 A 1 "Pas på rækkefølgen." Bevis ABB 1 A 1 ABB 1 A 1 AI n A 1 Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder AB 1 A 1 B 1. Den rigtige formel er AB 1 B 1 A 1 Afkryds: ja nej AA 1 I n Calculus 1-2006 Uge 36.1-23 Calculus 1-2006 Uge 36.1-24
Invers afbildning og matrix Matrix potens Sætning 5.9 Den lineære afbildning f : R n R n givet ved fx Ax er bijektiv, hvis og kun hvis matricen A er invertibel. I så fald er den inverse afbildning lineær og givet ved multiplikation med matricen A 1. Definition 5.12 For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k 0, 1, 2,..., A 0 I n, A k A k 1 A Hvis A er invertibel, så er x Ax A k A 1 k A k 1 R n x A 1 y y R n y Ax For enhedsmatricen er I k n I n Calculus 1-2006 Uge 36.1-25 Calculus 1-2006 Uge 36.1-26 Pas på matrix potens Potens af diagonalmatrix Bemærkning 5.13 Potensregneregler gælder Men normalt er For eksempel A l A m A l+m A l m A lm A m B m AB m A 2 B 2 AABB ABAB AB 2 Eksempel 5.14 For en diagonal n n-matrix λ 1 0... Λ. 0.. 0. 0 λ n og k 0, 1, 2,... er potensen λ k 1 0... Λ k 0... 0. 0 λ k n Calculus 1-2006 Uge 36.1-27 Calculus 1-2006 Uge 36.1-28
Matrix potens Transponering af invers matrix Opgave Beregn matrix potensen Bemærk 1 x 1 a 1 y k 1 x + y Sætning 5.16 En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis den transponerede A T er invertibel. I så fald er A T 1 A 1 T Bevis Gør prøve ved brug af regnereglerne A T A 1 T A 1 A T I T I Heraf k 1 a 1 ka Calculus 1-2006 Uge 36.1-29 Calculus 1-2006 Uge 36.1-30 Ligninger på matrix form [LA] 6 Lineære ligningssystemer Ligninger på matrix form [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition 6.2-3 Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x 1 +... + a 1n x n b 1 a 21 x 1 +... + a 2n x n b 2 a m1 x 1 +... + a mn x n b m På matrix form A a ij m n-matrix, b b i m-søjle, x x j n-søjle Ax b. Definition 6.2-3 - fortsat Matrix form skrevet ud Ax b a 11... a 1n x 1 b 1 a 21... a 2n.. b 2. a m1... a mn x n b m Calculus 1-2006 Uge 36.1-31 Calculus 1-2006 Uge 36.1-32
Koefficient matrix [LA] 6 Lineære ligningssystemer 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition 6.4 Givet ligningssystemet 1. A koefficientmatrix 2. b 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system Ax b 4. Partikulær løsning en funden løsning, fuldstændig løsning mængden af alle løsninger Eksempel 6.6 2x 1 2 4 28 + 2 16 1. Vælg 0 og løs 16. Indsæt i første ligning 2. Dette giver partikulær løsning 2x 1 2 16 28 x 1,, 2, 16, 0 Calculus 1-2006 Uge 36.1-33 Calculus 1-2006 Uge 36.1-34 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.6 - fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 + 2 14 2 + 16 2 2 + 16 2 0 2 0 16 + 2 16 + 2 0 1 ligning 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.7 x 1 + + 1 1. Vælg 0 og løs x 1 1 2. Det giver partikulær løsning x 1,, 1, 0, 0 hvor kan vælges frit. Calculus 1-2006 Uge 36.1-35 Calculus 1-2006 Uge 36.1-36
1 ligning 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test smængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.7 - fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 + 1 1 1 1 0 + 1 + 0 0 1 0 + + 0 0 0 Test Betragt et homogent lineært ligningssystem A x 0. Hvilket af følgende udsagn er sandt uanset hvordan A ser ud a 0 er aldrig en løsning. b 0 er altid en løsning. c Der er altid en løsning x 0. Gør prøve Afkryds det sande: A 0 0 a b c hvor både og kan vælges frit. Calculus 1-2006 Uge 36.1-37 Calculus 1-2006 Uge 36.1-38